2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 395.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:17:29 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷2
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）检查四个篮球的质量，把超过标准的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如下表：
其中质量最好的是（ ）
篮球编号 甲 乙 丙 丁
与标准质量的差（g） +4 +7 ﹣3 ﹣8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（3分）为了解某中学2500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法正确的是（ ）
A．调查方式是全面调查
B．该校只有380名家长持赞成态度
C．样本是400
D．该校约有95%的家长持赞成态度
3．（3分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．7cm，5cm，12cm B．6cm，8cm，15cm
C．8cm，4cm，4cm D．4cm，6cm，5cm
4．（3分）用加减法解方程组，下列解法错误的是（ ）
A．①×3﹣②×2，消去x B．①×（﹣3）+②×2，消去x
C．①×2+②×（﹣3），消去y D．①×2﹣②×（﹣3），消去y
5．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，3），将线段AO经过某种平移后得到线段BC，其中点A与点B对应，点O与点C对应，点B的坐标为（4，0）．若D为线段OA上一点，平移后的对应点为D′，则点D移动到D′的最短路程为（ ）
A．5 B． C．4 D．
6．（3分）把方程2x﹣5y﹣3＝0改写成用含x的式子表示y，下列正确的为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝33°，则∠CEF的度数是（ ）
A．66° B．49° C．33° D．16°
8．（3分）已知a＞b，下列变形一定正确的是（ ）
A．3a＜3b B．4+a＞4﹣b C．ac2＞bc2 D．3+2a＞3+2b
9．（3分）如图，BC∥EF，BC＝EF，要使得△ABC≌△DEF，需要补充的条件不能是（ ）
A．∠B＝∠E B．AB＝DE C．AD＝CF D．AB∥DE
10．（3分）如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为（ ）
A．21 B．26 C．37 D．42
11．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x≤3 B．x＜1 C．1≤x＜3 D．1＜x≤3
12．（3分）一根1m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的时绳子长为am，则的值为（ ）
A． B．±
C． D．以上都不对
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）36的平方根是 ．
14．（2分）下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有 （填写序号）．
15．（2分）已知 AB∥y轴，A点的坐标为（2，1），并且 AB＝3，则B的坐标为
16．（2分）若一个正多边形的每一个外角都等于60°，则这个正多边形的边数为 ．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，过点E作AC的垂线DE，连接AD．若AD⊥AB．AD＝AB，BC＝3，DE＝7，则CE的长为 ．
18．（2分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图∠MON＝40°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C．当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC的度数为 度．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）．
20．（6分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
21．（10分）如图，在方格纸上：
（1）已有的四条线段中，哪些是互相平行的？
（2）过点M画AB的平行线．
（3）过点N画GH的平行线．
22．（10分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且OB＝OC．
求证：AO平分∠BAC．
23．（10分）数学兴趣小组进行一项调查活动，主题是：学生对“朱子文化”的了解情况．随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．被调查的每位学生的调查结果只有其中一种，将调查结果整理并绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查 名学生；扇形统计图中，C所对应的扇形的圆心角是 度；
（2）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中“非常了解”的约有多少名？
24．（10分）如图1，△ABC的外角平分线BF、CF交于点F．
（1）若∠A＝50°，则∠F的度数为 ．
（2）过点F作直线MN，交射线AB，AC于点M、N，并将直线MN绕点F转动．
①如图2，当直线MN与线段BC没有交点时，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，试探索∠A与α，β之间满足的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系．
25．（10分）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍，那么购进A种农产品件数的范围是多少？
26．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）检查四个篮球的质量，把超过标准的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如下表：
其中质量最好的是（ ）
篮球编号 甲 乙 丙 丁
与标准质量的差（g） +4 +7 ﹣3 ﹣8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】正数和负数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】C
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
【解答】解：根据题意可得：超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数；
观察图表，找绝对值最小的．易得|﹣3|＝3最小，
故3号球最接近标准质量，质量最好，
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值、有理数的减法在实际中的应用．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
2．（3分）为了解某中学2500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法正确的是（ ）
A．调查方式是全面调查
B．该校只有380名家长持赞成态度
C．样本是400
D．该校约有95%的家长持赞成态度
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】D
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A．调查方式是抽样调查，故此选项不合题意；
B．400名家长里有380名家长持赞成态度，故此选项不合题意；
C．样本容量是400，故此选项不合题意；
D．该校约有：100＝95%的家长持赞成态度，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3．（3分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．7cm，5cm，12cm B．6cm，8cm，15cm
