2024—2025学年上学期天津初中数学八年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期天津初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列美术字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）微米通常用来计量微小物体的长度，是红外线等波长、细胞大小、细菌大小等的数量级．1微米相当于1米的一百万分之一．紫外线是一种在电磁波谱中波长从0.01微米～0.4微米辐射的总称，把0.01微米用科学记数法表示是（　　）
A．1×10﹣8m B．0.1×10﹣6m C．0.1×10﹣7m D．1×10﹣7m
3．（3分）计算的结果是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．
4．（3分）如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（ab2）2＝ab4 B．a4 a6＝a24
C．2a2÷a＝2a D．（a+b）2＝a2+b2
6．（3分）如图，在△ABC中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与AB，BC交于M，N两点；
②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线BD，BD与AC交于点E；
③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段PQ，PQ与BC于点F；
④连接EF，若AB＝BC，BE＝AC＝4，则△CEF的周长为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）一个多边形的每个外角都等于60°，则此多边形是（　　）
A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
8．（3分）若分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值（　　）
A．是原来的3倍 B．是原来的
C．是原来的 D．不改变
9．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
10．（3分）某化工厂原计划在x天内生产化工原料120吨，采用新技术后每天多生产化工原料3吨，因此提前2天完成，则x适合方程（　　）
A． B．
C． D．
11．（3分）已知（x+y﹣2020）（2023﹣x﹣y）＝2，则（x+y﹣2020）2（2023﹣x﹣y）2的值为（　　）
A．1 B．4 C．5 D．9
12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，E在AC上且DE＝BD．若S△ABD＝10，S△ADE＝6，求S△CDE＝（　　）
A．8 B．5 C．3 D．2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）若点P（a，b）关于y轴的对称点是P1，而P1关于x轴的对称点是P2，P2的坐标为（﹣3，4），则a＝　 　，b＝　 　．
14．（3分）三角形一边长为40，另一边长为50，求第三边上中线的取值范围是 　 　．
15．（3分）计算：（）﹣2+（314﹣π）0＝　 　．
16．（3分）若二次三项式x2+（k+1）x+9是一个完全平方式，则k的值是　 　．
17．（3分）已知x+3y＝4，则2x×8y＝　 　．
18．（3分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上，AC、BD交于点P．
（1）tan∠ABD的值为 　 　；
（2）若点M在线段AB上，当PMBM取得最小值时，请在如图所示的网格中用无刻度的直尺，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）．
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．（6分）计算：
（1）a6÷a2﹣2a3 a；
（2）2x（x﹣2y）﹣（x﹣y）2．
20．（6分）分式的化简：
（1）；
（2）（）．
21．（6分）在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．先阅读，再分解因式：
x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．
（1）按照这种方法把多项式x4+4y4分解因式；
（2）分解因式：a4+a2b2+b4．
22．（6分）（此题需要写出括号内的定理理由，已知、已证、已作、等量代换、等式性质这五条理由不需要写）如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，作AD⊥AB且AD＝AB，联结CD，过点B作CD的垂线（垂足为点E），与过点A作AC的垂线交于点F，联结CF．
（1）求证：△ACF是等腰直角三角形；
（2）联结AE，求证：AE平分∠DEF．
23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是∠BAC的外角平分线，CE⊥AN于点E．
（1）请你判断四边形ADCE的形状，并证明；
（2）连接DE交AC于点F，线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论．
24．（8分）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价．
25．（8分）如图：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿射线AB运动，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t秒，△PCQ的面积为Scm2．
（Ⅰ）直接写出AC的长：AC＝　 　cm；
（Ⅱ）求出S关于t的函数关系式，并求出当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC；
（Ⅲ）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
2024—2025学年上学期天津初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列美术字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A、“艰”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
B、“苦”可以看作轴对称图形，故此选项符合题意；
C、“奋”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
