2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 598.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:18:30 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为2m，则绿化的面积为（ ）m2
A．564 B．550 C．544 D．540
2．（3分）下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）如图图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）若y轴上的点M到x轴的距离为13，则点M的坐标为（ ）
A．（13，0 ） B．（13，0 ）或（﹣13，0）
C．（0，13 ） D．（0，13 ）或（ 0，﹣13）
6．（3分）木工师傅用刨子可将木板刨平，如图，经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为（ ）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两边之和大于第三边
7．（3分）0的平方根是（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
8．（3分）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．1﹣2m＜1﹣2n C． D．n﹣m＞0
9．（3分）如图，在下列条件中，能判断AD∥BE的是（ ）
A．∠BCA＝∠E B．∠ADE＝∠E C．∠BCA＝∠A D．∠ACD＝∠CDE
10．（3分）如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．5
11．（3分）宁波市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．小明乘坐这种出租车走了8km，付了23元；小红乘坐这种出租车走了13km，付了35元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，∠MON＝30°，点A1、A2、A3、A4在x轴上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若A1点坐标是（1，0），那么A6点坐标是（ ）
A．（6，0） B．（12，0） C．（16，0） D．（32，0）
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）山西省大同市北环路御河桥全桥采用了三角拱结构，恰似数个三角形的完美结合．从数学的角度是应用了 ．
14．（2分）若一个三角形的边长分别为3，7，12﹣2x，则x的取值范围是 ．
15．（2分）比较大小：﹣2 ﹣5．
16．（2分）正八边形每个外角的度数为 ．
17．（2分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 秒时，△DEB与△BCA全等．
18．（2分）写出一个解为的二元一次方程组： ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算下列各式． （1）
（1）||+（2）．
20．（6分）解不等式组：．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+2，y0+4），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．
（1）请画出△A1B1C1并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
22．（10分）“垃圾分类新时尚，文明之风我先行”．某地自开展“创卫、创文工作”以来，广大群众积极参与各项工作．新修订的生活垃圾分类标准为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小珂所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图：
a．线上垃圾分类知识测试频数分布表
成绩分组 频数
50≤x＜60 3
60≤x＜70 9
70≤x＜80 m
80≤x＜90 12
90≤x＜100 8
C．成绩在80≤x＜90这一组的成绩为80，81，82，83，83，85，86，86，87，88，88，89．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）请补全频数分布图；
（3）小到居住的社区大约有居民2000人，若测试成绩达到80分为良好，那么估计小珂所在的社区成绩良好的人数约为 人；
（4）若测试成绩在前十五名的居民可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．已知居民A的得分为87分，请说明居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？
23．（10分）已知：如图，AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF．
求证：∠D＝∠B．
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠ （ ）．
∵AE＝CF，
∴AE+ ＝CF+ ．
即AF＝CE．
在△AFD和△CEB中，
，
∵△AFD≌△CEB（ ），
∴∠D＝∠B（ ）．
24．（10分）如图，已知：AD⊥BC于点D，GE⊥BC于点E，GE与AB相交于点F，若∠2＝∠3．求证：∠G与∠B互余．
25．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
26．（10分）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等．
【初步思考】他们先用符号语言表示了这个问题：在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整．
（1）第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
如图1，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E＝90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
如图2，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
（3）第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）在（3）中，∠B与∠C的大小关系还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请根据以上作图过程直接写出结论．
2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为2m，则绿化的面积为（ ）m2
A．564 B．550 C．544 D．540
【考点】生活中的平移现象．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFCG是矩形，根据矩形的面积公式即可求出结果．
【解答】解：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFGH是矩形，
∵CF＝32﹣2＝30（米），CG＝20﹣2＝18（米），
∴矩形EFCG的面积＝30×18＝540（平方米）．
答：绿化的面积为540m2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了生活中平移现象，将长方形地块内部修筑的两条”之”字路平移到长方形ABCD的最上边和最左边，使余下部分EFGH是一个矩形，是解决本题的关键．
2．（3分）下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】全等图形．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】B
【分析】根据全等图形的定义判断即可．能够完全重合的两个图形叫做全等形．
【解答】解：A、两个图形大小不相等，故选项不符合题意；
B、两个图形大小相等，形状相同，故选项符合题意；
C、两个图形大小不相等，故选项不符合题意；
D、两个图形形状不同，故选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了全等图形，解题的关键是掌握大小相等，形状相同的图形是全等图形．
3．（3分）如图图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】D
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
4．（3分）不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；几何直观．
【答案】C
