2024—2025学年上学期山东初中数学八年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期山东初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共8小题）
1．如图所示的4个图案中是轴对称图形的是（　　）
A．阿基米德螺旋线 B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图 D．太极图
2．若a，b，则（　　）
A．ab B． C．10ab D．
3．如图所示，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，若∠1＝32°，则∠2的度数是（　　）
A．67° B．48° C．32° D．58°
4．如图，下列条件中，不能推断AD∥BC的是（　　）
A．∠DAB+∠B＝180° B．∠1＝∠B
C．∠2＝∠3 D．∠D＝∠4
5．若，则a的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解在数轴上表示如图，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣1 C．0 D．1
7．下列调查中，最适合全面调查（普查）的是（　　）
A．调查某型号炮弹的射程
B．调查我市中学生观看电影《少年的你》的情况
C．调查某一天离开重庆市的人口数量
D．调查某班学生对南开校史知识的了解程度
8．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，AB，BC边的垂直平分线相交于点D．若∠BEC＝120°，则∠BDC的度数为（　　）
A．150° B．130° C．127° D．120°
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
9．（4分）（Ⅰ）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，1），（1，2），将线段AB平移，若平移后A的对应点为C（﹣2，0），则B的对应点D的坐标为　 　；
（Ⅱ）已知非负数a，b满足条件2a+b＝10，若m＝3a﹣b，则m的最大值与最小值的和为　 　．
10．（4分）如图，直线l与直线a，b分别相交，且a∥b，∠1＝100°，则∠2＝　 　°．
11．（4分）如果三角形的两边长为1和5，第三边长为整数，那么三角形的周长为　 　．
12．（4分）已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是 　 　°．
13．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝15，BD＝17，则点D到BC的距离是　 　．
14．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，直线DE垂直平分BC交BC于D，交AB于E，则△ACE的周长是　 　．
15．（4分）如图，CD是等边三角形ABC的中线，AB＝4cm，则：
（1）BD＝　 　cm；
（2）∠ADC＝　 　°；
（3）∠ACD＝　 　°．
16．（4分）下列命题中：
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若∠1＝40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2＝40°或140°；④若b⊥c，a⊥c，则b∥a．其中假命题的是 　 　（填写序号）．
三．解答题（共6小题）
17．（1）解方程组：．
（2）解不等式组，并写出它的整数解．
18．已知点P（3m﹣6，m+1），试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上．
（2）点P在过点A（﹣1，2）且与x轴平行的直线上．
19．体弘扬中华传统文化，某校组织八年级1000名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的图表，解答问题．
组别 分数段 频数 频率
一 50.5～60.5 16 0.08
二 60.5～70.5 30 a
三 70.5～80.5 50 0.25
四 80.5～90.5 b 0.40
五 90.5～100.5 c
（1）本次抽样调查的样本容量为 　 　，表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　补全频数分布直方图；
（2）若把各组的频率绘制成扇形统计图，则第三组对应的扇形圆心角是 　 　；
（3）若抽取的样本具有较好的代表性，且成绩超过80分为优秀，根据样本估计该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？
20．已知2x+7y的算术平方根是3，5x+y+2的立方根是2，求8x﹣2y+10的平方根．
21．如图，已知△ABC≌△A′B′C′，BE，B′E′分别是对应边AC与A′C′上的高，求证：BE＝B′E′．
22．2018年是寻乌县脱贫摘帽的攻坚年．为实现脱贫，各乡镇都大力发展了各具特色，结构多样化的农业产业．某镇生态农业旅游基地绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：
种植户 种植A类蔬菜面积（单位：亩） 种植B类蔬菜面积（单位：亩） 总收入（单位：元）
甲 3 1 12500
乙 2 3 16500
说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．
（1）求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？
（2）某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有种植方案．
2024—2025学年上学期山东初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图所示的4个图案中是轴对称图形的是（　　）
A．阿基米德螺旋线 B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图 D．太极图
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．若a，b，则（　　）
A．ab B． C．10ab D．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】将已知等式代入5即可得．
【解答】解：当a，b时，
＝5
＝5
，
故选：D．
【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
3．如图所示，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，若∠1＝32°，则∠2的度数是（　　）
A．67° B．48° C．32° D．58°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】由平行线的性质可得：∠2＝∠3，由垂直的定义可求出∠3的度数，∠2即可求得．
【解答】解：
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵DF⊥直线c，
∴∠FDE＝∠1+∠3＝90°，
∵∠1＝32°，
∴∠3＝90°﹣32°＝58°，
∴∠2＝58°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解决问题的关键．
4．如图，下列条件中，不能推断AD∥BC的是（　　）
A．∠DAB+∠B＝180° B．∠1＝∠B
C．∠2＝∠3 D．∠D＝∠4
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
【解答】解：A、∠DAB+∠B＝180°，AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行），A不符合题意；
B、∠1＝∠B，AD∥BC（同位角相等，两直线平行），B不符合题意；
C、∠2＝∠3，不能判断两直线平行，C符合题意；
D、∠D＝∠4，AD∥BC（内错角相等，两直线平行），D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
