2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 587.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:25:34 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷2
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．在下列苏州园林的窗户简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6 B．a8÷a2＝a4
C．a3 a4＝a7 D．5a+2b＝7ab
4．（3分）下列事件中是随机事件的是（ ）
A．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
B．明天是晴天
C．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
D．14人中至少有2人是同月出生
5．（3分）如图，嘉淇利用全等三角形的知识测量池塘两端A，B之间的距离，如果△AOB≌△COD，则只需测出（ ）
A．OD的长度 B．CD的长度 C．AB的长度 D．AC的长度
6．（3分）如图，已知∠AFE＝∠ABC，DG∥BE，∠DGB＝130°，则∠FEB的度数是（ ）
A．130° B．50° C．60° D．40°
7．（3分）如图是某一天大连的气温随时间变化的图象．下列说法正确的是（ ）
A．这一天最低气温是﹣4℃
B．这一天最高气温比最低气温高8℃
C．0时至14时气温呈上升状态
D．14时至24时气温呈下降状态
8．（3分）已知a为整数，且a，则整数a有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．3π B．4π C．6π D．9π
10．（3分）如图图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△…按此规律，则第9个图形中△的个数为（ ）
A．108 B．128 C．144 D．162
11．（3分）一个多边形的每个外角都等于60°，则此多边形是（ ）
A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
12．（3分）一般地，如果xn＝a（n为正整数，且n＞1），那么x叫作a的n次方根．例如：∵24＝16（﹣2）4＝16，∴16的四次方根是±2，则下列结论：
①3是81的四次方根；
②任何实数都有唯一的奇次方根；
③若S＝（2+1）（22+1）（22+1）（24+1）…（2k+1），则S的三次方根是2；
④当时，整数a的二次方根有4052个．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
13．（3分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为 ．
14．（3分）如图，把一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在D区域的概率是 ．
15．（3分）若x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m＝ ．
16．（3分）将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，若∠1＝110°，则∠2的度数是 °．
17．（3分）已知a，b是常数，若化简（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）的结果不含x的二次项，则2b﹣4a＝ ．
18．（3分）已知等腰△ABC的两边长分别为3和5，则等腰△ABC的周长为 ．
19．（3分）若abc＝﹣27，且a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，则3a﹣2b+c＝ ．
20．（3分）如图，CD，BE是△ABC的中线，它们相交于点O．若△ABC的面积是12，则图中阴影部分的面积为 ．
21．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC＝BF，∠DAC＝25°，∠EBC＝30°，∠C＝ ．
22．（3分）若一个各个数位上的数字均不为0的四位数满足千位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字与个位上的数字之差的k倍（k为整数），则称该四位数为“k型数”．例如，对于四位数4675．∵4+6＝5×（7﹣5）．所以4675为“5型数”．若四位数是“﹣2型数”，则x＝ ；若四位数A是“3型数”，A﹣3是“﹣3型数”，将A的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数B，B也是“3型数”，则满足条件的四位数A的最大值为 ．
三．解答题（共7小题，满分84分）
23．（20分）计算：
（1）（2023﹣π）0+22+|﹣2|．
（2）（xy2）2 x2y÷（x3y4）．
24．（10分）先化简，再求值．
[（2a+b）（2a﹣b）﹣（a﹣b）2﹣3a（a﹣2b）]b，其中b2+2b+1＝0．
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CD＞BC，求作一点P，使得点P到C、D两点距离相等且满足S△ADP＝S△ABP（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
26．（10分）为了落实“双减政策”，教育局随机调查了某校七年级部分学生每天完成作业所用的时间，并按完成作业所用时间x（分钟）的范围分为四个等级：A（20＜x≤40），B（40＜x≤60），C（60＜x≤80），D（80＜x≤100）．根据调查得到的数据绘制了如图所示不完整的统计图．根据图表信息，回答下列问题：
（1）本次调查的七年级学生共有多少人？
（2）补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，m＝ ，n＝ ；
（4）根据有关规定，经过科学分析认为，初中生每天完成作业所用时间超过60分钟，且不超过90分钟最合适．已知调查的学生中，D（80＜x≤100）这组的学生完成作业的时间（分钟）分别为82，89，95，85，90，86，87，92，98，88．如果该校七年级学生总数为900人，请估计该校七年级学生中有多少人每天完成作业所用的时间最合适？
27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝30°，点D在边BC上运动（D不与B、C重合），连结AD作∠ADE＝30°，DE交边AC于点E．
（1）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（2）在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，请直接写出∠ADB的度数．
28．（12分）如图①，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝4cm，E是一个动点，从点B向终点C运动，其速度与时间的变化关系如图②所示，已知 BC＝6cm．
（1）在点E的运动过程中，求三角形ABE的面积y（cm2）与运动时间x（s） 之间的关系式；
（2）当点E运动停止后，求三角形ABE的面积．
29．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、C在y轴上，且点B与点C关于x轴对称，点D在线段AB上，点E为该坐标平面内一点．
（1）已知BD＝CE．
①如图1，若点E在线段AC上，求证：CD＝BE；
②如图2，若点E在线段BC上，且∠DEA＝∠ABC，求证：∠ACO＝2∠OAE．
（2）如图3，已知BD＝AE，点E在线段CA的延长线上，F为CD中点，且∠OAB＝30°，求证：BF⊥EF．
2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答．
【解答】解：在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数1.010010001…，π，共2个．、
∴排除A、C、D，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键．
2．（3分）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．在下列苏州园林的窗户简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6 B．a8÷a2＝a4
C．a3 a4＝a7 D．5a+2b＝7ab
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（2a2）3＝8a6，故A不符合题意；
B、a8÷a2＝a6，故B不符合题意；
C、a3 a4＝a7，故C符合题意；
D、5a与2b不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（3分）下列事件中是随机事件的是（ ）
A．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
B．明天是晴天
C．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
D．14人中至少有2人是同月出生
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据随机事件的概念直接判断即可．
【解答】解：A．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，不符合题意；
B．明天是晴天，是随机事件，符合题意；
C．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，是不可能事件，不符合题意；
D．14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
5．（3分）如图，嘉淇利用全等三角形的知识测量池塘两端A，B之间的距离，如果△AOB≌△COD，则只需测出（ ）
A．OD的长度 B．CD的长度 C．AB的长度 D．AC的长度
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△AOB≌△COD，
∴AB＝CD，
故只需测出CD的长度，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，已知∠AFE＝∠ABC，DG∥BE，∠DGB＝130°，则∠FEB的度数是（ ）
A．130° B．50° C．60° D．40°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由DG∥BE可得，∠DGB+∠EBG＝180°，则∠EBG＝50°；又由∠AFE＝∠ABC，可得EF∥BC，即可得出∠FEB＝∠EBG＝50°．
【解答】解：∵DG∥BE，
∴∠DGB+∠EBG＝180°，
∵∠DGB＝130°，
∴∠EBG＝50°，
∵∠AFE＝∠ABC，
∴EF∥BC，
∴∠FEB＝∠EBG＝50°，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，由已知条件结合相关定理得出角之间的关系是解题关键．
7．（3分）如图是某一天大连的气温随时间变化的图象．下列说法正确的是（ ）
A．这一天最低气温是﹣4℃
B．这一天最高气温比最低气温高8℃
C．0时至14时气温呈上升状态
