2024—2025学年上学期重庆初中数学七年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期重庆初中数学七年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 375.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:07:20 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期重庆初中数学七年级开学模拟试卷2
一．填空题（共8小题，满分20分）
1．（2分）比较大小： （“＞”，“＜”或“＝”）．
2．（2分）化简 ．
3．（2分）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算 21＝2 22＝4 23＝8 … 31＝3 32＝9 33＝27 …
新运算 log22＝1 log24＝2 log28＝3 … log33＝1 log39＝2 log327＝3 …
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③log21．其中正确的是 ．
4．（2分）在时钟的钟面上，8：30时的分针与时针夹角是 度．
5．（3分）一个边长为a的正方形的面积为，一个棱长为b的立方体的体积为，则 ．
6．（3分）两个相似多边形的最大边长分别是10cm和20cm，如果其中一个多边形的最短边长为6cm，那么另一个多边形的最短边长为 cm．
7．（3分）某地计划将居民自来水管道进行改造．该工程若由甲施工队单独施工，则恰好在规定时间内完成；若由乙施工队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果这项工程由甲、乙两施工队共同施工需要15天完成，那么这项工程的规定时间是 天．
8．（3分）甲、乙两地相距450千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，折线OAB表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，线段CD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，C（1，0），则在轿车追上货车后至到达乙地前，当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为 小时．
二．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．（2分）把一张足够大的，厚度为0.1mm的纸对折（ ）次后，厚度接近于居民楼居住楼层一层的层高．
A．10 B．15 C．20 D．超过25
10．（2分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行的比赛局数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
11．（2分）随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价m元后，再次打8折，现售价为n元，则原售价为（ ）
A．m B．m C．n D．n
12．（2分）一种录音机现在售价是120元，原价是150元，降价（ ）%．
A．125 B．20 C．80 D．60
13．（2分）有下列说法中正确的有（ ）
（1）如果a：b＝3：5，那么a＝3，b＝5
（2）一本书重量约0.3千克，可以写成30%千克
（3）大圆的圆周率和小圆的圆周率相同
（4）圆锥的体积是圆柱体积的
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2分）某水果店新进了柚子、桔子、梨三种水果，已知柚子花了200元，______，三种水果一共花了多少钱？要解决这个问题，横线处还需要确定一条信息，这条信息是（ ）
A．柚子比桔子多花了100元
B．三种水果的总价是桔子总价的6倍
C．柚子的总价占三种水果总价的30%
D．梨的总价占三种水果总价的一半
15．（2分）已知P＝2x2+6，Q＝x2﹣2，则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定
16．（2分）下列运算中正确的是（ ）
A．﹣|﹣3|＝3 B．3÷63÷3＝1
C．5x2﹣2x2＝3x2 D．﹣2（x﹣3y）＝﹣2x+3y
17．（2分）一个直径为2厘米的圆，它的周长是（ ）
A．3.14厘米 B．4厘米 C．6.28厘米 D．12.56厘米
18．（2分）m是一个自然数，那么2m一定是（ ）
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
三．解答题（共2小题，满分15分）
19．（8分）脱式计算．（能简算的要简算）
（1）23.5×101﹣23.5；
（2）6760÷13+17×25；
（3）254；
（4）16÷0.4÷2.5．
20．（7分）解方程：．
四．解答题（共2小题，满分5分）
21．（3分）用火柴棒按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ …
火柴棒根数 5 9 …
（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？
（3）搭第2022个图形需要多少根火柴棒？
22．（2分）观察下列式子：
2×4+1＝9＝32；
6×8+1＝49＝72；
14×16+1＝225＝152；
……
你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？
五．解答题（共7小题，满分40分）
23．（5分）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 10 20 1300
（1）求牛奶与咖啡每箱分别为多少元；
（2）超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1800元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案）
24．（5分）设E，F，G，H分别是正方形ABCD四边AB，BC，CD，DA上的点，且△AHE，△BEF，△CFG，△DGH的面积分别是2，28，t，7．其中t是常量，若EG，FH，BD三条直线共点，求四边形EFGH的面积．
25．（6分）在比例尺是1：3500000的地图上，量得甲乙两地间的距离是2.4厘米，在另一幅地图上，量得两地距离是2.8厘米．求另一幅地图的比例尺？
26．（6分）计算：﹣32+（﹣3）2﹣（﹣3）+|﹣3|+（﹣2）3．
27．（6分）笑笑在银行存了20000元人民币，定期三年，年利率是2.70%．到期后银行应付给笑笑本金和利息一共多少元？
28．（6分）如图是绍兴市“十运会”的吉祥物“越宝、剡娃”，嵊州市甲、乙两工厂接到组委会通知，共同生产这两个吉祥物5万对，已知甲厂每天比乙厂多生产100对吉祥物，且甲厂生产5000对吉祥物所用的时间与乙厂生产4000对吉祥物所用的时间相同．
（1）求甲、乙两厂每天各生产多少对吉祥物？
（2）已知甲、乙两厂每天生产这种吉祥物的原料成本分别是4000元和3600元，两厂一起生产这5万对吉祥物，原料成本共为42万元，那么甲、乙两厂分别生产多少天？
29．（6分）已知扇形OAB．
（1）如图1，请你作一条过圆心O的直线，使扇形的面积被这条直线平分；
（2）如图2，已知，若扇形OAB的面积被以O为圆心的平分，点C在OA上，点D在OB上，求OC的长，并在图2上作出这条．
（注：所有作图都要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
2024—2025学年上学期重庆初中数学七年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．填空题（共8小题，满分20分）
1．（2分）比较大小： ＜ （“＞”，“＜”或“＝”）．
【考点】有理数大小比较．
【专题】实数；数感．
【答案】＜．
【分析】两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵||，||，而，
∴．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了有理数大小比较，要熟练掌握并正确运用有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．
2．（2分）化简 15 ．
【考点】分式的值．
【专题】计算题；因式分解；整式；分式；运算能力．
【答案】15．
【分析】先将原式的分子按照完全平方公式和多项式乘法运算的公式展开并合并同类项，再分解因式，然后约分即可．
【解答】解：原式15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握整式乘法的相关公式及分式的化简法则是解题的关键．
3．（2分）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算 21＝2 22＝4 23＝8 … 31＝3 32＝9 33＝27 …
新运算 log22＝1 log24＝2 log28＝3 … log33＝1 log39＝2 log327＝3 …
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③log21．其中正确的是 ①③ ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】新定义；实数；运算能力．
【答案】①③．
【分析】根据题中的新定义法则判断即可．
【解答】解：由表格可得：
①log216＝log224＝4，原计算正确，
②log525＝log552＝2，原计算错误，
③log22﹣1＝﹣1，原计算正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了有理数的混合运算、新定义，解本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
4．（2分）在时钟的钟面上，8：30时的分针与时针夹角是 75 度．
【考点】钟面角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据钟面上每两个刻度之间是30°，8点半时，钟面上分针与时针的夹角是两个半刻度，可得答案．
【解答】解：2.5×30°＝75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查了钟面角．解答此类钟表问题时，一定要搞清时针和分针每小时、每分钟转动的角度．时针12小时转360°，每小时转（360÷12＝30）度，每分钟（30÷60＝0.5）度；分针1小时转360°，即每分钟转（360÷60＝6）度．
