2024—2025学年上学期天津初中数学八年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期天津初中数学八年级开学模拟试卷2
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列代数式中，，，，，分式的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）已知线段a＝4cm，b＝6cm，下列长度的线段中，不能与a，b组成三角形的是（　　）
A．4cm B．6cm C．11cm D．9cm
3．（3分）将0.00025用科学记数法表示为（　　）
A．2.5×104 B．0.25×10﹣4 C．2.5×10﹣4 D．25×10﹣5
4．（3分）以下是清华大学、中国政法大学、上海交通大学、浙江大学校徽的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）若△ABC的三个内角的比为3：5：2，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
6．（3分）计算（x4）2的结果是（　　）
A．x6 B．﹣x6 C．x8 D．﹣x8
7．（3分）下面式子计算正确的是（　　）
A．（x﹣2）（x+2）＝x2﹣2
B．（3x+2）（3x﹣2）＝3x2﹣4
C．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）＝4x2﹣9y2
D．﹣（a﹣b）（a+b）＝﹣a2﹣b2
8．（3分）如图，已知△ABC与△BDE全等，其中点D在边AB上，AB＞BC，BD＝CA，DE∥AC，BC与DE交于点F，下列与AD+AC相等的是（　　）
A．DE B．BE C．BF D．DF
9．（3分）若把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（　　）
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．缩小25倍
10．（3分）如图，分别以△ABC的顶点A和B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交AB于点E，连接BD．若AB＝6，AC＝4，BC＝3，则△BCD的周长为（　　）
A．7 B．9 C．10 D．13
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BC＝4，BE＝2.5，则DE的长是（　　）
A．1 B．1.5 C．0.5 D．2
12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）若ax＝4，ay＝3，则ax+y＝　 　．
14．（3分）若分式的值为0，则x　 　．
15．（3分）如图，点O在直线m上，在m的同侧有A，B两点，∠AOB＝90°，OA＝10cm，OB＝8cm，点P以2cm/s的速度从点A出发沿A﹣O﹣B路径向终点B运动，同时点Q以1cm/s的速度从点B出发沿B﹣O﹣A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点P，Q作PC⊥m于点C，QD⊥m于点D，若△OPC与△OQD全等，则点Q运动的时间是 　 　秒．
16．（3分）若n边形的内角和是720°，则n的值是　 　．
17．（3分）若x+y＝6，xy＝7，则x2+y2的值等于 　 　．
18．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30，AC＝2，点D在边AC上运动（与点A、C不重合），以D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相交于点E，线段BE的中垂线交BC于点F，则DF长的最小值等于　 　．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）因式分解：
（1）4x2﹣2xy；
（2）（a+b）2﹣c2．
20．（8分）（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）
（2）
21．（10分）如图，在△ABC中，AC＞AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF＝AC，连接EF．
（1）求证：△AEC≌△AEF．
（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度数．
22．（10分）化简代数式，然后从﹣1，0，1中选取一个合适的m的值代入求值．
23．（10分）解下列分式方程：
（1）；
（2）．
24．（10分）某商场分两次购进应季服装，第一次用4800元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完．于是又用9000元购进了第二批服装，第二次的服装数量是第一次服装数量的，购进单价比第一次上涨了20元．
（1）第一批和第二批服装的购进单价各是多少？
（2）商场在销售第二批服装时，库存剩余40件，全部打八折出售，若想全部售完，第二批服装的利润不低于5200元，则第二批服装售价至少定为多少元？
25．（10分）如图，△ABC是等边三角形，分别在BC、AC边上取点D、E，且AE＝CD，连接AD、BE相交于P，BH⊥AD于H，PH＝6，PE＝2．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求BE的长．
2024—2025学年上学期天津初中数学八年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列代数式中，，，，，分式的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】分式的定义．
【专题】分式；数感．
【答案】B
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
【解答】解：代数式中，，，，，属于分式的为：，，
∴分式的个数有2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
2．（3分）已知线段a＝4cm，b＝6cm，下列长度的线段中，不能与a，b组成三角形的是（　　）
A．4cm B．6cm C．11cm D．9cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；数感．
【答案】C
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再选出答案即可．
【解答】解：设第三边的长度为x，由题意得：
6﹣4＜x＜6+4，
即：2＜x＜10，
故选项A，B，D可以构成三角形，只有11cm无法构成三角形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
3．（3分）将0.00025用科学记数法表示为（　　）
A．2.5×104 B．0.25×10﹣4 C．2.5×10﹣4 D．25×10﹣5
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【答案】C
【分析】根据用科学记数法表示较小的数的方法解答即可．
【解答】解：0.00025＝2.5×10﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查的是用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）以下是清华大学、中国政法大学、上海交通大学、浙江大学校徽的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（3分）若△ABC的三个内角的比为3：5：2，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【考点】三角形内角和定理．
