2024—2025学年上学期合肥初中数学七年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期合肥初中数学七年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）如果a的倒数是﹣1．那么a2017等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．2017 D．﹣2017
2．（4分）据人民日报报道，吉林省计划在2023年落实粮食播种面积90000000亩以上，比去年增加3230000亩的目标．其中3230000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．3.23×104 B．323×104 C．3.23×106 D．0.323×107
3．（4分）下列变形中错误的是（　　）
A．由3x﹣2x＝1，得x＝1
B．由2x﹣3x＝8，得﹣x＝8
C．由5x﹣2x+3x＝12，得x＝﹣2
D．由﹣7y+y＝6，得﹣6y＝6
4．（4分）在同一平面内，若∠AOB＝60°，∠AOC＝45°，则∠BOC的度数是（　　）
A．15° B．105° C．25°或105° D．15°或105°
5．（4分）如图是某班学生一周参加体育锻炼情况的折线统计图．由图可知，一周参加体育锻炼的人数最多的锻炼时间是（　　）小时．
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（4分）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最大的数对应的（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．（4分）方程3x+2＝0的解是（　　）
A．x B．x C．x D．x
8．（4分）如表是小明完成的作业，则他做对的题数是（　　）
填空题． ①1的相反数是﹣1． ②﹣2m2n+3的次数是2． ③0.295精确到0.01是0.30． ④28°32′的余角是61°68′．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（4分）已知关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值为（　　）
A．1 B．2 C．0 D．﹣1
10．（4分）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为163，则输入的最小正整数是（　　）
A．3 B．7 C．19 D．55
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）下列各式中是单项式有　 　个．
﹣23bx，x2y，，，5a2b2，a﹣b，，0，，xy3﹣5x+3．
12．（5分）五年级学生中女生比男生多10人，在体育达标测试中，男生全部达标，而女生有10%未达标，这样男、女生共有180人达标，则五年级学生共有 　 　人．
13．（5分）当m﹣n＝﹣5，mn＝2时，则代数式（m﹣n）2﹣4mn＝　 　．
14．（5分）已知是方程的一个解，则m的值是 　 　．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：3×（﹣5）﹣（﹣28）÷7．
16．（8分）解方程（组）：
（1）；
（2）．
17．（8分）先化简，再求值：4（3a2b﹣ab2）﹣2（ab2+3a2b），其中a＝﹣1，b＝2．
18．（8分）李冰同学想了解哪种血型的人多，于是他就对他的父母、叔伯、祖父母、外祖父母等亲属作了调查．你认为他的方法合理吗？说说你的理由．
19．（10分）如图，已知∠AOB的补角等于它的余角的10倍．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD，求∠BOD的度数．
20．（10分）作图题
（1）如图1，已知点A、B、C，直线l及l上一点M，请你按照下列要求画出图形．
①画射线BM
②画线段AC
③请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点B的距离之和（OA+OB）最小
（2）有5个大小一样的正方形制成的如图2所示的拼接图形（阴影部分），请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（只需添加一个符合要求的正方形即可，并用阴影表示）
21．（12分）某中学一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下：
（1）求本次问卷调查取样的样本容量；
（2）在扇形统计图中，求等级为“非常了解”的人数所对应扇形的圆心角度数；
（3）若该校有学生1500人，根据调查结果，估计这些学生中“基本了解”垃圾分类知识的人数．
22．（12分）如图1，数轴上点A、B、C对应的有理数分别为a、b、c，其中B为AC的中点，且a、c满足|a+2|+（8﹣c）2＝0．
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）若数轴上的点D（不与点A重合）到点B、点C中的某一点的距离是它到另一点距离的两倍，请求出点D表示的数；
（3）若动点P从A点出发沿数轴向左以每秒3个单位长度匀速运动，同时，动点Q和动点R也开始沿数轴运动，其中，动点Q从C点出发向右以每秒2个单位长度匀速运动，动点R从B点出发向右以每秒7个单位长度匀速运动，设运动时间为t．当动点R与Q相遇时，动点R立即调头以每秒8个单位长度匀速运动追赶动点P，当动点R与动点P相遇时又立即调头以每秒7个单位长度匀速运动追赶动点Q，动点R在P、Q间重复以上运动，直至PQ相距70个单位长度时所有动点运动停止．问：是否存在某个时刻，使得PR＝2RQ？若存在，请直接写出答案，若不存在，请说明理由．
23．（14分）某城市东西路与南北路交会于路口A，甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A．甲向北，乙向东同时匀速行走，4分钟后二人距A的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等．甲、乙二人的速度各是多少？
2024—2025学年上学期合肥初中数学七年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）如果a的倒数是﹣1．那么a2017等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．2017 D．﹣2017
