2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 389.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 18:51:56 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷3
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）的倒数是（ ）
A．1 B． C． D．0
2．（2分）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达19.4%．将销售数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.62×106 B．6.2×106 C．6.2×105 D．62×105
3．（2分）下列计算，结果正确的是（ ）
A．4a2b﹣5ab2＝﹣a2﹣b B．5a2+3a2＝8a4
C．2x+3y＝5xy D．3xy﹣5yx＝﹣2xy
4．（2分）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
5．（2分）如图所示，数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＜0 C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
6．（2分）如图，∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°，互补的角有（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）绝对值为5的负数是 ．
8．（2分）一个角比它的补角小12°，则这个角的度数为 °．
9．（2分）有一系列方程：第1个方程是x3，解为x＝2；第2个方程是5，解为x＝6；第3个方程是7，解为x＝12；……，根据规律，第10个方程是 ，其解为x＝ ；第n个方程是 ．
10．（2分）小光准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为37.7公里，但导航提供的三条可选路线长却分别为45公里，50公里，51公里（如图）．能解释这一现象的数学知识是 ．
11．（2分）将图折成立方体时，与数字2所在的面相对的面上的数字是 ．
12．（2分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．则四边形CDEF面积的最小值是 ．
13．（2分）一元一次不等式3﹣2x＞3x﹣7的解集为 ．
14．（2分）如图，直线EF与CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，若∠AOE＝40°，则∠BOD的度数为 ．
15．（2分）当a、b均不为0时，规定新运算a2*b2，那么*[（﹣5）2*42]＝ ．
16．（2分）第一组：1；
第二组：2、3；
第三组：4、5、6；
第四组：7、8、9、10；
725是第m组第n个，m+n＝ ．
三．解答题（共10小题，满分68分）
17．（8分）计算
（1）|﹣3|﹣（﹣2）﹣（﹣1）2
（2）36÷（﹣9）﹣（﹣12）×（）
18．（8分）解方程：．
19．（5分）已知：A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1．
（1）求4A﹣（3A﹣2B）的值（结果用化简后含a、b的式子表示）；
（2）在（1）的条件下，若b＝1是方程4A﹣（3A﹣2B）＝b﹣2a的解，求a的值；
（3）若A+2B的值与a的取值无关，求b的值．
20．（5分）计算下列各题：
（1）4﹣（﹣2）+（﹣6）；
（2）；
（3）﹣2mn+5mn2﹣3+3mn﹣6n2m+11．
21．（6分）商场销售某种商品，若按原价销售每天可卖50件，“五一”期间，每件商品打九折，结果销售量为60件，且每天销售额比打折前多1000元，求该商品原价为多少元？
22．（6分）如图，方格纸中小正方形的边长均为1，三角形ABC的顶点均为格点．（按要求画图）
（1）过点C画直线l1∥AB；
（2）点P在边AC上，试在图中确定点P的位置，使得BP长度最小．（保留画图痕迹）
23．（6分）如图是由7个相同小正方体组成的几何体，
（1）请在网格中画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）图中共有 个小正方体．
（3）已知每个小正方体的棱长为1cm，则该几何体的表面积为 cm2．
24．（8分）如图，∠AOB＝120°，∠COD∠AOB，射线OE平分∠AOD．
（1）如图1，若∠AOC＝50°，求∠COE的度数；
（2）如图2，OF平分∠BOC，若OD恰好平分∠BOF时，求∠AOE的度数．
25．（7分）综合探究
阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数4与1对应的两点之间的距离为|4﹣1|＝3；
在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；
在数轴上，有理数﹣4与3对应的两点之间的距离为|﹣4﹣3|＝7；
在数轴上，有理数﹣2与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣2﹣（﹣5）|＝3；
…
如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|．
解决问题：（1）数轴上有理数2与﹣3对应的两点之间的距离等于 ；数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为 ；若数轴上有理数x与﹣3对应的两点A，B之间的距离|AB|＝4，则x等于 ；
联系拓广：（2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x．
①若点P在点M，N之间，则|PM|+|PN|＝ ．
②若|PN|＝2|PM|，即点P到点N的距离等于点P到点M距离的2倍，则x等于 ．
能力提升：若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝ ．
③若|x+2|+|x﹣4|＝12，则x等于 ．
26．（9分）如图，O为线段AB上一点，∠COD＝90°，OE为∠COD的角平分线，定义OC与OA重合时为初始位置，将∠COD绕着点O从初始位置开始，以10°/秒的速度顺时针旋转，至OD与OA重合时终止．
（1）当∠COD从初始位置旋转6秒，求此时∠EOB的度数；
（2）当∠COD从初始位置旋转至∠EOB＝120°时，求此时t的值；
（3）当∠COD从初始位置旋转至∠EOB＝m°时，t＝ 秒（用含有m的代数式直接表示）．
2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）的倒数是（ ）
A．1 B． C． D．0
【考点】倒数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：的倒数是．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（2分）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达19.4%．将销售数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.62×106 B．6.2×106 C．6.2×105 D．62×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】数与式；运算能力．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：62万＝620000＝6.2×105．
故选：C．
【点评】本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3．（2分）下列计算，结果正确的是（ ）
A．4a2b﹣5ab2＝﹣a2﹣b B．5a2+3a2＝8a4
C．2x+3y＝5xy D．3xy﹣5yx＝﹣2xy
【考点】合并同类项．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可．
【解答】解：A．4a2b与﹣5ab2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．5a2+3a2＝8a2，故本选项不合题意；
C．2x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D．3xy﹣5yx＝﹣2xy，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
4．（2分）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【考点】点到直线的距离．
【答案】D
【分析】直接利用点到直线的距离的定义分析得出答案．
【解答】解：如图所示：线段AB的长度是点B到AC的距离，
线段CA的长度是点C到AB的距离，
线段AD的长度是点A到BC的距离，
线段BD的长度是点B到AD的距离，
线段CD的长度是点C到AD的距离，