D、“斗”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）微米通常用来计量微小物体的长度，是红外线等波长、细胞大小、细菌大小等的数量级．1微米相当于1米的一百万分之一．紫外线是一种在电磁波谱中波长从0.01微米～0.4微米辐射的总称，把0.01微米用科学记数法表示是（　　）
A．1×10﹣8m B．0.1×10﹣6m C．0.1×10﹣7m D．1×10﹣7m
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.01微米＝0.01×0.000001米＝1×10﹣8．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．（3分）计算的结果是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据同分母分式相减法则求出即可．
【解答】解：
＝﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的加减，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
4．（3分）如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】根据条件和图形可得∠1＝∠2，BC＝BC，再结合每个选项所给条件利用三角形判定定理逐一进行判断即可．
【解答】解：根据条件和图形可得∠1＝∠2，BC＝BC，
A、添加AB＝CD不能判定△ABC≌△DBC，故此选项符合题意；
B、添加AC＝BD可利用SAS定理判定△ABC≌△DBC，故此选项不合题意；
C、添加∠A＝∠D可利用AAS定理判定△ABC≌△DBC，故此选项不合题意；
D、添加∠ABC＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DBC，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解答本题的关键．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（ab2）2＝ab4 B．a4 a6＝a24
C．2a2÷a＝2a D．（a+b）2＝a2+b2
【考点】整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】根据幂的乘方与积的乘方对A进行判断；根据同底数幂的乘法对B进行判断；根据单项式除以单项式对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝a2b4，所以A选项错误；
B、原式＝a10，所以B选项错误；
C、原式＝2a，所以C选项正确；
D、原式＝a2+2ab+b2，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的除法：单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．也考查了完全平方公式、幂的运算．
6．（3分）如图，在△ABC中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与AB，BC交于M，N两点；
②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线BD，BD与AC交于点E；
③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段PQ，PQ与BC于点F；
④连接EF，若AB＝BC，BE＝AC＝4，则△CEF的周长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据作图过程可得BE平分∠ABC，PQ是BC的垂直平分线，进而可以解决问题．
【解答】解：根据作图过程可知：BE平分∠ABC，
∵AB＝BC，
∴BE⊥AC，AE＝CEAC＝2，
∵BE＝AC＝4，
∴BC2，
根据作图过程可知：PQ是BC的垂直平分线，
∴BF＝EF，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+BF+CF＝CE+BC＝22，
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
7．（3分）一个多边形的每个外角都等于60°，则此多边形是（　　）
A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据多边形的外角和性质即可解答．
【解答】解：∵多边形的外角和是360°，
∴360°÷60°＝6，
故这个多边形是六边形．
故选：D．
【点评】本题考查多边形的外角和，掌握多边形外角和性质是解题的关键．
8．（3分）若分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值（　　）
A．是原来的3倍 B．是原来的
C．是原来的 D．不改变
【考点】分式的基本性质．
【专题】分式；运算能力．
【答案】D
【分析】依题意，分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：，
所以分式的值不变．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
9．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】利用格点分别作出等腰三角形，即可得到答案．
【解答】解：如图：
网格中满足条件的点C的个数为6个，
故选：B．
【点评】此题考查的是等腰三角形的判定，正确画出图形是解决此题关键．
10．（3分）某化工厂原计划在x天内生产化工原料120吨，采用新技术后每天多生产化工原料3吨，因此提前2天完成，则x适合方程（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意可知，实际（x﹣2）天完成，然后根据采用新技术后每天多生产化工原料3吨，即可列出相应的分式方程．
【解答】解：由题意可得，
3，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
11．（3分）已知（x+y﹣2020）（2023﹣x﹣y）＝2，则（x+y﹣2020）2（2023﹣x﹣y）2的值为（　　）
A．1 B．4 C．5 D．9
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】观察式子的特征，然后运用积的乘方法则进行化简计算即可．
【解答】解：因为（x+y﹣2020）（2023﹣x﹣y）＝2，
那么方程同时进行平方运算，即[（x+y﹣2020）（2023﹣x﹣y）]2＝22＝4，
根据积的乘方法则得，[（x+y﹣2020）（2023﹣x﹣y）]2＝（x+y﹣2020）2（2023﹣x﹣y）2，
则（x+y﹣2020）2（2023﹣x﹣y）2＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是积的乘方以及整体思想等知识内容，积的乘方是指先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，E在AC上且DE＝BD．若S△ABD＝10，S△ADE＝6，求S△CDE＝（　　）
