2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 335.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 18:49:55 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷1
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）数a的相反数为﹣5，则a的值为（ ）
A．﹣5 B． C． D．5
2．（2分）根据统一核算，2022年光明区地区生产总值（GDP）为1427亿元，同比增长6.5%，数据1427亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.427×109 B．14.27×109
C．1.427×1010 D．1.427×1011
3．（2分）单项式﹣5x3y的系数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．﹣5
4．（2分）当x＝﹣1时，代数式3x﹣1的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．4 D．﹣4
5．（2分）如图，OA，∠AOP＝45°，点B在射线OP上，若△AOB为钝角三角形，则线段OB长满足的条件为（ ）
A．0＜OB＜2 B．OB＞4
C．0＜OB＜2或OB＞4 D．2＜OB＜4
6．（2分）我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八：盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元：每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有x人，则可列方程为（ ）
A．8x+3＝7x+4 B．8x+3＝7x﹣4 C．8x﹣3＝7x+4 D．8x﹣3＝7x﹣4
7．（2分）如图是一个正方体切掉八分之一后的剩余部分，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
8．（2分）时钟现在是3时，再过（ ）分钟，时针、分针第一次重合．
A．5 B．6 C．10 D．16
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．（2分）最小的正整数是 ，绝对值最小的有理数是 ，绝对值等于3的数是 ，绝对值等于本身的数是 ，倒数等于它本身的数是 ．
10．（2分）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为y＝ ．
11．（2分）一个角比它的补角小12°，则这个角的度数为 °．
12．（2分）已知代数式2y﹣3x的值为﹣2，则代数式6y﹣9x+6的值为 ．
13．（2分）如图，从教室门到图书馆，总有少数同学不走边上的路而横穿草坪，这是因为 ，你赞同他们的做法吗？ ；
14．（2分）已知a，b两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简式子|a﹣b|+|a﹣2|﹣|b﹣1|＝ ．
15．（2分）已知AB＝9，点C是直线AB上一点，BC＝2，D是线段AC中点，则BD＝ ．
16．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠EOD，若∠AOC＝40°，则∠FOB＝ °．
17．（2分）一艘轮船从甲地到乙地要5天，而按同样的速度从乙地到甲地要7天，那么有一木排从甲地顺流到乙地要 天．
18．（2分）将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的角中，所有与∠2互余的角是 ．
三．解答题（共9小题，满分64分）
19．（8分）目前个人到银行存款，一年定期的利率为1.98%，三年定期的年利率为2.25%，都要缴纳20%的利息率，李平现有15000元，准备存三年．现有两种存款方式：一是先存一年，到期后把本息和再存一年，第二次、第三次到期后也分别把本息和再存一年；二是一次性存三年．试问：这两种方式存款哪一种合算？请你帮李平决定一下．
20．（5分）化简：
（1）5a2﹣[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）]；
（2）先化简，再求值：2（x3﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x3），其中x＝﹣3，y＝﹣2．
21．（8分）解方程：
（1）3x﹣2＝5x﹣6；
（2）1．
22．（5分）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为3cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）请画出从正面看和从左面看这个几何体的形状图；
（2）求这个几何体的表面积（含底面）；
（3）如果现在你还有一些棱长都为3cm的小正方体，要求保持从上面看和从左面看这个几何体的形状图都不变，最多可以再添加 个小正方体．
23．（6分）某旅行社推出两种优惠售票方案以吸引游客．方案A：无论大人小孩一律八折优惠：方案B：无论大人小孩一律七折售票．每张票另加收10元手续费．现为游客提供两处景点：甲地票价每张100元．乙地票价每张200元．假如你们有几个同学要去甲地旅游．你们会选择哪一种购票方式？如果要去乙地旅游呢？在什么情况下选择方案A合算？
24．（8分）如图，已知线段a、b（a＞b），按要求用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）求作线段c，使c＝a﹣b．
25．（8分）探索新知：
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
（1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝ ．（用含α的代数式表示出所有可能的结果）
深入研究：
如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．
（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”．
26．（8分）星期天早晨，小明从家出发跑步锻炼身体，他沿一条直路跑到与家相距1600m的公园．小明出发的同时，他的爸爸以64m/min的速度从公园出发沿同一条道路散步回家．小明在公园休息2min后沿原路以原速跑回．设他们出发后经过x min时，小明与家之间的距离为y1m，小明爸爸与家之间的距离为y2m，图中折线OABD、线段EF分别表示y1、y2 与x之间的函数关系的图象．
（1）求y2与x之间的函数关系式；
（2）小明从公园开始返回到爸爸回家之前，x为何值时，两人相遇？
27．（8分）受连日暴雨影响，某地甲乙两个村庄突发泥石流灾害，急需从市中心东．西两个储备仓库调运救灾物资．已知这两个储备仓库均有救灾物资15吨，其中A村需要18吨，B村需要12吨．从东仓库运往A、B两村的运费分别为60元/吨和20元/吨，从西仓库运往A、B两村的运费分别为40元/吨和30元/吨．
（1）设从东仓调运x吨救灾物资去A村，完成下列表格：
运往A村的物资/吨 运往B村的物资/吨
东仓库 x
西仓库
（2）调运结束之后，结算运费时发现，支付给东西两个仓库的运费相差220元，求x的值．
2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）数a的相反数为﹣5，则a的值为（ ）
A．﹣5 B． C． D．5
【考点】相反数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：数a的相反数为﹣5，则a的值为5．
故选：D．
【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数 定义．
2．（2分）根据统一核算，2022年光明区地区生产总值（GDP）为1427亿元，同比增长6.5%，数据1427亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.427×109 B．14.27×109
C．1.427×1010 D．1.427×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：1427亿＝142700000000＝1.427×1011．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）单项式﹣5x3y的系数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．﹣5
【考点】单项式．
【专题】整式；数感．
【答案】D
【分析】根据单项式系数的定义进行解答即可．
【解答】解：单项式﹣5x3y的系数是﹣5，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数是解答此题的关键．
4．（2分）当x＝﹣1时，代数式3x﹣1的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】代数式求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】直接把x＝﹣1代入3x﹣1进行计算，即可得到答案．
【解答】解：由题意，当x＝﹣1时，