5．若，则a的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据不等式组的解集的确定方法得到不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式组的解集为0＜a＜1，
表示在数轴上，如图所示：
故选：B．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式解集，掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解是解题的关键．
6．已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解在数轴上表示如图，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣1 C．0 D．1
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用已知不等式的解集得出关于a的等式进而得出答案．
【解答】解：∵2x﹣a＞﹣3的解集在数轴上为：x＞﹣2，
则2x＞a﹣3，
即x，
故2，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题关键．
7．下列调查中，最适合全面调查（普查）的是（　　）
A．调查某型号炮弹的射程
B．调查我市中学生观看电影《少年的你》的情况
C．调查某一天离开重庆市的人口数量
D．调查某班学生对南开校史知识的了解程度
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】D
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．调查某型号炮弹的射程适合抽样调查；
B．调查我市中学生观看电影《少年的你》的情况适合抽样调查；
C．调查某一天离开重庆市的人口数量适合抽样调查；
D．调查某班学生对南开校史知识的了解程度适合普查；
故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
8．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，AB，BC边的垂直平分线相交于点D．若∠BEC＝120°，则∠BDC的度数为（　　）
A．150° B．130° C．127° D．120°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由角平分线的定义可求∠BAC＝60°，又由线段垂直平分线的性质可得∠BAC＝∠ABD+∠ACD＝60°，所以∠DBC+∠DCB＝60°，即可求∠BDC＝180°﹣60°＝120°．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB∠ABCACB，
∵∠BEC＝120°，
∴∠EBC+∠ECB∠ABCACB＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∵AB，BC边的垂直平分线相交于点D，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠BAD＝∠ABD，∠DAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠ABD+∠ACD＝60°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣60°＝120°，
故选：D．
【点评】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
9．（4分）（Ⅰ）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，1），（1，2），将线段AB平移，若平移后A的对应点为C（﹣2，0），则B的对应点D的坐标为　（0，1）　；
（Ⅱ）已知非负数a，b满足条件2a+b＝10，若m＝3a﹣b，则m的最大值与最小值的和为　5　．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（Ⅰ）（0，1）；
（Ⅱ）5．
【分析】（Ⅰ）首先根据点的坐标的变化规律可得线段是向右平移1个单位，再向下平移了1个单位，即可得到结论；
（Ⅱ）由2a+b＝10得b＝﹣2a+10，根据a、b均为非负数得出a的范围，从而得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵平移后A（﹣1，1）的对应点为C（﹣2，0），
∴线段是向右平移1个单位，再向下平移了1个单位，
∴B的对应点D的坐标为（1﹣1，2﹣1），
即D（0，1），
故答案为：（0，1），
（Ⅱ）由2a+b＝10得b＝﹣2a+10，
∵a、b均为非负数，
∴a≥0，b＝﹣2a+10≥0，
解得0≤a≤5，
则m＝3a﹣b
＝3a﹣（﹣2a+10）
＝3a+2a﹣10
＝5a﹣10，
当a＝0时，m＝﹣10；
当a＝5时，m＝15；
∴m的最大值与最小值的和为5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
10．（4分）如图，直线l与直线a，b分别相交，且a∥b，∠1＝100°，则∠2＝　80　°．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】80．
【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1+∠3＝180°，
∵∠1＝100°，
∴∠3＝80°，
∴∠2＝∠3＝80°，
故答案为：80．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
11．（4分）如果三角形的两边长为1和5，第三边长为整数，那么三角形的周长为　11　．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】11．
【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数确定三角形的周长．
【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：5﹣1＜a＜5+1，
即4＜a＜6，
∵a为整数，
∴a的值为5，
则三角形的周长为1+5+5＝11．
故答案为：11．
【点评】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
12．（4分）已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是 　50或80　°．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】压轴题；分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于不明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论．
【解答】解：分两种情况：
①当80°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数＝（180°﹣80°）÷2＝50°；
②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，
故它的底角度数是50或80．
故答案为50或80．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意80°的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键．
13．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝15，BD＝17，则点D到BC的距离是　8　．
【考点】角平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长度．首先过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质，即可得DE＝AD，即可求出答案．
【解答】解：如图，在直角△ABD中，∠A＝90°，AB＝15，BD＝17，则由勾股定理得到：AD8．
过点D作DE⊥BC于E，