5．（3分）一个边长为a的正方形的面积为，一个棱长为b的立方体的体积为，则 ．
【考点】认识立体图形．
【专题】实数；投影与视图；数感；运算能力．
【答案】．
【分析】根据正方形的面积和正方体的体积的计算方法求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵一个边长为a的正方形的面积为，
∴a，
又∵一个棱长为b的立方体的体积为，
∴b
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查认识立体图形，掌握正方体的体积、正方形的面积的计算方法是解决问题的关键．
6．（3分）两个相似多边形的最大边长分别是10cm和20cm，如果其中一个多边形的最短边长为6cm，那么另一个多边形的最短边长为 12或3 cm．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】12或3．
【分析】根据相似多边形的对应边对应成比例，列式求解．注意“其中一个多边形的最短边为6cm”，不确定是较大的多边形的短边，还是较小的多边形的短边，分别考虑．
【解答】解：设最短边为x cm，由题意得，
10：20＝6：x，或10：20＝x：6，
∴x＝12或3．
故答案为：12或3．
【点评】本题考查相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边对应成比例．
7．（3分）某地计划将居民自来水管道进行改造．该工程若由甲施工队单独施工，则恰好在规定时间内完成；若由乙施工队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果这项工程由甲、乙两施工队共同施工需要15天完成，那么这项工程的规定时间是 25 天．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】25．
【分析】设这项工程的规定时间是x天，则甲施工队单独施工完成工程所需天数是x天，乙施工队单独施工完成工程所需天数是1.5x天，根据这项工程由甲、乙两施工队共同施工需要15天完成，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设这项工程的规定时间是x天，则甲施工队单独施工完成工程所需天数是x天，乙施工队单独施工完成工程所需天数是1.5x天，
根据题意得：1，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原分式方程的解，且符合题意，
即这项工程的规定时间是25天，
故答案为：25．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（3分）甲、乙两地相距450千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，折线OAB表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，线段CD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，C（1，0），则在轿车追上货车后至到达乙地前，当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为 4或6.8 小时．
【考点】一次函数的应用．
【专题】数形结合；分类讨论；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】4或6.8．
【分析】先用待定系数法求出CD、OA、AB的函数关系式，再根据已知列方程，可解得答案．
【解答】解：设线段CD解析式为y＝kx+b，将C（1，0），D（7，450）代入得：
，
解得，
∴线段CD解析式为y＝75x﹣75（1≤x≤7），
由图象可得：线段OA的解析式为y＝30x（0≤x≤5），
设线段AB的解析式为y＝mx+n，将（5，150），（8，450）代入得：
，
解得，
∴线段AB的解析式为y＝100x﹣350；
由（75x﹣75）﹣30x＝105得：x＝4，
由（75x﹣75）﹣（100x﹣350）＝105得：x＝6.8，
综上所述，所用的时间x为4或6.8小时，
故答案为：4或6.8．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，掌握待定系数法求出函数关系式．
二．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．（2分）把一张足够大的，厚度为0.1mm的纸对折（ ）次后，厚度接近于居民楼居住楼层一层的层高．
A．10 B．15 C．20 D．超过25
【考点】数学常识．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意，分别求出对折10次，对折15次和对折20次后的厚度，然后进行判断即可．
【解答】解：由题意得：对折1次后的厚度为0.1×2＝0.2mm，
对折2次后的厚度为0.1×2×2＝0.1×22＝0.4mm，
对折3次后的厚度为0.1×2×2×2＝0.1×23＝0.8mm，
…，
则对折n次后的厚度为0.1×2nmm，
∴对折10次后的厚度为0.1×210＝102.4mm＝0.1024m，
对折15次后的厚度为0.1×215＝3276.8mm＝3.2768m，
对折20次后的厚度为0.1×220＝104857.6mm＝104.8576m，
∴对折15次后，厚度接近于居民楼居住楼层一层的层高，
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数乘方的应用，解答的关键是总结出第n次操作后所得的厚度．
10．（2分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行的比赛局数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【考点】比的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】先确定了乙与丙打了9局，乙与甲打了5局，丙与甲打了3局，进而确定三人一共打的局数，即可得到答案．
【解答】解：∵甲共当裁判9局，
∴乙、丙之间打了9局，
又∵乙、丙分别进行了14局、12局比赛，
∴乙与甲打了：14﹣9＝5（局），丙与甲打了：12﹣9＝3（局），
∴甲、乙、丙三人共打了：5+3+9＝17（局），
故选：C．
【点评】本题考查了比的应用，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题．
11．（2分）随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价m元后，再次打8折，现售价为n元，则原售价为（ ）
A．m B．m C．n D．n
【考点】列代数式．
【专题】整式；应用意识．
【答案】A
【分析】可设原售价是x元，根据降价m元后，再次打8折后是n元为相等关系列出方程，用含m，n的代数式表示x即可求解．
【解答】解：设原售价是x元，则
（x﹣m）×80%＝n，
解得x＝m．
故选：A．
【点评】本题主要考查列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
12．（2分）一种录音机现在售价是120元，原价是150元，降价（ ）%．
A．125 B．20 C．80 D．60
【考点】百分数的应用．
【专题】实数；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】由（原价﹣现价）÷原价×100%列式计算即可．
【解答】解：由题意得：（150﹣120）÷150×100%＝20%，
即降价20%，
故选：B．
【点评】本题考查了百分数的应用，熟练掌握百分数的应用是解题的关键．
13．（2分）有下列说法中正确的有（ ）
（1）如果a：b＝3：5，那么a＝3，b＝5
（2）一本书重量约0.3千克，可以写成30%千克
（3）大圆的圆周率和小圆的圆周率相同
（4）圆锥的体积是圆柱体积的
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】圆锥的体积；小数的互化；比的意义；圆柱的体积．
【专题】投影与视图；应用意识．
【答案】A
【分析】根据“比的定义”百分数的意义，圆周率的意义以及圆柱与圆锥体积之间的关系逐项进行判断即可．
【解答】解：（1）如果a：b＝3：5，那么a＝3k，b＝5k，因此（1）不正确；
（2）一本书重量约0.3千克，不能写成30%千克，因此（2）不正确；
（3）圆周率是圆周长与直径的比值，因此（3）正确；
（4）圆锥的体积是与它等底、等高的圆柱体积的，因此（4）不正确；
综上所述，正确的结论有（3），共1个，
故选：A．
【点评】本题考查认识立体图形，掌握圆柱与圆锥体积之间的关系以及圆周率的意义是正确判断的关键．
14．（2分）某水果店新进了柚子、桔子、梨三种水果，已知柚子花了200元，______，三种水果一共花了多少钱？要解决这个问题，横线处还需要确定一条信息，这条信息是（ ）
A．柚子比桔子多花了100元
B．三种水果的总价是桔子总价的6倍
C．柚子的总价占三种水果总价的30%
D．梨的总价占三种水果总价的一半
【考点】百分数的应用．
【专题】实数；应用意识．
【答案】C
【分析】根据柚子花了200元，要求三种水果总价，只需再已知柚子的总价和三种水果总价的一个关系即可．
【解答】解：已知柚子花了200元，还需要柚子的总价占三种水果总价的30%，才能求出三种水果一共花了多少钱，
故选：C．
【点评】本题考查百分数的应用，解题的关键是读懂题意，理解三种水果总价与已知柚子花了200元的关系．
15．（2分）已知P＝2x2+6，Q＝x2﹣2，则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定
【考点】整式的加减．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】A
【分析】首先计算P﹣Q，进而利用偶次方的性质求出P＞Q．
【解答】解：P﹣Q＝（2x2+6）﹣（x2﹣2）
＝2x2+6﹣x2+2
＝x2+8，
∵x2≥0，
∴P﹣Q＝x2+8≥8＞0，
∴P＞Q．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的加减，整式加减的实质就是去括号、合并同类项．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．也考查了偶次方的非负性．
16．（2分）下列运算中正确的是（ ）
A．﹣|﹣3|＝3 B．3÷63÷3＝1
C．5x2﹣2x2＝3x2 D．﹣2（x﹣3y）＝﹣2x+3y
【考点】整式的加减；绝对值；有理数的乘法；有理数的除法．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】C
