2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）9的算术平方根是（　　）
A．±3 B． C．3 D．﹣3
2．（3分）点P（m+3，m+1）在x轴上，则m的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
3．（3分）下列调查最适合普查的是（　　）
A．为了了解重庆2011年初三学生体育考试成绩
B．为了了解一批节能灯泡使用寿命
C．为了了解我校初三某班每个学生某天睡眠时间
D．为了了解我市中学老师的健康状况
4．（3分）在工程建筑中工人师傅常在窗框未安装好之前斜钉上一根木条，其运用的数学原理是（　　）
A．三角形的稳定性
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
5．（3分）估算的值，下列结论正确的是（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
6．（3分）若a＜b，则下列结论中，不正确的是（　　）
A．a+2＜b+2 B．a﹣2＞b﹣2 C．2a＜2b D．﹣2a＞﹣2b
7．（3分）如图，小明从O点出发，前进6米后向右转20°，再前进6米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　）
A．72米 B．108米 C．144米 D．120米
8．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A．13，11，20 B．3，7，10 C．6，8，16 D．3，3，7
9．（3分）如图，直线a∥b，c是截线．若∠2＝5∠1，则∠1的余角的度数为（　　）
A．60° B．30° C．40° D．150°
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是（　　）
A．3 B．6 C．12 D．18
11．（3分）客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长450米，货车长600米．如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分45秒，假设客车和货车每秒钟分别行驶x和y米，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．（3分）某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，则保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量x的范围是（　　）
A．850＜x≤2000 B．850≤x＜2000
C．850＜x＜2000 D．850≤x≤2000
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）将命题“互为补角的两个角都是锐角”改写成“如果……，那么……”的形式是 　 　．
14．（2分）若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数是　 　．
15．（2分）如图，在国际象棋的棋盘上，左右两边标有数字1至8，上下两边标有字母a至h．如果黑色的国王棋子的位置用（d，3）来表示，白色的马棋子的位置用（g，5）来表示，请你分别写出棋盘中其他三枚棋子的位置，分别是 　 　，　 　，　 　．
16．（2分）的算术平方根是 　 　．
17．（2分）如图，把两个形状和大小都一样的小长方形边框（厚度忽略不计）摆成L形，已知AB＝3，CD＝6，则一个小长方形面积为 　 　．
18．（2分）如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时的点为P1，第2次碰到长方形的边时的点为P2，…，第n次碰到长方形的边时的点为Pn，则点P2015的坐标是 　 　．
三．解答题（共3小题，满分26分）
19．（12分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
20．（6分）在不等式组的小括号里填一个数m，使不等式组有解．
（1）当m＝﹣1时，求出此时不等式组的解集和整数解；
（2）要使不等式组只有2个整数解，直接写出m的取值范围．
21．（8分）已知某函数的图象只能在第二、四象限，图象上任意一点P向x轴作垂线，垂足为A，△OAP的面积为3．
（1）求该函数的解析式；
（2）若P点横坐标为2，将点P沿x轴方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n（n＞0）个单位得到点P′，使点P′恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向．
2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）9的算术平方根是（　　）
A．±3 B． C．3 D．﹣3
【考点】算术平方根．
【答案】C
【分析】根据算术平方根，即可解答．
【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
2．（3分）点P（m+3，m+1）在x轴上，则m的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】B
【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出答案．
【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上，
∴m+1＝0，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握x轴上点的坐标特点是解题关键．
3．（3分）下列调查最适合普查的是（　　）
A．为了了解重庆2011年初三学生体育考试成绩
B．为了了解一批节能灯泡使用寿命
C．为了了解我校初三某班每个学生某天睡眠时间
D．为了了解我市中学老师的健康状况
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】推理填空题．
【答案】C
【分析】根据普查和抽样调查的定义，根据实际情况进行选择即可．
【解答】解：A、实行抽样调查较好，因为人数较多，故本选项错误；
B、此问题只能实行抽样调查，故本选项错误；
C、因为我校初三某班每个学生数目不多，检查学生的睡眠时间可以采取普查，故本选项正确；
D、我市教师较多，可采用抽样调查，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了对全面调查和抽样调查的定义的应用，能根据实际问题进行分析是解此题的关键．
4．（3分）在工程建筑中工人师傅常在窗框未安装好之前斜钉上一根木条，其运用的数学原理是（　　）
A．三角形的稳定性
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
【考点】三角形的稳定性；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】A
【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：在工程建筑中工人师傅常在窗框未安装好之前斜钉上一根木条，其运用的数学原理是三角形的稳定性．
故选：A．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
5．（3分）估算的值，下列结论正确的是（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】先估算出的范围，再减去3，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
即在0和1之间，
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
6．（3分）若a＜b，则下列结论中，不正确的是（　　）
A．a+2＜b+2 B．a﹣2＞b﹣2 C．2a＜2b D．﹣2a＞﹣2b
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【答案】B
【分析】根据a＜b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＜b，
∴a+2＜b+2，
∴选项A不符合题意；
∵a＜b，
∴a﹣2＜b﹣2，
∴选项B符合题意；
∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴选项C不符合题意；
∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
7．（3分）如图，小明从O点出发，前进6米后向右转20°，再前进6米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　）
A．72米 B．108米 C．144米 D．120米
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；正多边形与圆；几何直观；应用意识．
【答案】B
【分析】利用多边形外角和等于360度即可求出答案．
【解答】解：依题意可知，小陈所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，
则20n＝360，解得n＝18，
∴他第一次回到出发点O时一共走了：6×18＝108（米），
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的外角和，正多边形的判定与性质．关键是根据每一个外角判断多边形的边数．
8．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A．13，11，20 B．3，7，10 C．6，8，16 D．3，3，7
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
【解答】解：A、∵13+11＞20，
∴长度为13，11，20的三根小木棒，能摆成三角形，本选项符合题意；
B、∵3+7＝10，
∴长度为3，7，10的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
C、∵6+8＜16，
∴长度为6，8，16的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
D、∵3+3＜7，
∴长度为3，3，7的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
9．（3分）如图，直线a∥b，c是截线．若∠2＝5∠1，则∠1的余角的度数为（　　）
A．60° B．30° C．40° D．150°
【考点】平行线的性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，可得∠2+∠1＝180°，再结合已知可求出∠1的度数，然后根据余角的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2+∠1＝180°，
∵∠2＝5∠1，
∴5∠1+∠1＝180°，
∴∠1＝30°，
∴∠1的余角＝90°﹣30°＝60°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是（　　）
A．3 B．6 C．12 D．18
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝2，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由基本作图可知，AP平分∠CAB，
∵AP平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝2，
∴△ABD的面积AB DE6×2＝6，
故选：B．
【点评】本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．（3分）客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长450米，货车长600米．如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分45秒，假设客车和货车每秒钟分别行驶x和y米，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题意和题目中的数据，可知21（x+y）＝450+600，105（x﹣y）＝450+600，然后即可列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：1分45秒＝105秒，
由题意可得，
，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
12．（3分）某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，则保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量x的范围是（　　）
A．850＜x≤2000 B．850≤x＜2000
C．850＜x＜2000 D．850≤x≤2000
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据售出产品的数量不高于生产产品的数量结合盈利高于1000元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：，
解得：850＜x≤2000．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）将命题“互为补角的两个角都是锐角”改写成“如果……，那么……”的形式是 　如果两个角互为补角，那么这两个角都是锐角　．
【考点】命题与定理；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】如果两个角互为补角，那么这两个角都是锐角．
【分析】根据命题的定义进行解答即可．
【解答】解：互为补角的两个角都是锐角”改写成“如果……，那么……”的形式是：如果两个角互为补角，那么这两个角都是锐角．
故答案为：如果两个角互为补角，那么这两个角都是锐角．
【点评】本题考查的是命题与定理，熟知命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论是解题的关键．
14．（2分）若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数是　8　．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据多边形的内角和的公式（n﹣2）×180°和多边形的外角和公式，解方程即可求出n的值
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则根据多边形内角和与外角和公式可得方程
360°（n﹣2）×180°
解得n＝8
故答案为8．
【点评】本题考查的是多边形的内角和，利用内角和公式进行列方程解决是本题的关键．
15．（2分）如图，在国际象棋的棋盘上，左右两边标有数字1至8，上下两边标有字母a至h．如果黑色的国王棋子的位置用（d，3）来表示，白色的马棋子的位置用（g，5）来表示，请你分别写出棋盘中其他三枚棋子的位置，分别是 　（d，5）　，　（f，5）　，　（g，2）　．
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】（d，5），（f，5），（g，2）．
【分析】根据利用数对表示物体位置的方法，列用字母、行用数字表示物体的位置时，字母在前，行数在后．
【解答】解：由“黑色的国王棋子的位置用（d，3）来表示，白色的马棋子的位置用（g，5）来表示”知：棋盘中其他三枚棋子的位置，分别是（d，5），（f，5），（g，2）．
故答案为：（d，5），（f，5），（g，2）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，属于基础题，关键是细心查找点的坐标即可．
16．（2分）的算术平方根是 　　．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，由此即可求解．
【解答】解：的算术平方根是．
故答案为：．
【点评】本题考查算术平方根的概念，关键是掌握算术平方根的定义．
17．（2分）如图，把两个形状和大小都一样的小长方形边框（厚度忽略不计）摆成L形，已知AB＝3，CD＝6，则一个小长方形面积为 　6.75　．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】6.75．
【分析】设小长方形的长和宽分别为x，y，然后根据AB＝3，CD＝6列出方程组求出x、y的值，最后根据长方形面积公式进行求解即可．
【解答】解：设小长方形的长和宽分别为x，y，
由题意得，，
解得，
∴长方形的面积为xy＝1.5×4.5＝6.75，