3x﹣1＝3×（﹣1）﹣1＝﹣4；
故选：D．
【点评】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则进计算．
5．（2分）如图，OA，∠AOP＝45°，点B在射线OP上，若△AOB为钝角三角形，则线段OB长满足的条件为（ ）
A．0＜OB＜2 B．OB＞4
C．0＜OB＜2或OB＞4 D．2＜OB＜4
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】过点A作AH⊥OP于点G，过点A作AH⊥OA交PO于点H，根据勾股定理分别求出OG和OH的长，再根据点B在射线OP上，△AOB为钝角三角形，即可确定OB的取值范围．
【解答】解：过点A作AH⊥OP于点G，过点A作AH⊥OA交PO于点H，如图所示：
∵OA，∠AOP＝45°，
∴∠OAG＝45°，∠AHO＝45°，
∴OG＝AG，AH＝OA，
设OG为x，则AG＝x，
在Rt△AGO中，根据勾股定理，得，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去），
在Rt△OAH中，根据勾股定理，得OH4，
∵点B在射线OP上，△AOB为钝角三角形，
∴OB的取值范围是0＜OB＜2或OB＞4，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短，钝角三角形，勾股定理等，熟练找出满足条件的OB的边界是解题的关键．
6．（2分）我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八：盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元：每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有x人，则可列方程为（ ）
A．8x+3＝7x+4 B．8x+3＝7x﹣4 C．8x﹣3＝7x+4 D．8x﹣3＝7x﹣4
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据物品的价值不变，结合“每人出8元，还盈余3元：每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得8x﹣3＝7x+4．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2分）如图是一个正方体切掉八分之一后的剩余部分，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图；截一个几何体．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一个大正方形，大正方形的左下角有一个小正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
8．（2分）时钟现在是3时，再过（ ）分钟，时针、分针第一次重合．
A．5 B．6 C．10 D．16
【考点】一元一次方程的应用；钟面角．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据时钟每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，时钟上一大格是30°，然后再根据从3点开始，时针、分针第一次重合时，分针比时针多走了90°，列出方程进行计算，即可解答．
【解答】解：设从3点开始，再经过x分钟，时针、分针第一次重合，
由题意得：6x﹣0.5x＝30×3，
5.5x＝90，
x＝16，
∴从3点开始，再经过6分钟，时针、分针第一次重合，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角，根据题意列出方程是解题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．（2分）最小的正整数是 1 ，绝对值最小的有理数是 0 ，绝对值等于3的数是 ±3 ，绝对值等于本身的数是 正数或零 ，倒数等于它本身的数是 ±1 ．
【考点】有理数；绝对值；倒数．
【专题】实数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据绝对值的性质以及有理数的性质分别填空即可．
【解答】解：最小的正整数是1；
绝对值最小的有理数是0；
绝对值等于3的数是±3；
绝对值等于本身的数是正数或零．
倒数等于它本身的数是±1．
故答案为：1；0；±3；正数或零；±1．
【点评】本题考查了绝对值的性质，有理数的性质，是基础题，需熟记．
10．（2分）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为y＝ 2 ．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3得出关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝3，再求出y即可．
【解答】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，
∴关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝3，
解得：y＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出y+1＝3是解此题的关键．
11．（2分）一个角比它的补角小12°，则这个角的度数为 84 °．
【考点】余角和补角．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】可以设这个角为α，利用补角的定义列等式，求出这个角的度数．
【解答】解：设这个角为α，则它的补角为α+12，
α+α+12＝180，
α＝84，
∴这个角的度数为84°．
故答案为：84．
【点评】本题考查了补角的定义，解题的关键是掌握补角的定义和角度的换算．
12．（2分）已知代数式2y﹣3x的值为﹣2，则代数式6y﹣9x+6的值为 0 ．
【考点】代数式求值．
【专题】整体思想；整式；运算能力．
【答案】0．
【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵代数式2y﹣3x的值为﹣2，
∴2y﹣3x＝﹣2，
∴原式＝3（2y﹣3x）+6
＝3×（﹣2）+6
＝﹣6+6
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
13．（2分）如图，从教室门到图书馆，总有少数同学不走边上的路而横穿草坪，这是因为 两点之间，线段最短 ，你赞同他们的做法吗？ 不赞同 ；
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】两点之间，线段最短，不赞同．
【分析】根据线段的性质即可得到结论．
【解答】解：从教室门到图书馆，总有少数同学不走边上的路而横穿草坪，这是因为两点之间，线段最短，不赞同他们的做法，
故答案为：两点之间，线段最短，不赞同．
【点评】本题考查了线段的性质﹣两点之间，线段最短，熟练掌握线段的性质是解题的关键．
14．（2分）已知a，b两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简式子|a﹣b|+|a﹣2|﹣|b﹣1|＝ 1 ．
【考点】数轴；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据a，b两数在数轴上对应的点的位置可得：b＜﹣1＜1＜a＜2，然后进行绝对值的化简，最后去括号合并求解．
【解答】解：由图可得：b＜﹣1＜1＜a＜2，
则有：|a﹣b|+|a﹣2|﹣|b﹣1|
＝a﹣b+2﹣a﹣1+b
＝2﹣1
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是根据a、b在数轴上的位置进行绝对值的化简．
15．（2分）已知AB＝9，点C是直线AB上一点，BC＝2，D是线段AC中点，则BD＝ 3.5或5.5 ．
【考点】两点间的距离．
【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】3.5或5.5．
【分析】分两种情况：当点C在点B的右侧时；当点C在点B的左侧时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当点C在点B的右侧时，如图1：
∵AB＝9，BC＝2，
∴AC＝AB+BC＝9+2＝11，
∵点D为的AC中点，
∴ADAC＝5.5，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣5.5＝3.5；
当点C在点B的左侧时，如图2：
∵AB＝9，BC＝2，
∴AC＝AB﹣BC＝9﹣2＝7，
∵点D为的AC中点，
∴ADAC＝3.5，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣3.5＝5.5；
综上所述：BD的长为3.5或5.5．
故答案为：3.5或5.5．
【点评】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键．
16．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠EOD，若∠AOC＝40°，则∠FOB＝ 65 °．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】65．
