2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”，下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）三根木条的长度如图，能组成三角形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（4分）已知，则x的值是（　　）
A． B．
C． D．
4．（4分）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）
A．120° B．60° C．45° D．30°
5．（4分）一个面积为40的正方形，它的边长为a，则a的整数部分为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（4分）下列命题：①同位角相等；②无限小数都是无理数；③两个无理数的和是无理数；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中的假命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（4分）如图，BC＝EC，AB＝DE，要使△ABC≌△DEC，则可以添加条件（　　）
A．∠BCE＝∠ACD B．∠A＝∠D
C．∠B＝∠E D．以上都不对
8．（4分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把P'（﹣y+1，x+1）叫做点P的幸运点，已知点A1的幸运点为A2，点A2的幸运点为A3，点A3的幸运点为A4， ，这样依次得到A1，A2，A3，A4， ，An．若点A1的坐标为（0，2），则点A2023的坐标是（　　）
A．（0，2） B．（﹣1，1） C．（0，0） D．（1，1）
9．（4分）如图，在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD的角平分线交DE于F，过点F作FC⊥AD于C，点B为AE上一点，连接FB，且FB＝FD，AD＝6，AB＝3，则AC的长为（　　）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
10．（4分）从方程中得出x与y的关系式为（　　）
A．y＝2x B．y﹣2x＝2 C．y+3＝2x D．y﹣2x＝3
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）已知A点（﹣2a+6，a）在象限角平分线上，则a的值为　 　．
12．（4分）如图，点A、B、C是正八边形的三个顶点，连接AB、BC，则∠ABC的度数为　 　．
13．（4分）如图，在△ABC中，BC＝1，AC，DE垂直平分AC，垂足为D，DE交AB于点E，且AE＝BE．则BE的长为　 　．
14．（4分）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，问大、小和尚各有多少人？设大和尚x人，小和尚y人，根据题意可列方程组为　 　．
15．（4分）如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，AE平分∠BAD，且∠AED＝90°，若CD＝2AB，AD＝18，则AB＝　 　．
16．（4分）如图，D为△ABC内一点，∠ADB＝90°，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，延长AE交BD于点F，BD＝AC，∠ACD＝∠ABD，若S△ABD：S△ACD＝9：7，DE＝1，则线段AB的长是 　 　．
17．（4分）若关于x的方程5（2﹣x）+x＝ax的解为正数，且关于x的不等式组有解，则满足条件的所有整数a的值之和是 　 　．
18．（4分）对于任意一个整数n，如果满足n＝a（a+3）（a为正整数），则n为“分离数”，a为n的“分离量”，记，则“分离量”为6的“分离数”为 　 　；若数A的“分离量”为p，数B的“分离量”为q，且满足A﹣B＝110，则所有满足条件的数A，B中，F（A）﹣F（B）的最大值为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）（1）计算：||；
（2）解方程组：．
20．（10分）已知A＝4a2+3ab，B＝2a2+ab﹣2b2．
（1）化简：A﹣3B；
（2）若|a﹣2|+（b+1）2＝0，求A﹣3B的值．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，请你按照下面要求完成尺规作图．
①以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点M，
②再分别以C，M为圆心，大于CM的长为半径画弧，两弧交于点P，
③连接AP并延长交BC于点D．
请你判断以下结论：
①AD是△ABC的一条角平分线；
②连接CM，△ACM是等边三角形；
③S△DAC：S△ABC＝1：4；
④点D在线段AB的垂直平分线上；
⑤∠ADB＝150°．其中正确的结论有　 　（只需要写序号）．
22．（10分）外语文化节是重庆外国语学校的传统校园节目，是多语种展示的平台，也是多元文化交汇的舞台．初2024级组织1800名学生观看该年级的外语文化节节目．某数学兴趣小组进行了“我最喜欢的一类节目（歌曲、舞蹈、乐器、合唱、戏剧，每人只能选择一类节目作为喜欢的节目）”的随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图．本次随机抽样调查中喜欢合唱类的男生与女生的人数之比为11：9，喜欢戏剧类节目的男生人数比女生人数多9人，根据图中信息解答如下问题：
（1）计算扇形统计图中歌曲所对应的圆心角的大小为 　 　度，并补全条形统计图．
（2）本次随机抽样调查的样本容量是 　 　．
（3）请估计初2024级参与观看节目的1800名学生中，最喜欢舞蹈和乐器的总人数大约是多少？
