2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 366.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 18:51:02 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷2
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）在中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2分）在2（x+3）﹣（2y﹣1）中，去括号正确的是（ ）
A．2x+6﹣2y﹣1 B．2x+3﹣2y+1 C．2x+6﹣2y+1 D．2x+3﹣2y﹣1
3．（2分）﹣8的相反数是（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
4．（2分）点P是直线l外一点，PA⊥l，垂足为A，且PA＝4cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于4cm B．等于4cm C．大于4cm D．不确定
5．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．长方体
6．（2分）衢州出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3km都需付8元车费），超过3km以后，每增加1km，加收2.2元（不足1km按1km计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是（ ）
A．11 B．8 C．7 D．5
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）的倒数是 ．
8．（2分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为 ．
9．（2分）比较大小：﹣0.2 ﹣0.02（填“＞”、“＝”或“＜”）．
10．（2分）若两个单项式﹣3x3a﹣2y2与8x7y4+b是同类项（其中xy≠0），则a+b＝ ．
11．（2分）已知x+y＝3，则代数式2x+2y﹣1的值是 ．
12．（2分）一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等，如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15．图2是这种特殊的三角形幻方，x的值为 ．
13．（2分）（1）角的分类：0°＜ ＜90°； ＝90°；90°＜ ＜180°；平角＝ ；周角＝ ；
（2）1度＝ 分；1分＝ 秒
14．（2分）一个角比它的补角小12°，则这个角的度数为 °．
15．（2分）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ＝x，则∠MON用含x的代数式表示为 ．
16．（2分）某人下午6点多外出买东西，看表上的时针和分针的夹角是110°，下午近7点回家时，发现时针和分针的夹角还是110°，则此人外出共用了 min．
三．解答题（共10小题，满分68分）
17．（10分）计算：．
18．（10分）解方程：30﹣2（x+9）＝5（x+9）﹣12．
19．（5分）先化简，再求值：﹣3[b﹣（3a2﹣3ab）]﹣[b+2（4a2﹣4ab）]﹣a2，其中a＝2，b＝﹣1．
20．（4分）如图，是由12个大小相同的小正方体组合成的简单几何体．
（1）请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
（2）若小正方体的棱长为1，求出该几何体的表面积．
21．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）在网格中画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD；
（2）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（3）求四边形ABCD的面积．
22．（5分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若OF⊥OE，OF是否平分∠COB？
23．（8分）这个星期周末，七年级准备组织观看电影《我和我的祖国》，由各班班长负责买票，每班人数都多于50人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：50人以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打8折；
方案二：若打9折，有7人可以免票．
（Ⅰ）2班有61名学生，他该选择哪个方案？
（Ⅱ）一班班长思考一会儿说我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，问你知道一班有几人吗？
24．（8分）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、AD边上，且∠ECF＝∠B＝α（0°＜α＜90°），如图1，α＝60°，∠AEF＝∠ECB，求证：四边形ABCD为菱形．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠BEC与∠AFC存在某种数量关系．”
小强：“通过观察发现，△EFC为等边三角形．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，从而可以将问题解决．”
…
老师：“若“α＝60°，∠AEF＝∠ECB”这两个条件换为“α＝45°，AC⊥EF，EH⊥BC于H，”，其它条件不变，如图2，就可求出的值（用含有m，n的式子表示）．”
（1）求证：△EFC为等边三角形；
（2）求证：四边形ABCD为菱形；
（3）求的值（用含有m，n的式子表示）．
25．（4分）我们规定：如果线段上一点到这条线段最远的一个端点的距离是它到另一个端点距离的两倍，那么这个点就是这条线段上离这个点最近的端点的亲密点．
【知识理解】
如图①，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，此时点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是线段AB上的点B的亲密点．同样，点D就不是AB上的点B的亲密点，而是AB上的点A的亲密点．
【知识运用】
如图②，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．
（1）数 所表示的点是线段MN上点M的亲密点，数 所表示的点是线段MN上点N的亲密点；
（2）若点M是线段PN上点P的亲密点，则点P所表示的数是 ；
（3）现有一只电子蚂蚁Q从点N出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t．当t为何值时，Q、M、N中恰有一个点为其余两点所在线段上的一个端点的亲密点？
26．（8分）如图所示，O为一个模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA运动速度为每秒30°，OB运动速度为每秒10°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒，试解决下列问题：
（1）如图1，若OA顺时针转动，OB逆时针转动，t＝ 秒时，OA与OB第一次重合；
（2）如图2，若OA、OB同时顺时针转动，
①当t＝3秒时，∠AOB＝ °；
②当t为何值时，三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线？
2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）在中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：﹣0.101101110111是有限小数，属于有理数；
2，0是整数，属于有理数；
故在中，无理数有，，共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2分）在2（x+3）﹣（2y﹣1）中，去括号正确的是（ ）
A．2x+6﹣2y﹣1 B．2x+3﹣2y+1 C．2x+6﹣2y+1 D．2x+3﹣2y﹣1
【考点】去括号与添括号．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据去括号法则进行计算即可．
【解答】解：原式去括号得，2x+6﹣2y+1，
故选：C．
【点评】本题考查去括号，掌握去括号法则是正确解答的前提．
3．（2分）﹣8的相反数是（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
【考点】相反数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣8的相反数是8．
故选：A．
【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
4．（2分）点P是直线l外一点，PA⊥l，垂足为A，且PA＝4cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于4cm B．等于4cm C．大于4cm D．不确定
【考点】点到直线的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．
【解答】解：∵点P是直线l外一点，PA⊥l，垂足为A，且PA＝4cm，
∴点P到直线l的距离是PA的长度，即PA等于4cm．
故选：B．
【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度．
5．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．长方体