【分析】先根据对顶角性质得∠BOD＝∠AOC＝40°，再根据OE⊥AB得∠EOD＝∠EOB﹣∠BOD＝50°，然后根据角平分线定义得∠FOD∠EOD＝25°，据此根据∠FOB＝∠FOD+∠BOD可得出答案．
【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∴∠EOD＝∠EOB﹣∠BOD＝90°﹣40°＝50°，
∵OF平分∠EOD，
∴∠FOD∠EOD50°＝25°，
∴∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝25°+40°＝65°．
故答案为：65．
【点评】此题主要考查了垂直定义，角平分线定义，对顶角性质，角的计算，理解垂直定义，角平分线定义，熟练掌握对顶角性质，角的计算是解决问题的关键．
17．（2分）一艘轮船从甲地到乙地要5天，而按同样的速度从乙地到甲地要7天，那么有一木排从甲地顺流到乙地要 35 天．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】35．
【分析】顺水行船的速度＝静水船速+水流速度，逆水行船的速度＝静水船速﹣水流速度．本题中从甲地到乙地是顺水，所以木排从甲地到乙地的速度就是水流速度，把甲乙两地之间的距离看作单位“1”，设从甲地顺流到乙地要x天，然后列方程求解即可．
【解答】解：设木排从甲地顺流到乙地要x天，
∵静水船速＝顺水行船的速度﹣水流速度＝逆水行船的速度+水流速度，
∴，
解得x＝35，
所以木排从甲地顺流到乙地要35天．
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，掌握顺水行船的速度、逆水行船的速度、静水船速、水流速度之间的关系是解答本题的关键．
18．（2分）将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的角中，所有与∠2互余的角是 ∠4，∠5，∠6 ．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】∠4，∠5，∠6．
【分析】根据直尺与三角尺的性质、互为余角的定义解答即可．
【解答】解：∵∠3+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠3，
∴∠2+∠4＝90°，
∵∠4＝∠5，
∴∠2+∠5＝90°，
∵直尺的对边平行，
∴∠4＝∠6，
∴∠2+∠6＝90°，
∴与∠2互余的角是∠4，∠5，∠6，
故答案为：∠4，∠5，∠6．
【点评】本题考查了互为余角的定义，熟知如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等．
三．解答题（共9小题，满分64分）
19．（8分）目前个人到银行存款，一年定期的利率为1.98%，三年定期的年利率为2.25%，都要缴纳20%的利息率，李平现有15000元，准备存三年．现有两种存款方式：一是先存一年，到期后把本息和再存一年，第二次、第三次到期后也分别把本息和再存一年；二是一次性存三年．试问：这两种方式存款哪一种合算？请你帮李平决定一下．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力；应用意识．
【答案】一次性存三年合算．
【分析】分别求出两种存款方式所得的钱数，再比较大小即可求解．
【解答】解：①15000×[1+1.98%×（1﹣20%）]3
＝15000×（1+0.01584）3
＝15000×1.015843
≈15724.15（元），
②15000×[1+2.25%×（1﹣20%）×3]
＝15000×（1+2.25%×80%×3）
＝15000×（1+0.054）
＝15000×1.054
＝15810（元），
∵15810＞15724.15，
∴一次性存三年合算．
【点评】本题考查了利息问题，关键是熟悉利息＝本金×利率×（1﹣利息率）×时间的知识点．
20．（5分）化简：
（1）5a2﹣[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）]；
（2）先化简，再求值：2（x3﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x3），其中x＝﹣3，y＝﹣2．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（1）a2﹣4a；
（2）﹣y2﹣2x+2y，﹣2．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项；
（2）先利用去括号、合并同类项法则化简整式，再代入求值．
【解答】解：（1）5a2﹣[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）]
＝5a2﹣（a2+5a2﹣2a﹣2a2+6a）
＝5a2﹣a2﹣5a2+2a+2a2﹣6a
＝a2﹣4a；
（2）2（x3﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x3）
＝2x3﹣4y2﹣x+2y﹣x+3y2﹣2x3
＝﹣y2﹣2x+2y，
当x＝﹣3，y＝﹣2时，
原式＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣3）+2×（﹣2）
＝﹣4+6﹣4
＝﹣2．
【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则是解决本题的关键．
21．（8分）解方程：
（1）3x﹣2＝5x﹣6；
（2）1．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝2；（2）x．
【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解（1）移项，得：3x﹣5x＝﹣6+2，
合并同类项，得：﹣2x＝﹣4，
系数化为1，得：x＝2．
（2）去分母，得：（2x﹣5）+3（3x+1）＝6，
去括号，得：2x﹣5+9x+3＝6，
移项，得：2x+9x＝6+5﹣3，
合并同类项，得：11x＝8，
系数化为1，得：x．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
22．（5分）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为3cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）请画出从正面看和从左面看这个几何体的形状图；
（2）求这个几何体的表面积（含底面）；
（3）如果现在你还有一些棱长都为3cm的小正方体，要求保持从上面看和从左面看这个几何体的形状图都不变，最多可以再添加 5 个小正方体．
【考点】作图﹣三视图；几何体的表面积；简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）378cm2．
（3）5．
【分析】（1）根据三视图的定义作图即可．
（2）判断出表面正方形的个数，可得答案．
（3）利用俯视图和左视图判断即可．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）这个几何体的表面积为3×3×（7+7+7）×2＝378（cm2）．
（3）要求保持从上面看和从左面看这个几何体的形状图都不变，最多可以再添加2+1+2＝5（个）小正方体．
故答案为：5．
【点评】本题考查作图﹣三视图、简单组合体的三视图、几何体的表面积，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
23．（6分）某旅行社推出两种优惠售票方案以吸引游客．方案A：无论大人小孩一律八折优惠：方案B：无论大人小孩一律七折售票．每张票另加收10元手续费．现为游客提供两处景点：甲地票价每张100元．乙地票价每张200元．假如你们有几个同学要去甲地旅游．你们会选择哪一种购票方式？如果要去乙地旅游呢？在什么情况下选择方案A合算？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】去甲地旅游时，选择方案A与选择方案B一样合算．
【分析】依据题意，设要去旅游的同学有x人，分别表示出方案A、方案B的费用即可得解．
【解答】解：由题意，设去旅游的同学有x人，
当去甲地旅游时，
方案A费用：0.8×100x＝80x；
方案B费用：0.7×100x+10x＝70x+10x＝80x．
∴此时选择方案A与选择方案B一样合算．
当去乙地旅游时，
方案A费用：0.8×200x＝160x；
方案B费用：0.7×200x+10x＝140x+10x＝150x．
∵160＞150，且x＞0，
∴160x＞150x，
∴此时选择方案B合算．
故去甲地旅游时，选择方案A与选择方案B一样合算．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并理解．
24．（8分）如图，已知线段a、b（a＞b），按要求用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）求作线段c，使c＝a﹣b．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；尺规作图；几何直观．
【答案】见解答．