23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是射线CA，射线BC上的动点，且满足AD＝CE．连接DE，过点C作DE的垂线，垂足为F，CF交射线AB于点G．
（1）如图1，当点D，E分别为线段AC，BC中点时，求证：DE＝CG；
（2）如图2，当点D，E分别在线段AC与BC上运动时，用等式表示线段AG与BE的数量关系，并证明；
（3）如图3，已知AC＝2，当点D，E分别在线段CA与BC的延长线上运动时，若DF＝4EF，直接写出此时线段CG的长．
24．（10分）某校组织七年级师生共480人春游，现有25座和45座两种汽车可供租用，已知25座客车的租金为205元一辆，45座客车的租金为370元一辆．
（1）若单独租用一种客车，请你通过计算说明租用哪种汽车更划算；
（2）该校决定这次春游同时租用这两种车辆，若45座客车比25座客车少租3辆，则45座客车最少需租用多少辆？这样的租车方式比单独租用一种车辆合算吗？说明你的理由；
（3）不管怎样租车都不让座位空余，这时你还有更加省钱的方案吗？直接写出你的方案．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE，CD分别是AC，AB上的中线，求证：∠BCD＝∠CBE．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AC的解析式为：y＝﹣x+3，点B在x轴负半轴上，且AB＝5．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点P从点C出发，沿射线CO方向以每秒1个单位的速度运动，点T在AO上，且BT＝CO，连接PT，设点P运动时间为t秒，S△OTP＝S，求S与t之间的函数解析式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点T作AB的垂线，交AC于E，连接BE，过点A作CT的平行线AL，将线段BP绕P点顺时针方向旋转得PQ点Q恰好落在直线AL上，若∠BPQ＝2∠BET，求t值．
2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”，下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（4分）三根木条的长度如图，能组成三角形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角形三边关系．
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可选出答案．
【解答】解：A、2+2＝4＜5，不能构成三角形，故此选项错误；
B、2+2＝4，不能构成三角形，故此选项错误；
C、2+3＝5，不能构成三角形，故此选项错误；
D、2+2＝5＞4，能构成三角形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．（4分）已知，则x的值是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据等式的性质进行计算即可．
【解答】解：将原式两边同时减去（）可得：x＝﹣（），
即x，
故选：C．
【点评】本题考查等式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．（4分）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）
A．120° B．60° C．45° D．30°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据垂直的定义得出∠ACB＝90°，由平行线的性质得到∠ABC＝∠1＝40°，由余角的定义即可得出结论．
【解答】解：如图
∵AC⊥b于点C，
∴∠ACB＝90°，
∵a∥b，
∴∠ABC＝∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
5．（4分）一个面积为40的正方形，它的边长为a，则a的整数部分为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】先求得a的值，再进行估算求解．
【解答】解：由题意得a的值为，
∵67，
∴a的整数部分为6，
故选：A．
【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用平方根知识进行求解．
6．（4分）下列命题：①同位角相等；②无限小数都是无理数；③两个无理数的和是无理数；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中的假命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理．
【专题】常规题型．
【答案】D
【分析】利用平行线的性质、平行公理及无理数的定义分别判断即可得出答案．
【解答】解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误，是假命题；
②无限不循环小数都是无理数，故错误，是假命题；
③两个无理数的和不一定是无理数，故错误，是假命题；
④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，是假命题；
其中的假命题有4个；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、平行公理及无理数的定义．
7．（4分）如图，BC＝EC，AB＝DE，要使△ABC≌△DEC，则可以添加条件（　　）
A．∠BCE＝∠ACD B．∠A＝∠D
C．∠B＝∠E D．以上都不对
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】由全等三角形的判定方法：SAS，即可得到答案．