A．8 B．5 C．3 D．2
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】三角形；图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，由角平分线的性质得DC＝DF，再证Rt△ACD≌Rt△AFD（HL），则S△ACD＝S△AFD，同理Rt△CDE≌Rt△FDB（HL），得S△CDE＝S△FDB，然后由三角形面积关系即可得出结论．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，
∴DC＝DF，
在Rt△ACD和Rt△AFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AFD（HL），
∴S△ACD＝S△AFD，
在Rt△CDE和Rt△FDB中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△FDB（HL），
∴S△CDE＝S△FDB，
∴S△ABD＝S△AFD+S△FDB＝S△ACD+S△CDE＝S△ADE+S△CDE+S△CDE，
即10＝6+2S△CDE，
∴S△CDE＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）若点P（a，b）关于y轴的对称点是P1，而P1关于x轴的对称点是P2，P2的坐标为（﹣3，4），则a＝　3　，b＝　﹣4　．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】阅读型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，点P（a，b）关于y轴的对称点是P1，而P1关于x轴的对称点是P2，易得P与P2关于原点对称，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数易得ab的值．
【解答】解：根据题意分析可得：P与P2关于原点对称，
已知P2的坐标为（﹣3，4），
则a＝﹣（﹣3）＝3，b＝﹣4，
故答案为3，﹣4．
【点评】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．
14．（3分）三角形一边长为40，另一边长为50，求第三边上中线的取值范围是 　5＜第三边上中线＜45　．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；图形的全等；推理能力．
【答案】5＜第三边上中线＜45．
【分析】作出图形，延长中线AD到E，使DE＝AD，利用“边角边”证明△ACD和△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝BE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的范围，再除以2即可得解．
【解答】解：如图，延长中线AD到E，使DE＝AD，
∵AD是三角形的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，
∵三角形两边长为40，50，第三边上的中线为x，
∴50﹣40＜2x＜40+50，即10＜2x＜90，
∴5＜第三边上中线＜45．
故答案为：5＜第三边上中线＜45．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，根据辅助线的作法，“遇中线加倍延”作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．（3分）计算：（）﹣2+（314﹣π）0＝　5　．
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】5．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝4+1
＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
16．（3分）若二次三项式x2+（k+1）x+9是一个完全平方式，则k的值是　5或﹣7　．
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】5或﹣7．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2+（k+1）x+9是一个完全平方式，
∴k+1＝±（2×3），
即k+1＝±6，
解得k＝5或﹣7．
故答案为：5或﹣7．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17．（3分）已知x+3y＝4，则2x×8y＝　16　．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】16．
【分析】根据幂的乘方将8y化成23y，再根据同底数幂的乘法进行计算即可．
【解答】解：因为x+3y＝4，
所以2x×8y＝2x×（23）y＝2x×23y＝2x+3y＝24＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法，掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法的运算性质是正确计算的前提．
18．（3分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上，AC、BD交于点P．
（1）tan∠ABD的值为 　　；
（2）若点M在线段AB上，当PMBM取得最小值时，请在如图所示的网格中用无刻度的直尺，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）．
【考点】胡不归问题；解直角三角形；作图—复杂作图．
【专题】数学建模思想；解直角三角形及其应用；空间观念；应用意识．
【答案】（1）；
（2）取格点A′，B′，C′，D′，连接A′C′，B′D′，A′C′与B′D′相交，得点P′，连接PP′，与AB相交，得点M，点M即为所求．
【分析】（1）在Rt△ABD中，用锐角三角函数定义，直接可得tan∠ABD的值；
（2）胡不归问题：以B为顶点，AB为一边，在AB下方作∠ABN＝45°，过P作PH⊥BN于H，交AB于M，则M即为满足条件的点．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD＝2，AB＝6，
∴tan∠ABD，
故答案为：；
（2）如图，取格点A′，B′，C′，D′，连接A′C′，B′D′，
A′C′与B′D′相交，得点P′，
连接PP′，与AB相交，得点M，
点M即为所求．
证明：如图，将A，B，C，D四点分别向下平移2个单位，向右平移2个单位，
得对应点A′，B′，C′，D′，连接A′C′，B′D′，A′C′与B′D′相交，得点P′，连接PP′，CC′，
∴PP′∥CC′，
取格点G，连接BG，