D．14时至24时气温呈下降状态
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】D
【分析】根据函数的图象的横坐标表示时间，纵坐标表示气温，可得气温的相应时间，可得答案．
【解答】解：由函数图象得：
A．这一天最低气温是﹣3℃，故本选项不合题意；
B．这一天最高气温比最低气温高：8﹣（﹣3）＝11（℃），故本选项不合题意；
C．0时至4时气温呈下降状态，4时至14时气温T（℃）随时间t（时）的增大而增大，故本选项不合题意；
D．14时至24时气温呈下降状态，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的横坐标得出时间；观察函数图象的纵坐标得出气温，利用数形结合的思想方法是解答本题的关键．
8．（3分）已知a为整数，且a，则整数a有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】直接利用在与之间的整数是2和3求解即可．
【解答】解：∵12＜3，a为整数，a，
∴a为2或3，
故选：B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，正确得出无理数接近的有理数是解题的关键．
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．3π B．4π C．6π D．9π
【考点】三角形的外接圆与外心；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】计算题；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由等腰三角形的性质得出BD＝CD，AD⊥BC，则点O是△ABC外接圆的圆心，则由圆的面积公式πr2可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA＝3，
∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质．
10．（3分）如图图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△…按此规律，则第9个图形中△的个数为（ ）
A．108 B．128 C．144 D．162
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】D
【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．
【解答】解：第①个图形一共有2×1＝2（个）△，
第②个图形一共有：2×（1+3）＝8（个）△，
第③个图形一共有2×（1+3+5）＝18（个）△，
…
第9个图形一共有：2×（1+3+5+7+9+11+13+15+17）＝162（个）△，
故选：D．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，得出规律，解决问题．
11．（3分）一个多边形的每个外角都等于60°，则此多边形是（ ）
A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据多边形的外角和性质即可解答．
【解答】解：∵多边形的外角和是360°，
∴360°÷60°＝6，
故这个多边形是六边形．
故选：D．
【点评】本题考查多边形的外角和，掌握多边形外角和性质是解题的关键．
12．（3分）一般地，如果xn＝a（n为正整数，且n＞1），那么x叫作a的n次方根．例如：∵24＝16（﹣2）4＝16，∴16的四次方根是±2，则下列结论：
①3是81的四次方根；
②任何实数都有唯一的奇次方根；
③若S＝（2+1）（22+1）（22+1）（24+1）…（2k+1），则S的三次方根是2；
④当时，整数a的二次方根有4052个．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平方差公式；算术平方根；立方根；分数指数幂；完全平方公式．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】B
【分析】根据a的n次方根的定义逐一进行分析判断即可．
【解答】解：①∵34＝81，
∴3是81的四次方根，①正确；
②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确；
③S＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2k+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2k+1）
＝（22k﹣1），
则S的三次方根是；③错误；
④由已知得：|2023+a|+|a﹣2025|＝4048，
即数轴上数a到数﹣2023和数2025的距离和为4048，
又由2025﹣（﹣2023）＝4048，
故整数a＝﹣2023，﹣2022， ，﹣1，0，1， ，2025；
则整数a的二次方根有0，1，﹣1，， ，，共4051个，④不正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查学生对a的n次方根的定义的阅读理解能力，平方差公式与绝对值的几何意义是难点．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
13．（3分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为 1.76×108 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】1.76×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：176000000＝1.76×108．
故答案为：1.76×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）如图，把一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在D区域的概率是 ．
【考点】几何概率．
【专题】概率及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】．
【分析】直接利用D区域所占比例与总面积的比值进而求出答案．
【解答】解：由题意可得：指针落在D区域的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用，注意面积之比＝几何概率．
15．（3分）若x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m＝ 7或﹣5 ．
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】7或﹣5．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，（x±3）2＝x2±6x+9，
∴m﹣1＝±6，
解得：m＝7或m＝﹣5．
故答案为：7或﹣5．
【点评】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
16．（3分）将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，若∠1＝110°，则∠2的度数是 125 °．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】125．
【分析】根据平行线的性质得到∠1＝∠3，由折叠的性质可得∠3＝∠4，进而得出∠2＝180°﹣∠4．
【解答】解：如图：
由矩形的对边平行，可得∠1＝∠3＝110°，
由折叠的性质可得∠3＝∠4＝55°，
由矩形的对边平行，
∴∠2＝180°﹣∠4，
∴∠2＝125°．
故答案为：125．
【点评】本题考查了平行线性质以及轴对称的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
17．（3分）已知a，b是常数，若化简（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）的结果不含x的二次项，则2b﹣4a＝ 0 ．
【考点】多项式乘多项式；合并同类项．
【专题】整式；运算能力．
【答案】0．
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可．
【解答】解：（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）
＝﹣2x3﹣bx2+3x+2ax2+abx﹣3a
＝﹣2x3+（﹣b+2a）x2+（3+ab）x﹣3a，
∵结果不含x的二次项，
∴﹣b+2a＝0，
∴2b﹣4a
＝﹣2（﹣b+2a）
＝﹣2×0
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（3分）已知等腰△ABC的两边长分别为3和5，则等腰△ABC的周长为 11或13 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】11或13．
【分析】因为等腰三角形的两边分别为3和5，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：当3为底时，三角形的三边为3，5，5，可以构成三角形，周长为：3+5+5＝13；
当5为底时，三角形的三边为3，3，5，可以构成三角形，周长为：3+3+5＝11．
故答案为：11或13．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
19．（3分）若abc＝﹣27，且a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，则3a﹣2b+c＝ ﹣6 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣6．
【分析】由a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0可得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，从而求得a＝b＝c，由abc＝﹣27可求得a＝b＝c＝﹣3，从而可求得此题的结果．
【解答】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，
∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）
＝（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）
＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2
＝0，
∴a﹣b＝b﹣c＝c﹣a＝0
∴a＝b＝c，
∴abc＝a3＝﹣27，
解得a＝﹣3，
即a＝b＝c＝﹣3，
∴3a﹣2b+c＝3×（﹣3）﹣2×（﹣3）+（﹣3）＝﹣9+6﹣3＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】此题考查了完全平方公式的综合运用能力，关键是能根据题意把条件转换成完全平方公式的形式．
20．（3分）如图，CD，BE是△ABC的中线，它们相交于点O．若△ABC的面积是12，则图中阴影部分的面积为 4 ．
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【答案】4．