【考点】几何体的展开图．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】B
【分析】由圆锥的展开图特点得出即可．
【解答】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥．
故选：B．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握圆锥的展开图特点是关键．
6．（2分）衢州出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3km都需付8元车费），超过3km以后，每增加1km，加收2.2元（不足1km按1km计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是（ ）
A．11 B．8 C．7 D．5
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据等量关系，即（经过的路程﹣3）×2.2+起步价8元＝19．列出方程求解．
【解答】解：可设此人从甲地到乙地经过的路程为xkm，
根据题意可知：（x﹣3）×2.2+8＝19，
解得：x＝8．
即此人从甲地到乙地经过的路程最多为8km．
故选：B．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找到等量关系是解决问题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）的倒数是 12 ．
【考点】倒数．
【专题】实数；数感．
【答案】12．
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：的倒数是12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
8．（2分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为 1.76×108 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】1.76×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：176000000＝1.76×108．
故答案为：1.76×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（2分）比较大小：﹣0.2 ＜ ﹣0.02（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【考点】有理数大小比较．
【专题】实数；推理能力．
【答案】＜．
【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：|﹣0.2|＝0.2，|﹣0.02|＝0.02，
∵0.2＞0.02，
∴﹣0.2＜﹣0.02．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
10．（2分）若两个单项式﹣3x3a﹣2y2与8x7y4+b是同类项（其中xy≠0），则a+b＝ 1 ．
【考点】同类项；单项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】1．
【分析】利用同类项的定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则a+b＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2分）已知x+y＝3，则代数式2x+2y﹣1的值是 5 ．
【考点】代数式求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】5．
【分析】原式变形为2（x+y）﹣1，然后把x+y＝3整体代入计算即可．
【解答】解：2x+2y﹣1＝2（x+y）﹣1，
当x+y＝3时，原式＝2×3﹣1＝6﹣1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了代数式求值：把代数式变形，然后利用整体代入的方法进行计算．
12．（2分）一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等，如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15．图2是这种特殊的三角形幻方，x的值为 ﹣10 ．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】﹣10．
【分析】先根据每个三角形三个顶点处的数之和相等求出A、B，即可得到答案．
【解答】解：如图：
由图可知，每个三角形三个顶点处数的和是m+n﹣4，
∴m+n﹣4＝A+m+2，
∴A＝n﹣6，
∵B＝（m+n﹣4）﹣（A﹣4）＝m+n﹣4﹣（n﹣6﹣4）＝m+6，
∴x＝（m+n﹣4）﹣（B+n）＝（m+n﹣4）﹣（m+6+n）＝﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查整式加减的应用，解题的关键是利用每个三角形三个顶点处的数之和相等解决问题．
13．（2分）（1）角的分类：0°＜ 锐角 ＜90°； 直角 ＝90°；90°＜ 钝角 ＜180°；平角＝ 180° ；周角＝ 360° ；
（2）1度＝ 60 分；1分＝ 60 秒
【考点】度分秒的换算；数学常识；角的概念．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角的概念和分类．度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
【解答】解：（1）角的分类：0°＜锐角＜90°；直角＝90°；90°＜钝角＜180°；平角＝180°；周角＝360°；
故答案为：锐角，直角，钝角，180°，360°；
（2）1度＝60分；1分＝60秒．
故答案为：60，60．
【点评】考查了角的概念和分类，度分秒的换算．具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
14．（2分）一个角比它的补角小12°，则这个角的度数为 84 °．
【考点】余角和补角．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】可以设这个角为α，利用补角的定义列等式，求出这个角的度数．
【解答】解：设这个角为α，则它的补角为α+12，
α+α+12＝180，
α＝84，
∴这个角的度数为84°．
故答案为：84．
【点评】本题考查了补角的定义，解题的关键是掌握补角的定义和角度的换算．
15．（2分）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ＝x，则∠MON用含x的代数式表示为 或或9x ．
【考点】角的计算；列代数式；角的概念．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】或或9x．
【分析】分三角情况讨论，因为射线OP是∠MON的三等分线，则OP把∠MON分成1：2的两部分，推出∠MON＝3∠MOP或，又因为射线OQ是∠MOP的三等分线，则OQ把∠MOP分成1：2的两部分，得出∠MOP＝3∠MOQ或，因为∠MOQ＝x，则∠MOP＝3∠MOQ＝3x或．
【解答】解：如图，
∵射线OP是∠MON的三等分线，
∴OP把∠MON分成1：2的两部分，
∴∠MON＝3∠MOP或，
∵射线OQ是∠MOP的三等分线，
∴OQ把∠MOP分成1：2的两部分，
∴∠MOP＝3∠MOQ或，
∵∠MOQ＝x，
∴∠MOP＝3∠MOQ＝3x或，
当∠MOP＝3x时，∠MON＝3∠MOP＝9x或，
当时，或，
故答案为：或或9x．
【点评】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论．
16．（2分）某人下午6点多外出买东西，看表上的时针和分针的夹角是110°，下午近7点回家时，发现时针和分针的夹角还是110°，则此人外出共用了 40 min．
【考点】一元一次方程的应用；钟面角．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】40．
【分析】由钟表的特点可知时针走了0.5x度，分针走了6x度，而它们的差值即为钟面角的2倍，进而列出关于x的方程，求解即可．
【解答】解：设此人外出买东西的时间是x分钟，则在x分钟内，分针走了6x度，而时针仅走了0.5x度，
由题意，6x﹣0.5x＝110×2，
解得x＝40．
故此人外出共用了40分钟．
故答案为：40．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
三．解答题（共10小题，满分68分）
17．（10分）计算：．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】5．
【分析】先算乘方，再算乘法，然后算括号内的加减法，最后算括号外的减法即可．
【解答】解：
＝5[3（）×3﹣3]
＝5（33）
＝5
＝5．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（10分）解方程：30﹣2（x+9）＝5（x+9）﹣12．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣3．
【分析】按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【解答】解：30﹣2（x+9）＝5（x+9）﹣12，
30﹣2x﹣18＝5x+45﹣12，
﹣2x﹣5x＝45﹣12+18﹣30，
﹣7x＝21，
x＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
