2024—2025学年上学期天津初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期天津初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）据了解，新型冠状病毒（SARS﹣CoV﹣2）的最大直径大约是0.00000015米．数据0.00000015用科学记数法表示应为（　　）
A．0.15×10﹣6 B．1.5×10﹣6 C．1.5×10﹣7 D．15×10﹣7
3．（3分）下面是一名学生所做的4道练习题：①﹣22＝4；②a3+a3＝a6；③4m﹣4；④（xy2）3＝x3y6．他做错的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A．a4 a＝a4 B．a6÷a3＝a2
C．（a3）2＝a5 D．（ab）3＝a3b3
5．（3分）下列等式成立的是（　　）
A．（2x2﹣y）（y﹣2x2）＝4x4﹣y2
B．（2x﹣2y）2＝4x2﹣9y2
C．（﹣6m﹣5）（6m﹣5）＝﹣36m2+25
D．（m2+2n）（m2﹣3n）＝m4﹣4n2
6．（3分）在三角形全等的条件中，下列哪一个不属于三角形全等的条件（　　）
A．AAS B．SAS C．SSA D．SSS
7．（3分）观察图中尺规作图痕迹，说明作图的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
8．（3分）下列选项中，不能确定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A﹣∠B＝90°
9．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点E，过点D作DM⊥AB于点M，连接CD，下列结论正确的是（　　）
A．若∠ACB＝90°，则AC+CE＝AB
B．若AB+AC＝2AM，则∠ACD+∠ABC＝180°
C．若DE＝DB，则∠ACB＝90°
D．过点C作CH⊥AD于点H，则DA﹣DB＝2DH
10．（3分）甲、乙两地相距m千米，某人骑自行车从甲地出发a小时到达乙地，返回时改乘汽车，结果返回甲地的时间比去时少用3小时，则此人乘汽车的速度比骑自行车的速度快（　　）
A．千米/小时 B．千米/小时
C．千米/小时 D．千米/小时
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，边AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
12．（3分）如图，已知AD为△ABC的高线，AD＝BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①∠DAE＝∠CBE；②CE⊥DE；③BD＝AF；④△AED为等腰三角形；⑤S△BDE＝S△ACE，其中正确的有（　　）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③⑤
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）要使分式有意义，则x需满足的条件是 　 　．
14．（3分）　 　．
15．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 　 　．
16．（3分）图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数是 　 　．
17．（3分）计算（a a3）2＝a2 （a3）2＝a2 a6＝a8，其中第一步运算的依据是 　 　．
18．（3分）已知a+b＝7，ab＝2，则（a﹣b）2＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．（8分）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣x（x﹣2y）]÷2y，其中x＝3，y＝﹣1．
20．（8分）化简：．
21．（6分）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE．
（1）证明：△ABD≌△ECB；
（2）若BC＝12，DE＝7，求BE的长度．
22．（6分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，BD＝CE，连接ED交BC于F．
（1）求证：DF＝EF；
（2）如图2，连接CD，若∠DFB＝45°，BC＝4，求△BCD的面积．
23．（6分）港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，连接香港大屿山、澳门半岛和广东省珠海市，其中珠海站到香港站全长约55千米，2018年10月24日上午9时正式通车．一辆观光巴士自珠海站出发，半小时后，一辆小汽车从同一地点出发，结果同时到达香港站．已知小汽车的速度是观光巴士的2倍，求观光巴士的速度．
24．（6分）因式分解：
（1）x3﹣4x；
（2）4a﹣4a2﹣1；
（3）（m﹣1）（m﹣3）+1；
（4）x（x﹣2）﹣8．
25．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．
【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是　 　，FG与直线BC的位置关系是　 　；
【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？
①请在图2中补全图形；
②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若AB＝AC，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF的面积．
2024—2025学年上学期天津初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A、“中”可以看作轴对称图形，故此选项符合题意；
B、“流”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
C、“砥”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
D、“柱”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）据了解，新型冠状病毒（SARS﹣CoV﹣2）的最大直径大约是0.00000015米．数据0.00000015用科学记数法表示应为（　　）
A．0.15×10﹣6 B．1.5×10﹣6 C．1.5×10﹣7 D．15×10﹣7
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：0.00000015＝1.5×10﹣7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）下面是一名学生所做的4道练习题：①﹣22＝4；②a3+a3＝a6；③4m﹣4；④（xy2）3＝x3y6．他做错的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】C