【分析】将已知解集表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是：
故选：C．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键是明确在数轴上表示不等式的解集的方法，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）若y轴上的点M到x轴的距离为13，则点M的坐标为（ ）
A．（13，0 ） B．（13，0 ）或（﹣13，0）
C．（0，13 ） D．（0，13 ）或（ 0，﹣13）
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】D
【分析】根据y轴上点的横坐标为零，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，可得答案．
【解答】解：若y轴上的点M到x轴的距离为13，则点M的坐标为（0，13）或（0，﹣13），
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标．解题的关键是掌握点的坐标的特点，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，注意到x轴距离相等的点有两个，以防遗漏．
6．（3分）木工师傅用刨子可将木板刨平，如图，经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为（ ）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两边之和大于第三边
【考点】垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】由直线的性质：两点确定一条直线，即可得到答案．
【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为：两点确定一条直线．
故选：C．
【点评】本题考查直线的性质，关键是掌握直线的性质：两点确定一条直线．
7．（3分）0的平方根是（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【考点】平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】利用平方根的性质即可得出答案．
【解答】解：0的平方根是0，
故选：D．
【点评】本题主要考查平方根，平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
8．（3分）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．1﹣2m＜1﹣2n C． D．n﹣m＞0
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；数感．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质解决此题．
【解答】解：A．由m＞n，得m﹣2＞n﹣2，那么A错误，故A不符合题意．
B．由m＞n，得﹣2m＜﹣2n，推断出1﹣2m＜1﹣2n，那么B正确，故B符合题意．
C．由m＞n，得mn，那么C错误，故C不符合题意．
D．由m＞n，得n﹣m＜0，那么D错误，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
9．（3分）如图，在下列条件中，能判断AD∥BE的是（ ）
A．∠BCA＝∠E B．∠ADE＝∠E C．∠BCA＝∠A D．∠ACD＝∠CDE
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD、BC是否平行即可．
【解答】解：A、∵∠BCA＝∠E，
∴AC∥DE，故A选项错误，不符合题意；
B、∵∠ADE与∠E是同旁内角，
∴若∠ADE＝∠E，则无法证明AD∥BE，故B选项错误，不符合题意；
C、∵∠BCA＝∠A，
∴AD∥BE，故C选项正确，符合题意；
D、∵∠ACD＝∠CDE，
∴AC∥DE，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键．
10．（3分）如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．5
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由作图可知，OH平分∠AOB，由角平分线的性质可得出答案．
【解答】解：由作图可知，OH平分∠AOB，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴PF＝PE＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了基本作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
11．（3分）宁波市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．小明乘坐这种出租车走了8km，付了23元；小红乘坐这种出租车走了13km，付了35元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，由题意得等量关系：①起步价x元+超过3km后的费用＝23元；②起步价x元+超过3km后的费用＝35元，再列出方程组即可．
【解答】解：设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，
由题意得：．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，∠MON＝30°，点A1、A2、A3、A4在x轴上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若A1点坐标是（1，0），那么A6点坐标是（ ）
A．（6，0） B．（12，0） C．（16，0） D．（32，0）
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型；平面直角坐标系；推理能力．
【答案】D
【分析】先由A1的坐标和△A1A2B1为等边三角形得出A2的坐标，再由△A2A3B2为等边三角形得出A3的坐标，根据变化规律即可得出A6的坐标．
【解答】解：∵∠MON＝30°，∠B1A1A2＝60°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝A1A2＝1，
∴A2的坐标为（2，0），
∴A2A3＝A2B2＝OA2＝2，
∴A3的坐标为（4，0），
根据变化规律可知An的坐标为（2n﹣1，0），
∴A6的坐标为（25，0），
∵25＝32，
∴A6的坐标为（32，0），
故选：D．
【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，关键是要牢记等边三角形的性质，能找出点An的变化规律．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）山西省大同市北环路御河桥全桥采用了三角拱结构，恰似数个三角形的完美结合．从数学的角度是应用了 三角形的稳定性 ．
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】三角形的稳定性．
【分析】三角形是具有稳定性的图形，据此即可求得答案．
【解答】解：山西省大同市北环路御河桥全桥采用了三角拱结构，恰似数个三角形的完美结合．从数学的角度是应用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】本题主要考查三角形的性质，牢记三角形是具有稳定性的图形是解题的关键．
14．（2分）若一个三角形的边长分别为3，7，12﹣2x，则x的取值范围是 1＜x＜4 ．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】1＜x＜4．
【分析】根据三角形的三边关系定理列出不等式组7﹣3＜12﹣2x＜7+3，解不等式组可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系定理可得：7﹣3＜12﹣2x＜7+3，
解得1＜x＜4．
故答案为：1＜x＜4．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．
15．（2分）比较大小：﹣2 ＜ ﹣5．
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】＜．
【分析】根据平方法计算出两个数的平方，再比较大小．
【解答】解：∵（2）2＝28，52＝25，28＞25，
∴25，
∴﹣25．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法和无理数的估算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确两个负数大小比较的方法．
16．（2分）正八边形每个外角的度数为 45° ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用多边形的外角和等于360度即可得出答案．