【考点】倒数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用倒数的定义得出a的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵a的倒数是﹣1，
∴a＝﹣1，
∴a2017＝（﹣1）2017＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数，正确得出a的值是解题关键．
2．（4分）据人民日报报道，吉林省计划在2023年落实粮食播种面积90000000亩以上，比去年增加3230000亩的目标．其中3230000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．3.23×104 B．323×104 C．3.23×106 D．0.323×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【解答】解：3230000这个数用科学记数法表示为3.23×106．
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
3．（4分）下列变形中错误的是（　　）
A．由3x﹣2x＝1，得x＝1
B．由2x﹣3x＝8，得﹣x＝8
C．由5x﹣2x+3x＝12，得x＝﹣2
D．由﹣7y+y＝6，得﹣6y＝6
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】直接利用等式的基本性质分析得出答案．
【解答】解：A．由3x﹣2x＝1，得x＝1，故此选项不合题意；
B．由2x﹣3x＝8，得﹣x＝8，故此选项不合题意；
C．由5x﹣2x+3x＝12，得x＝2，故此选项符合题意；
D．由﹣7y+y＝6，得﹣6y＝6，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题关键．
4．（4分）在同一平面内，若∠AOB＝60°，∠AOC＝45°，则∠BOC的度数是（　　）
A．15° B．105° C．25°或105° D．15°或105°
【考点】角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，分两种情况考虑：当OC在∠AOB内部时；当OC在∠AOB外部时，分别求出∠BOC的度数即可．
【解答】解：当OC在∠AOB内时，如图所示：
∵∠AOB＝60°，∠AOC＝45°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝15°；
当OC在∠AOB外时，如图2所示：
∵∠AOB＝60°，∠AOC＝45°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝105°．
故选：D．
【点评】本题考查了角的计算，分OC在∠AOB内和OC在∠AOB外两种情况考虑是解题的关键．
5．（4分）如图是某班学生一周参加体育锻炼情况的折线统计图．由图可知，一周参加体育锻炼的人数最多的锻炼时间是（　　）小时．
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】折线统计图．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据折线统计图可得一周参加体育锻炼人数最多的锻炼时间是9小时．
【解答】解：由图可知，一周参加体育锻炼的人数最多的锻炼时间是9小时，
故选：B．
【点评】本题主要考查折线统计图，观察统计图得出其横、纵轴所表示的量是关键．
6．（4分）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最大的数对应的（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【考点】数轴；绝对值．
【专题】实数；数感；模型思想；应用意识．
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义，找出离原点最远的点即可．
【解答】解：绝对值最大的数就是离原点最远的数，
根据A、B、C、D四个点在数轴上的位置，可得点A所表示的数，
故选：A．
【点评】考查数轴表示数、绝对值的意义，理解绝对值的意义是解决问题的前提．
7．（4分）方程3x+2＝0的解是（　　）
A．x B．x C．x D．x
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】方程移项，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：方程3x+2＝0，
移项得：3x＝﹣2，
解得：x．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
8．（4分）如表是小明完成的作业，则他做对的题数是（　　）
填空题． ①1的相反数是﹣1． ②﹣2m2n+3的次数是2． ③0.295精确到0.01是0.30． ④28°32′的余角是61°68′．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】余角和补角；相反数；近似数和有效数字；多项式；度分秒的换算．
【专题】计算题；数据分析观念；运算能力．
【答案】B
【分析】根据相反数的含义可判断①，根据多项式的次数可判断②，根据近似数的含义可判断③，根据余角的含义可判断④，从而可得答案．
【解答】解：1的相反数是﹣1，故①正确，
﹣2m2n+3的次数是3，故②错误，
0.295≈0.30，故③正确，
90°﹣28°32′＝61°28′，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查了多项式的指数、近似数、相反数、余角，关键是掌握余角、相反数、近似数、多项式的性质．
9．（4分）已知关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值为（　　）
A．1 B．2 C．0 D．﹣1
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】把代入另外两个方程中得：，求出a，b，再求和即可．
【解答】解：把代入另外两个方程中得：，
解得：，
∴a+b＝2﹣1＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了同解方程，二元一次方程组的解，解题的关键是把代入另外两个方程中得：，解方程组即可．