故图中能表示点到直线距离的线段共有5条．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点到直线的距离，正确把握定义是解题关键．
5．（2分）如图所示，数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＜0 C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
【考点】有理数的乘法；数轴；绝对值；有理数的加法；有理数的减法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】利用数轴上的点的几何意义和有理数的运算法则解答即可．
【解答】解：由题意得：a＞0，b＜0，|a|＜|b|，
∴a+b＜0，
∴A选项不符合题意；
∵a＞0，b＜0，|
∴ab＜0，
∴B选项符合题意；
∵b＜0，
∴﹣b＞0，
∵a＞0，
∴a﹣b＞0，
∴C选项不符合题意；
∵|a|＜|b|，
∴|a|﹣|b|＜0，
∴D选项不符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查了数轴上的点的几何意义和有理数的运算法则，绝对值的意义，正确利用数轴上的点的几何意义和有理数的运算法则解答是解题的关键．
6．（2分）如图，∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°，互补的角有（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】根据补角的概念解答即可．
【解答】解：互补的角有：∠AOD与∠BOD，∠AOD与∠COE，∠COE与∠BOD，∠AOC与∠BOC，∠AOE与∠BOE，∠DOE和∠BOC，∠DOC和∠AOE共7对，
故选：C．
【点评】本题考查的是补角的概念，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）绝对值为5的负数是 ﹣5 ．
【考点】正数和负数；绝对值．
【专题】实数；数感．
【答案】﹣5．
【分析】绝对值等于5的数有两个是±5，故绝对值为5的负数是﹣5．
【解答】解：绝对值为5的负数是﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
8．（2分）一个角比它的补角小12°，则这个角的度数为 84 °．
【考点】余角和补角．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】可以设这个角为α，利用补角的定义列等式，求出这个角的度数．
【解答】解：设这个角为α，则它的补角为α+12，
α+α+12＝180，
α＝84，
∴这个角的度数为84°．
故答案为：84．
【点评】本题考查了补角的定义，解题的关键是掌握补角的定义和角度的换算．
9．（2分）有一系列方程：第1个方程是x3，解为x＝2；第2个方程是5，解为x＝6；第3个方程是7，解为x＝12；……，根据规律，第10个方程是 ，其解为x＝ 110 ；第n个方程是 ．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】猜想归纳；一次方程（组）及应用；数感．
【答案】，110；．
【分析】根据特殊到一般的数学思想进行分析．
【解答】解：由题意得，第10个方程为，这个方程的解为x＝110；
第n个方程为．
故答案为：，110；．
【点评】本题主要考查特殊到一般的数学思想，熟练掌握特殊到一般的数学思想是解决本题的关键．
10．（2分）小光准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为37.7公里，但导航提供的三条可选路线长却分别为45公里，50公里，51公里（如图）．能解释这一现象的数学知识是 两点之间线段最短 ．
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】两点之间线段最短．
【分析】根据线段的性质，可得答案．
【解答】解：从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，理由是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
11．（2分）将图折成立方体时，与数字2所在的面相对的面上的数字是 5 ．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】5．
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
【解答】解：由题意得，与数字2所在的面相对的面上的数字是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，相反数，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”以及相反数的定义是正确解答的前提．
12．（2分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．则四边形CDEF面积的最小值是 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】计算题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，由勾股定理得出（2﹣x）2+t2＝x2，证得∠ADM＝∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．
【解答】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，
设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，
∵AE2+AM2＝EM2，
∴（2﹣x）2+t2＝x2，
解得x1，
∴DE1，
∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，
∴EF⊥DM，
∠ADM+∠DEF＝90°，
∵EG⊥AD，
∴∠DEF+∠FEG＝90°，
∴∠ADM＝∠FEG，
∴tan∠ADM，
∴FG，
∵CG＝DE1，
∴CF1，
∴S四边形CDEF（CF+DE）×1t+1（t）2．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．
13．（2分）一元一次不等式3﹣2x＞3x﹣7的解集为 x＜2 ．
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＜2．
【分析】根据不等式的性质求不等式的解集．
【解答】解：3﹣2x＞3x﹣7，
移项，得﹣3x﹣2x＞﹣7﹣3，
合并同类项，得﹣5x＞﹣10，
化系数为1，得x＜2．
故答案为：x＜2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的能力，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2分）如图，直线EF与CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，若∠AOE＝40°，则∠BOD的度数为 20° ．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】20°．
【分析】根据OA⊥OB可知∠AOB＝90°，根据∠AOE＝40°，OC平分∠AOF，∠AOF+∠AOE＝180°，求出∠BOD的大小．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
又∵∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣40°＝140°，
又∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC140°＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了角的计算，垂线、角平分线、邻补角．解题的关键的掌握角的计算方法，涉及垂线、角平分线、邻补角等概念，是一道关于角的综合题．
15．（2分）当a、b均不为0时，规定新运算a2*b2，那么*[（﹣5）2*42]＝ 或或或 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】或或或．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝（）2*（）
＝（±）2*（±）2
原式的值或或或
故答案为：或或或．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．（2分）第一组：1；
第二组：2、3；
第三组：4、5、6；
第四组：7、8、9、10；
725是第m组第n个，m+n＝ 60 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】60．
【分析】根据所给数列的排列方式，找出725所在的组及在该组中的位置即可．
【解答】解：观察数的排列方式可知，
第a组数的个数为a个，且从左往右最后一个数为；
又因为，
所以第37组从左往右最后一个数为703；
又因为703+38＝741＞725，