【分析】计算出各选项中式子的值，即可判断哪个选项是正确的．
【解答】解：A、﹣|﹣3|＝﹣3，故选项错误；
B、3÷6，故选项错误；
C、5x2﹣2x2＝3x2，故选项正确；
D、﹣2（x﹣3y）＝﹣2x+6y，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查有理数D 混合运算、整式的加减，解题的关键是明确它们各自的计算方法．
17．（2分）一个直径为2厘米的圆，它的周长是（ ）
A．3.14厘米 B．4厘米 C．6.28厘米 D．12.56厘米
【考点】圆的周长．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】C
【分析】圆的周长＝πd，由此代入数据即可解答．
【解答】解：3.14×2＝6.28（厘米），
故选：C．
【点评】此题考查了圆的周长公式，解题的关键是牢记圆的计算公式．
18．（2分）m是一个自然数，那么2m一定是（ ）
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
【考点】有理数；质数（素数）；合数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据偶数的定义即可求得答案．
【解答】解：∵m是一个自然数，
∴2m一定能被2整除，
则2m一定是偶数，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的相关概念，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
三．解答题（共2小题，满分15分）
19．（8分）脱式计算．（能简算的要简算）
（1）23.5×101﹣23.5；
（2）6760÷13+17×25；
（3）254；
（4）16÷0.4÷2.5．
【考点】分数的乘法；小数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）2350；（2）945；（3）10；（4）16．
【分析】（1）利用乘法的分配律解答即可；
（2）先算乘除，再算加法即可；
（3）利用乘法的交换律，结合律解答即可；
（4）利用乘法的交换律，结合律解答即可．
【解答】解：（1）23.5×101﹣23.5
＝23.5×（101﹣1）
＝23.5×100
＝2350；
（2）6760÷13+17×25
＝520+425
＝945；
（3）254
＝（25×4）×（）
＝100
＝10；
（4）16÷0.4÷2.5
＝16
＝16×（）
＝16×1
＝16．
【点评】本题主要考查了分数的乘除法，小数的运算，熟练掌握混合运算的法则和运算律是解题的关键．
20．（7分）解方程：．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x．
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去分母得：3（x+2）﹣5（1﹣x）＝15，
去括号得：3x+6﹣5+5x＝15，
移项合并得：8x＝14，
解得：x．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．
四．解答题（共2小题，满分5分）
21．（3分）用火柴棒按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ …
火柴棒根数 5 9 13 17 21 …
（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？
（3）搭第2022个图形需要多少根火柴棒？
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；猜想归纳；运算能力．
【答案】（1）13，17，21；
（2）4n+1；
（3）8089．
【分析】（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果；
（2）由（1）进行总结即可；
（3）根据（2）所得的式子进行解答即可．
【解答】解：（1）第1个图形的火柴棒根数为：5，
第2个图形的火柴棒根数为：9＝5+4＝5+4×1，
第3个图形的火柴棒根数为：13＝5+4+4＝5+4×2，
第4个图形的火柴棒根数为：17＝5+4+4+4＝5+4×3，
第5个图形的火柴棒根数为：21＝5+4+4+4+4＝5+4×4，
……
故答案为：13，17，21；
（2）由（1）得：搭第n个图形需要火柴棒根数为：5+4（n﹣1）＝4n+1．
答：第n个图形需要火柴棒根数为：4n+1；
（3）当n＝2022时，4n+1＝4×2022+1＝8089，
所以搭第2022个图形需要8089根火柴棒．
【点评】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是根据所给的图形分析出其规律．
22．（2分）观察下列式子：
2×4+1＝9＝32；
6×8+1＝49＝72；
14×16+1＝225＝152；
……
你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．
【专题】规律型；猜想归纳；推理能力．
【答案】第n个式子为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2，证明见解答过程．
【分析】式子可以整理为：（22﹣2）×21+1+1＝（22﹣1）2；（23﹣2）×22+1+1＝（23﹣1）2；（24﹣2）×23+1+1＝（24﹣1）2……得到第n个式子的结论即可．
【解答】解：∵（22﹣2）×21+1+1＝（22﹣1）2；
（23﹣2）×22+1+1＝（23﹣1）2；
（24﹣2）×23+1+1＝（24﹣1）2……
∴第n个式子为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．
理由：∵（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1）2﹣2×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2，
∴上面结论成立．
【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类以及有理数的混合运算，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．
五．解答题（共7小题，满分40分）
23．（5分）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 10 20 1300
（1）求牛奶与咖啡每箱分别为多少元；
（2）超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1800元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 9 箱．（直接写出答案）
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）牛奶每箱30元，咖啡每箱50元；
（2）9箱．
【分析】（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由表中数据列出方程组，求解即可；
（2）设牛奶与咖啡总箱数为a箱，则打折的牛奶箱数为a箱，设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，由题意列出方程，求出正整数解，进而求解即可．
【解答】解：（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：，
解得：，
答：牛奶每箱30元，咖啡每箱50元；
（2）设牛奶与咖啡总箱数为a箱，则打折的牛奶箱数为a箱，
打折牛奶价格为：30×0.6＝18（元），打折咖啡价格为：50×0.6＝30（元），
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，
由题意得：18a+30×（a﹣b）+50b＝1800，
整理得：27a+20b＝1800，
∵a、b均为正整数，
∴或或，
当b＝63时，50×63＝3150＞1800，不合题意舍去；
当b＝36时，50×36＝1800，不合题意舍去；
当b＝9时，50×9＝450＜1800，符合题意；
即此次按原价采购的咖啡有9箱，
故答案为：9．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，列出二元一次方程．
24．（5分）设E，F，G，H分别是正方形ABCD四边AB，BC，CD，DA上的点，且△AHE，△BEF，△CFG，△DGH的面积分别是2，28，t，7．其中t是常量，若EG，FH，BD三条直线共点，求四边形EFGH的面积．
【考点】面积及等积变换．
【专题】方程思想；三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】3（t取任意正实数）．
【分析】设正方形ABCD的边长为a，且AH＝x，DG＝y，CF＝z，BE＝w，则HD＝a﹣x，GC＝a﹣y，FB＝a﹣z，BE＝w，可得方程：，设EG，FH，BD三线共点于I，因为△IDH∽△IBF，△ICD∽△IEB，所以（a﹣x）w＝（a﹣z）y⑤，把②和④代入⑤得w＝2y⑥，把⑥代入①得x（a﹣2y）＝4⑦，把⑥代入④得y（a﹣z）＝28⑧，由⑧和③消去z，整理得ay2+（﹣a2﹣28+2t）y+28a＝0⑨，由⑦和②消去x，整理得2ay2+（﹣a2﹣24）y+14a＝0，由ay2+（﹣a2﹣28+2t）y+28a＝0和2ay2+（﹣a2﹣24）y+14a＝0解得y，把y代入2ay2+（﹣a2﹣24）y+14a＝0并化简得a4+（﹣74﹣2t）a2+（640﹣16t﹣8t2）＝0，由求根公式得a2＝37+t±3．依此求出四边形EFGH的面积．
【解答】解：如图，设正方形ABCD的边长为a，且AH＝x，DG＝y，CF＝z，BE＝w，则HD＝a﹣x，GC＝a﹣y，FB＝a﹣z，BE＝w，
由题设条件得：
，
设EG，FH，BD三线共点于I，
因为△IDH∽△IBF，△ICD∽△IEB，
所以，
即（a﹣x）w＝（a﹣z）y⑤，
把②和④代入⑤得 w y，即w＝2y⑥，
把⑥代入①得x（a﹣2y）＝4⑦，
把⑥代入④得y（a﹣z）＝28⑧，
由⑧和③消去z，整理ay2+（﹣a2﹣28+2t）y+28a＝0⑨，
由⑦和②消去x，整理得2ay2+（﹣a2﹣24）y+14a＝0，
由ay2+（﹣a2﹣28+2t）y+28a＝0和2ay2+（﹣a2﹣24）y+14a＝0解得y，
把y代入2ay2+（﹣a2﹣24）y+14a＝0并化简得a4+（﹣74﹣2t）a2+（640﹣16t﹣8t2）＝0，
由求根公式得a2＝37+t±3．
