2024—2025学年上学期合肥初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期合肥初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 420.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:28:43 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期合肥初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列各式中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
B．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100
C．2t2﹣7t﹣4＝0化为
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为
3．（4分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由640元降为314元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．640（1+x）2＝314 B．640（1﹣x）2＝314
C．640（1﹣2x）2＝314 D．640（1﹣x2）＝314
4．（4分）定义运算：a※b＝2ab2﹣ab﹣1．例如：1※2＝2×1×22﹣1×2﹣1＝5．则方程1※x＝﹣2的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
5．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两边相等的平行四边形是菱形
6．（4分）如图，四边形ABCD各边的中点分别是点E，F，G，H，若对角线AC，BD的长分别为9cm和7cm，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．16cm B．32cm C．24cm D．18cm
7．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． B． C． D．2
8．（4分）甲、乙两位同学进行500米短道速滑比赛，他们的五次成绩（单位：秒）如图所示：
则甲、乙两位同学五次成绩的（ ）
A．平均数相等 B．中位数相等
C．众数相等 D．方差相等
9．（4分）抛物线y＝x2，y＝﹣x2﹣1，yx2共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为y轴
C．都有最低点 D．开口大小相同
10．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ）
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是；
③当MN最小时，S△CMNS菱形ABCD；
④四边形AMCN周长最小值为2+2．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的情况统计结果如下表：
班级 参赛人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学分析上表后得出如下结论：
①甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字个数≥150为优秀）；
③甲班成绩的波动比乙班大．
上述结论正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
12．（4分）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根，则的值是 ．
13．（4分）已知一条抛物线经过点（0，1），且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的表达式可以是 （写出一个即可）．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝ ．
15．（4分）如图，正方形硬纸片ABCD的边长是2，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是 ．
16．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D＝45°，点E在BC边上，将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AB1E，AB1交CD于点F，使EB1经过点C，则CB1的长度为 ．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．（6分）二次根式的计算：
（1）计算；
（2）计算：．
18．（6分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）2x（x﹣3）＝（x﹣3）．
19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF∥CD．
（1）求证：四边形CBFD为菱形；
（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF，求AC的长．
20．（10分）某工厂加工一种产品的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润y元与降价x元之间的函数关系；
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）当定价应设在什么范围之间时，可使工厂每天的利润要不低于9750元？
21．（12分）某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可卖出120套（两套服装的市场行情互不影响）．目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：
转让数量（套） 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100
价格 （元/套） 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350
方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；
方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装；
方案3：部分转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装．
问：
①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？
22．（12分）点P是矩形ABCD的边BC上一动点，连接AP、DP，将△ABP、△DCP分别沿AP、DP翻折，得到△AB'P、△DC'P．
（1）如图1，PB'交AD于点M，PC'交AD于N，N在M的右侧，求证：PM+MN+PN＝AD；
（2）如图2，当P、B'、C'共线时，称点P为BC边上的“叠合点”．
①在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P为BC边上的“叠合点”，求DP的长；
②若在矩形ABCD中，AD＝4AB，点P是BC边上的“叠合点”，则 ．
2024—2025学年上学期合肥初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列各式中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【专题】计算题；实数．
【答案】C
【分析】原式各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式＝2，不合题意；
B、原式＝2，不合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式不能化简，不合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键．
2．（4分）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
B．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100
C．2t2﹣7t﹣4＝0化为
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】A
【分析】利用配方法对各选项进行判断．
【解答】解：A、x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝7，所以A选项的配方错误；
B、x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100，所以B选项的配方正确；