【解答】解：A、由∠BCE＝∠ACD，可以得到∠BCA＝∠ECD，但不一定能判定△ABC≌△DEC；
B、添加∠A＝∠D，不一定能判定△ABC≌△DEC；
C、因为BC＝EC，AB＝DE，添加条件∠B＝∠E，由SAS，能判定△ABC≌△DEC；
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
8．（4分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把P'（﹣y+1，x+1）叫做点P的幸运点，已知点A1的幸运点为A2，点A2的幸运点为A3，点A3的幸运点为A4， ，这样依次得到A1，A2，A3，A4， ，An．若点A1的坐标为（0，2），则点A2023的坐标是（　　）
A．（0，2） B．（﹣1，1） C．（0，0） D．（1，1）
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据“幸运点”的定义依次求出各点，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点A2023的坐标即可．
【解答】解：∵A1的坐标为（0，2），
∴A2（﹣1，1），A3（0，0），A4（1，1），A5（0，2），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2023÷4＝505……3，
∴点A2023的坐标与A3的坐标相同，为（0，0）．
故选：C．
【点评】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“幸运点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
9．（4分）如图，在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD的角平分线交DE于F，过点F作FC⊥AD于C，点B为AE上一点，连接FB，且FB＝FD，AD＝6，AB＝3，则AC的长为（　　）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】计算题；图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】证明Rt△EFB≌Rt△CFD（HL），得出AE＝AC，BE＝CD，则可求出答案．
【解答】解：∵∠AED＝90°，
∴FE⊥AE，
∵FC⊥AD，AF平分∠EAD，
∴FE＝FC，
在Rt△EFB和Rt△CFD中，
，
∴Rt△EFB≌Rt△CFD（HL），
∴AE＝AC，BE＝CD，
∵AD＝6，AB＝3，
∴AD＝CD+AC＝BE+AC＝AE﹣AB+AC＝6，
∴2AC＝9，
∴AC＝4.5．
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
10．（4分）从方程中得出x与y的关系式为（　　）
A．y＝2x B．y﹣2x＝2 C．y+3＝2x D．y﹣2x＝3
【考点】解二元一次方程组；二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】①×2﹣②得出2x﹣y＝﹣3，再移项，即可得出选项．
【解答】解：，
①×2﹣②，得2x﹣y＝﹣3，
3＝y﹣2x，
即y﹣2x＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）已知A点（﹣2a+6，a）在象限角平分线上，则a的值为　2或6　．
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识；运算能力．
【答案】2或6．
【分析】根据在角平分线上的点的坐标特点：点的横纵坐标相等或互为相反数，即可解答．
【解答】解：∵A点（﹣2a+6，a）在象限角平分线上，
∴﹣2a+6＝a或﹣2a+6+a＝0，
解得a＝2或6．
故答案为：2或6．
【点评】本题考查了各象限角平分线上点的坐标的符号特征，第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标互为相反数．
12．（4分）如图，点A、B、C是正八边形的三个顶点，连接AB、BC，则∠ABC的度数为　45°　．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】45°．
【分析】由多边形的内角和公式即可求出正八边形的每个内角的度数，进而求出∠ABD的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出∠CBD的度数，然后根据角的和差关系解答即可．
【解答】解：如图，
∵正八边形的每个内角的度数为：，
∴∠CBD22.5°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝67.5°﹣22.5°＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角、等腰三角形的性质；熟记正八边形的性质是解决问题的关键．
13．（4分）如图，在△ABC中，BC＝1，AC，DE垂直平分AC，垂足为D，DE交AB于点E，且AE＝BE．则BE的长为　1　．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接CE，由中垂线性质知AE＝CE，据此得∠A＝∠ACE，由AE＝BE知BE＝CE，从而得∠B＝∠BCE，根据三角形内角和定理可得∠ACB＝90°，进一步利用勾股定理可得AB的长，从而得出答案．
【解答】解：如图所示，连接CE，
∵DE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠A＝∠ACE，
∵AE＝BE，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠BCE，
