2024—2025学年上学期南京初中数学八年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024—2025学年上学期南京初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）如图，△ABE≌△ACF，BE与CF交于点D，连接BC．若∠A＝40°，∠BDC＝60°，则∠ABE的度数为（　　）
A．5° B．10° C．12° D．15°
2．（2分）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于（　　）
A．72° B．60° C．58° D．50°
3．（2分）如图，用圆规直尺作一角等于已知角，其根据是构造两个全等三角形，它所用到的判定方法是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
4．（2分）如图所示，已知：BD＝CE，AB＝FD，B，D，C，E共线，选取下列条件中的一个条件，能使△ABC≌△FDE的条件有（　　）个
①AB∥DF；②AC∥EF；③∠A＝∠F；④∠A＝∠F＝90°．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2分）由方程组可得x与y的关系是（　　）
A．2x+y＝4 B．2x+y＝﹣4 C．2x﹣y＝4 D．2x﹣y＝﹣4
6．（2分）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为4的是（　　）
A．x＝5，y＝﹣1 B．x＝2，y＝2 C．x＝﹣3，y＝1 D．x＝3，y＝﹣1
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）某样本中，新冠病毒的直径约为0.00000012m，用科学记数法表示0.00000012是　 　．
8．（2分）已知a+b＝3，ab＝2，则（a﹣b）2＝　 　．
9．（2分）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是 　 　．
10．（2分）如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝　 　°．
11．（2分）如图，点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，连接AO，如果AB＝AC，AD＝AE，那么图中的全等三角形共有 　 　对．
12．（2分）计算：
（1）（m5）4＝　 　；
（2）m （m2）3＝　 　．
13．（2分）分解因式：4﹣100x2＝　 　．
14．（2分）小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是 　 　．
15．（2分）在直角三角形中，有一条斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写成 　 　或 　 　．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AN是过点A的一条直线，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E．当AN与边BC相交时，线段DE，BD与CE的数量关系是　 　．
三．解答题（共11小题，满分68分）
17．（6分）（1）计算：　 　；（5m）﹣n＝　 　；（a﹣b）4÷（a﹣b）5＝　 　．
（2）若（x+4）0＝1，则x应满足的条件是 　 　．
（3）若，则x的值为 　 　；若33y+1＝1，则y的值为 　 　．
18．（4分）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣x（x﹣2y）]÷2y，其中x＝3，y＝﹣1．
19．（6分）因式分解：
（1）3a2﹣27；
（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．
20．（6分）解不等式组，并写出它的非负整数解．
21．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC上一点，在射线BD上用尺规作一点E，使∠BEC＝∠A（不写作法，保留作图痕迹）．
22．（6分）已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值．
23．（6分）如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在同一条直线上，判断AD与BC的关系，并说明理由．
24．（7分）一中集团某兄弟学校计划组织师生共556人参加一次秋季研学活动，如果租用7辆大巴车和5辆中巴车恰好全部坐满．已知每辆大巴车的乘客座位数比中巴车多16个．
（1）求每辆大巴车和每辆中巴车的乘客座位数；
（2）由于最后参加活动的人数增加了20人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，最多可以租用多少辆中巴车？
25．（6分）将两个全等的Rt△ABC和Rt△DCB如图摆放，∠BAC＝∠CDB＝90°，AC、BD相交于点F，G为CF中点，连接AD，DG．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若DG＝DF＝1，求AD的长．
26．（7分）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．因为（x+2）2≥0，所以（x+2）2+1≥1，所以x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）当x＝　 　时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　 　；
（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　 　时，y有最 　 　值（填“大”或“小”），这个值是 　 　，并写出求解过程．
27．（10分）综合与探究
已知在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合），以AD为边作Rt△ADE（其中AD＝AE，∠DAE＝90°），连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求∠DCE的度数．
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段BD，CD，DE的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，AC，CE＝1，求线段DE的长．
2024—2025学年上学期南京初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）如图，△ABE≌△ACF，BE与CF交于点D，连接BC．若∠A＝40°，∠BDC＝60°，则∠ABE的度数为（　　）
A．5° B．10° C．12° D．15°
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠ACF，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABE≌△ACF，
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠BEC＝∠ABE+∠A＝ABE+40°，
∴∠BDC＝∠BEC+∠ACF＝∠ABE+40°+∠ABE＝60°，
∴∠ABE＝10°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
2．（2分）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于（　　）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】D
【分析】根据图形得出DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，根据全等三角形的性质得出∠D＝∠A＝50°，即可得出选项．
【解答】解：
∵DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，
又∵△ABC和△DEF全等，
∴∠D＝∠A＝50°，
∴∠α＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3．（2分）如图，用圆规直尺作一角等于已知角，其根据是构造两个全等三角形，它所用到的判定方法是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】C
【分析】由作图可知OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，由此即可判断．
【解答】解：由作图可知OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，
在△COD和△C′O′D′中
，