【分析】根据三角形的中线将三角形的面积平分可以得到△BDC和△ADC面积相等，△AEB和△CEB面积相等，再根据图形间的面积关系得到四边形ADOE和△BOC的面积相等，△BOD和△COE的面积相等，从而求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接AO，
∵CD是△ABC的中线，
∴，S△AOD＝S△BOD，
∵BE是△ABC的中线，
∴，S△AOE＝S△COE，
∵S△BOD＝S△BDC﹣S△BOC＝6﹣S△BOC，S△COE＝S△CEB﹣S△BOC＝6﹣S△BOC，
∴S△BOD＝S△COE，
∵S四边形ADOE＝S△AEB﹣S△BOD＝6﹣S△BOD，S△BOC＝S△BDC﹣S△BOD＝6﹣S△BOD，
∴S四边形ADOE＝S△BOC，
∴S阴影＝S△BOD+S△COE
＝S△AOD+S△AOE
＝S四边形ADOE，
∴，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形的面积计算方法，三角形中线的意义，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形的性质是解题的关键．
21．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC＝BF，∠DAC＝25°，∠EBC＝30°，∠C＝ 100° ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝25°，∠C＝∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，如图所示：
在△BDM和△CDA中，
，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝25°，∠C＝∠DBM，
∵BF＝AC，
∴BF＝BM，
∴∠M＝∠BFM＝25°，
∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝130°，
∵∠EBC＝30°，
∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，
∴∠C＝∠DBM＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（3分）若一个各个数位上的数字均不为0的四位数满足千位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字与个位上的数字之差的k倍（k为整数），则称该四位数为“k型数”．例如，对于四位数4675．∵4+6＝5×（7﹣5）．所以4675为“5型数”．若四位数是“﹣2型数”，则x＝ 3 ；若四位数A是“3型数”，A﹣3是“﹣3型数”，将A的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数B，B也是“3型数”，则满足条件的四位数A的最大值为 7551 ．
【考点】一元一次方程的应用；整式的加减．
【专题】新定义；一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】3，7551．
【分析】由新定义列方程可解得x的值，设A，根据A是“3型数”，B也是“3型数”，有a+b＝3（c﹣d）且a+c＝3（b﹣d），可得b＝c，设A，由A﹣3是“﹣3型数”，分两种情况：（Ⅰ）d≥3时，A﹣3，可得2d﹣2y＝3，无整数解，此种情况不存在；（Ⅱ）d＜3时，a+y＝﹣3[（y﹣1）﹣（d+7）]，即a+4y﹣3d＝24①，又a+y＝3（y﹣d），即a﹣2y+3d＝0②，可得a+d＝8，即可得到答案．
【解答】解：∵四位数是“﹣2型数”，
∴2+6＝﹣2（x﹣7），
解得x＝3；
设A，
∵A是“3型数”，将A的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数B，B也是“3型数”，
∴a+b＝3（c﹣d）且a+c＝3（b﹣d），
将两式相减整理得：b＝c，
∴A的十位与百位数字相同，设A，
由A﹣3是“﹣3型数”，分两种情况：
（Ⅰ）d≥3时，A﹣3，
∵四位数A是“3型数”，
∴a+y＝3（y﹣d），
∵A﹣3是“﹣3型数”，
∴a+y＝﹣3[y﹣（d﹣3）]，
∴3（y﹣d）＝﹣3[y﹣（d﹣3）]，
整理化简得：2d﹣2y＝3，
∵y、d是整数，2y、2d是偶数，而3是奇数，
∴2d﹣2y＝3无整数解，此种情况不存在；
（Ⅱ）d＜3时，
A﹣3，
∵A﹣3是“﹣3型数”，
∴a+y＝﹣3[（y﹣1）﹣（d+7）]，即a+4y﹣3d＝24①，
∵A是“3型数”，
∴a+y＝3（y﹣d），即a﹣2y+3d＝0②，
①+②化简得a+y＝12，
①+②×2化简得a+d＝8，
∴当d＝1时，a＝7，y＝5，此时A＝7551，
当d＝2时，a＝6，y＝6，此时A＝6662．
综上所述，满足条件的四位数A的最大值为7551．
故答案为：3，7551．
【点评】本题考查一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是分类讨论思想的应用．
三．解答题（共7小题，满分84分）
23．（20分）计算：
（1）（2023﹣π）0+22+|﹣2|．
（2）（xy2）2 x2y÷（x3y4）．
【考点】整式的混合运算；零指数幂；实数的运算．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）7；
（2）xy．
【分析】（1）先算乘方，去绝对值，再算加法；
（2）先算积的乘方和幂的乘方，再从左到右依次计算．
【解答】解：（1）原式＝1+4+2
＝7；
（2）原式＝x2y4 x2y÷（x3y4）
＝x4y5÷（x3y4）
＝xy．
【点评】本题考查整式的混合运算和实数的混合运算，解题的关键是掌握整式，实数相关的运算法则．
24．（10分）先化简，再求值．
[（2a+b）（2a﹣b）﹣（a﹣b）2﹣3a（a﹣2b）]b，其中b2+2b+1＝0．
【考点】整式的混合运算—化简求值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】16a﹣4b；8．
【分析】先利用平方差、完全平方公式及单项式乘多项式、合并同类项法则计算括号里面，再做除法，把利用非负数的和求得的a、b的值代入化简后的整式，计算求值．
【解答】解：原式＝[4a2﹣b2﹣（a2﹣2ab+b2）﹣3a2+6ab]b
＝（4a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2﹣3a2+6ab）b
＝（8ab﹣2b2）b
＝16a﹣4b．
∵b2+2b+1＝0，
即（b+1）2＝0，
∴a，b＝﹣1．
当a，b＝﹣1时，
原式＝164×（﹣1）
＝4+4
＝8．
【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的运算法则和运算顺序，并能根据非负数的和求出a、b的值，是解决本题的关键．
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CD＞BC，求作一点P，使得点P到C、D两点距离相等且满足S△ADP＝S△ABP（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【考点】作图—基本作图；三角形的面积；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；尺规作图；应用意识．
【答案】作图见解析．
【分析】作∠BAD的平分线与线段CD的垂直平分线交于P，则P点到AB和AD的距离相等，而AB＝AD，于是根据三角形面积公式，可判断S△ADP＝S△ABP．
【解答】解：如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26．（10分）为了落实“双减政策”，教育局随机调查了某校七年级部分学生每天完成作业所用的时间，并按完成作业所用时间x（分钟）的范围分为四个等级：A（20＜x≤40），B（40＜x≤60），C（60＜x≤80），D（80＜x≤100）．根据调查得到的数据绘制了如图所示不完整的统计图．根据图表信息，回答下列问题：
（1）本次调查的七年级学生共有多少人？
（2）补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，m＝ 34 ，n＝ 72 ；
（4）根据有关规定，经过科学分析认为，初中生每天完成作业所用时间超过60分钟，且不超过90分钟最合适．已知调查的学生中，D（80＜x≤100）这组的学生完成作业的时间（分钟）分别为82，89，95，85，90，86，87，92，98，88．如果该校七年级学生总数为900人，请估计该校七年级学生中有多少人每天完成作业所用的时间最合适？
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）50人；
（2）见解答；
（3）34，72；
（4）432人．
【分析】（1）用A组频数除以A组所占的百分比即可求出本次调查的七年级学生共有多少人；
（2）根据B组的比例求出B组的人数，将本次调查的总人数减去A组，B组，D组的人数即可求出C组的人数，补全频数分布直方图即可；
（3）将C组人数除以调查总人数化成百分数，即可确定m的值；将D组人数除以调查总人数乘以360°，即可确定n的值；
（4）将样本中每天完成作业所用时间超过60分钟，且不超过90分钟的人数除以60，再乘以900即可估计该校七年级学生中有多少人每天完成作业所用的时间最合适．
【解答】解：（1）∵8÷16%＝50（人），
∴本次调查的七年级学生共有50人；
（2）B组人数为：50×30%＝15（人），
C组人数为：50﹣（8+15+10）＝17（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）∵m%34%，
∴m＝34，
∵，
∴n＝72，
故答案为：34，72；
（4）∵样本中初中生每天完成作业所用时间超过60分钟，且不超过90分钟的人数为：17+7＝24（人），
∴估计该校七年级学生中有每天完成作业所用的时间最合适的人数约为：432（人），
答：估计该校七年级学生中有432人每天完成作业所用的时间最合适．
【点评】本题考查扇形统计图，频数分布直方图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝30°，点D在边BC上运动（D不与B、C重合），连结AD作∠ADE＝30°，DE交边AC于点E．
（1）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（2）在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，请直接写出∠ADB的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）4，见解析；
（2）105°或60°．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可知∠EDC＝∠BAD，再根据全等三角形的判定即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质分①当AD＝DE时②当DE＝AE时两种情况再等腰三角形性质及三角形的内角和定理即可解答．
【解答】解：（1）当DC＝AB＝4时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，
∵∠ADE＝∠B＝30°，
∴∠EDC＝∠BAD，
∵DC＝AB＝4，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；
（2）解：①如图，当AD＝DE时，
∠ADE＝30°，
在△ADE中，，
∴∠DEC＝180°﹣∠DEA＝180°﹣75°＝105°，