∵∠A+∠B+∠ACE+∠BCE＝180°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，即∠ACB＝90°，
∵BC＝1、AC，
∴AB＝2，
则BEAB＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等及等边对等角的性质．
14．（4分）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，问大、小和尚各有多少人？设大和尚x人，小和尚y人，根据题意可列方程组为　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】．
【分析】由共有大小和尚100人可得出方程x+y＝100，由“大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完100个馒头”可得出方程3xy＝100，联立两方程即可得出结论．
【解答】解：∵共有大小和尚100人，
∴x+y＝100；
∵大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完100个馒头，
∴3xy＝100．
联立两方程成方程组得．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（4分）如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，AE平分∠BAD，且∠AED＝90°，若CD＝2AB，AD＝18，则AB＝　6　．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】6．
【分析】在AD边上截取AF＝AB，连接EF，证明△ABE≌△AFE，得BE＝FE＝CE，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得DF＝DC，进而利用线段的和差即可解决问题．
【解答】解：∵E是边BC的中点，
∴BE＝CE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
如图，在AD边上截取AF＝AB，连接EF，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴BE＝FE，
∴BE＝FE＝CE，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEF+∠DEF＝∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEF＝∠DEC，
在△DEF和△DEC中，
，
∴△DEF≌△DEC（SAS），
∴DF＝DC，
∵CD＝2AB，AD＝18，
∴AD＝DF+AF＝2AB+AB＝3AB＝18，
∴AB＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABE≌△AFE．
16．（4分）如图，D为△ABC内一点，∠ADB＝90°，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，延长AE交BD于点F，BD＝AC，∠ACD＝∠ABD，若S△ABD：S△ACD＝9：7，DE＝1，则线段AB的长是 　9　．
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的面积．
【专题】三角形；图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】9．
【分析】作DG⊥AB于点G，证明△BDG≌△CAE（AAS），进而证明Rt△AED≌Rt△DGA（HL），得出AG＝DE＝1，根据已知条件设AB＝9a，则CD＝7a，根据BG＝CE建立方程，解方程即可求解．
【解答】解：如图所示，作DG⊥AB于点G，
∴∠BGD＝∠AEC＝90°，
在△BDG和△CAE中，
，
∴△BDG≌△CAE（AAS），
∴DG＝AE，BG＝CE，
在Rt△AED，Rt△DGA中，
，
∴Rt△AED≌Rt△DGA（HL），
∴AG＝DE＝1，
∵S△ABD：S△ACD＝9：7，AG＝DE＝1，
∴AB：CD＝9：7，
设AB＝9a，则CD＝7a，
∴BG＝AB﹣AG＝9a﹣1，CE＝CD+ED＝7a+1，
∵BG＝CE，
即9a﹣1＝7a+1，
解得：a＝1，
∴AB＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，与三角形高相关的计算，正确的添加辅助线是解题的关键．
17．（4分）若关于x的方程5（2﹣x）+x＝ax的解为正数，且关于x的不等式组有解，则满足条件的所有整数a的值之和是 　﹣6　．
【考点】一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据不等式组有解，求出a的取值范围，再根据5（2﹣x）+x＝ax的解为正数，求出符合条件的a值，相加即可．
【解答】解：5（2﹣x）+x＝ax，
去括号：10﹣5x+x＝ax，
移项：（a+4）x＝10，
解得：x，
∵关于x的方程5（2﹣x）+x＝ax的解为正数，
∴a+4＞0，
解得a＞﹣4，
，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥a，
∵不等式组有解，
∴a＜1，
∴﹣4＜a＜1，
∴整数为﹣3或﹣2或﹣1或0，其和为﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式组，根据条件得出a的取值范围是解题关键．
18．（4分）对于任意一个整数n，如果满足n＝a（a+3）（a为正整数），则n为“分离数”，a为n的“分离量”，记，则“分离量”为6的“分离数”为 　54　；若数A的“分离量”为p，数B的“分离量”为q，且满足A﹣B＝110，则所有满足条件的数A，B中，F（A）﹣F（B）的最大值为 　　．
【考点】因式分解的应用．
【专题】新定义；转化思想；数感；模型思想；应用意识．