注意到，正方形四个角上的三角形面积之和是37+t，那么，由a2＝37+t±3（取正号）知四边形EFGH的面积是3（t取任意正实数）．
【点评】本题考查了面积及等积变换，正方形的性质、相似三角形的性质、求根公式、图形面积等知识，关键是利用方程思想解决问题．
25．（6分）在比例尺是1：3500000的地图上，量得甲乙两地间的距离是2.4厘米，在另一幅地图上，量得两地距离是2.8厘米．求另一幅地图的比例尺？
【考点】比例尺．
【专题】实数；应用意识．
【答案】另一幅地图的比例尺为1：3000000．
【分析】根据“比例尺＝图上距离与实际距离的比”求出实际距离，再根据公式即可得出答案．
【解答】解：2.4÷（1：3500000）＝8400000（cm），
2.8÷8400000＝1：3000000，
答：另一幅地图的比例尺为1：3000000．
【点评】本题主要考查比例尺，熟练掌握“比例尺＝图上距离与实际距离的比”是解题的关键．
26．（6分）计算：﹣32+（﹣3）2﹣（﹣3）+|﹣3|+（﹣2）3．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据有理数的乘方、有理数的加减法可以解答本题．
【解答】解：﹣32+（﹣3）2﹣（﹣3）+|﹣3|+（﹣2）3
＝﹣9+9+3+3+（﹣8）
＝﹣2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
27．（6分）笑笑在银行存了20000元人民币，定期三年，年利率是2.70%．到期后银行应付给笑笑本金和利息一共多少元？
【考点】百分数的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】银行应付给笑笑本金和利息一共21620元．
【分析】根据本息和等于本金加利息，利息等于本金、利率与时间的积的计算方法即可求解．
【解答】解：20000+20000×2.7%×3
＝20000+1620
＝21620（元），
∴银行应付给笑笑本金和利息一共21620元．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算与利息，本息和的计算方法，掌握以上计算方法是解题的关键．
28．（6分）如图是绍兴市“十运会”的吉祥物“越宝、剡娃”，嵊州市甲、乙两工厂接到组委会通知，共同生产这两个吉祥物5万对，已知甲厂每天比乙厂多生产100对吉祥物，且甲厂生产5000对吉祥物所用的时间与乙厂生产4000对吉祥物所用的时间相同．
（1）求甲、乙两厂每天各生产多少对吉祥物？
（2）已知甲、乙两厂每天生产这种吉祥物的原料成本分别是4000元和3600元，两厂一起生产这5万对吉祥物，原料成本共为42万元，那么甲、乙两厂分别生产多少天？
【考点】分式方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；应用意识．
【答案】（1）甲厂每天生产500对吉祥物，则乙厂每天生产400对吉祥物；
（2）甲厂生产60天，乙厂生产50天．
【分析】（1）设甲厂每天生产x对吉祥物，则乙厂每天生产（x﹣100）对吉祥物，根据“甲厂生产5000对吉祥物所用的时间与乙厂生产4000对吉祥物所用的时间相同”列出方程并解答，注意分式方程需要验根；
（2）设甲厂生产a天，乙厂生产b天，根据“两厂一起生产这5万对吉祥物，原料成本共为42万元”列出方程组并解答即可．
【解答】解：（1）设甲厂每天生产x对吉祥物，则乙厂每天生产（x﹣100）对吉祥物，则：
．
解得x＝500．
经检验x＝500是原方程的根，且符合题意．
则x﹣100＝400．
答：甲厂每天生产500对吉祥物，则乙厂每天生产400对吉祥物；
（2）设甲厂生产a天，乙厂生产b天，则
．
解得．
答：甲厂生产60天，乙厂生产50天．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用和二元一次方程组的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
29．（6分）已知扇形OAB．
（1）如图1，请你作一条过圆心O的直线，使扇形的面积被这条直线平分；
（2）如图2，已知，若扇形OAB的面积被以O为圆心的平分，点C在OA上，点D在OB上，求OC的长，并在图2上作出这条．
（注：所有作图都要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图—应用与设计作图；垂径定理；扇形面积的计算．
【专题】作图题；与圆有关的计算；几何直观；运算能力．
【答案】（1）图见详解；
（2）OC＝1；图见详解．
【分析】（1）面积被平分即作角平分线，据此要求画图即可．
（2）通过扇形面积公式找到所在圆的半径和扇形OAB的半径关系，直接求解即可，再通过两扇形面积比转化为半径比，最后画出垂直平分线，构造等腰直角三角形，然后补全图形即可．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）由题可知，，，
∴，
∵，
∴OC＝1，
先画出线段OA的垂直平分线即可得到点H，
再取，可得到等腰直角△OHG，
∴，
以OG为半径，O为圆心画圆即可得到．
【点评】此题考查扇形的面积公式，以及角平分线和垂直平分线的作图法，作图痕迹容易漏掉弧，是易错点，解题技巧是将扇形面积比转化为半径的比．
考点卡片
1．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
4．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
5．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
6．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
7．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
8．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
9．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
10．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
11．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
12．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
13．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
14．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
15．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
16．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
17．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
18．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
19．钟面角
（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°．
（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
（3）钟面上的路程问题
分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
20．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
21．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
22．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
23．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
24．面积及等积变换
面积及等积变换．
BC×AD＝AC×BE＝AB×CF．
25．质数（素数）
质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．
26．合数
合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数．与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数．最小的合数是4．其中，完全数与相亲数是以它为基础的．
27．分数的乘法
分数乘法是一种数学运算方法．分数的分子与分子相乘，分母与分母相乘，能约分的要先约分，分子不能和分母乘．做第一步时，就要想一个数的分子和另一个数的分母能不能约分．（0除外）分数与整数相乘就是把多个同样的数叠加．
28．小数的互化
小数与分数、百分数、千分数可以进行互化．有限小数化分数：小数表示的就是十分之一、百分之一、千分之一......所以，0.6可以化成十分之六，约分成五分之三．
29．小数的运算
在一个算式中，含有加、减、乘、除四种运算中两种或两种以上运算的，称为四则运算．运算中的数字是小数时叫做小数四则运算．法则 同级运算时，从左到右依次计算；两级运算时，先算乘除，再算加减．
30．比的意义
比的意义是两个数相除又叫做两个数的比，比是表示两个数相除，有两项；比是由一个前项和一个后项组成的除法算式，只不过把“÷”（除号）改成了“：”（比号）而已，但除法算式表示的是一种运算，而比则表示两个数的关系．和分数的分数线类似．
31．比的应用
1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或者几个数量是多少？2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或者几个数量是多少？
32．比例尺
“比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．公式为：比例尺＝图上距离与实际距离的比．”
33．百分数的应用
超市卖货中的打折（折扣）问题，如一件上衣400元，现八折（80%）出售．成数问题，如这次小麦收成是上次的二成（20%）．事物配制问题：如水占8伤，药占水的20%等．
34．圆的周长
圆周长是指绕圆一周的长度．圆周长就是：C＝πd或C＝2πr者（其中d是圆的直径，r是圆的半径）．
35．圆柱的体积
圆柱体积公式是用于计算圆柱体体积的公式，表达式为V＝π*r2*h．
36．圆锥的体积