【分析】①根据有理数的乘方的定义判断即可
②根据合并同类项法则判断即可；
③根据负整数指数幂的定义判断即可，负整数指数幂：a﹣p；
④根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【解答】解：﹣22＝﹣4；
②a3+a3＝2a3；
③4m﹣4；
④（xy2）3＝x3y6．
所以他做错的个数是①②③共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方以及负整数指数幂，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A．a4 a＝a4 B．a6÷a3＝a2
C．（a3）2＝a5 D．（ab）3＝a3b3
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a4 a＝a5，故本选项不合题意；
B、a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；
C、（a3）2＝a6，故本选项不合题意；
D、（ab）3＝a3b3，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）下列等式成立的是（　　）
A．（2x2﹣y）（y﹣2x2）＝4x4﹣y2
B．（2x﹣2y）2＝4x2﹣9y2
C．（﹣6m﹣5）（6m﹣5）＝﹣36m2+25
D．（m2+2n）（m2﹣3n）＝m4﹣4n2
【考点】平方差公式；多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用平方差公式逐个进行计算即可．
【解答】解：（2x2﹣y）（y﹣2x2）＝﹣（y﹣2x2）（y﹣2x2）＝﹣y2+4x2y﹣4x4，因此选项A不符合题意；
（2x﹣2y）2＝4x2﹣8xy+4y2，因此选项B不符合题意；
（﹣6m﹣5）（6m﹣5）＝（﹣5﹣6m）（﹣5+6m）＝25﹣36m2＝﹣36m2+25，因此选项C符合题意；
（m2+2n）（m2﹣3n）＝m4﹣m2n﹣6n2，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
6．（3分）在三角形全等的条件中，下列哪一个不属于三角形全等的条件（　　）
A．AAS B．SAS C．SSA D．SSS
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理分析判断即可．
【解答】解：全等三角形的判定定理分别为：（1）判定定理1：SSS：三条边分别对应相等的两个三角形全等，故D不符合题意；
（2）判定定理2：SAS：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．故B不符合题意；
（3）判定定理3：ASA：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．故A不符合题意；
（5）判定定理5：HL：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
故C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．
7．（3分）观察图中尺规作图痕迹，说明作图的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：如图，连接CE、DE，
在△OEC与△OED中，
，
∴△OEC≌△OED（SSS），
∴∠COE＝∠DOE，
∴射线OE是∠AOB的角平分线．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
8．（3分）下列选项中，不能确定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A﹣∠B＝90°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】常规题型；三角形；等腰三角形与直角三角形．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，结合各选项求出∠C（或∠B或∠A）的度数，再判断即可．
【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，即x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，
∴∠C＝2x＝90°，故△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵∠A﹣∠B＝90°和∠A+∠B+∠C＝180°不能推出△ABC的一个内角是90°，
∴不能得出△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点E，过点D作DM⊥AB于点M，连接CD，下列结论正确的是（　　）
A．若∠ACB＝90°，则AC+CE＝AB
B．若AB+AC＝2AM，则∠ACD+∠ABC＝180°
C．若DE＝DB，则∠ACB＝90°
D．过点C作CH⊥AD于点H，则DA﹣DB＝2DH
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】如图1中，作EF⊥AB于F．只要证明△AEC≌△AEF即可；如图2中，作DG⊥AC于G．只要证明△DGC≌△DMB即可得出B错误；因为DE＝DB，推出点D在线段BE的垂直平分线上，当∠ACB≠90°时，也能找到这样的点D；如图3中，在HA上取一点N，使得HN＝DH，欲证明DA﹣DB＝2DH，只要证明AN＝BD，只要证明△ACN≌△BCD即可．由于缺少条件无法证明△ACN≌△BCD，故D错误，
【解答】解：A、如图1中，作EF⊥AB于F．
∵∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠ABC＝45°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝∠EBF＝45°，
∴EF＝BF，
∵∠EAC＝∠EAF，∠ACE＝∠AFE，AE＝AE，
∴△AEC≌△AEF（AAS），
∴AC＝AF，EC＝EF，
∴AC+CE＝AF+EF＝AF+BF＝AB，故A正确，
B、如图2中，作DG⊥AC于G．
同理可知△ADG≌△ADM（AAS），
∴AM＝AG，DG＝DM，
∵AC+AB＝AG﹣CG+AM+BM＝2AM，
∴CG＝BM，
∵∠DGC＝∠DMB＝90°，
∴△DGC≌△DMB（SAS），
∴∠DCG＝∠DBM，
∵∠DCG+∠ACD＝180°，
∴∠ACD+∠ABD＝180°，故B错误．
C、∵DE＝DB，
∴点D在线段BE的垂直平分线上，
当∠ACB≠90°时，也能找到这样的点D．
故C错误；
D、如图3中，在HA上取一点N，使得HN＝DH，欲证明DA﹣DB＝2DH，只要证明AN＝BD，只要证明△ACN≌△BCD即可．
由于缺少条件无法证明△ACN≌△BCD，故D错误，
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
