2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 478.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:26:36 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在实数，，0.1122中，是无理数的是（ ）
A．﹣2 B． C． D．0.1122
2．（4分）以下情形，适合采用抽样调查的是（ ）
A．成都某中学有一位同学确诊感染新冠肺炎，现需了解全校师生的健康情况
B．某疫苗研发团队获批在人群中开展Ⅲ期临床研究，评估疫苗的安全性
C．了解郑州市某班学生对“新冠肺炎预防知识”的掌握情况
D．在世界杯比赛前，对参赛运动员进行兴奋剂检测
3．（4分）已知a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．ac＞bc B．﹣a＞﹣b C．﹣2a＜﹣2b D．3﹣a＞3﹣b
4．（4分）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，B′A交AC于D，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C'DB＝72°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．78° B．80° C．82° D．84°
5．（4分）如图，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，则∠P，∠B，∠D满足的关系式是（ ）
A．∠P＝∠B+∠D B．∠P＝∠D﹣∠B
C． D．
6．（4分）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③同旁内角互补；④如果a2＝5，那么5的算术平方根是a．其中真命题有（ ）
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
7．（4分）在直角坐标系中，点P（6﹣2x，x﹣5）在第四象限，则x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜5 B．﹣3＜x＜5 C．x＜3 D．x＞5
8．（4分）根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．
大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．”
小马说：“我还想给你1包呢！”
大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（ ）
A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1）
C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x
9．（4分）若数a使关于x的方程2﹣a＝4（x﹣1）的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
10．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣1），B（1，4），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算的结果是 ．
12．（4分）如果一个二十边形的每个内角都相等，那么它的每个外角的度数是 ．
13．（4分）已知A点（﹣2a+6，a）在象限角平分线上，则a的值为 ．
14．（4分）如图，AD是△ABC的中线，E是AB的中点，连接DE．若△ABC的面积为24，则△BDE的面积为 ．
15．（4分）如果三角形的两个内角α与β满足3α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝45°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为 ．
16．（4分）如图，把长方形ABCD沿EF对折后使其两部分重合，若∠1＝52°，则∠AEF＝ ．
17．（4分）如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时∠EFD＝ ．
18．（4分）长方形的一边等于3m﹣2n，另一边是m+n，则这个长方形的周长是 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
20．（10分）解不等式组：．
21．（10分）某中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．依据以上信息解答以下问题：
（1）该调查的样本容量是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校一共有2800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数．
22．（10分）已知：如图，AD⊥BC，且AD平分∠BAC，∠1＝∠3．求证：EG⊥BC．请完善证明过程，并在括号内填上相应依据．
证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴ ＝ （角平分线的定义），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠1（等量代换），
∴ ∥ （ ）．
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB＝ （ ），
∴∠EGD＝∠ADB＝90°（ ），
∴EG⊥BC（垂直的定义）．
23．（10分）预防新型冠状病毒，首先需要做好个人防护，同时还需要经常对公共场所喷洒消毒液进行消杀．于是某校购进了每桶重量相同的A、B两种消毒液，经过了解发现，购进A种消毒液1桶和B种消毒液2桶共需110元；购进A种消毒液2桶和B种消毒液3桶共需190元．
（1）分别求出每桶A种消毒液和B种消毒液的价格；
（2）若该学校决定要购进两种消毒液共100桶，其中A种消毒液的数量不低于B种消毒液的，在购进时，商家为了促销，特提出A种消毒液每桶优惠5元，试问如何购进A、B两种消毒液使得所需费用最低，并计算出最低费用．
24．（10分）在答题卡的网格中建立平面直角坐标系，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知三点A（1，1）、B（3，4）、C（4，2）．
（1）将点C向下平移3个单位长度到点D，将点A先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度到点E，在图中标出点D和点E，并写出点D和点E的坐标．
（2）求△EBD的面积S△EBD．
25．（10分）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
∠B（单位：度） 10 30 30 20 20
∠C（单位：度） 70 70 60 60 80
∠EAD（单位：度） 30 a 15 20 30
上表中a＝ ，于是得到∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系为 ；
（2）小明继续探究，如图2，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过EA的延长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于点D，当∠ABC＝85°，∠C＝23°时，∠F度数为 °．
26．（10分）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3|0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，请写出在转动过程中∠BAC与∠BCD的数量关系并证明．
（3）如图1，若灯B射线先转动40秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，直接写出A灯转动多少秒时两灯的光束互相平行．
2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在实数，，0.1122中，是无理数的是（ ）
A．﹣2 B． C． D．0.1122
【考点】无理数；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据无理数的定义及常见的三种形式即可解答．
【解答】解：由无理数的定义可知，在实数，，0.1122中，是无理数．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：（1）开不尽的方根，（2）特定结构的无限不循环小数，（3）含有π的绝大部分数．
2．（4分）以下情形，适合采用抽样调查的是（ ）
A．成都某中学有一位同学确诊感染新冠肺炎，现需了解全校师生的健康情况
B．某疫苗研发团队获批在人群中开展Ⅲ期临床研究，评估疫苗的安全性
C．了解郑州市某班学生对“新冠肺炎预防知识”的掌握情况
D．在世界杯比赛前，对参赛运动员进行兴奋剂检测
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、成都某中学有一位同学确诊感染新冠肺炎，现需了解全校师生的健康情况，适合采用全面调查，故A不符合题意；
B、某疫苗研发团队获批在人群中开展Ⅲ期临床研究，评估疫苗的安全性，适合采用抽样调查，故B符合题意；
C、了解郑州市某班学生对“新冠肺炎预防知识”的掌握情况，适合采用全面调查，故C不符合题意；
D、在世界杯比赛前，对参赛运动员进行兴奋剂检测，适合采用全面调查，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
3．（4分）已知a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．ac＞bc B．﹣a＞﹣b C．﹣2a＜﹣2b D．3﹣a＞3﹣b
【考点】不等式的性质．
【专题】整式；推理能力．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质化简，判断即可．
【解答】解：A、a＞b，
当c＝0时，ac＝bc；当c＜0时，ac＜bc，故本选项不符合题意；
B、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，故本选项不符合题意；
C、∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，故本选项符合题意；
D、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴3﹣a＜3﹣b故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．正确判断出ab的取值范围及关系是解答此题的关键．