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°，
在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝45°，
∵∠ADE＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠CDE﹣∠ADE＝105°；
②当DE＝AE时，
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°，
∵∠ADE＝30°，
∴∠ADE＝∠EAD＝30°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝120°，
∴∠DEC＝60°，
∴∠EDC＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝90°，
∴∠ADB＝180°﹣∠EDC﹣∠ADE＝60°，
综上，∠ADB的度数为105°或60°；
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角的性质，三角形的内角和，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
28．（12分）如图①，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝4cm，E是一个动点，从点B向终点C运动，其速度与时间的变化关系如图②所示，已知 BC＝6cm．
（1）在点E的运动过程中，求三角形ABE的面积y（cm2）与运动时间x（s） 之间的关系式；
（2）当点E运动停止后，求三角形ABE的面积．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数的综合应用；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】（1）y＝6x；
（2）12cm2．
【分析】（1）由图②可得E的运动速度是3cm/s，从而可以求解；
（2）由图②得：E的运动了2s停止了运动，由（1）即可求解．
【解答】解：（1）由图②得E的运动速度是3cm/s，
∴BE＝3x，
yBE AD3x×4＝6x，
∴y＝6x；
（2）由图②得：E的运动了2s停止了运动，
∴当x＝2时，y＝2×6＝12，
∴此时△ABE的面积为12cm2．
【点评】本题考查了动点产生的函数问题，根据题意列出关系式是解题的关键．
29．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、C在y轴上，且点B与点C关于x轴对称，点D在线段AB上，点E为该坐标平面内一点．
（1）已知BD＝CE．
①如图1，若点E在线段AC上，求证：CD＝BE；
②如图2，若点E在线段BC上，且∠DEA＝∠ABC，求证：∠ACO＝2∠OAE．
（2）如图3，已知BD＝AE，点E在线段CA的延长线上，F为CD中点，且∠OAB＝30°，求证：BF⊥EF．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）①证明过程请看解答；
②证明过程请看解答；
（2）证明过程请看解答．
【分析】（1）①由对称的性质易证∠CBD＝∠BCE，由SAS证得△CBD≌△BCE，即可得出结论；
②先证∠DEB＝∠CAE，由AAS证得△BED≌△CAE，得出BE＝AC＝AB，则∠BEA＝∠BAE，由对称的性质易证∠BAO＝∠CAO，则∠BAE＝2∠OAE+∠EAC，由∠DEB＝∠CAE，推出∠DEA＝2∠OAE，由∠DEA＝∠ABC＝∠ACO，即可得出结论；
（2）延长BF到点G，使BF＝FG，连接CG、EG、BE，先证△ABC是等边三角形，得CB＝AB，∠BCA＝60°，由SAS证得△BDF≌△GCF，得出CG＝BD＝AE，∠CGF＝∠DBF，则BD∥CG，得出∠GCA＝∠BAC＝60°，证明∠BCG＝∠BAE，由SAS证得△BCG≌△BAE，得∠CBG＝∠ABE，BG＝BE，再证明△GBE是等边三角形，即可得出结论．
【解答】证明：（1）①∵点B和点C关于x轴对称，
∴AB＝AC，
∴∠CBD＝∠BCE，
在△CBD和△BCE中，，
∴△CBD≌△BCE（SAS），
∴CD＝BE；
②∵∠DEA+∠DEB＝∠ACB+∠CAE，∠DEA＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠DEB＝∠CAE，
在△BED和△CAE中，，
∴△BED≌△CAE（AAS），
∴BE＝AC＝AB，
∴∠BEA＝∠BAE，
∵点B和点C关于x轴对称，
∴AB＝AC，OB＝OC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∴∠BAE＝2∠CAO﹣∠EAC＝2∠OAE+∠EAC，
∵∠DEB＝∠CAE，
∴∠DEA＝2∠OAE，
∵∠DEA＝∠ABC＝∠ACO，
∴∠ACO＝2∠OAE；
（2）延长BF到点G，使BF＝FG，连接CG、EG、BE，如图3所示：
∵点B和点C关于x轴对称，
∴AB＝AC，OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OAC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CB＝AB，∠BCA＝60°，
∵F为DC中点，
∴DF＝CF，
在△BDF和△GCF中，，
∴△BDF≌△GCF（SAS），
∴CG＝BD＝AE，∠CGF＝∠DBF，
∴BD∥CG，
∴∠GCA＝∠BAC＝60°，
∴∠BCG＝∠BCA+∠GCA＝60°+60°＝120°，
∵∠BAE＝180°﹣∠OAB﹣∠EAx＝180°﹣∠OAB﹣∠OAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠BCG＝∠BAE，
在△BCG和△BAE中，，
∴△BCG≌△BAE（SAS），
∴∠CBG＝∠ABE，BG＝BE，
∵∠CBG+∠GBA＝60°，
∴∠ABE+∠GBA＝60°，即∠GBE＝60°，
∴△GBE是等边三角形，
∵F是BG的中点，
∴EF⊥BG，
∴BF⊥EF．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质、对称的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握对称的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
5．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
6．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
7．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
8．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
9．分数指数幂
分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点．
10．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
11．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
12．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
13．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
14．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
15．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
16．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
17．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
18．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
19．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
20．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
21．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
22．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
23．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
24．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
25．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
26．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
27．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
28．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
29．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
30．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
31．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
32．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
33．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
34．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
35．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
36．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
37．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
38．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
39．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
40．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
41．几何变换综合题
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．
42．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
43．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
44．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
45．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