C、2t2﹣7t﹣4＝0先化为t2t＝2，再化为，所以C选项的配方正确；
D、3x2﹣4x﹣2＝0先化为x2x，再化为（x）2，所以D选项的配方正确．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3．（4分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由640元降为314元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．640（1+x）2＝314 B．640（1﹣x）2＝314
C．640（1﹣2x）2＝314 D．640（1﹣x2）＝314
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题；应用意识．
【答案】B
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是640（1﹣x），第二次后的价格是640（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
640（1﹣x）2＝314，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
4．（4分）定义运算：a※b＝2ab2﹣ab﹣1．例如：1※2＝2×1×22﹣1×2﹣1＝5．则方程1※x＝﹣2的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式；实数的运算．
【专题】新定义；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据新运算得到x2﹣x+1＝0，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
【解答】解：根据题意得1※x＝2x2﹣x﹣1＝﹣2，
整理得，2x2﹣x+1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程无实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两边相等的平行四边形是菱形
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
【答案】C
【分析】分别根据矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定分析得出即可．
【解答】解：A、只有对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，故此选项错误；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故此选项错误；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确；
D、只有两组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定，熟练区分它们是解题关键．
6．（4分）如图，四边形ABCD各边的中点分别是点E，F，G，H，若对角线AC，BD的长分别为9cm和7cm，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．16cm B．32cm C．24cm D．18cm
【考点】中点四边形．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形中位线定理分别求出EF、FG、GH、EH，根据四边形的周长公式计算得到答案．
【解答】解：∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，
∴EF是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，GH是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，
∴EFAC＝4.5cm，FGBD＝3.5cm，GHAC＝4.5cm，EHBD＝3.5cm，
∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+EH＝4.5+3.5+4.5+3.5＝16（cm），
故选：A．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
7．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． B． C． D．2
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；正方形的性质．
【答案】A
【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质得到∠ACF＝90°，根据勾股定理求出AF的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．
【解答】解：连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，
∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵BC＝2，CE＝4，
∴AC＝2，CF＝4，
由勾股定理得，AF＝2，又H是AF的中点，
∴CHAF，
故选：A．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8．（4分）甲、乙两位同学进行500米短道速滑比赛，他们的五次成绩（单位：秒）如图所示：
则甲、乙两位同学五次成绩的（ ）
A．平均数相等 B．中位数相等
C．众数相等 D．方差相等
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平均数，众数、中位数，方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、甲的平均数是：（45+63+55+52+60）＝55，
乙的平均数是：（51+53+58+56+57）＝55，
所以甲、乙两位同学五次成绩的平均数相等，
故本选项正确，符合题意；
B、把甲的五次成绩从小到大排列为：45，52，55，60，63，中位数是55，
把乙的五次成绩从小到大排列为：51，53，56，57，58，中位数是56，
所以甲和乙的中位数不相等，
故本选项错误，不符合题意；
C、甲和乙没有众数，故本选项错误，不符合题意；
D、甲的方差是：[（45﹣55）2+（63﹣55）2+（55﹣55）2+（52﹣55）2+（60﹣55）2]＝39.6，
乙的方差是：[（51﹣55）2+（53﹣55）2+（58﹣55）2+（56﹣55）2+（57﹣55）2]＝6.8，
所以甲的方差和乙的方差不相等，
故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了平均数，众数、中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
9．（4分）抛物线y＝x2，y＝﹣x2﹣1，yx2共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为y轴
C．都有最低点 D．开口大小相同
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：抛物线y＝x2，开口向上，对称轴为y轴，有最低点；
抛物线y＝﹣x2﹣1，开口向下，对称轴为y轴，有最高点；
抛物线yx2，当开口向上，对称轴为y轴，有最低点；
抛物线y＝x2，y＝﹣x2﹣1，yx2共有的性质是对称轴为y轴．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ）
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是；
③当MN最小时，S△CMNS菱形ABCD；
④四边形AMCN周长最小值为2+2．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】由四边形ABCD是菱形得AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，而∠BAC＝∠ACD＝60°，则△ABC和△ADC都是等边三角形，再证明△BAM≌△CAN，得AM＝AN，而∠MAN＝60°，则△AMN是等边三角形，可判断①正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，由∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2可求得MA＝AM，可判断②正确；
当MN的值最小，则BM＝CM，可证明DN＝CN，根据三角形的中位线定理得MN∥BD，则△CMN∽△CBD，可求得S△CMNS△CBDS菱形ABCD，可判断③正确；
由△BAM≌△CAN得AM＝AN，BM＝CN，得出CM＝DN，则CM+CN＝2，根据“垂线段最短”得：当且仅当AM⊥BC时，AM最小，解直角三角形求得AM，即可求得四边形AMCN周长最小值为2+2可判断④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，