4．（4分）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，B′A交AC于D，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C'DB＝72°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．78° B．80° C．82° D．84°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据折叠的性质得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝72°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，根据三角形内角和定理得∠3+∠C＝108°，在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，则20°+2∠3+108°＝180°，可计算出∠3＝26°，即可得出结果．
【解答】解：如图，
∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝72°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣72°＝108°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，
即20°+2∠3+108°＝180°，
∴∠3＝26°，
∴∠C＝108°﹣26°＝82°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出∠ABC和∠CBD的倍数关系是解决问题的关键．
5．（4分）如图，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，则∠P，∠B，∠D满足的关系式是（ ）
A．∠P＝∠B+∠D B．∠P＝∠D﹣∠B
C． D．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角的性质得到∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，两等式相减即可求解．
【解答】解：如图，
∵∠BAD和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠BEP＝∠1+∠B＝∠3+∠P，∠PFD＝∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质：三角形的外角等于不相邻两个内角的和．也考查了角平分线的定义，解题的关键是理解“8字形”中角的关系．
6．（4分）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③同旁内角互补；④如果a2＝5，那么5的算术平方根是a．其中真命题有（ ）
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
【考点】命题与定理；平方根；算术平方根；垂线；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行公理的推论、垂直的定义、平行线的性质、算术平方根的概念判断即可．
【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题说法是假命题；
③两直线平行，同旁内角互补，故本小题说法是假命题；
④如果a2＝5，那么5的算术平方根是|a|，故本小题说法是假命题；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（4分）在直角坐标系中，点P（6﹣2x，x﹣5）在第四象限，则x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜5 B．﹣3＜x＜5 C．x＜3 D．x＞5
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据第四象限内点的坐标特点列出关于x的一元一次不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意可得：，
解①得：x＜3，
解②得：x＜5，
故不等式组的解集为：x＜3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组及点的坐标，正确解不等式组是解题关键．
8．（4分）根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．
大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．”
小马说：“我还想给你1包呢！”
大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（ ）
A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1）
C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设大马驮x袋，小马驮y袋．本题中的等量关系是：2×（小马驮的﹣1袋）＝大马驮的+1袋；大马驮的﹣1袋＝小马驮的+1袋，据此可列方程组求解．
【解答】解：设大马驮x袋，小马驮y袋．
根据题意，得．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
9．（4分）若数a使关于x的方程2﹣a＝4（x﹣1）的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【考点】一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的解为正数即可得出a＜6，根据不等式组的解集为y＜﹣2，即可得出a≥﹣2，找出﹣2≤a＜6中所有的整数，将其相加即可得出结论．
【解答】解：方程2﹣a＝4（x﹣1）的解为x，
∵关于x的方程2﹣a＝4（x﹣1）的解为正数，
∴0，
解得：a＜6．
，
解不等式①得：y＜﹣2；
解不等式②得：y≤a．
∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，
∴a≥﹣2．
∴﹣2≤a＜6．
∵a为整数，
∴a＝﹣2、﹣1、0、1、2，3、4、5，
（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次不等式，根据一元一次方程的解为正数结合不等式组的解集为y＜﹣2，找出﹣2≤a＜6是解题的关键．
10．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣1），B（1，4），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据AC∥x轴得出y的值，再由垂线段最短即可得出x的值，进而得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣2，﹣1），B（1，4），C（x，y），AC∥x轴，
∴y＝﹣1；
∵当AC⊥BC时，线段BC最短，
∴x＝1，
∴C（1，﹣1），
∴BC最短＝4﹣（﹣1）＝5．
故选：D．
【点评】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算的结果是 22 ．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】22．
【分析】利用二次根式乘法法则及立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：原式2
2
＝22，
故答案为：22．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12．（4分）如果一个二十边形的每个内角都相等，那么它的每个外角的度数是 18° ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】18°．
【分析】利用二十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数．
【解答】解：∵360°÷20＝18°，
∴它的每个外角的度数是18°，
故答案为：18°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和计算公式．多边形内角和定理：多边形内角和等于（n﹣2） 180°．
13．（4分）已知A点（﹣2a+6，a）在象限角平分线上，则a的值为 2或6 ．
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识；运算能力．
【答案】2或6．
【分析】根据在角平分线上的点的坐标特点：点的横纵坐标相等或互为相反数，即可解答．
【解答】解：∵A点（﹣2a+6，a）在象限角平分线上，
∴﹣2a+6＝a或﹣2a+6+a＝0，
解得a＝2或6．
故答案为：2或6．
【点评】本题考查了各象限角平分线上点的坐标的符号特征，第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标互为相反数．
14．（4分）如图，AD是△ABC的中线，E是AB的中点，连接DE．若△ABC的面积为24，则△BDE的面积为 6 ．
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由AD是△ABC的中线，E是AB的中点，得到S△ABDS△ABC，S△BEDS△ABD，推出S△BEDS△ABC，又△ABC的面积为24，即可求出△BDE的面积．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴S△ABDS△ABC，
∵E是AB的中点，
∴S△BEDS△ABD，
∴S△BEDS△ABC，
∵△ABC的面积为24，
∴△BDE的面积为24＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到S△BEDS△ABC．
15．（4分）如果三角形的两个内角α与β满足3α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝45°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为 15°或22.5°或120° ．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】证明题；分类讨论；三角形；推理能力．
【答案】15°或22.5°或120°．
【分析】根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．
【解答】解：当点P在点B的右侧时，
∵3α+β＝90°，而45°×3＝135°＞90°，∠ABC≠α，
①∠A＝α，∠ABC＝β＝45°，
由3α+β＝90°得，α＝15°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝120°；
②∠APB＝α，∠ABC＝β＝45°，
同理得：∠APB＝α＝15°；