10．（3分）甲、乙两地相距m千米，某人骑自行车从甲地出发a小时到达乙地，返回时改乘汽车，结果返回甲地的时间比去时少用3小时，则此人乘汽车的速度比骑自行车的速度快（　　）
A．千米/小时 B．千米/小时
C．千米/小时 D．千米/小时
【考点】列代数式（分式）．
【专题】行程问题；应用意识．
【答案】D
【分析】由返回甲地的时间比去时少用3小时可知返回甲地的时间为（a﹣3）小时，根据速度＝路程÷时间分别表示出乘汽车的速度与骑自行车的速度，再相减即可求解．
【解答】解：由题意可得，此人乘汽车的速度比骑自行车的速度快：
（千米/小时）．
故选：D．
【点评】本题考查了列代数式，分别表示出乘汽车的速度与骑自行车的速度是解题的关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，边AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据勾股定理求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，△CDM周长的最小，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵点D为BC边的中点，BC＝10，
∴BD＝CD＝5，
∵AB＝AC＝13，
∴AD＝12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+CD＝12+5＝17．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
12．（3分）如图，已知AD为△ABC的高线，AD＝BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①∠DAE＝∠CBE；②CE⊥DE；③BD＝AF；④△AED为等腰三角形；⑤S△BDE＝S△ACE，其中正确的有（　　）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③⑤
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】①由等腰直角三角形的性质可得出结论；
②证明△ADE≌△BCE，可得∠AEC＝∠DEB，即可求得∠AED＝∠BEG，即可解题；
③证明△AEF≌△BED即可；
④AE≠DE，故④不正确；
⑤易证△FDC是等腰直角三角形，则CE＝EF，S△AEF＝S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE＝S△ACE，所以S△BDE＝S△ACE．
【解答】解：①∵AD为△ABC的高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD＝90°，
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝45°，AE＝BE，
∴∠CBE+∠BAD＝45°，
∴∠DAE＝∠CBE，
故①正确
②在△DAE和△CBE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
∴∠EDA＝∠ECB，
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠EDC+∠ECB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴CE⊥DE；
故②正确；
③∵∠BDE＝∠ADB+∠ADE，∠AFE＝∠ADC+∠ECD，
∴∠BDE＝∠AFE，
∵∠BED+∠BEF＝∠AEF+∠BEF＝90°，
∴∠BED＝∠AEF，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（AAS），
∴BD＝AF；
故③正确；
④∵AE≠DE，
∴△ADE不是等腰三角形，
⑤∵AD＝BC，BD＝AF，
∴CD＝DF，
∵AD⊥BC，
∴△FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF＝CE，
∴S△AEF＝S△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S△AEF＝S△BED，
∴S△BDE＝S△ACE．
故⑤正确；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）要使分式有意义，则x需满足的条件是 　x≠5　．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分母不为0可得：x﹣5≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x﹣5≠0，
解得：x≠5，
故答案为：x≠5．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
14．（3分）　a4b5　．
【考点】整式的除法．
【专题】计算题；能力层次．
【答案】a4b5
【分析】根据单项式除单项式的法则计算，系数相除，相同字母相除即可．
【解答】解：a6b7÷（a2b2）＝[（）] a6﹣2b7﹣2a4b5，
答案为：a4b5
【点评】本题主要考查单项式除以单项式运算．正确求对系数是关键．
15．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 　13　．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．（3分）图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数是 　120°　．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】120°．
【分析】根据n边形内角和公式（n﹣2） 180°求解即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（5﹣2）×180°＝540°，∠A＝∠B＝∠D，∠C＝∠E＝90°，
∴3∠A+2×90°＝540°，
则∠A＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了多边形的内角和问题，掌握多边形的内角和公式是解答的关键．
17．（3分）计算（a a3）2＝a2 （a3）2＝a2 a6＝a8，其中第一步运算的依据是 　积的乘方法则　．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】积的乘方法则．
【分析】积的乘方法则：积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此判断即可．
【解答】解：（a a3）2＝a2 （a3）2的依据是积的乘方法则．
故答案为：积的乘方法则．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（3分）已知a+b＝7，ab＝2，则（a﹣b）2＝　41　．