46．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷2
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．在下列苏州园林的窗户简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6 B．a8÷a2＝a4
C．a3 a4＝a7 D．5a+2b＝7ab
4．（3分）下列事件中是随机事件的是（ ）
A．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
B．明天是晴天
C．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
D．14人中至少有2人是同月出生
5．（3分）如图，嘉淇利用全等三角形的知识测量池塘两端A，B之间的距离，如果△AOB≌△COD，则只需测出（ ）
A．OD的长度 B．CD的长度 C．AB的长度 D．AC的长度
6．（3分）如图，已知∠AFE＝∠ABC，DG∥BE，∠DGB＝130°，则∠FEB的度数是（ ）
A．130° B．50° C．60° D．40°
7．（3分）如图是某一天大连的气温随时间变化的图象．下列说法正确的是（ ）
A．这一天最低气温是﹣4℃
B．这一天最高气温比最低气温高8℃
C．0时至14时气温呈上升状态
D．14时至24时气温呈下降状态
8．（3分）已知a为整数，且a，则整数a有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．3π B．4π C．6π D．9π
10．（3分）如图图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△…按此规律，则第9个图形中△的个数为（ ）
A．108 B．128 C．144 D．162
11．（3分）一个多边形的每个外角都等于60°，则此多边形是（ ）
A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
12．（3分）一般地，如果xn＝a（n为正整数，且n＞1），那么x叫作a的n次方根．例如：∵24＝16（﹣2）4＝16，∴16的四次方根是±2，则下列结论：
①3是81的四次方根；
②任何实数都有唯一的奇次方根；
③若S＝（2+1）（22+1）（22+1）（24+1）…（2k+1），则S的三次方根是2；
④当时，整数a的二次方根有4052个．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
13．（3分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为 ．
14．（3分）如图，把一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在D区域的概率是 ．
15．（3分）若x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m＝ ．
16．（3分）将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，若∠1＝110°，则∠2的度数是 °．
17．（3分）已知a，b是常数，若化简（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）的结果不含x的二次项，则2b﹣4a＝ ．
18．（3分）已知等腰△ABC的两边长分别为3和5，则等腰△ABC的周长为 ．
19．（3分）若abc＝﹣27，且a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，则3a﹣2b+c＝ ．
20．（3分）如图，CD，BE是△ABC的中线，它们相交于点O．若△ABC的面积是12，则图中阴影部分的面积为 ．
21．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC＝BF，∠DAC＝25°，∠EBC＝30°，∠C＝ ．
22．（3分）若一个各个数位上的数字均不为0的四位数满足千位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字与个位上的数字之差的k倍（k为整数），则称该四位数为“k型数”．例如，对于四位数4675．∵4+6＝5×（7﹣5）．所以4675为“5型数”．若四位数是“﹣2型数”，则x＝ ；若四位数A是“3型数”，A﹣3是“﹣3型数”，将A的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数B，B也是“3型数”，则满足条件的四位数A的最大值为 ．
三．解答题（共7小题，满分84分）
23．（20分）计算：
（1）（2023﹣π）0+22+|﹣2|．
（2）（xy2）2 x2y÷（x3y4）．
24．（10分）先化简，再求值．
[（2a+b）（2a﹣b）﹣（a﹣b）2﹣3a（a﹣2b）]b，其中b2+2b+1＝0．
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CD＞BC，求作一点P，使得点P到C、D两点距离相等且满足S△ADP＝S△ABP（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
26．（10分）为了落实“双减政策”，教育局随机调查了某校七年级部分学生每天完成作业所用的时间，并按完成作业所用时间x（分钟）的范围分为四个等级：A（20＜x≤40），B（40＜x≤60），C（60＜x≤80），D（80＜x≤100）．根据调查得到的数据绘制了如图所示不完整的统计图．根据图表信息，回答下列问题：
（1）本次调查的七年级学生共有多少人？
（2）补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，m＝ ，n＝ ；
（4）根据有关规定，经过科学分析认为，初中生每天完成作业所用时间超过60分钟，且不超过90分钟最合适．已知调查的学生中，D（80＜x≤100）这组的学生完成作业的时间（分钟）分别为82，89，95，85，90，86，87，92，98，88．如果该校七年级学生总数为900人，请估计该校七年级学生中有多少人每天完成作业所用的时间最合适？
27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝30°，点D在边BC上运动（D不与B、C重合），连结AD作∠ADE＝30°，DE交边AC于点E．
（1）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（2）在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，请直接写出∠ADB的度数．
28．（12分）如图①，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝4cm，E是一个动点，从点B向终点C运动，其速度与时间的变化关系如图②所示，已知 BC＝6cm．
（1）在点E的运动过程中，求三角形ABE的面积y（cm2）与运动时间x（s） 之间的关系式；
（2）当点E运动停止后，求三角形ABE的面积．
29．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、C在y轴上，且点B与点C关于x轴对称，点D在线段AB上，点E为该坐标平面内一点．
（1）已知BD＝CE．
①如图1，若点E在线段AC上，求证：CD＝BE；
②如图2，若点E在线段BC上，且∠DEA＝∠ABC，求证：∠ACO＝2∠OAE．
（2）如图3，已知BD＝AE，点E在线段CA的延长线上，F为CD中点，且∠OAB＝30°，求证：BF⊥EF．
2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答．
【解答】解：在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数1.010010001…，π，共2个．、
∴排除A、C、D，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键．
2．（3分）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．在下列苏州园林的窗户简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6 B．a8÷a2＝a4
C．a3 a4＝a7 D．5a+2b＝7ab
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（2a2）3＝8a6，故A不符合题意；
B、a8÷a2＝a6，故B不符合题意；
C、a3 a4＝a7，故C符合题意；
D、5a与2b不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（3分）下列事件中是随机事件的是（ ）
A．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
B．明天是晴天
C．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
D．14人中至少有2人是同月出生
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据随机事件的概念直接判断即可．
【解答】解：A．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，不符合题意；
B．明天是晴天，是随机事件，符合题意；
C．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，是不可能事件，不符合题意；
D．14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
5．（3分）如图，嘉淇利用全等三角形的知识测量池塘两端A，B之间的距离，如果△AOB≌△COD，则只需测出（ ）
A．OD的长度 B．CD的长度 C．AB的长度 D．AC的长度
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△AOB≌△COD，
∴AB＝CD，
故只需测出CD的长度，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，已知∠AFE＝∠ABC，DG∥BE，∠DGB＝130°，则∠FEB的度数是（ ）
A．130° B．50° C．60° D．40°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由DG∥BE可得，∠DGB+∠EBG＝180°，则∠EBG＝50°；又由∠AFE＝∠ABC，可得EF∥BC，即可得出∠FEB＝∠EBG＝50°．
【解答】解：∵DG∥BE，
∴∠DGB+∠EBG＝180°，
∵∠DGB＝130°，
∴∠EBG＝50°，
∵∠AFE＝∠ABC，
∴EF∥BC，
∴∠FEB＝∠EBG＝50°，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，由已知条件结合相关定理得出角之间的关系是解题关键．
7．（3分）如图是某一天大连的气温随时间变化的图象．下列说法正确的是（ ）
A．这一天最低气温是﹣4℃
B．这一天最高气温比最低气温高8℃
C．0时至14时气温呈上升状态
D．14时至24时气温呈下降状态
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】D