19．（5分）先化简，再求值：﹣3[b﹣（3a2﹣3ab）]﹣[b+2（4a2﹣4ab）]﹣a2，其中a＝2，b＝﹣1．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】﹣4b﹣ab，6．
【分析】利用整式的混合运算化简整式，再代入数据求值．
【解答】解：﹣3[b﹣（3a2﹣3ab）]﹣[b+2（4a2﹣4ab）]﹣a2
＝﹣3（b﹣3a2+3ab）﹣（b+8a2﹣8ab）﹣a2
＝﹣3b+9a2﹣9ab﹣b﹣8a2+8ab﹣a2
＝﹣4b﹣ab，
∵a＝2，b＝﹣1，
∴原式＝﹣4×（﹣1）﹣2×（﹣1）＝4+2＝6．
【点评】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算．
20．（4分）如图，是由12个大小相同的小正方体组合成的简单几何体．
（1）请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
（2）若小正方体的棱长为1，求出该几何体的表面积．
【考点】作图﹣三视图；几何体的表面积．
【专题】作图题；投影与视图；几何直观．
【答案】（1）作图见解析；
（2）50．
【分析】（1）由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1，俯视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；据此可画出图形．
（2）根据正方体的表面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）该几何体的表面积＝12×6﹣11×2＝50．
【点评】此题主要考查了三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
21．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）在网格中画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD；
（2）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（3）求四边形ABCD的面积．
【考点】作图—应用与设计作图；平行线的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）结论：△ADC是直角三角形．证明见解析部分；
（3）10．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（3）根据S四边形ABCD＝2S△ADC求解即可．
【解答】解：（1）如图，线段AD，CD即为所求；
（2）结论：△ADC是直角三角形．
理由：∵AC2，CD，AD5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴△ADC是直角三角形；
（3）S四边形ABCD＝2S△ADC＝2210．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（5分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若OF⊥OE，OF是否平分∠COB？
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）36°；
（2）OF平分∠COB．
【分析】（1）根据对顶角相等，角平分线的定义进行计算即可；
（2）根据垂直的定义，邻补角的定义求出∠BOF，∠COF即可．
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE∠BOD，
又∵∠BOD＝∠AOC＝72°，
∴∠BOE∠AOC＝36°；
（2）OF平分∠COB，理由如下：
∵∠AOC＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣72°＝108°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°＝∠BOE+∠BOF，
∵∠BOE＝36°，
∴∠BOF＝90°﹣36°＝54°，
∴∠COF＝108°﹣54°＝54°＝∠BOF，
∴OF平分∠COB．
【点评】本题考查对顶角、邻补角以及垂直的定义，掌握邻补角、对顶角以及垂直的定义是正确解答额关键．
23．（8分）这个星期周末，七年级准备组织观看电影《我和我的祖国》，由各班班长负责买票，每班人数都多于50人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：50人以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打8折；
方案二：若打9折，有7人可以免票．
（Ⅰ）2班有61名学生，他该选择哪个方案？
（Ⅱ）一班班长思考一会儿说我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，问你知道一班有几人吗？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据两种方案分别得出总费用，比较即可得出答案；
（Ⅱ）根据已知得出两种方案费用一样，进而得出等式求出即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵方案一：61×20×0.8＝976（元），
方案二：（61﹣7）×0.9×20＝972（元），
∴选择方案二．
（Ⅱ）假设1班有x人，根据题意得出：
x×20×0.8＝（x﹣7）×0.9×20，
解得：x＝63，
答：1班有63人．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出关于x的等式是解题关键．
24．（8分）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、AD边上，且∠ECF＝∠B＝α（0°＜α＜90°），如图1，α＝60°，∠AEF＝∠ECB，求证：四边形ABCD为菱形．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠BEC与∠AFC存在某种数量关系．”
小强：“通过观察发现，△EFC为等边三角形．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，从而可以将问题解决．”
…
老师：“若“α＝60°，∠AEF＝∠ECB”这两个条件换为“α＝45°，AC⊥EF，EH⊥BC于H，”，其它条件不变，如图2，就可求出的值（用含有m，n的式子表示）．”
（1）求证：△EFC为等边三角形；
（2）求证：四边形ABCD为菱形；
（3）求的值（用含有m，n的式子表示）．
【考点】四边形综合题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力；应用意识．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）．
【分析】（1）由∠B＝60°，∠AEF＝∠ECB，可得∠FEC＝60°，而∠ECF＝60°，即可证△EFC为等边三角形；
（2）连接AC，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，∠B＝60°，推出A，E，C，F四点共圆，根据圆周角定理得到∠AEF＝∠ACF，求得△ABC是等边三角形，得到AB＝BC，于是得到结论；
（3）过C作CM⊥AD于M，过C作CG⊥AB于G，延长HE、DA交于N，设EF交AC于K，证明△BCG∽△DCM，可得，再证△EGC∽△FMC，得，即得，即，而∠ECF＝∠B＝∠D，可得△ACD∽△EFC，即得，证明△NEF∽△MAC，故，设NE＝AN＝mk，则AM＝nk，有AENEmk，CH＝MN＝nk+mk，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵∠B＝60°，
∴∠BEC+∠ECB＝120°，
∵∠AEF＝∠ECB，
∴∠BEC+∠AEF＝120°，
∴∠FEC＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴△EFC为等边三角形；
（2）证明：连接AC，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝60°，
∴∠BAC＝120°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠EAF+∠ECF＝180°，
∴A，E，C，F四点共圆，
∴∠AEF＝∠ACF，
∵∠AEF＝∠BCE，
∴∠ACF＝∠BCE，
∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
即∠ECF＝∠ACB，
∵∠ECF＝60°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）解：过C作CM⊥AD于M，过C作CG⊥AB于G，延长HE、DA交于N，设EF交AC于K，如图：
∵CM⊥AD，CG⊥AB，
∴∠CMD＝∠CGB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∴△BCG∽△DCM，
∴，
∵∠B+∠BAD＝180°，∠ECF＝∠B，
∴∠ECF+∠BAD＝180°，
∴∠AEC+∠AFC＝180°，
∵∠MFC+∠AFC＝180°，
∴∠MFC＝∠AEC，
又∠EGC＝∠FMC＝90°，
∴△EGC∽△FMC，
∴，
∴，
∵BC＝AD，
∴，
∵∠ECF＝∠B＝∠D，
∴△ACD∽△EFC，
∴，
∵AC⊥EF，CM⊥AD，
∴∠AFK＝90°﹣∠KAF＝∠ACM，
∵EH⊥BC，AD∥BC，
∴EH⊥AD，
∴∠N＝90°＝∠AMC，
∴△NEF∽△MAC，
∴，
∵∠B＝45°，
∴∠NAE＝45°，
∴△NAE是等腰直角三角形，
∴NE＝AN，
设NE＝AN＝mk，则AM＝nk，
∴AENEmk，MN＝AM+AN＝nk+mk，
∵∠N＝90°，EH⊥BC，CM⊥AD，
∴四边形CMNH是矩形，