∵∠MBG＝45°，
∴MHBM，
∴PM+MH＝PMBM，
即当P，M，H三点共线时，PM+MH＝PMBM取最小值，
即PM⊥BG时．
故连接PP′，与AB相交，得点M，点M即为所求．
故答案为：取格点A′，B′，C′，D′，连接A′C′，B′D′，A′C′与B′D′相交，得点P′，连接PP′，与AB相交，得点M，点M即为所求．
【点评】本题考查方格中的计算及作图问题，解题的关键是掌握“胡不归”问题的解决方法．
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．（6分）计算：
（1）a6÷a2﹣2a3 a；
（2）2x（x﹣2y）﹣（x﹣y）2．
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）﹣a 4．
（2）x2﹣2xy﹣y2．
【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据乘法公式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝a 4﹣2a 4
＝﹣a 4．
（2）原式＝2x2﹣4xy﹣（x2﹣2xy+y2）
＝2x2﹣4xy﹣x2+2xy﹣y2
＝x2﹣2xy﹣y2．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
20．（6分）分式的化简：
（1）；
（2）（）．
【考点】分式的混合运算．
【专题】分式；运算能力．
【答案】（1）a+3；（2）．
【分析】（1）先化为同分母分式相减，再计算减法，继而将分子因式分解、约分即可；
（2）先计算括号内分式的减法、将除法转化为乘法，再约分即可．
【解答】解：（1）原式
＝a+3；
（2）原式＝[]

．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21．（6分）在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．先阅读，再分解因式：
x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．
（1）按照这种方法把多项式x4+4y4分解因式；
（2）分解因式：a4+a2b2+b4．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；（2）（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）．
【分析】（1）将原式变形为x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2，进一步分解可得；
（2）将原式变形为a4+2a2b2+b4﹣a2b2＝（a2+b2）2﹣（ab）2再进一步分解可得．
【解答】解：（1）x4+4y4
＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；
（2）a4+a2b2+b4
＝a4+2a2b2+b4﹣a2b2
＝（a2+b2）2﹣（ab）2
＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）．
【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式及因式分解的步骤．
22．（6分）（此题需要写出括号内的定理理由，已知、已证、已作、等量代换、等式性质这五条理由不需要写）如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，作AD⊥AB且AD＝AB，联结CD，过点B作CD的垂线（垂足为点E），与过点A作AC的垂线交于点F，联结CF．
（1）求证：△ACF是等腰直角三角形；
（2）联结AE，求证：AE平分∠DEF．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【分析】（1）由AD⊥AB于点A，AF⊥AC，得∠BAD＝∠CAF＝90°，则∠DAC＝∠BAF＝90°+∠BAC，由BF⊥CD于点E，得∠BED＝90°，可根据“等角的余角相等”推导出∠D＝∠ABF，而AD＝AB，即可证明△ADC≌△ABF，得AC＝AF，所以△ACF是等腰直角三角形；
（2）作AI⊥CD于点I，AH⊥FB于点H，由△ADC≌△ABF，得CD＝FB，由S△ADC＝S△ABF得CD AIFB AH，则AI＝AH，再证明Rt△AIE≌Rt△AHE，得∠AEI＝∠AEH，所以AE平分∠DEF．
【解答】证明：（1）∵AD⊥AB于点A，AF⊥AC，
∴∠BAD＝∠CAF＝90°（垂直定义），
∴∠DAC＝∠BAF＝90°+∠BAC，
∵BF⊥CD于点E，
∴∠BED＝90°（垂直定义），
∴∠D+∠AGD＝180°，∠ABF+∠EGB＝180°（直角三角形的两个锐角互余），
∵BF交CD于点G，
∴∠AGD＝∠EGB（对顶角相等），
∴∠D＝∠ABF（等角的余角相等），
在△ADC和△ABF中，
，
∴△ADC≌△ABF（SAS），
∴AC＝AF，
∴△ACF是等腰直角三角形．
（2）作AI⊥CD于点I，AH⊥FB于点H，
∴∠AIE＝∠AHE＝90°（垂直定义），
∵△ADC≌△ABF，
∴CD＝FB（全等三角形的对应边相等），
∵S△ADC＝S△ABF（全等三角形的面积相等），
∴CD AIFB AH（三角形的面积公式），
∴AI＝AH，
在Rt△AIE和Rt△AHE中，
，
∴Rt△AIE≌Rt△AHE（HL），
∴∠AEI＝∠AEH（全等三角形的对应角相等），
∴AE平分∠DEF（角平分线定义）．
【点评】此题重点考查等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的定义等知识，证明△ADC≌△ABF是解题的关键．
23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是∠BAC的外角平分线，CE⊥AN于点E．
（1）请你判断四边形ADCE的形状，并证明；
（2）连接DE交AC于点F，线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论．
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；
（2）根据等腰三角形的性质和矩形的性质以及三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形；
（2）解：DFAB，
理由：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD，
∵四边形ADCE是矩形，
∴AF＝CF，
∴DF是△ACB的中位线，
∴DFAB．
【点评】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．（8分）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】甲类型笔记本的单价为11元，乙类型笔记本的单价为12元．