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】41．
【分析】根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab计算即可．
【解答】解：∵a+b＝7，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝72﹣4×2
＝49﹣8
＝41，
故答案为：41．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．（8分）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣x（x﹣2y）]÷2y，其中x＝3，y＝﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】3x+2y＝7．
【分析】先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后求出答案即可．
【解答】解：原式＝（x2+4xy+4y2﹣x2+2xy）÷2y
＝（6xy+4y2）÷2y
＝3x+2y，
当x＝3，y＝﹣1时，原式＝3×3+2×（﹣1）＝7．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（8分）化简：．
【考点】分式的混合运算．
【专题】分式；运算能力．
【答案】．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
【解答】解：原式

．
【点评】本题考查分式化简，解题的关键是掌握分式的基本性质，能通分和约分．
21．（6分）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE．
（1）证明：△ABD≌△ECB；
（2）若BC＝12，DE＝7，求BE的长度．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）5．
【分析】（1）由AD∥BC，得∠ADB＝∠EBC，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABD≌△ECB；
（2）由△ABD≌△ECB，得DB＝BC＝15，AD＝EB＝6，即可由DE＝DB﹣EB求得DE的长度为9．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA）．
（2）解：△ABD≌△ECB，
∴DB＝BC＝12，
∵DE＝7，
∴BE的长度为BD﹣DE＝12﹣7＝5．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明∠ADB＝∠EBC是解题的关键．
22．（6分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，BD＝CE，连接ED交BC于F．
（1）求证：DF＝EF；
（2）如图2，连接CD，若∠DFB＝45°，BC＝4，求△BCD的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析过程；
（2）4．
【分析】（1）由“AAS”可证△DGF≌△ECF，可得DF＝EF；
（2）由（1）知△DGF≌△ECF，可得GF＝CF，所以HFBC＝2，证明△DHF是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：如图1，过点D作DG∥AE，交BC于点G，
∴∠FDG＝∠E，∠ACB＝∠DGB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠DGB，
∴BD＝DG，
又∵BD＝CE，
∴DG＝CE，
在△DGF和△ECF中，
，
∴△DGF≌△ECF（AAS），
∴DF＝EF；
（2）解：如图2，过点D作DG∥AE，交BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，
∵DB＝DG，
∴BH＝GH，
由（1）知△DGF≌△ECF，
∴GF＝CF，
∴HFBC＝2，
∵DH⊥BC，∠DFB＝45°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴DH＝HF＝2，
∴S△CDBBC DH4×2＝4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．（6分）港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，连接香港大屿山、澳门半岛和广东省珠海市，其中珠海站到香港站全长约55千米，2018年10月24日上午9时正式通车．一辆观光巴士自珠海站出发，半小时后，一辆小汽车从同一地点出发，结果同时到达香港站．已知小汽车的速度是观光巴士的2倍，求观光巴士的速度．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】观光巴士的速度为55千米/小时．
【分析】设观光巴士的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为2x千米/小时，由题意：一辆观光巴士自珠海站出发，半小时后，一辆小汽车从同一地点出发，结果同时到达香港站．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设观光巴士的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为2x千米/小时，
根据题意得：，
解得：x＝55，
经检验，x＝55是所列分式方程的解，且符合题意．
答：观光巴士的速度为55千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．（6分）因式分解：
（1）x3﹣4x；
（2）4a﹣4a2﹣1；
（3）（m﹣1）（m﹣3）+1；
（4）x（x﹣2）﹣8．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）x（x+2）（x﹣2）；
（2）﹣（2a﹣1）2；
（3）（m﹣2）2；
（4）（x+2）（x﹣4）．
【分析】（1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可；
（3）先将整式运算，再利用完全平方公式因式分解即可；
（4）先将整式运算，再利用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝﹣（4a2﹣4a+1）
＝﹣（2a﹣1）2；
（3）原式＝m2﹣m﹣3m+3+1
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2；
（4）原式＝x2﹣2x﹣8
＝（x+2）（x﹣4）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
25．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．