∴CH＝MN＝nk+mk，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的性质，四点共圆，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线，熟练运用相似三角形的判定及性质．
25．（4分）我们规定：如果线段上一点到这条线段最远的一个端点的距离是它到另一个端点距离的两倍，那么这个点就是这条线段上离这个点最近的端点的亲密点．
【知识理解】
如图①，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，此时点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是线段AB上的点B的亲密点．同样，点D就不是AB上的点B的亲密点，而是AB上的点A的亲密点．
【知识运用】
如图②，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．
（1）数 0 所表示的点是线段MN上点M的亲密点，数 2 所表示的点是线段MN上点N的亲密点；
（2）若点M是线段PN上点P的亲密点，则点P所表示的数是 ﹣5 ；
（3）现有一只电子蚂蚁Q从点N出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t．当t为何值时，Q、M、N中恰有一个点为其余两点所在线段上的一个端点的亲密点？
【考点】列代数式；正数和负数；数轴．
【专题】动点型；数形结合；分类讨论；几何直观；运算能力．
【答案】（1）0，2；
（2）﹣5；
（3）1，2，4.5，9．
【分析】（1）由题意得MN＝6，由亲密点定义知线段MN上点M的亲密点在线段MN上切到点M距离为2的点，线段MN上点N的亲密点在线段MN上切到点M距离为2的点；
（2）由MN＝6知若点M是线段PN上点P的亲密点，则MP＝6÷2＝3，则可求出点P所表示的数是﹣5；
（3）当点Q是线段MN上点N的亲密点时，NQ＝2，t＝2÷2＝1；当点Q是线段MN上点M的亲密点时NQ＝4，t＝4÷2＝2；当点M是线段QN上点Q的亲密点时，NQ＝9，t＝9÷2＝4.5；当点M是线段QN上点N的亲密点时，NQ＝18，t＝18÷2＝9．
【解答】解：（1）∵点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，
∴线段MN＝|﹣2﹣4|＝6，
∴线段MN上点M的亲密点在线段MN上，且到点N的距离是到点M的距离的2倍，
∴到点N的距离是4，到点M的距离是2，
即该点表示的数是0，
同理线段MN上点N的亲密点到点M的距离是4，到点2的距离是2，
即该点表示的数是2，
故答案为：2；
（2）若点M是线段PN上点P的亲密点，
则MN＝2MP＝6，
∴MP＝6÷2＝3，
即P所表示的数是﹣2﹣3＝﹣5，
故答案为：﹣5；
（3）当点Q是线段MN上点N的亲密点时，
MQ＝2NQ，
∴NQ＝2，
t＝2÷2＝1；
当点Q是线段MN上点M的亲密点时，
NQ＝2MQ，
∴NQ＝4，
t＝4÷2＝2；
当点M是线段QN上点Q的亲密点时，
MN＝2MQ＝6，
∴MQ＝6÷2＝3，
∴NQ＝6+3＝9，
∴t＝9÷2＝4.5；
当点M是线段QN上点N的亲密点时，
MQ＝2MN＝2×6＝12，
NQ＝6+12＝18，
∴t＝18÷2＝9．
【点评】此题考查了新概念接受能力及动点问题解决能力，关键准确理解新概念内容，并分情况讨论全面解决问题．
26．（8分）如图所示，O为一个模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA运动速度为每秒30°，OB运动速度为每秒10°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒，试解决下列问题：
（1）如图1，若OA顺时针转动，OB逆时针转动，t＝ 4.5 秒时，OA与OB第一次重合；
（2）如图2，若OA、OB同时顺时针转动，
①当t＝3秒时，∠AOB＝ 120 °；
②当t为何值时，三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线？
【考点】一元一次方程的应用；角平分线的定义；角的计算．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设t秒后第一次重合．根据题意，列出方程，解方程即可；
（2）①利用180°减去OA转动的角度，加上OB转动的角度，即可得到答案；
②先用t的代数式表示∠BON和∠AON，然后分为三种情况进行讨论：当ON、OA、OB为角平分线时，分别求出t的值，即可得到答案．
【解答】解：（1）若OA顺时针转动，OB逆时针转动，
∴∠AOM+∠BON＝180°，
∴30t+10t＝180，
解得：t＝4.5；
∴t＝4.5秒，OA与OB第一次重合；
故答案为：4.5；
（2）①若OA、OB同时顺时针转动，
∴∠AOM＝30°×3＝90°，∠BON＝10°×3＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣90°+30°＝120°；
故答案为：120；
②由题意知 0≤t≤12，
∴∠BON＝10t，∠AON＝180﹣30t （0≤t≤6），∠AON＝30t﹣180（6＜t≤12）．
当ON为∠AOB的角平分线时，有
180﹣30t＝10t，
解得：t＝4.5；
当OA为∠BON的角平分线时，
10t＝2（30t﹣180），
解得：t＝7.2；
当OB为∠AON的角平分线时，
30t﹣180＝2×10t，
解得：t＝18（舍去）；
∴经过4.5秒或7.2秒时，射线OA、OB、ON其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会设未知数列方程解决问题，注意利用分类讨论的思想进行解题，属于中考常考题型．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
5．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
6．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
7．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
8．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
9．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
10．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
11．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
12．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
13．去括号与添括号
（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
14．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
15．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
16．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
17．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
18．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）
19．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
20．角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
21．钟面角
（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°．
（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
（3）钟面上的路程问题
分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
22．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
23．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
24．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
25．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
26．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
27．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
28．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
29．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
30．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
31．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
32．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
33．作图-三视图
（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（4）具体画法及步骤：