【分析】根据函数的图象的横坐标表示时间，纵坐标表示气温，可得气温的相应时间，可得答案．
【解答】解：由函数图象得：
A．这一天最低气温是﹣3℃，故本选项不合题意；
B．这一天最高气温比最低气温高：8﹣（﹣3）＝11（℃），故本选项不合题意；
C．0时至4时气温呈下降状态，4时至14时气温T（℃）随时间t（时）的增大而增大，故本选项不合题意；
D．14时至24时气温呈下降状态，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的横坐标得出时间；观察函数图象的纵坐标得出气温，利用数形结合的思想方法是解答本题的关键．
8．（3分）已知a为整数，且a，则整数a有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】直接利用在与之间的整数是2和3求解即可．
【解答】解：∵12＜3，a为整数，a，
∴a为2或3，
故选：B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，正确得出无理数接近的有理数是解题的关键．
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．3π B．4π C．6π D．9π
【考点】三角形的外接圆与外心；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】计算题；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由等腰三角形的性质得出BD＝CD，AD⊥BC，则点O是△ABC外接圆的圆心，则由圆的面积公式πr2可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA＝3，
∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质．
10．（3分）如图图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△…按此规律，则第9个图形中△的个数为（ ）
A．108 B．128 C．144 D．162
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】D
【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．
【解答】解：第①个图形一共有2×1＝2（个）△，
第②个图形一共有：2×（1+3）＝8（个）△，
第③个图形一共有2×（1+3+5）＝18（个）△，
…
第9个图形一共有：2×（1+3+5+7+9+11+13+15+17）＝162（个）△，
故选：D．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，得出规律，解决问题．
11．（3分）一个多边形的每个外角都等于60°，则此多边形是（ ）
A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据多边形的外角和性质即可解答．
【解答】解：∵多边形的外角和是360°，
∴360°÷60°＝6，
故这个多边形是六边形．
故选：D．
【点评】本题考查多边形的外角和，掌握多边形外角和性质是解题的关键．
12．（3分）一般地，如果xn＝a（n为正整数，且n＞1），那么x叫作a的n次方根．例如：∵24＝16（﹣2）4＝16，∴16的四次方根是±2，则下列结论：
①3是81的四次方根；
②任何实数都有唯一的奇次方根；
③若S＝（2+1）（22+1）（22+1）（24+1）…（2k+1），则S的三次方根是2；
④当时，整数a的二次方根有4052个．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平方差公式；算术平方根；立方根；分数指数幂；完全平方公式．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】B
【分析】根据a的n次方根的定义逐一进行分析判断即可．
【解答】解：①∵34＝81，
∴3是81的四次方根，①正确；
②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确；
③S＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2k+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2k+1）
＝（22k﹣1），
则S的三次方根是；③错误；
④由已知得：|2023+a|+|a﹣2025|＝4048，
即数轴上数a到数﹣2023和数2025的距离和为4048，
又由2025﹣（﹣2023）＝4048，
故整数a＝﹣2023，﹣2022， ，﹣1，0，1， ，2025；
则整数a的二次方根有0，1，﹣1，， ，，共4051个，④不正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查学生对a的n次方根的定义的阅读理解能力，平方差公式与绝对值的几何意义是难点．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
13．（3分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为 1.76×108 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】1.76×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：176000000＝1.76×108．
故答案为：1.76×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）如图，把一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在D区域的概率是 ．
【考点】几何概率．
【专题】概率及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】．
【分析】直接利用D区域所占比例与总面积的比值进而求出答案．
【解答】解：由题意可得：指针落在D区域的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用，注意面积之比＝几何概率．
15．（3分）若x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m＝ 7或﹣5 ．
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】7或﹣5．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，（x±3）2＝x2±6x+9，
∴m﹣1＝±6，
解得：m＝7或m＝﹣5．
故答案为：7或﹣5．
【点评】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
16．（3分）将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，若∠1＝110°，则∠2的度数是 125 °．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】125．
【分析】根据平行线的性质得到∠1＝∠3，由折叠的性质可得∠3＝∠4，进而得出∠2＝180°﹣∠4．
【解答】解：如图：
由矩形的对边平行，可得∠1＝∠3＝110°，
由折叠的性质可得∠3＝∠4＝55°，
由矩形的对边平行，
∴∠2＝180°﹣∠4，
∴∠2＝125°．
故答案为：125．
【点评】本题考查了平行线性质以及轴对称的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
17．（3分）已知a，b是常数，若化简（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）的结果不含x的二次项，则2b﹣4a＝ 0 ．
【考点】多项式乘多项式；合并同类项．
【专题】整式；运算能力．
【答案】0．
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可．
【解答】解：（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）
＝﹣2x3﹣bx2+3x+2ax2+abx﹣3a
＝﹣2x3+（﹣b+2a）x2+（3+ab）x﹣3a，
∵结果不含x的二次项，
∴﹣b+2a＝0，
∴2b﹣4a
＝﹣2（﹣b+2a）
＝﹣2×0
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（3分）已知等腰△ABC的两边长分别为3和5，则等腰△ABC的周长为 11或13 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】11或13．
【分析】因为等腰三角形的两边分别为3和5，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：当3为底时，三角形的三边为3，5，5，可以构成三角形，周长为：3+5+5＝13；
当5为底时，三角形的三边为3，3，5，可以构成三角形，周长为：3+3+5＝11．
故答案为：11或13．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
19．（3分）若abc＝﹣27，且a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，则3a﹣2b+c＝ ﹣6 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣6．
【分析】由a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0可得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，从而求得a＝b＝c，由abc＝﹣27可求得a＝b＝c＝﹣3，从而可求得此题的结果．
【解答】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，
∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）
＝（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）
＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2
＝0，
∴a﹣b＝b﹣c＝c﹣a＝0
∴a＝b＝c，
∴abc＝a3＝﹣27，
解得a＝﹣3，
即a＝b＝c＝﹣3，
∴3a﹣2b+c＝3×（﹣3）﹣2×（﹣3）+（﹣3）＝﹣9+6﹣3＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】此题考查了完全平方公式的综合运用能力，关键是能根据题意把条件转换成完全平方公式的形式．
20．（3分）如图，CD，BE是△ABC的中线，它们相交于点O．若△ABC的面积是12，则图中阴影部分的面积为 4 ．
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【答案】4．
【分析】根据三角形的中线将三角形的面积平分可以得到△BDC和△ADC面积相等，△AEB和△CEB面积相等，再根据图形间的面积关系得到四边形ADOE和△BOC的面积相等，△BOD和△COE的面积相等，从而求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接AO，