【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是　FGBD　，FG与直线BC的位置关系是　FG⊥BC　；
【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？
①请在图2中补全图形；
②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若AB＝AC，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF的面积．
【考点】几何变换综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）FGBD，FG⊥BC；
（2）①见解析过程；
②结论仍然成立，理由见解析过程；
（3）或．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得AD⊥BC，AD＝BD＝CD，由三角形中位线定理可得FGAD，FG∥AD，可求解；
（2）①由题意补全图形；
②由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得CE＝BD，∠ACE＝∠B＝∠ACB＝45°，由三角形的中位线定理可求解；
（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质求出BD和FG的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵F，G分别是DE，CD的中点，
∴FGAD，FG∥AD，
∴FGBD，FG⊥BC，
故答案为：FGBD，FG⊥BC；
（2）①补全图形如图所示；
②结论仍然成立，
理由如下：如图2，连接CE，
∵把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∵F，G分别是DE，CD的中点，
∴FGCEBD，FG∥CE，
∴FG⊥BC；
（3）当点D在点B的左侧时，
如图3﹣1中，作AM⊥BC于M，连接FG，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AM⊥BC，
∴BC＝2，BM＝CM＝AMBC＝1，∠BAM＝∠CAM＝45°，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是DE中点，
∴∠EAF＝∠CAM＝45°，AF＝FD＝EF，
∵△AFC是等边三角形，
∴AF＝AC＝FC，∠FAC＝∠AFC＝∠ACF＝60°，
∴∠CAE＝15°＝∠BAD，
∴∠ADM＝∠ABC﹣∠BAD＝30°，
∴DMAM，
∴BD＝DM﹣BM，
由（2）的结论可得：FG⊥BC，FGBD，
∴△BDF的面积；
当点D在点C的右侧时，
如图3﹣2中，作AM⊥BC于M，连接FG，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AM⊥BC，
∴BC＝2，BM＝CM＝AMBC＝1，∠BAM＝∠CAM＝45°，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是DE中点，
∴∠EAF＝∠CAM＝45°，AF＝FD＝EF，∠DAF＝45°，
∵△AFC是等边三角形，
∴AF＝AC＝FC，∠FAC＝∠AFC＝∠ACF＝60°，
∴∠CAD＝∠CAF﹣∠DAF＝15°，
∴∠ADM＝∠ACB﹣∠CAD＝30°，
∴DMAM，
∴BD＝DM+BM1，
由（2）的结论可得：FG⊥BC，FGBD，
∴△BDF的面积．
综上所述：△BDF的面积为或．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
考点卡片
1．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
2．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
5．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
6．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
7．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
8．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
9．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
10．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
11．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
12．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
13．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
14．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
15．列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
16．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
17．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
18．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
19．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
20．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
21．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
22．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
23．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
24．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
25．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
26．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
27．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
28．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
29．几何变换综合题
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．