2024—2025学年上学期合肥初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期合肥初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 309.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:27:44 | ||
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文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2024—2025学年上学期合肥初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列二次根式中能与合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）利用配方法将x2+2x+3＝0化为a（x﹣h）2+k＝0（a≠0）的形式为（ ）
A．（x﹣1）2﹣2＝0 B．（x﹣1）2+2＝0
C．（x+1）2+2＝0 D．（x+1）2﹣2＝0
3．（4分）某机械厂7月生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，那么可列方程为（ ）
A．50（1+x）2＝196
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196
C．50+50（1+x）2＝196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196
4．（4分）定义运算：a※b＝a2﹣2ab+1．例如：4※2＝42﹣2×4×2+1＝1．则方程x※2＝﹣4的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
6．（4分）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．梯形 D．以上都不对
7．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． B． C． D．2
8．（4分）一组数据16，m，20，20，24按从小到大的顺序排列，下列选项与m无关的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
9．（4分）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m＜2 B．0≤m≤5 C．m＞5 D．2≤m≤5
10．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ）
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是；
③当MN最小时，S△CMNS菱形ABCD；
④四边形AMCN周长最小值为2+2．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）一组数据2，x，1，3，5，4，若这组数据的中位数是3，则这组数据的方差是 ．
12．（4分）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0两个实数根，且x1+x2＝10，则m＝ ．
13．（4分）抛物线y＝a（x﹣h）2+1的对称轴为直线x＝1，且经过点（2，3），则该抛物线的解析式为 ．
14．（4分）点D是Rt△ABC的斜边AB的中点，若∠A＝25°，则∠BCD的度数为 ．
15．（4分）如图，将两条边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数 ．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E为AB的中点，将△AED沿DE翻折得到△GED，射线DG交BC于点F，若AD＝2，则BF＝ ．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．（6分）计算：
（1）（3）﹣（）
（2）2
（3）（）（）+（23）2
（4）（423）．
18．（6分）解下列方程：
（1）（x﹣7）2＝4（x﹣7）；
（2）x2﹣6x＝7．
19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF∥CD．
（1）求证：四边形CBFD为菱形；
（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF，求AC的长．
20．（10分）某商店计划用4000元购买甲、乙两款充电宝共50个．现有两款充电宝的售价都是80元．该商店计划购买甲充电宝x个，但在实际购买时，甲充电宝的售价上涨了x%，乙充电宝的价格下降了10元．该商店决定在购买总量不变的情况下，乙充电宝的数量比原计划增加20%．
（1）根据题意，填写下表．
售价（元） 数量（个）
原售价 实际售价 原计划 实际
甲充电宝 80 x
乙充电宝 80 70
（2）设实际购买的总费用为y元，求y关于x的函数表达式（不要求x的取值范围）．
（3）若最终节约了464元，求实际购买了多少个甲充电宝．
21．（12分）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C＝90°，边AC＝8m，BC＝6m，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DG＝x，当x取何值时，水池DEFG的面积（S）最大？
22．（12分）综合与实践
如图1，在正方形ABCD中，AB＝2，P是正方形内一点，连接PA，PB，且∠APB＝90°，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得到△CBP'，延长AP交CP'于点T．
【问题发现】
（1）根据旋转的性质，易得四边形BPTP'是 ．（填特殊四边形的名称）
【深入探究】
（2）如图2，过点D作DQ⊥AP于点Q，连接QP'．请判断四边形CDQP'的形状，并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若点Q是AP的三等分点，请直接写出线段CT的长．
2024—2025学年上学期合肥初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列二次根式中能与合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再看看是否是同类二次根式即可．
【解答】解：A．3，不能与合并，故本选项不符合题意；
B．4，能与合并，故本选项符合题意；
C．3，不能与合并，故本选项不符合题意；
D．3，不能与合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
2．（4分）利用配方法将x2+2x+3＝0化为a（x﹣h）2+k＝0（a≠0）的形式为（ ）
A．（x﹣1）2﹣2＝0 B．（x﹣1）2+2＝0
C．（x+1）2+2＝0 D．（x+1）2﹣2＝0
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】C
【分析】根据配方法的步骤在等式两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即可把x2+2x+3＝0化为a（x﹣h）2+k＝0（a≠0）的形式．
【解答】解：x2+2x+3＝0，
x2+2x+1+3＝1，
（x+1）2+2＝0，
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3．（4分）某机械厂7月生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，那么可列方程为（ ）
A．50（1+x）2＝196
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196
C．50+50（1+x）2＝196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【答案】B
【分析】根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程．
【解答】解：∵七月份生产零件50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，
∴八月份的产量为50（1+x）万个，九月份的产量为50（1+x）2万个，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝196，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能分别将8、9月份的产量表示出来，难度不大．
4．（4分）定义运算：a※b＝a2﹣2ab+1．例如：4※2＝42﹣2×4×2+1＝1．则方程x※2＝﹣4的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式；实数的运算．
【专题】新定义；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用新定义得到x2﹣4x+5＝0，然后Δ＜0可根据判断方程根的情况．
【解答】解：由新定义得x2﹣2×2x+1＝﹣4，