【分析】作射线AM，以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AM于点B，再以点B为圆心，线段b的长为半径画弧，交线段AB于点C，则线段AC即为所求．
【解答】解：如图，线段AC即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图，熟练掌握作一条线段等于已知线段的方法是解答本题的关键．
25．（8分）探索新知：
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
（1）一个角的平分线 是 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝ α或α或α ．（用含α的代数式表示出所有可能的结果）
深入研究：
如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．
（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”．
【考点】角的计算；列代数式；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）是；
（2）α或α或α；
（3）当t为6秒或8秒或12秒时，射线PM是∠QPN的“巧分线”．
【分析】（1）根据定分线定义即可求解；
（2）分3种情况，根据定分线定义即可求解；
（3）分3种情况，根据定分线定义得到方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意，一个角的平分线是这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
故答案为：是．
（2）∵∠MPN＝α，
∴∠MPQα或α或α．
故答案为：α或α或α．
（3）①15t＝6060，
解得t＝6；
②15t＝2×60，
解得t＝8；
③15t＝60+2×60，
解得t＝12．
故当t为6秒或8秒或12秒时，射线PM是∠QPN的“巧分线”．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，新定义问题，解题时要能熟练掌握阅读理解能力及知识的迁移能力是关键．
26．（8分）星期天早晨，小明从家出发跑步锻炼身体，他沿一条直路跑到与家相距1600m的公园．小明出发的同时，他的爸爸以64m/min的速度从公园出发沿同一条道路散步回家．小明在公园休息2min后沿原路以原速跑回．设他们出发后经过x min时，小明与家之间的距离为y1m，小明爸爸与家之间的距离为y2m，图中折线OABD、线段EF分别表示y1、y2 与x之间的函数关系的图象．
（1）求y2与x之间的函数关系式；
（2）小明从公园开始返回到爸爸回家之前，x为何值时，两人相遇？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）y2＝﹣64x+1600；
（2）小明从公园开始返回到爸爸回家之前，x为20时，两人相遇．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明的爸爸用的时间，然后即可得到点E和F的坐标，从而可以求得y2与x之间的函数关系式；
（2）根据图象中的数据，可以计算出小明的速度，然后即可列出关于x的方程，求解即可．
【解答】解：（1）小明的爸爸到家用的时间为：1600÷64＝25（min），
设y2与x之间的函数关系式为y2＝kx+b，
∵点（0，1600），（25，0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即y2与x之间的函数关系式为y2＝﹣64x+1600；
（2）由图象可得，
小明的速度为：1600÷10＝160（m/min），
由题意可得，160（x﹣12）＝64x，
解得x＝20，
即小明从公园开始返回到爸爸回家之前，x为20时，两人相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
27．（8分）受连日暴雨影响，某地甲乙两个村庄突发泥石流灾害，急需从市中心东．西两个储备仓库调运救灾物资．已知这两个储备仓库均有救灾物资15吨，其中A村需要18吨，B村需要12吨．从东仓库运往A、B两村的运费分别为60元/吨和20元/吨，从西仓库运往A、B两村的运费分别为40元/吨和30元/吨．
（1）设从东仓调运x吨救灾物资去A村，完成下列表格：
运往A村的物资/吨 运往B村的物资/吨
东仓库 x 15﹣x
西仓库 18﹣x x﹣3
（2）调运结束之后，结算运费时发现，支付给东西两个仓库的运费相差220元，求x的值．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）15﹣x，18﹣x，x﹣3；
（2）x的值为11．
【分析】（1）根据已知填表即可；
（2）求出东西两个仓库的运费，分两种情况列方程可解得答案．
【解答】解：（1）填表如下：
运往A村的物资/吨 运往B村的物资/吨
东仓库 x 15﹣x
西仓库 18﹣x x﹣3
故答案为：15﹣x，18﹣x，x﹣3；
（2）由题意知：支付给东仓库的运费为：60x+20（15﹣x）＝40x+300，
支付给西仓库的运费为：40（18﹣x）+30（x﹣3）＝630﹣10x，
若40x+300﹣（630﹣10x）＝220，
解得x＝11，
若630﹣10x﹣（40x+300）＝220，
解得：x＝2.2＜3，不符合题意，舍去．
答：x的值为11．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出相关的代数式和方程解决问题．
考点卡片
1．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
6．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
7．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
8．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
9．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
10．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
11．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
12．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
13．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
14．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
15．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
16．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
17．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
18．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
19．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）
20．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
21．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
22．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
23．钟面角
（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°．
（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
（3）钟面上的路程问题
分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
24．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
25．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
26．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
27．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
28．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
29．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
30．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
31．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
32．作图-三视图
（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（4）具体画法及步骤：