【解答】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，
所以正八边形的每个外角的度数是：360°÷8＝45．
故答案为：45°．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟记任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．
17．（2分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 0，2，6，8 秒时，△DEB与△BCA全等．
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】动点型．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC＝BE，AC＝BE进行计算即可．
【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8﹣4＝4，
∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8+4＝12，
∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝8+8＝16，
点E的运动时间为16÷2＝8（秒），
故答案为：0，2，6，8．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．（2分）写出一个解为的二元一次方程组： （答案不唯一） ．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】以﹣3和2列出两个算式，即可确定出所求方程组．
【解答】解：解为的二元一次方程组（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算下列各式． （1）
（1）||+（2）．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）8；
（2）．
【分析】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减；
（2）先计算绝对值、去括号，再计算加减．
【解答】解：（1）
＝10﹣3
＝10﹣3
＝8；
（1）||+（2）
|+2
．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
20．（6分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≥2.5．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥2.5，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集为：x≥2.5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+2，y0+4），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．
（1）请画出△A1B1C1并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分，A1（1，2），B1（0，0），C1（﹣2，3）．
（2）．
【分析】（1）分别作出AB，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用分割法求解即可．
【解答】解：（1）如图，A1B1C1并写即为所求作，A1（1，2），B1（0，0），C1（﹣2，3）．
（2）△A1B1C1的面积＝3×33×21×21×3．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）“垃圾分类新时尚，文明之风我先行”．某地自开展“创卫、创文工作”以来，广大群众积极参与各项工作．新修订的生活垃圾分类标准为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小珂所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图：
a．线上垃圾分类知识测试频数分布表
成绩分组 频数
50≤x＜60 3
60≤x＜70 9
70≤x＜80 m
80≤x＜90 12
90≤x＜100 8
C．成绩在80≤x＜90这一组的成绩为80，81，82，83，83，85，86，86，87，88，88，89．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 18 ；
（2）请补全频数分布图；
（3）小到居住的社区大约有居民2000人，若测试成绩达到80分为良好，那么估计小珂所在的社区成绩良好的人数约为 800 人；
（4）若测试成绩在前十五名的居民可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．已知居民A的得分为87分，请说明居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）18；
（2）作图见解析部分；
（3）800；
（4）居民A可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．
【分析】（1）根据题意，可以得到样本容量，然后即可计算出m的值；
（2）根据频数分布表中的数据和m的值，可以将频数分布表补充完整；
（3）根据题目中的数据，可以计算出小珂所在的社区良好的人数；
（4）根据题目中的数据，可以得到88分是第多少名，从而可以得到居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．
【解答】解：（1）由题意可得，表中m的值为：50﹣3﹣9﹣12﹣8＝18，
故答案为：18；
（2）由（1）值m的值为18，
由频数分布表可知80≤x＜90这一组的频数为12，
补全的频数分布直方图如图所示：
（3）估计小珂所在的社区良好的人数约为2000800（人），
故答案为：800；
（4）由题意可得，87分是第12名，
故居民A可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、样本容量，解答本题的关键是明确频率＝频数÷总数．
23．（10分）已知：如图，AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF．
求证：∠D＝∠B．
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠ C （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵AE＝CF，
∴AE+ EF ＝CF+ EF ．
即AF＝CE．
在△AFD和△CEB中，
，
∵△AFD≌△CEB（ SAS ），
∴∠D＝∠B（ 全等三角形的对应角相等 ）．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】C；两直线平行，内错角相等；EF；EF；SAS；全等三角形的对应角相等．
【分析】由平行线的性质就可以得出∠A＝∠C，在根据等式的性质就可以得出AF＝CE，然后由SAS就可以得出△AFD≌△CEB，由全等三角形的性质就可以得出结论．
【解答】解：由题意，得：
：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C．
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE．
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB （SAS）．
∴∠D＝∠B （全等三角形的对应角相等）．
故答案为：C；两直线平行，内错角相等；EF；EF；SAS；全等三角形的对应角相等．
【点评】本题考查了平行线的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时得出三角形全等是关键．
24．（10分）如图，已知：AD⊥BC于点D，GE⊥BC于点E，GE与AB相交于点F，若∠2＝∠3．求证：∠G与∠B互余．
【考点】三角形内角和定理；余角和补角；平行线的判定与性质．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】先由AD⊥BC，GE⊥BC得AD∥GE，从而得出∠G＝∠3，再由∠2＝∠3得∠G＝∠2，从而求解．
【解答】证明：∵AD⊥BC，GE⊥BC，
∴∠ADC＝∠CEF＝90°，
∴AD∥GE，
∴∠G＝∠3，
∵∠2＝∠3，
∴∠G＝∠2，
∴∠G+∠B＝90°，
即∠G与∠B互余．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，解题关键是掌握三角形内角和定理及平行线的性质．
25．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）购进1件甲种农机具需要1.5万元，1件乙种农机具需要0.5万元；