【答案】54，．
【分析】先根据已知条件中的新定义n＝a（a+3）列出算式，求出第一个空的答案，再由新定义得A＝p（p+3），B＝q（q+3），根据A﹣B＝10，列出关于p，q的方程，分解因式，从而求出答案即可．
【解答】解：由已知条件可知：n＝a（a+3）（a为正整数），则n为“分离数”，a为n的“分离量”，
∴分离量”为6的“分离数”n为6×（6+3）＝6×9＝54，
由已知得A＝p（p+3），B＝q（q+3）；
∵A﹣B＝110，
∴p（p+3）﹣q（q+3）＝110；
∴p2+3p﹣q2﹣3q＝110，
∴（p﹣q）（p+q）+3（p﹣q）＝110，
∴（p﹣q）（p+q+3）＝110，
∵p、q均为正整数，
∴p+q+3＞0，
∴p﹣q＞0，
∴p＞q，
∴p+3＞q+3；
F（A）﹣F（B） 0；
∵y是反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小，可将p+3、q+3看作y图象上的两个点的横坐标，
∴F（A）﹣F（B） 要取最大值，p+3与q+3距离越近越好，
∵p﹣q是110的因数，故p﹣q最小为1，此时p+3与q+3距离最近，F（A）﹣F（B） 有最大值；
∵
解得：，
∴F（A）﹣F（B），
∴F（A）﹣F（B） 有最大值为．
故答案为：54，．
【点评】本题考查了因式分解的应用和新定义，解题关键是借助反比例函数的知识解决，体现数学中转化的思想．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）（1）计算：||；
（2）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组；实数的运算．
【专题】实数；二次根式；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的性质，立方根和绝对值的性质求解即可；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1）||
＝3+（﹣2）
；
（2），
①+②，得5x＝5，
解得x＝1，
将x＝1代入①，得3+y＝4，
解得y＝1，
∴原方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，实数的运算，熟练掌握解二元一次方程组的方法和二次根式的性质是解题的关键．
20．（10分）已知A＝4a2+3ab，B＝2a2+ab﹣2b2．
（1）化简：A﹣3B；
（2）若|a﹣2|+（b+1）2＝0，求A﹣3B的值．
【考点】整式的加减—化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）﹣2a2+6b2；（2）﹣2．
【分析】（1）把A与B代入A﹣3B中，去括号合并即可得到结果；
（2）利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵A＝4a2+3ab，B＝2a2+ab﹣2b2，
∴A﹣3B
＝4a2+3ab﹣3（2a2+ab﹣2b2）
＝4a2+3ab﹣6a2﹣3ab+6b2
＝﹣2a2+6b2；
（2）∵|a﹣2|+（b+1）2＝0，|a+2|≥0，（b+1）2≥0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
解得：a＝2，b＝﹣1，
将a＝2，b＝﹣1代入得，
原式＝﹣2×22+6×（﹣1）2
＝﹣2．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，请你按照下面要求完成尺规作图．
①以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点M，
②再分别以C，M为圆心，大于CM的长为半径画弧，两弧交于点P，
③连接AP并延长交BC于点D．
请你判断以下结论：
①AD是△ABC的一条角平分线；
②连接CM，△ACM是等边三角形；
③S△DAC：S△ABC＝1：4；
④点D在线段AB的垂直平分线上；
⑤∠ADB＝150°．其中正确的结论有　①②④　（只需要写序号）．
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；尺规作图；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，即可按照要求完成尺规作图；
①根据作图可得AD是△ABC的一条角平分线；
②连接CM，根据等边三角形的判定即可得△ACM是等边三角形；
③根据AD不是三角形的中线即可判断S△DAC：S△ABC不等于1：4；
④根据作图过程可证△ADM≌△ADC，得DM＝DC，∠AMD＝∠ACD＝90°，再根据30度角所对直角边等于斜边一半，即可得点D在线段AB的垂直平分线上；
⑤根据∠B＝∠BAD＝30°，得ADB＝120°即可判断．
【解答】解：如图所示：
完成的尺规作图．
①由作图过程可知：AD是△ABC的一条角平分线；
所以①正确；
②连接CM，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
°∠BAC＝60°，
AM＝AC，
∴△ACM是等边三角形；
所以②正确；
③∵AD是三角形ABC的角平分线，而不是中线，
∴S△DAC：S△ABC≠1：4；
所以③错误；
④连接DM，
∵AM＝AC，∠MAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ADM≌△ADC（SAS）
∴DM＝DC，∠AMD＝∠ACD＝90°，
∵∠B＝30°，
∴ACAB＝AM，
∴点M是线段AB的中点，DM⊥AB，
∴点D在线段AB的垂直平分线上；
所以④正确；
⑤∵∠B＝∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝120°．
所以⑤错误．
所以正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