C．8cm，4cm，4cm D．4cm，6cm，5cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
A、7+5＝12，不能组成三角形；
B、6+8＜15，不能组成三角形；
C、4+4＝8，不能组成三角形；
D、4+5＞6，能够组成三角形．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．（3分）用加减法解方程组，下列解法错误的是（ ）
A．①×3﹣②×2，消去x B．①×（﹣3）+②×2，消去x
C．①×2+②×（﹣3），消去y D．①×2﹣②×（﹣3），消去y
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用加减消元法的法则对每个选项进行分析判断，得出符合题意的选项．
【解答】解：∵方程①中x的系数为2，方程②中x的系数为3，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程①×3，方程②×2时，x的系数相同，
∴①×3﹣②×2，能够消去x．
∴A选项不符合题意；
∵方程①中x的系数为2，方程②中x的系数为3，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程①×(﹣3)，方程②×2时，x的系数互为相反数，
∴①×(﹣3)+②×2，能够消去x．
∴B选项不符合题意；
∵方程①中y的系数为﹣3，方程②中y的系数为﹣2，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程①×2，方程②×（﹣3）时，y的系数互为相反数，
∴①×3+②×2，能够消去y．
∴C选项不符合题意；
∵方程①中y的系数为﹣3，方程②中y的系数为﹣2，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程①×2，方程②×（﹣3）时，y的系数互为相反数，
∴①×2﹣②×(﹣3),不能消去y,
∴D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组．加减法解二元一次方程组的关键是通过变形使方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，3），将线段AO经过某种平移后得到线段BC，其中点A与点B对应，点O与点C对应，点B的坐标为（4，0）．若D为线段OA上一点，平移后的对应点为D′，则点D移动到D′的最短路程为（ ）
A．5 B． C．4 D．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】根据点A的坐标为（3，3），平移后点A与点B对应，点B的坐标为（4，0），可得点A与点B的距离为，根据平移的性质得，点D移动到D′的最短路程为．
【解答】解：∵点A的坐标为（3，3），平移后点A与点B对应，点B的坐标为（4，0），
∴点A与点B的距离为，
∴点D移动到D′的最短路程为．
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，正确掌握平移的性质是解题关键．
6．（3分）把方程2x﹣5y﹣3＝0改写成用含x的式子表示y，下列正确的为（ ）
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】将原方程移项后再将y的系数化为1即可．
【解答】解：原方程移项得：5y＝2x﹣3，
则y，
故选：D．
【点评】本题考查解二元一次方程，熟练掌握此类题目的解题方法是解题的关键．
7．（3分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝33°，则∠CEF的度数是（ ）
A．66° B．49° C．33° D．16°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再由BC平分∠ABE求出∠ABE的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝33°，
∴∠ABC＝∠C＝33°．
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABC＝66°，
∵AB∥CD，
∴∠CEF＝∠ABE＝66°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
8．（3分）已知a＞b，下列变形一定正确的是（ ）
A．3a＜3b B．4+a＞4﹣b C．ac2＞bc2 D．3+2a＞3+2b
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质，依次判断即可得出结论．
【解答】解：A选项，在不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不发生改变，这里应该是3a＞3b，故A不正确，不符合题意；
B选项，无法证明，故B选项不正确，不符合题意；
C选项，当c＝0时，不等式不成立，故C选项不正确，不符合题意；
D选项，不等式的两边同时乘2再在不等式的两边同时3，不等式，成立，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，熟练记忆不等式的性质是解题关键．
9．（3分）如图，BC∥EF，BC＝EF，要使得△ABC≌△DEF，需要补充的条件不能是（ ）
A．∠B＝∠E B．AB＝DE C．AD＝CF D．AB∥DE
【考点】全等三角形的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB＝∠F，再根据全等三角形的判定逐个判断即可．
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠F，
A．∠B＝∠E，BC＝EF，∠ACB＝∠F，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AB＝DE，BC＝EF，∠ACB＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．∵AD＝CF，
∴AD+DC＝CF+DC，
即AC＝DF，
AC＝DF，∠ACB＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF，
∴∠A＝∠EDF，∠ACB＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
10．（3分）如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为（ ）
A．21 B．26 C．37 D．42
【考点】多边形．
【专题】压轴题．
【答案】D
【分析】观察发现：多边形的周长即水平线长度的2倍和铅垂线的2倍的和．
【解答】解：多边形的周长＝16×2+5×2＝42．
故选：D．
【点评】注意把线段进行平移，发现：周长即水平线长度的2倍和铅垂线的2倍的和．
11．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x≤3 B．x＜1 C．1≤x＜3 D．1＜x≤3
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由2x﹣1≤5得：x≤3，
由7﹣4x＜3得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x≤3，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．（3分）一根1m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的时绳子长为am，则的值为（ ）
A． B．±
C． D．以上都不对
【考点】算术平方根．
【专题】规律型．
【答案】A
【分析】根据叙述，第一次后剩下，第二次后剩下（）2；第三次后剩下（）3；则第六次后剩下a＝（）6，由此即可计算出a的值，就可求解．
【解答】解：第一次后剩下，第二次后剩下（）2；第三次后剩下（）3；则第六次后剩下a＝（）6．
则（）3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义在实际问题中的应用，是一个找规律题目，根据已知条件可以得到第n次以后的绳长是：（）n，同时也利用了算术平方根的定义解决问题．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）36的平方根是 ±6 ．
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】±6．
【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可得到答案．
【解答】解：∵（±6）2＝36，
∴36的平方根是±6．
