2024—2025学年上学期南京初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期南京初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）如图，△ABE≌△ACD，下列等式不一定正确的是（　　）
A．AB＝AC B．∠BAD＝∠CAE C．BE＝CD D．AD＝DE
2．（2分）如图所示，△ABC≌△FED，且G为BE的中点，则下列结论错误的是（　　）
A．∠A＝∠F B．∠ACD＝∠FDC C．BC＝CD＝DE D．BG＝GE
3．（2分）用三角尺可按下面方法画角的平分线．如图，在∠AOB两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，可得△POM≌△PON．则判定三角形全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
4．（2分）如图，CD∥BE，点C是AB的中点，不能使△ACD≌△CBE的是（　　）
A．CD＝BE B．AD＝CE C．∠A＝∠BCE D．∠D＝∠E
5．（2分）若则y用含x的代数式表示为（　　）
A．y＝2x+7 B．y＝﹣2x+7 C．y＝2x﹣5 D．y＝﹣2x﹣5
6．（2分）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为，则输出的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣10
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）一只跳蚤的重量约为0.0003kg，用科学记数法记为　 　．
8．（2分）若a+b＝﹣1，则a2+2ab+b2＝　 　．
9．（2分）下列图形具有稳定性的是 　 　（填序号）．
10．（2分）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝　 　．
11．（2分）如图，AB＝CD，∠E＝∠F，要使△AEC≌△DFB，还需要补充一个条件，这个条件可以是 　 　．（只需填写一个）
12．（2分）已知：，则x＝　 　．
13．（2分）因式分解：a4+7a2+16＝　 　．
14．（2分）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“x型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测量AB的长度即可知道CD的长度．此方法用到了一个重要的和两个三角形有关的数学知识是 　 　；这个数学知识成立的依据是 　 　．
15．（2分）如图，AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠DBC，请你再补充一个条件，使得△ACB≌△DBC，这个条件可以是　 　，理由是　 　；这个条件也可以是　 　，理由是　 　；这个条件还可以是　 　，理由是　 　．
16．（2分）如图，△ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，E、F分别为AC、BC上的点且满足DF⊥DE，已知AE＝2，CE＝5，M为BC上一点，连接ME，且满足∠CME＝2∠ADE，则EM＝　 　．
三．解答题（共11小题，满分68分）
17．（6分）计算：
（1）a8÷a﹣2÷a﹣7；
（2）（a﹣3）﹣2 a﹣3 a0．
18．（4分）先化简，再求值：[（x﹣y）2﹣（x+y）2+y（2x﹣y）]÷y，其中2x+y＝4．
19．（6分）因式分解：
（1）a2﹣ab；
（2）2x2﹣2．
20．（6分）解不等式，并写出它的所有整数解．
21．（4分）尺规作图：已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P为AB边中点，在AC边上找一点Q，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
22．（6分）已知方程组与方程组的解相同，则a+b+x的值．
23．（6分）如图，△ABO≌△CDO，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．试判断FB与ED的关系，并说明理由．
24．（7分）抗击新型冠状肺炎疫情期间，84消毒液和酒精都是重要的防护物资．某药房根据实际需要采购了一批84消毒液和酒精，共花费11500元，84消毒液和酒精的进价和售价如下：
84消毒液 酒精
进价（元瓶） 25 20
售价（元/瓶） 39 27
（1）该药房销售完这批84消毒液和酒精后共获利5600元，则84消毒液和酒精各销售了多少瓶？
（2）随着疫情的发展，该药房打算再次采购一批84消毒液和酒精，第二次采购仍以原价购进84消毒液和酒精，购进84消毒液的数量不变，而购进酒精的数量是第一次采购数量的2倍，84消毒液按原价出售，而酒精打折让利出售．若该药房将84消毒液和酒精全部销售完，要使第二次的销售获利不少于4300元，则每瓶酒精最多打几折？
25．（6分）如图，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合，DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，求重叠部分（△DGH）的面积？
26．（7分）已知正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+42＜ab+9b+8c，求a，b，c的值．
27．（10分）已知：如图，C为线段AB上一动点，过点C作CD⊥AB，截取CD＝AB，过点A、B分别作AB的垂线，分别在两垂线上截取AE＝BC，BF＝AC，连接ED、DF．
（1）问题发现：
①当点C与点A重合时，∠ACE的度数为　 　，∠BCF的度数为　 　．
②当点C与AB中点重合时，∠ACE与∠BCF数量关系为　 　．
（2）猜想证明：
若点C位于线段AB上一位置时，猜想∠ACE与∠BCF数量关系，并给予证明．
（3）拓展探究：
请直接写出∠ADB，∠CED，∠CFD三角之间的数量关系．（用一个等式表示）