③∠APB＝α，∠A＝β，
得，，
解得：α＝﹣22.5°（不合题意舍去），
④∠APB＝β，∠A＝α，
同理不合题意；
当点P在点B的左侧时，
⑤∠APB＝α，∠A＝β，∠ABC＝∠APB+∠A＝45°，
得，，
解得：，
即∠APB＝22.5°；
⑥∠APB＝β，∠A＝α，∠ABC＝∠APB+∠A＝45°，
得，，
解得：，
即∠APB＝22.5°，
综上所述，∠APB的所有可能的度数为15°或22.5°或120°，
故答案为15°或22.5°或120°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，“准直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．（4分）如图，把长方形ABCD沿EF对折后使其两部分重合，若∠1＝52°，则∠AEF＝ 116° ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】计算题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据折叠的性质及∠1＝40°可求出∠BFE的度数，再由平行线的性质即可解答．
【解答】解：如图，
∵四边形EFGH是四边形EFBA折叠而成，
∴∠BFE＝∠EFG，
∵∠BFE+∠EFG+∠1＝180°，∠1＝52°，
∴∠BFE＝∠EFG（180°﹣52°）128°＝64°，
又∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE＝180°，
∴∠AEF＝180°﹣64°＝116°．
故答案为：116°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
17．（4分）如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时∠EFD＝ 125° ．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】125°．
【分析】延长DF交CE于点P，根据三角形内角和定理及三角形的外角性质即可解答．
【解答】解：如图，延长DF交CE于点P，
∠DCE＝∠ACB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠DPE＝∠D+∠DCE＝20°+75°＝95°，
∴∠DFE＝∠E+∠DPE＝30°+95°＝125°．
故答案为：125°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键．
18．（4分）长方形的一边等于3m﹣2n，另一边是m+n，则这个长方形的周长是 8m﹣2n ．
【考点】整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【答案】8m﹣2n．
【分析】根据长方形的周长公式以及整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：长方形的周长为：2（3m﹣2n+m+n）
＝2（4m﹣n）
＝8m﹣2n，
故答案为：8m﹣2n．
【点评】本题考查整式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【解答】解：（1），
由①，可得：x＝2y+7③，
③代入②，可得：2y+7+y＝10，
解得y＝1，
把y＝1代入③，解得x＝9，
∴原方程组的解是．
（2）由，
可得：，
①+②，可得6x＝18，
解得x＝3，
把x＝3代入①，解得y，
∴原方程组的解是．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
20．（10分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x≤2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4（x﹣1）≤x+2，得：x≤2，
解不等式x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（10分）某中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．依据以上信息解答以下问题：
（1）该调查的样本容量是 50 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校一共有2800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数．
【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）50；
（2）见解答；
（3）1120人．
【分析】（1）由12岁的人数及其所占百分比可得样本容量；
（2）用总人数乘以14岁所占的百分比，求出14岁的人数，再用总人数减去其他年龄的人数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以样本中15岁及以上的学生人数所占比例可得．
【解答】解：（1）样本容量是6÷12%＝50；
故答案为：50；
（2）14岁的学生人数50×28%＝14（人），
16岁的学生人数50﹣6﹣10﹣14﹣18＝2（人），
补全统计图如下：
（3）2800×（36%）＝1120（人），
答：估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为1120人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（10分）已知：如图，AD⊥BC，且AD平分∠BAC，∠1＝∠3．求证：EG⊥BC．请完善证明过程，并在括号内填上相应依据．
证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴ ∠2 ＝ ∠3 （角平分线的定义），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠1（等量代换），
∴ AD ∥ EG （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB＝ 90° （ 垂直的定义 ），
∴∠EGD＝∠ADB＝90°（ 两直线平行，同位角相等 ），
∴EG⊥BC（垂直的定义）．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】∠2，∠3，AD，EG，内错角相等，两直线平行，90°，垂直的定义，两直线平行，同位角相等．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠2＝∠3（角平分线的定义），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠1（等量代换），
∴AD∥EG（内错角相等，两直线平行），
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB＝90°（垂直的定义），
∴∠EGD＝∠ADB＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴EG⊥BC（垂直的定义）．
故答案为：∠2，∠3，AD，EG，内错角相等，两直线平行，90°，垂直的定义，两直线平行，同位角相等．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，熟练应用相关性质进行求解是解决本题的关键．
23．（10分）预防新型冠状病毒，首先需要做好个人防护，同时还需要经常对公共场所喷洒消毒液进行消杀．于是某校购进了每桶重量相同的A、B两种消毒液，经过了解发现，购进A种消毒液1桶和B种消毒液2桶共需110元；购进A种消毒液2桶和B种消毒液3桶共需190元．
（1）分别求出每桶A种消毒液和B种消毒液的价格；
（2）若该学校决定要购进两种消毒液共100桶，其中A种消毒液的数量不低于B种消毒液的，在购进时，商家为了促销，特提出A种消毒液每桶优惠5元，试问如何购进A、B两种消毒液使得所需费用最低，并计算出最低费用．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）每桶A种消毒液的价格为50元，每桶B种消毒液的价格为30元；
（2）购进A种消毒液25桶，B种消毒液75桶，所需费用最低，最低费用为3375元．
【分析】（1）设每桶A种消毒液的价格为a元，每桶B种消毒液的价格为b元，根据购进A种消毒液1桶和B种消毒液2桶共需110元；购进A种消毒液2桶和B种消毒液3桶共需190元．列出方程组，求解即可；
（2）设购进A种消毒液x桶，则购进B种消毒液（100﹣x）桶，所需费用为w元，根据题意可以得到费用与A种消毒液数量的函数关系，然后根据A种消毒液的数量不低于B种消毒液的，一次函数的性质，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每桶A种消毒液的价格为a元，每桶B种消毒液的价格为b元，
由题意得：，
解答：，
答：每桶A种消毒液的价格为50元，每桶B种消毒液的价格为30元；
（2）设购进A种消毒液x桶，则购进B种消毒液（100﹣x）桶，所需费用为w元，
由题意得：w＝（50﹣5）x+30（100﹣x）＝15x+3000，
∵k＝15＞0，
∴w随x的增大而增大，
∵A种消毒液的数量不低于B种消毒液的，
∴x（100﹣x），且x≤100，
∴25≤x≤100，
∴当x＝25时，w取得最小值，
此时w＝15×25+3000＝3375，100﹣x＝75，
答：购进A种消毒液25桶，B种消毒液75桶，所需费用最低，最低费用为3375元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24．（10分）在答题卡的网格中建立平面直角坐标系，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知三点A（1，1）、B（3，4）、C（4，2）．
（1）将点C向下平移3个单位长度到点D，将点A先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度到点E，在图中标出点D和点E，并写出点D和点E的坐标．
（2）求△EBD的面积S△EBD．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解答；
（2）14.5．
【分析】（1）先根据A、B、C点的坐标描点，再利用点平移的坐标特征写出D、E的坐标，然后描点；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△EBD的面积．
【解答】解：（1）如图，点D和E为所作，D（4，﹣1），E（﹣2，0）；
（2）S△BDE＝5×66×15×15×4＝14.5．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
25．（10分）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
∠B（单位：度） 10 30 30 20 20