一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积．一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的三分之一，V圆锥＝1/3Sh（S为圆锥的底面积，h为圆锥的高），圆锥底面积S＝πR2（R为圆锥底面圆的半径．
2024—2025学年上学期重庆初中数学七年级开学模拟试卷2
一．填空题（共8小题，满分20分）
1．（2分）比较大小： （“＞”，“＜”或“＝”）．
2．（2分）化简 ．
3．（2分）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算 21＝2 22＝4 23＝8 … 31＝3 32＝9 33＝27 …
新运算 log22＝1 log24＝2 log28＝3 … log33＝1 log39＝2 log327＝3 …
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③log21．其中正确的是 ．
4．（2分）在时钟的钟面上，8：30时的分针与时针夹角是 度．
5．（3分）一个边长为a的正方形的面积为，一个棱长为b的立方体的体积为，则 ．
6．（3分）两个相似多边形的最大边长分别是10cm和20cm，如果其中一个多边形的最短边长为6cm，那么另一个多边形的最短边长为 cm．
7．（3分）某地计划将居民自来水管道进行改造．该工程若由甲施工队单独施工，则恰好在规定时间内完成；若由乙施工队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果这项工程由甲、乙两施工队共同施工需要15天完成，那么这项工程的规定时间是 天．
8．（3分）甲、乙两地相距450千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，折线OAB表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，线段CD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，C（1，0），则在轿车追上货车后至到达乙地前，当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为 小时．
二．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．（2分）把一张足够大的，厚度为0.1mm的纸对折（ ）次后，厚度接近于居民楼居住楼层一层的层高．
A．10 B．15 C．20 D．超过25
10．（2分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行的比赛局数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
11．（2分）随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价m元后，再次打8折，现售价为n元，则原售价为（ ）
A．m B．m C．n D．n
12．（2分）一种录音机现在售价是120元，原价是150元，降价（ ）%．
A．125 B．20 C．80 D．60
13．（2分）有下列说法中正确的有（ ）
（1）如果a：b＝3：5，那么a＝3，b＝5
（2）一本书重量约0.3千克，可以写成30%千克
（3）大圆的圆周率和小圆的圆周率相同
（4）圆锥的体积是圆柱体积的
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2分）某水果店新进了柚子、桔子、梨三种水果，已知柚子花了200元，______，三种水果一共花了多少钱？要解决这个问题，横线处还需要确定一条信息，这条信息是（ ）
A．柚子比桔子多花了100元
B．三种水果的总价是桔子总价的6倍
C．柚子的总价占三种水果总价的30%
D．梨的总价占三种水果总价的一半
15．（2分）已知P＝2x2+6，Q＝x2﹣2，则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定
16．（2分）下列运算中正确的是（ ）
A．﹣|﹣3|＝3 B．3÷63÷3＝1
C．5x2﹣2x2＝3x2 D．﹣2（x﹣3y）＝﹣2x+3y
17．（2分）一个直径为2厘米的圆，它的周长是（ ）
A．3.14厘米 B．4厘米 C．6.28厘米 D．12.56厘米
18．（2分）m是一个自然数，那么2m一定是（ ）
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
三．解答题（共2小题，满分15分）
19．（8分）脱式计算．（能简算的要简算）
（1）23.5×101﹣23.5；
（2）6760÷13+17×25；
（3）254；
（4）16÷0.4÷2.5．
20．（7分）解方程：．
四．解答题（共2小题，满分5分）
21．（3分）用火柴棒按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ …
火柴棒根数 5 9 …
（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？
（3）搭第2022个图形需要多少根火柴棒？
22．（2分）观察下列式子：
2×4+1＝9＝32；
6×8+1＝49＝72；
14×16+1＝225＝152；
……
你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？
五．解答题（共7小题，满分40分）
23．（5分）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 10 20 1300
（1）求牛奶与咖啡每箱分别为多少元；
（2）超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1800元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案）
24．（5分）设E，F，G，H分别是正方形ABCD四边AB，BC，CD，DA上的点，且△AHE，△BEF，△CFG，△DGH的面积分别是2，28，t，7．其中t是常量，若EG，FH，BD三条直线共点，求四边形EFGH的面积．
25．（6分）在比例尺是1：3500000的地图上，量得甲乙两地间的距离是2.4厘米，在另一幅地图上，量得两地距离是2.8厘米．求另一幅地图的比例尺？
26．（6分）计算：﹣32+（﹣3）2﹣（﹣3）+|﹣3|+（﹣2）3．
27．（6分）笑笑在银行存了20000元人民币，定期三年，年利率是2.70%．到期后银行应付给笑笑本金和利息一共多少元？
28．（6分）如图是绍兴市“十运会”的吉祥物“越宝、剡娃”，嵊州市甲、乙两工厂接到组委会通知，共同生产这两个吉祥物5万对，已知甲厂每天比乙厂多生产100对吉祥物，且甲厂生产5000对吉祥物所用的时间与乙厂生产4000对吉祥物所用的时间相同．
（1）求甲、乙两厂每天各生产多少对吉祥物？
（2）已知甲、乙两厂每天生产这种吉祥物的原料成本分别是4000元和3600元，两厂一起生产这5万对吉祥物，原料成本共为42万元，那么甲、乙两厂分别生产多少天？
29．（6分）已知扇形OAB．
（1）如图1，请你作一条过圆心O的直线，使扇形的面积被这条直线平分；
（2）如图2，已知，若扇形OAB的面积被以O为圆心的平分，点C在OA上，点D在OB上，求OC的长，并在图2上作出这条．
（注：所有作图都要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
2024—2025学年上学期重庆初中数学七年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．填空题（共8小题，满分20分）
1．（2分）比较大小： ＜ （“＞”，“＜”或“＝”）．
【考点】有理数大小比较．
【专题】实数；数感．
【答案】＜．
【分析】两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵||，||，而，
∴．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了有理数大小比较，要熟练掌握并正确运用有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．
2．（2分）化简 15 ．
【考点】分式的值．
【专题】计算题；因式分解；整式；分式；运算能力．
【答案】15．
【分析】先将原式的分子按照完全平方公式和多项式乘法运算的公式展开并合并同类项，再分解因式，然后约分即可．
【解答】解：原式15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握整式乘法的相关公式及分式的化简法则是解题的关键．
3．（2分）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算 21＝2 22＝4 23＝8 … 31＝3 32＝9 33＝27 …
新运算 log22＝1 log24＝2 log28＝3 … log33＝1 log39＝2 log327＝3 …
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③log21．其中正确的是 ①③ ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】新定义；实数；运算能力．
【答案】①③．
【分析】根据题中的新定义法则判断即可．
【解答】解：由表格可得：
①log216＝log224＝4，原计算正确，
②log525＝log552＝2，原计算错误，
③log22﹣1＝﹣1，原计算正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了有理数的混合运算、新定义，解本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
4．（2分）在时钟的钟面上，8：30时的分针与时针夹角是 75 度．
【考点】钟面角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据钟面上每两个刻度之间是30°，8点半时，钟面上分针与时针的夹角是两个半刻度，可得答案．
【解答】解：2.5×30°＝75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查了钟面角．解答此类钟表问题时，一定要搞清时针和分针每小时、每分钟转动的角度．时针12小时转360°，每小时转（360÷12＝30）度，每分钟（30÷60＝0.5）度；分针1小时转360°，即每分钟转（360÷60＝6）度．
5．（3分）一个边长为a的正方形的面积为，一个棱长为b的立方体的体积为，则 ．
【考点】认识立体图形．
【专题】实数；投影与视图；数感；运算能力．
【答案】．
