2024—2025学年上学期合肥初中数学八年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期合肥初中数学八年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）一个正数的算术平方根是a，则比这个正数小2的数的算术平方根是（　　）
A．a﹣2 B．a﹣4 C． D．
2．（3分）已知a＞b＞0，下列结论错误的是（　　）
A．a+m＞b+m B．﹣a+m＞b+m C． D．
3．（3分）如图表示的是一个不等式的解集，则这个不等式可以是（　　）
A．x＞﹣1 B．3 C．x+1≥﹣1 D．﹣2x＞4
4．（3分）已知，平面直角坐标系中A点坐标是（3，2），B点坐标是（﹣2，﹣5），将线段AB平移后得到点A的对应点A'的坐标是（5，﹣1），则点B的对应点B'的坐标为（　　）
A．（0，﹣6） B．（3，﹣8） C．（1，﹣4） D．（0，﹣8）
5．（3分）下列运算结果正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．（3b2）2＝3b4
C．（a4）2＝a8 D．a6+a2＝a8
6．（3分）﹣0.00035用科学记数法表示为（　　）
A．﹣3.5×10﹣4 B．﹣3.5×104 C．3.5×10﹣4 D．﹣3.5×10﹣3
7．（3分）下列式子运算结果为x+1的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）分式的值为0，则x的值为（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．
9．（3分）如图，直线AB∥CD∥EF，下列结论正确的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠1+∠2＝180°
C．∠1+∠3﹣∠2＝180° D．∠3＝2∠2
10．（3分）不等式组有4个整数解，则a的取值可能是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）若4x2﹣8＝0，则x的值为 　 　．
12．（4分）一次函数y＝（2a+3）x+2的值随x值的增大而减少，则常数a的取值范围是 　 　．
13．（4分）把多项式ax2﹣9a分解因式的结果是 　 　．
14．（4分）若a2+b2＝19，ab＝5，则a﹣b＝　 　．
15．（4分）已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[5.7]＝5，[﹣π]＝﹣4．
（1）若[x]＝﹣1，则x的取值范围是 　 　；
（2）若3x﹣6[x]＝10，则x＝　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
16．（6分）计算：．
17．（6分）解不等式组：．
18．（8分）解下列分式方程：
（1）；
（2）．
19．（8分）如图，已知：EF⊥AC，垂足为点F，DM⊥AC，垂足为点M，DM的延长线交AB于点B，点N在AD上，且∠2＝∠3．
（1）若∠CDA＝80°，求∠MND的度数；
（2）若∠1＝∠C，请你判断AB与MN的位置关系，并说明理由．
20．（10分）先阅读下面的材料，然后解答问题．
通过计算，发现：方程x2的解为x1＝2，x2；方程x3的解为x1＝3，x2；方程x4的解为x1＝4，x2；…
（1）观察猜想：关于x的方程xn的解是　 　；
（2）实践运用：对于关于x的方程xm的解，小明观察得“x＝m”是该方程的一个解，请你猜想该方程的另一个解，并用方程的解的概念对该解进行验证；
（3）拓展延伸：请利用上面的规律，求关于x的方程xa的解．
21．（12分）甲、乙两人准备整理一批新到的图书．若甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
四．选择题（共1小题，满分2分，每小题2分）
22．（2分）已知一次函数yx+m和yx+n的图象都经过点A（﹣2，0），且与y轴分别交于B，C两点，那么△ABC的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
五．填空题（共1小题，满分3分，每小题3分）
23．（3分）已知正比例函数y＝kx（k为常数）图象过第二、四象限，化简　 　．
2024—2025学年上学期合肥初中数学八年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）一个正数的算术平方根是a，则比这个正数小2的数的算术平方根是（　　）
A．a﹣2 B．a﹣4 C． D．
【考点】算术平方根．
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】根据算术平方根和平方运算，可得被开方数，根据开方运算，可得答案．
【解答】解：因为一个正数的算术平方根是a，
所以这个正数是a2，
故比这个正数小2的数的算术平方根是，
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根，利用了开方运算，注意一个正数只有一个算术平方根．
2．（3分）已知a＞b＞0，下列结论错误的是（　　）
A．a+m＞b+m B．﹣a+m＞b+m C． D．
【考点】不等式的性质．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】解：（A）∵a＞b，∴a+m＞b+m，故A正确；
（B）∵a＞b＞0，∴b＞﹣a，∴b+m＞﹣a+m，故B错误；
（C）∵a＞b＞0，∴，故C正确；
（D）∵a＞b，∴，故D正确；
故选：B．
【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．
3．（3分）如图表示的是一个不等式的解集，则这个不等式可以是（　　）
A．x＞﹣1 B．3 C．x+1≥﹣1 D．﹣2x＞4
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出每个不等式的解，再进行判断即可．
【解答】解：在数轴上表示的解集为x≥﹣2．
A、，解得x＞﹣2，故本选项不合题意；
B、，解得x≥﹣9，故本选项不合题意；
C、x+1≥﹣1，解得x≥﹣2，故本选项符合题意；
D、﹣2x＞4，解得x＜﹣2，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）是解题关键．