∴△BAM≌△CAN（ASA），
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
故①正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，
∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，
∴MN＝AM＝AB sin60°＝2，
∴MN的最小值是，
故②正确；
∵AM⊥BC 时，MN的值最小，此时BM＝CM，
∴CN＝BMCBCD，
∴DN＝CN，
∴MN∥BD，
∴△CMN∽△CBD，
∴，
∴S△CMNS△CBD，
∵S△CBDS菱形ABCD，
∴S△CMNS菱形ABCDS菱形ABCD，
故③正确；
由①可知△BAM≌△CAN，
∴BM＝CN，
∴CM＝DN，
∴CM+CN＝CD＝2，
由①可知△AMN是等边三角形，
根据“垂线段最短”得：当且仅当AM⊥BC时，AM最小，
则2+2AM为最小，即四边形AMCN周长最小，
∵AM⊥BC，∠A＝60°，
∴AMAB，
∴2+2AM＝2+2．
∴四边形AMCN周长的最小值为2+2，
故结论结论④正确．
故选：D．
【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试题中的拔高区分题．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的情况统计结果如下表：
班级 参赛人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学分析上表后得出如下结论：
①甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字个数≥150为优秀）；
③甲班成绩的波动比乙班大．
上述结论正确的是 ①②③ （把你认为正确结论的序号都填上）．
【考点】方差；中位数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】①②③．
【分析】根据图中给出的甲乙两班的平均字数相同，可得甲乙两班的成绩平均水平相同，从而判断①的正误；
根据乙的中位数＞甲的中位数，可得乙班的优秀人数比甲班多，从而判断②的正误；
根据甲的方差＞乙的方差，可知甲班的成绩不稳定，从而判断③，最后可以得出结论．
【解答】解：∵图中给出的甲乙两班的平均数相同，
∴甲乙两班的成绩平均水平相同，
∴①正确．
∵乙的中位数＞甲的中位数，
∴乙班的优秀人数比甲班多，
∴②正确．
∵甲的方差＞乙的方差，
∴根据方差的波动性可知甲班的成绩不稳定，
∴③正确．
综上可知，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题侧重考查方差与中位数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
12．（4分）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根，则的值是 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】分式；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】利用根与系数的关系，可得出a+b＝2，先计算分式，将其代入即可求出结论．
【解答】解：∵a、b为一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个不等实数根，
∴a+b＝2，
∴
．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
13．（4分）已知一条抛物线经过点（0，1），且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的表达式可以是 y＝﹣x2+2x+1 （写出一个即可）．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】函数思想；二次函数图象及其性质；符号意识；应用意识．
【答案】y＝﹣x2+2x+1．
【分析】根据对称轴右侧的部分是下降的，可得开口向下，再根据抛物线经过点（0，1），可得解析式．
【解答】解：∵对称轴右侧的部分是下降的，
∴开口向下，
∵抛物线经过点（0，1），
∴抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+1；
故答案为：y＝﹣x2+2x+1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数关系式、二次函数性质、二次函数图象上点的坐标特征，掌握三个知识点的应用，根据已知得到开口方向及递增情况是解题关键．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝ 50° ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质可以求得∠A的度数，本题得以解决．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CDAD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠CDA＝80°，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．（4分）如图，正方形硬纸片ABCD的边长是2，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是 1 ．
【考点】图形的剪拼．
【专题】平移、旋转与对称．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系解答．
【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，
由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，
正方形的面积＝2×2＝4，
∴图中阴影部分的面积是4÷4＝1．
故答案为：1
【点评】本题考查空间想象能力．解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系．
16．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D＝45°，点E在BC边上，将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AB1E，AB1交CD于点F，使EB1经过点C，则CB1的长度为 22 ．
【考点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】22．
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝2，∠D＝∠B＝45°，由折叠的性质可得BE＝B1E，AE⊥B1B，AB＝AB1，可求∠BAB1＝90°，由等腰直角三角形的性质可求BB1的长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，∠D＝∠B＝45°，
∵将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AB1E，
∴BE＝B1E，AE⊥B1B，AB＝AB1，
∴∠B＝∠B1＝45°，
∴∠BAB1＝90°，
∴BB1AB＝2，
∴CB1＝BB1﹣BC＝22，
故答案为22．
【点评】本题考查了菱形的性质，翻折变换，等腰直角三角形的性质，求出BB1的长是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．（6分）二次根式的计算：
（1）计算；
（2）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法法则运算．
（2）先化简二次根式和绝对值，然后再合并即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（6分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）2x（x﹣3）＝（x﹣3）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝﹣5，x2＝1；
（2）x1＝3，x2．
【分析】（1）根据因式分解法可以解答此方程；
（2）先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1；
（2）2x（x﹣3）＝（x﹣3），
2x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0 或 2x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，根据方程的特点选择合适的解答方法．
19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF∥CD．
（1）求证：四边形CBFD为菱形；