【分析】设甲类型笔记本的单价为x元，则乙类型笔记本的单价为（x+1）元，根据用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设甲类型笔记本的单价为x元，则乙类型笔记本的单价为（x+1）元，
由题意得：，
解得：x＝11，
经检验，x＝11是原方程的解，且符合题意，
∴x+1＝11+1＝12，
答：甲类型笔记本的单价为11元，乙类型笔记本的单价为12元．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．（8分）如图：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿射线AB运动，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t秒，△PCQ的面积为Scm2．
（Ⅰ）直接写出AC的长：AC＝　8　cm；
（Ⅱ）求出S关于t的函数关系式，并求出当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC；
（Ⅲ）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；图形的全等；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可．
（Ⅱ）分两种情形当0＜t≤4时，当t＞4秒时，分别构建方程即可解决问题．
（Ⅲ）利用全等三角形的性质证明DE＝DM，再证明EM＝AC＝8即可解决问题．
【解答】（Ⅰ）解：如图1中，
∵AB＝BC＝8cm，∠ABC＝90°，
∴AC（cm）．
故答案为8．
（Ⅱ）解：当0＜t≤4时，P在线段AB上，此时CQ＝2t，PB＝8﹣2t
∴．
当t＞4秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝2t，PB＝2t﹣8
∴，
∵S△ABC
∴当t≤4时，S△PCQ＝﹣2t2+8t＝32
整理得t2﹣4t+16＝0无解，
当t＞4时，S△PCQ＝2t2﹣8t＝32
整理得t2﹣4t﹣16＝0解得（舍去负值）
∴当点P运动（）秒时，S△PCQ＝S△ABC ．
（Ⅲ）解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
理由：如图2中，过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M．
∵PE⊥AC，QM⊥AC，
∴∠AEP＝∠M＝90°，
∵AP＝CQ，∠A＝∠ACB＝∠MCQ＝45°
∴△APE≌△QCM（AAS），
∴AE＝PE＝CM＝QMt，
∴四边形PEQM是平行四边形，
∴DE是对角线EM的一半．
又∵EM＝AC＝8，
∴DE＝4
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE＝4
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
2．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
4．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
5．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
6．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
7．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
8．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
9．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
10．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
11．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
12．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
13．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
14．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
15．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
16．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
17．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
18．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
19．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
20．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
21．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
22．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
23．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
24．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
25．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
26．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
27．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
28．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
29．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
30．胡不归问题
胡不归问题是一类加权线段和最值问题（带系数线段和最值问题），这是一个非常古老的数学问题，曾经是历史上非常著名的“难题”，典型特质是求AP+k BP的形式．“PA+k PB”型的最值问题是中考考查的热点，此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题．
31．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，cosA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）