2024—2025学年上学期南京初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）如图，△ABE≌△ACD，下列等式不一定正确的是（　　）
A．AB＝AC B．∠BAD＝∠CAE C．BE＝CD D．AD＝DE
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AC，BE＝CD，AD＝AE，∠BAE＝∠CAD，再逐个判断即可．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴AB＝AC，BE＝CD，AD＝AE，∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
即只有选项D符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2．（2分）如图所示，△ABC≌△FED，且G为BE的中点，则下列结论错误的是（　　）
A．∠A＝∠F B．∠ACD＝∠FDC C．BC＝CD＝DE D．BG＝GE
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】由△ABC≌△FED，运用全等三角形的性质即可判断出选项A是否正确；
由△ABC≌△FED可得∠ACB＝∠FDE，再运用邻补角的性质即可判断出选项B是否正确；
由点G是BE的中点即可得到选项D是否正确，进而判断选项C是否正确．
【解答】解：∵△ABC≌△FED，
∴∠A＝∠F，故选项A正确；
∠ACB＝∠FDE，
∴∠ACD＝∠FDC，故选项B正确；
∵G为BE的中点，
∴BG＝GE，故选项D正确，
由已知条件得不到BC＝CD＝DE．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解本题的关键．
3．（2分）用三角尺可按下面方法画角的平分线．如图，在∠AOB两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，可得△POM≌△PON．则判定三角形全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据HL证明三角形全等即可．
【解答】解：在Rt△OPM和Rt△OPN中，
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
4．（2分）如图，CD∥BE，点C是AB的中点，不能使△ACD≌△CBE的是（　　）
A．CD＝BE B．AD＝CE C．∠A＝∠BCE D．∠D＝∠E
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得出∠ACD＝∠CBE，求出AC＝BC，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵CD∥BE，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝BC，
A．符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ACD≌△CBE，故本选项不符合题意；
B．不符合全等三角形的判定定理SAS，不能推出△ACD≌△CBE，故本选项符合题意；
C．符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ACD≌△CBE，故本选项不符合题意；
D．符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ACD≌△CBE，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有，SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
5．（2分）若则y用含x的代数式表示为（　　）
A．y＝2x+7 B．y＝﹣2x+7 C．y＝2x﹣5 D．y＝﹣2x﹣5
【考点】解二元一次方程组；解二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】方程组消去m，用x表示出y即可．
【解答】解：，
①×2+②得：2x+y＝7，
解得：y＝﹣2x+7．
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解二元一次方程，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
6．（2分）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为，则输出的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣10
【考点】代数式求值；有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意利用有理数的混合运算计算并判断．
【解答】解：∵3﹣（﹣2）＝﹣2＞﹣5，
﹣2×3﹣（﹣2）＝﹣4＞﹣5，
﹣4×3﹣（﹣2）＝﹣10＜﹣5，
∴输出﹣10．
故选：D．
【点评】本题考查了代数式求值、有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）一只跳蚤的重量约为0.0003kg，用科学记数法记为　3×10﹣4kg　．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】3×10﹣4kg．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0003kg＝3×10﹣4kg，
故答案为：3×10﹣4kg．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．（2分）若a+b＝﹣1，则a2+2ab+b2＝　1　．
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据完全平方公式直接计算即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣1，
∴a2+2ab+b2
＝（a+b）2
＝（﹣1）2
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题关键．