故答案为：±6．
【点评】本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义．
14．（2分）下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有 ①②③ （填写序号）．
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】①②③．
【分析】根据生活常识对各小题进行判断即可得解．
【解答】解：①用“人”字梁建筑屋顶，是利用三角形具有稳定性，符合题意；
②用窗钩来固定窗扇，是利用三角形具有稳定性，符合题意；
③在栅栏门上斜钉着一根木条，是利用三角形具有稳定性，符合题意；
④商店的推拉防盗铁门，是用四边形的不稳定性，不是用三角形具有稳定性，不符合题意；
综上所述：用到三角形稳定性的是①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，比较简单，要熟悉生活中的物品的形状．
15．（2分）已知 AB∥y轴，A点的坐标为（2，1），并且 AB＝3，则B的坐标为 （2，4）或（2，﹣2）
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力；推理能力．
【答案】（2，4）或（2，﹣2）．
【分析】分①点B在点A的上方，②点B在点A的下方两种情况求出点B到x轴的距离，从而得解．
【解答】解：∵AB∥y轴，A点的坐标为（2，1），AB＝3，
∴①点B在点A的上方时，点B到x轴的距离为3+1＝4，
此时点B的坐标为（2，4）；
②点B在点A的下方时，点B到x轴的距离为3﹣1＝2，
此时点B的坐标为（2，﹣2），
综上所述，点B的坐标为（2，4）或（2，﹣2）．
故答案为：（2，4）或（2，﹣2）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，注意分点B在点A的上方与下方两种情况讨论求解，避免漏解而导致出错．
16．（2分）若一个正多边形的每一个外角都等于60°，则这个正多边形的边数为 6 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：这个多边形的边数是：360÷60＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是360度是解题的关键．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，过点E作AC的垂线DE，连接AD．若AD⊥AB．AD＝AB，BC＝3，DE＝7，则CE的长为 4 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据题意证明△ABC≌△DAE，即可得出AC＝DE＝7，AE＝BC＝3，进而即可求解．
【解答】解：∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠BAC+∠EAD＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∴∠B＝∠EAD，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠C＝90°，
又∵AD＝AB，
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC＝DE＝7，AE＝BC＝3
∴EC＝AC﹣AE＝7﹣3＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18．（2分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图∠MON＝40°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C．当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC的度数为 57.5或 度．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】新定义；分类讨论；三角形；推理能力．
【答案】57.5°或°．
【分析】由∠MON＝40°，AB⊥OM，利用三角形的内角和定理可求得∠ABC＝50°，结合“灵动三角形”的定义可分两种情况进行解答，即当∠ACB＝3∠ABC，或∠ACB＝3∠CAB时，根据三角形的内角和定理以及互为余角可得答案．
【解答】解：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∵∠MON＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
当△ABC为“灵动三角形”时，
①当∠ACB＝3∠ABC时，
∠ACB＝3×50°＝150°（舍去），
②当∠ACB＝3∠CAB时，
4∠CAB+50°＝180°，
∴∠CAB＝32.5°，
∴∠OAC＝90°﹣∠CAB＝57.5°，
综上，∠OAC＝57.5°．
三角形ABC中，有一个角是50度的时，∠OAC°．
故答案为：57.5°或°．
【点评】本题考查三角形的内角和，属于新定义题型，掌握三角形内角和是180°是解决问题的前提，理解“灵动三角形”是正确解答的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）．
【考点】实数的运算．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先计算开立方和开平方，然后再计算有理数的乘法，后算加减即可．
【解答】解：原式＝﹣1+3+6÷2＝﹣1+3+3＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握二次根式的化简和立方根定义．
20．（6分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞﹣3 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣3＜x≤1 ．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≤1；x＞﹣3；﹣3＜x≤1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞﹣3，
把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来如下：
原不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
故答案为：x≤1；x＞﹣3；﹣3＜x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（10分）如图，在方格纸上：
（1）已有的四条线段中，哪些是互相平行的？
（2）过点M画AB的平行线．
（3）过点N画GH的平行线．
【考点】平行线的判定；作图—基本作图．
【专题】作图题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图形可观察出互相平行的线段．
（2）过点M画AB的平行线．
（3）过点N画GH的平行线．
【解答】解：（1）由图形可得：AB∥CD．
（2）（3）所画图形如下：
【点评】本题考查了平行线的判定方法及过一点作平行线的知识，属于基础题，主要掌握平行线的判定方法及作图的基本步骤．
22．（10分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且OB＝OC．
求证：AO平分∠BAC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】证明过程见解析．
【分析】由条件可先证明△BOD≌△COE，可得OD＝OE，则可得结论．
【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO＝∠CEO．
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE．
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠BAO＝∠CAO，
即AO平分∠BAC．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，利用三角形全等来找条件是解本题的关键．
23．（10分）数学兴趣小组进行一项调查活动，主题是：学生对“朱子文化”的了解情况．随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．被调查的每位学生的调查结果只有其中一种，将调查结果整理并绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查 60 名学生；扇形统计图中，C所对应的扇形的圆心角是 90 度；