所以725在第38组，
又因为725﹣703＝22，
所以725在该组的第22个．
则m＝38，n＝22，
所以m+n＝38+22＝60．
故答案为：60．
【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给的数的排列方式得出第a组数的个数及最后一个数的表达式是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分68分）
17．（8分）计算
（1）|﹣3|﹣（﹣2）﹣（﹣1）2
（2）36÷（﹣9）﹣（﹣12）×（）
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算加减运算即可求出值；
（2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝3+2﹣1＝4；
（2）原式＝﹣4﹣6＝﹣10．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）解方程：．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：去分母，可得：6﹣（2x﹣1）＝2（2x+1），
去括号，可得：6﹣2x+1＝4x+2，
移项，可得：﹣2x﹣4x＝2﹣6﹣1，
合并同类项，可得：﹣6x＝﹣5，
系数化为1，可得：x．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
19．（5分）已知：A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1．
（1）求4A﹣（3A﹣2B）的值（结果用化简后含a、b的式子表示）；
（2）在（1）的条件下，若b＝1是方程4A﹣（3A﹣2B）＝b﹣2a的解，求a的值；
（3）若A+2B的值与a的取值无关，求b的值．
【考点】整式的加减—化简求值；二元一次方程的解；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）5ab﹣2a﹣3；（2）；（3）．
【分析】（1）先化简4A﹣（3A﹣2B）＝A+2B，再把A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，代入计算即可；
（2）把（1）的计算结果代入4A﹣（3A﹣2B）＝b﹣2a得5ab﹣2a﹣3＝b﹣2a，再把b＝1代入计算即可；
（3）由（1）得A+2B＝5ab﹣2a﹣3＝（5b﹣2）a﹣3，再根据A+2B的值与a的取值无关，得5b﹣2＝0，求解即可．
【解答】解：（1）4A﹣（3A﹣2B）
＝4A﹣3A+2B
＝A+2B，
∵A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，
∴原式＝（2a2+3ab﹣2a﹣1）+2（﹣a2+ab﹣1）
＝2a2+3ab﹣2a﹣1﹣2a2+2ab﹣2
＝5ab﹣2a﹣3；
（2）∵4A﹣（3A﹣2B）＝b﹣2a
∴5ab﹣2a﹣3＝b﹣2a
∴5ab﹣b﹣3＝0
把b＝1代入5ab﹣b﹣3＝0，得
5a﹣1﹣3＝0
∴；
（3）由（1）得A+2B＝5ab﹣2a﹣3＝（5b﹣2）a﹣3，
∵A+2B的值与a的取值无关，
∴5b﹣2＝0
∴．
【点评】本题考查了整式的加减混合运算，方程的解，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键．
20．（5分）计算下列各题：
（1）4﹣（﹣2）+（﹣6）；
（2）；
（3）﹣2mn+5mn2﹣3+3mn﹣6n2m+11．
【考点】合并同类项；有理数的混合运算．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）0；（2）；（3）mn﹣mn2+8．
【分析】（1）根据有理数的加减法法则计算即可；
（2）先计算乘方和化简绝对值，再计算乘除，后计算减法即可；
（3）根据合并同类项法则计算即可．
【解答】解：（1）4﹣（﹣2）+（﹣6）
＝4+2﹣6
＝0；
（2）
；
（3）﹣2mn+5mn2﹣3+3mn﹣6n2m+11
＝（﹣2mn+3mn）+（5mn2﹣6n2m）+（﹣3+11）
＝（﹣2+3）mn+（5﹣6）mn2+（﹣3+11）
＝mn﹣mn2+8．
【点评】本题考查了有理数的混合运算和合并同类项，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
21．（6分）商场销售某种商品，若按原价销售每天可卖50件，“五一”期间，每件商品打九折，结果销售量为60件，且每天销售额比打折前多1000元，求该商品原价为多少元？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】商品原价为250元．
【分析】设商品原价为x元，根据每天销售额比打折前多1000元得：0.9x×60﹣50x＝1000，即可解得答案．
【解答】解：设商品原价为x元，
根据题意得：0.9x×60﹣50x＝1000，
解得x＝250，
答：商品原价为250元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
22．（6分）如图，方格纸中小正方形的边长均为1，三角形ABC的顶点均为格点．（按要求画图）
（1）过点C画直线l1∥AB；
（2）点P在边AC上，试在图中确定点P的位置，使得BP长度最小．（保留画图痕迹）
【考点】作图—应用与设计作图；垂线段最短；平行线的判定与性质；勾股定理．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【分析】（1）根据横向2×3的对角线是互相平行的；
（2）根据横向1×4对角线和纵向1×4对角线是垂直的．
【解答】解：如图：
（1）直线l1即为所求；
（2）点P即为所求．
【点评】本题考查了作图，掌握网格线的特征是解题的关键．
23．（6分）如图是由7个相同小正方体组成的几何体，
（1）请在网格中画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）图中共有 7 个小正方体．
（3）已知每个小正方体的棱长为1cm，则该几何体的表面积为 28 cm2．
【考点】作图﹣三视图；几何体的表面积．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）7；
（3）28．
【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可．
（2）根据几何体的特征判断即可；
（3）根据表面积的定义求解即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）图中各有7个小正方体，
故答案为：7．
（3）这个组合几何体的表面积为（6×2+4×4）×1＝28（cm）2，
故答案为：28．
【点评】本题考查作图﹣三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
24．（8分）如图，∠AOB＝120°，∠COD∠AOB，射线OE平分∠AOD．
（1）如图1，若∠AOC＝50°，求∠COE的度数；
（2）如图2，OF平分∠BOC，若OD恰好平分∠BOF时，求∠AOE的度数．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）10°；（2）55°．
【分析】（1）根据条件先求出∠COD＝30°，∠AOC＝50°，∠AOD＝80°，再根据角平分线的性质求出∠AOE＝40°，即可求出答案；
（2）由角平分线求出∠BOD＝10°，∠AOD＝110°，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，，
∴∠COD＝30°，
∵∠AOC＝50°，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝80°，
∵OE平分∠AOD，
∴，
∴∠COE＝∠EOD﹣∠COD＝10°．
（2）OF，OD分别平分∠COB和∠BOF，
∴，，
∴∠COD＝∠COF+∠FOD＝3∠BOD，
又∵∠COD＝30°，
∴∠BOD＝10°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝110°．
∵OE平分∠AOD，
∴．
【点评】本题考查了角平分线的定义，掌握角平分线的性质是关键．
25．（7分）综合探究
阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数4与1对应的两点之间的距离为|4﹣1|＝3；
在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；
在数轴上，有理数﹣4与3对应的两点之间的距离为|﹣4﹣3|＝7；
在数轴上，有理数﹣2与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣2﹣（﹣5）|＝3；
…
如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|．
解决问题：（1）数轴上有理数2与﹣3对应的两点之间的距离等于 5 ；数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为 |x+5| ；若数轴上有理数x与﹣3对应的两点A，B之间的距离|AB|＝4，则x等于 ﹣7或1 ；