9．（2分）下列图形具有稳定性的是 　③　（填序号）．
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】③．
【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．
【解答】解：∵三角形具有稳定性，四边形和五边形不具有稳定性，
∴具有稳定性的是③，
故答案为：③．
【点评】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答．
10．（2分）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝　20　．
【考点】全等三角形的性质．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠A＝70°，然后根据全等三角形对应边相等解答．
【解答】解：如图，∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝BC＝20，
即x＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．
11．（2分）如图，AB＝CD，∠E＝∠F，要使△AEC≌△DFB，还需要补充一个条件，这个条件可以是 　∠A＝∠D（或∠ACE＝∠BDF）　．（只需填写一个）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】∠A＝∠D（或∠ACE＝∠BDF）．
【分析】先证明AC＝DB，然后利用全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝DB，
∴∠E＝∠F，
∴当添加∠A＝∠D，则可根据“AAS”判断△AEC≌△DFB；
当添加∠ACE＝∠BDF，则可根据“AAS”判断△AEC≌△DFB．
故答案为：∠A＝∠D（或∠ACE＝∠BDF）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
12．（2分）已知：，则x＝　　．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方解决此题．
【解答】解：∵，
∴．
∴．
∴5x﹣6＝2．
∴x．
故答案为：．
【点评】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
13．（2分）因式分解：a4+7a2+16＝　（a2+4﹣a）（a2+4+a）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（a2+4﹣a）（a2+4+a）．
【分析】将原始变形为a4+8a2+16﹣a2，分组后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝a4+8a2+16﹣a2＝（a2+4）2﹣a2＝（a2+4﹣a）（a2+4+a）．
故答案为：（a2+4﹣a）（a2+4+a）．
【点评】本题考查了运用公式法因式分解，解题的关键是能够灵活使用各种方法对多项式进行因式分解．
14．（2分）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“x型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测量AB的长度即可知道CD的长度．此方法用到了一个重要的和两个三角形有关的数学知识是 　△AOB≌△DOC　；这个数学知识成立的依据是 　SAS　．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】△COD≌△BOA；SAS．
【分析】利用三角形全等的SAS定理证明△COD≌△BOA，根据全等三角形的性质可得CD＝AB．
【解答】解：在△COD和△BOA中，
，
∴△COD≌△BOA（SAS），
∴CD＝AB，
即AB的长度等于CD的长度，
故答案为：△COD≌△BOA；SAS．
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的SAS定理是解题的关键．
15．（2分）如图，AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠DBC，请你再补充一个条件，使得△ACB≌△DBC，这个条件可以是　∠A＝∠D　，理由是　AAS　；这个条件也可以是　AC＝DB　，理由是　SAS　；这个条件还可以是　∠ABC＝∠DCB　，理由是　ASA　．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】∠A＝∠D；AAS；AC＝DB；SAS；∠ABC＝∠DCB；ASA．
【分析】条件可以是∠A＝∠D，可利用AAS判定△ACB≌△DBC；条件也可以是AC＝DB，可利用SAS判定△ACB≌△DBC；条件还可以是∠ABC＝∠DCB，可利用ASA判定△ACB≌△DBC．
【解答】解：添加∠A＝∠D，
在△ACB和△DBC中，
，
∴△ACB≌△DBC（AAS）；
添加AC＝DB，
在△ACB和△DBC中，
，
∴△ACB≌△DBC（SAS）；
添加∠ABC＝∠DCB，
在△ACB和△DBC中，
，
∴△ACB≌△DBC（ASA）；
故答案为：∠A＝∠D；AAS；AC＝DB；SAS；∠ABC＝∠DCB；ASA．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
16．（2分）如图，△ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，E、F分别为AC、BC上的点且满足DF⊥DE，已知AE＝2，CE＝5，M为BC上一点，连接ME，且满足∠CME＝2∠ADE，则EM＝　　．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】．
【分析】连接CD，EF，作MH平分∠CME，交AC于点H，过H作HK⊥ME于K点，过点E作EG⊥AB于点G，根据等腰三角形的性质可得；证明△DAE≌△DCF，可得，进而可得，求出，，即可得，即可得，设CH＝HK＝x，即有，EH＝CE﹣CH＝5﹣x，根据S△CMH+S△EMH＝S△CME，可表示出，在Rt△MEC中，CM2+CE2＝ME2，问题随之解得．