（2）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中“非常了解”的约有多少名？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）60；90；
（2）320名．
【分析】（1）用A的人数除以40%可得样本容量，用360°乘C所占百分比可得C所对应的扇形的圆心角度数；
（2）用800乘样本中“非常了解”的学生所占比例即可．
【解答】解：（1）本次共调查学生：24÷40%＝60（名），
C所对应的扇形的圆心角是：360°90°，
故答案为：60；90；
（2）800×40%＝320（名），
答：估计全校学生中“非常了解”的约有320名．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
24．（10分）如图1，△ABC的外角平分线BF、CF交于点F．
（1）若∠A＝50°，则∠F的度数为 65° ．
（2）过点F作直线MN，交射线AB，AC于点M、N，并将直线MN绕点F转动．
①如图2，当直线MN与线段BC没有交点时，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，试探索∠A与α，β之间满足的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】数形结合；三角形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）65°；
（2）①；
②不成立，．
【分析】（1）根据角平分线的定义，求出∠CBF，∠BCF，再由它们与△ABC各个内角的关系，证明∠A与∠F的关系，代入即可；
（2）①根据（1）中∠A与∠F的关系式，平角的定义，列出α，β与∠A的关系式化简；
②根据（1）中∠A与∠F的关系式，求出∠BFN，再有平角的定义，列出α，β与∠A的关系式，化简即可；
【解答】解：（1）∵BF，CF分别是∠DBC和∠BCE的角平分线，
∴∠CBF，∠BCF，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，∠CBF+∠BCF+∠F＝180°，
∴∠F＝180°﹣（∠CBF+∠BCF），
＝180°（∠DBC+∠BCE），
＝180，
，
，
∵∠A＝50°，
∴∠F＝65°，
故答案为：65°；
（2）①由（1）可知，∠MFB＝α，∠NFC＝β，
∵∠BFC+∠MFB+∠NFC＝180°，
∴，
∴；
②不成立，理由如下：
如图所示：
由（1）可知，∠MFB＝α，∠NFC＝β，
∵∠BFN+∠NFC＝∠BFC，
∴∠BFN，
∵∠BFN+∠MFB＝180°，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是结合图形，识别角与角之间的关系．
25．（10分）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍，那么购进A种农产品件数的范围是多少？
【考点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元；
（2）购进A种农产品件数的范围是20≤m≤30．
【分析】（1）设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品（40﹣m）件，利用总价＝单价×数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，列出一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）设A种农产品每件的价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，
依题意得：，
解得：，
答：A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元；
（2）设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品（40﹣m）件，
依题意得：，
解得：20≤m≤30，
答：购进A种农产品件数的范围是20≤m≤30．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
26．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 24秒 秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】动点型；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）①△BPD≌△CQP；理由见解答；
②vQ＝1.5cm/s；
（2）经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．
【解答】解：（1）①△BPD≌△CQP，理由如下：
∵t＝1秒，
∴BP＝CQ＝1×1＝1cm，
∵AB＝6cm，点D为AB的中点，
∴BD＝3cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，
∴PC＝4﹣1＝3cm，
∴PC＝BD．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△BPD≌△CQP；
②假设△BPD≌△CQP，
∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，
∴点P，点Q运动的时间t2秒，
∴vQ1.5cm/s；
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 1.5x＝x+2×6，
解得x＝24，
∴点P共运动了24s×1cm/s＝24cm．
∵24×1.5＝36，
∴点P、点Q在AC边上相遇，
∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
【点评】此题主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
6．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
7．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
8．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
9．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
10．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
11．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
12．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
13．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
14．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
15．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
16．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
17．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
18．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
19．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．
22．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
23．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
24．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
25．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
26．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
27．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