①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．
2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷2
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）在中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2分）在2（x+3）﹣（2y﹣1）中，去括号正确的是（ ）
A．2x+6﹣2y﹣1 B．2x+3﹣2y+1 C．2x+6﹣2y+1 D．2x+3﹣2y﹣1
3．（2分）﹣8的相反数是（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
4．（2分）点P是直线l外一点，PA⊥l，垂足为A，且PA＝4cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于4cm B．等于4cm C．大于4cm D．不确定
5．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．长方体
6．（2分）衢州出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3km都需付8元车费），超过3km以后，每增加1km，加收2.2元（不足1km按1km计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是（ ）
A．11 B．8 C．7 D．5
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）的倒数是 ．
8．（2分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为 ．
9．（2分）比较大小：﹣0.2 ﹣0.02（填“＞”、“＝”或“＜”）．
10．（2分）若两个单项式﹣3x3a﹣2y2与8x7y4+b是同类项（其中xy≠0），则a+b＝ ．
11．（2分）已知x+y＝3，则代数式2x+2y﹣1的值是 ．
12．（2分）一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等，如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15．图2是这种特殊的三角形幻方，x的值为 ．
13．（2分）（1）角的分类：0°＜ ＜90°； ＝90°；90°＜ ＜180°；平角＝ ；周角＝ ；
（2）1度＝ 分；1分＝ 秒
14．（2分）一个角比它的补角小12°，则这个角的度数为 °．
15．（2分）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ＝x，则∠MON用含x的代数式表示为 ．
16．（2分）某人下午6点多外出买东西，看表上的时针和分针的夹角是110°，下午近7点回家时，发现时针和分针的夹角还是110°，则此人外出共用了 min．
三．解答题（共10小题，满分68分）
17．（10分）计算：．
18．（10分）解方程：30﹣2（x+9）＝5（x+9）﹣12．
19．（5分）先化简，再求值：﹣3[b﹣（3a2﹣3ab）]﹣[b+2（4a2﹣4ab）]﹣a2，其中a＝2，b＝﹣1．
20．（4分）如图，是由12个大小相同的小正方体组合成的简单几何体．
（1）请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
（2）若小正方体的棱长为1，求出该几何体的表面积．
21．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）在网格中画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD；
（2）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（3）求四边形ABCD的面积．
22．（5分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若OF⊥OE，OF是否平分∠COB？
23．（8分）这个星期周末，七年级准备组织观看电影《我和我的祖国》，由各班班长负责买票，每班人数都多于50人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：50人以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打8折；
方案二：若打9折，有7人可以免票．
（Ⅰ）2班有61名学生，他该选择哪个方案？
（Ⅱ）一班班长思考一会儿说我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，问你知道一班有几人吗？
24．（8分）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、AD边上，且∠ECF＝∠B＝α（0°＜α＜90°），如图1，α＝60°，∠AEF＝∠ECB，求证：四边形ABCD为菱形．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠BEC与∠AFC存在某种数量关系．”
小强：“通过观察发现，△EFC为等边三角形．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，从而可以将问题解决．”
…
老师：“若“α＝60°，∠AEF＝∠ECB”这两个条件换为“α＝45°，AC⊥EF，EH⊥BC于H，”，其它条件不变，如图2，就可求出的值（用含有m，n的式子表示）．”
（1）求证：△EFC为等边三角形；
（2）求证：四边形ABCD为菱形；
（3）求的值（用含有m，n的式子表示）．
25．（4分）我们规定：如果线段上一点到这条线段最远的一个端点的距离是它到另一个端点距离的两倍，那么这个点就是这条线段上离这个点最近的端点的亲密点．
【知识理解】
如图①，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，此时点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是线段AB上的点B的亲密点．同样，点D就不是AB上的点B的亲密点，而是AB上的点A的亲密点．
【知识运用】
如图②，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．
（1）数 所表示的点是线段MN上点M的亲密点，数 所表示的点是线段MN上点N的亲密点；
（2）若点M是线段PN上点P的亲密点，则点P所表示的数是 ；
（3）现有一只电子蚂蚁Q从点N出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t．当t为何值时，Q、M、N中恰有一个点为其余两点所在线段上的一个端点的亲密点？
26．（8分）如图所示，O为一个模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA运动速度为每秒30°，OB运动速度为每秒10°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒，试解决下列问题：
（1）如图1，若OA顺时针转动，OB逆时针转动，t＝ 秒时，OA与OB第一次重合；
（2）如图2，若OA、OB同时顺时针转动，
①当t＝3秒时，∠AOB＝ °；
②当t为何值时，三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线？
2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）在中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：﹣0.101101110111是有限小数，属于有理数；
2，0是整数，属于有理数；
故在中，无理数有，，共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2分）在2（x+3）﹣（2y﹣1）中，去括号正确的是（ ）
A．2x+6﹣2y﹣1 B．2x+3﹣2y+1 C．2x+6﹣2y+1 D．2x+3﹣2y﹣1
【考点】去括号与添括号．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据去括号法则进行计算即可．
【解答】解：原式去括号得，2x+6﹣2y+1，
故选：C．
【点评】本题考查去括号，掌握去括号法则是正确解答的前提．
3．（2分）﹣8的相反数是（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
【考点】相反数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣8的相反数是8．
故选：A．
【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
4．（2分）点P是直线l外一点，PA⊥l，垂足为A，且PA＝4cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于4cm B．等于4cm C．大于4cm D．不确定
【考点】点到直线的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．
【解答】解：∵点P是直线l外一点，PA⊥l，垂足为A，且PA＝4cm，
∴点P到直线l的距离是PA的长度，即PA等于4cm．
故选：B．
【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度．
5．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．长方体
【考点】几何体的展开图．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】B
【分析】由圆锥的展开图特点得出即可．