【专题】计算题；方程思想；三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据△ABC的三个内角的比为3：5：2可设此三角形的三个内角分别为2x，3x，5x，再根据三角形内角和定理列出关于x的方程，求出x的值，进而可判断出此三角形的形状．
【解答】解：∵△ABC的三个内角的比为3：5：2可设此三角形的三个内角分别为2x，3x，5x，
∴2x+3x+5x＝180°，解得x＝18°，
∴5x＝5×18°＝90°．
∴此三角形是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，解答此题的关键是根据题意设出三角形三个内角的度数，列出关于x的方程，利用方程的思想求解．
6．（3分）计算（x4）2的结果是（　　）
A．x6 B．﹣x6 C．x8 D．﹣x8
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据幂的乘方求出答案即可．
【解答】解：（x4）2＝x8，
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方，注意：（am）n＝amn．
7．（3分）下面式子计算正确的是（　　）
A．（x﹣2）（x+2）＝x2﹣2
B．（3x+2）（3x﹣2）＝3x2﹣4
C．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）＝4x2﹣9y2
D．﹣（a﹣b）（a+b）＝﹣a2﹣b2
【考点】平方差公式．
【专题】计算题；整式；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】A：2忘记平方；
B：3忘记平方；
C：符合平方差公式，计算正确；
D：去括号忘记变号．
【解答】解：A：原式＝x2﹣4，∴不符合题意；
B：原式＝9x2﹣4，∴不符合题意；
C：原式＝4x2﹣9y2，∴符合题意；
D：原式＝﹣a2+b2，∴不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方差公式，掌握运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
8．（3分）如图，已知△ABC与△BDE全等，其中点D在边AB上，AB＞BC，BD＝CA，DE∥AC，BC与DE交于点F，下列与AD+AC相等的是（　　）
A．DE B．BE C．BF D．DF
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质得出AC＝DB，进而解答即可．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠A＝∠EDB，
∵△ABC与△BDE全等，
∴BC＝BE，AC＝DB，AB＝DE，
∴AC+AD＝DB+AD＝AB＝DE，
故选：A．
【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．
9．（3分）若把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（　　）
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．缩小25倍
【考点】分式的基本性质．
【专题】分式．
【答案】C
【分析】根据分子的基本性质即可求出答案．
【解答】解：原式，
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
10．（3分）如图，分别以△ABC的顶点A和B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交AB于点E，连接BD．若AB＝6，AC＝4，BC＝3，则△BCD的周长为（　　）
A．7 B．9 C．10 D．13
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】数形结合；推理能力．
【答案】A
【分析】根据作图痕迹判断MN是线段AB的垂直平分线，然后将△BCD的周长转化为AC+BC的值直接求解即可．
【解答】解：由题可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BCD的周长＝BC+DC+BD，AC＝4，BC＝3，
∴△BCD的周长＝BC+DC+AD＝AC+BC＝7，
故选：A．
【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键是推导出边相等，然后将三角形的周长转化为线段的和来求解．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BC＝4，BE＝2.5，则DE的长是（　　）
A．1 B．1.5 C．0.5 D．2
【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】B
【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE＝2.5，DM＝1，进而得出△BEM为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
【解答】解：延长AD交BC于N，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∵BE＝2.5，
∴BM＝2.5，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB＝60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∵BC＝4，
∴BN＝2，
∴NM＝2.5﹣2＝0.5，
∴DM＝2NM＝1
∴DE＝EM﹣DM＝2.5﹣1＝1.5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．
12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】A
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点M（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）若ax＝4，ay＝3，则ax+y＝　12　．
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】12．
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵ax＝4，ay＝3，
∴ax+y＝ax ay
＝4×3
＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
14．（3分）若分式的值为0，则x　＝0　．
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，解得x＝0．
故答案为：＝0．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，即分式的分子为0，分母不为0．
15．（3分）如图，点O在直线m上，在m的同侧有A，B两点，∠AOB＝90°，OA＝10cm，OB＝8cm，点P以2cm/s的速度从点A出发沿A﹣O﹣B路径向终点B运动，同时点Q以1cm/s的速度从点B出发沿B﹣O﹣A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点P，Q作PC⊥m于点C，QD⊥m于点D，若△OPC与△OQD全等，则点Q运动的时间是 　2或6或16　秒．