10．（4分）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为163，则输入的最小正整数是（　　）
A．3 B．7 C．19 D．55
【考点】代数式求值；有理数的混合运算．
【专题】操作型；实数；整式；运算能力．
【答案】A
【分析】利用“数值转换机”的程序，将四个选项中的结论代入进行检验即可得出结论．
【解答】解：输入的数是3时，
∵3×3﹣2＝7＜100，
∴将数字7再次输入，
∵3×7﹣2＝19＜100，
∴将数字19再次输入，
∵3×19﹣2＝55＜100，
∴将数字55再次输入，
∵3×55﹣2＝163＞100，
∴输入的结果为163，符合题意，
由上所述可知，当输入的数字为3，7，19，55时，依据程序均能得到使输出的结果为163，
∴输入的最小正整数是3，
故选：A．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，依据程序将四个选项中的结论代入进行检验是解题的关键．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）下列各式中是单项式有　6　个．
﹣23bx，x2y，，，5a2b2，a﹣b，，0，，xy3﹣5x+3．
【考点】单项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据单项式的定义即可求出答案．
【解答】解：﹣23bx，x2y，，5a2b2，，0，
故答案为：6．
【点评】本题考查单项式，解题的关键是正确理解单项式的定义，本题属于基础题型．
12．（5分）五年级学生中女生比男生多10人，在体育达标测试中，男生全部达标，而女生有10%未达标，这样男、女生共有180人达标，则五年级学生共有 　190　人．
【考点】百分数的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】190．
【分析】设五年级中男生有x人，则女生有（x+10）人，根据达标人数共有180人列出方程，解出五年级中男生和女生的人数，则五年级学生人数＝男生人数+女生人数．
【解答】解：设五年级中男生有x人，则女生有（x+10）人，
根据题意得：x+（x+10）×（1﹣10%）＝180，
解得：x＝90，
则x+10＝100，
∴五年级中男生有90人，女生有100人，
∴五年级学生共有90+100＝190（人）．
故答案为：190．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，解题关键是正确设出未知数，根据数量关系列出方程并求解．
13．（5分）当m﹣n＝﹣5，mn＝2时，则代数式（m﹣n）2﹣4mn＝　17　．
【考点】完全平方公式；代数式求值．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】17．
【分析】代数求值即可．
【解答】解：原式＝（﹣5）2﹣4×2
＝25﹣8
＝17，
故答案为：17．
【点评】本题主要考查代数式求值的知识，熟练掌握代数式求值的知识是解题的关键．
14．（5分）已知是方程的一个解，则m的值是 　　．
【考点】二元一次方程的解．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】把方程的解代入方程，得到关于m的一次方程，求解即可．
【解答】解：把代入方程，得m＝8，
∴2m＝8．
∴m．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元一次方程，掌握一元一次方程的解的意义是解决本题的关键．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：3×（﹣5）﹣（﹣28）÷7．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】﹣11．
【分析】先算乘除，再算减法．
【解答】解：原式＝﹣15﹣（﹣4）
＝﹣15+4
＝﹣11．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘除运算是解决本题的关键．
16．（8分）解方程（组）：
（1）；
（2）．
【考点】解二元一次方程组；解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）y；
（2）．
【分析】（1）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解出x的值即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1）去分母得，6y+3＝2（2﹣y），
去括号得，6y+3＝4﹣2y，
移项得，6y+2y＝4﹣3，
合并同类项得，8y＝1，
系数化为1得，y；
（2），
①﹣②×3得﹣22y＝﹣22，
解得y＝1，
把y＝1代入②得，x+3＝2，
解得x＝﹣1，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查了解一元一次方程、解二元一次方程组，解题的关键是：（1）熟练掌握解方程的步骤；（2）熟练掌握方程组的解法．
17．（8分）先化简，再求值：4（3a2b﹣ab2）﹣2（ab2+3a2b），其中a＝﹣1，b＝2．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】6a2b﹣6ab2，36．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，再把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝12a2b﹣4ab2﹣2ab2﹣6a2b
＝6a2b﹣6ab2，
∵a＝﹣1，b＝2，
∴原式＝6×（﹣1）2×2﹣6×（﹣1）×22＝12+24＝36．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，涉及去括号法则，合并同类项法则等知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）李冰同学想了解哪种血型的人多，于是他就对他的父母、叔伯、祖父母、外祖父母等亲属作了调查．你认为他的方法合理吗？说说你的理由．
【考点】数学常识．
【专题】数据的收集与整理；应用意识．
【答案】不合适；因为亲戚在血型上有一定的关联，所以这样获得的样本不具有代表性．