（2）共有3种购买方案，
方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；
方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；
方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；
（3）购买方案1所需资金最少，最少资金是10万元．
【分析】（1）设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元，根据“购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种农机具m件，则购进乙种农机具（10﹣m）件，根据投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各购买方案；
（3）利用总价＝单价×数量，可分别求出各购买方案所需资金，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元，
依题意得：，
解得：．
答：购进1件甲种农机具需要1.5万元，1件乙种农机具需要0.5万元．
（2）设购进甲种农机具m件，则购进乙种农机具（10﹣m）件，
依题意得：，
解得：4.8≤m≤7，
又∵m为整数，
∴m可以取5，6，7，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；
方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；
方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件．
（3）方案1所需资金为1.5×5+0.5×5＝10（万元）；
方案2所需资金为1.5×6+0.5×4＝11（万元）；
方案3所需资金为1.5×7+0.5×3＝12（万元）．
∵10＜11＜12，
∴购买方案1所需资金最少，最少资金是10万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总价＝单价×数量，分别求出各购买方案所需资金．
26．（10分）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等．
【初步思考】他们先用符号语言表示了这个问题：在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整．
（1）第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
如图1，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E＝90°，根据 HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
如图2，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
（3）第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）在（3）中，∠B与∠C的大小关系还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请根据以上作图过程直接写出结论．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）HL；
（2）证明见解析；
（3）图形见解析；
（4）∠B≥∠C，且∠C＝90°．
【分析】（1）直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF即可；
（2）先证△AGB≌△DHE（AAS），则AG＝DH，再证Rt△ACG≌Rt△DFH，的∠C＝∠F，然后由AAS证明△ABC≌△DEF即可；
（3）以A为圆心、AC长为半径画弧，交BC于F，得钝角三角形DEF，则△DEF和△ABC不全等；
（4）利用（3）中方法可得出当∠B≥∠C，且∠C＝90°时，则△ABC≌△DEF．
【解答】（1）解：∵∠B＝∠E＝90°，
∴△ABC和△DEF是直角三角形，
∵AC＝DF，AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：HL；
（2）证明：如图2，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，过点D作DH⊥FE交FE的延长线于点H．
则∠AGB＝∠DHE＝90°，
∵∠ABC＝∠DEF，
∴∠ABG＝∠DEH，
∵AB＝DE，
∴△AGB≌△DHE（AAS），
∴AG＝DH，
∵AC＝DF，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠C＝∠F，
又∵∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
（3）解：如图3，△DEF即为所求；
（4）解：∠B≥∠C，且∠C＝90°，理由如下：
由图3可知，∠C＝∠AFC＝∠B+∠BAF，
∴∠C＞∠B，
∴当∠B≥∠C，且∠C＝90°时，△ABC就唯一确定了，
则△ABC≌△DEF．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、尺规作图以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的评定方法是解题的关键．
考点卡片
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
6．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
7．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
8．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
9．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
10．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
11．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
12．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
13．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
14．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
15．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
16．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
17．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
18．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
19．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
20．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
21．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
22．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
23．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
24．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
25．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
26．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
27．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
28．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
29．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
30．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
31．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
32．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
33．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