即x2﹣4x+5＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】A
【分析】由矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故选项A符合题意；
B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
D、两条对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定等知识，熟练掌握矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定方法是解题的关键．
6．（4分）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．梯形 D．以上都不对
【考点】中点四边形．
【答案】B
【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．
【解答】解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG＝DG，
在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG，
∴△AEH≌△DGH，
∴EH＝HG，
同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH
∴EH＝HE＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，综合利用了三角形的中位线定理和矩形的性质是解题关键．
7．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． B． C． D．2
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；正方形的性质．
【答案】A
【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质得到∠ACF＝90°，根据勾股定理求出AF的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．
【解答】解：连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，
∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵BC＝2，CE＝4，
∴AC＝2，CF＝4，
由勾股定理得，AF＝2，又H是AF的中点，
∴CHAF，
故选：A．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8．（4分）一组数据16，m，20，20，24按从小到大的顺序排列，下列选项与m无关的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据方差、众数、中位数和平均数的概念进行判断即可．
【解答】解：组数据16，m，20，20，24按从小到大的顺序排列，当m发生改变时，平均数和众数可能发生变化，方差一定发生变化，中位数不变，
故选：A．
【点评】本题考查的是方差、众数、中位数和平均数的概念和性质，掌握它们的概念是解题的关键．
9．（4分）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m＜2 B．0≤m≤5 C．m＞5 D．2≤m≤5
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），
∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，
∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，
∴2≤m≤5，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ）
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是；
③当MN最小时，S△CMNS菱形ABCD；
④四边形AMCN周长最小值为2+2．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】由四边形ABCD是菱形得AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，而∠BAC＝∠ACD＝60°，则△ABC和△ADC都是等边三角形，再证明△BAM≌△CAN，得AM＝AN，而∠MAN＝60°，则△AMN是等边三角形，可判断①正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，由∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2可求得MA＝AM，可判断②正确；
当MN的值最小，则BM＝CM，可证明DN＝CN，根据三角形的中位线定理得MN∥BD，则△CMN∽△CBD，可求得S△CMNS△CBDS菱形ABCD，可判断③正确；
由△BAM≌△CAN得AM＝AN，BM＝CN，得出CM＝DN，则CM+CN＝2，根据“垂线段最短”得：当且仅当AM⊥BC时，AM最小，解直角三角形求得AM，即可求得四边形AMCN周长最小值为2+2可判断④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，
∴△BAM≌△CAN（ASA），
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
故①正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，
∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，
∴MN＝AM＝AB sin60°＝2，
∴MN的最小值是，
故②正确；
∵AM⊥BC 时，MN的值最小，此时BM＝CM，
∴CN＝BMCBCD，
∴DN＝CN，
∴MN∥BD，
∴△CMN∽△CBD，
∴，
∴S△CMNS△CBD，
∵S△CBDS菱形ABCD，
∴S△CMNS菱形ABCDS菱形ABCD，
故③正确；
由①可知△BAM≌△CAN，
∴BM＝CN，
∴CM＝DN，
∴CM+CN＝CD＝2，
由①可知△AMN是等边三角形，
根据“垂线段最短”得：当且仅当AM⊥BC时，AM最小，
则2+2AM为最小，即四边形AMCN周长最小，
∵AM⊥BC，∠A＝60°，
∴AMAB，
∴2+2AM＝2+2．
∴四边形AMCN周长的最小值为2+2，
故结论结论④正确．
故选：D．
【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试题中的拔高区分题．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）一组数据2，x，1，3，5，4，若这组数据的中位数是3，则这组数据的方差是 ．
【考点】方差；中位数．
【专题】常规题型；统计的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据中位数的定义求出x的值，再求出这组数据的平均数，最后根据方差公式S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]进行计算即可．
【解答】解：∵按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3，
∴x＝3，
∴这组数据的平均数是（1+2+3+3+4+5）÷6＝3，
∴这组数据的方差是：[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]，
故答案为：．
【点评】本题考查了中位数和方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
12．（4分）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0两个实数根，且x1+x2＝10，则m＝ 6 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接列式求解即可得到答案．
【解答】解：x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0两个实数根，
∴x1+x2＝10，
∴，
解得：m＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握．
13．（4分）抛物线y＝a（x﹣h）2+1的对称轴为直线x＝1，且经过点（2，3），则该抛物线的解析式为 y＝2x2﹣4x+3 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y＝2x2﹣4x+3．
【分析】根据对称轴为直线x＝1，且经过点（2，3），可列h，a的方程组，即可解得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+1的对称轴为直线x＝1，且经过点（2，3），
∴，
解得，
∴y＝2（x﹣1）2+1＝2x2﹣4x+3，
故答案为：y＝2x2﹣4x+3．