∴△COD≌△C′O′D′（SSS）．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息．
4．（2分）如图所示，已知：BD＝CE，AB＝FD，B，D，C，E共线，选取下列条件中的一个条件，能使△ABC≌△FDE的条件有（　　）个
①AB∥DF；②AC∥EF；③∠A＝∠F；④∠A＝∠F＝90°．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】全等三角形的判定．
【答案】B
【分析】分别根据条件结合全等三角形的判定分别进行分析即可．
【解答】解：①当AB∥DF，则∠ABC＝∠FDC，
∵BD＝CE，
∴BC＝DE，
在△ABC和△FDE中
∵，
∴△ABC≌△FDE（SAS），
②③只能得到SSA，无法判定三角形全等；
④当∠A＝∠F＝90°，
∵BD＝CE，
∴BC＝DE，
在Rt△ABC和Rt△FDE中
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△FDE（HL），
故正确的有2个．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．（2分）由方程组可得x与y的关系是（　　）
A．2x+y＝4 B．2x+y＝﹣4 C．2x﹣y＝4 D．2x﹣y＝﹣4
【考点】解二元一次方程组；解二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】方程组消元m即可得到x与y的关系式．
【解答】解：，
把②代入①得：2x+y﹣3＝1，
整理得：2x+y＝4，
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
6．（2分）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为4的是（　　）
A．x＝5，y＝﹣1 B．x＝2，y＝2 C．x＝﹣3，y＝1 D．x＝3，y＝﹣1
【考点】代数式求值；有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】D
【分析】把各自的值代入运算程序中计算，使其结果为4即可．
【解答】解：A、把x＝5，y＝﹣1代入得：5+1＝6，不符合题意；
B、把x＝2，y＝2代入得：2﹣4＝﹣2，不符合题意；
C、把x＝﹣3，y＝1代入得：﹣3﹣1＝﹣4，不符合题意；
D、把x＝3，y＝﹣1代入得：3+1＝4，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）某样本中，新冠病毒的直径约为0.00000012m，用科学记数法表示0.00000012是　1.2×10﹣7　．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】1.2×10﹣7．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故答案为：1.2×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．（2分）已知a+b＝3，ab＝2，则（a﹣b）2＝　1　．
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】1
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝（3）2﹣4×2＝9﹣8＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，（a±b）2＝a2±2ab+b2．
9．（2分）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是 　三角形具有稳定性　．
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】三角形具有稳定性．
【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案．
【解答】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解本题的关键．
10．（2分）如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝　30　°．
【考点】全等三角形的性质．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题实际上是全等三角形的性质以及根据三角形内角和等于180°来求角的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△A1B1C1，
∴∠C1＝∠C，
又∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∴∠C1＝∠C＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了全等三角形的性质；解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．
11．（2分）如图，点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，连接AO，如果AB＝AC，AD＝AE，那么图中的全等三角形共有 　5　对．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】5．
【分析】先根据“SAS”证明△ABE≌△ACD，则BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，所以BD＝CE，再根据“AAS”证明△BOD≌△COE，然后根据“SSS”证明△BCD≌△CBE，同样方法可得△AOD≌△AOE，△AOB≌△AOC，从而可判断图中的全等三角形共有5对．
【解答】解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS），
在△BCD和△CBE中，
，
∴△BCD≌△CBE（SSS），
同理可得△AOD≌△AOE，△AOB≌△AOC，
综上所述，图中的全等三角形共有5对．
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
12．（2分）计算：
（1）（m5）4＝　m20　；
（2）m （m2）3＝　m7　．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）m20；
（2）m7．
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则计算即可；
（2）根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【解答】解：（1）（m5）4
＝m5×4
＝m20．
故答案为：m20．
（2）m （m2）3
＝m m2×3
＝m m6
＝m1+6
＝m7．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．
13．（2分）分解因式：4﹣100x2＝　4（1﹣5x）（1+5x）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】4（1﹣5x）（1+5x）．
【分析】利用平方差公式进行分解，即可解答．
【解答】解：4﹣100x2＝4（1﹣5x）（1+5x）．
故答案为：4（1﹣5x）（1+5x）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
14．（2分）小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是 　ASA　．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】ASA．
【分析】图中的三角形已知一条边以及两个角，利用全等三角形的判定（ASA）可作图．
【解答】解：图中的三角形已知一条边以及两个角，则她作图的依据是ASA，
故答案为：ASA．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
15．（2分）在直角三角形中，有一条斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写成 　斜边，直角边　或 　HL　．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形全等的判定定理HL定理进行分析即可得到答案．
【解答】解：在直角三角形中，有一条斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写成斜边，直角边或HL；
故答案为：斜边，直角边；HL．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定定理，关键是同学们要熟练把握判定方法．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AN是过点A的一条直线，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E．当AN与边BC相交时，线段DE，BD与CE的数量关系是　BD﹣CE＝DE　．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】BD﹣CE＝DE．