①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．
2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷1
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）数a的相反数为﹣5，则a的值为（ ）
A．﹣5 B． C． D．5
2．（2分）根据统一核算，2022年光明区地区生产总值（GDP）为1427亿元，同比增长6.5%，数据1427亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.427×109 B．14.27×109
C．1.427×1010 D．1.427×1011
3．（2分）单项式﹣5x3y的系数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．﹣5
4．（2分）当x＝﹣1时，代数式3x﹣1的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．4 D．﹣4
5．（2分）如图，OA，∠AOP＝45°，点B在射线OP上，若△AOB为钝角三角形，则线段OB长满足的条件为（ ）
A．0＜OB＜2 B．OB＞4
C．0＜OB＜2或OB＞4 D．2＜OB＜4
6．（2分）我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八：盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元：每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有x人，则可列方程为（ ）
A．8x+3＝7x+4 B．8x+3＝7x﹣4 C．8x﹣3＝7x+4 D．8x﹣3＝7x﹣4
7．（2分）如图是一个正方体切掉八分之一后的剩余部分，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
8．（2分）时钟现在是3时，再过（ ）分钟，时针、分针第一次重合．
A．5 B．6 C．10 D．16
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．（2分）最小的正整数是 ，绝对值最小的有理数是 ，绝对值等于3的数是 ，绝对值等于本身的数是 ，倒数等于它本身的数是 ．
10．（2分）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为y＝ ．
11．（2分）一个角比它的补角小12°，则这个角的度数为 °．
12．（2分）已知代数式2y﹣3x的值为﹣2，则代数式6y﹣9x+6的值为 ．
13．（2分）如图，从教室门到图书馆，总有少数同学不走边上的路而横穿草坪，这是因为 ，你赞同他们的做法吗？ ；
14．（2分）已知a，b两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简式子|a﹣b|+|a﹣2|﹣|b﹣1|＝ ．
15．（2分）已知AB＝9，点C是直线AB上一点，BC＝2，D是线段AC中点，则BD＝ ．
16．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠EOD，若∠AOC＝40°，则∠FOB＝ °．
17．（2分）一艘轮船从甲地到乙地要5天，而按同样的速度从乙地到甲地要7天，那么有一木排从甲地顺流到乙地要 天．
18．（2分）将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的角中，所有与∠2互余的角是 ．
三．解答题（共9小题，满分64分）
19．（8分）目前个人到银行存款，一年定期的利率为1.98%，三年定期的年利率为2.25%，都要缴纳20%的利息率，李平现有15000元，准备存三年．现有两种存款方式：一是先存一年，到期后把本息和再存一年，第二次、第三次到期后也分别把本息和再存一年；二是一次性存三年．试问：这两种方式存款哪一种合算？请你帮李平决定一下．
20．（5分）化简：
（1）5a2﹣[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）]；
（2）先化简，再求值：2（x3﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x3），其中x＝﹣3，y＝﹣2．
21．（8分）解方程：
（1）3x﹣2＝5x﹣6；
（2）1．
22．（5分）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为3cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）请画出从正面看和从左面看这个几何体的形状图；
（2）求这个几何体的表面积（含底面）；
（3）如果现在你还有一些棱长都为3cm的小正方体，要求保持从上面看和从左面看这个几何体的形状图都不变，最多可以再添加 个小正方体．
23．（6分）某旅行社推出两种优惠售票方案以吸引游客．方案A：无论大人小孩一律八折优惠：方案B：无论大人小孩一律七折售票．每张票另加收10元手续费．现为游客提供两处景点：甲地票价每张100元．乙地票价每张200元．假如你们有几个同学要去甲地旅游．你们会选择哪一种购票方式？如果要去乙地旅游呢？在什么情况下选择方案A合算？
24．（8分）如图，已知线段a、b（a＞b），按要求用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）求作线段c，使c＝a﹣b．
25．（8分）探索新知：
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
（1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝ ．（用含α的代数式表示出所有可能的结果）
深入研究：
如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．
（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”．
26．（8分）星期天早晨，小明从家出发跑步锻炼身体，他沿一条直路跑到与家相距1600m的公园．小明出发的同时，他的爸爸以64m/min的速度从公园出发沿同一条道路散步回家．小明在公园休息2min后沿原路以原速跑回．设他们出发后经过x min时，小明与家之间的距离为y1m，小明爸爸与家之间的距离为y2m，图中折线OABD、线段EF分别表示y1、y2 与x之间的函数关系的图象．
（1）求y2与x之间的函数关系式；
（2）小明从公园开始返回到爸爸回家之前，x为何值时，两人相遇？
27．（8分）受连日暴雨影响，某地甲乙两个村庄突发泥石流灾害，急需从市中心东．西两个储备仓库调运救灾物资．已知这两个储备仓库均有救灾物资15吨，其中A村需要18吨，B村需要12吨．从东仓库运往A、B两村的运费分别为60元/吨和20元/吨，从西仓库运往A、B两村的运费分别为40元/吨和30元/吨．
（1）设从东仓调运x吨救灾物资去A村，完成下列表格：
运往A村的物资/吨 运往B村的物资/吨
东仓库 x
西仓库
（2）调运结束之后，结算运费时发现，支付给东西两个仓库的运费相差220元，求x的值．
2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）数a的相反数为﹣5，则a的值为（ ）
A．﹣5 B． C． D．5
【考点】相反数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：数a的相反数为﹣5，则a的值为5．
故选：D．
【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数 定义．
2．（2分）根据统一核算，2022年光明区地区生产总值（GDP）为1427亿元，同比增长6.5%，数据1427亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.427×109 B．14.27×109
C．1.427×1010 D．1.427×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：1427亿＝142700000000＝1.427×1011．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）单项式﹣5x3y的系数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．﹣5
【考点】单项式．
【专题】整式；数感．
【答案】D
【分析】根据单项式系数的定义进行解答即可．
【解答】解：单项式﹣5x3y的系数是﹣5，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数是解答此题的关键．
4．（2分）当x＝﹣1时，代数式3x﹣1的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】代数式求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】直接把x＝﹣1代入3x﹣1进行计算，即可得到答案．
【解答】解：由题意，当x＝﹣1时，
3x﹣1＝3×（﹣1）﹣1＝﹣4；
故选：D．
【点评】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则进计算．