34．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为2m，则绿化的面积为（ ）m2
A．564 B．550 C．544 D．540
2．（3分）下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）如图图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）若y轴上的点M到x轴的距离为13，则点M的坐标为（ ）
A．（13，0 ） B．（13，0 ）或（﹣13，0）
C．（0，13 ） D．（0，13 ）或（ 0，﹣13）
6．（3分）木工师傅用刨子可将木板刨平，如图，经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为（ ）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两边之和大于第三边
7．（3分）0的平方根是（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
8．（3分）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．1﹣2m＜1﹣2n C． D．n﹣m＞0
9．（3分）如图，在下列条件中，能判断AD∥BE的是（ ）
A．∠BCA＝∠E B．∠ADE＝∠E C．∠BCA＝∠A D．∠ACD＝∠CDE
10．（3分）如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．5
11．（3分）宁波市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．小明乘坐这种出租车走了8km，付了23元；小红乘坐这种出租车走了13km，付了35元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，∠MON＝30°，点A1、A2、A3、A4在x轴上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若A1点坐标是（1，0），那么A6点坐标是（ ）
A．（6，0） B．（12，0） C．（16，0） D．（32，0）
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）山西省大同市北环路御河桥全桥采用了三角拱结构，恰似数个三角形的完美结合．从数学的角度是应用了 ．
14．（2分）若一个三角形的边长分别为3，7，12﹣2x，则x的取值范围是 ．
15．（2分）比较大小：﹣2 ﹣5．
16．（2分）正八边形每个外角的度数为 ．
17．（2分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 秒时，△DEB与△BCA全等．
18．（2分）写出一个解为的二元一次方程组： ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算下列各式． （1）
（1）||+（2）．
20．（6分）解不等式组：．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+2，y0+4），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．
（1）请画出△A1B1C1并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
22．（10分）“垃圾分类新时尚，文明之风我先行”．某地自开展“创卫、创文工作”以来，广大群众积极参与各项工作．新修订的生活垃圾分类标准为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小珂所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图：
a．线上垃圾分类知识测试频数分布表
成绩分组 频数
50≤x＜60 3
60≤x＜70 9
70≤x＜80 m
80≤x＜90 12
90≤x＜100 8
C．成绩在80≤x＜90这一组的成绩为80，81，82，83，83，85，86，86，87，88，88，89．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）请补全频数分布图；
（3）小到居住的社区大约有居民2000人，若测试成绩达到80分为良好，那么估计小珂所在的社区成绩良好的人数约为 人；
（4）若测试成绩在前十五名的居民可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．已知居民A的得分为87分，请说明居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？
23．（10分）已知：如图，AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF．
求证：∠D＝∠B．
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠ （ ）．
∵AE＝CF，
∴AE+ ＝CF+ ．
即AF＝CE．
在△AFD和△CEB中，
，
∵△AFD≌△CEB（ ），
∴∠D＝∠B（ ）．
24．（10分）如图，已知：AD⊥BC于点D，GE⊥BC于点E，GE与AB相交于点F，若∠2＝∠3．求证：∠G与∠B互余．
25．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
26．（10分）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等．
【初步思考】他们先用符号语言表示了这个问题：在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整．
（1）第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
如图1，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E＝90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
如图2，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
（3）第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）在（3）中，∠B与∠C的大小关系还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请根据以上作图过程直接写出结论．
2024—2025学年上学期南宁初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为2m，则绿化的面积为（ ）m2
A．564 B．550 C．544 D．540
【考点】生活中的平移现象．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFCG是矩形，根据矩形的面积公式即可求出结果．
【解答】解：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFGH是矩形，
∵CF＝32﹣2＝30（米），CG＝20﹣2＝18（米），
∴矩形EFCG的面积＝30×18＝540（平方米）．
答：绿化的面积为540m2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了生活中平移现象，将长方形地块内部修筑的两条”之”字路平移到长方形ABCD的最上边和最左边，使余下部分EFGH是一个矩形，是解决本题的关键．
2．（3分）下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】全等图形．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】B
【分析】根据全等图形的定义判断即可．能够完全重合的两个图形叫做全等形．
【解答】解：A、两个图形大小不相等，故选项不符合题意；
B、两个图形大小相等，形状相同，故选项符合题意；
C、两个图形大小不相等，故选项不符合题意；
D、两个图形形状不同，故选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了全等图形，解题的关键是掌握大小相等，形状相同的图形是全等图形．
3．（3分）如图图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】D
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
4．（3分）不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；几何直观．
【答案】C
【分析】将已知解集表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是：