【解答】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥．
故选：B．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握圆锥的展开图特点是关键．
6．（2分）衢州出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3km都需付8元车费），超过3km以后，每增加1km，加收2.2元（不足1km按1km计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是（ ）
A．11 B．8 C．7 D．5
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据等量关系，即（经过的路程﹣3）×2.2+起步价8元＝19．列出方程求解．
【解答】解：可设此人从甲地到乙地经过的路程为xkm，
根据题意可知：（x﹣3）×2.2+8＝19，
解得：x＝8．
即此人从甲地到乙地经过的路程最多为8km．
故选：B．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找到等量关系是解决问题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）的倒数是 12 ．
【考点】倒数．
【专题】实数；数感．
【答案】12．
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：的倒数是12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
8．（2分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为 1.76×108 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】1.76×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：176000000＝1.76×108．
故答案为：1.76×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（2分）比较大小：﹣0.2 ＜ ﹣0.02（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【考点】有理数大小比较．
【专题】实数；推理能力．
【答案】＜．
【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：|﹣0.2|＝0.2，|﹣0.02|＝0.02，
∵0.2＞0.02，
∴﹣0.2＜﹣0.02．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
10．（2分）若两个单项式﹣3x3a﹣2y2与8x7y4+b是同类项（其中xy≠0），则a+b＝ 1 ．
【考点】同类项；单项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】1．
【分析】利用同类项的定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则a+b＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2分）已知x+y＝3，则代数式2x+2y﹣1的值是 5 ．
【考点】代数式求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】5．
【分析】原式变形为2（x+y）﹣1，然后把x+y＝3整体代入计算即可．
【解答】解：2x+2y﹣1＝2（x+y）﹣1，
当x+y＝3时，原式＝2×3﹣1＝6﹣1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了代数式求值：把代数式变形，然后利用整体代入的方法进行计算．
12．（2分）一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等，如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15．图2是这种特殊的三角形幻方，x的值为 ﹣10 ．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】﹣10．
【分析】先根据每个三角形三个顶点处的数之和相等求出A、B，即可得到答案．
【解答】解：如图：
由图可知，每个三角形三个顶点处数的和是m+n﹣4，
∴m+n﹣4＝A+m+2，
∴A＝n﹣6，
∵B＝（m+n﹣4）﹣（A﹣4）＝m+n﹣4﹣（n﹣6﹣4）＝m+6，
∴x＝（m+n﹣4）﹣（B+n）＝（m+n﹣4）﹣（m+6+n）＝﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查整式加减的应用，解题的关键是利用每个三角形三个顶点处的数之和相等解决问题．
13．（2分）（1）角的分类：0°＜ 锐角 ＜90°； 直角 ＝90°；90°＜ 钝角 ＜180°；平角＝ 180° ；周角＝ 360° ；
（2）1度＝ 60 分；1分＝ 60 秒
【考点】度分秒的换算；数学常识；角的概念．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角的概念和分类．度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
【解答】解：（1）角的分类：0°＜锐角＜90°；直角＝90°；90°＜钝角＜180°；平角＝180°；周角＝360°；
故答案为：锐角，直角，钝角，180°，360°；
（2）1度＝60分；1分＝60秒．
故答案为：60，60．
【点评】考查了角的概念和分类，度分秒的换算．具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
14．（2分）一个角比它的补角小12°，则这个角的度数为 84 °．
【考点】余角和补角．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】可以设这个角为α，利用补角的定义列等式，求出这个角的度数．
【解答】解：设这个角为α，则它的补角为α+12，
α+α+12＝180，
α＝84，
∴这个角的度数为84°．
故答案为：84．
【点评】本题考查了补角的定义，解题的关键是掌握补角的定义和角度的换算．
15．（2分）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ＝x，则∠MON用含x的代数式表示为 或或9x ．
【考点】角的计算；列代数式；角的概念．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】或或9x．
【分析】分三角情况讨论，因为射线OP是∠MON的三等分线，则OP把∠MON分成1：2的两部分，推出∠MON＝3∠MOP或，又因为射线OQ是∠MOP的三等分线，则OQ把∠MOP分成1：2的两部分，得出∠MOP＝3∠MOQ或，因为∠MOQ＝x，则∠MOP＝3∠MOQ＝3x或．
【解答】解：如图，
∵射线OP是∠MON的三等分线，
∴OP把∠MON分成1：2的两部分，
∴∠MON＝3∠MOP或，
∵射线OQ是∠MOP的三等分线，
∴OQ把∠MOP分成1：2的两部分，
∴∠MOP＝3∠MOQ或，
∵∠MOQ＝x，
∴∠MOP＝3∠MOQ＝3x或，
当∠MOP＝3x时，∠MON＝3∠MOP＝9x或，
当时，或，
故答案为：或或9x．
【点评】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论．
16．（2分）某人下午6点多外出买东西，看表上的时针和分针的夹角是110°，下午近7点回家时，发现时针和分针的夹角还是110°，则此人外出共用了 40 min．
【考点】一元一次方程的应用；钟面角．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】40．
【分析】由钟表的特点可知时针走了0.5x度，分针走了6x度，而它们的差值即为钟面角的2倍，进而列出关于x的方程，求解即可．
【解答】解：设此人外出买东西的时间是x分钟，则在x分钟内，分针走了6x度，而时针仅走了0.5x度，
由题意，6x﹣0.5x＝110×2，
解得x＝40．
故此人外出共用了40分钟．
故答案为：40．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
三．解答题（共10小题，满分68分）
17．（10分）计算：．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】5．
【分析】先算乘方，再算乘法，然后算括号内的加减法，最后算括号外的减法即可．
【解答】解：
＝5[3（）×3﹣3]
＝5（33）
＝5
＝5．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（10分）解方程：30﹣2（x+9）＝5（x+9）﹣12．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣3．
【分析】按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【解答】解：30﹣2（x+9）＝5（x+9）﹣12，
30﹣2x﹣18＝5x+45﹣12，
﹣2x﹣5x＝45﹣12+18﹣30，
﹣7x＝21，
x＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
19．（5分）先化简，再求值：﹣3[b﹣（3a2﹣3ab）]﹣[b+2（4a2﹣4ab）]﹣a2，其中a＝2，b＝﹣1．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】﹣4b﹣ab，6．
【分析】利用整式的混合运算化简整式，再代入数据求值．