（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF，求AC的长．
【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【分析】（1）先证四边形CBFD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得CDAB＝BD，然后证出CD＝CB，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OC＝OFCF＝2，BD⊥CF，再由等边三角形的性质得∠CBD＝∠BCD＝60°，∠BCO＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得OBOC＝2，BC＝2OB＝4，进而得出ACBC＝4．
【解答】（1）证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵BF∥CD，
∴四边形CBFD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CDAB＝BD，
又∵BC＝BD，
∴CD＝BC，
∴平行四边形CBFD为菱形；
（2）解：如图，由（1）得：四边形CBFD为菱形，
∴OC＝OFCF＝2，BD⊥CF，
∵BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝∠BCD＝60°，
∵BD⊥CF，
∴∠BCO＝30°，
∴OBOC＝2，
∴BC＝2OB＝4，
∵∠A＝90°﹣∠CBD＝30°，
∴ACBC＝4．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证出CD＝BD是解题的关键．
20．（10分）某工厂加工一种产品的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润y元与降价x元之间的函数关系；
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）当定价应设在什么范围之间时，可使工厂每天的利润要不低于9750元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据利润＝销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可；
（2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可；
（3）首先由（2）中的函数得出降价x元时，每天要获得9750元的利润，进一步利用函数的性质得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，
答：工厂每天的利润y元与降价x元之间的函数关系为y＝﹣50x2+400x+9000；
（2）由（1）得：y＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，
∵﹣50＜0，
∴x＝4时，y最大为9800，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，
解得：x1＝3，x2＝5，
48﹣3＝45，48﹣5＝43，
∴定价应为43﹣45元之间（含43元和45元）．
【点评】此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．
21．（12分）某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可卖出120套（两套服装的市场行情互不影响）．目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：
转让数量（套） 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100
价格 （元/套） 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350
方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；
方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装；
方案3：部分转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装．
问：
①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】阅读型；方案型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据利润＝（售价﹣成本）×销售量，分别求出两方案一年内的利润．
（2）设转让A品牌服装x套，则转让价格是每套360元，可进购B品牌服装套，列出利润与x之间的函数关系式，求其最大值．
【解答】解：经销商甲的进货成本是＝1200×400＝480000（元）
①若选方案1，则获利1200×600﹣480000＝240000（元）．
若选方案2，得转让款1200×240＝288000元，可进购B品牌服装1440套，
一年内刚好卖空可获利1440×500﹣480000＝240000（元）．
②设转让A品牌服装x套，
则转让价格是每套360元，可进购B品牌服装套，全部售出B品牌服装后得款元，
此时还剩A品牌服装（1200﹣x）套，全部售出A品牌服装后得款600（1200﹣x）元，
共获利w600（1200﹣x）﹣480000330000（0＜x≤1200）．
故当x＝600套时，可得最大利润为330000元．
答：经销商甲选择方案3可以使自己一年内获得最大利润．若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是600（精确到百套），此时他在一年内共得利润330000元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据利润＝（售价﹣成本）×销售量，列出函数关系式，求出最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
22．（12分）点P是矩形ABCD的边BC上一动点，连接AP、DP，将△ABP、△DCP分别沿AP、DP翻折，得到△AB'P、△DC'P．
（1）如图1，PB'交AD于点M，PC'交AD于N，N在M的右侧，求证：PM+MN+PN＝AD；
（2）如图2，当P、B'、C'共线时，称点P为BC边上的“叠合点”．
①在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P为BC边上的“叠合点”，求DP的长；
②若在矩形ABCD中，AD＝4AB，点P是BC边上的“叠合点”，则 7±4 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①2或4；
②7±4．
【分析】（1）利用平行线的性质翻折变换的性质证明MA＝MB，NP＝ND，可得结论；
（2）①由矩形的性质得出AB＝CD＝4，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，设CP＝x，则BP＝10﹣x，由勾股定理得出102＝42+（10﹣x）2+42+x2，求得x＝2或x＝8，则可求出答案；
②设CP＝x，则BP＝4AB﹣x，由矩形的性质及勾股定理得出4AB2＝AB2+（4AB﹣x）2+AB2+x2，求出x＝（2）AB或x＝（2）AB，则可求出答案．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠APB＝∠PAM，
由翻折的性质可知∠APB＝∠APM，
∴∠APM＝∠PAM，
∴MA＝MP，
同法可证NP＝DN，
∴PM+MN+KN＝AM+MN+DN＝AD；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，
设CP＝x，则BP＝10﹣x，
在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△CDP中，DP2＝CD2+CP2＝42+x2，
由折叠的性质可知，∠APB＝∠APB'，∠DPC＝∠DPC'，
∴∠APD＝∠APB'+∠DPC'（∠BPB'+∠CPC'）＝90°，
在Rt△APD中，AD2＝AP2+DP2，
∴102＝42+（10﹣x）2+42+x2，
解得x＝2或x＝8，
∴CP的长为2或8，
当CP＝2时，DP2；
当CP＝8时，DP4；
综上所述，DP的长为2或4；
②∵四边形ABCD是矩形，AD＝4AB，
∴AB＝CD，AD＝BC＝4AB，∠B＝∠C＝90°，
设CP＝x，则BP＝4AB﹣x，
在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2＝AB2+（4AB﹣x）2，
在Rt△CDP中，DP2＝CD2+CP2＝AB2+x2，
由①得，∠APD＝90°，
在Rt△APD中，AD2＝AP2+DP2，
∴4AB2＝AB2+（4AB﹣x）2+AB2+x2，
解得x＝（2）AB或x＝（2）AB，
当CP＝（2）AB时，BP＝（2）AB，
∴7﹣4；