故选：C．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键是明确在数轴上表示不等式的解集的方法，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）若y轴上的点M到x轴的距离为13，则点M的坐标为（ ）
A．（13，0 ） B．（13，0 ）或（﹣13，0）
C．（0，13 ） D．（0，13 ）或（ 0，﹣13）
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】D
【分析】根据y轴上点的横坐标为零，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，可得答案．
【解答】解：若y轴上的点M到x轴的距离为13，则点M的坐标为（0，13）或（0，﹣13），
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标．解题的关键是掌握点的坐标的特点，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，注意到x轴距离相等的点有两个，以防遗漏．
6．（3分）木工师傅用刨子可将木板刨平，如图，经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为（ ）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两边之和大于第三边
【考点】垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】由直线的性质：两点确定一条直线，即可得到答案．
【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为：两点确定一条直线．
故选：C．
【点评】本题考查直线的性质，关键是掌握直线的性质：两点确定一条直线．
7．（3分）0的平方根是（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【考点】平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】利用平方根的性质即可得出答案．
【解答】解：0的平方根是0，
故选：D．
【点评】本题主要考查平方根，平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
8．（3分）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．1﹣2m＜1﹣2n C． D．n﹣m＞0
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；数感．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质解决此题．
【解答】解：A．由m＞n，得m﹣2＞n﹣2，那么A错误，故A不符合题意．
B．由m＞n，得﹣2m＜﹣2n，推断出1﹣2m＜1﹣2n，那么B正确，故B符合题意．
C．由m＞n，得mn，那么C错误，故C不符合题意．
D．由m＞n，得n﹣m＜0，那么D错误，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
9．（3分）如图，在下列条件中，能判断AD∥BE的是（ ）
A．∠BCA＝∠E B．∠ADE＝∠E C．∠BCA＝∠A D．∠ACD＝∠CDE
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD、BC是否平行即可．
【解答】解：A、∵∠BCA＝∠E，
∴AC∥DE，故A选项错误，不符合题意；
B、∵∠ADE与∠E是同旁内角，
∴若∠ADE＝∠E，则无法证明AD∥BE，故B选项错误，不符合题意；
C、∵∠BCA＝∠A，
∴AD∥BE，故C选项正确，符合题意；
D、∵∠ACD＝∠CDE，
∴AC∥DE，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键．
10．（3分）如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．5
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由作图可知，OH平分∠AOB，由角平分线的性质可得出答案．
【解答】解：由作图可知，OH平分∠AOB，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴PF＝PE＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了基本作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
11．（3分）宁波市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．小明乘坐这种出租车走了8km，付了23元；小红乘坐这种出租车走了13km，付了35元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，由题意得等量关系：①起步价x元+超过3km后的费用＝23元；②起步价x元+超过3km后的费用＝35元，再列出方程组即可．
【解答】解：设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，
由题意得：．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，∠MON＝30°，点A1、A2、A3、A4在x轴上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若A1点坐标是（1，0），那么A6点坐标是（ ）
A．（6，0） B．（12，0） C．（16，0） D．（32，0）
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型；平面直角坐标系；推理能力．
【答案】D
【分析】先由A1的坐标和△A1A2B1为等边三角形得出A2的坐标，再由△A2A3B2为等边三角形得出A3的坐标，根据变化规律即可得出A6的坐标．
【解答】解：∵∠MON＝30°，∠B1A1A2＝60°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝A1A2＝1，
∴A2的坐标为（2，0），
∴A2A3＝A2B2＝OA2＝2，
∴A3的坐标为（4，0），
根据变化规律可知An的坐标为（2n﹣1，0），
∴A6的坐标为（25，0），
∵25＝32，
∴A6的坐标为（32，0），
故选：D．
【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，关键是要牢记等边三角形的性质，能找出点An的变化规律．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）山西省大同市北环路御河桥全桥采用了三角拱结构，恰似数个三角形的完美结合．从数学的角度是应用了 三角形的稳定性 ．
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】三角形的稳定性．
【分析】三角形是具有稳定性的图形，据此即可求得答案．
【解答】解：山西省大同市北环路御河桥全桥采用了三角拱结构，恰似数个三角形的完美结合．从数学的角度是应用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】本题主要考查三角形的性质，牢记三角形是具有稳定性的图形是解题的关键．
14．（2分）若一个三角形的边长分别为3，7，12﹣2x，则x的取值范围是 1＜x＜4 ．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】1＜x＜4．
【分析】根据三角形的三边关系定理列出不等式组7﹣3＜12﹣2x＜7+3，解不等式组可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系定理可得：7﹣3＜12﹣2x＜7+3，
解得1＜x＜4．
故答案为：1＜x＜4．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．
15．（2分）比较大小：﹣2 ＜ ﹣5．
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】＜．
【分析】根据平方法计算出两个数的平方，再比较大小．
【解答】解：∵（2）2＝28，52＝25，28＞25，
∴25，
∴﹣25．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法和无理数的估算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确两个负数大小比较的方法．
16．（2分）正八边形每个外角的度数为 45° ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用多边形的外角和等于360度即可得出答案．
【解答】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，