【点评】本题考查二次函数图象上点坐标特征及函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
14．（4分）点D是Rt△ABC的斜边AB的中点，若∠A＝25°，则∠BCD的度数为 65° ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质推知等腰三角形ACD的两个底角的度数；然后由图形中的∠ACD+∠BCD＝90°即可求得∠BCD的度数．
【解答】解：连接CD；
∵D是Rt△ABC斜边AB上的中点，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD；
∵∠A＝25°，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠A＝65°；
故答案为：65°．
【点评】本题考查了直角三角形的斜边上的中线．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
15．（4分）如图，将两条边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数 3 ．
【考点】图形的剪拼．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】3．
【分析】求出正方形的边长，即可判断．
【解答】解：由题意正方形的面积为2×4＝8，
∵22＝4.32＝9，42＝16，52＝25，
∴该正方形的边长最接近整数为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查图形的拼剪，正方形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E为AB的中点，将△AED沿DE翻折得到△GED，射线DG交BC于点F，若AD＝2，则BF＝ ．
【考点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】DE和CB的延长线相交于G'点，连接EF，作EH⊥DF于H点，如图，根据菱形的性质得A＝180°﹣∠B＝120°，AB＝AD＝2，AD∥BC，则∠1＝∠G，再利用折叠的性质得∠1＝∠2，DG＝DA＝2，EG＝EA＝1，∠3＝∠A＝120°，则∠4＝60°，在Rt△EHG中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HGEG，EHEH，则在Rt△DEH中利用勾股定理可计算出DE，再证明∠2＝∠G'得到FG'＝FD，证明△AED≌△BEG'得到DE＝G'E，所以FE⊥DG'，然后证明Rt△DEF∽Rt△DHE，利用相似比计算出DF，则FG＝FD﹣DG，于是得到BF＝FG．
【解答】解DE和CB的延长线相交于G’点，连接EF，作EH⊥DF于H点，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠A＝180°﹣∠B＝120°，AB＝AD＝2，AD∥BC
∴∠1＝∠G'，
而E为AB的中点，
∴AE＝BE＝1，
∵△AED沿DE翻折得到△GED，
∴∠1＝∠2，DG＝DA＝2，EG＝EA＝1，∠3＝∠A＝120°，
∴∠4＝60°，
在Rt△EHG中，HGEG，EHEH，
在Rt△DEH中，DE，
∵AD∥BG'，
∴∠1＝∠G'，
∴∠G'＝∠2，
∴FG＝FD，
在△AED和△BEG'中，
，
∴△AED≌△BEG'，
∴DE＝G'E，
∴FE⊥DG'，
∴∠FED＝90°，
∵∠HDE＝∠EDF，
∴Rt△DEF∽Rt△DHE，
∴，即，
∴DF，
∴FG＝FD﹣DG2，
∴BF＝FG．
故答案为．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．（6分）计算：
（1）（3）﹣（）
（2）2
（3）（）（）+（23）2
（4）（423）．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号合并即可；
（2）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；
（3）利用平方差各完全平方公式计算；
（4）先把各二次根式化为最简二次根式和除法运算化为乘法运算，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算．
【解答】解：（1）原式＝23
；
（2）原式2
＝3﹣22
＝3；
（3）原式＝2﹣3+8+1227
＝34+12；
（4）原式＝（449）
＝9
＝9．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（6分）解下列方程：
（1）（x﹣7）2＝4（x﹣7）；
（2）x2﹣6x＝7．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝7，x2＝11；（2）x1＝﹣1，x2＝7．
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣7）2＝4（x﹣7），
∴（x﹣7）（x﹣7﹣4）＝0，
∴x1＝7，x2＝11；
（2）x2﹣6x＝7，
∴x2﹣6x﹣7＝0，
∴（x+1）（x﹣7）＝0，
∴x+1＝0或x﹣7＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝7．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF∥CD．
（1）求证：四边形CBFD为菱形；
（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF，求AC的长．
【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【分析】（1）先证四边形CBFD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得CDAB＝BD，然后证出CD＝CB，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OC＝OFCF＝2，BD⊥CF，再由等边三角形的性质得∠CBD＝∠BCD＝60°，∠BCO＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得OBOC＝2，BC＝2OB＝4，进而得出ACBC＝4．
【解答】（1）证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵BF∥CD，
∴四边形CBFD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CDAB＝BD，
又∵BC＝BD，
∴CD＝BC，
∴平行四边形CBFD为菱形；
（2）解：如图，由（1）得：四边形CBFD为菱形，
∴OC＝OFCF＝2，BD⊥CF，
∵BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝∠BCD＝60°，
∵BD⊥CF，
∴∠BCO＝30°，
∴OBOC＝2，
∴BC＝2OB＝4，
∵∠A＝90°﹣∠CBD＝30°，
∴ACBC＝4．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证出CD＝BD是解题的关键．
20．（10分）某商店计划用4000元购买甲、乙两款充电宝共50个．现有两款充电宝的售价都是80元．该商店计划购买甲充电宝x个，但在实际购买时，甲充电宝的售价上涨了x%，乙充电宝的价格下降了10元．该商店决定在购买总量不变的情况下，乙充电宝的数量比原计划增加20%．
（1）根据题意，填写下表．
售价（元） 数量（个）
原售价 实际售价 原计划 实际
甲充电宝 80 80（1+x%） x 1.2x﹣10
乙充电宝 80 70 50﹣x 60﹣1.2x
（2）设实际购买的总费用为y元，求y关于x的函数表达式（不要求x的取值范围）．
（3）若最终节约了464元，求实际购买了多少个甲充电宝．
【考点】二次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意得到代数式即可；
（2）根据题意得到y关于x的函数表达式即可；
（3）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）
售价（元） 数量（个）
原售价 实际售价 原计划 实际
甲充电宝 80 80（1+x%） x 1.2x﹣10
乙充电宝 80 70 50﹣x 60﹣1.2x
故答案为：80（1+x%），50﹣x，1.2x﹣10，60﹣1.2x；
（2）根据题意得，y＝80（1+x%）（1.2x﹣10）+70（60﹣1.2x）＝0.96x2+4x+3400；
（3）根据题意得，0.96x2+4x+3400＝4000﹣464，
解得：x1＝10，x2（舍去），
∴实际购买了2个甲充电宝．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
21．（12分）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C＝90°，边AC＝8m，BC＝6m，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DG＝x，当x取何值时，水池DEFG的面积（S）最大？
【考点】二次函数的应用．