【分析】根据正方形的面积和正方体的体积的计算方法求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵一个边长为a的正方形的面积为，
∴a，
又∵一个棱长为b的立方体的体积为，
∴b
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查认识立体图形，掌握正方体的体积、正方形的面积的计算方法是解决问题的关键．
6．（3分）两个相似多边形的最大边长分别是10cm和20cm，如果其中一个多边形的最短边长为6cm，那么另一个多边形的最短边长为 12或3 cm．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】12或3．
【分析】根据相似多边形的对应边对应成比例，列式求解．注意“其中一个多边形的最短边为6cm”，不确定是较大的多边形的短边，还是较小的多边形的短边，分别考虑．
【解答】解：设最短边为x cm，由题意得，
10：20＝6：x，或10：20＝x：6，
∴x＝12或3．
故答案为：12或3．
【点评】本题考查相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边对应成比例．
7．（3分）某地计划将居民自来水管道进行改造．该工程若由甲施工队单独施工，则恰好在规定时间内完成；若由乙施工队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果这项工程由甲、乙两施工队共同施工需要15天完成，那么这项工程的规定时间是 25 天．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】25．
【分析】设这项工程的规定时间是x天，则甲施工队单独施工完成工程所需天数是x天，乙施工队单独施工完成工程所需天数是1.5x天，根据这项工程由甲、乙两施工队共同施工需要15天完成，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设这项工程的规定时间是x天，则甲施工队单独施工完成工程所需天数是x天，乙施工队单独施工完成工程所需天数是1.5x天，
根据题意得：1，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原分式方程的解，且符合题意，
即这项工程的规定时间是25天，
故答案为：25．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（3分）甲、乙两地相距450千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，折线OAB表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，线段CD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，C（1，0），则在轿车追上货车后至到达乙地前，当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为 4或6.8 小时．
【考点】一次函数的应用．
【专题】数形结合；分类讨论；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】4或6.8．
【分析】先用待定系数法求出CD、OA、AB的函数关系式，再根据已知列方程，可解得答案．
【解答】解：设线段CD解析式为y＝kx+b，将C（1，0），D（7，450）代入得：
，
解得，
∴线段CD解析式为y＝75x﹣75（1≤x≤7），
由图象可得：线段OA的解析式为y＝30x（0≤x≤5），
设线段AB的解析式为y＝mx+n，将（5，150），（8，450）代入得：
，
解得，
∴线段AB的解析式为y＝100x﹣350；
由（75x﹣75）﹣30x＝105得：x＝4，
由（75x﹣75）﹣（100x﹣350）＝105得：x＝6.8，
综上所述，所用的时间x为4或6.8小时，
故答案为：4或6.8．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，掌握待定系数法求出函数关系式．
二．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．（2分）把一张足够大的，厚度为0.1mm的纸对折（ ）次后，厚度接近于居民楼居住楼层一层的层高．
A．10 B．15 C．20 D．超过25
【考点】数学常识．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意，分别求出对折10次，对折15次和对折20次后的厚度，然后进行判断即可．
【解答】解：由题意得：对折1次后的厚度为0.1×2＝0.2mm，
对折2次后的厚度为0.1×2×2＝0.1×22＝0.4mm，
对折3次后的厚度为0.1×2×2×2＝0.1×23＝0.8mm，
…，
则对折n次后的厚度为0.1×2nmm，
∴对折10次后的厚度为0.1×210＝102.4mm＝0.1024m，
对折15次后的厚度为0.1×215＝3276.8mm＝3.2768m，
对折20次后的厚度为0.1×220＝104857.6mm＝104.8576m，
∴对折15次后，厚度接近于居民楼居住楼层一层的层高，
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数乘方的应用，解答的关键是总结出第n次操作后所得的厚度．
10．（2分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行的比赛局数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【考点】比的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】先确定了乙与丙打了9局，乙与甲打了5局，丙与甲打了3局，进而确定三人一共打的局数，即可得到答案．
【解答】解：∵甲共当裁判9局，
∴乙、丙之间打了9局，
又∵乙、丙分别进行了14局、12局比赛，
∴乙与甲打了：14﹣9＝5（局），丙与甲打了：12﹣9＝3（局），
∴甲、乙、丙三人共打了：5+3+9＝17（局），
故选：C．
【点评】本题考查了比的应用，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题．
11．（2分）随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价m元后，再次打8折，现售价为n元，则原售价为（ ）
A．m B．m C．n D．n
【考点】列代数式．
【专题】整式；应用意识．
【答案】A
【分析】可设原售价是x元，根据降价m元后，再次打8折后是n元为相等关系列出方程，用含m，n的代数式表示x即可求解．
【解答】解：设原售价是x元，则
（x﹣m）×80%＝n，
解得x＝m．
故选：A．
【点评】本题主要考查列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
12．（2分）一种录音机现在售价是120元，原价是150元，降价（ ）%．
A．125 B．20 C．80 D．60
【考点】百分数的应用．
【专题】实数；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】由（原价﹣现价）÷原价×100%列式计算即可．
【解答】解：由题意得：（150﹣120）÷150×100%＝20%，
即降价20%，
故选：B．
【点评】本题考查了百分数的应用，熟练掌握百分数的应用是解题的关键．
13．（2分）有下列说法中正确的有（ ）
（1）如果a：b＝3：5，那么a＝3，b＝5
（2）一本书重量约0.3千克，可以写成30%千克
（3）大圆的圆周率和小圆的圆周率相同
（4）圆锥的体积是圆柱体积的
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】圆锥的体积；小数的互化；比的意义；圆柱的体积．
【专题】投影与视图；应用意识．
【答案】A
【分析】根据“比的定义”百分数的意义，圆周率的意义以及圆柱与圆锥体积之间的关系逐项进行判断即可．
【解答】解：（1）如果a：b＝3：5，那么a＝3k，b＝5k，因此（1）不正确；
（2）一本书重量约0.3千克，不能写成30%千克，因此（2）不正确；
（3）圆周率是圆周长与直径的比值，因此（3）正确；
（4）圆锥的体积是与它等底、等高的圆柱体积的，因此（4）不正确；
综上所述，正确的结论有（3），共1个，
故选：A．
【点评】本题考查认识立体图形，掌握圆柱与圆锥体积之间的关系以及圆周率的意义是正确判断的关键．
14．（2分）某水果店新进了柚子、桔子、梨三种水果，已知柚子花了200元，______，三种水果一共花了多少钱？要解决这个问题，横线处还需要确定一条信息，这条信息是（ ）
A．柚子比桔子多花了100元
B．三种水果的总价是桔子总价的6倍
C．柚子的总价占三种水果总价的30%
D．梨的总价占三种水果总价的一半
【考点】百分数的应用．
【专题】实数；应用意识．
【答案】C
【分析】根据柚子花了200元，要求三种水果总价，只需再已知柚子的总价和三种水果总价的一个关系即可．
【解答】解：已知柚子花了200元，还需要柚子的总价占三种水果总价的30%，才能求出三种水果一共花了多少钱，
故选：C．
【点评】本题考查百分数的应用，解题的关键是读懂题意，理解三种水果总价与已知柚子花了200元的关系．
15．（2分）已知P＝2x2+6，Q＝x2﹣2，则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定
【考点】整式的加减．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】A
【分析】首先计算P﹣Q，进而利用偶次方的性质求出P＞Q．
【解答】解：P﹣Q＝（2x2+6）﹣（x2﹣2）
＝2x2+6﹣x2+2
＝x2+8，
∵x2≥0，
∴P﹣Q＝x2+8≥8＞0，
∴P＞Q．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的加减，整式加减的实质就是去括号、合并同类项．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．也考查了偶次方的非负性．
16．（2分）下列运算中正确的是（ ）
A．﹣|﹣3|＝3 B．3÷63÷3＝1
C．5x2﹣2x2＝3x2 D．﹣2（x﹣3y）＝﹣2x+3y
【考点】整式的加减；绝对值；有理数的乘法；有理数的除法．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】C
【分析】计算出各选项中式子的值，即可判断哪个选项是正确的．
【解答】解：A、﹣|﹣3|＝﹣3，故选项错误；
B、3÷6，故选项错误；
C、5x2﹣2x2＝3x2，故选项正确；
