高一数学答案
一、单项选择题：I-8 DDCCB ACA
二、多项选择题：9.BD10.BCD11.ABD
三、填空题：12.-213.20m14.2W2
15.(1)取BC的中点G,连接FG,AG,F,G是BC,BC的中点，
则GFCG.又E为44的中点，则4E)CG.所以GF4E.
则四边形GFEA为平行四边形.则AG∥EF
又EFd平面ABC,AGC平面ABC,所以EF∥平面ABC
(2)取CC的中点2，连接2A,QF,F,是BC,CC的中点，则FO//BC1,
则∠QFA(或其补角)为异面直线AF与BC所成的角，
△F2A中，AF=V5,AQ=V5,F2=V2,
则os∠AF0=F2+F4-4g_V2+W52-5-i而
2FQ·FA
2xv2x5
10
所以异面直线F和8C所成角的余弦值为0
10
16.(I)解：因为2 acosA=ccosB+bcosC,由正弦定理可得2 sin Acos A=sin Ccos B+sin BcosC,
则2sn4cosA=sB+O=s油4，因为如A*0,所以cosA=2由于4c0,),所以A=
3
ac品。普品a8-9
V62
2
2
又b
在RA BCD中，D=90°-C=15°，又sinD=BC
5,即sin15°=6
CD
CD
所以c0=66
sin15 6-2
=6+25,所以AD=CD-AC=(6+25)-2=4+25
17.(1)在正四棱锥P-ABCD中，取BD,AB,BC中点分别为O,E,F,
以O为坐标原点，OE,OF,OP分别为x,y,2轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系0-2.
则0(0,0,0)，P(0,0,V2),B(11,0),C(-11,0),A1,-1,0),D(-1,-1,0),
因为项0-02号x0色0=0所以项⊥西，即w10
2)设平面80的个法向为-k以0=(2-20.-号-9
BD.m=-2x-2y=0
=号+2
z=0
3
取z=1,x=-√2，y=V2,得m=(-2,2,,又P元=(-1，l,-2)
设直线PC与平面BDM所成角为8，所s以n9-OPC,m
P网
2×√5=10
所以直线PC与平面BDM所成角的正弦值
10
18.(1)在等腰梯形AABB中，过4，B分别作AD⊥AB,BE⊥AB交AB于点D,E,连接AB,
则AD=BE=克，则直角△BE中，由BE=克BA=1,则∠B=60P.
又△ABB中，AB=2,BB=1,
则AB2=AB2+BB2-2AB·BB·CosB=3则AB=V5.
B
所以AB2+BB2=AB2,即AB⊥BB
又平面ABBA⊥平面BCC,B,
交线为BB,ABC面ABBA
B
所以AB,⊥平面BCCB,则AB⊥BC.
又AB L BC,所以平面BC⊥平面ABB,A
(2)由(1)BC⊥平面ABBA,又BCc平面ABC,
所以平面ABC⊥平面ABB,A,交线是AB,
又AD⊥AB,ADc面ABB,A,
所以AD⊥平面ABC
以B为坐标原点，BC,BA分别为x,y轴正方向，过点B作A,D的平行线为z轴，
建立如图所示的空间直角整标系，则80Q0,4《020,c2A0,40,月，
4=0,-2,),4C=(2,-2,0),BA=0,20)
设平面A4C的法向量为m=(x,y,z),则
m·A4=0
[y+5-0
m.AC=0'
22
2x-2y=0
令y=√3，则m=(5,3,1),则求点B到平面ACC4的距离d=
BA.m23 2v21
园
7
(3)延长棱台的三条侧棱AA,BB,CC1,相交于点S
取BC的中点M,S2的中点N,延长NM交BB于点T.
由棱台中给-行则登器瓷宁西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试题
（满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
2.若平面和直线a，b满足，，则a与b的位置关系是（ ）
A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或异面
3.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则边（ ）
A. B.或 C.或 D.
4.如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A. B. C. D. 5
5.已知向量，满足，，且，则（ ）
A. B. C. 2 D. 1
6.在中，，，.D为AB的中点，P为CD上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是（ ）
A. B. C. D.
8.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，，，则（ ）
A. 120° B. 135° C. 150° D. 165°
二、多选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若复数，为z的共轭复数，则以下正确的是（ ）
A.z在复平面对应的点位于第二象限 B.
C. D.为纯虚数
10.已知圆锥SO的底面半径，母线长，SA，SB是两条母线，P是SB的中点，则（ ）
A.圆锥SO的体积为
B圆锥SO的侧面展开图的圆心角为
C.当为轴截面时，圆锥表面上点A到点P的最短距离为
D.面积的最大值为2
11.对非零向量，，定义运算“”：，其中为与的夹角，则（ ）
A.若，则
B.若，，则
C.若中，，，，则
D.若中，，则是等腰三角形或有内角为135°的三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知平面向量，，若，则______.
13.如图，在四面体ABCD中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为90°，则四面体ABCD的外接球表面积为______.
14.费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点.具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于120°时，则使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.设点O为的费马点，且满足，则边a的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为BC的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求异面直线AF与所成角的余弦值.
16.（15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求A；
（2）若，，设D为CA延长线上一点，且，求线段AD的长.
17.（15分）如图，在正四棱锥中；，点M，N分别满足，.
（1）求证：；
（2）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值.
18.（17分）如图，已知三棱台的下底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）求点B到平面的距离；
（3）若P为BC的中点，Q为的中点，点F在侧面内，且平面APQ，当的面积最小时，求平面ACF与平面夹角的余弦值.
19.（17分）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
（1）求C；
（2）若，，求边AB上的角平分线CD长；
（3）若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围.