【专题】方案型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理易求AB的长，运用等积法求高；
（2）S＝GD GF＝x GF，利用△CGF∽△CAB，用含x的式子表示GF，从而得函数表达式，运用函数性质求解．
【解答】解：（1）如图，作CH⊥AB于点H，交FG于点K．
由∠C＝90°AC＝8，BC＝6，易得AB＝10．
∵S△ABCAB CH，
∴h＝CH．
（2）如图，设DE＝GF＝y，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，由此可得．
∴
∴
．
∵，
∴当x＝2.4时，S有最大值12．
答：当x取2.4m时，水池DEFG的面积（S）最大，且S＝12m2．
（其它证法合理参照给分）
【点评】此题的关键是用含x的式子表示矩形的长，涉及相似形的性质．运用二次函数的性质求最值常用配方法或公式法．
22．（12分）综合与实践
如图1，在正方形ABCD中，AB＝2，P是正方形内一点，连接PA，PB，且∠APB＝90°，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得到△CBP'，延长AP交CP'于点T．
【问题发现】
（1）根据旋转的性质，易得四边形BPTP'是 正方形 ．（填特殊四边形的名称）
【深入探究】
（2）如图2，过点D作DQ⊥AP于点Q，连接QP'．请判断四边形CDQP'的形状，并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若点Q是AP的三等分点，请直接写出线段CT的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；推理能力；应用意识．
【答案】（1）正方形；
（2）四边形CDQP′是平行四边形，理由见解答；
（3）或．
【分析】（1）利用旋转的性质，可得出∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠BPA＝90°，PB＝P′B，进而可得出∠BPT＝∠BP′T＝∠PBP′＝90°，利用矩形的判定定理，可得出四边形BPTP′是矩形，再结合PB＝P′B，即可得出矩形BPTP′是正方形；
（2）四边形CDQP′是平行四边形，利用正方形的性质及垂线的定义，可得出AB＝DA，∠PTP′＝90°＝∠PQD，利用平行线的判定定义，可得出DQ∥CP′，利用同角的余角相等，可得出∠DAQ＝∠ABP，进而可证出△DAQ≌△ABP（AAS），利用全等三角形的性质，可得出DQ＝AP，结合旋转的性质，可得出DQ＝CP′，结合DQ∥CP′，可得出四边形CDQP′是平行四边形；
（3）由全等三角形的性质及各边间的关系，可得出CT＝PQ，分AP＝3PQ及AP＝3AQ两种情况考虑，①当AP＝3PQ时，设PQ＝x，则AP＝3x，AQ＝BP＝2x，在Rt△ABP中，利用勾股定理，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，可得出CT的长；②当AP＝3AQ时，设AQ＝y，则BP＝y，AP＝3y，PQ＝2y，在Rt△ABP中，利用勾股定理，可得出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，取其正值代入2y中，可得出CT的长．
【解答】解：（1）由旋转的性质，可知：∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠BPA＝90°，PB＝P′B，
∴∠BPT＝∠BP′T＝∠PBP′＝90°，
∴四边形BPTP′是矩形．
又∵PB＝P′B，
∴矩形BPTP′是正方形．
故答案为：正方形；
（2）四边形CDQP′是平行四边形，理由如下：
∵四边形BPTP′是正方形，
∴∠PTP′＝90°．
∵DQ⊥AP，
∴∠PQD＝90°，
∴∠PQD＝∠PTP′，
∴DQ∥CP′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AB＝DA．
∵∠DAQ+∠PAB＝90°，∠PAB+∠ABP＝90°，
∴∠DAQ＝∠ABP．
在△DAQ和△ABP中，
，
∴△DAQ≌△ABP（AAS），
∴DQ＝AP．
由旋转的性质，可知：AP＝CP′，
∴DQ＝CP′，
∴四边形CDQP′是平行四边形；
（3）∵△DAQ≌△ABP，
∴AQ＝BP．
∵BP＝TP′，AP＝CP′，
∴AQ＝TP′，
∴CT＝CP′﹣TP′＝AP﹣AQ＝PQ．
∵点Q是AP的三等分点，
∴分两种情况考虑：
①当AP＝3PQ时，设PQ＝x，则AP＝3x，AQ＝BP＝2x．
在Rt△ABP中，有AP2+BP2＝AB2，
∴（3x）2+（2x）2＝22，
解得：x1，x2（不符合题意，舍去），
∴CT；
②当AP＝3AQ时，设AQ＝y，则BP＝y，AP＝3y，PQ＝2y．
在Rt△ABP中，有AP2+BP2＝AB2，
∴（3y）2+y2＝22，
解得：y1，y2（不符合题意，舍去），
∴CT＝PQ＝2y．
综上所述，当点Q是AP的三等分点时，线段CT的长为或．
【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、平行四边形的判定、正方形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用正方形的判定定理，找出四边形BPTP′是正方形；（2）利用平行线的判定定理、全等三角形的性质及旋转的性质，找出DQ∥CP′且DQ＝CP′；（3）分AP＝3PQ及AP＝3AQ两种情况，利用勾股定理列出一元二次方程．
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
5．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
6．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
7．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
8．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
9．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
10．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
11．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
12．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
13．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
14．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
15．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
16．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
18．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
19．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
20．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
21．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
22．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
23．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
24．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
25．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
26．中点四边形
瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．
27．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
28．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
29．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
30．图形的剪拼
平面构成设计的基础知识，图形拼摆使学生初步理解基本形图形拼摆的概念、构成，以及基本形在平面构成设计中的意义．运用形象与空间关系的规律，设计出新颖的图形拼摆图案．2．学习用分割、组合的方法获得基本形，在教师指导下进行巧妙组合、色彩搭配，图形拼摆完成简单的平面构成设计．培养、锻炼学生的组合造型能力和空间想象能力，发展抽象思维．3．通过动手拼摆、操作，使学生初步了解分解构成的原理，增强设计意识，并在小组活动中培养学生的操作、观察、表达及思维能力，培养探索意识和合作精神．
31．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
32．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