当CP＝（2）AB时，BP＝（2）AB，
∴7+4；
综上所述，的值为7±4．
故答案为：7±4．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
5．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
6．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
7．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
8．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
9．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
10．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
11．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
12．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
13．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
14．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
15．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
16．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
18．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
19．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
20．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
21．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
22．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
23．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
24．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
25．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
26．中点四边形
瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．
27．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
28．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
29．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
30．图形的剪拼
平面构成设计的基础知识，图形拼摆使学生初步理解基本形图形拼摆的概念、构成，以及基本形在平面构成设计中的意义．运用形象与空间关系的规律，设计出新颖的图形拼摆图案．2．学习用分割、组合的方法获得基本形，在教师指导下进行巧妙组合、色彩搭配，图形拼摆完成简单的平面构成设计．培养、锻炼学生的组合造型能力和空间想象能力，发展抽象思维．3．通过动手拼摆、操作，使学生初步了解分解构成的原理，增强设计意识，并在小组活动中培养学生的操作、观察、表达及思维能力，培养探索意识和合作精神．
31．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
32．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
33．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
34．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
2024—2025学年上学期合肥初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列各式中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
B．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100
C．2t2﹣7t﹣4＝0化为
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为
3．（4分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由640元降为314元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．640（1+x）2＝314 B．640（1﹣x）2＝314
C．640（1﹣2x）2＝314 D．640（1﹣x2）＝314
4．（4分）定义运算：a※b＝2ab2﹣ab﹣1．例如：1※2＝2×1×22﹣1×2﹣1＝5．则方程1※x＝﹣2的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
5．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两边相等的平行四边形是菱形
6．（4分）如图，四边形ABCD各边的中点分别是点E，F，G，H，若对角线AC，BD的长分别为9cm和7cm，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．16cm B．32cm C．24cm D．18cm
7．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． B． C． D．2
8．（4分）甲、乙两位同学进行500米短道速滑比赛，他们的五次成绩（单位：秒）如图所示：
则甲、乙两位同学五次成绩的（ ）
A．平均数相等 B．中位数相等
C．众数相等 D．方差相等
9．（4分）抛物线y＝x2，y＝﹣x2﹣1，yx2共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为y轴
C．都有最低点 D．开口大小相同
10．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ）
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是；
③当MN最小时，S△CMNS菱形ABCD；
④四边形AMCN周长最小值为2+2．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的情况统计结果如下表：
班级 参赛人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学分析上表后得出如下结论：
①甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字个数≥150为优秀）；
③甲班成绩的波动比乙班大．
上述结论正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
12．（4分）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根，则的值是 ．
13．（4分）已知一条抛物线经过点（0，1），且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的表达式可以是 （写出一个即可）．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝ ．
15．（4分）如图，正方形硬纸片ABCD的边长是2，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是 ．
16．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D＝45°，点E在BC边上，将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AB1E，AB1交CD于点F，使EB1经过点C，则CB1的长度为 ．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．（6分）二次根式的计算：
（1）计算；
（2）计算：．
18．（6分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）2x（x﹣3）＝（x﹣3）．
19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF∥CD．
（1）求证：四边形CBFD为菱形；