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】2或6或16．
【分析】由题意可知只要PO＝QO，则△POC与△QOC全等，所以根据PO＝QO列出关于t的方程即可求解．
【解答】解：①当0 t＜5时，P在AO，Q在BO上时，
∵∠AOB＝90°，
∴∠POC+∠QOD＝90°，
∵∠OQD+∠QOD＝90°，
∴∠POC＝∠OQD，
所以当PO＝QO时，△POC≌△OQD，
∴10﹣2t＝8﹣t，
解得t＝2；
②当5＜t＜8时，P，Q都在OB上时，
因为∠POD＝∠QOC，
所以当所以当PO＝QO时，△POC≌△OQD，
∴2t﹣10＝8﹣t
解得t＝6；
③当8＜t＜9，P在OB上，Q在OA上时，
∵∠AOB＝90°，
∴∠POC+∠QOD＝90°，
∵∠OQD+∠QOD＝90°，
∴∠POC＝∠OQD，
所以当PO＝QO时，△POC≌△OQD，
∴2t﹣10＝t﹣8，
解得t＝2（舍去）；
④当9 t＜18，P与B重合，Q在OA上时，
当PO＝QO时，△POC≌△OQD，
∴t﹣8＝8，
∴t＝16．
综上所述：t＝2或6或16，
故答案为：2或6或16．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
16．（3分）若n边形的内角和是720°，则n的值是　6　．
【考点】多边形内角与外角．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意，（n﹣2） 180°＝720°，
解得n＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，是基础题，熟记公式是解题的关键．
17．（3分）若x+y＝6，xy＝7，则x2+y2的值等于 　22　．
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】22．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵x+y＝6，xy＝7，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×7＝36﹣14＝22．
故答案为：22．
【点评】本题是对完全平方公式的考查，熟记公式结构是解题的关键，完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
18．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30，AC＝2，点D在边AC上运动（与点A、C不重合），以D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相交于点E，线段BE的中垂线交BC于点F，则DF长的最小值等于　2　．
【考点】线段垂直平分线的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】数形结合；几何直观．
【答案】2．
【分析】本题的入手点主要是垂直平分线的性质，把握其性质，是解题的关键．
【解答】解：如图所示，连接线段DE，FE，
∵点A、E在 D上，
∴DE＝DA，
∴∠DEA＝∠DAE（等边对等角），
又线段BE的垂直平分线FM与线段BC交于点F，与线段BE的交点为M，
∴BF＝EF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FBE＝∠FEB（等边对等角），
∴∠FED＝180°﹣∠FEB﹣∠DEA＝180°﹣∠FBE﹣∠DAE＝∠C＝90°，
又DE为为 D半径，
∴FE为 D在点E的切线，
设AD的长为x，
则CD＝AC﹣AD＝2﹣x，
DE＝AD＝x，
又∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠B＝60°，
∴△DEA为等边三角形，
∴AE＝AD＝x，
∴，
，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣x，
又MF为线段BE的垂直平分线，
∴，
∴CF＝BC﹣BF，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，
DF2＝CD2+CF2
（x﹣1）2+4，
∴当x＝1时，DF2取得最小值，
∴DFmin＝2．
故答案为：2．
【点评】本题的知识点考查比较综合，主要用到了垂直平分线的性质以及三角形的性质，做题时，需要将知识点理解并会运用．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）因式分解：
（1）4x2﹣2xy；
（2）（a+b）2﹣c2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】（1）2x（2x﹣y）；
（2）（a+b+c）（a+b﹣c）．
【分析】（1）根据提公因式法因式分解即可；
（2）根据公式法因式分解即可．
【解答】解：（1）4x2﹣2xy＝2x（2x﹣y）；
（2）（a+b）2﹣c2＝（a+b+c）（a+b﹣c）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20．（8分）（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）
（2）
【考点】整式的除法；多项式乘多项式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用立方和公式计算即可；（2）从左向右计算，利用单项式除以单项式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝a3+b3；
（2）原式x2y3z3xy＝﹣xy2z3．
【点评】本题考查了立方和公式、单项式除以单项式．a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
21．（10分）如图，在△ABC中，AC＞AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF＝AC，连接EF．
（1）求证：△AEC≌△AEF．
（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）80°．
【分析】（1）由射线AD平分∠BAC，可得∠CAE＝∠FAE，进而可证△AEC≌△AEF（SAS）；
（2）由△AEC≌△AEF（SAS），可得∠C＝∠F，由三角形外角的性质可得∠AEB＝∠CAE+∠C＝50°，则∠FAE+∠F＝50°，根据∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF＝180°，计算求解即可．
【解答】（1）证明：射线AD平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠FAE，
在△AEC和△AEF中，
，
∴△AEC≌△AEF（SAS）；
（2）解：∵△AEC≌△AEF（SAS），
∴∠C＝∠F，
∵∠AEB＝∠CAE+∠C＝50°，
∴∠FAE+∠F＝50°，
∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝80°，
∴∠BEF为80°．
【点评】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22．（10分）化简代数式，然后从﹣1，0，1中选取一个合适的m的值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】2m，0．