33．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
34．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
2024—2025学年上学期合肥初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列二次根式中能与合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）利用配方法将x2+2x+3＝0化为a（x﹣h）2+k＝0（a≠0）的形式为（ ）
A．（x﹣1）2﹣2＝0 B．（x﹣1）2+2＝0
C．（x+1）2+2＝0 D．（x+1）2﹣2＝0
3．（4分）某机械厂7月生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，那么可列方程为（ ）
A．50（1+x）2＝196
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196
C．50+50（1+x）2＝196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196
4．（4分）定义运算：a※b＝a2﹣2ab+1．例如：4※2＝42﹣2×4×2+1＝1．则方程x※2＝﹣4的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
6．（4分）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．梯形 D．以上都不对
7．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． B． C． D．2
8．（4分）一组数据16，m，20，20，24按从小到大的顺序排列，下列选项与m无关的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
9．（4分）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m＜2 B．0≤m≤5 C．m＞5 D．2≤m≤5
10．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ）
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是；
③当MN最小时，S△CMNS菱形ABCD；
④四边形AMCN周长最小值为2+2．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）一组数据2，x，1，3，5，4，若这组数据的中位数是3，则这组数据的方差是 ．
12．（4分）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0两个实数根，且x1+x2＝10，则m＝ ．
13．（4分）抛物线y＝a（x﹣h）2+1的对称轴为直线x＝1，且经过点（2，3），则该抛物线的解析式为 ．
14．（4分）点D是Rt△ABC的斜边AB的中点，若∠A＝25°，则∠BCD的度数为 ．
15．（4分）如图，将两条边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数 ．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E为AB的中点，将△AED沿DE翻折得到△GED，射线DG交BC于点F，若AD＝2，则BF＝ ．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．（6分）计算：
（1）（3）﹣（）
（2）2
（3）（）（）+（23）2
（4）（423）．
18．（6分）解下列方程：
（1）（x﹣7）2＝4（x﹣7）；
（2）x2﹣6x＝7．
19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF∥CD．
（1）求证：四边形CBFD为菱形；
（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF，求AC的长．
20．（10分）某商店计划用4000元购买甲、乙两款充电宝共50个．现有两款充电宝的售价都是80元．该商店计划购买甲充电宝x个，但在实际购买时，甲充电宝的售价上涨了x%，乙充电宝的价格下降了10元．该商店决定在购买总量不变的情况下，乙充电宝的数量比原计划增加20%．
（1）根据题意，填写下表．
售价（元） 数量（个）
原售价 实际售价 原计划 实际
甲充电宝 80 x
乙充电宝 80 70
（2）设实际购买的总费用为y元，求y关于x的函数表达式（不要求x的取值范围）．
（3）若最终节约了464元，求实际购买了多少个甲充电宝．
21．（12分）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C＝90°，边AC＝8m，BC＝6m，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DG＝x，当x取何值时，水池DEFG的面积（S）最大？
22．（12分）综合与实践
如图1，在正方形ABCD中，AB＝2，P是正方形内一点，连接PA，PB，且∠APB＝90°，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得到△CBP'，延长AP交CP'于点T．
【问题发现】
（1）根据旋转的性质，易得四边形BPTP'是 ．（填特殊四边形的名称）
【深入探究】
（2）如图2，过点D作DQ⊥AP于点Q，连接QP'．请判断四边形CDQP'的形状，并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若点Q是AP的三等分点，请直接写出线段CT的长．
2024—2025学年上学期合肥初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列二次根式中能与合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再看看是否是同类二次根式即可．
【解答】解：A．3，不能与合并，故本选项不符合题意；
B．4，能与合并，故本选项符合题意；
C．3，不能与合并，故本选项不符合题意；
D．3，不能与合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
2．（4分）利用配方法将x2+2x+3＝0化为a（x﹣h）2+k＝0（a≠0）的形式为（ ）
A．（x﹣1）2﹣2＝0 B．（x﹣1）2+2＝0
C．（x+1）2+2＝0 D．（x+1）2﹣2＝0
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】C
【分析】根据配方法的步骤在等式两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即可把x2+2x+3＝0化为a（x﹣h）2+k＝0（a≠0）的形式．
【解答】解：x2+2x+3＝0，
x2+2x+1+3＝1，
（x+1）2+2＝0，
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3．（4分）某机械厂7月生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，那么可列方程为（ ）
A．50（1+x）2＝196
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196
C．50+50（1+x）2＝196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【答案】B
【分析】根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程．
【解答】解：∵七月份生产零件50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，
∴八月份的产量为50（1+x）万个，九月份的产量为50（1+x）2万个，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝196，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能分别将8、9月份的产量表示出来，难度不大．
4．（4分）定义运算：a※b＝a2﹣2ab+1．例如：4※2＝42﹣2×4×2+1＝1．则方程x※2＝﹣4的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式；实数的运算．
【专题】新定义；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用新定义得到x2﹣4x+5＝0，然后Δ＜0可根据判断方程根的情况．
【解答】解：由新定义得x2﹣2×2x+1＝﹣4，
即x2﹣4x+5＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】A
【分析】由矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故选项A符合题意；
B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