联系拓广：（2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x．
①若点P在点M，N之间，则|PM|+|PN|＝ 6 ．
②若|PN|＝2|PM|，即点P到点N的距离等于点P到点M距离的2倍，则x等于 2或10 ．
能力提升：若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝ 6 ．
③若|x+2|+|x﹣4|＝12，则x等于 ﹣5或7 ．
【考点】列代数式；数轴；有理数的混合运算．
【专题】数形结合；实数；几何直观．
【答案】（1）5，|x+5|，﹣7或1；（2）①6，②2或﹣10，6，③﹣5或7．
【分析】（1）根据在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，可求得数轴上有理数2与﹣3对应的两点之间的距离等于|2﹣（﹣3）|，数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x﹣（﹣5）|；
（2）由题意得①点P在点M，N之间，则|PM|+|PN|＝|x﹣4|+|x﹣（﹣2）|；②分点P位于线段MN之间和位于线段NM的延长线上两种情况，分别列式为x﹣（﹣2）＝2（4﹣x）和x﹣（﹣2）＝2（x﹣4），即可计算出结果，能力提升同①；③分点P位于点N左侧和点M的右侧两种情况，按照在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|计算即可．
【解答】（1）由题意得，数轴上有理数2与﹣3对应的两点之间的距离等于|2﹣（﹣3）|＝5，
数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x﹣（﹣5）|＝|x+5|；
若数轴上有理数x与﹣3对应的两点A，B之间的距离|AB|＝4，
则|x﹣（﹣3）|＝4，
当x﹣（﹣3）＝4时，解得x＝1，
当x﹣（﹣3）＝﹣4时，解得x＝﹣7，
故答案为：|5，|x+5|，﹣7或1；
（2）①当点P在点M，N之间，则|PM|+|PN|＝x﹣（﹣2）+4﹣x＝6，
②若|PN|＝2|PM|，当点P在线段MN上时，
得x﹣（﹣2）＝2（4﹣x），
解得x＝2，
当点P位于点M右侧时，
得x﹣（﹣2）＝2（x﹣4），
解得x＝10，
若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝x+2+4﹣x＝6，
若|x+2|+|x﹣4|＝12，则点P位于点N左侧或点M的右侧，
当点P位于点N左侧时，
得﹣x﹣2+4﹣x|＝12，
解得x＝﹣5，
当点P位于点M右侧时，
得x+2+x﹣4＝12，
解得x＝7，
故答案为：①6，②2或﹣10，6，③﹣5或7．
【点评】此题考查了利用数轴进行有理数计算的能力，关键是能分情况讨论，利用数轴列出算式并计算．
26．（9分）如图，O为线段AB上一点，∠COD＝90°，OE为∠COD的角平分线，定义OC与OA重合时为初始位置，将∠COD绕着点O从初始位置开始，以10°/秒的速度顺时针旋转，至OD与OA重合时终止．
（1）当∠COD从初始位置旋转6秒，求此时∠EOB的度数；
（2）当∠COD从初始位置旋转至∠EOB＝120°时，求此时t的值；
（3）当∠COD从初始位置旋转至∠EOB＝m°时，t＝ 秒（用含有m的代数式直接表示）．
【考点】一元一次方程的应用；两点间的距离；角平分线的定义；角的计算；列代数式．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）∠EOB＝75°；
（2）t＝1.5秒；
（3）．
【分析】（1）已知OE为∠COD的角平分线，∠COD＝90°，可得∠COE的度数，当∠COD从初始位置旋转6秒，此时∠AOC＝60°，根据∠EOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COE，可得∠EOB的度数；
（2）因为∠EOB＝120°，∠COE＝45°，可得∠AOC的度数，即∠COD的旋转度数，t＝∠COD的旋转度数÷∠COD的运动速度；
（3）因为∠EOB＝m°，∠COE＝45°，可得∠AOC的度数，即∠COD的旋转度数，t＝∠COD的旋转度数÷∠COD的运动速度．
【解答】解：（1）∵OE为∠COD的角平分线，∠COD＝90°，
∴∠COE＝∠EOD＝45°，
当∠COD从初始位置旋转6秒，此时∠AOC＝10°×6＝60°，
∠EOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝75°；
（2）∵∠EOB＝120°，
∴∠AOE＝60°，
∵∠COE＝45°，
∴∠AOC＝15°，
t＝15°÷10°＝1.5（秒）；
（3）∵∠EOB＝m°，
∴∠AOE＝（180﹣m）°，
∵∠COE＝45°，
∴∠AOC＝（135﹣m）°，
t＝（135﹣m）°÷10°（秒），
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线、列代数式，关键是正确计算度数．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
4．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
5．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
6．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
7．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
8．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
9．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
10．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
11．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
12．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
13．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
14．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
15．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
16．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
17．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
18．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
19．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）
20．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
21．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
22．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
23．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
24．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
25．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
26．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
27．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
28．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
29．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
30．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
31．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
32．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
33．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
34．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
35．作图-三视图
（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（4）具体画法及步骤：
①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．