【解答】解：﹣3[b﹣（3a2﹣3ab）]﹣[b+2（4a2﹣4ab）]﹣a2
＝﹣3（b﹣3a2+3ab）﹣（b+8a2﹣8ab）﹣a2
＝﹣3b+9a2﹣9ab﹣b﹣8a2+8ab﹣a2
＝﹣4b﹣ab，
∵a＝2，b＝﹣1，
∴原式＝﹣4×（﹣1）﹣2×（﹣1）＝4+2＝6．
【点评】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算．
20．（4分）如图，是由12个大小相同的小正方体组合成的简单几何体．
（1）请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
（2）若小正方体的棱长为1，求出该几何体的表面积．
【考点】作图﹣三视图；几何体的表面积．
【专题】作图题；投影与视图；几何直观．
【答案】（1）作图见解析；
（2）50．
【分析】（1）由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1，俯视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；据此可画出图形．
（2）根据正方体的表面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）该几何体的表面积＝12×6﹣11×2＝50．
【点评】此题主要考查了三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
21．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）在网格中画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD；
（2）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（3）求四边形ABCD的面积．
【考点】作图—应用与设计作图；平行线的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）结论：△ADC是直角三角形．证明见解析部分；
（3）10．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（3）根据S四边形ABCD＝2S△ADC求解即可．
【解答】解：（1）如图，线段AD，CD即为所求；
（2）结论：△ADC是直角三角形．
理由：∵AC2，CD，AD5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴△ADC是直角三角形；
（3）S四边形ABCD＝2S△ADC＝2210．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（5分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若OF⊥OE，OF是否平分∠COB？
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）36°；
（2）OF平分∠COB．
【分析】（1）根据对顶角相等，角平分线的定义进行计算即可；
（2）根据垂直的定义，邻补角的定义求出∠BOF，∠COF即可．
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE∠BOD，
又∵∠BOD＝∠AOC＝72°，
∴∠BOE∠AOC＝36°；
（2）OF平分∠COB，理由如下：
∵∠AOC＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣72°＝108°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°＝∠BOE+∠BOF，
∵∠BOE＝36°，
∴∠BOF＝90°﹣36°＝54°，
∴∠COF＝108°﹣54°＝54°＝∠BOF，
∴OF平分∠COB．
【点评】本题考查对顶角、邻补角以及垂直的定义，掌握邻补角、对顶角以及垂直的定义是正确解答额关键．
23．（8分）这个星期周末，七年级准备组织观看电影《我和我的祖国》，由各班班长负责买票，每班人数都多于50人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：50人以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打8折；
方案二：若打9折，有7人可以免票．
（Ⅰ）2班有61名学生，他该选择哪个方案？
（Ⅱ）一班班长思考一会儿说我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，问你知道一班有几人吗？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据两种方案分别得出总费用，比较即可得出答案；
（Ⅱ）根据已知得出两种方案费用一样，进而得出等式求出即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵方案一：61×20×0.8＝976（元），
方案二：（61﹣7）×0.9×20＝972（元），
∴选择方案二．
（Ⅱ）假设1班有x人，根据题意得出：
x×20×0.8＝（x﹣7）×0.9×20，
解得：x＝63，
答：1班有63人．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出关于x的等式是解题关键．
24．（8分）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、AD边上，且∠ECF＝∠B＝α（0°＜α＜90°），如图1，α＝60°，∠AEF＝∠ECB，求证：四边形ABCD为菱形．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠BEC与∠AFC存在某种数量关系．”
小强：“通过观察发现，△EFC为等边三角形．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，从而可以将问题解决．”
…
老师：“若“α＝60°，∠AEF＝∠ECB”这两个条件换为“α＝45°，AC⊥EF，EH⊥BC于H，”，其它条件不变，如图2，就可求出的值（用含有m，n的式子表示）．”
（1）求证：△EFC为等边三角形；
（2）求证：四边形ABCD为菱形；
（3）求的值（用含有m，n的式子表示）．
【考点】四边形综合题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力；应用意识．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）．
【分析】（1）由∠B＝60°，∠AEF＝∠ECB，可得∠FEC＝60°，而∠ECF＝60°，即可证△EFC为等边三角形；
（2）连接AC，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，∠B＝60°，推出A，E，C，F四点共圆，根据圆周角定理得到∠AEF＝∠ACF，求得△ABC是等边三角形，得到AB＝BC，于是得到结论；
（3）过C作CM⊥AD于M，过C作CG⊥AB于G，延长HE、DA交于N，设EF交AC于K，证明△BCG∽△DCM，可得，再证△EGC∽△FMC，得，即得，即，而∠ECF＝∠B＝∠D，可得△ACD∽△EFC，即得，证明△NEF∽△MAC，故，设NE＝AN＝mk，则AM＝nk，有AENEmk，CH＝MN＝nk+mk，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵∠B＝60°，
∴∠BEC+∠ECB＝120°，
∵∠AEF＝∠ECB，
∴∠BEC+∠AEF＝120°，
∴∠FEC＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴△EFC为等边三角形；
（2）证明：连接AC，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝60°，
∴∠BAC＝120°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠EAF+∠ECF＝180°，
∴A，E，C，F四点共圆，
∴∠AEF＝∠ACF，
∵∠AEF＝∠BCE，
∴∠ACF＝∠BCE，
∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
即∠ECF＝∠ACB，
∵∠ECF＝60°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）解：过C作CM⊥AD于M，过C作CG⊥AB于G，延长HE、DA交于N，设EF交AC于K，如图：
∵CM⊥AD，CG⊥AB，
∴∠CMD＝∠CGB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∴△BCG∽△DCM，
∴，
∵∠B+∠BAD＝180°，∠ECF＝∠B，
∴∠ECF+∠BAD＝180°，
∴∠AEC+∠AFC＝180°，
∵∠MFC+∠AFC＝180°，
∴∠MFC＝∠AEC，
又∠EGC＝∠FMC＝90°，
∴△EGC∽△FMC，
∴，
∴，
∵BC＝AD，
∴，
∵∠ECF＝∠B＝∠D，
∴△ACD∽△EFC，
∴，
∵AC⊥EF，CM⊥AD，
∴∠AFK＝90°﹣∠KAF＝∠ACM，
∵EH⊥BC，AD∥BC，
∴EH⊥AD，
∴∠N＝90°＝∠AMC，
∴△NEF∽△MAC，
∴，
∵∠B＝45°，
∴∠NAE＝45°，
∴△NAE是等腰直角三角形，
∴NE＝AN，
设NE＝AN＝mk，则AM＝nk，
∴AENEmk，MN＝AM+AN＝nk+mk，
∵∠N＝90°，EH⊥BC，CM⊥AD，
∴四边形CMNH是矩形，
∴CH＝MN＝nk+mk，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的性质，四点共圆，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线，熟练运用相似三角形的判定及性质．