5．（2分）如图，OA，∠AOP＝45°，点B在射线OP上，若△AOB为钝角三角形，则线段OB长满足的条件为（ ）
A．0＜OB＜2 B．OB＞4
C．0＜OB＜2或OB＞4 D．2＜OB＜4
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】过点A作AH⊥OP于点G，过点A作AH⊥OA交PO于点H，根据勾股定理分别求出OG和OH的长，再根据点B在射线OP上，△AOB为钝角三角形，即可确定OB的取值范围．
【解答】解：过点A作AH⊥OP于点G，过点A作AH⊥OA交PO于点H，如图所示：
∵OA，∠AOP＝45°，
∴∠OAG＝45°，∠AHO＝45°，
∴OG＝AG，AH＝OA，
设OG为x，则AG＝x，
在Rt△AGO中，根据勾股定理，得，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去），
在Rt△OAH中，根据勾股定理，得OH4，
∵点B在射线OP上，△AOB为钝角三角形，
∴OB的取值范围是0＜OB＜2或OB＞4，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短，钝角三角形，勾股定理等，熟练找出满足条件的OB的边界是解题的关键．
6．（2分）我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八：盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元：每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有x人，则可列方程为（ ）
A．8x+3＝7x+4 B．8x+3＝7x﹣4 C．8x﹣3＝7x+4 D．8x﹣3＝7x﹣4
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据物品的价值不变，结合“每人出8元，还盈余3元：每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得8x﹣3＝7x+4．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2分）如图是一个正方体切掉八分之一后的剩余部分，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图；截一个几何体．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一个大正方形，大正方形的左下角有一个小正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
8．（2分）时钟现在是3时，再过（ ）分钟，时针、分针第一次重合．
A．5 B．6 C．10 D．16
【考点】一元一次方程的应用；钟面角．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据时钟每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，时钟上一大格是30°，然后再根据从3点开始，时针、分针第一次重合时，分针比时针多走了90°，列出方程进行计算，即可解答．
【解答】解：设从3点开始，再经过x分钟，时针、分针第一次重合，
由题意得：6x﹣0.5x＝30×3，
5.5x＝90，
x＝16，
∴从3点开始，再经过6分钟，时针、分针第一次重合，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角，根据题意列出方程是解题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．（2分）最小的正整数是 1 ，绝对值最小的有理数是 0 ，绝对值等于3的数是 ±3 ，绝对值等于本身的数是 正数或零 ，倒数等于它本身的数是 ±1 ．
【考点】有理数；绝对值；倒数．
【专题】实数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据绝对值的性质以及有理数的性质分别填空即可．
【解答】解：最小的正整数是1；
绝对值最小的有理数是0；
绝对值等于3的数是±3；
绝对值等于本身的数是正数或零．
倒数等于它本身的数是±1．
故答案为：1；0；±3；正数或零；±1．
【点评】本题考查了绝对值的性质，有理数的性质，是基础题，需熟记．
10．（2分）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为y＝ 2 ．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3得出关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝3，再求出y即可．
【解答】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，
∴关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝3，
解得：y＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出y+1＝3是解此题的关键．
11．（2分）一个角比它的补角小12°，则这个角的度数为 84 °．
【考点】余角和补角．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】可以设这个角为α，利用补角的定义列等式，求出这个角的度数．
【解答】解：设这个角为α，则它的补角为α+12，
α+α+12＝180，
α＝84，
∴这个角的度数为84°．
故答案为：84．
【点评】本题考查了补角的定义，解题的关键是掌握补角的定义和角度的换算．
12．（2分）已知代数式2y﹣3x的值为﹣2，则代数式6y﹣9x+6的值为 0 ．
【考点】代数式求值．
【专题】整体思想；整式；运算能力．
【答案】0．
【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵代数式2y﹣3x的值为﹣2，
∴2y﹣3x＝﹣2，
∴原式＝3（2y﹣3x）+6
＝3×（﹣2）+6
＝﹣6+6
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
13．（2分）如图，从教室门到图书馆，总有少数同学不走边上的路而横穿草坪，这是因为 两点之间，线段最短 ，你赞同他们的做法吗？ 不赞同 ；
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】两点之间，线段最短，不赞同．
【分析】根据线段的性质即可得到结论．
【解答】解：从教室门到图书馆，总有少数同学不走边上的路而横穿草坪，这是因为两点之间，线段最短，不赞同他们的做法，
故答案为：两点之间，线段最短，不赞同．
【点评】本题考查了线段的性质﹣两点之间，线段最短，熟练掌握线段的性质是解题的关键．
14．（2分）已知a，b两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简式子|a﹣b|+|a﹣2|﹣|b﹣1|＝ 1 ．
【考点】数轴；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据a，b两数在数轴上对应的点的位置可得：b＜﹣1＜1＜a＜2，然后进行绝对值的化简，最后去括号合并求解．
【解答】解：由图可得：b＜﹣1＜1＜a＜2，
则有：|a﹣b|+|a﹣2|﹣|b﹣1|
＝a﹣b+2﹣a﹣1+b
＝2﹣1
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是根据a、b在数轴上的位置进行绝对值的化简．
15．（2分）已知AB＝9，点C是直线AB上一点，BC＝2，D是线段AC中点，则BD＝ 3.5或5.5 ．
【考点】两点间的距离．
【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】3.5或5.5．
【分析】分两种情况：当点C在点B的右侧时；当点C在点B的左侧时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当点C在点B的右侧时，如图1：
∵AB＝9，BC＝2，
∴AC＝AB+BC＝9+2＝11，
∵点D为的AC中点，
∴ADAC＝5.5，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣5.5＝3.5；
当点C在点B的左侧时，如图2：
∵AB＝9，BC＝2，
∴AC＝AB﹣BC＝9﹣2＝7，
∵点D为的AC中点，
∴ADAC＝3.5，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣3.5＝5.5；
综上所述：BD的长为3.5或5.5．
故答案为：3.5或5.5．
【点评】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键．
16．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠EOD，若∠AOC＝40°，则∠FOB＝ 65 °．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】65．
【分析】先根据对顶角性质得∠BOD＝∠AOC＝40°，再根据OE⊥AB得∠EOD＝∠EOB﹣∠BOD＝50°，然后根据角平分线定义得∠FOD∠EOD＝25°，据此根据∠FOB＝∠FOD+∠BOD可得出答案．
