2024—2025学年上学期南京初中数学八年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期南京初中数学八年级开学模拟试卷2
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列各式中，正确的是（　　）
A．y3 y2＝y6 B．（﹣x2）3＝﹣x6
C．（a3）3＝a6 D．﹣（﹣m2）4＝m8
2．（2分）数据40000﹣1用科学记数法表示为（　　）
A．﹣4×104 B．﹣4×10﹣4 C．2.5×10﹣5 D．﹣2.5×10﹣5
3．（2分）下列命题为真命题的有（　　）个．
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②若两个三角形两边和一角对应相等，则这两个三角形全等；③顺次连接四边形各边中点所得四边形一定为平行四边形；④若两个三角形面积之比为4：9，则这两个三角形周长之比为2：3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2分）若不等式的解集为x＜﹣2，则以下数轴表示中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（2分）如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝55°，则∠2＝（　　）
A．55° B．35° C．125° D．45°
6．（2分）关于x的不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围为（　　）
A．6≤a＜7 B．6＜a≤7 C．6≤a≤7 D．6＜a＜7
7．（2分）已知a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是（　　）
A．ac＞bc B． C．2c﹣a＞2c﹣b D．﹣c+a＞﹣c+b
8．（2分）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．（2分）若72﹣3x＝1，则x的值为　 　；若（﹣3）y，则y的值为　 　．
10．（2分）已知am＝6，an＝8，那么am+n＝　 　．
11．（2分）若关于x的不等式（a﹣2）x＞a﹣2解集为x＜1，则a的取值范围是　 　．
12．（2分）关于x的方程2x﹣2m＝x+4的解为正数，则m的取值范围是　 　．
13．（2分）因式分解2a3b﹣8ab3＝　 　．
14．（2分）若a2﹣b2＝6，b﹣a，则a+b的值为　 　．
15．（2分）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2021°，则这个多边形的对角线条数为　 　．
16．（2分）如图a∥b，∠1＝70°，∠2＝35°，则∠3＝　 　°．
17．（2分）如图所示，若一块三角形的玻璃被打碎成3块，你只能拿一块去玻璃店划一块和原玻璃一样的，你选 　 　去，理由是 　 　．（只写判定定理）
18．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D边在AB上，将其沿CD折叠，点B落在AC边上的B′点处，∠ADB′＝18°，则∠A＝　 　．
三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分）
19．（8分）计算：
（1）（﹣1）2019+（）﹣2﹣（3.14﹣π）0．
（2）（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4）．
20．（8分）把下列各式因式分解：
（1）x2y﹣4y；
（2）a4﹣2a2b2+b4．
21．（6分）解方程组：
（1）（用代入消元法解方程组）
（2）．
22．（6分）解不等式组并求它的所有整数解的和．
23．（10分）定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3＝4a+3．
（1）计算5※6值为 　 　．
（2）若（2m）※3＝2※m，求m的值．
（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
24．（8分）如图，已知△ABC，求作△A1B1C1，使△ABC≌△A1B1C1．
要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不需要写出作法，但需要写出你所使用的方法．
你所使用的方法：　 　．
25．（6分）如图，已知AB∥CD，射线AF平分∠CDE，∠A＝∠AGB．
（1）BC与DE平行吗？请说明理由；
（2）若∠EDF＝110°，求∠B的度数．
26．（12分）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得的总利润（用含m的式子表示）．
2024—2025学年上学期南京初中数学八年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列各式中，正确的是（　　）
A．y3 y2＝y6 B．（﹣x2）3＝﹣x6
C．（a3）3＝a6 D．﹣（﹣m2）4＝m8
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、y3 y2＝y5，故A不符合题意；
B、（﹣x2）3＝﹣x6，故B符合题意；
C、（a3）3＝a9，故C不符合题意；
D、﹣（﹣m2）4＝﹣m8，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（2分）数据40000﹣1用科学记数法表示为（　　）
A．﹣4×104 B．﹣4×10﹣4 C．2.5×10﹣5 D．﹣2.5×10﹣5
【考点】科学记数法—表示较小的数；科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：40000﹣1＝0.000025＝2.5×10﹣5．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）下列命题为真命题的有（　　）个．
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②若两个三角形两边和一角对应相等，则这两个三角形全等；③顺次连接四边形各边中点所得四边形一定为平行四边形；④若两个三角形面积之比为4：9，则这两个三角形周长之比为2：3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理；相似三角形的判定；平行公理及推论；全等三角形的判定；平行四边形的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；多边形与平行四边形；应用意识．
【答案】A
【分析】①根据平行公理判断即可；
②根据全等三角形的判定判断即可；
③根据平行四边形的判定即可解决问题；
④根据相似三角形的判定即可．
【解答】解：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，应该是直线外一点；
②若两个三角形两边和一角对应相等，则这两个三角形全等，错误，SSA三角形不一定全等；
③顺次连接四边形各边中点所得四边形一定为平行四边形，正确；
④若两个三角形面积之比为4：9，则这两个三角形周长之比为2：3，错误，两个三角形不一定相似．
故③正确，
故选：A．
【点评】本题考查命题与定理，平行公理，全等三角形的判定，相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2分）若不等式的解集为x＜﹣2，则以下数轴表示中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．据此求解即可．