D、﹣2（x﹣3y）＝﹣2x+6y，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查有理数D 混合运算、整式的加减，解题的关键是明确它们各自的计算方法．
17．（2分）一个直径为2厘米的圆，它的周长是（ ）
A．3.14厘米 B．4厘米 C．6.28厘米 D．12.56厘米
【考点】圆的周长．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】C
【分析】圆的周长＝πd，由此代入数据即可解答．
【解答】解：3.14×2＝6.28（厘米），
故选：C．
【点评】此题考查了圆的周长公式，解题的关键是牢记圆的计算公式．
18．（2分）m是一个自然数，那么2m一定是（ ）
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
【考点】有理数；质数（素数）；合数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据偶数的定义即可求得答案．
【解答】解：∵m是一个自然数，
∴2m一定能被2整除，
则2m一定是偶数，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的相关概念，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
三．解答题（共2小题，满分15分）
19．（8分）脱式计算．（能简算的要简算）
（1）23.5×101﹣23.5；
（2）6760÷13+17×25；
（3）254；
（4）16÷0.4÷2.5．
【考点】分数的乘法；小数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）2350；（2）945；（3）10；（4）16．
【分析】（1）利用乘法的分配律解答即可；
（2）先算乘除，再算加法即可；
（3）利用乘法的交换律，结合律解答即可；
（4）利用乘法的交换律，结合律解答即可．
【解答】解：（1）23.5×101﹣23.5
＝23.5×（101﹣1）
＝23.5×100
＝2350；
（2）6760÷13+17×25
＝520+425
＝945；
（3）254
＝（25×4）×（）
＝100
＝10；
（4）16÷0.4÷2.5
＝16
＝16×（）
＝16×1
＝16．
【点评】本题主要考查了分数的乘除法，小数的运算，熟练掌握混合运算的法则和运算律是解题的关键．
20．（7分）解方程：．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x．
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去分母得：3（x+2）﹣5（1﹣x）＝15，
去括号得：3x+6﹣5+5x＝15，
移项合并得：8x＝14，
解得：x．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．
四．解答题（共2小题，满分5分）
21．（3分）用火柴棒按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ …
火柴棒根数 5 9 13 17 21 …
（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？
（3）搭第2022个图形需要多少根火柴棒？
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；猜想归纳；运算能力．
【答案】（1）13，17，21；
（2）4n+1；
（3）8089．
【分析】（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果；
（2）由（1）进行总结即可；
（3）根据（2）所得的式子进行解答即可．
【解答】解：（1）第1个图形的火柴棒根数为：5，
第2个图形的火柴棒根数为：9＝5+4＝5+4×1，
第3个图形的火柴棒根数为：13＝5+4+4＝5+4×2，
第4个图形的火柴棒根数为：17＝5+4+4+4＝5+4×3，
第5个图形的火柴棒根数为：21＝5+4+4+4+4＝5+4×4，
……
故答案为：13，17，21；
（2）由（1）得：搭第n个图形需要火柴棒根数为：5+4（n﹣1）＝4n+1．
答：第n个图形需要火柴棒根数为：4n+1；
（3）当n＝2022时，4n+1＝4×2022+1＝8089，
所以搭第2022个图形需要8089根火柴棒．
【点评】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是根据所给的图形分析出其规律．
22．（2分）观察下列式子：
2×4+1＝9＝32；
6×8+1＝49＝72；
14×16+1＝225＝152；
……
你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．
【专题】规律型；猜想归纳；推理能力．
【答案】第n个式子为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2，证明见解答过程．
【分析】式子可以整理为：（22﹣2）×21+1+1＝（22﹣1）2；（23﹣2）×22+1+1＝（23﹣1）2；（24﹣2）×23+1+1＝（24﹣1）2……得到第n个式子的结论即可．
【解答】解：∵（22﹣2）×21+1+1＝（22﹣1）2；
（23﹣2）×22+1+1＝（23﹣1）2；
（24﹣2）×23+1+1＝（24﹣1）2……
∴第n个式子为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．
理由：∵（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1）2﹣2×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2，
∴上面结论成立．
【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类以及有理数的混合运算，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．
五．解答题（共7小题，满分40分）
23．（5分）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 10 20 1300
（1）求牛奶与咖啡每箱分别为多少元；
（2）超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1800元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 9 箱．（直接写出答案）
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）牛奶每箱30元，咖啡每箱50元；
（2）9箱．
【分析】（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由表中数据列出方程组，求解即可；
（2）设牛奶与咖啡总箱数为a箱，则打折的牛奶箱数为a箱，设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，由题意列出方程，求出正整数解，进而求解即可．
【解答】解：（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：，
解得：，
答：牛奶每箱30元，咖啡每箱50元；
（2）设牛奶与咖啡总箱数为a箱，则打折的牛奶箱数为a箱，
打折牛奶价格为：30×0.6＝18（元），打折咖啡价格为：50×0.6＝30（元），
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，
由题意得：18a+30×（a﹣b）+50b＝1800，
整理得：27a+20b＝1800，
∵a、b均为正整数，
∴或或，
当b＝63时，50×63＝3150＞1800，不合题意舍去；
当b＝36时，50×36＝1800，不合题意舍去；
当b＝9时，50×9＝450＜1800，符合题意；
即此次按原价采购的咖啡有9箱，
故答案为：9．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，列出二元一次方程．
24．（5分）设E，F，G，H分别是正方形ABCD四边AB，BC，CD，DA上的点，且△AHE，△BEF，△CFG，△DGH的面积分别是2，28，t，7．其中t是常量，若EG，FH，BD三条直线共点，求四边形EFGH的面积．
【考点】面积及等积变换．
【专题】方程思想；三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】3（t取任意正实数）．
【分析】设正方形ABCD的边长为a，且AH＝x，DG＝y，CF＝z，BE＝w，则HD＝a﹣x，GC＝a﹣y，FB＝a﹣z，BE＝w，可得方程：，设EG，FH，BD三线共点于I，因为△IDH∽△IBF，△ICD∽△IEB，所以（a﹣x）w＝（a﹣z）y⑤，把②和④代入⑤得w＝2y⑥，把⑥代入①得x（a﹣2y）＝4⑦，把⑥代入④得y（a﹣z）＝28⑧，由⑧和③消去z，整理得ay2+（﹣a2﹣28+2t）y+28a＝0⑨，由⑦和②消去x，整理得2ay2+（﹣a2﹣24）y+14a＝0，由ay2+（﹣a2﹣28+2t）y+28a＝0和2ay2+（﹣a2﹣24）y+14a＝0解得y，把y代入2ay2+（﹣a2﹣24）y+14a＝0并化简得a4+（﹣74﹣2t）a2+（640﹣16t﹣8t2）＝0，由求根公式得a2＝37+t±3．依此求出四边形EFGH的面积．
【解答】解：如图，设正方形ABCD的边长为a，且AH＝x，DG＝y，CF＝z，BE＝w，则HD＝a﹣x，GC＝a﹣y，FB＝a﹣z，BE＝w，
由题设条件得：
，
设EG，FH，BD三线共点于I，
因为△IDH∽△IBF，△ICD∽△IEB，
所以，
即（a﹣x）w＝（a﹣z）y⑤，
把②和④代入⑤得 w y，即w＝2y⑥，
把⑥代入①得x（a﹣2y）＝4⑦，
把⑥代入④得y（a﹣z）＝28⑧，
由⑧和③消去z，整理ay2+（﹣a2﹣28+2t）y+28a＝0⑨，
由⑦和②消去x，整理得2ay2+（﹣a2﹣24）y+14a＝0，
由ay2+（﹣a2﹣28+2t）y+28a＝0和2ay2+（﹣a2﹣24）y+14a＝0解得y，
把y代入2ay2+（﹣a2﹣24）y+14a＝0并化简得a4+（﹣74﹣2t）a2+（640﹣16t﹣8t2）＝0，
由求根公式得a2＝37+t±3．
注意到，正方形四个角上的三角形面积之和是37+t，那么，由a2＝37+t±3（取正号）知四边形EFGH的面积是3（t取任意正实数）．
【点评】本题考查了面积及等积变换，正方形的性质、相似三角形的性质、求根公式、图形面积等知识，关键是利用方程思想解决问题．