【分析】先根据垂直的定义得到∠AEC＝∠BDA＝90°，再根据等角的余角相等得到∠ABD＝∠CAE，则可利用“AAS”判断△ABD≌△CAE，所以AD＝CE，BD＝AE，于是有BD﹣CE＝AE﹣AD＝DE．
【解答】解：BD﹣CE＝DE，
理由：∵CE⊥AN，BD⊥AN，
∴∠AEC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠BAC＝90°，即∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴BD﹣CE＝AE﹣AD＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
三．解答题（共11小题，满分68分）
17．（6分）（1）计算：　　；（5m）﹣n＝　　；（a﹣b）4÷（a﹣b）5＝　　．
（2）若（x+4）0＝1，则x应满足的条件是 　x≠﹣4　．
（3）若，则x的值为 　x＝﹣3　；若33y+1＝1，则y的值为 　y　．
【考点】同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）；；；
（2）x≠﹣4；
（3）x＝﹣3；y．
【分析】（1）利用负整数指数幂，同底数幂的除法的法则进行运算即可；
（2）根据非0实数的0次幂为1，可得出结果；
（3）利用负整数指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方对式子进行运算即可．
【解答】解：（1）；
（5m）﹣n；
（a﹣b）4÷（a﹣b）5＝（a﹣b）﹣1，
故答案为：；；；
（2）∵（x+4）0＝1，
∴x+4≠0，
解得：x≠﹣4，
故答案为：x≠﹣4；
（3）∵，
∴4﹣3，
∴x＝﹣3；
∵33y+1＝1，
∴33y×3＝1，
则33y3﹣1，
∴3y＝﹣1，
解得：y．
故答案为：x＝﹣3；y．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，负整数指数幂，零指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（4分）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣x（x﹣2y）]÷2y，其中x＝3，y＝﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】3x+2y＝7．
【分析】先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后求出答案即可．
【解答】解：原式＝（x2+4xy+4y2﹣x2+2xy）÷2y
＝（6xy+4y2）÷2y
＝3x+2y，
当x＝3，y＝﹣1时，原式＝3×3+2×（﹣1）＝7．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19．（6分）因式分解：
（1）3a2﹣27；
（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；符号意识．
【答案】（1）3（a+3）（a﹣3）；
（2）（x﹣2）2．
【分析】（1）直接提取公因式3，进而利用公式法分解因式得出答案；
（2）直接结合多项式乘多项式化简，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：（1）3a2﹣27
＝3（a2﹣9）
＝3（a+3）（a﹣3）；
（2）（x﹣1）（x﹣3）+1
＝x2﹣4x+3+1
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
20．（6分）解不等式组，并写出它的非负整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】0，1．
【分析】根据解一元一次不等式组的方法，可以解答本题．
【解答】解：，
由不等式①，得
x＞﹣2，
由不等式②，得
x≤1，
故原不等式组的解集是﹣2＜x≤1，
∴它的非负整数解是0，1．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
21．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC上一点，在射线BD上用尺规作一点E，使∠BEC＝∠A（不写作法，保留作图痕迹）．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解答．
【分析】先作AC的垂直平分线得到AC的中点O，再作△ABC为外接圆⊙O，则⊙O与射线AD的交点为E，利用圆周角定理可确定E点满足条件．
【解答】解：如图，点E为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
22．（6分）已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】数与式；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣0.5．
【分析】先求出方程组的解，根据相反数得出关于a的一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：
②﹣①，得3y＝﹣9a+3，
即y＝﹣3a+1，
把y＝﹣3a+1代入①得，x＝a﹣2，
由题意得：a﹣2+（﹣3a+1）＝0，
解得：a＝﹣0.5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，相反数等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键．
23．（6分）如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在同一条直线上，判断AD与BC的关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据全等三角形的性质得到∠ADF＝∠CBE，AD＝BC，根据平行线的判定定理证明结论．
【解答】解：AD＝BC，AD∥BC．
理由如下：∵△ADF≌△CBE，
∴∠ADF＝∠CBE，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∴AD∥BC，
∴AD＝BC，AD∥BC．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、平行线的判定，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
24．（7分）一中集团某兄弟学校计划组织师生共556人参加一次秋季研学活动，如果租用7辆大巴车和5辆中巴车恰好全部坐满．已知每辆大巴车的乘客座位数比中巴车多16个．
（1）求每辆大巴车和每辆中巴车的乘客座位数；
（2）由于最后参加活动的人数增加了20人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，最多可以租用多少辆中巴车？
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每辆大巴车的乘客座位数是x个，每辆中巴车的乘客座位数是y个，由题意：某兄弟学校计划组织师生共556人参加一次秋季研学活动，如果租用7辆大巴车和5辆中巴车恰好全部坐满．已知每辆大巴车的乘客座位数比中巴车多16个．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设租用中巴车a辆，则租用（7+5﹣a）辆大巴车，由题意：最后参加活动的人数增加了20人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每辆大巴车的乘客座位数是x个，每辆中巴车的乘客座位数是y个，
依题意，得：，
解得：，
答：每辆大巴车的乘客座位数是53个，每辆中巴车的乘客座位数是37个．
（2）设租用中巴车a辆，则租用（7+5﹣a）辆大巴车，
依题意，得：37a+53（7+5﹣a ）≥556+20，
解得：a≤3，
∵a为整数，
∴a的最大值为3，
答：最多可以租用3辆中巴车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（6分）将两个全等的Rt△ABC和Rt△DCB如图摆放，∠BAC＝∠CDB＝90°，AC、BD相交于点F，G为CF中点，连接AD，DG．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若DG＝DF＝1，求AD的长．
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠FCB＝∠FBC，AC＝BD，进而得出∠FAD＝∠FDA，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）根据直角三角形的得到DG＝FG，证明△DFG为等边三角形，得到∠DFG＝∠FDG＝60°，进而得出∠ADG＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠FCB＝∠FBC，AC＝BD，