∵CD是△ABC的中线，
∴，S△AOD＝S△BOD，
∵BE是△ABC的中线，
∴，S△AOE＝S△COE，
∵S△BOD＝S△BDC﹣S△BOC＝6﹣S△BOC，S△COE＝S△CEB﹣S△BOC＝6﹣S△BOC，
∴S△BOD＝S△COE，
∵S四边形ADOE＝S△AEB﹣S△BOD＝6﹣S△BOD，S△BOC＝S△BDC﹣S△BOD＝6﹣S△BOD，
∴S四边形ADOE＝S△BOC，
∴S阴影＝S△BOD+S△COE
＝S△AOD+S△AOE
＝S四边形ADOE，
∴，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形的面积计算方法，三角形中线的意义，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形的性质是解题的关键．
21．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC＝BF，∠DAC＝25°，∠EBC＝30°，∠C＝ 100° ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝25°，∠C＝∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，如图所示：
在△BDM和△CDA中，
，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝25°，∠C＝∠DBM，
∵BF＝AC，
∴BF＝BM，
∴∠M＝∠BFM＝25°，
∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝130°，
∵∠EBC＝30°，
∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，
∴∠C＝∠DBM＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（3分）若一个各个数位上的数字均不为0的四位数满足千位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字与个位上的数字之差的k倍（k为整数），则称该四位数为“k型数”．例如，对于四位数4675．∵4+6＝5×（7﹣5）．所以4675为“5型数”．若四位数是“﹣2型数”，则x＝ 3 ；若四位数A是“3型数”，A﹣3是“﹣3型数”，将A的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数B，B也是“3型数”，则满足条件的四位数A的最大值为 7551 ．
【考点】一元一次方程的应用；整式的加减．
【专题】新定义；一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】3，7551．
【分析】由新定义列方程可解得x的值，设A，根据A是“3型数”，B也是“3型数”，有a+b＝3（c﹣d）且a+c＝3（b﹣d），可得b＝c，设A，由A﹣3是“﹣3型数”，分两种情况：（Ⅰ）d≥3时，A﹣3，可得2d﹣2y＝3，无整数解，此种情况不存在；（Ⅱ）d＜3时，a+y＝﹣3[（y﹣1）﹣（d+7）]，即a+4y﹣3d＝24①，又a+y＝3（y﹣d），即a﹣2y+3d＝0②，可得a+d＝8，即可得到答案．
【解答】解：∵四位数是“﹣2型数”，
∴2+6＝﹣2（x﹣7），
解得x＝3；
设A，
∵A是“3型数”，将A的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数B，B也是“3型数”，
∴a+b＝3（c﹣d）且a+c＝3（b﹣d），
将两式相减整理得：b＝c，
∴A的十位与百位数字相同，设A，
由A﹣3是“﹣3型数”，分两种情况：
（Ⅰ）d≥3时，A﹣3，
∵四位数A是“3型数”，
∴a+y＝3（y﹣d），
∵A﹣3是“﹣3型数”，
∴a+y＝﹣3[y﹣（d﹣3）]，
∴3（y﹣d）＝﹣3[y﹣（d﹣3）]，
整理化简得：2d﹣2y＝3，
∵y、d是整数，2y、2d是偶数，而3是奇数，
∴2d﹣2y＝3无整数解，此种情况不存在；
（Ⅱ）d＜3时，
A﹣3，
∵A﹣3是“﹣3型数”，
∴a+y＝﹣3[（y﹣1）﹣（d+7）]，即a+4y﹣3d＝24①，
∵A是“3型数”，
∴a+y＝3（y﹣d），即a﹣2y+3d＝0②，
①+②化简得a+y＝12，
①+②×2化简得a+d＝8，
∴当d＝1时，a＝7，y＝5，此时A＝7551，
当d＝2时，a＝6，y＝6，此时A＝6662．
综上所述，满足条件的四位数A的最大值为7551．
故答案为：3，7551．
【点评】本题考查一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是分类讨论思想的应用．
三．解答题（共7小题，满分84分）
23．（20分）计算：
（1）（2023﹣π）0+22+|﹣2|．
（2）（xy2）2 x2y÷（x3y4）．
【考点】整式的混合运算；零指数幂；实数的运算．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）7；
（2）xy．
【分析】（1）先算乘方，去绝对值，再算加法；
（2）先算积的乘方和幂的乘方，再从左到右依次计算．
【解答】解：（1）原式＝1+4+2
＝7；
（2）原式＝x2y4 x2y÷（x3y4）
＝x4y5÷（x3y4）
＝xy．
【点评】本题考查整式的混合运算和实数的混合运算，解题的关键是掌握整式，实数相关的运算法则．
24．（10分）先化简，再求值．
[（2a+b）（2a﹣b）﹣（a﹣b）2﹣3a（a﹣2b）]b，其中b2+2b+1＝0．
【考点】整式的混合运算—化简求值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】16a﹣4b；8．
【分析】先利用平方差、完全平方公式及单项式乘多项式、合并同类项法则计算括号里面，再做除法，把利用非负数的和求得的a、b的值代入化简后的整式，计算求值．
【解答】解：原式＝[4a2﹣b2﹣（a2﹣2ab+b2）﹣3a2+6ab]b
＝（4a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2﹣3a2+6ab）b
＝（8ab﹣2b2）b
＝16a﹣4b．
∵b2+2b+1＝0，
即（b+1）2＝0，
∴a，b＝﹣1．
当a，b＝﹣1时，
原式＝164×（﹣1）
＝4+4
＝8．
【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的运算法则和运算顺序，并能根据非负数的和求出a、b的值，是解决本题的关键．
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CD＞BC，求作一点P，使得点P到C、D两点距离相等且满足S△ADP＝S△ABP（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【考点】作图—基本作图；三角形的面积；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；尺规作图；应用意识．
【答案】作图见解析．
【分析】作∠BAD的平分线与线段CD的垂直平分线交于P，则P点到AB和AD的距离相等，而AB＝AD，于是根据三角形面积公式，可判断S△ADP＝S△ABP．
【解答】解：如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26．（10分）为了落实“双减政策”，教育局随机调查了某校七年级部分学生每天完成作业所用的时间，并按完成作业所用时间x（分钟）的范围分为四个等级：A（20＜x≤40），B（40＜x≤60），C（60＜x≤80），D（80＜x≤100）．根据调查得到的数据绘制了如图所示不完整的统计图．根据图表信息，回答下列问题：
（1）本次调查的七年级学生共有多少人？
（2）补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，m＝ 34 ，n＝ 72 ；
（4）根据有关规定，经过科学分析认为，初中生每天完成作业所用时间超过60分钟，且不超过90分钟最合适．已知调查的学生中，D（80＜x≤100）这组的学生完成作业的时间（分钟）分别为82，89，95，85，90，86，87，92，98，88．如果该校七年级学生总数为900人，请估计该校七年级学生中有多少人每天完成作业所用的时间最合适？
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）50人；
（2）见解答；
（3）34，72；
（4）432人．
【分析】（1）用A组频数除以A组所占的百分比即可求出本次调查的七年级学生共有多少人；
（2）根据B组的比例求出B组的人数，将本次调查的总人数减去A组，B组，D组的人数即可求出C组的人数，补全频数分布直方图即可；
（3）将C组人数除以调查总人数化成百分数，即可确定m的值；将D组人数除以调查总人数乘以360°，即可确定n的值；
（4）将样本中每天完成作业所用时间超过60分钟，且不超过90分钟的人数除以60，再乘以900即可估计该校七年级学生中有多少人每天完成作业所用的时间最合适．
【解答】解：（1）∵8÷16%＝50（人），
∴本次调查的七年级学生共有50人；
（2）B组人数为：50×30%＝15（人），
C组人数为：50﹣（8+15+10）＝17（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）∵m%34%，
∴m＝34，
∵，
∴n＝72，
故答案为：34，72；
（4）∵样本中初中生每天完成作业所用时间超过60分钟，且不超过90分钟的人数为：17+7＝24（人），
∴估计该校七年级学生中有每天完成作业所用的时间最合适的人数约为：432（人），
答：估计该校七年级学生中有432人每天完成作业所用的时间最合适．
【点评】本题考查扇形统计图，频数分布直方图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝30°，点D在边BC上运动（D不与B、C重合），连结AD作∠ADE＝30°，DE交边AC于点E．
（1）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（2）在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，请直接写出∠ADB的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）4，见解析；
（2）105°或60°．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可知∠EDC＝∠BAD，再根据全等三角形的判定即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质分①当AD＝DE时②当DE＝AE时两种情况再等腰三角形性质及三角形的内角和定理即可解答．
【解答】解：（1）当DC＝AB＝4时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，
∵∠ADE＝∠B＝30°，
∴∠EDC＝∠BAD，
∵DC＝AB＝4，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；
（2）解：①如图，当AD＝DE时，
∠ADE＝30°，
在△ADE中，，
∴∠DEC＝180°﹣∠DEA＝180°﹣75°＝105°，
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°，
在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝45°，