25．（4分）我们规定：如果线段上一点到这条线段最远的一个端点的距离是它到另一个端点距离的两倍，那么这个点就是这条线段上离这个点最近的端点的亲密点．
【知识理解】
如图①，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，此时点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是线段AB上的点B的亲密点．同样，点D就不是AB上的点B的亲密点，而是AB上的点A的亲密点．
【知识运用】
如图②，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．
（1）数 0 所表示的点是线段MN上点M的亲密点，数 2 所表示的点是线段MN上点N的亲密点；
（2）若点M是线段PN上点P的亲密点，则点P所表示的数是 ﹣5 ；
（3）现有一只电子蚂蚁Q从点N出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t．当t为何值时，Q、M、N中恰有一个点为其余两点所在线段上的一个端点的亲密点？
【考点】列代数式；正数和负数；数轴．
【专题】动点型；数形结合；分类讨论；几何直观；运算能力．
【答案】（1）0，2；
（2）﹣5；
（3）1，2，4.5，9．
【分析】（1）由题意得MN＝6，由亲密点定义知线段MN上点M的亲密点在线段MN上切到点M距离为2的点，线段MN上点N的亲密点在线段MN上切到点M距离为2的点；
（2）由MN＝6知若点M是线段PN上点P的亲密点，则MP＝6÷2＝3，则可求出点P所表示的数是﹣5；
（3）当点Q是线段MN上点N的亲密点时，NQ＝2，t＝2÷2＝1；当点Q是线段MN上点M的亲密点时NQ＝4，t＝4÷2＝2；当点M是线段QN上点Q的亲密点时，NQ＝9，t＝9÷2＝4.5；当点M是线段QN上点N的亲密点时，NQ＝18，t＝18÷2＝9．
【解答】解：（1）∵点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，
∴线段MN＝|﹣2﹣4|＝6，
∴线段MN上点M的亲密点在线段MN上，且到点N的距离是到点M的距离的2倍，
∴到点N的距离是4，到点M的距离是2，
即该点表示的数是0，
同理线段MN上点N的亲密点到点M的距离是4，到点2的距离是2，
即该点表示的数是2，
故答案为：2；
（2）若点M是线段PN上点P的亲密点，
则MN＝2MP＝6，
∴MP＝6÷2＝3，
即P所表示的数是﹣2﹣3＝﹣5，
故答案为：﹣5；
（3）当点Q是线段MN上点N的亲密点时，
MQ＝2NQ，
∴NQ＝2，
t＝2÷2＝1；
当点Q是线段MN上点M的亲密点时，
NQ＝2MQ，
∴NQ＝4，
t＝4÷2＝2；
当点M是线段QN上点Q的亲密点时，
MN＝2MQ＝6，
∴MQ＝6÷2＝3，
∴NQ＝6+3＝9，
∴t＝9÷2＝4.5；
当点M是线段QN上点N的亲密点时，
MQ＝2MN＝2×6＝12，
NQ＝6+12＝18，
∴t＝18÷2＝9．
【点评】此题考查了新概念接受能力及动点问题解决能力，关键准确理解新概念内容，并分情况讨论全面解决问题．
26．（8分）如图所示，O为一个模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA运动速度为每秒30°，OB运动速度为每秒10°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒，试解决下列问题：
（1）如图1，若OA顺时针转动，OB逆时针转动，t＝ 4.5 秒时，OA与OB第一次重合；
（2）如图2，若OA、OB同时顺时针转动，
①当t＝3秒时，∠AOB＝ 120 °；
②当t为何值时，三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线？
【考点】一元一次方程的应用；角平分线的定义；角的计算．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设t秒后第一次重合．根据题意，列出方程，解方程即可；
（2）①利用180°减去OA转动的角度，加上OB转动的角度，即可得到答案；
②先用t的代数式表示∠BON和∠AON，然后分为三种情况进行讨论：当ON、OA、OB为角平分线时，分别求出t的值，即可得到答案．
【解答】解：（1）若OA顺时针转动，OB逆时针转动，
∴∠AOM+∠BON＝180°，
∴30t+10t＝180，
解得：t＝4.5；
∴t＝4.5秒，OA与OB第一次重合；
故答案为：4.5；
（2）①若OA、OB同时顺时针转动，
∴∠AOM＝30°×3＝90°，∠BON＝10°×3＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣90°+30°＝120°；
故答案为：120；
②由题意知 0≤t≤12，
∴∠BON＝10t，∠AON＝180﹣30t （0≤t≤6），∠AON＝30t﹣180（6＜t≤12）．
当ON为∠AOB的角平分线时，有
180﹣30t＝10t，
解得：t＝4.5；
当OA为∠BON的角平分线时，
10t＝2（30t﹣180），
解得：t＝7.2；
当OB为∠AON的角平分线时，
30t﹣180＝2×10t，
解得：t＝18（舍去）；
∴经过4.5秒或7.2秒时，射线OA、OB、ON其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会设未知数列方程解决问题，注意利用分类讨论的思想进行解题，属于中考常考题型．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
5．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
6．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
7．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
8．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
9．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
10．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
11．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
12．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
13．去括号与添括号
（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
14．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
15．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
16．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
17．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
18．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）
19．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
20．角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
21．钟面角
（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°．
（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
（3）钟面上的路程问题
分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
22．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
23．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
24．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
25．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
26．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
27．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
28．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
29．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
30．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
31．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
32．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
33．作图-三视图
（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（4）具体画法及步骤：
①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．
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