4．（3分）已知，平面直角坐标系中A点坐标是（3，2），B点坐标是（﹣2，﹣5），将线段AB平移后得到点A的对应点A'的坐标是（5，﹣1），则点B的对应点B'的坐标为（　　）
A．（0，﹣6） B．（3，﹣8） C．（1，﹣4） D．（0，﹣8）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】几何图形．
【答案】D
【分析】根据点A、A′的坐标确定出平移规律，然后求解即可．
【解答】解：∵点A（3，2）的对应点A′是（5，﹣1），
∴平移规律是横坐标加2，纵坐标减3，
∴点B（﹣2，﹣5）的对应点B'的坐标为（0，﹣8）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，确定出平移规律是解题的关键．
5．（3分）下列运算结果正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．（3b2）2＝3b4
C．（a4）2＝a8 D．a6+a2＝a8
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2 a4＝a6，故本选项不符合题意；
B、（3b2）2＝9b4，故本选项不符合题意；
C、（a4）2＝a8，故本选项符合题意；
D、a6+a2不能合并，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
6．（3分）﹣0.00035用科学记数法表示为（　　）
A．﹣3.5×10﹣4 B．﹣3.5×104 C．3.5×10﹣4 D．﹣3.5×10﹣3
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】常规题型．
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将数据0.00035用科学记数法表示为﹣3.5×10﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．（3分）下列式子运算结果为x+1的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用分式的运算法则，逐个计算得结论．
【解答】解：∵x﹣1，故选项A的运算结果不是x+1；
，故选项B的运算结果不是x+1；
x+1，故选项C的运算结果是x+1；
，故选项D的运算结果不是x+1；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
8．（3分）分式的值为0，则x的值为（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】分式；符号意识．
【答案】B
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣2＝0，
解得：x＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式为零的条件，正确把握分式为零的条件是解题关键．
9．（3分）如图，直线AB∥CD∥EF，下列结论正确的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠1+∠2＝180°
C．∠1+∠3﹣∠2＝180° D．∠3＝2∠2
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】由平行线的性质得到∠1＝∠2+∠EHD，∠EHD＝180°﹣∠3，进一步运算即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵AB∥CD∥EF，
∴∠1＝∠2+∠EHD，∠EHD＝180°﹣∠3，
∴∠1＝∠2+180°﹣∠3，
即∠1+∠3﹣∠2＝180°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
10．（3分）不等式组有4个整数解，则a的取值可能是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据不等式组的整数解有三个，确定出a的范围即可．
【解答】解：∵不等式组的整数解有四个，
∴这三个整数解为2、1、0，﹣1，
则﹣2＜a≤﹣1，
故选：B．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）若4x2﹣8＝0，则x的值为 　±　．
【考点】平方根．
【专题】计算题；符号意识．
【答案】±．
【分析】由平方根的概念，可求解．
【解答】解：4x2﹣8＝0，
4x2＝8，
x2＝2，
x＝±．
故答案为：±．
【点评】本题考查平方根的概念，关键是理解此概念的本质．
12．（4分）一次函数y＝（2a+3）x+2的值随x值的增大而减少，则常数a的取值范围是 　a　．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】a．
【分析】先根据一次函数的性质得出关于a的不等式2a+3＜0，再解不等式即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（2a+3）x+2的值随x值的增大而减少，
∴2a+3＜0，解得a．
故答案为：a．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
13．（4分）把多项式ax2﹣9a分解因式的结果是 　a（x﹣3）（x+3）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】a（x﹣3）（x+3）．
【分析】先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：ax2﹣9a
＝a（x2﹣9）
＝a（x﹣3）（x+3），
故答案为：a（x﹣3）（x+3）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14．（4分）若a2+b2＝19，ab＝5，则a﹣b＝　±3　．
【考点】完全平方公式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】±3．
【分析】根据完全平方公式先求得（a﹣b）2的值，然后根据平方根的概念进行计算求解．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，且a2+b2＝19，ab＝5，