∠C（单位：度） 70 70 60 60 80
∠EAD（单位：度） 30 a 15 20 30
上表中a＝ 20 ，于是得到∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系为 ∠EAD（∠C﹣∠B） ；
（2）小明继续探究，如图2，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过EA的延长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于点D，当∠ABC＝85°，∠C＝23°时，∠F度数为 31 °．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；几何直观；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）20，理由见解答过程；∠EAD（∠C﹣∠B），理由见解答过程；
（2）∠EPD（∠C﹣∠B），理由见解答过程；
（3）31．
【分析】（1）先求出∠BAC＝80°，根据角平分线的定义得∠BAE＝∠CAE＝40°，然后根据AD⊥BC，∠C＝70°得∠CAD＝20°，据此可求出∠EDC的度数，进而可得a的值；
由AD⊥BC得∠CAD＝90°﹣∠C，再由角平分线的定义得∠CAE∠BAC＝90°（∠B+∠C），然后∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD可得出∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系；
（2）过点A作AF⊥BC于F，由（1）可知∠EAF（∠C﹣∠B），再根据PD⊥BC，AF⊥BC得PD∥AF，然后由平行线的性质得∠EPD＝∠EAF，据此可得∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系；
（3）过点B作BG⊥BC交EF于点G可得FD∥BG，进而得∠F＝∠AGB，根据∠ABC＝85°，∠C＝23°求出∠BAC＝72°，再由角平分线的定义得∠BAE＝36°，然后再求出∠ABG＝5°，进而由三角形外角定理得∠AGB＝∠BAE﹣∠ABG＝31°，据此即可得出∠F的度数．
【解答】解：（1）a＝20，理由如下：
∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE∠BAC＝40°，
∵AD⊥BC，∠C＝70°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∴∠EDC＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣20°＝20°；
即：a＝20．
∠B、∠C、∠EAD之间的关系是：∠EAD（∠C﹣∠B）．
理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C），AE平分∠BAC，
∴∠CAE∠BAC[180°﹣（∠B+∠C）]＝90°（∠B+∠C），
∵∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD，
∴∠EAD＝90°（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C（∠C﹣∠B）．
故答案为：20，∠EAD（∠C﹣∠B）．
（2）∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系是：∠EPD（∠C﹣∠B）．
理由如下：
过点A作AF⊥BC于F，如图：
由（1）可知：∠EAF（∠C﹣∠B），
∵PD⊥BC，AF⊥BC，
∴∠EPD＝∠EAF（∠C﹣∠B）；
（3）过点B作BG⊥BC交EF于点G，如图：
∵FD⊥BC，
∴FD∥BG，
∴∠F＝∠AGB，
∵∠ABC＝85°，∠C＝23°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣85°﹣23°＝72°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE∠BAC＝36°，
∵GB⊥BC，
∴∠ABG＝90°﹣∠ABC＝90°﹣85°＝5°，
∵∠BAE＝∠AGB+∠ABG，
∴∠AGB＝∠BAE﹣∠ABG＝36°﹣5°＝31°，
∴∠F＝∠AGB＝31°．
故答案为：31．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，垂直的定义，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解答此题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角定理，理解垂直于同一条直线的两条直线平行；难点是正确的作出辅助线构造平行线．
26．（10分）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3|0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，请写出在转动过程中∠BAC与∠BCD的数量关系并证明．
（3）如图1，若灯B射线先转动40秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，直接写出A灯转动多少秒时两灯的光束互相平行．
【考点】非负数的性质：算术平方根；平行线的判定；平行线的性质；非负数的性质：绝对值．
【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）3，1；
（2）2∠BAC＝3∠BCD，证明见解答过程；
（3）当t＝20秒或80秒时，两灯的光束互相平行．
【分析】（1）根据|a﹣3|0，可得a﹣3＝0，且b﹣1＝0，进而得出a、b的值；
（2）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系；
（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可．
【解答】解：（1）∵a、b满足|a﹣3|0，
∴a﹣3＝0，且b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1；
（2）∠BAC与∠BCD的数量关系是：2∠BAC＝3∠BCD．
证明如下：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD；
（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（40+t）×1，
解得t＝20；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（40+t）×1＝180，
解得t＝80；
③当120＜t＜140时，
3t﹣360＝t+40，
解得t＝200＞140（不合题意），
综上所述，当t＝20秒或80秒时，两灯的光束互相平行．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．
考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
5．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
6．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
7．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
8．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
9．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
10．由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．
11．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
12．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
13．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
14．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
15．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
17．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
18．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
19．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
20．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
21．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
22．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
23．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
24．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
25．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
26．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
27．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
28．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
29．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
30．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
31．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
32．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
33．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
34．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
35．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