2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷3
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）的倒数是（ ）
A．1 B． C． D．0
2．（2分）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达19.4%．将销售数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.62×106 B．6.2×106 C．6.2×105 D．62×105
3．（2分）下列计算，结果正确的是（ ）
A．4a2b﹣5ab2＝﹣a2﹣b B．5a2+3a2＝8a4
C．2x+3y＝5xy D．3xy﹣5yx＝﹣2xy
4．（2分）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
5．（2分）如图所示，数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＜0 C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
6．（2分）如图，∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°，互补的角有（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）绝对值为5的负数是 ．
8．（2分）一个角比它的补角小12°，则这个角的度数为 °．
9．（2分）有一系列方程：第1个方程是x3，解为x＝2；第2个方程是5，解为x＝6；第3个方程是7，解为x＝12；……，根据规律，第10个方程是 ，其解为x＝ ；第n个方程是 ．
10．（2分）小光准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为37.7公里，但导航提供的三条可选路线长却分别为45公里，50公里，51公里（如图）．能解释这一现象的数学知识是 ．
11．（2分）将图折成立方体时，与数字2所在的面相对的面上的数字是 ．
12．（2分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．则四边形CDEF面积的最小值是 ．
13．（2分）一元一次不等式3﹣2x＞3x﹣7的解集为 ．
14．（2分）如图，直线EF与CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，若∠AOE＝40°，则∠BOD的度数为 ．
15．（2分）当a、b均不为0时，规定新运算a2*b2，那么*[（﹣5）2*42]＝ ．
16．（2分）第一组：1；
第二组：2、3；
第三组：4、5、6；
第四组：7、8、9、10；
725是第m组第n个，m+n＝ ．
三．解答题（共10小题，满分68分）
17．（8分）计算
（1）|﹣3|﹣（﹣2）﹣（﹣1）2
（2）36÷（﹣9）﹣（﹣12）×（）
18．（8分）解方程：．
19．（5分）已知：A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1．
（1）求4A﹣（3A﹣2B）的值（结果用化简后含a、b的式子表示）；
（2）在（1）的条件下，若b＝1是方程4A﹣（3A﹣2B）＝b﹣2a的解，求a的值；
（3）若A+2B的值与a的取值无关，求b的值．
20．（5分）计算下列各题：
（1）4﹣（﹣2）+（﹣6）；
（2）；
（3）﹣2mn+5mn2﹣3+3mn﹣6n2m+11．
21．（6分）商场销售某种商品，若按原价销售每天可卖50件，“五一”期间，每件商品打九折，结果销售量为60件，且每天销售额比打折前多1000元，求该商品原价为多少元？
22．（6分）如图，方格纸中小正方形的边长均为1，三角形ABC的顶点均为格点．（按要求画图）
（1）过点C画直线l1∥AB；
（2）点P在边AC上，试在图中确定点P的位置，使得BP长度最小．（保留画图痕迹）
23．（6分）如图是由7个相同小正方体组成的几何体，
（1）请在网格中画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）图中共有 个小正方体．
（3）已知每个小正方体的棱长为1cm，则该几何体的表面积为 cm2．
24．（8分）如图，∠AOB＝120°，∠COD∠AOB，射线OE平分∠AOD．
（1）如图1，若∠AOC＝50°，求∠COE的度数；
（2）如图2，OF平分∠BOC，若OD恰好平分∠BOF时，求∠AOE的度数．
25．（7分）综合探究
阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数4与1对应的两点之间的距离为|4﹣1|＝3；
在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；
在数轴上，有理数﹣4与3对应的两点之间的距离为|﹣4﹣3|＝7；
在数轴上，有理数﹣2与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣2﹣（﹣5）|＝3；
…
如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|．
解决问题：（1）数轴上有理数2与﹣3对应的两点之间的距离等于 ；数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为 ；若数轴上有理数x与﹣3对应的两点A，B之间的距离|AB|＝4，则x等于 ；
联系拓广：（2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x．
①若点P在点M，N之间，则|PM|+|PN|＝ ．
②若|PN|＝2|PM|，即点P到点N的距离等于点P到点M距离的2倍，则x等于 ．
能力提升：若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝ ．
③若|x+2|+|x﹣4|＝12，则x等于 ．
26．（9分）如图，O为线段AB上一点，∠COD＝90°，OE为∠COD的角平分线，定义OC与OA重合时为初始位置，将∠COD绕着点O从初始位置开始，以10°/秒的速度顺时针旋转，至OD与OA重合时终止．
（1）当∠COD从初始位置旋转6秒，求此时∠EOB的度数；
（2）当∠COD从初始位置旋转至∠EOB＝120°时，求此时t的值；
（3）当∠COD从初始位置旋转至∠EOB＝m°时，t＝ 秒（用含有m的代数式直接表示）．
2024—2025学年上学期南京初中数学七年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）的倒数是（ ）
A．1 B． C． D．0
【考点】倒数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：的倒数是．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（2分）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达19.4%．将销售数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.62×106 B．6.2×106 C．6.2×105 D．62×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】数与式；运算能力．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：62万＝620000＝6.2×105．
故选：C．
【点评】本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3．（2分）下列计算，结果正确的是（ ）
A．4a2b﹣5ab2＝﹣a2﹣b B．5a2+3a2＝8a4
C．2x+3y＝5xy D．3xy﹣5yx＝﹣2xy
【考点】合并同类项．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可．
【解答】解：A．4a2b与﹣5ab2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．5a2+3a2＝8a2，故本选项不合题意；
C．2x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D．3xy﹣5yx＝﹣2xy，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
4．（2分）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【考点】点到直线的距离．
【答案】D
【分析】直接利用点到直线的距离的定义分析得出答案．
【解答】解：如图所示：线段AB的长度是点B到AC的距离，
线段CA的长度是点C到AB的距离，
线段AD的长度是点A到BC的距离，
线段BD的长度是点B到AD的距离，
线段CD的长度是点C到AD的距离，
故图中能表示点到直线距离的线段共有5条．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点到直线的距离，正确把握定义是解题关键．