∴FC＝FB，
∴AC﹣FC＝BD﹣FB，即FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠AFD＝∠BFC，
∴∠FCB＝∠FBC＝∠FAD＝∠FDA，
∴AD∥BC，
（2）解：在Rt△CDF中，G为CF中点，
∴DG＝FG，
∵DG＝DF＝1，
∴DG＝DF＝FG＝1，
∴△DFG为等边三角形，
∴∠DFG＝∠FDG＝60°，
∴∠FAD＝∠FDA＝30°，
∴∠ADG＝90°，
∴ADDG．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
26．（7分）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．因为（x+2）2≥0，所以（x+2）2+1≥1，所以x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）当x＝　3　时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　3　；
（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　1　时，y有最 　大　值（填“大”或“小”），这个值是 　﹣2　，并写出求解过程．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】整体思想；配方法；运算能力；模型思想．
【答案】（1）3，3；（2）1，大，﹣2．
【分析】（1）通过对代数式x2﹣6x+12配方得（x﹣3）2+3，可得当x＝3时代数式x2﹣6x+12可取最小值3；
（2）通过对代数式﹣x2+2x﹣3配方可得﹣（x﹣1）2﹣2，可得当x＝1时，y有最大值﹣2．
【解答】解：（1）∵x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3，
∵（x﹣3）2≥0，
∴当x＝3时代数式x2﹣6x+12可取最小值3．
故答案为：3，3．
（2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
又∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2，
∴当x＝1时，y有最大值，最大值是﹣2．
故答案为：1，大，﹣2．
【点评】本题通过配方法和对非负数的理解，考查了学生数学整体思想和应用迁移的方法．
27．（10分）综合与探究
已知在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合），以AD为边作Rt△ADE（其中AD＝AE，∠DAE＝90°），连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求∠DCE的度数．
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段BD，CD，DE的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，AC，CE＝1，求线段DE的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）90°；
（2）BD2+CD2＝DE2，理由见解答过程；
（3）．
【分析】（1）①根据条件AB＝AC，∠BAC＝90°，AD＝AE，∠DAE＝90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出∠ABC＝∠ACE＝45°，从而可得答案；
（2）判定△ABD≌△ACE（SAS），根据全等三角形的性质和勾股定理，即可得到答案；
（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，进再用勾股定理即可求得线段DE的长．
【解答】解：（1）如图1，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ACB＝45°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°；
（2）BD2+CD2＝DE2，理由如下：
如图2：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ACB＝45°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°＝∠ECD，
∴CE2+CD2＝DE2，
∴BD2+CD2＝DE2；
（3）如图3，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ACB＝45°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝180°﹣∠ABC＝135°，BD＝CE＝1，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，
∴CE2+CD2＝DE2，
∵AC，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴BCAC＝2，
∴CD＝BC+BD＝3
∴DE．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
3．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
4．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
5．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
6．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
7．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
8．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
9．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
10．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
　2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
11．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
12．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
13．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
14．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
15．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
16．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
17．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
18．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
19．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
20．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
21．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
22．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
23．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
24．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
25．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
26．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
27．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
28．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
29．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
30．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．