22．（10分）外语文化节是重庆外国语学校的传统校园节目，是多语种展示的平台，也是多元文化交汇的舞台．初2024级组织1800名学生观看该年级的外语文化节节目．某数学兴趣小组进行了“我最喜欢的一类节目（歌曲、舞蹈、乐器、合唱、戏剧，每人只能选择一类节目作为喜欢的节目）”的随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图．本次随机抽样调查中喜欢合唱类的男生与女生的人数之比为11：9，喜欢戏剧类节目的男生人数比女生人数多9人，根据图中信息解答如下问题：
（1）计算扇形统计图中歌曲所对应的圆心角的大小为 　63　度，并补全条形统计图．
（2）本次随机抽样调查的样本容量是 　218　．
（3）请估计初2024级参与观看节目的1800名学生中，最喜欢舞蹈和乐器的总人数大约是多少？
【考点】条形统计图；全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）63；
（2）218；
（3）大约是743人．
【分析】（1）用360°乘以样本中最喜欢“歌曲”所占的比即可；求出男生中最喜欢“戏剧”人数，再补全条形统计图；
（2）用男女生人数相加即可；
（3）利用样本估计总体，用总人数1800乘以样本中最喜欢舞蹈和乐器所占的比即可．
【解答】解：（1）扇形统计图中歌曲所对应的圆心角的大小为：360°×17.5%＝63°，
因为喜欢合唱类的男生与女生的人数之比为11：9，所以女生最喜欢“合唱”人数为：2218（人），
所以被调查的女生人数为18÷15.0%＝120（人），
所以喜欢戏剧的女生人数为120×20.0%＝24（人），
因为喜欢戏剧类节目的男生人数比女生人数多9人，
所以男生中最喜欢“戏剧”人数为：24+9＝33（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：63；
（2）本次随机抽样调查的样本容量为：10+5+28+22+33+120＝218，
故答案为：218；
（3）1800
＝1800
≈743（人），
答：最喜欢舞蹈和乐器的总人数大约是743人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的制作方法和统计图中各个数据之间的关系，正确识别统计图是解答问题的前提．
23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是射线CA，射线BC上的动点，且满足AD＝CE．连接DE，过点C作DE的垂线，垂足为F，CF交射线AB于点G．
（1）如图1，当点D，E分别为线段AC，BC中点时，求证：DE＝CG；
（2）如图2，当点D，E分别在线段AC与BC上运动时，用等式表示线段AG与BE的数量关系，并证明；
（3）如图3，已知AC＝2，当点D，E分别在线段CA与BC的延长线上运动时，若DF＝4EF，直接写出此时线段CG的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）证明见解析部分．
（2）CG＝DE，证明见解析部分．
（3）2．
【分析】（1）想办法证明CGAB，DEAB，可得结论．
（2）结论：AGBE．如图2中，过点D作DH⊥AC交AB于H，连接CH．想办法证明CH＝DE，CH＝CG，可得结论．
（3）设EF＝a，则DF＝4a，证明△CFE∽△DFC，可得CF2＝EF DF，推出CF＝2a，推出tan∠D，由此求出EC，CD，DE可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DEAB，DE∥AB，
∵CG⊥DE，
∴CG⊥AB，
∴GA＝GB，
∴CGAB，
∴CG＝DE．
（2）解：结论：AGBE．
理由：如图2中，过点D作DH⊥AC交AB于H，连接CH．
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵AD⊥DH，
∴∠ADH＝90°，
∴∠A＝∠DHA＝45°，
∴DA＝DH，
∵AD＝CE，
∴DH＝CE，
∵CD＝DC，∠CDH＝∠DCE＝90°，
∴△CDH≌△DCE（SAS），
∴∠DCH＝∠CDE，DH＝CE，
∵CG⊥DE，
∴∠CDE+∠DCG＝90°，∠DCG+∠BCG＝90°，
∴∠CDE＝∠BCG＝∠ACH，
∵CA＝CB，∠A＝∠B＝45°，
∴△ACH≌△BCG（ASA），
∴AH＝BG，
∵BG＝AHDHEC，ABBC，
∴AG＝AB﹣BGBCEC（BC﹣EC）BE．
（3）解：如图3中，
∵DF＝4EF，
∴可以假设EF＝a，则DF＝4a，
∵CF⊥DE，∠ECD＝90°，
∴∠E+∠ECF＝90°，∠ECF+∠FCD＝90°，
∴∠E＝∠FCD，
∵∠CFE＝∠DFC＝90°，
∴△CFE∽△DFC，
∴CF2＝EF DF，
∴CF＝2a，
∴tan∠D，
∴，
∴，
∴EC＝2，CD＝4，
∴DE2，
∴CG＝DE＝2．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（10分）某校组织七年级师生共480人春游，现有25座和45座两种汽车可供租用，已知25座客车的租金为205元一辆，45座客车的租金为370元一辆．
（1）若单独租用一种客车，请你通过计算说明租用哪种汽车更划算；
（2）该校决定这次春游同时租用这两种车辆，若45座客车比25座客车少租3辆，则45座客车最少需租用多少辆？这样的租车方式比单独租用一种车辆合算吗？说明你的理由；
（3）不管怎样租车都不让座位空余，这时你还有更加省钱的方案吗？直接写出你的方案．
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）租用45座汽车更划算；
（2）45座客车最少需租用6辆，25座汽车需租用9辆，45座客车最少需租用6辆，此时25座汽车需租用9辆，理由见解析；
（3）租用12辆25座的和4辆45座的汽车．
【分析】（1）分别求出单独租用25座和45座的汽车辆数，再求出费用比较即可；