D、两条对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定等知识，熟练掌握矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定方法是解题的关键．
6．（4分）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．梯形 D．以上都不对
【考点】中点四边形．
【答案】B
【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．
【解答】解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG＝DG，
在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG，
∴△AEH≌△DGH，
∴EH＝HG，
同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH
∴EH＝HE＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，综合利用了三角形的中位线定理和矩形的性质是解题关键．
7．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． B． C． D．2
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；正方形的性质．
【答案】A
【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质得到∠ACF＝90°，根据勾股定理求出AF的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．
【解答】解：连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，
∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵BC＝2，CE＝4，
∴AC＝2，CF＝4，
由勾股定理得，AF＝2，又H是AF的中点，
∴CHAF，
故选：A．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8．（4分）一组数据16，m，20，20，24按从小到大的顺序排列，下列选项与m无关的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据方差、众数、中位数和平均数的概念进行判断即可．
【解答】解：组数据16，m，20，20，24按从小到大的顺序排列，当m发生改变时，平均数和众数可能发生变化，方差一定发生变化，中位数不变，
故选：A．
【点评】本题考查的是方差、众数、中位数和平均数的概念和性质，掌握它们的概念是解题的关键．
9．（4分）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m＜2 B．0≤m≤5 C．m＞5 D．2≤m≤5
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），
∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，
∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，
∴2≤m≤5，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ）
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是；
③当MN最小时，S△CMNS菱形ABCD；
④四边形AMCN周长最小值为2+2．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】由四边形ABCD是菱形得AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，而∠BAC＝∠ACD＝60°，则△ABC和△ADC都是等边三角形，再证明△BAM≌△CAN，得AM＝AN，而∠MAN＝60°，则△AMN是等边三角形，可判断①正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，由∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2可求得MA＝AM，可判断②正确；
当MN的值最小，则BM＝CM，可证明DN＝CN，根据三角形的中位线定理得MN∥BD，则△CMN∽△CBD，可求得S△CMNS△CBDS菱形ABCD，可判断③正确；
由△BAM≌△CAN得AM＝AN，BM＝CN，得出CM＝DN，则CM+CN＝2，根据“垂线段最短”得：当且仅当AM⊥BC时，AM最小，解直角三角形求得AM，即可求得四边形AMCN周长最小值为2+2可判断④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，
∴△BAM≌△CAN（ASA），
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
故①正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，
∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，
∴MN＝AM＝AB sin60°＝2，
∴MN的最小值是，
故②正确；
∵AM⊥BC 时，MN的值最小，此时BM＝CM，
∴CN＝BMCBCD，
∴DN＝CN，
∴MN∥BD，
∴△CMN∽△CBD，
∴，
∴S△CMNS△CBD，
∵S△CBDS菱形ABCD，
∴S△CMNS菱形ABCDS菱形ABCD，
故③正确；
由①可知△BAM≌△CAN，
∴BM＝CN，
∴CM＝DN，
∴CM+CN＝CD＝2，
由①可知△AMN是等边三角形，
根据“垂线段最短”得：当且仅当AM⊥BC时，AM最小，
则2+2AM为最小，即四边形AMCN周长最小，
∵AM⊥BC，∠A＝60°，
∴AMAB，
∴2+2AM＝2+2．
∴四边形AMCN周长的最小值为2+2，
故结论结论④正确．
故选：D．
【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试题中的拔高区分题．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）一组数据2，x，1，3，5，4，若这组数据的中位数是3，则这组数据的方差是 ．
【考点】方差；中位数．
【专题】常规题型；统计的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据中位数的定义求出x的值，再求出这组数据的平均数，最后根据方差公式S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]进行计算即可．
【解答】解：∵按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3，
∴x＝3，
∴这组数据的平均数是（1+2+3+3+4+5）÷6＝3，
∴这组数据的方差是：[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]，
故答案为：．
【点评】本题考查了中位数和方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
12．（4分）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0两个实数根，且x1+x2＝10，则m＝ 6 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接列式求解即可得到答案．
【解答】解：x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0两个实数根，
∴x1+x2＝10，
∴，
解得：m＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握．
13．（4分）抛物线y＝a（x﹣h）2+1的对称轴为直线x＝1，且经过点（2，3），则该抛物线的解析式为 y＝2x2﹣4x+3 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y＝2x2﹣4x+3．
【分析】根据对称轴为直线x＝1，且经过点（2，3），可列h，a的方程组，即可解得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+1的对称轴为直线x＝1，且经过点（2，3），
∴，
解得，
∴y＝2（x﹣1）2+1＝2x2﹣4x+3，
故答案为：y＝2x2﹣4x+3．
【点评】本题考查二次函数图象上点坐标特征及函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
14．（4分）点D是Rt△ABC的斜边AB的中点，若∠A＝25°，则∠BCD的度数为 65° ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质推知等腰三角形ACD的两个底角的度数；然后由图形中的∠ACD+∠BCD＝90°即可求得∠BCD的度数．