36．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在实数，，0.1122中，是无理数的是（ ）
A．﹣2 B． C． D．0.1122
2．（4分）以下情形，适合采用抽样调查的是（ ）
A．成都某中学有一位同学确诊感染新冠肺炎，现需了解全校师生的健康情况
B．某疫苗研发团队获批在人群中开展Ⅲ期临床研究，评估疫苗的安全性
C．了解郑州市某班学生对“新冠肺炎预防知识”的掌握情况
D．在世界杯比赛前，对参赛运动员进行兴奋剂检测
3．（4分）已知a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．ac＞bc B．﹣a＞﹣b C．﹣2a＜﹣2b D．3﹣a＞3﹣b
4．（4分）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，B′A交AC于D，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C'DB＝72°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．78° B．80° C．82° D．84°
5．（4分）如图，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，则∠P，∠B，∠D满足的关系式是（ ）
A．∠P＝∠B+∠D B．∠P＝∠D﹣∠B
C． D．
6．（4分）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③同旁内角互补；④如果a2＝5，那么5的算术平方根是a．其中真命题有（ ）
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
7．（4分）在直角坐标系中，点P（6﹣2x，x﹣5）在第四象限，则x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜5 B．﹣3＜x＜5 C．x＜3 D．x＞5
8．（4分）根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．
大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．”
小马说：“我还想给你1包呢！”
大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（ ）
A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1）
C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x
9．（4分）若数a使关于x的方程2﹣a＝4（x﹣1）的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
10．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣1），B（1，4），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算的结果是 ．
12．（4分）如果一个二十边形的每个内角都相等，那么它的每个外角的度数是 ．
13．（4分）已知A点（﹣2a+6，a）在象限角平分线上，则a的值为 ．
14．（4分）如图，AD是△ABC的中线，E是AB的中点，连接DE．若△ABC的面积为24，则△BDE的面积为 ．
15．（4分）如果三角形的两个内角α与β满足3α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝45°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为 ．
16．（4分）如图，把长方形ABCD沿EF对折后使其两部分重合，若∠1＝52°，则∠AEF＝ ．
17．（4分）如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时∠EFD＝ ．
18．（4分）长方形的一边等于3m﹣2n，另一边是m+n，则这个长方形的周长是 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
20．（10分）解不等式组：．
21．（10分）某中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．依据以上信息解答以下问题：
（1）该调查的样本容量是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校一共有2800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数．
22．（10分）已知：如图，AD⊥BC，且AD平分∠BAC，∠1＝∠3．求证：EG⊥BC．请完善证明过程，并在括号内填上相应依据．
证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴ ＝ （角平分线的定义），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠1（等量代换），
∴ ∥ （ ）．
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB＝ （ ），
∴∠EGD＝∠ADB＝90°（ ），
∴EG⊥BC（垂直的定义）．
23．（10分）预防新型冠状病毒，首先需要做好个人防护，同时还需要经常对公共场所喷洒消毒液进行消杀．于是某校购进了每桶重量相同的A、B两种消毒液，经过了解发现，购进A种消毒液1桶和B种消毒液2桶共需110元；购进A种消毒液2桶和B种消毒液3桶共需190元．
（1）分别求出每桶A种消毒液和B种消毒液的价格；
（2）若该学校决定要购进两种消毒液共100桶，其中A种消毒液的数量不低于B种消毒液的，在购进时，商家为了促销，特提出A种消毒液每桶优惠5元，试问如何购进A、B两种消毒液使得所需费用最低，并计算出最低费用．
24．（10分）在答题卡的网格中建立平面直角坐标系，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知三点A（1，1）、B（3，4）、C（4，2）．
（1）将点C向下平移3个单位长度到点D，将点A先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度到点E，在图中标出点D和点E，并写出点D和点E的坐标．
（2）求△EBD的面积S△EBD．
25．（10分）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
∠B（单位：度） 10 30 30 20 20
∠C（单位：度） 70 70 60 60 80
∠EAD（单位：度） 30 a 15 20 30
上表中a＝ ，于是得到∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系为 ；
（2）小明继续探究，如图2，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过EA的延长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于点D，当∠ABC＝85°，∠C＝23°时，∠F度数为 °．
26．（10分）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3|0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，请写出在转动过程中∠BAC与∠BCD的数量关系并证明．
（3）如图1，若灯B射线先转动40秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，直接写出A灯转动多少秒时两灯的光束互相平行．
2024—2025学年上学期重庆初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在实数，，0.1122中，是无理数的是（ ）
A．﹣2 B． C． D．0.1122
【考点】无理数；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据无理数的定义及常见的三种形式即可解答．
【解答】解：由无理数的定义可知，在实数，，0.1122中，是无理数．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：（1）开不尽的方根，（2）特定结构的无限不循环小数，（3）含有π的绝大部分数．
2．（4分）以下情形，适合采用抽样调查的是（ ）
A．成都某中学有一位同学确诊感染新冠肺炎，现需了解全校师生的健康情况
B．某疫苗研发团队获批在人群中开展Ⅲ期临床研究，评估疫苗的安全性
C．了解郑州市某班学生对“新冠肺炎预防知识”的掌握情况
D．在世界杯比赛前，对参赛运动员进行兴奋剂检测
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、成都某中学有一位同学确诊感染新冠肺炎，现需了解全校师生的健康情况，适合采用全面调查，故A不符合题意；
B、某疫苗研发团队获批在人群中开展Ⅲ期临床研究，评估疫苗的安全性，适合采用抽样调查，故B符合题意；
C、了解郑州市某班学生对“新冠肺炎预防知识”的掌握情况，适合采用全面调查，故C不符合题意；
D、在世界杯比赛前，对参赛运动员进行兴奋剂检测，适合采用全面调查，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
3．（4分）已知a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．ac＞bc B．﹣a＞﹣b C．﹣2a＜﹣2b D．3﹣a＞3﹣b
【考点】不等式的性质．
【专题】整式；推理能力．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质化简，判断即可．
【解答】解：A、a＞b，
当c＝0时，ac＝bc；当c＜0时，ac＜bc，故本选项不符合题意；
B、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，故本选项不符合题意；
C、∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，故本选项符合题意；
D、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴3﹣a＜3﹣b故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．正确判断出ab的取值范围及关系是解答此题的关键．