28．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷2
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）检查四个篮球的质量，把超过标准的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如下表：
其中质量最好的是（ ）
篮球编号 甲 乙 丙 丁
与标准质量的差（g） +4 +7 ﹣3 ﹣8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（3分）为了解某中学2500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法正确的是（ ）
A．调查方式是全面调查
B．该校只有380名家长持赞成态度
C．样本是400
D．该校约有95%的家长持赞成态度
3．（3分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．7cm，5cm，12cm B．6cm，8cm，15cm
C．8cm，4cm，4cm D．4cm，6cm，5cm
4．（3分）用加减法解方程组，下列解法错误的是（ ）
A．①×3﹣②×2，消去x B．①×（﹣3）+②×2，消去x
C．①×2+②×（﹣3），消去y D．①×2﹣②×（﹣3），消去y
5．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，3），将线段AO经过某种平移后得到线段BC，其中点A与点B对应，点O与点C对应，点B的坐标为（4，0）．若D为线段OA上一点，平移后的对应点为D′，则点D移动到D′的最短路程为（ ）
A．5 B． C．4 D．
6．（3分）把方程2x﹣5y﹣3＝0改写成用含x的式子表示y，下列正确的为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝33°，则∠CEF的度数是（ ）
A．66° B．49° C．33° D．16°
8．（3分）已知a＞b，下列变形一定正确的是（ ）
A．3a＜3b B．4+a＞4﹣b C．ac2＞bc2 D．3+2a＞3+2b
9．（3分）如图，BC∥EF，BC＝EF，要使得△ABC≌△DEF，需要补充的条件不能是（ ）
A．∠B＝∠E B．AB＝DE C．AD＝CF D．AB∥DE
10．（3分）如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为（ ）
A．21 B．26 C．37 D．42
11．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x≤3 B．x＜1 C．1≤x＜3 D．1＜x≤3
12．（3分）一根1m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的时绳子长为am，则的值为（ ）
A． B．±
C． D．以上都不对
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）36的平方根是 ．
14．（2分）下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有 （填写序号）．
15．（2分）已知 AB∥y轴，A点的坐标为（2，1），并且 AB＝3，则B的坐标为
16．（2分）若一个正多边形的每一个外角都等于60°，则这个正多边形的边数为 ．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，过点E作AC的垂线DE，连接AD．若AD⊥AB．AD＝AB，BC＝3，DE＝7，则CE的长为 ．
18．（2分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图∠MON＝40°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C．当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC的度数为 度．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）．
20．（6分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
21．（10分）如图，在方格纸上：
（1）已有的四条线段中，哪些是互相平行的？
（2）过点M画AB的平行线．
（3）过点N画GH的平行线．
22．（10分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且OB＝OC．
求证：AO平分∠BAC．
23．（10分）数学兴趣小组进行一项调查活动，主题是：学生对“朱子文化”的了解情况．随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．被调查的每位学生的调查结果只有其中一种，将调查结果整理并绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查 名学生；扇形统计图中，C所对应的扇形的圆心角是 度；
（2）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中“非常了解”的约有多少名？
24．（10分）如图1，△ABC的外角平分线BF、CF交于点F．
（1）若∠A＝50°，则∠F的度数为 ．
（2）过点F作直线MN，交射线AB，AC于点M、N，并将直线MN绕点F转动．
①如图2，当直线MN与线段BC没有交点时，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，试探索∠A与α，β之间满足的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系．
25．（10分）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍，那么购进A种农产品件数的范围是多少？
26．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）检查四个篮球的质量，把超过标准的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如下表：
其中质量最好的是（ ）
篮球编号 甲 乙 丙 丁
与标准质量的差（g） +4 +7 ﹣3 ﹣8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】正数和负数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】C
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
【解答】解：根据题意可得：超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数；
观察图表，找绝对值最小的．易得|﹣3|＝3最小，
故3号球最接近标准质量，质量最好，
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值、有理数的减法在实际中的应用．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
2．（3分）为了解某中学2500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法正确的是（ ）
A．调查方式是全面调查
B．该校只有380名家长持赞成态度
C．样本是400
D．该校约有95%的家长持赞成态度
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】D
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A．调查方式是抽样调查，故此选项不合题意；
B．400名家长里有380名家长持赞成态度，故此选项不合题意；
C．样本容量是400，故此选项不合题意；
D．该校约有：100＝95%的家长持赞成态度，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3．（3分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．7cm，5cm，12cm B．6cm，8cm，15cm
C．8cm，4cm，4cm D．4cm，6cm，5cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
A、7+5＝12，不能组成三角形；
B、6+8＜15，不能组成三角形；
C、4+4＝8，不能组成三角形；