故答案为：6.75．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组求出小长方形的长和宽是解题的关键．
18．（2分）如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时的点为P1，第2次碰到长方形的边时的点为P2，…，第n次碰到长方形的边时的点为Pn，则点P2015的坐标是 　（1，4）　．
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】（1，4）．
【分析】根据反弹时入射角等于反射角，依次求出点Pi（i为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
点P1的坐标为（3，0）；
点P2的坐标为（7，4）；
点P3的坐标为（8，3）；
点P4的坐标为（5，0）；
点P5的坐标为（1，4）；
点P6的坐标为（0，3）；
点P7的坐标为（3，0）；
…，
由此可见，点Pi（i为正整数）的坐标按（3，0），（7，4），（8，3），（5，0），（1，4），（0，3）循环出现，
又因为2015÷6＝335余5，
所以点P2015的坐标为（1，4）．
故答案为：（1，4）．
【点评】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给运动方式发现点Pi（i为正整数）的坐标按（3，0），（7，4），（8，3），（5，0），（1，4），（0，3）循环出现是解题的关键．
三．解答题（共3小题，满分26分）
19．（12分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组；实数的运算．
【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、去绝对值符号，再计算加减即可；
（2）利用代入消元法解方程组即可．
【解答】解：（1）原式＝5﹣41
；
（2），
把①代入②得：3x+2（x﹣1）＝8，
解得：x＝2，
将x＝2代入①得y＝1，
∴方程组的解为：．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
20．（6分）在不等式组的小括号里填一个数m，使不等式组有解．
（1）当m＝﹣1时，求出此时不等式组的解集和整数解；
（2）要使不等式组只有2个整数解，直接写出m的取值范围．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）不等式组的解集为2≤x＜3，整数解为2；
（2）﹣2≤m＜﹣1．
【分析】（1）求出每个不等式的解集并表示在数轴上，即可得到不等式组的解集和整数解；
（2）求出每个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解即可得到m的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝﹣1时，不等式组为，
解不等式①得，x≥2，
解不等式②得，x＜3，
把解集表示在数轴上如下：
∴不等式组的解集为2≤x＜3，整数解为2；
（2），
解不等式①得，x≥2，
解不等式②得，x＜2﹣m，
∵使不等式组只有2个整数解，
∴3＜2﹣m≤4，
解得﹣2≤m＜﹣1，
即m的取值范围是﹣2≤m＜﹣1．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法及整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
21．（8分）已知某函数的图象只能在第二、四象限，图象上任意一点P向x轴作垂线，垂足为A，△OAP的面积为3．
（1）求该函数的解析式；
（2）若P点横坐标为2，将点P沿x轴方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n（n＞0）个单位得到点P′，使点P′恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向．
【考点】坐标与图形变化﹣平移；函数的图象．
【专题】函数及其图象；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据函数的图象只能在第二、四象限，说明此函数图象是经过第二、四象限的双曲线，所以设反比例函数解析式为y（k＜0），再根据△OAP的面积为3．即可求得k的值，进而得到函数的解析式；
（2）分两种情况将点P沿x轴的负方向或x轴的正方形平移3个单位，则可得P′的横坐标，再将P′的横坐标代入（1）中的函数解析式中得P′的纵坐标，从而确定沿y轴平移方向和n的值．
【解答】解：（1）根据函数的图象只能在第二、四象限，
说明此函数图象是经过第二、四象限的双曲线，
所以此函数是反比例函数，
所以设反比例函数解析式为y（k＜0），
因为△OAP的面积为3，
所以|k|＝6，
因为k＜0，所以k＝﹣6．
所以反比例函数解析式为y；
（2）因为P点横坐标为2，
所以P（2，﹣3），
①当点P沿x轴负方向平移3个单位，
P′的横坐标为2﹣3＝﹣1，
因为点P′恰好在该函数的图象上
所以当x＝﹣1时，y6，
所以P′（﹣1，6），
因为6＞﹣3，
所以沿y轴平移的方向为正方向，
所以n＝6﹣（﹣3）＝9；
②当点P沿x轴正方向平移3个单位，
P′的横坐标为2+3＝5，
所以当x＝5时，y，
所以P′（5，），
因为3，
所以沿y轴平移的方向为正方向，
所以n（﹣3）．
综上所述：n的值为9或，点P沿y轴平移的方向为正方向．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移、函数的图象，解决本题的关键是掌握反比例函数的图象和性质．
考点卡片
1．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
5．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
6．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
7．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
8．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
9．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
10．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
11．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
12．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
13．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
14．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
15．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
16．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
17．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
18．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
19．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
20．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
21．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
22．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
23．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
24．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
25．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
26．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．