5．（2分）如图所示，数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＜0 C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
【考点】有理数的乘法；数轴；绝对值；有理数的加法；有理数的减法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】利用数轴上的点的几何意义和有理数的运算法则解答即可．
【解答】解：由题意得：a＞0，b＜0，|a|＜|b|，
∴a+b＜0，
∴A选项不符合题意；
∵a＞0，b＜0，|
∴ab＜0，
∴B选项符合题意；
∵b＜0，
∴﹣b＞0，
∵a＞0，
∴a﹣b＞0，
∴C选项不符合题意；
∵|a|＜|b|，
∴|a|﹣|b|＜0，
∴D选项不符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查了数轴上的点的几何意义和有理数的运算法则，绝对值的意义，正确利用数轴上的点的几何意义和有理数的运算法则解答是解题的关键．
6．（2分）如图，∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°，互补的角有（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】根据补角的概念解答即可．
【解答】解：互补的角有：∠AOD与∠BOD，∠AOD与∠COE，∠COE与∠BOD，∠AOC与∠BOC，∠AOE与∠BOE，∠DOE和∠BOC，∠DOC和∠AOE共7对，
故选：C．
【点评】本题考查的是补角的概念，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）绝对值为5的负数是 ﹣5 ．
【考点】正数和负数；绝对值．
【专题】实数；数感．
【答案】﹣5．
【分析】绝对值等于5的数有两个是±5，故绝对值为5的负数是﹣5．
【解答】解：绝对值为5的负数是﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
8．（2分）一个角比它的补角小12°，则这个角的度数为 84 °．
【考点】余角和补角．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】可以设这个角为α，利用补角的定义列等式，求出这个角的度数．
【解答】解：设这个角为α，则它的补角为α+12，
α+α+12＝180，
α＝84，
∴这个角的度数为84°．
故答案为：84．
【点评】本题考查了补角的定义，解题的关键是掌握补角的定义和角度的换算．
9．（2分）有一系列方程：第1个方程是x3，解为x＝2；第2个方程是5，解为x＝6；第3个方程是7，解为x＝12；……，根据规律，第10个方程是 ，其解为x＝ 110 ；第n个方程是 ．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】猜想归纳；一次方程（组）及应用；数感．
【答案】，110；．
【分析】根据特殊到一般的数学思想进行分析．
【解答】解：由题意得，第10个方程为，这个方程的解为x＝110；
第n个方程为．
故答案为：，110；．
【点评】本题主要考查特殊到一般的数学思想，熟练掌握特殊到一般的数学思想是解决本题的关键．
10．（2分）小光准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为37.7公里，但导航提供的三条可选路线长却分别为45公里，50公里，51公里（如图）．能解释这一现象的数学知识是 两点之间线段最短 ．
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】两点之间线段最短．
【分析】根据线段的性质，可得答案．
【解答】解：从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，理由是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
11．（2分）将图折成立方体时，与数字2所在的面相对的面上的数字是 5 ．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】5．
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
【解答】解：由题意得，与数字2所在的面相对的面上的数字是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，相反数，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”以及相反数的定义是正确解答的前提．
12．（2分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．则四边形CDEF面积的最小值是 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】计算题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，由勾股定理得出（2﹣x）2+t2＝x2，证得∠ADM＝∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．
【解答】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，
设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，
∵AE2+AM2＝EM2，
∴（2﹣x）2+t2＝x2，
解得x1，
∴DE1，
∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，
∴EF⊥DM，
∠ADM+∠DEF＝90°，
∵EG⊥AD，
∴∠DEF+∠FEG＝90°，
∴∠ADM＝∠FEG，
∴tan∠ADM，
∴FG，
∵CG＝DE1，
∴CF1，
∴S四边形CDEF（CF+DE）×1t+1（t）2．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．
13．（2分）一元一次不等式3﹣2x＞3x﹣7的解集为 x＜2 ．
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＜2．
【分析】根据不等式的性质求不等式的解集．
【解答】解：3﹣2x＞3x﹣7，
移项，得﹣3x﹣2x＞﹣7﹣3，
合并同类项，得﹣5x＞﹣10，
化系数为1，得x＜2．
故答案为：x＜2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的能力，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2分）如图，直线EF与CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，若∠AOE＝40°，则∠BOD的度数为 20° ．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】20°．
【分析】根据OA⊥OB可知∠AOB＝90°，根据∠AOE＝40°，OC平分∠AOF，∠AOF+∠AOE＝180°，求出∠BOD的大小．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
又∵∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣40°＝140°，
又∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC140°＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了角的计算，垂线、角平分线、邻补角．解题的关键的掌握角的计算方法，涉及垂线、角平分线、邻补角等概念，是一道关于角的综合题．
15．（2分）当a、b均不为0时，规定新运算a2*b2，那么*[（﹣5）2*42]＝ 或或或 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】或或或．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝（）2*（）
＝（±）2*（±）2
原式的值或或或
故答案为：或或或．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．（2分）第一组：1；
第二组：2、3；
第三组：4、5、6；
第四组：7、8、9、10；
725是第m组第n个，m+n＝ 60 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】60．
【分析】根据所给数列的排列方式，找出725所在的组及在该组中的位置即可．
【解答】解：观察数的排列方式可知，
第a组数的个数为a个，且从左往右最后一个数为；
又因为，
所以第37组从左往右最后一个数为703；
又因为703+38＝741＞725，
所以725在第38组，
又因为725﹣703＝22，
所以725在该组的第22个．
则m＝38，n＝22，
所以m+n＝38+22＝60．
故答案为：60．