D、4+5＞6，能够组成三角形．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．（3分）用加减法解方程组，下列解法错误的是（ ）
A．①×3﹣②×2，消去x B．①×（﹣3）+②×2，消去x
C．①×2+②×（﹣3），消去y D．①×2﹣②×（﹣3），消去y
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用加减消元法的法则对每个选项进行分析判断，得出符合题意的选项．
【解答】解：∵方程①中x的系数为2，方程②中x的系数为3，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程①×3，方程②×2时，x的系数相同，
∴①×3﹣②×2，能够消去x．
∴A选项不符合题意；
∵方程①中x的系数为2，方程②中x的系数为3，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程①×(﹣3)，方程②×2时，x的系数互为相反数，
∴①×(﹣3)+②×2，能够消去x．
∴B选项不符合题意；
∵方程①中y的系数为﹣3，方程②中y的系数为﹣2，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程①×2，方程②×（﹣3）时，y的系数互为相反数，
∴①×3+②×2，能够消去y．
∴C选项不符合题意；
∵方程①中y的系数为﹣3，方程②中y的系数为﹣2，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程①×2，方程②×（﹣3）时，y的系数互为相反数，
∴①×2﹣②×(﹣3),不能消去y,
∴D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组．加减法解二元一次方程组的关键是通过变形使方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，3），将线段AO经过某种平移后得到线段BC，其中点A与点B对应，点O与点C对应，点B的坐标为（4，0）．若D为线段OA上一点，平移后的对应点为D′，则点D移动到D′的最短路程为（ ）
A．5 B． C．4 D．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】根据点A的坐标为（3，3），平移后点A与点B对应，点B的坐标为（4，0），可得点A与点B的距离为，根据平移的性质得，点D移动到D′的最短路程为．
【解答】解：∵点A的坐标为（3，3），平移后点A与点B对应，点B的坐标为（4，0），
∴点A与点B的距离为，
∴点D移动到D′的最短路程为．
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，正确掌握平移的性质是解题关键．
6．（3分）把方程2x﹣5y﹣3＝0改写成用含x的式子表示y，下列正确的为（ ）
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】将原方程移项后再将y的系数化为1即可．
【解答】解：原方程移项得：5y＝2x﹣3，
则y，
故选：D．
【点评】本题考查解二元一次方程，熟练掌握此类题目的解题方法是解题的关键．
7．（3分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝33°，则∠CEF的度数是（ ）
A．66° B．49° C．33° D．16°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再由BC平分∠ABE求出∠ABE的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝33°，
∴∠ABC＝∠C＝33°．
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABC＝66°，
∵AB∥CD，
∴∠CEF＝∠ABE＝66°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
8．（3分）已知a＞b，下列变形一定正确的是（ ）
A．3a＜3b B．4+a＞4﹣b C．ac2＞bc2 D．3+2a＞3+2b
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质，依次判断即可得出结论．
【解答】解：A选项，在不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不发生改变，这里应该是3a＞3b，故A不正确，不符合题意；
B选项，无法证明，故B选项不正确，不符合题意；
C选项，当c＝0时，不等式不成立，故C选项不正确，不符合题意；
D选项，不等式的两边同时乘2再在不等式的两边同时3，不等式，成立，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，熟练记忆不等式的性质是解题关键．
9．（3分）如图，BC∥EF，BC＝EF，要使得△ABC≌△DEF，需要补充的条件不能是（ ）
A．∠B＝∠E B．AB＝DE C．AD＝CF D．AB∥DE
【考点】全等三角形的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB＝∠F，再根据全等三角形的判定逐个判断即可．
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠F，
A．∠B＝∠E，BC＝EF，∠ACB＝∠F，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AB＝DE，BC＝EF，∠ACB＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．∵AD＝CF，
∴AD+DC＝CF+DC，
即AC＝DF，
AC＝DF，∠ACB＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF，
∴∠A＝∠EDF，∠ACB＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
10．（3分）如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为（ ）
A．21 B．26 C．37 D．42
【考点】多边形．
【专题】压轴题．
【答案】D
【分析】观察发现：多边形的周长即水平线长度的2倍和铅垂线的2倍的和．
【解答】解：多边形的周长＝16×2+5×2＝42．
故选：D．
【点评】注意把线段进行平移，发现：周长即水平线长度的2倍和铅垂线的2倍的和．
11．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x≤3 B．x＜1 C．1≤x＜3 D．1＜x≤3
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由2x﹣1≤5得：x≤3，
由7﹣4x＜3得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x≤3，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．（3分）一根1m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的时绳子长为am，则的值为（ ）
A． B．±
C． D．以上都不对
【考点】算术平方根．
【专题】规律型．
【答案】A
【分析】根据叙述，第一次后剩下，第二次后剩下（）2；第三次后剩下（）3；则第六次后剩下a＝（）6，由此即可计算出a的值，就可求解．
【解答】解：第一次后剩下，第二次后剩下（）2；第三次后剩下（）3；则第六次后剩下a＝（）6．
则（）3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义在实际问题中的应用，是一个找规律题目，根据已知条件可以得到第n次以后的绳长是：（）n，同时也利用了算术平方根的定义解决问题．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）36的平方根是 ±6 ．
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】±6．
【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可得到答案．
【解答】解：∵（±6）2＝36，
∴36的平方根是±6．
故答案为：±6．
【点评】本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义．
14．（2分）下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有 ①②③ （填写序号）．