【解答】解：连接CD，EF，作MH平分∠CME，交AC于点H，过H作HK⊥ME于K点，过点E作EG⊥AB于点G，
∵AE＝2，CE＝5，
∴AC＝AE+CE＝2+5＝7，
∵在△ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，
∴CD⊥AB，，∠A＝∠B＝45°，AC＝BC＝7，
∴，∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，，
∵DF⊥DE，
∴∠FDE＝∠FDC+∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝∠FDC，
∵∠DAE＝∠BCD＝45°，CD＝AD，
∴△DAE≌△DCF，
∴AE＝CF＝2，DE＝DF，即△DEF是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵EG⊥AB，AE＝2，∠A＝45°，
∴，
∴，
∴，
∵MH平分∠CME，∠CME＝2∠ADE，
∴，
∴，
∴，
∵MH平分∠CME，HK⊥ME，HC⊥MC，
∴CH＝HK，，设CH＝HK＝x，
∴，EH＝CE﹣CH＝5﹣x，
∵S△CMH+S△EMH＝S△CME，
∴，即：，
∴，在Rt△MEC中，CM2+CE2＝ME2，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质勾股定理以及解直角三角形等知识，正确构筑辅助线是解答本题的关键．
三．解答题（共11小题，满分68分）
17．（6分）计算：
（1）a8÷a﹣2÷a﹣7；
（2）（a﹣3）﹣2 a﹣3 a0．
【考点】同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（1）a17；（2）a3．
【分析】（1）按同底数幂的除法法则运算即可；
（2）先算（a﹣3）﹣2，再按同底数幂的乘法法则运算．
【解答】解：（1）a8÷a﹣2÷a﹣7
＝a8﹣（﹣2）﹣（﹣7）
＝a8+2+7
＝a17；
（2）（a﹣3）﹣2 a﹣3 a0
＝a6 a﹣3 a0
＝a6﹣3+0
＝a3．
【点评】本题考查了整数的混合运算，掌握同底数幂的乘除法法则是解决本题的关键．
18．（4分）先化简，再求值：[（x﹣y）2﹣（x+y）2+y（2x﹣y）]÷y，其中2x+y＝4．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】根据整式的运算法则进行化简，然后将2x+y＝4代入即可求出答案．
【解答】解：原式＝（x2﹣2xy+y2﹣x2﹣2xy﹣y2+2xy﹣y2）÷y
＝（﹣2xy﹣y2）÷y
＝﹣2x﹣y，
当2x+y＝4时，
原式＝﹣（2x+y）
＝﹣4．
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
19．（6分）因式分解：
（1）a2﹣ab；
（2）2x2﹣2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；符号意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接提取公因式a，进而分解因式即可；
（2）直接提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）a2﹣ab＝a（a﹣b）；
（2）2x2﹣2
＝2（x2﹣1）
＝2（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
20．（6分）解不等式，并写出它的所有整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】2＜x≤5，3，4，5．
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x≤5，
解不等式②，得x＞2，
所以不等式组的解集是2＜x≤5，
所以不等式组的整数解是3，4，5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
21．（4分）尺规作图：已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P为AB边中点，在AC边上找一点Q，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】作图见解析部分．
【分析】作PQ⊥AC于点Q即可．
【解答】解：如图，线段PQ即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（6分）已知方程组与方程组的解相同，则a+b+x的值．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】7．
【分析】先解方程组得，再解方程组得，从而得到a+b+x的值．
【解答】解：解方程组得，
则，解得，
所以a+b+x＝3+2+2＝7．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程．
23．（6分）如图，△ABO≌△CDO，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．试判断FB与ED的关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】FB＝ED，FB∥ED，理由见解析．
【分析】根据全等三角形的性质可得BO＝DO，AO＝CO，进一步可证△BOF≌△DOE（SAS），根据全等三角形的性质可得BF＝DE，∠BFO＝∠DEO，根据平行线的判定可得BF∥ED．
【解答】解：FB＝ED，FB∥ED，理由如下：
∵△ABO≌△CDO，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AF＝CE，
∴OF＝OE，
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（SAS），
∴BF＝DE，∠BFO＝∠DEO，
∴BF∥ED，
∴FB＝ED，FB∥ED．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