4．（4分）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，B′A交AC于D，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C'DB＝72°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．78° B．80° C．82° D．84°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据折叠的性质得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝72°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，根据三角形内角和定理得∠3+∠C＝108°，在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，则20°+2∠3+108°＝180°，可计算出∠3＝26°，即可得出结果．
【解答】解：如图，
∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝72°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣72°＝108°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，
即20°+2∠3+108°＝180°，
∴∠3＝26°，
∴∠C＝108°﹣26°＝82°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出∠ABC和∠CBD的倍数关系是解决问题的关键．
5．（4分）如图，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，则∠P，∠B，∠D满足的关系式是（ ）
A．∠P＝∠B+∠D B．∠P＝∠D﹣∠B
C． D．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角的性质得到∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，两等式相减即可求解．
【解答】解：如图，
∵∠BAD和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠BEP＝∠1+∠B＝∠3+∠P，∠PFD＝∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质：三角形的外角等于不相邻两个内角的和．也考查了角平分线的定义，解题的关键是理解“8字形”中角的关系．
6．（4分）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③同旁内角互补；④如果a2＝5，那么5的算术平方根是a．其中真命题有（ ）
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
【考点】命题与定理；平方根；算术平方根；垂线；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行公理的推论、垂直的定义、平行线的性质、算术平方根的概念判断即可．
【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题说法是假命题；
③两直线平行，同旁内角互补，故本小题说法是假命题；
④如果a2＝5，那么5的算术平方根是|a|，故本小题说法是假命题；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（4分）在直角坐标系中，点P（6﹣2x，x﹣5）在第四象限，则x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜5 B．﹣3＜x＜5 C．x＜3 D．x＞5
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据第四象限内点的坐标特点列出关于x的一元一次不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意可得：，
解①得：x＜3，
解②得：x＜5，
故不等式组的解集为：x＜3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组及点的坐标，正确解不等式组是解题关键．
8．（4分）根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．
大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．”
小马说：“我还想给你1包呢！”
大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（ ）
A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1）
C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设大马驮x袋，小马驮y袋．本题中的等量关系是：2×（小马驮的﹣1袋）＝大马驮的+1袋；大马驮的﹣1袋＝小马驮的+1袋，据此可列方程组求解．
【解答】解：设大马驮x袋，小马驮y袋．
根据题意，得．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
9．（4分）若数a使关于x的方程2﹣a＝4（x﹣1）的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【考点】一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的解为正数即可得出a＜6，根据不等式组的解集为y＜﹣2，即可得出a≥﹣2，找出﹣2≤a＜6中所有的整数，将其相加即可得出结论．
【解答】解：方程2﹣a＝4（x﹣1）的解为x，
∵关于x的方程2﹣a＝4（x﹣1）的解为正数，
∴0，
解得：a＜6．
，
解不等式①得：y＜﹣2；
解不等式②得：y≤a．
∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，
∴a≥﹣2．
∴﹣2≤a＜6．
∵a为整数，
∴a＝﹣2、﹣1、0、1、2，3、4、5，
（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次不等式，根据一元一次方程的解为正数结合不等式组的解集为y＜﹣2，找出﹣2≤a＜6是解题的关键．
10．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣1），B（1，4），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据AC∥x轴得出y的值，再由垂线段最短即可得出x的值，进而得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣2，﹣1），B（1，4），C（x，y），AC∥x轴，
∴y＝﹣1；
∵当AC⊥BC时，线段BC最短，
∴x＝1，
∴C（1，﹣1），
∴BC最短＝4﹣（﹣1）＝5．
故选：D．
【点评】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算的结果是 22 ．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】22．
【分析】利用二次根式乘法法则及立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：原式2
2
＝22，
故答案为：22．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12．（4分）如果一个二十边形的每个内角都相等，那么它的每个外角的度数是 18° ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】18°．
【分析】利用二十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数．
【解答】解：∵360°÷20＝18°，
∴它的每个外角的度数是18°，
故答案为：18°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和计算公式．多边形内角和定理：多边形内角和等于（n﹣2） 180°．
13．（4分）已知A点（﹣2a+6，a）在象限角平分线上，则a的值为 2或6 ．
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识；运算能力．
【答案】2或6．
【分析】根据在角平分线上的点的坐标特点：点的横纵坐标相等或互为相反数，即可解答．
【解答】解：∵A点（﹣2a+6，a）在象限角平分线上，
∴﹣2a+6＝a或﹣2a+6+a＝0，
解得a＝2或6．
故答案为：2或6．
【点评】本题考查了各象限角平分线上点的坐标的符号特征，第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标互为相反数．
14．（4分）如图，AD是△ABC的中线，E是AB的中点，连接DE．若△ABC的面积为24，则△BDE的面积为 6 ．
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由AD是△ABC的中线，E是AB的中点，得到S△ABDS△ABC，S△BEDS△ABD，推出S△BEDS△ABC，又△ABC的面积为24，即可求出△BDE的面积．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴S△ABDS△ABC，
∵E是AB的中点，
∴S△BEDS△ABD，
∴S△BEDS△ABC，
∵△ABC的面积为24，
∴△BDE的面积为24＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到S△BEDS△ABC．
15．（4分）如果三角形的两个内角α与β满足3α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝45°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为 15°或22.5°或120° ．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】证明题；分类讨论；三角形；推理能力．
【答案】15°或22.5°或120°．
【分析】根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．
【解答】解：当点P在点B的右侧时，
∵3α+β＝90°，而45°×3＝135°＞90°，∠ABC≠α，
①∠A＝α，∠ABC＝β＝45°，
由3α+β＝90°得，α＝15°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝120°；
②∠APB＝α，∠ABC＝β＝45°，
同理得：∠APB＝α＝15°；
③∠APB＝α，∠A＝β，
得，，
解得：α＝﹣22.5°（不合题意舍去），
④∠APB＝β，∠A＝α，
同理不合题意；
当点P在点B的左侧时，
⑤∠APB＝α，∠A＝β，∠ABC＝∠APB+∠A＝45°，