【分析】先利用分式的运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件求出m的取值范围，最后代入求值即可．
【解答】解：原式
＝2m，
∵m2﹣1≠0，
（m﹣1）2≠0，
即m≠±1，
当m＝0时，2m＝2×0＝0．
【点评】本题考查分式的混合运算和分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则，确定m的取值范围是解题的关键．
23．（10分）解下列分式方程：
（1）；
（2）．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x（x+1）＝3+x2﹣1，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝2是分式方程的解；
（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
24．（10分）某商场分两次购进应季服装，第一次用4800元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完．于是又用9000元购进了第二批服装，第二次的服装数量是第一次服装数量的，购进单价比第一次上涨了20元．
（1）第一批和第二批服装的购进单价各是多少？
（2）商场在销售第二批服装时，库存剩余40件，全部打八折出售，若想全部售完，第二批服装的利润不低于5200元，则第二批服装售价至少定为多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）第一批服装的购进单价是40元，第二批服装的购进单价是60元；
（2）第二批服装售价至少定为100元．
【分析】（1）设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是（x+20）元，根据第二次的服装数量是第一次服装数量的，列出分式方程，解方程即可；
（2）设第二批服装的售价定为m元，根据第二批服装的利润不低于5200元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是（x+20）元，
由题意得：，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝60元，
答：第一批服装的购进单价是40元，第二批服装的购进单价是60元；
（2）第二批购进数量为：9000÷60＝150（件），
设第二批服装的售价定为m元，
由题意得：（150﹣40）m+40×0.8m﹣9000≥5200，
解得：m≥100，
答：第二批服装售价至少定为100元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25．（10分）如图，△ABC是等边三角形，分别在BC、AC边上取点D、E，且AE＝CD，连接AD、BE相交于P，BH⊥AD于H，PH＝6，PE＝2．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求BE的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）14．
【分析】（1）由等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°，再由SAS证明△ABE≌△CAD即可；
（2）根据全等三角形的性质和三角形外角的性质证明∠BPD＝60°，再由含30度角的直角三角形的性质得到BP＝2PH＝12，则BE＝BP+PE＝14．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°，
在△ABE与△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠DAC，
又∵∠BAD+∠DAC＝60°，
∴BAD+∠ABE＝60°，
∴∠BPD＝60°，
∵BH⊥AD，
∴∠BHP＝90°，
在Rt△BHP中，∠PBH＝30°，PH＝6，
∴BP＝2PH＝12，
∴BE＝BP+PE＝14．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ABE≌△CAD是解题的关键．
考点卡片
1．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
2．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
4．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
5．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
6．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
7．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
8．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
9．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
10．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
11．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
12．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
13．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
14．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
15．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
16．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
17．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
18．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
19．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
20．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
21．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
22．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
23．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
24．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
25．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
26．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
27．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
28．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
29．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．