∵∠ADE＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠CDE﹣∠ADE＝105°；
②当DE＝AE时，
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°，
∵∠ADE＝30°，
∴∠ADE＝∠EAD＝30°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝120°，
∴∠DEC＝60°，
∴∠EDC＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝90°，
∴∠ADB＝180°﹣∠EDC﹣∠ADE＝60°，
综上，∠ADB的度数为105°或60°；
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角的性质，三角形的内角和，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
28．（12分）如图①，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝4cm，E是一个动点，从点B向终点C运动，其速度与时间的变化关系如图②所示，已知 BC＝6cm．
（1）在点E的运动过程中，求三角形ABE的面积y（cm2）与运动时间x（s） 之间的关系式；
（2）当点E运动停止后，求三角形ABE的面积．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数的综合应用；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】（1）y＝6x；
（2）12cm2．
【分析】（1）由图②可得E的运动速度是3cm/s，从而可以求解；
（2）由图②得：E的运动了2s停止了运动，由（1）即可求解．
【解答】解：（1）由图②得E的运动速度是3cm/s，
∴BE＝3x，
yBE AD3x×4＝6x，
∴y＝6x；
（2）由图②得：E的运动了2s停止了运动，
∴当x＝2时，y＝2×6＝12，
∴此时△ABE的面积为12cm2．
【点评】本题考查了动点产生的函数问题，根据题意列出关系式是解题的关键．
29．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、C在y轴上，且点B与点C关于x轴对称，点D在线段AB上，点E为该坐标平面内一点．
（1）已知BD＝CE．
①如图1，若点E在线段AC上，求证：CD＝BE；
②如图2，若点E在线段BC上，且∠DEA＝∠ABC，求证：∠ACO＝2∠OAE．
（2）如图3，已知BD＝AE，点E在线段CA的延长线上，F为CD中点，且∠OAB＝30°，求证：BF⊥EF．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）①证明过程请看解答；
②证明过程请看解答；
（2）证明过程请看解答．
【分析】（1）①由对称的性质易证∠CBD＝∠BCE，由SAS证得△CBD≌△BCE，即可得出结论；
②先证∠DEB＝∠CAE，由AAS证得△BED≌△CAE，得出BE＝AC＝AB，则∠BEA＝∠BAE，由对称的性质易证∠BAO＝∠CAO，则∠BAE＝2∠OAE+∠EAC，由∠DEB＝∠CAE，推出∠DEA＝2∠OAE，由∠DEA＝∠ABC＝∠ACO，即可得出结论；
（2）延长BF到点G，使BF＝FG，连接CG、EG、BE，先证△ABC是等边三角形，得CB＝AB，∠BCA＝60°，由SAS证得△BDF≌△GCF，得出CG＝BD＝AE，∠CGF＝∠DBF，则BD∥CG，得出∠GCA＝∠BAC＝60°，证明∠BCG＝∠BAE，由SAS证得△BCG≌△BAE，得∠CBG＝∠ABE，BG＝BE，再证明△GBE是等边三角形，即可得出结论．
【解答】证明：（1）①∵点B和点C关于x轴对称，
∴AB＝AC，
∴∠CBD＝∠BCE，
在△CBD和△BCE中，，
∴△CBD≌△BCE（SAS），
∴CD＝BE；
②∵∠DEA+∠DEB＝∠ACB+∠CAE，∠DEA＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠DEB＝∠CAE，
在△BED和△CAE中，，
∴△BED≌△CAE（AAS），
∴BE＝AC＝AB，
∴∠BEA＝∠BAE，
∵点B和点C关于x轴对称，
∴AB＝AC，OB＝OC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∴∠BAE＝2∠CAO﹣∠EAC＝2∠OAE+∠EAC，
∵∠DEB＝∠CAE，
∴∠DEA＝2∠OAE，
∵∠DEA＝∠ABC＝∠ACO，
∴∠ACO＝2∠OAE；
（2）延长BF到点G，使BF＝FG，连接CG、EG、BE，如图3所示：
∵点B和点C关于x轴对称，
∴AB＝AC，OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OAC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CB＝AB，∠BCA＝60°，
∵F为DC中点，
∴DF＝CF，
在△BDF和△GCF中，，
∴△BDF≌△GCF（SAS），
∴CG＝BD＝AE，∠CGF＝∠DBF，
∴BD∥CG，
∴∠GCA＝∠BAC＝60°，
∴∠BCG＝∠BCA+∠GCA＝60°+60°＝120°，
∵∠BAE＝180°﹣∠OAB﹣∠EAx＝180°﹣∠OAB﹣∠OAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠BCG＝∠BAE，
在△BCG和△BAE中，，
∴△BCG≌△BAE（SAS），
∴∠CBG＝∠ABE，BG＝BE，
∵∠CBG+∠GBA＝60°，
∴∠ABE+∠GBA＝60°，即∠GBE＝60°，
∴△GBE是等边三角形，
∵F是BG的中点，
∴EF⊥BG，
∴BF⊥EF．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质、对称的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握对称的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
5．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
6．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
7．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
8．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
9．分数指数幂
分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点．
10．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
11．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
12．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
13．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
14．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
15．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
16．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
17．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
18．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
19．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
20．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
21．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
22．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
23．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
24．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
25．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
26．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
27．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
28．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
29．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
30．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
31．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
32．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
33．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
34．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
35．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
36．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
37．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
38．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
39．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
40．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
41．几何变换综合题
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．
42．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
43．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
44．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
45．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
46．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
同课章节目录