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，
即AD⊥BA，
∴DE＝AD＝8，
∴点D到BC的距离是8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了角平分线的性质的应用．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
14．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，直线DE垂直平分BC交BC于D，交AB于E，则△ACE的周长是　14　．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】探究型．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据DE是线段BC的垂直平分线得出BE＝CE，即BE+AE＝CE+AE＝AB，再由△ACE的周长＝AB+AC即可求出答案．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，即BE+AE＝CE+AE＝AB，
∵AB＝8，AC＝6，
∴△ACE的周长＝AB+AC＝8+6＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
15．（4分）如图，CD是等边三角形ABC的中线，AB＝4cm，则：
（1）BD＝　2　cm；
（2）∠ADC＝　90　°；
（3）∠ACD＝　30　°．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）2；
（2）90；
（3）30．
【分析】（1）利用三角形中线的定义，即可解答；
（2）利用等边三角形的三线合一性质，即可解答；
（3）利用等边三角形的性质可得∠A＝60°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵CD是等边三角形ABC的中线，AB＝4cm，
∴BD＝ADAB＝2（cm），
故答案为：2；
（2）∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
故答案为：90；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
16．（4分）下列命题中：
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若∠1＝40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2＝40°或140°；④若b⊥c，a⊥c，则b∥a．其中假命题的是 　①②④　（填写序号）．
【考点】命题与定理；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论；平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】根据平行线的性质、平行公理判断即可．
【解答】解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本小题说法是假命题；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题；
③若∠1＝40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2＝40°或140°，是真命题；
④在同一平面内，若b⊥c，a⊥c，则b∥a，故本小题说法是假命题；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
三．解答题（共6小题）
17．（1）解方程组：．
（2）解不等式组，并写出它的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解二元一次方程组；解一元一次不等式组．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2），0，1，2．
【分析】（1）用代入消元法求解即可；
（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数即可．
【解答】解：（1），
由①，得
x＝2y③，
把③代入②，得
6y﹣y＝5，
∴y＝1．
把y＝1代入③，得
x＝2．
∴；
（2），
解①得，x，
解②得x≤2，
∴，
∴整数解为：0，1，2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．
18．已知点P（3m﹣6，m+1），试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上．
（2）点P在过点A（﹣1，2）且与x轴平行的直线上．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【答案】（1）（﹣9，0）；（2）（﹣3，2）．
【分析】（1）点P在x轴上可得纵坐标为0，据此可得m+1＝0，至此，再进行求解即可；
（2）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，由此可得m+1＝2，进而解出m的值．
【解答】解：（1）∵点P（3m﹣6，m+1）在x轴上，
∴m+1＝0，
解得m＝﹣1，
∴点P的坐标为（﹣9，0）；
（2）∵点P（3m﹣6，m+1）在过点A（﹣1，2）且与x轴平行的直线上，
∴m+1＝2，解得m＝1，
∴点P的坐标为（﹣3，2）．
【点评】本题考查的是坐标的相关知识，掌握平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征和坐标轴上点的坐标的特征是解题的关键．
19．体弘扬中华传统文化，某校组织八年级1000名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的图表，解答问题．
组别 分数段 频数 频率
一 50.5～60.5 16 0.08
二 60.5～70.5 30 a
三 70.5～80.5 50 0.25
四 80.5～90.5 b 0.40
五 90.5～100.5 c
（1）本次抽样调查的样本容量为 　200　，表中a＝　0.15　，b＝　80　，c＝　0.12　补全频数分布直方图；
（2）若把各组的频率绘制成扇形统计图，则第三组对应的扇形圆心角是 　90°　；
（3）若抽取的样本具有较好的代表性，且成绩超过80分为优秀，根据样本估计该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；总体、个体、样本、样本容量；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）200，0.15，80，0.12；见解析；
（2）90°；
（3）520人．
【分析】（1）根据第一组的频数是16，频率是0.08，可求得总数，再根据频数、频率与总数之间的关系即可求出a、b、c；
（2）用360°乘以“第三组”所占的百分比即可得出“第三组”所对应扇形的圆心角的度数；
（3）利用总数1000乘以优秀的所占的频率即可．
【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量为：16÷0.08＝200；
a＝30÷200＝0.15，
b＝200×0.4＝80，
c＝1﹣0.08﹣0.15﹣0.25﹣0.40＝0.12，
补全频数分布直方图如图：
故答案为：200，0.15，80，0.12；
（2）360°×0.25＝90°，
故答案为：90°；
（3）1000×（0.4+0.12）＝520（人）．
答：根据样本估计该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有520人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．已知2x+7y的算术平方根是3，5x+y+2的立方根是2，求8x﹣2y+10的平方根．
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】±4．
【分析】根据算术平方根、立方根的定义得出2x+7y＝9且5x+y+2＝8，求出x、y的值，再代入求出8x﹣2y+10的值，最后求8x﹣2y+10的平方根即可．
【解答】解：∵2x+7y的算术平方根是3，5x+y+2的立方根是2，
∴2x+7y＝9且5x+y+2＝8，