【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∴∠EOD＝∠EOB﹣∠BOD＝90°﹣40°＝50°，
∵OF平分∠EOD，
∴∠FOD∠EOD50°＝25°，
∴∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝25°+40°＝65°．
故答案为：65．
【点评】此题主要考查了垂直定义，角平分线定义，对顶角性质，角的计算，理解垂直定义，角平分线定义，熟练掌握对顶角性质，角的计算是解决问题的关键．
17．（2分）一艘轮船从甲地到乙地要5天，而按同样的速度从乙地到甲地要7天，那么有一木排从甲地顺流到乙地要 35 天．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】35．
【分析】顺水行船的速度＝静水船速+水流速度，逆水行船的速度＝静水船速﹣水流速度．本题中从甲地到乙地是顺水，所以木排从甲地到乙地的速度就是水流速度，把甲乙两地之间的距离看作单位“1”，设从甲地顺流到乙地要x天，然后列方程求解即可．
【解答】解：设木排从甲地顺流到乙地要x天，
∵静水船速＝顺水行船的速度﹣水流速度＝逆水行船的速度+水流速度，
∴，
解得x＝35，
所以木排从甲地顺流到乙地要35天．
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，掌握顺水行船的速度、逆水行船的速度、静水船速、水流速度之间的关系是解答本题的关键．
18．（2分）将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的角中，所有与∠2互余的角是 ∠4，∠5，∠6 ．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】∠4，∠5，∠6．
【分析】根据直尺与三角尺的性质、互为余角的定义解答即可．
【解答】解：∵∠3+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠3，
∴∠2+∠4＝90°，
∵∠4＝∠5，
∴∠2+∠5＝90°，
∵直尺的对边平行，
∴∠4＝∠6，
∴∠2+∠6＝90°，
∴与∠2互余的角是∠4，∠5，∠6，
故答案为：∠4，∠5，∠6．
【点评】本题考查了互为余角的定义，熟知如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等．
三．解答题（共9小题，满分64分）
19．（8分）目前个人到银行存款，一年定期的利率为1.98%，三年定期的年利率为2.25%，都要缴纳20%的利息率，李平现有15000元，准备存三年．现有两种存款方式：一是先存一年，到期后把本息和再存一年，第二次、第三次到期后也分别把本息和再存一年；二是一次性存三年．试问：这两种方式存款哪一种合算？请你帮李平决定一下．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力；应用意识．
【答案】一次性存三年合算．
【分析】分别求出两种存款方式所得的钱数，再比较大小即可求解．
【解答】解：①15000×[1+1.98%×（1﹣20%）]3
＝15000×（1+0.01584）3
＝15000×1.015843
≈15724.15（元），
②15000×[1+2.25%×（1﹣20%）×3]
＝15000×（1+2.25%×80%×3）
＝15000×（1+0.054）
＝15000×1.054
＝15810（元），
∵15810＞15724.15，
∴一次性存三年合算．
【点评】本题考查了利息问题，关键是熟悉利息＝本金×利率×（1﹣利息率）×时间的知识点．
20．（5分）化简：
（1）5a2﹣[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）]；
（2）先化简，再求值：2（x3﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x3），其中x＝﹣3，y＝﹣2．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（1）a2﹣4a；
（2）﹣y2﹣2x+2y，﹣2．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项；
（2）先利用去括号、合并同类项法则化简整式，再代入求值．
【解答】解：（1）5a2﹣[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）]
＝5a2﹣（a2+5a2﹣2a﹣2a2+6a）
＝5a2﹣a2﹣5a2+2a+2a2﹣6a
＝a2﹣4a；
（2）2（x3﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x3）
＝2x3﹣4y2﹣x+2y﹣x+3y2﹣2x3
＝﹣y2﹣2x+2y，
当x＝﹣3，y＝﹣2时，
原式＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣3）+2×（﹣2）
＝﹣4+6﹣4
＝﹣2．
【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则是解决本题的关键．
21．（8分）解方程：
（1）3x﹣2＝5x﹣6；
（2）1．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝2；（2）x．
【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解（1）移项，得：3x﹣5x＝﹣6+2，
合并同类项，得：﹣2x＝﹣4，
系数化为1，得：x＝2．
（2）去分母，得：（2x﹣5）+3（3x+1）＝6，
去括号，得：2x﹣5+9x+3＝6，
移项，得：2x+9x＝6+5﹣3，
合并同类项，得：11x＝8，
系数化为1，得：x．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
22．（5分）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为3cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）请画出从正面看和从左面看这个几何体的形状图；
（2）求这个几何体的表面积（含底面）；
（3）如果现在你还有一些棱长都为3cm的小正方体，要求保持从上面看和从左面看这个几何体的形状图都不变，最多可以再添加 5 个小正方体．
【考点】作图﹣三视图；几何体的表面积；简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）378cm2．
（3）5．
【分析】（1）根据三视图的定义作图即可．
（2）判断出表面正方形的个数，可得答案．
（3）利用俯视图和左视图判断即可．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）这个几何体的表面积为3×3×（7+7+7）×2＝378（cm2）．
（3）要求保持从上面看和从左面看这个几何体的形状图都不变，最多可以再添加2+1+2＝5（个）小正方体．
故答案为：5．
【点评】本题考查作图﹣三视图、简单组合体的三视图、几何体的表面积，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
23．（6分）某旅行社推出两种优惠售票方案以吸引游客．方案A：无论大人小孩一律八折优惠：方案B：无论大人小孩一律七折售票．每张票另加收10元手续费．现为游客提供两处景点：甲地票价每张100元．乙地票价每张200元．假如你们有几个同学要去甲地旅游．你们会选择哪一种购票方式？如果要去乙地旅游呢？在什么情况下选择方案A合算？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】去甲地旅游时，选择方案A与选择方案B一样合算．
【分析】依据题意，设要去旅游的同学有x人，分别表示出方案A、方案B的费用即可得解．
【解答】解：由题意，设去旅游的同学有x人，
当去甲地旅游时，
方案A费用：0.8×100x＝80x；
方案B费用：0.7×100x+10x＝70x+10x＝80x．
∴此时选择方案A与选择方案B一样合算．
当去乙地旅游时，
方案A费用：0.8×200x＝160x；
方案B费用：0.7×200x+10x＝140x+10x＝150x．
∵160＞150，且x＞0，
∴160x＞150x，
∴此时选择方案B合算．
故去甲地旅游时，选择方案A与选择方案B一样合算．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并理解．
24．（8分）如图，已知线段a、b（a＞b），按要求用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）求作线段c，使c＝a﹣b．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；尺规作图；几何直观．
【答案】见解答．
【分析】作射线AM，以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AM于点B，再以点B为圆心，线段b的长为半径画弧，交线段AB于点C，则线段AC即为所求．