（2）设45座客车需租用x辆，则25座客车需租用（x+3）辆，由题意：共480人春游，列出一元一次不等式，解不等式，进而求解；
（3）设25座客车需租用m辆，则45座客车需租用n辆，由题意：不管怎样租车都不让座位空余，列出二元一次方程，求出正整数解，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵480÷25＝19余5，
∴需要25座汽车：19+1＝20（辆），
则费用为：20×205＝4100（元）；
∵480÷45＝10余30，
∴需要45座汽车：10+1＝11（辆），
则费用为：11×370＝4070（元）；
∵4070＜4100，
∴租用45座汽车更划算；
（2）45座客车最少需租用6辆，25座汽车需租用9辆，这样的租车方式比单独租用一种车辆合算，理由如下：
设45座客车需租用x辆，则25座客车需租用（x+3）辆，
由题意得：45x+25（x+3）≥480，
解得：x≥5，
则45座客车最少需租用6辆，此时25座汽车需租用9辆，
费用为：6×370+9×205＝4065（元），
∵4065＜4070＜4100，
∴这样的租车方式比单独租用一种车辆合算；
（3）有更加省钱的方案，理由如下：
设25座客车需租用m辆，则45座客车需租用n辆，
由题意得：25m+45n＝480，
整理得：5m+9n＝96，
∵m、n为正整数，
∴或，
当m＝3，n＝9时，费用为：3×205+9×370＝3945（元），
当m＝12，n＝4时，费用为：12×205+4×370＝3940（元），
∵3940＜3945，
∴租用12辆25座的和4辆45座的汽车，正好坐480人，消费3940元，更加省钱．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，找准数量关系，列出一元一次不等式或二元一次方程是解题的关键．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE，CD分别是AC，AB上的中线，求证：∠BCD＝∠CBE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】由等腰三角形的性质证出∠ACB＝∠ABC，CE＝BD，证明△DBC≌△ECB（SAS），由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：∵BE，CD分别是AC，AB上的中线，
∴CE，BD，
又∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，CE＝BD，
∵BC＝CB，
∴△DBC≌△ECB（SAS），
∴∠BCD＝∠CBE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明△DBC≌△ECB是解题的关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AC的解析式为：y＝﹣x+3，点B在x轴负半轴上，且AB＝5．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点P从点C出发，沿射线CO方向以每秒1个单位的速度运动，点T在AO上，且BT＝CO，连接PT，设点P运动时间为t秒，S△OTP＝S，求S与t之间的函数解析式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点T作AB的垂线，交AC于E，连接BE，过点A作CT的平行线AL，将线段BP绕P点顺时针方向旋转得PQ点Q恰好落在直线AL上，若∠BPQ＝2∠BET，求t值．
【考点】一次函数综合题．
【专题】分类讨论；待定系数法；一次函数及其应用；平移、旋转与对称；图形的相似；应用意识．
【答案】（1）直线BC解析式为yx+3；
（2）S；
（3）t的值为或．
【分析】（1）由y＝﹣x+3得A（3，0），C（0，3），又AB＝5，B在x轴负半轴上，可得B（﹣2，0），设直线BC解析式为y＝kx+b，用待定系数法即得直线BC解析式为yx+3；
（2）由BT＝CO，B（﹣2，0），得T（1，0），OT＝1，分两种情况：当t＜3时，SOT OP1×（3﹣t）t，当t＞3时，SOP OTt；
（3）先求出E（1，2），直线CT解析式为y＝﹣3x+3，AL解析式为y＝﹣3x+9，设Q（m，﹣3m+9），取BQ中点M，过M作MN⊥x轴于N，过P作PH⊥MN于H，
分两种情况：当P在x轴上方时，由BP＝PQ，M是BQ中点，∠BPQ＝2∠BET，可得∠BPM＝∠BET，从而△BMP∽△BTE，，又△PMH∽△MBN，可得，即，可解得M（，），即可得CP＝OC﹣OP＝3，t＝CP÷1；当P在x轴下方时，同理可得CP＝OC+OP，t＝CP÷1．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），C（0，3），
∴OA＝3，OC＝3，
∵AB＝5，
∴OB＝2，
∵B在x轴负半轴上，
∴B（﹣2，0），
设直线BC解析式为y＝kx+b，
将B（﹣2，0），C（0，3）代入得：
，
解得，
∴直线BC解析式为yx+3；
（2）∵OC＝3，点T在AO上，且BT＝CO，B（﹣2，0），
∴T（1，0），OT＝1，
∵点P从点C出发，沿射线CO方向以每秒1个单位的速度运动，点P运动时间为t秒，
∴CP＝t，
当t＜3时，如图：
∴OP＝OC﹣CP＝3﹣t，
∴SOT OP1×（3﹣t）t，
当t＞3时，如图：
同理可得SOP OTt，
∴S；
（3）由（2）知T（1，0），
在y＝﹣x+3中令x＝1得y＝2，
∴E（1，2），
∵B（﹣2，0），
∴ET＝2，BT＝3，
由C（0，3），T（1，0）可得直线CT解析式为y＝﹣3x+3，
由AL∥CT，A（3，0）可得AL解析式为y＝﹣3x+9，
设Q（m，﹣3m+9），取BQ中点M，
∵B（﹣2，0），
∴M（，），
过M作MN⊥x轴于N，过P作PH⊥MN于H，
当P在x轴上方时，如图：
∵将线段BP绕P点顺时针方向旋转得PQ，