【解答】解：连接CD；
∵D是Rt△ABC斜边AB上的中点，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD；
∵∠A＝25°，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠A＝65°；
故答案为：65°．
【点评】本题考查了直角三角形的斜边上的中线．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
15．（4分）如图，将两条边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数 3 ．
【考点】图形的剪拼．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】3．
【分析】求出正方形的边长，即可判断．
【解答】解：由题意正方形的面积为2×4＝8，
∵22＝4.32＝9，42＝16，52＝25，
∴该正方形的边长最接近整数为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查图形的拼剪，正方形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E为AB的中点，将△AED沿DE翻折得到△GED，射线DG交BC于点F，若AD＝2，则BF＝ ．
【考点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】DE和CB的延长线相交于G'点，连接EF，作EH⊥DF于H点，如图，根据菱形的性质得A＝180°﹣∠B＝120°，AB＝AD＝2，AD∥BC，则∠1＝∠G，再利用折叠的性质得∠1＝∠2，DG＝DA＝2，EG＝EA＝1，∠3＝∠A＝120°，则∠4＝60°，在Rt△EHG中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HGEG，EHEH，则在Rt△DEH中利用勾股定理可计算出DE，再证明∠2＝∠G'得到FG'＝FD，证明△AED≌△BEG'得到DE＝G'E，所以FE⊥DG'，然后证明Rt△DEF∽Rt△DHE，利用相似比计算出DF，则FG＝FD﹣DG，于是得到BF＝FG．
【解答】解DE和CB的延长线相交于G’点，连接EF，作EH⊥DF于H点，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠A＝180°﹣∠B＝120°，AB＝AD＝2，AD∥BC
∴∠1＝∠G'，
而E为AB的中点，
∴AE＝BE＝1，
∵△AED沿DE翻折得到△GED，
∴∠1＝∠2，DG＝DA＝2，EG＝EA＝1，∠3＝∠A＝120°，
∴∠4＝60°，
在Rt△EHG中，HGEG，EHEH，
在Rt△DEH中，DE，
∵AD∥BG'，
∴∠1＝∠G'，
∴∠G'＝∠2，
∴FG＝FD，
在△AED和△BEG'中，
，
∴△AED≌△BEG'，
∴DE＝G'E，
∴FE⊥DG'，
∴∠FED＝90°，
∵∠HDE＝∠EDF，
∴Rt△DEF∽Rt△DHE，
∴，即，
∴DF，
∴FG＝FD﹣DG2，
∴BF＝FG．
故答案为．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．（6分）计算：
（1）（3）﹣（）
（2）2
（3）（）（）+（23）2
（4）（423）．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号合并即可；
（2）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；
（3）利用平方差各完全平方公式计算；
（4）先把各二次根式化为最简二次根式和除法运算化为乘法运算，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算．
【解答】解：（1）原式＝23
；
（2）原式2
＝3﹣22
＝3；
（3）原式＝2﹣3+8+1227
＝34+12；
（4）原式＝（449）
＝9
＝9．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（6分）解下列方程：
（1）（x﹣7）2＝4（x﹣7）；
（2）x2﹣6x＝7．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝7，x2＝11；（2）x1＝﹣1，x2＝7．
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣7）2＝4（x﹣7），
∴（x﹣7）（x﹣7﹣4）＝0，
∴x1＝7，x2＝11；
（2）x2﹣6x＝7，
∴x2﹣6x﹣7＝0，
∴（x+1）（x﹣7）＝0，
∴x+1＝0或x﹣7＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝7．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF∥CD．
（1）求证：四边形CBFD为菱形；
（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF，求AC的长．
【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【分析】（1）先证四边形CBFD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得CDAB＝BD，然后证出CD＝CB，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OC＝OFCF＝2，BD⊥CF，再由等边三角形的性质得∠CBD＝∠BCD＝60°，∠BCO＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得OBOC＝2，BC＝2OB＝4，进而得出ACBC＝4．
【解答】（1）证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵BF∥CD，
∴四边形CBFD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CDAB＝BD，
又∵BC＝BD，
∴CD＝BC，
∴平行四边形CBFD为菱形；
（2）解：如图，由（1）得：四边形CBFD为菱形，
∴OC＝OFCF＝2，BD⊥CF，
∵BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝∠BCD＝60°，
∵BD⊥CF，
∴∠BCO＝30°，
∴OBOC＝2，
∴BC＝2OB＝4，
∵∠A＝90°﹣∠CBD＝30°，
∴ACBC＝4．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证出CD＝BD是解题的关键．
20．（10分）某商店计划用4000元购买甲、乙两款充电宝共50个．现有两款充电宝的售价都是80元．该商店计划购买甲充电宝x个，但在实际购买时，甲充电宝的售价上涨了x%，乙充电宝的价格下降了10元．该商店决定在购买总量不变的情况下，乙充电宝的数量比原计划增加20%．
（1）根据题意，填写下表．
售价（元） 数量（个）
原售价 实际售价 原计划 实际
甲充电宝 80 80（1+x%） x 1.2x﹣10
乙充电宝 80 70 50﹣x 60﹣1.2x
（2）设实际购买的总费用为y元，求y关于x的函数表达式（不要求x的取值范围）．
（3）若最终节约了464元，求实际购买了多少个甲充电宝．
【考点】二次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意得到代数式即可；
（2）根据题意得到y关于x的函数表达式即可；
（3）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）
售价（元） 数量（个）
原售价 实际售价 原计划 实际
甲充电宝 80 80（1+x%） x 1.2x﹣10
乙充电宝 80 70 50﹣x 60﹣1.2x
故答案为：80（1+x%），50﹣x，1.2x﹣10，60﹣1.2x；
（2）根据题意得，y＝80（1+x%）（1.2x﹣10）+70（60﹣1.2x）＝0.96x2+4x+3400；
（3）根据题意得，0.96x2+4x+3400＝4000﹣464，
解得：x1＝10，x2（舍去），
∴实际购买了2个甲充电宝．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
21．（12分）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C＝90°，边AC＝8m，BC＝6m，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DG＝x，当x取何值时，水池DEFG的面积（S）最大？
【考点】二次函数的应用．
【专题】方案型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理易求AB的长，运用等积法求高；
（2）S＝GD GF＝x GF，利用△CGF∽△CAB，用含x的式子表示GF，从而得函数表达式，运用函数性质求解．
【解答】解：（1）如图，作CH⊥AB于点H，交FG于点K．
由∠C＝90°AC＝8，BC＝6，易得AB＝10．
∵S△ABCAB CH，
∴h＝CH．