【解答】解：在数轴上表示x＜﹣2如下：
故选：B．
【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
5．（2分）如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝55°，则∠2＝（　　）
A．55° B．35° C．125° D．45°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由“两直线平行，同位角相等”得到∠3＝∠1＝55°，由垂直定义得到∠3+∠2＝90°，由此即可得解．
【解答】解：如图所示：
∵AB∥CD，∠1＝55°，
∴∠3＝∠1＝55°，
∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝∠3+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
6．（2分）关于x的不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围为（　　）
A．6≤a＜7 B．6＜a≤7 C．6≤a≤7 D．6＜a＜7
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有4个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组可得a的范围．
【解答】解：解不等式2（x﹣1）﹣3（x+2）＞﹣6，得：x＜﹣2，
解不等式1，得：x＞2﹣a，
∵不等式组恰有2个整数解，
∴2﹣a＜x＜﹣2；
∴整数解为﹣3，﹣4，
∴﹣5≤2﹣a＜﹣4，
∴6＜a≤7，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组有4个整数解得到关于a的不等式组是关键．
7．（2分）已知a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是（　　）
A．ac＞bc B． C．2c﹣a＞2c﹣b D．﹣c+a＞﹣c+b
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；符号意识．
【答案】D
【分析】直接利用不等式的基本性质分别判断得出答案．
【解答】解：A、若a＞b，c≠0，则ac＞bc（c＞0），故此选项错误；
B、若a＞b，c≠0，则（c＞0），故此选项错误；
C、若a＞b，c≠0，则2c﹣a＜2c﹣b，故此选项错误；
D、若a＞b，c≠0，则﹣c+a＞﹣c+b，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
8．（2分）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；推理能力；应用意识．
【答案】B
【分析】由题意知AC＝DC，BC＝EC，由于∠ACB＝∠DCE，根据“SAS”即可证明△ABC≌△DEC．
【解答】解：由题意知CD＝CA，CE＝CB，
在△DCE和△ABC中，
，
∴△DCE≌△ABC（SAS）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”方法是解题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．（2分）若72﹣3x＝1，则x的值为　　；若（﹣3）y，则y的值为　﹣3　．
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
【专题】整式；运算能力．
【答案】；﹣3．
【分析】根据任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的定义计算即可．
【解答】解：∵72﹣3x＝1，
∴2﹣3x＝0，
解得x；
∵，
∴y＝﹣3．
故答案为：；﹣3．
【点评】本题主要考查了零次幂以及负整数指数幂，熟记相关定义是解答本题的关键．
10．（2分）已知am＝6，an＝8，那么am+n＝　48　．
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】48．
【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：∵am＝6，an＝8，
∴am+n＝am an＝6×8＝48．
故答案为：48．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
11．（2分）若关于x的不等式（a﹣2）x＞a﹣2解集为x＜1，则a的取值范围是　a＜2　．
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】a＜2．
【分析】根据不等式的性质3，可得答案．
【解答】解：由不等式（a﹣2）x＞a﹣2解集为x＜1，得a﹣2＜0，
解得a＜2．
故答案为a＜2．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
12．（2分）关于x的方程2x﹣2m＝x+4的解为正数，则m的取值范围是　m＞﹣2　．
【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出方程的解，根据方程的解是正数得出4+2m＞0，求出即可．
【解答】解：2x﹣2m＝x+4，
∴x＝4+2m，
∵方程的解是正数，
∴4+2m＞0，
∴m＞﹣2．
即m的取值范围是m＞﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程的应用，关键是求出方程的解进而得出不等式．
13．（2分）因式分解2a3b﹣8ab3＝　2ab（a+2b）（a﹣2b）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2ab（a+2b）（a﹣2b）．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可．
【解答】解：原式＝2ab（a2﹣4b2）＝2ab（a+2b）（a﹣2b），
故答案为：2ab（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
14．（2分）若a2﹣b2＝6，b﹣a，则a+b的值为　﹣18　．
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣18．
【分析】利用平方差公式计算即可．
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6，b﹣a，
∴a﹣b＝﹣（b﹣a），
a+b18．
故答案为：﹣18．
【点评】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式的结构特点是解答本题的关键．
15．（2分）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2021°，则这个多边形的对角线条数为　77　．
【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观．
【答案】77．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2） 180°，即内角和一定是180度的整数倍，据此可以求出多边形的边数，再根据多边形的对角线总条数公式计算即可．