所以正八边形的每个外角的度数是：360°÷8＝45．
故答案为：45°．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟记任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．
17．（2分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 0，2，6，8 秒时，△DEB与△BCA全等．
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】动点型．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC＝BE，AC＝BE进行计算即可．
【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8﹣4＝4，
∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8+4＝12，
∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝8+8＝16，
点E的运动时间为16÷2＝8（秒），
故答案为：0，2，6，8．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．（2分）写出一个解为的二元一次方程组： （答案不唯一） ．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】以﹣3和2列出两个算式，即可确定出所求方程组．
【解答】解：解为的二元一次方程组（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算下列各式． （1）
（1）||+（2）．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）8；
（2）．
【分析】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减；
（2）先计算绝对值、去括号，再计算加减．
【解答】解：（1）
＝10﹣3
＝10﹣3
＝8；
（1）||+（2）
|+2
．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
20．（6分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≥2.5．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥2.5，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集为：x≥2.5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+2，y0+4），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．
（1）请画出△A1B1C1并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分，A1（1，2），B1（0，0），C1（﹣2，3）．
（2）．
【分析】（1）分别作出AB，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用分割法求解即可．
【解答】解：（1）如图，A1B1C1并写即为所求作，A1（1，2），B1（0，0），C1（﹣2，3）．
（2）△A1B1C1的面积＝3×33×21×21×3．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）“垃圾分类新时尚，文明之风我先行”．某地自开展“创卫、创文工作”以来，广大群众积极参与各项工作．新修订的生活垃圾分类标准为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小珂所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图：
a．线上垃圾分类知识测试频数分布表
成绩分组 频数
50≤x＜60 3
60≤x＜70 9
70≤x＜80 m
80≤x＜90 12
90≤x＜100 8
C．成绩在80≤x＜90这一组的成绩为80，81，82，83，83，85，86，86，87，88，88，89．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 18 ；
（2）请补全频数分布图；
（3）小到居住的社区大约有居民2000人，若测试成绩达到80分为良好，那么估计小珂所在的社区成绩良好的人数约为 800 人；
（4）若测试成绩在前十五名的居民可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．已知居民A的得分为87分，请说明居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）18；
（2）作图见解析部分；
（3）800；
（4）居民A可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．
【分析】（1）根据题意，可以得到样本容量，然后即可计算出m的值；
（2）根据频数分布表中的数据和m的值，可以将频数分布表补充完整；
（3）根据题目中的数据，可以计算出小珂所在的社区良好的人数；
（4）根据题目中的数据，可以得到88分是第多少名，从而可以得到居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．
【解答】解：（1）由题意可得，表中m的值为：50﹣3﹣9﹣12﹣8＝18，
故答案为：18；
（2）由（1）值m的值为18，
由频数分布表可知80≤x＜90这一组的频数为12，
补全的频数分布直方图如图所示：
（3）估计小珂所在的社区良好的人数约为2000800（人），
故答案为：800；
（4）由题意可得，87分是第12名，
故居民A可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、样本容量，解答本题的关键是明确频率＝频数÷总数．
23．（10分）已知：如图，AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF．
求证：∠D＝∠B．
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠ C （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵AE＝CF，
∴AE+ EF ＝CF+ EF ．
即AF＝CE．
在△AFD和△CEB中，
，
∵△AFD≌△CEB（ SAS ），
∴∠D＝∠B（ 全等三角形的对应角相等 ）．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】C；两直线平行，内错角相等；EF；EF；SAS；全等三角形的对应角相等．
【分析】由平行线的性质就可以得出∠A＝∠C，在根据等式的性质就可以得出AF＝CE，然后由SAS就可以得出△AFD≌△CEB，由全等三角形的性质就可以得出结论．
【解答】解：由题意，得：
：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C．
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE．
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB （SAS）．
∴∠D＝∠B （全等三角形的对应角相等）．
故答案为：C；两直线平行，内错角相等；EF；EF；SAS；全等三角形的对应角相等．
【点评】本题考查了平行线的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时得出三角形全等是关键．
24．（10分）如图，已知：AD⊥BC于点D，GE⊥BC于点E，GE与AB相交于点F，若∠2＝∠3．求证：∠G与∠B互余．
【考点】三角形内角和定理；余角和补角；平行线的判定与性质．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】先由AD⊥BC，GE⊥BC得AD∥GE，从而得出∠G＝∠3，再由∠2＝∠3得∠G＝∠2，从而求解．
【解答】证明：∵AD⊥BC，GE⊥BC，
∴∠ADC＝∠CEF＝90°，
∴AD∥GE，
∴∠G＝∠3，
∵∠2＝∠3，
∴∠G＝∠2，
∴∠G+∠B＝90°，
即∠G与∠B互余．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，解题关键是掌握三角形内角和定理及平行线的性质．
25．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）购进1件甲种农机具需要1.5万元，1件乙种农机具需要0.5万元；
（2）共有3种购买方案，
方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；