解得，x＝1，y＝1，
当x＝1，y＝1时，8x﹣2y+10＝8﹣2+10＝16，
∴8x﹣2y+10的平方根，就是16的平方根，即±4，
答：8x﹣2y+10的平方根为±4．
【点评】本题考查算术平方根、平方根，立方根，理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
21．如图，已知△ABC≌△A′B′C′，BE，B′E′分别是对应边AC与A′C′上的高，求证：BE＝B′E′．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据△ABC≌△A′B′C′，可得∠A＝∠A′，AB＝A′B′，再根据BE，B′E′分别是对应边AC与A′C′上的高，利用AAS求证△BEA≌△B′E′A′即可．
【解答】证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A＝∠A′，AB＝A′B′，
BE，B′E′分别是对应边AC与A′C′上的高，
∴BE⊥AC，B′E′⊥A′C′，
∴∠BEA＝∠B′E′A′＝90°，
在△BEA与△B′E′A′中，
∵，
∴△BEA≌△B′E′A′，
∴BE＝B′A′．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质这一知识点，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
22．2018年是寻乌县脱贫摘帽的攻坚年．为实现脱贫，各乡镇都大力发展了各具特色，结构多样化的农业产业．某镇生态农业旅游基地绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：
种植户 种植A类蔬菜面积（单位：亩） 种植B类蔬菜面积（单位：亩） 总收入（单位：元）
甲 3 1 12500
乙 2 3 16500
说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．
（1）求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？
（2）某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有种植方案．
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）A类蔬菜每亩平均收入为3000元，B类蔬菜每亩平均收入为3500元；
（2）该种植户共有4种种植方案，
方案1：种植A类蔬菜11亩，B类蔬菜9亩；
方案2：种植A类蔬菜12亩，B类蔬菜8亩；
方案3：种植A类蔬菜13亩，B类蔬菜7亩；
方案4：种植A类蔬菜14亩，B类蔬菜6亩．
【分析】（1）设A类蔬菜每亩平均收入为x元，B类蔬菜每亩平均收入为y元，根据甲、乙两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该种植户种植A类蔬菜m亩，则种植B类蔬菜（20﹣m）亩，根据“总收入不低于63000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各种植方案．
【解答】解：（1）设A类蔬菜每亩平均收入为x元，B类蔬菜每亩平均收入为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A类蔬菜每亩平均收入为3000元，B类蔬菜每亩平均收入为3500元．
（2）设该种植户种植A类蔬菜m亩，则种植B类蔬菜（20﹣m）亩，
依题意得：，
解得：10＜m≤14，
又∵m为整数，
∴m可以为11，12，13，14，
∴该种植户共有4种种植方案，
方案1：种植A类蔬菜11亩，B类蔬菜9亩；
方案2：种植A类蔬菜12亩，B类蔬菜8亩；
方案3：种植A类蔬菜13亩，B类蔬菜7亩；
方案4：种植A类蔬菜14亩，B类蔬菜6亩．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
考点卡片
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
4．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
5．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
6．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
7．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
8．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
9．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
10．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
11．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
12．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
13．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
14．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
15．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
16．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
17．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
18．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
19．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
20．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
21．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
22．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
23．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
24．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
25．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
26．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
27．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
28．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
29．抽样调查的可靠性
（1）抽样调查是实际中经常采用的调查方式．
（2）如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况．
（3）抽样调查除了具有花费少，省时的特点外，还适用一些不宜使用全面调查的情况（如具有破坏性的调查）．
（4）分层抽样获取的样本与直接进行简单的随机抽样相比一般能更好地反映总体．其特点是：通过划类分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本，该方法适用于总体情况复杂，各单位之间差异较大，单位较多的情况．
30．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
31．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
32．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
33．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．