25．（6分）在比例尺是1：3500000的地图上，量得甲乙两地间的距离是2.4厘米，在另一幅地图上，量得两地距离是2.8厘米．求另一幅地图的比例尺？
【考点】比例尺．
【专题】实数；应用意识．
【答案】另一幅地图的比例尺为1：3000000．
【分析】根据“比例尺＝图上距离与实际距离的比”求出实际距离，再根据公式即可得出答案．
【解答】解：2.4÷（1：3500000）＝8400000（cm），
2.8÷8400000＝1：3000000，
答：另一幅地图的比例尺为1：3000000．
【点评】本题主要考查比例尺，熟练掌握“比例尺＝图上距离与实际距离的比”是解题的关键．
26．（6分）计算：﹣32+（﹣3）2﹣（﹣3）+|﹣3|+（﹣2）3．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据有理数的乘方、有理数的加减法可以解答本题．
【解答】解：﹣32+（﹣3）2﹣（﹣3）+|﹣3|+（﹣2）3
＝﹣9+9+3+3+（﹣8）
＝﹣2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
27．（6分）笑笑在银行存了20000元人民币，定期三年，年利率是2.70%．到期后银行应付给笑笑本金和利息一共多少元？
【考点】百分数的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】银行应付给笑笑本金和利息一共21620元．
【分析】根据本息和等于本金加利息，利息等于本金、利率与时间的积的计算方法即可求解．
【解答】解：20000+20000×2.7%×3
＝20000+1620
＝21620（元），
∴银行应付给笑笑本金和利息一共21620元．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算与利息，本息和的计算方法，掌握以上计算方法是解题的关键．
28．（6分）如图是绍兴市“十运会”的吉祥物“越宝、剡娃”，嵊州市甲、乙两工厂接到组委会通知，共同生产这两个吉祥物5万对，已知甲厂每天比乙厂多生产100对吉祥物，且甲厂生产5000对吉祥物所用的时间与乙厂生产4000对吉祥物所用的时间相同．
（1）求甲、乙两厂每天各生产多少对吉祥物？
（2）已知甲、乙两厂每天生产这种吉祥物的原料成本分别是4000元和3600元，两厂一起生产这5万对吉祥物，原料成本共为42万元，那么甲、乙两厂分别生产多少天？
【考点】分式方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；应用意识．
【答案】（1）甲厂每天生产500对吉祥物，则乙厂每天生产400对吉祥物；
（2）甲厂生产60天，乙厂生产50天．
【分析】（1）设甲厂每天生产x对吉祥物，则乙厂每天生产（x﹣100）对吉祥物，根据“甲厂生产5000对吉祥物所用的时间与乙厂生产4000对吉祥物所用的时间相同”列出方程并解答，注意分式方程需要验根；
（2）设甲厂生产a天，乙厂生产b天，根据“两厂一起生产这5万对吉祥物，原料成本共为42万元”列出方程组并解答即可．
【解答】解：（1）设甲厂每天生产x对吉祥物，则乙厂每天生产（x﹣100）对吉祥物，则：
．
解得x＝500．
经检验x＝500是原方程的根，且符合题意．
则x﹣100＝400．
答：甲厂每天生产500对吉祥物，则乙厂每天生产400对吉祥物；
（2）设甲厂生产a天，乙厂生产b天，则
．
解得．
答：甲厂生产60天，乙厂生产50天．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用和二元一次方程组的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
29．（6分）已知扇形OAB．
（1）如图1，请你作一条过圆心O的直线，使扇形的面积被这条直线平分；
（2）如图2，已知，若扇形OAB的面积被以O为圆心的平分，点C在OA上，点D在OB上，求OC的长，并在图2上作出这条．
（注：所有作图都要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图—应用与设计作图；垂径定理；扇形面积的计算．
【专题】作图题；与圆有关的计算；几何直观；运算能力．
【答案】（1）图见详解；
（2）OC＝1；图见详解．
【分析】（1）面积被平分即作角平分线，据此要求画图即可．
（2）通过扇形面积公式找到所在圆的半径和扇形OAB的半径关系，直接求解即可，再通过两扇形面积比转化为半径比，最后画出垂直平分线，构造等腰直角三角形，然后补全图形即可．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）由题可知，，，
∴，
∵，
∴OC＝1，
先画出线段OA的垂直平分线即可得到点H，
再取，可得到等腰直角△OHG，
∴，
以OG为半径，O为圆心画圆即可得到．
【点评】此题考查扇形的面积公式，以及角平分线和垂直平分线的作图法，作图痕迹容易漏掉弧，是易错点，解题技巧是将扇形面积比转化为半径的比．
考点卡片
1．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
4．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
5．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
6．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
7．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
8．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
9．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
10．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
11．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
12．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
13．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
14．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
15．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
16．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
17．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
18．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
19．钟面角
（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°．
（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
（3）钟面上的路程问题
分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
20．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
21．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
22．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
23．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
24．面积及等积变换
面积及等积变换．
BC×AD＝AC×BE＝AB×CF．
25．质数（素数）
质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．
26．合数
合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数．与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数．最小的合数是4．其中，完全数与相亲数是以它为基础的．
27．分数的乘法
分数乘法是一种数学运算方法．分数的分子与分子相乘，分母与分母相乘，能约分的要先约分，分子不能和分母乘．做第一步时，就要想一个数的分子和另一个数的分母能不能约分．（0除外）分数与整数相乘就是把多个同样的数叠加．
28．小数的互化
小数与分数、百分数、千分数可以进行互化．有限小数化分数：小数表示的就是十分之一、百分之一、千分之一......所以，0.6可以化成十分之六，约分成五分之三．
29．小数的运算
在一个算式中，含有加、减、乘、除四种运算中两种或两种以上运算的，称为四则运算．运算中的数字是小数时叫做小数四则运算．法则 同级运算时，从左到右依次计算；两级运算时，先算乘除，再算加减．
30．比的意义
比的意义是两个数相除又叫做两个数的比，比是表示两个数相除，有两项；比是由一个前项和一个后项组成的除法算式，只不过把“÷”（除号）改成了“：”（比号）而已，但除法算式表示的是一种运算，而比则表示两个数的关系．和分数的分数线类似．
31．比的应用
1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或者几个数量是多少？2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或者几个数量是多少？
32．比例尺
“比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．公式为：比例尺＝图上距离与实际距离的比．”
33．百分数的应用
超市卖货中的打折（折扣）问题，如一件上衣400元，现八折（80%）出售．成数问题，如这次小麦收成是上次的二成（20%）．事物配制问题：如水占8伤，药占水的20%等．
34．圆的周长
圆周长是指绕圆一周的长度．圆周长就是：C＝πd或C＝2πr者（其中d是圆的直径，r是圆的半径）．
35．圆柱的体积
圆柱体积公式是用于计算圆柱体体积的公式，表达式为V＝π*r2*h．
36．圆锥的体积
一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积．一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的三分之一，V圆锥＝1/3Sh（S为圆锥的底面积，h为圆锥的高），圆锥底面积S＝πR2（R为圆锥底面圆的半径．
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