（2）如图，设DE＝GF＝y，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，由此可得．
∴
∴
．
∵，
∴当x＝2.4时，S有最大值12．
答：当x取2.4m时，水池DEFG的面积（S）最大，且S＝12m2．
（其它证法合理参照给分）
【点评】此题的关键是用含x的式子表示矩形的长，涉及相似形的性质．运用二次函数的性质求最值常用配方法或公式法．
22．（12分）综合与实践
如图1，在正方形ABCD中，AB＝2，P是正方形内一点，连接PA，PB，且∠APB＝90°，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得到△CBP'，延长AP交CP'于点T．
【问题发现】
（1）根据旋转的性质，易得四边形BPTP'是 正方形 ．（填特殊四边形的名称）
【深入探究】
（2）如图2，过点D作DQ⊥AP于点Q，连接QP'．请判断四边形CDQP'的形状，并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若点Q是AP的三等分点，请直接写出线段CT的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；推理能力；应用意识．
【答案】（1）正方形；
（2）四边形CDQP′是平行四边形，理由见解答；
（3）或．
【分析】（1）利用旋转的性质，可得出∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠BPA＝90°，PB＝P′B，进而可得出∠BPT＝∠BP′T＝∠PBP′＝90°，利用矩形的判定定理，可得出四边形BPTP′是矩形，再结合PB＝P′B，即可得出矩形BPTP′是正方形；
（2）四边形CDQP′是平行四边形，利用正方形的性质及垂线的定义，可得出AB＝DA，∠PTP′＝90°＝∠PQD，利用平行线的判定定义，可得出DQ∥CP′，利用同角的余角相等，可得出∠DAQ＝∠ABP，进而可证出△DAQ≌△ABP（AAS），利用全等三角形的性质，可得出DQ＝AP，结合旋转的性质，可得出DQ＝CP′，结合DQ∥CP′，可得出四边形CDQP′是平行四边形；
（3）由全等三角形的性质及各边间的关系，可得出CT＝PQ，分AP＝3PQ及AP＝3AQ两种情况考虑，①当AP＝3PQ时，设PQ＝x，则AP＝3x，AQ＝BP＝2x，在Rt△ABP中，利用勾股定理，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，可得出CT的长；②当AP＝3AQ时，设AQ＝y，则BP＝y，AP＝3y，PQ＝2y，在Rt△ABP中，利用勾股定理，可得出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，取其正值代入2y中，可得出CT的长．
【解答】解：（1）由旋转的性质，可知：∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠BPA＝90°，PB＝P′B，
∴∠BPT＝∠BP′T＝∠PBP′＝90°，
∴四边形BPTP′是矩形．
又∵PB＝P′B，
∴矩形BPTP′是正方形．
故答案为：正方形；
（2）四边形CDQP′是平行四边形，理由如下：
∵四边形BPTP′是正方形，
∴∠PTP′＝90°．
∵DQ⊥AP，
∴∠PQD＝90°，
∴∠PQD＝∠PTP′，
∴DQ∥CP′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AB＝DA．
∵∠DAQ+∠PAB＝90°，∠PAB+∠ABP＝90°，
∴∠DAQ＝∠ABP．
在△DAQ和△ABP中，
，
∴△DAQ≌△ABP（AAS），
∴DQ＝AP．
由旋转的性质，可知：AP＝CP′，
∴DQ＝CP′，
∴四边形CDQP′是平行四边形；
（3）∵△DAQ≌△ABP，
∴AQ＝BP．
∵BP＝TP′，AP＝CP′，
∴AQ＝TP′，
∴CT＝CP′﹣TP′＝AP﹣AQ＝PQ．
∵点Q是AP的三等分点，
∴分两种情况考虑：
①当AP＝3PQ时，设PQ＝x，则AP＝3x，AQ＝BP＝2x．
在Rt△ABP中，有AP2+BP2＝AB2，
∴（3x）2+（2x）2＝22，
解得：x1，x2（不符合题意，舍去），
∴CT；
②当AP＝3AQ时，设AQ＝y，则BP＝y，AP＝3y，PQ＝2y．
在Rt△ABP中，有AP2+BP2＝AB2，
∴（3y）2+y2＝22，
解得：y1，y2（不符合题意，舍去），
∴CT＝PQ＝2y．
综上所述，当点Q是AP的三等分点时，线段CT的长为或．
【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、平行四边形的判定、正方形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用正方形的判定定理，找出四边形BPTP′是正方形；（2）利用平行线的判定定理、全等三角形的性质及旋转的性质，找出DQ∥CP′且DQ＝CP′；（3）分AP＝3PQ及AP＝3AQ两种情况，利用勾股定理列出一元二次方程．
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
5．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
6．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
7．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
8．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
9．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
10．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
11．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
12．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
13．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
14．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
15．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
16．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
18．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
19．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
20．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
21．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
22．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
23．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
24．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
25．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
26．中点四边形
瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．
27．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
28．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
29．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
30．图形的剪拼
平面构成设计的基础知识，图形拼摆使学生初步理解基本形图形拼摆的概念、构成，以及基本形在平面构成设计中的意义．运用形象与空间关系的规律，设计出新颖的图形拼摆图案．2．学习用分割、组合的方法获得基本形，在教师指导下进行巧妙组合、色彩搭配，图形拼摆完成简单的平面构成设计．培养、锻炼学生的组合造型能力和空间想象能力，发展抽象思维．3．通过动手拼摆、操作，使学生初步了解分解构成的原理，增强设计意识，并在小组活动中培养学生的操作、观察、表达及思维能力，培养探索意识和合作精神．
31．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
32．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
33．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
34．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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