得，，
解得：，
即∠APB＝22.5°；
⑥∠APB＝β，∠A＝α，∠ABC＝∠APB+∠A＝45°，
得，，
解得：，
即∠APB＝22.5°，
综上所述，∠APB的所有可能的度数为15°或22.5°或120°，
故答案为15°或22.5°或120°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，“准直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．（4分）如图，把长方形ABCD沿EF对折后使其两部分重合，若∠1＝52°，则∠AEF＝ 116° ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】计算题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据折叠的性质及∠1＝40°可求出∠BFE的度数，再由平行线的性质即可解答．
【解答】解：如图，
∵四边形EFGH是四边形EFBA折叠而成，
∴∠BFE＝∠EFG，
∵∠BFE+∠EFG+∠1＝180°，∠1＝52°，
∴∠BFE＝∠EFG（180°﹣52°）128°＝64°，
又∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE＝180°，
∴∠AEF＝180°﹣64°＝116°．
故答案为：116°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
17．（4分）如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时∠EFD＝ 125° ．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】125°．
【分析】延长DF交CE于点P，根据三角形内角和定理及三角形的外角性质即可解答．
【解答】解：如图，延长DF交CE于点P，
∠DCE＝∠ACB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠DPE＝∠D+∠DCE＝20°+75°＝95°，
∴∠DFE＝∠E+∠DPE＝30°+95°＝125°．
故答案为：125°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键．
18．（4分）长方形的一边等于3m﹣2n，另一边是m+n，则这个长方形的周长是 8m﹣2n ．
【考点】整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【答案】8m﹣2n．
【分析】根据长方形的周长公式以及整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：长方形的周长为：2（3m﹣2n+m+n）
＝2（4m﹣n）
＝8m﹣2n，
故答案为：8m﹣2n．
【点评】本题考查整式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【解答】解：（1），
由①，可得：x＝2y+7③，
③代入②，可得：2y+7+y＝10，
解得y＝1，
把y＝1代入③，解得x＝9，
∴原方程组的解是．
（2）由，
可得：，
①+②，可得6x＝18，
解得x＝3，
把x＝3代入①，解得y，
∴原方程组的解是．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
20．（10分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x≤2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4（x﹣1）≤x+2，得：x≤2，
解不等式x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（10分）某中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．依据以上信息解答以下问题：
（1）该调查的样本容量是 50 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校一共有2800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数．
【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）50；
（2）见解答；
（3）1120人．
【分析】（1）由12岁的人数及其所占百分比可得样本容量；
（2）用总人数乘以14岁所占的百分比，求出14岁的人数，再用总人数减去其他年龄的人数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以样本中15岁及以上的学生人数所占比例可得．
【解答】解：（1）样本容量是6÷12%＝50；
故答案为：50；
（2）14岁的学生人数50×28%＝14（人），
16岁的学生人数50﹣6﹣10﹣14﹣18＝2（人），
补全统计图如下：
（3）2800×（36%）＝1120（人），
答：估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为1120人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（10分）已知：如图，AD⊥BC，且AD平分∠BAC，∠1＝∠3．求证：EG⊥BC．请完善证明过程，并在括号内填上相应依据．
证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴ ∠2 ＝ ∠3 （角平分线的定义），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠1（等量代换），
∴ AD ∥ EG （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB＝ 90° （ 垂直的定义 ），
∴∠EGD＝∠ADB＝90°（ 两直线平行，同位角相等 ），
∴EG⊥BC（垂直的定义）．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】∠2，∠3，AD，EG，内错角相等，两直线平行，90°，垂直的定义，两直线平行，同位角相等．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠2＝∠3（角平分线的定义），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠1（等量代换），
∴AD∥EG（内错角相等，两直线平行），
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB＝90°（垂直的定义），
∴∠EGD＝∠ADB＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴EG⊥BC（垂直的定义）．
故答案为：∠2，∠3，AD，EG，内错角相等，两直线平行，90°，垂直的定义，两直线平行，同位角相等．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，熟练应用相关性质进行求解是解决本题的关键．
23．（10分）预防新型冠状病毒，首先需要做好个人防护，同时还需要经常对公共场所喷洒消毒液进行消杀．于是某校购进了每桶重量相同的A、B两种消毒液，经过了解发现，购进A种消毒液1桶和B种消毒液2桶共需110元；购进A种消毒液2桶和B种消毒液3桶共需190元．
（1）分别求出每桶A种消毒液和B种消毒液的价格；
（2）若该学校决定要购进两种消毒液共100桶，其中A种消毒液的数量不低于B种消毒液的，在购进时，商家为了促销，特提出A种消毒液每桶优惠5元，试问如何购进A、B两种消毒液使得所需费用最低，并计算出最低费用．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）每桶A种消毒液的价格为50元，每桶B种消毒液的价格为30元；
（2）购进A种消毒液25桶，B种消毒液75桶，所需费用最低，最低费用为3375元．
【分析】（1）设每桶A种消毒液的价格为a元，每桶B种消毒液的价格为b元，根据购进A种消毒液1桶和B种消毒液2桶共需110元；购进A种消毒液2桶和B种消毒液3桶共需190元．列出方程组，求解即可；
（2）设购进A种消毒液x桶，则购进B种消毒液（100﹣x）桶，所需费用为w元，根据题意可以得到费用与A种消毒液数量的函数关系，然后根据A种消毒液的数量不低于B种消毒液的，一次函数的性质，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每桶A种消毒液的价格为a元，每桶B种消毒液的价格为b元，
由题意得：，
解答：，
答：每桶A种消毒液的价格为50元，每桶B种消毒液的价格为30元；
（2）设购进A种消毒液x桶，则购进B种消毒液（100﹣x）桶，所需费用为w元，
由题意得：w＝（50﹣5）x+30（100﹣x）＝15x+3000，
∵k＝15＞0，
∴w随x的增大而增大，
∵A种消毒液的数量不低于B种消毒液的，
∴x（100﹣x），且x≤100，
∴25≤x≤100，
∴当x＝25时，w取得最小值，
此时w＝15×25+3000＝3375，100﹣x＝75，
答：购进A种消毒液25桶，B种消毒液75桶，所需费用最低，最低费用为3375元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24．（10分）在答题卡的网格中建立平面直角坐标系，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知三点A（1，1）、B（3，4）、C（4，2）．
（1）将点C向下平移3个单位长度到点D，将点A先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度到点E，在图中标出点D和点E，并写出点D和点E的坐标．
（2）求△EBD的面积S△EBD．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解答；
（2）14.5．
【分析】（1）先根据A、B、C点的坐标描点，再利用点平移的坐标特征写出D、E的坐标，然后描点；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△EBD的面积．
【解答】解：（1）如图，点D和E为所作，D（4，﹣1），E（﹣2，0）；
（2）S△BDE＝5×66×15×15×4＝14.5．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
25．（10分）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
∠B（单位：度） 10 30 30 20 20
∠C（单位：度） 70 70 60 60 80
∠EAD（单位：度） 30 a 15 20 30
上表中a＝ 20 ，于是得到∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系为 ∠EAD（∠C﹣∠B） ；