【分析】选取的样本时必须有代表性、随机性、广泛性，从这三点分析题中给出的样本；亲戚在血型上有一定的关联，据此结合选取样本的原则可得到结果．
【解答】解：∵选取的样本时必须有代表性、随机性、广泛性，
∴这个抽样方案不合适．因为亲戚在血型上有一定的关联，所以这样获得的样本不具有代表性，故这个抽样方案不合适．
【点评】本题考查了选取样本的问题，关键是分析所选样本是否具有代表性．
19．（10分）如图，已知∠AOB的补角等于它的余角的10倍．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD，求∠BOD的度数．
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）80°．
（2）56°．
【分析】（1）利用设元法列方程求解即可．
（2）设∠BOD＝y，利用题目条件列出关于y的方程求解即可．
【解答】解：（1）设∠AOB＝x，
由题意得：180°﹣x＝10（90°﹣x），
解得x＝80°．
所以∠AOB的度数为80°．
（2）设∠BOD＝y，则∠AOC＝3y，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOD＝2y，
由题意得：3y+2y+80°＝360°，
解得y＝56°，
∴∠BOD＝56°．
【点评】本题考查角度的计算、补角和余角的概念，熟练掌握设元法求角的方法是解题关键．
20．（10分）作图题
（1）如图1，已知点A、B、C，直线l及l上一点M，请你按照下列要求画出图形．
①画射线BM
②画线段AC
③请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点B的距离之和（OA+OB）最小
（2）有5个大小一样的正方形制成的如图2所示的拼接图形（阴影部分），请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（只需添加一个符合要求的正方形即可，并用阴影表示）
【考点】作图—应用与设计作图；轴对称﹣最短路线问题；展开图折叠成几何体；直线、射线、线段．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据射线，线段．两点之间线段最短解决问题即可．
（2）根据立方体的展开图的特征画出图形即可．
【解答】解：（1）如图，射线BM，线段AC，点O即为所求．
（2）如图所示：
【点评】本题考查立方体的展开图，射线，线段，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（12分）某中学一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下：
（1）求本次问卷调查取样的样本容量；
（2）在扇形统计图中，求等级为“非常了解”的人数所对应扇形的圆心角度数；
（3）若该校有学生1500人，根据调查结果，估计这些学生中“基本了解”垃圾分类知识的人数．
【考点】扇形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）200；
（2）72°；
（3）270人．
【分析】（1）用“非常了解”的人数除以它所占百分比60%可得答案；
（2）用360°乘等级为“非常了解”所占的百分比即可；
（3）用总人数乘样本中“基本了解”垃圾分类知识的学生的占比即可．
【解答】解：（1）求本次问卷调查取样的样本容量为：120÷60%＝200；
（2）在扇形统计图中，求等级为“非常了解”的人数所对应扇形的圆心角度数为：360°72°；
（3）1500270（人），
答：估计这些学生中“基本了解”垃圾分类知识的人数大约为270人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
22．（12分）如图1，数轴上点A、B、C对应的有理数分别为a、b、c，其中B为AC的中点，且a、c满足|a+2|+（8﹣c）2＝0．
（1）填空：a＝　﹣2　，b＝　3　，c＝　8　；
（2）若数轴上的点D（不与点A重合）到点B、点C中的某一点的距离是它到另一点距离的两倍，请求出点D表示的数；
（3）若动点P从A点出发沿数轴向左以每秒3个单位长度匀速运动，同时，动点Q和动点R也开始沿数轴运动，其中，动点Q从C点出发向右以每秒2个单位长度匀速运动，动点R从B点出发向右以每秒7个单位长度匀速运动，设运动时间为t．当动点R与Q相遇时，动点R立即调头以每秒8个单位长度匀速运动追赶动点P，当动点R与动点P相遇时又立即调头以每秒7个单位长度匀速运动追赶动点Q，动点R在P、Q间重复以上运动，直至PQ相距70个单位长度时所有动点运动停止．问：是否存在某个时刻，使得PR＝2RQ？若存在，请直接写出答案，若不存在，请说明理由．
【考点】一元一次方程的应用；数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】计算题；作图题；分类讨论；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）﹣2，3，8；
（2）点D表示的数可能为、、13；
（3）t为、或7时，使得PR＝2RQ．
【分析】（1）根据|a+2|+（8﹣c）2＝0，求得a、c，因为B为AC的中点，求得b；
（2）分BD＝2CD、CD＝2BD两种情况讨论；
（3）对点R是追赶P还是追赶Q的情况，分别讨论．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（8﹣c）2＝0，
∴a+2＝0，8﹣c＝0，
∴a＝﹣2，c＝8，
∴数轴上点A、B对应的有理数分别为﹣2、8，
又∵B为AC的中点，
∴b3，
故答案为：﹣2，3，8；
（2）设点D表示的数为x，
①当BD＝2CD时，
|x﹣3|＝2×|x﹣8|，
解得：x＝13或x，
②当CD＝2BD时，
|8﹣x|＝2|x﹣3|，
解得：x＝﹣2或x，
∵点D不与点A重合，
∴点D表示的数可能为、、13；
（3）由题意得，70﹣10＝3t+2t，
解得：t＝12，
∴0＜t≤12，
①
动点Q从C点出发向右以每秒2个单位长度匀速运动，动点R从B点出发向右以每秒7个单位长度匀速运动，当动点R与Q相遇时，动点R立即调头以每秒8个单位长度匀速运动追赶动点P，
∴2t+5＝7t，
解得：t＝1，
当0＜t≤1时，PR＝2RQ，
∴3+7t﹣（﹣2﹣3t）＝2[8+2t﹣（3+7t）]，
解得：t，
即t时，PR＝2RQ，
②t＝1，此时动点R调头追赶动点P，
动点P沿数轴向左以每秒3个单位长度匀速运动，动点R调头以每秒8个单位长度匀速运动追赶动点P，