∴（a﹣b）2＝19﹣2×5＝19﹣10＝9，
∴a﹣b＝±3，
故答案为：±3．
【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的结构是解题关键．
15．（4分）已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[5.7]＝5，[﹣π]＝﹣4．
（1）若[x]＝﹣1，则x的取值范围是 　﹣1≤x＜0　；
（2）若3x﹣6[x]＝10，则x＝　　．
【考点】解一元一次不等式组；实数大小比较；解一元一次方程．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；推理能力；应用意识．
【答案】（1）﹣1≤x＜0；
（2）．
【分析】（1）根据题干中[x]的定义进行求解即可；
（2）利用[x]的定义可得出3x为整数，再求解即可．
【解答】解：（1）∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴[x]≤x＜[x]+1，
∵[x]＝﹣1，
∴﹣1≤x＜0，
故答案为：﹣1≤x＜0；
（2）∵[x]≤x＜[x]+1，
∴3[x]≤3x＜3[x]+3，
∴3[x]﹣6[x]≤3x﹣6[x]＜3[x]+3﹣6[x]，
即﹣3[x]≤3x﹣6[x]＜﹣3[x]+3，
∵3x﹣6[x]＝10，[x]为整数，
∴当[x]＝﹣3时，
9≤3x﹣6[x]＜12，
∴3x+18＝10，
∴x，
故答案为：．
【点评】本题考查解一元一次方程，实数大小比较等知识点，解题的关键是根据题干得出[x]的取值范围．
三．解答题（共6小题，满分50分）
16．（6分）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】0．
【分析】先计算负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数值、绝对值和二次根式，再计算加减．
【解答】解：
1+3﹣3
＝0．
【点评】此题考查了负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数和二次根式等混合运算能力，关键是能准确理解以上知识并能进行正确的计算．
17．（6分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组；不等式的性质；解一元一次不等式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣4，
由②得：x＜6，
∴不等式组的解集是﹣4≤x＜6．
【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组）等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
18．（8分）解下列分式方程：
（1）；
（2）．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x（x+1）＝3+x2﹣1，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝2是分式方程的解；
（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（8分）如图，已知：EF⊥AC，垂足为点F，DM⊥AC，垂足为点M，DM的延长线交AB于点B，点N在AD上，且∠2＝∠3．
（1）若∠CDA＝80°，求∠MND的度数；
（2）若∠1＝∠C，请你判断AB与MN的位置关系，并说明理由．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）∠MND＝100°；（2）AB∥MN．理由见解析．
【分析】（1）首先证明EF∥DM可得∠3＝∠CDM，进而可得∠2＝∠CDM，可证明MN∥CD，根据平行线的性质即可求解；
（2）由（1）知MN∥CD，根据平行线的性质可得∠AMN＝∠C，结合已知条件可得∠AMN＝∠1，即可得AB∥MN．
【解答】解：（1）∵EF⊥AC，DM⊥AC，
∴∠CFE＝∠CMD＝90°，
∴EF∥DM，
∴∠3＝∠CDM，
∵∠3＝∠2，
∴∠2＝∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠MND+∠CDA＝180°，
∵∠CDA＝80°，
∴∠MND＝100°；
（2）AB∥MN．理由如下：
∵MN∥CD，
∴∠AMN＝∠C，
∵∠1＝∠C，
∴∠1＝∠AMN，
∴AB∥MN．
解法二：∵∠1＝∠C，
∴AB∥CD．
∵MN∥CD，
∴AB∥MN．
【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，内错角相等，两直线平行．两直线平行，内错角相等．
20．（10分）先阅读下面的材料，然后解答问题．
通过计算，发现：方程x2的解为x1＝2，x2；方程x3的解为x1＝3，x2；方程x4的解为x1＝4，x2；…
（1）观察猜想：关于x的方程xn的解是　x1＝n，x2　；
（2）实践运用：对于关于x的方程xm的解，小明观察得“x＝m”是该方程的一个解，请你猜想该方程的另一个解，并用方程的解的概念对该解进行验证；
（3）拓展延伸：请利用上面的规律，求关于x的方程xa的解．
【考点】分式方程的解．
【专题】阅读型；规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据例题可以得到：方程的左边与右边的式子形式完全相同，只是左边是未知数，右边是把未知数换成了具体的数，则方程的解是方程右边的两部分，据此即可求解．
【解答】解：（1）根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 x1＝n，x2；
故答案为：x1＝n，x2．
（2）类似的，关于x的方程xm的解是 x1＝m，x2；
（3）xa，
可得：x﹣3a﹣3，
可得：x1＝a，x23．
【点评】本题考查分式方程的解，正确理解例题，发现方程与解之间的关系：方程的左边与右边的式子形式完全相同，只是左边是未知数，右边是把未知数换成了具体的数，则方程的解是方程右边的两部分，是解题的关键．