24．（7分）抗击新型冠状肺炎疫情期间，84消毒液和酒精都是重要的防护物资．某药房根据实际需要采购了一批84消毒液和酒精，共花费11500元，84消毒液和酒精的进价和售价如下：
84消毒液 酒精
进价（元瓶） 25 20
售价（元/瓶） 39 27
（1）该药房销售完这批84消毒液和酒精后共获利5600元，则84消毒液和酒精各销售了多少瓶？
（2）随着疫情的发展，该药房打算再次采购一批84消毒液和酒精，第二次采购仍以原价购进84消毒液和酒精，购进84消毒液的数量不变，而购进酒精的数量是第一次采购数量的2倍，84消毒液按原价出售，而酒精打折让利出售．若该药房将84消毒液和酒精全部销售完，要使第二次的销售获利不少于4300元，则每瓶酒精最多打几折？
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）84消毒液销售了300瓶，酒精销售了200瓶；
（2）每瓶酒精最多打7.5折．
【分析】（1）设84消毒液销售了x瓶，酒精销售了y瓶，由题意：某药房根据实际需要采购了一批84消毒液和酒精，共花费11500元，该药房销售完这批84消毒液和酒精后共获利5600元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设每瓶酒精打a折，由题意：第二次采购仍以原价购进84消毒液和酒精，购进84消毒液的数量不变，而购进酒精的数量是第一次采购数量的2倍，84消毒液按原价出售，而酒精打折让利出售．若该药房将84消毒液和酒精全部销售完，要使第二次的销售获利不少于4300元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设84消毒液销售了x瓶，酒精销售了y瓶，
根据题意得：，
解得：，
答：84消毒液销售了300瓶，酒精销售了200瓶；
（2）设每瓶酒精打a折，
根据题意得：300×39+200×2×0.1a×27﹣300×25﹣200×2×20≥4300，
解得：a≥7.5，
答：每瓶酒精最多打7.5折．
【点评】本题考查了列二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
25．（6分）如图，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合，DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，求重叠部分（△DGH）的面积？
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据全等三角形的性质得到∠B＝∠1．求得GH＝GD．根据等腰三角形的性质得到AG＝GD，根据勾股定理得到AB10，根据D是AB中点，得到ADAB＝5．根据相似三角形的性质得到DH，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△FDE，
∴∠B＝∠1．
∵∠C＝90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠2＝90°，
∴∠B＝∠2，
∴∠1＝∠2，
∴GH＝GD．
∵∠A+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，
∴∠A＝∠3，
∴AG＝GD，
∴AG＝GH，即点G为AH的中点．
在Rt△ABC中，AB10，
∵D是AB中点，
∴ADAB＝5．
在△ADH与△ACB中，
∵∠A＝∠A，∠ADH＝∠ACB＝90°，
∴△ADH∽△ACB，
∴，即 ，
解得DH，
∴S△DGHS△ADHDH×AD5．
【点评】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理和三角形面积的计算方法；本题难度较大，综合性强，培养学生综合运用定理进行推理论证和计算的能力．
26．（7分）已知正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+42＜ab+9b+8c，求a，b，c的值．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】a＝3，b＝6，c＝4．
【分析】从ab+9b+8c突破，变形整理为完全平方形式（ab）2+（b﹣3）2+（c﹣4）2，再补平常数项即可．
【解答】解：∵a2+b2+c2+42＜ab+9b+8c，
∴（a2﹣abb2）（b2﹣12b+36）+（c2﹣8c+16）﹣1＜0，
∴（ab）2+（b﹣3）2+（c﹣4）2＜1，
又∵a，b，c都是正整数，
∴c﹣4＝0，b﹣30，ab＝0，
∴a＝3，b＝6，c＝4．
【点评】本题主要考查了配方法的运用，解题时注意：任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
27．（10分）已知：如图，C为线段AB上一动点，过点C作CD⊥AB，截取CD＝AB，过点A、B分别作AB的垂线，分别在两垂线上截取AE＝BC，BF＝AC，连接ED、DF．
（1）问题发现：
①当点C与点A重合时，∠ACE的度数为　90°　，∠BCF的度数为　0°　．
②当点C与AB中点重合时，∠ACE与∠BCF数量关系为　∠ACE＝∠BCF　．
（2）猜想证明：
若点C位于线段AB上一位置时，猜想∠ACE与∠BCF数量关系，并给予证明．
（3）拓展探究：
请直接写出∠ADB，∠CED，∠CFD三角之间的数量关系．（用一个等式表示）
【考点】三角形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①当点C与点A重合时，画出图形即可得到答案；
②当点C与AB中点重合时，可得AE＝AC＝BC＝BF，故△ACE和△BCF是等腰直角三角形，即得∠ACE＝∠BCF；
（2）证明△ACE≌△BFC（SAS），得∠ACE＝∠BFC，而∠BFC+∠BCF＝90°，故∠ACE+∠BCF＝90°；
（3）延长AB到G，使BG＝AC，连接DG，EG，BE，AF，证明△ECG≌△FCD（SAS），得∠CEG＝∠CFD，DF＝EG，证明△BCD≌△EAB（SAS），有BD＝BE，∠CBD＝∠AEB，可得△DBE是等腰直角三角形，，同理可得，而△GCD是等腰直角三角形，，即可得△EDG∽△DBA，得∠GED＝∠ADB，即∠CED+∠CEG＝∠ADB，从而证明∠CED+∠CFD＝∠ADB．