【解答】解：如图，线段AC即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图，熟练掌握作一条线段等于已知线段的方法是解答本题的关键．
25．（8分）探索新知：
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
（1）一个角的平分线 是 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝ α或α或α ．（用含α的代数式表示出所有可能的结果）
深入研究：
如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．
（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”．
【考点】角的计算；列代数式；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）是；
（2）α或α或α；
（3）当t为6秒或8秒或12秒时，射线PM是∠QPN的“巧分线”．
【分析】（1）根据定分线定义即可求解；
（2）分3种情况，根据定分线定义即可求解；
（3）分3种情况，根据定分线定义得到方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意，一个角的平分线是这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
故答案为：是．
（2）∵∠MPN＝α，
∴∠MPQα或α或α．
故答案为：α或α或α．
（3）①15t＝6060，
解得t＝6；
②15t＝2×60，
解得t＝8；
③15t＝60+2×60，
解得t＝12．
故当t为6秒或8秒或12秒时，射线PM是∠QPN的“巧分线”．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，新定义问题，解题时要能熟练掌握阅读理解能力及知识的迁移能力是关键．
26．（8分）星期天早晨，小明从家出发跑步锻炼身体，他沿一条直路跑到与家相距1600m的公园．小明出发的同时，他的爸爸以64m/min的速度从公园出发沿同一条道路散步回家．小明在公园休息2min后沿原路以原速跑回．设他们出发后经过x min时，小明与家之间的距离为y1m，小明爸爸与家之间的距离为y2m，图中折线OABD、线段EF分别表示y1、y2 与x之间的函数关系的图象．
（1）求y2与x之间的函数关系式；
（2）小明从公园开始返回到爸爸回家之前，x为何值时，两人相遇？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）y2＝﹣64x+1600；
（2）小明从公园开始返回到爸爸回家之前，x为20时，两人相遇．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明的爸爸用的时间，然后即可得到点E和F的坐标，从而可以求得y2与x之间的函数关系式；
（2）根据图象中的数据，可以计算出小明的速度，然后即可列出关于x的方程，求解即可．
【解答】解：（1）小明的爸爸到家用的时间为：1600÷64＝25（min），
设y2与x之间的函数关系式为y2＝kx+b，
∵点（0，1600），（25，0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即y2与x之间的函数关系式为y2＝﹣64x+1600；
（2）由图象可得，
小明的速度为：1600÷10＝160（m/min），
由题意可得，160（x﹣12）＝64x，
解得x＝20，
即小明从公园开始返回到爸爸回家之前，x为20时，两人相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
27．（8分）受连日暴雨影响，某地甲乙两个村庄突发泥石流灾害，急需从市中心东．西两个储备仓库调运救灾物资．已知这两个储备仓库均有救灾物资15吨，其中A村需要18吨，B村需要12吨．从东仓库运往A、B两村的运费分别为60元/吨和20元/吨，从西仓库运往A、B两村的运费分别为40元/吨和30元/吨．
（1）设从东仓调运x吨救灾物资去A村，完成下列表格：
运往A村的物资/吨 运往B村的物资/吨
东仓库 x 15﹣x
西仓库 18﹣x x﹣3
（2）调运结束之后，结算运费时发现，支付给东西两个仓库的运费相差220元，求x的值．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）15﹣x，18﹣x，x﹣3；
（2）x的值为11．
【分析】（1）根据已知填表即可；
（2）求出东西两个仓库的运费，分两种情况列方程可解得答案．
【解答】解：（1）填表如下：
运往A村的物资/吨 运往B村的物资/吨
东仓库 x 15﹣x
西仓库 18﹣x x﹣3
故答案为：15﹣x，18﹣x，x﹣3；
（2）由题意知：支付给东仓库的运费为：60x+20（15﹣x）＝40x+300，
支付给西仓库的运费为：40（18﹣x）+30（x﹣3）＝630﹣10x，
若40x+300﹣（630﹣10x）＝220，
解得x＝11，
若630﹣10x﹣（40x+300）＝220，
解得：x＝2.2＜3，不符合题意，舍去．
答：x的值为11．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出相关的代数式和方程解决问题．
考点卡片
1．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
6．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
7．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
8．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
9．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
10．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
11．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
12．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
13．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
14．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
15．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
16．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
17．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
18．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
19．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）
20．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
21．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
22．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
23．钟面角
（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°．
（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
（3）钟面上的路程问题
分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
24．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
25．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
26．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
27．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
28．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
29．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
30．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
31．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
32．作图-三视图
（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（4）具体画法及步骤：
①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．
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