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】①②③．
【分析】根据生活常识对各小题进行判断即可得解．
【解答】解：①用“人”字梁建筑屋顶，是利用三角形具有稳定性，符合题意；
②用窗钩来固定窗扇，是利用三角形具有稳定性，符合题意；
③在栅栏门上斜钉着一根木条，是利用三角形具有稳定性，符合题意；
④商店的推拉防盗铁门，是用四边形的不稳定性，不是用三角形具有稳定性，不符合题意；
综上所述：用到三角形稳定性的是①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，比较简单，要熟悉生活中的物品的形状．
15．（2分）已知 AB∥y轴，A点的坐标为（2，1），并且 AB＝3，则B的坐标为 （2，4）或（2，﹣2）
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力；推理能力．
【答案】（2，4）或（2，﹣2）．
【分析】分①点B在点A的上方，②点B在点A的下方两种情况求出点B到x轴的距离，从而得解．
【解答】解：∵AB∥y轴，A点的坐标为（2，1），AB＝3，
∴①点B在点A的上方时，点B到x轴的距离为3+1＝4，
此时点B的坐标为（2，4）；
②点B在点A的下方时，点B到x轴的距离为3﹣1＝2，
此时点B的坐标为（2，﹣2），
综上所述，点B的坐标为（2，4）或（2，﹣2）．
故答案为：（2，4）或（2，﹣2）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，注意分点B在点A的上方与下方两种情况讨论求解，避免漏解而导致出错．
16．（2分）若一个正多边形的每一个外角都等于60°，则这个正多边形的边数为 6 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：这个多边形的边数是：360÷60＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是360度是解题的关键．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，过点E作AC的垂线DE，连接AD．若AD⊥AB．AD＝AB，BC＝3，DE＝7，则CE的长为 4 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据题意证明△ABC≌△DAE，即可得出AC＝DE＝7，AE＝BC＝3，进而即可求解．
【解答】解：∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠BAC+∠EAD＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∴∠B＝∠EAD，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠C＝90°，
又∵AD＝AB，
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC＝DE＝7，AE＝BC＝3
∴EC＝AC﹣AE＝7﹣3＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18．（2分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图∠MON＝40°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C．当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC的度数为 57.5或 度．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】新定义；分类讨论；三角形；推理能力．
【答案】57.5°或°．
【分析】由∠MON＝40°，AB⊥OM，利用三角形的内角和定理可求得∠ABC＝50°，结合“灵动三角形”的定义可分两种情况进行解答，即当∠ACB＝3∠ABC，或∠ACB＝3∠CAB时，根据三角形的内角和定理以及互为余角可得答案．
【解答】解：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∵∠MON＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
当△ABC为“灵动三角形”时，
①当∠ACB＝3∠ABC时，
∠ACB＝3×50°＝150°（舍去），
②当∠ACB＝3∠CAB时，
4∠CAB+50°＝180°，
∴∠CAB＝32.5°，
∴∠OAC＝90°﹣∠CAB＝57.5°，
综上，∠OAC＝57.5°．
三角形ABC中，有一个角是50度的时，∠OAC°．
故答案为：57.5°或°．
【点评】本题考查三角形的内角和，属于新定义题型，掌握三角形内角和是180°是解决问题的前提，理解“灵动三角形”是正确解答的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）．
【考点】实数的运算．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先计算开立方和开平方，然后再计算有理数的乘法，后算加减即可．
【解答】解：原式＝﹣1+3+6÷2＝﹣1+3+3＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握二次根式的化简和立方根定义．
20．（6分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞﹣3 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣3＜x≤1 ．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≤1；x＞﹣3；﹣3＜x≤1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞﹣3，
把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来如下：
原不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
故答案为：x≤1；x＞﹣3；﹣3＜x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（10分）如图，在方格纸上：
（1）已有的四条线段中，哪些是互相平行的？
（2）过点M画AB的平行线．
（3）过点N画GH的平行线．
【考点】平行线的判定；作图—基本作图．
【专题】作图题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图形可观察出互相平行的线段．
（2）过点M画AB的平行线．
（3）过点N画GH的平行线．
【解答】解：（1）由图形可得：AB∥CD．
（2）（3）所画图形如下：
【点评】本题考查了平行线的判定方法及过一点作平行线的知识，属于基础题，主要掌握平行线的判定方法及作图的基本步骤．
22．（10分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且OB＝OC．
求证：AO平分∠BAC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】证明过程见解析．
【分析】由条件可先证明△BOD≌△COE，可得OD＝OE，则可得结论．
【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO＝∠CEO．
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE．
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠BAO＝∠CAO，
即AO平分∠BAC．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，利用三角形全等来找条件是解本题的关键．
23．（10分）数学兴趣小组进行一项调查活动，主题是：学生对“朱子文化”的了解情况．随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．被调查的每位学生的调查结果只有其中一种，将调查结果整理并绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查 60 名学生；扇形统计图中，C所对应的扇形的圆心角是 90 度；