【解答】解：2021÷180＝11，则正多边形的边数是11+2+1＝14．
∴这个多边形的对角线共有77（条）．
故答案为：77．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理，要注意每一个内角都应当大于0°而小于180度．同时要牢记多边形对角线总条数公式．
16．（2分）如图a∥b，∠1＝70°，∠2＝35°，则∠3＝　75　°．
【考点】平行线的性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据平行线的性质求出∠5的度数，再根据平角的定义求出∠2+∠3的度数，再由∠2＝35°即可解答．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝70°，
∴∠5＝∠1＝70°，
∴∠2+∠3＝180°﹣∠5＝180°﹣70°＝110°；
∵∠2＝35°，
∴∠3＝110°﹣35°＝75°．
【点评】本题比较简单，考查的知识点为：两直线平行，同位角相等．
17．（2分）如图所示，若一块三角形的玻璃被打碎成3块，你只能拿一块去玻璃店划一块和原玻璃一样的，你选 　③　去，理由是 　两角和夹边对应相等的两个三角形全等　．（只写判定定理）
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；推理能力；应用意识．
【答案】带③去，两角和夹边对应相等的两个三角形全等．
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形即可得到结论．
【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．
最省事的方法是应带③去，
理由是：两角和夹边对应相等的两个三角形全等．
故答案为：带③去，两角和夹边对应相等的两个三角形全等．
【点评】本题考查三角形全等的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．
18．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D边在AB上，将其沿CD折叠，点B落在AC边上的B′点处，∠ADB′＝18°，则∠A＝　36°　．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】计算题；三角形；推理能力．
【答案】36°．
【分析】利用折叠的性质和三角形的内角和定理的推论，得到关于∠A的方程，求解即可．
【解答】解：由题意可知：∠B＝∠CB′D，∠BCD＝∠B′CDACB＝45°，
∵∠CB′D＝∠B′DA+∠A，∠B＝90°﹣∠A，
∴90°﹣∠A＝∠B′DA+∠A．
∴2∠A＝90°﹣18°＝72°．
∴∠A＝36°．
故答案为：36°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”及“折叠后的两个三角形全等”是解决本题的关键．
三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分）
19．（8分）计算：
（1）（﹣1）2019+（）﹣2﹣（3.14﹣π）0．
（2）（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4）．
【考点】平方差公式；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算；完全平方公式．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）2；
（2）2a+2．
【分析】（1）先根据有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂进行计算，再求出答案即可；
（2）先根据整式的乘法和乘法公式进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+4﹣1
＝2；
（2）原式＝（a2+6a+9）﹣（a2﹣1）﹣（4a+8）
＝a2+6a+9﹣a2+1﹣4a﹣8
＝2a+2．
【点评】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，平方差公式，完全平方公式，有理数的混合运算和整式的混合运算等知识点，能正确根据知识点进行计算和化简是解此题的关键．
20．（8分）把下列各式因式分解：
（1）x2y﹣4y；
（2）a4﹣2a2b2+b4．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）y（x+2）（x﹣2）；
（2）（a+b）2（a﹣b）2．
【分析】（1）提公因式后再用平方差公式分解因式；
（2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可．
【解答】解：（1）原式＝y（x2﹣4）＝y（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝（a2﹣b2）2＝（a+b）2（a﹣b）2．
【点评】本题考查提公因式法，公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
21．（6分）解方程组：
（1）（用代入消元法解方程组）
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
由①得：x＝2y+1③，
把③代入②得：6y+3﹣5y＝8，即y＝5，
把y＝5代入①得：x＝11，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①×2+②得：17x＝51，即x＝3，
把x＝3代入①得：y＝0，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22．（6分）解不等式组并求它的所有整数解的和．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣5．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可．
【解答】解：，
由①得x≥﹣3，
由②得x＜2，
所以不等式组的解集是﹣3≤x＜2，
所以它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
所以所有整数解的和为﹣5．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
23．（10分）定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3＝4a+3．
（1）计算5※6值为 　31　．
（2）若（2m）※3＝2※m，求m的值．
（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算．
【专题】新定义；实数；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）31；
（2）﹣5；
（3）不满足，举例见解答．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值；
（3）根据题中的新定义验证即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝5×6﹣5+6
＝30﹣5+6
＝31；
故答案为：31；
（2）已知等式利用题中的新定义化简得：6m﹣2m+3＝2m﹣2+m，
移项合并得：m＝﹣5；
（3）根据题中的新定义得：
2※3＝6﹣2+3＝7，3※2＝6﹣3+2＝5，