【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给的数的排列方式得出第a组数的个数及最后一个数的表达式是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分68分）
17．（8分）计算
（1）|﹣3|﹣（﹣2）﹣（﹣1）2
（2）36÷（﹣9）﹣（﹣12）×（）
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算加减运算即可求出值；
（2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝3+2﹣1＝4；
（2）原式＝﹣4﹣6＝﹣10．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）解方程：．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：去分母，可得：6﹣（2x﹣1）＝2（2x+1），
去括号，可得：6﹣2x+1＝4x+2，
移项，可得：﹣2x﹣4x＝2﹣6﹣1，
合并同类项，可得：﹣6x＝﹣5，
系数化为1，可得：x．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
19．（5分）已知：A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1．
（1）求4A﹣（3A﹣2B）的值（结果用化简后含a、b的式子表示）；
（2）在（1）的条件下，若b＝1是方程4A﹣（3A﹣2B）＝b﹣2a的解，求a的值；
（3）若A+2B的值与a的取值无关，求b的值．
【考点】整式的加减—化简求值；二元一次方程的解；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）5ab﹣2a﹣3；（2）；（3）．
【分析】（1）先化简4A﹣（3A﹣2B）＝A+2B，再把A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，代入计算即可；
（2）把（1）的计算结果代入4A﹣（3A﹣2B）＝b﹣2a得5ab﹣2a﹣3＝b﹣2a，再把b＝1代入计算即可；
（3）由（1）得A+2B＝5ab﹣2a﹣3＝（5b﹣2）a﹣3，再根据A+2B的值与a的取值无关，得5b﹣2＝0，求解即可．
【解答】解：（1）4A﹣（3A﹣2B）
＝4A﹣3A+2B
＝A+2B，
∵A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，
∴原式＝（2a2+3ab﹣2a﹣1）+2（﹣a2+ab﹣1）
＝2a2+3ab﹣2a﹣1﹣2a2+2ab﹣2
＝5ab﹣2a﹣3；
（2）∵4A﹣（3A﹣2B）＝b﹣2a
∴5ab﹣2a﹣3＝b﹣2a
∴5ab﹣b﹣3＝0
把b＝1代入5ab﹣b﹣3＝0，得
5a﹣1﹣3＝0
∴；
（3）由（1）得A+2B＝5ab﹣2a﹣3＝（5b﹣2）a﹣3，
∵A+2B的值与a的取值无关，
∴5b﹣2＝0
∴．
【点评】本题考查了整式的加减混合运算，方程的解，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键．
20．（5分）计算下列各题：
（1）4﹣（﹣2）+（﹣6）；
（2）；
（3）﹣2mn+5mn2﹣3+3mn﹣6n2m+11．
【考点】合并同类项；有理数的混合运算．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）0；（2）；（3）mn﹣mn2+8．
【分析】（1）根据有理数的加减法法则计算即可；
（2）先计算乘方和化简绝对值，再计算乘除，后计算减法即可；
（3）根据合并同类项法则计算即可．
【解答】解：（1）4﹣（﹣2）+（﹣6）
＝4+2﹣6
＝0；
（2）
；
（3）﹣2mn+5mn2﹣3+3mn﹣6n2m+11
＝（﹣2mn+3mn）+（5mn2﹣6n2m）+（﹣3+11）
＝（﹣2+3）mn+（5﹣6）mn2+（﹣3+11）
＝mn﹣mn2+8．
【点评】本题考查了有理数的混合运算和合并同类项，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
21．（6分）商场销售某种商品，若按原价销售每天可卖50件，“五一”期间，每件商品打九折，结果销售量为60件，且每天销售额比打折前多1000元，求该商品原价为多少元？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】商品原价为250元．
【分析】设商品原价为x元，根据每天销售额比打折前多1000元得：0.9x×60﹣50x＝1000，即可解得答案．
【解答】解：设商品原价为x元，
根据题意得：0.9x×60﹣50x＝1000，
解得x＝250，
答：商品原价为250元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
22．（6分）如图，方格纸中小正方形的边长均为1，三角形ABC的顶点均为格点．（按要求画图）
（1）过点C画直线l1∥AB；
（2）点P在边AC上，试在图中确定点P的位置，使得BP长度最小．（保留画图痕迹）
【考点】作图—应用与设计作图；垂线段最短；平行线的判定与性质；勾股定理．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【分析】（1）根据横向2×3的对角线是互相平行的；
（2）根据横向1×4对角线和纵向1×4对角线是垂直的．
【解答】解：如图：
（1）直线l1即为所求；
（2）点P即为所求．
【点评】本题考查了作图，掌握网格线的特征是解题的关键．
23．（6分）如图是由7个相同小正方体组成的几何体，
（1）请在网格中画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）图中共有 7 个小正方体．
（3）已知每个小正方体的棱长为1cm，则该几何体的表面积为 28 cm2．
【考点】作图﹣三视图；几何体的表面积．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）7；
（3）28．
【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可．
（2）根据几何体的特征判断即可；
（3）根据表面积的定义求解即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）图中各有7个小正方体，
故答案为：7．
（3）这个组合几何体的表面积为（6×2+4×4）×1＝28（cm）2，
故答案为：28．
【点评】本题考查作图﹣三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
24．（8分）如图，∠AOB＝120°，∠COD∠AOB，射线OE平分∠AOD．
（1）如图1，若∠AOC＝50°，求∠COE的度数；
（2）如图2，OF平分∠BOC，若OD恰好平分∠BOF时，求∠AOE的度数．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）10°；（2）55°．
【分析】（1）根据条件先求出∠COD＝30°，∠AOC＝50°，∠AOD＝80°，再根据角平分线的性质求出∠AOE＝40°，即可求出答案；
（2）由角平分线求出∠BOD＝10°，∠AOD＝110°，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，，
∴∠COD＝30°，
∵∠AOC＝50°，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝80°，
∵OE平分∠AOD，
∴，
∴∠COE＝∠EOD﹣∠COD＝10°．
（2）OF，OD分别平分∠COB和∠BOF，
∴，，
∴∠COD＝∠COF+∠FOD＝3∠BOD，
又∵∠COD＝30°，
∴∠BOD＝10°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝110°．
∵OE平分∠AOD，
∴．
【点评】本题考查了角平分线的定义，掌握角平分线的性质是关键．
25．（7分）综合探究
阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数4与1对应的两点之间的距离为|4﹣1|＝3；
在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；
在数轴上，有理数﹣4与3对应的两点之间的距离为|﹣4﹣3|＝7；
在数轴上，有理数﹣2与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣2﹣（﹣5）|＝3；
…
如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|．
解决问题：（1）数轴上有理数2与﹣3对应的两点之间的距离等于 5 ；数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为 |x+5| ；若数轴上有理数x与﹣3对应的两点A，B之间的距离|AB|＝4，则x等于 ﹣7或1 ；
联系拓广：（2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x．