∴3t+15＝8t，
解得：t＝3，
当1＜t≤4时，PR＝2RQ，
∴10﹣8t﹣（﹣5﹣3t）＝2[10+2t﹣（10﹣8t）]，
解得：t，
即t时，PR＝2RQ，
③t＝4，此时动点R调头追赶动点Q，
动点R与动点P相遇时又立即调头以每秒7个单位长度匀速运动追赶动点Q，
∴2t+30＝7t，
解得：t＝6，
当4＜t≤10时，PR＝2RQ，
∴﹣14+7t﹣（﹣14﹣3t）＝2[16+2t﹣（﹣14+7t）]，
解得：t＝3，
即t＝7时，PR＝2RQ，
④t＝10，此时动点R调头追赶动点P，
动点R与Q相遇时又立即调头以每秒8个单位长度匀速运动追赶动点P，
当10＜t≤12时，PR＝2RQ，
∴28﹣8t﹣（﹣32﹣3t）＝2[28+2t﹣（28﹣8t）]，
解得：t，
1012，不符合题意，
∴t为、或7时，使得PR＝2RQ．
【点评】本题考查了解一元一次方程、实数与数轴，关键是分类讨论．
23．（14分）某城市东西路与南北路交会于路口A，甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A．甲向北，乙向东同时匀速行走，4分钟后二人距A的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等．甲、乙二人的速度各是多少？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】80米/分，60米/分．
【分析】设甲、乙二人的速度分别为x米/分，y米/分，再根据题意列方程组，解方程组即可．
【解答】解：设甲、乙二人的速度分别为x米/分，y米/分，
根据题意列方程组：，
解得：，
答：甲、乙二人的速度分别是80米/分，60米/分．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列二元一次方程组和解二元一次方程组．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
3．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
4．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
5．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
6．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
7．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
8．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
9．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
10．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
11．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
12．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
13．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
14．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
15．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
16．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
17．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
18．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
19．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
20．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
21．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
22．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
23．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
24．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
25．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
26．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
27．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
28．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
29．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
30．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
31．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
32．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
33．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
34．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量．　　③根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
35．百分数的应用
超市卖货中的打折（折扣）问题，如一件上衣400元，现八折（80%）出售．成数问题，如这次小麦收成是上次的二成（20%）．事物配制问题：如水占8伤，药占水的20%等．