∴BP＝PQ，
∵M是BQ中点，
∴∠BPQ＝2∠BPM，∠BMP＝90°，
∵∠BPQ＝2∠BET，
∴∠BPM＝∠BET，
∵∠BMP＝∠BTE＝90°，
∴△BMP∽△BTE，
∴，
∵∠PMH＝90°﹣∠BMN＝∠MBN，∠PHM＝∠MNB＝90°，
∴△PMH∽△MBN，
∴，
∴，
解得m，
∴M（，），
∴BN＝OB+ON，
而，
∴MH，
∴NH＝MH+MNOP，
∴CP＝OC﹣OP＝3，
∴t＝CP÷1；
当P在x轴下方时，如图：
同理可得，
∴，
解得m＝4，
∴M'（1，），
∴BN'＝OB+ON'＝3，M'H'＝2，
∴OP＝N'H'＝M'N'+M'H'2，
∴CP＝OC+OP，
∴t＝CP÷1，
综上所述，t的值为或．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，旋转变换，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是分类画出图形，添加适当的辅助线．
考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
3．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
6．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
7．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
8．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
9．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
10．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
11．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
12．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
13．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
14．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
15．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
16．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
17．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
18．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
19．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
20．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
21．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
22．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
23．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
24．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
25．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
26．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
27．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
28．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
29．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
30．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
31．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
32．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
33．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
34．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
35．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
36．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
37．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
38．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
39．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
40．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
41．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．