方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；
方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；
（3）购买方案1所需资金最少，最少资金是10万元．
【分析】（1）设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元，根据“购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种农机具m件，则购进乙种农机具（10﹣m）件，根据投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各购买方案；
（3）利用总价＝单价×数量，可分别求出各购买方案所需资金，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元，
依题意得：，
解得：．
答：购进1件甲种农机具需要1.5万元，1件乙种农机具需要0.5万元．
（2）设购进甲种农机具m件，则购进乙种农机具（10﹣m）件，
依题意得：，
解得：4.8≤m≤7，
又∵m为整数，
∴m可以取5，6，7，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；
方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；
方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件．
（3）方案1所需资金为1.5×5+0.5×5＝10（万元）；
方案2所需资金为1.5×6+0.5×4＝11（万元）；
方案3所需资金为1.5×7+0.5×3＝12（万元）．
∵10＜11＜12，
∴购买方案1所需资金最少，最少资金是10万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总价＝单价×数量，分别求出各购买方案所需资金．
26．（10分）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等．
【初步思考】他们先用符号语言表示了这个问题：在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整．
（1）第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
如图1，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E＝90°，根据 HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
如图2，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
（3）第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）在（3）中，∠B与∠C的大小关系还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请根据以上作图过程直接写出结论．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）HL；
（2）证明见解析；
（3）图形见解析；
（4）∠B≥∠C，且∠C＝90°．
【分析】（1）直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF即可；
（2）先证△AGB≌△DHE（AAS），则AG＝DH，再证Rt△ACG≌Rt△DFH，的∠C＝∠F，然后由AAS证明△ABC≌△DEF即可；
（3）以A为圆心、AC长为半径画弧，交BC于F，得钝角三角形DEF，则△DEF和△ABC不全等；
（4）利用（3）中方法可得出当∠B≥∠C，且∠C＝90°时，则△ABC≌△DEF．
【解答】（1）解：∵∠B＝∠E＝90°，
∴△ABC和△DEF是直角三角形，
∵AC＝DF，AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：HL；
（2）证明：如图2，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，过点D作DH⊥FE交FE的延长线于点H．
则∠AGB＝∠DHE＝90°，
∵∠ABC＝∠DEF，
∴∠ABG＝∠DEH，
∵AB＝DE，
∴△AGB≌△DHE（AAS），
∴AG＝DH，
∵AC＝DF，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠C＝∠F，
又∵∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
（3）解：如图3，△DEF即为所求；
（4）解：∠B≥∠C，且∠C＝90°，理由如下：
由图3可知，∠C＝∠AFC＝∠B+∠BAF，
∴∠C＞∠B，
∴当∠B≥∠C，且∠C＝90°时，△ABC就唯一确定了，
则△ABC≌△DEF．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、尺规作图以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的评定方法是解题的关键．
考点卡片
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
6．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
7．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
8．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
9．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
10．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
11．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
12．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
13．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
14．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
15．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
16．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
17．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
18．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
19．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
20．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
21．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
22．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
23．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
24．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
25．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
26．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
27．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
28．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
29．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
30．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
31．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
32．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
33．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
34．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
同课章节目录