【解答】解：（1）①当点C与点A重合时，如图：
由图可得，点C靠近点A时，∠ACE逐渐增大，重合时，达到90°，此时，∠BCF的度数为0°，
故答案为：90°，0°；
②当点C与AB中点重合时，如图：
∵点C与AB中点．
∴AC＝BC，
∵AE＝BC，BF＝AC，
∴AE＝AC＝BC＝BF，
∵AE⊥AB，BF⊥AB，
∴△ACE和△BCF是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝45°＝∠BCF，
故答案为：∠ACE＝∠BCF；
（2）∠ACE+∠BCF＝90°，证明如下：
在△ACE和△BFC中，
，
∴△ACE≌△BFC（SAS），
∴∠ACE＝∠BFC，
∵∠BFC+∠BCF＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°；
（3）∠ADB＝∠CED+∠CFD，理由如下：
延长AB到G，使BG＝AC，连接DG，EG，BE，AF，如图：
由（2）知△ACE≌△BFC，∠ACE+∠BCF＝90°，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠ECF＝∠BCD＝90°，
∴∠ECF+∠FCG＝∠BCD+∠FCG，即∠ECG＝∠FCD，
∵BG＝AC，
∴BG+BC＝AC+BC，即CG＝AB，
∵CD＝AB，
∴CG＝CD，
∴△ECG≌△FCD（SAS），
∴∠CEG＝∠CFD，DF＝EG，
∵BC＝AE，∠BCD＝90°＝∠EAB，CD＝AB，
∴△BCD≌△EAB（SAS），
∴BD＝BE，∠CBD＝∠AEB，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CBD+∠ABE＝90°，即∠DBE＝90°，
∴△DBE是等腰直角三角形，
∴，
同理△ACD≌△FBA（SAS），可得，
∴，
∵CD＝AB＝CG，∠GCD＝90°，
∴△GCD是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴△EDG∽△DBA，
∴∠GED＝∠ADB，即∠CED+∠CEG＝∠ADB，
∴∠CED+∠CFD＝∠ADB．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形三边关系等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
3．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
4．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
5．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
6．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
7．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
8．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
9．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
10．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
　2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
11．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
12．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
13．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
14．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
15．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
16．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
17．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
18．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
19．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
20．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
21．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
22．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
23．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
24．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
25．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
26．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
27．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
28．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
29．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
30．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．