（2）小明继续探究，如图2，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过EA的延长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于点D，当∠ABC＝85°，∠C＝23°时，∠F度数为 31 °．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；几何直观；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）20，理由见解答过程；∠EAD（∠C﹣∠B），理由见解答过程；
（2）∠EPD（∠C﹣∠B），理由见解答过程；
（3）31．
【分析】（1）先求出∠BAC＝80°，根据角平分线的定义得∠BAE＝∠CAE＝40°，然后根据AD⊥BC，∠C＝70°得∠CAD＝20°，据此可求出∠EDC的度数，进而可得a的值；
由AD⊥BC得∠CAD＝90°﹣∠C，再由角平分线的定义得∠CAE∠BAC＝90°（∠B+∠C），然后∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD可得出∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系；
（2）过点A作AF⊥BC于F，由（1）可知∠EAF（∠C﹣∠B），再根据PD⊥BC，AF⊥BC得PD∥AF，然后由平行线的性质得∠EPD＝∠EAF，据此可得∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系；
（3）过点B作BG⊥BC交EF于点G可得FD∥BG，进而得∠F＝∠AGB，根据∠ABC＝85°，∠C＝23°求出∠BAC＝72°，再由角平分线的定义得∠BAE＝36°，然后再求出∠ABG＝5°，进而由三角形外角定理得∠AGB＝∠BAE﹣∠ABG＝31°，据此即可得出∠F的度数．
【解答】解：（1）a＝20，理由如下：
∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE∠BAC＝40°，
∵AD⊥BC，∠C＝70°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∴∠EDC＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣20°＝20°；
即：a＝20．
∠B、∠C、∠EAD之间的关系是：∠EAD（∠C﹣∠B）．
理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C），AE平分∠BAC，
∴∠CAE∠BAC[180°﹣（∠B+∠C）]＝90°（∠B+∠C），
∵∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD，
∴∠EAD＝90°（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C（∠C﹣∠B）．
故答案为：20，∠EAD（∠C﹣∠B）．
（2）∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系是：∠EPD（∠C﹣∠B）．
理由如下：
过点A作AF⊥BC于F，如图：
由（1）可知：∠EAF（∠C﹣∠B），
∵PD⊥BC，AF⊥BC，
∴∠EPD＝∠EAF（∠C﹣∠B）；
（3）过点B作BG⊥BC交EF于点G，如图：
∵FD⊥BC，
∴FD∥BG，
∴∠F＝∠AGB，
∵∠ABC＝85°，∠C＝23°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣85°﹣23°＝72°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE∠BAC＝36°，
∵GB⊥BC，
∴∠ABG＝90°﹣∠ABC＝90°﹣85°＝5°，
∵∠BAE＝∠AGB+∠ABG，
∴∠AGB＝∠BAE﹣∠ABG＝36°﹣5°＝31°，
∴∠F＝∠AGB＝31°．
故答案为：31．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，垂直的定义，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解答此题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角定理，理解垂直于同一条直线的两条直线平行；难点是正确的作出辅助线构造平行线．
26．（10分）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3|0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，请写出在转动过程中∠BAC与∠BCD的数量关系并证明．
（3）如图1，若灯B射线先转动40秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，直接写出A灯转动多少秒时两灯的光束互相平行．
【考点】非负数的性质：算术平方根；平行线的判定；平行线的性质；非负数的性质：绝对值．
【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）3，1；
（2）2∠BAC＝3∠BCD，证明见解答过程；
（3）当t＝20秒或80秒时，两灯的光束互相平行．
【分析】（1）根据|a﹣3|0，可得a﹣3＝0，且b﹣1＝0，进而得出a、b的值；
（2）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系；
（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可．
【解答】解：（1）∵a、b满足|a﹣3|0，
∴a﹣3＝0，且b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1；
（2）∠BAC与∠BCD的数量关系是：2∠BAC＝3∠BCD．
证明如下：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD；
（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（40+t）×1，
解得t＝20；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（40+t）×1＝180，
解得t＝80；
③当120＜t＜140时，
3t﹣360＝t+40，
解得t＝200＞140（不合题意），
综上所述，当t＝20秒或80秒时，两灯的光束互相平行．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．
考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
5．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
6．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
7．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
8．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
9．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
10．由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．
11．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
12．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
13．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
14．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
15．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
17．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
18．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
19．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
20．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
21．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
22．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
23．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
24．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
25．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
26．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
27．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
28．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
29．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
30．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
31．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
32．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
33．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
34．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
35．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
36．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
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