∴2※3≠3※2，
则“※”运算不满足交换律．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
24．（8分）如图，已知△ABC，求作△A1B1C1，使△ABC≌△A1B1C1．
要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不需要写出作法，但需要写出你所使用的方法．
你所使用的方法：　SSS　．
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．
【专题】作图题；图形的全等；几何直观．
【答案】图形见解答；SSS．
【分析】利用SSS画出△A1B1C1，使△ABC≌△A1B1C1即可．
【解答】解：如图，△A1B1C1即为所求．
使用的方法：SSS．
故答案为：SSS．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
25．（6分）如图，已知AB∥CD，射线AF平分∠CDE，∠A＝∠AGB．
（1）BC与DE平行吗？请说明理由；
（2）若∠EDF＝110°，求∠B的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）BC∥DE，理由见解答；
（2）∠B的度数为40°．
【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠A＝∠ADC，再利用角平分线的定义可得∠ADC＝∠ADE，从而可得∠A＝∠ADE，然后利用等量代换可得∠AGB＝∠ADE，从而利用同位角相等，两直线平行即可解答；
（2）利用（1）的结论可得∠EDF＝∠BGD＝110°，然后利用平角定义可得∠AGB＝70°，从而可得∠A＝∠AGB＝70°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）BC∥DE，
理由：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC，
∵射线AF平分∠CDE，
∴∠ADC＝∠ADE，
∴∠A＝∠ADE，
∵∠A＝∠AGB，
∴∠AGB＝∠ADE，
∴BC∥DE；
（2）∵BC∥DE，
∴∠EDF＝∠BGD＝110°，
∴∠AGB＝180°﹣∠BGD＝70°，
∴∠A＝∠AGB＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AGB＝40°，
∴∠B的度数为40°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
26．（12分）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得的总利润（用含m的式子表示）．
【考点】二元一次方程组的应用；列代数式；一元一次方程的应用．
【专题】应用题；模型思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意列方程组，并求解．
（2）根据（1）的结论，列函数关系式
【解答】解：（1）A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，
根据题意得：．
解得：；
答：A商品每件的进价为100元，B商品每件的进价为60元．
（2）∵A商品m件，
∴B商品（80﹣m）件，
∴w＝（150﹣100）m+（80﹣60）（80﹣m）
＝30m+1600．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，及列函数表达式，因此审题列方程组是解题的关键．
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
6．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
7．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
8．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
9．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
10．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
11．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
12．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
13．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
14．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
15．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
16．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
17．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
18．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
19．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
20．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
21．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
22．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
23．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
24．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
25．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
26．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
27．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
28．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
29．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
30．多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
31．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
32．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
33．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
34．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
35．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．