①若点P在点M，N之间，则|PM|+|PN|＝ 6 ．
②若|PN|＝2|PM|，即点P到点N的距离等于点P到点M距离的2倍，则x等于 2或10 ．
能力提升：若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝ 6 ．
③若|x+2|+|x﹣4|＝12，则x等于 ﹣5或7 ．
【考点】列代数式；数轴；有理数的混合运算．
【专题】数形结合；实数；几何直观．
【答案】（1）5，|x+5|，﹣7或1；（2）①6，②2或﹣10，6，③﹣5或7．
【分析】（1）根据在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，可求得数轴上有理数2与﹣3对应的两点之间的距离等于|2﹣（﹣3）|，数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x﹣（﹣5）|；
（2）由题意得①点P在点M，N之间，则|PM|+|PN|＝|x﹣4|+|x﹣（﹣2）|；②分点P位于线段MN之间和位于线段NM的延长线上两种情况，分别列式为x﹣（﹣2）＝2（4﹣x）和x﹣（﹣2）＝2（x﹣4），即可计算出结果，能力提升同①；③分点P位于点N左侧和点M的右侧两种情况，按照在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|计算即可．
【解答】（1）由题意得，数轴上有理数2与﹣3对应的两点之间的距离等于|2﹣（﹣3）|＝5，
数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x﹣（﹣5）|＝|x+5|；
若数轴上有理数x与﹣3对应的两点A，B之间的距离|AB|＝4，
则|x﹣（﹣3）|＝4，
当x﹣（﹣3）＝4时，解得x＝1，
当x﹣（﹣3）＝﹣4时，解得x＝﹣7，
故答案为：|5，|x+5|，﹣7或1；
（2）①当点P在点M，N之间，则|PM|+|PN|＝x﹣（﹣2）+4﹣x＝6，
②若|PN|＝2|PM|，当点P在线段MN上时，
得x﹣（﹣2）＝2（4﹣x），
解得x＝2，
当点P位于点M右侧时，
得x﹣（﹣2）＝2（x﹣4），
解得x＝10，
若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝x+2+4﹣x＝6，
若|x+2|+|x﹣4|＝12，则点P位于点N左侧或点M的右侧，
当点P位于点N左侧时，
得﹣x﹣2+4﹣x|＝12，
解得x＝﹣5，
当点P位于点M右侧时，
得x+2+x﹣4＝12，
解得x＝7，
故答案为：①6，②2或﹣10，6，③﹣5或7．
【点评】此题考查了利用数轴进行有理数计算的能力，关键是能分情况讨论，利用数轴列出算式并计算．
26．（9分）如图，O为线段AB上一点，∠COD＝90°，OE为∠COD的角平分线，定义OC与OA重合时为初始位置，将∠COD绕着点O从初始位置开始，以10°/秒的速度顺时针旋转，至OD与OA重合时终止．
（1）当∠COD从初始位置旋转6秒，求此时∠EOB的度数；
（2）当∠COD从初始位置旋转至∠EOB＝120°时，求此时t的值；
（3）当∠COD从初始位置旋转至∠EOB＝m°时，t＝ 秒（用含有m的代数式直接表示）．
【考点】一元一次方程的应用；两点间的距离；角平分线的定义；角的计算；列代数式．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）∠EOB＝75°；
（2）t＝1.5秒；
（3）．
【分析】（1）已知OE为∠COD的角平分线，∠COD＝90°，可得∠COE的度数，当∠COD从初始位置旋转6秒，此时∠AOC＝60°，根据∠EOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COE，可得∠EOB的度数；
（2）因为∠EOB＝120°，∠COE＝45°，可得∠AOC的度数，即∠COD的旋转度数，t＝∠COD的旋转度数÷∠COD的运动速度；
（3）因为∠EOB＝m°，∠COE＝45°，可得∠AOC的度数，即∠COD的旋转度数，t＝∠COD的旋转度数÷∠COD的运动速度．
【解答】解：（1）∵OE为∠COD的角平分线，∠COD＝90°，
∴∠COE＝∠EOD＝45°，
当∠COD从初始位置旋转6秒，此时∠AOC＝10°×6＝60°，
∠EOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝75°；
（2）∵∠EOB＝120°，
∴∠AOE＝60°，
∵∠COE＝45°，
∴∠AOC＝15°，
t＝15°÷10°＝1.5（秒）；
（3）∵∠EOB＝m°，
∴∠AOE＝（180﹣m）°，
∵∠COE＝45°，
∴∠AOC＝（135﹣m）°，
t＝（135﹣m）°÷10°（秒），
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线、列代数式，关键是正确计算度数．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
4．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
5．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
6．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
7．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
8．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
9．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
10．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
11．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
12．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
13．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
14．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
15．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
16．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
17．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
18．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
19．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）
20．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
21．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
22．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
23．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
24．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
25．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
26．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
27．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
28．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
29．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
30．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
31．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
32．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
33．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
34．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
35．作图-三视图
（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（4）具体画法及步骤：
①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．
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