21．（12分）甲、乙两人准备整理一批新到的图书．若甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】方程思想；分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）乙单独整理多少分钟完工，根据甲完成的工作量+乙完成的工作量＝总工作量（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设甲整理y分钟完工，根据甲完成的工作量+乙完成的工作量≥总工作量（单位1），即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙单独整理x分钟完工，
根据题意得：1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是分式方程的解且符合题意．
答：乙单独整理80分钟完工．
（2）设甲整理y分钟完工，
根据题意得：1，
解得：y≥25．
答：甲至少整理25分钟才能完工．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
四．选择题（共1小题，满分2分，每小题2分）
22．（2分）已知一次函数yx+m和yx+n的图象都经过点A（﹣2，0），且与y轴分别交于B，C两点，那么△ABC的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】计算题；压轴题；待定系数法．
【答案】C
【分析】首先把（﹣2，0）分别代入一次函数yx+m和yx+n，求出m，n的值，则求出两个函数的解析式；然后求出B、C两点的坐标；最后根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【解答】解：yx+m与yx+n的图象都过点A（﹣2，0），
所以可得0（﹣2）+m，0（﹣2）+n，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴两函数表达式分别为yx+3，yx﹣1，
直线yx+3与yx﹣1与y轴的交点分别为B（0，3），C（0，﹣1），
S△ABCBC AO4×2＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系．函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上．
五．填空题（共1小题，满分3分，每小题3分）
23．（3分）已知正比例函数y＝kx（k为常数）图象过第二、四象限，化简　1﹣k　．
【考点】正比例函数的性质．
【专题】二次根式；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】1﹣k．
【分析】由正比例函数y＝kx（k为常数）图象经过的象限确定k的符号，即可化简根式．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数）图象过第二、四象限，
∴k＜0，
∴k﹣1＜0，
∴1﹣k，
故答案为：1﹣k．
【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，二次根式的化简，熟练掌握正比例函数的性质是解决问题的关键．
考点卡片
1．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
6．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
7．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
8．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
9．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
10．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
11．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
12．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
13．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
14．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
15．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
16．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
17．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
18．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
19．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
20．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
21．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
22．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
23．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
24．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
25．正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
26．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
27．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
28．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
29．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
30．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）