（2）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中“非常了解”的约有多少名？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）60；90；
（2）320名．
【分析】（1）用A的人数除以40%可得样本容量，用360°乘C所占百分比可得C所对应的扇形的圆心角度数；
（2）用800乘样本中“非常了解”的学生所占比例即可．
【解答】解：（1）本次共调查学生：24÷40%＝60（名），
C所对应的扇形的圆心角是：360°90°，
故答案为：60；90；
（2）800×40%＝320（名），
答：估计全校学生中“非常了解”的约有320名．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
24．（10分）如图1，△ABC的外角平分线BF、CF交于点F．
（1）若∠A＝50°，则∠F的度数为 65° ．
（2）过点F作直线MN，交射线AB，AC于点M、N，并将直线MN绕点F转动．
①如图2，当直线MN与线段BC没有交点时，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，试探索∠A与α，β之间满足的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】数形结合；三角形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）65°；
（2）①；
②不成立，．
【分析】（1）根据角平分线的定义，求出∠CBF，∠BCF，再由它们与△ABC各个内角的关系，证明∠A与∠F的关系，代入即可；
（2）①根据（1）中∠A与∠F的关系式，平角的定义，列出α，β与∠A的关系式化简；
②根据（1）中∠A与∠F的关系式，求出∠BFN，再有平角的定义，列出α，β与∠A的关系式，化简即可；
【解答】解：（1）∵BF，CF分别是∠DBC和∠BCE的角平分线，
∴∠CBF，∠BCF，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，∠CBF+∠BCF+∠F＝180°，
∴∠F＝180°﹣（∠CBF+∠BCF），
＝180°（∠DBC+∠BCE），
＝180，
，
，
∵∠A＝50°，
∴∠F＝65°，
故答案为：65°；
（2）①由（1）可知，∠MFB＝α，∠NFC＝β，
∵∠BFC+∠MFB+∠NFC＝180°，
∴，
∴；
②不成立，理由如下：
如图所示：
由（1）可知，∠MFB＝α，∠NFC＝β，
∵∠BFN+∠NFC＝∠BFC，
∴∠BFN，
∵∠BFN+∠MFB＝180°，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是结合图形，识别角与角之间的关系．
25．（10分）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍，那么购进A种农产品件数的范围是多少？
【考点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元；
（2）购进A种农产品件数的范围是20≤m≤30．
【分析】（1）设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品（40﹣m）件，利用总价＝单价×数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，列出一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）设A种农产品每件的价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，
依题意得：，
解得：，
答：A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元；
（2）设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品（40﹣m）件，
依题意得：，
解得：20≤m≤30，
答：购进A种农产品件数的范围是20≤m≤30．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
26．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 24秒 秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】动点型；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）①△BPD≌△CQP；理由见解答；
②vQ＝1.5cm/s；
（2）经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．
【解答】解：（1）①△BPD≌△CQP，理由如下：
∵t＝1秒，
∴BP＝CQ＝1×1＝1cm，
∵AB＝6cm，点D为AB的中点，
∴BD＝3cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，
∴PC＝4﹣1＝3cm，
∴PC＝BD．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△BPD≌△CQP；
②假设△BPD≌△CQP，
∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，
∴点P，点Q运动的时间t2秒，
∴vQ1.5cm/s；
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 1.5x＝x+2×6，
解得x＝24，
∴点P共运动了24s×1cm/s＝24cm．
∵24×1.5＝36，
∴点P、点Q在AC边上相遇，
∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
【点评】此题主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
6．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
7．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
8．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
9．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
10．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
11．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
12．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
13．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
14．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
15．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
16．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
17．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
18．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
19．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．
22．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
23．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
24．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
25．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
26．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
27．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
28．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
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