（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF，求AC的长．
20．（10分）某工厂加工一种产品的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润y元与降价x元之间的函数关系；
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）当定价应设在什么范围之间时，可使工厂每天的利润要不低于9750元？
21．（12分）某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可卖出120套（两套服装的市场行情互不影响）．目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：
转让数量（套） 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100
价格 （元/套） 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350
方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；
方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装；
方案3：部分转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装．
问：
①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？
22．（12分）点P是矩形ABCD的边BC上一动点，连接AP、DP，将△ABP、△DCP分别沿AP、DP翻折，得到△AB'P、△DC'P．
（1）如图1，PB'交AD于点M，PC'交AD于N，N在M的右侧，求证：PM+MN+PN＝AD；
（2）如图2，当P、B'、C'共线时，称点P为BC边上的“叠合点”．
①在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P为BC边上的“叠合点”，求DP的长；
②若在矩形ABCD中，AD＝4AB，点P是BC边上的“叠合点”，则 ．
2024—2025学年上学期合肥初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列各式中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【专题】计算题；实数．
【答案】C
【分析】原式各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式＝2，不合题意；
B、原式＝2，不合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式不能化简，不合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键．
2．（4分）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
B．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100
C．2t2﹣7t﹣4＝0化为
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】A
【分析】利用配方法对各选项进行判断．
【解答】解：A、x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝7，所以A选项的配方错误；
B、x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100，所以B选项的配方正确；
C、2t2﹣7t﹣4＝0先化为t2t＝2，再化为，所以C选项的配方正确；
D、3x2﹣4x﹣2＝0先化为x2x，再化为（x）2，所以D选项的配方正确．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3．（4分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由640元降为314元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．640（1+x）2＝314 B．640（1﹣x）2＝314
C．640（1﹣2x）2＝314 D．640（1﹣x2）＝314
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题；应用意识．
【答案】B
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是640（1﹣x），第二次后的价格是640（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
640（1﹣x）2＝314，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
4．（4分）定义运算：a※b＝2ab2﹣ab﹣1．例如：1※2＝2×1×22﹣1×2﹣1＝5．则方程1※x＝﹣2的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式；实数的运算．
【专题】新定义；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据新运算得到x2﹣x+1＝0，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
【解答】解：根据题意得1※x＝2x2﹣x﹣1＝﹣2，
整理得，2x2﹣x+1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程无实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两边相等的平行四边形是菱形
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
【答案】C
【分析】分别根据矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定分析得出即可．
【解答】解：A、只有对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，故此选项错误；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故此选项错误；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确；
D、只有两组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定，熟练区分它们是解题关键．
6．（4分）如图，四边形ABCD各边的中点分别是点E，F，G，H，若对角线AC，BD的长分别为9cm和7cm，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．16cm B．32cm C．24cm D．18cm
【考点】中点四边形．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形中位线定理分别求出EF、FG、GH、EH，根据四边形的周长公式计算得到答案．
【解答】解：∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，
∴EF是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，GH是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，
∴EFAC＝4.5cm，FGBD＝3.5cm，GHAC＝4.5cm，EHBD＝3.5cm，
∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+EH＝4.5+3.5+4.5+3.5＝16（cm），
故选：A．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
7．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． B． C． D．2
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；正方形的性质．
【答案】A
【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质得到∠ACF＝90°，根据勾股定理求出AF的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．
【解答】解：连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，
∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵BC＝2，CE＝4，
∴AC＝2，CF＝4，
由勾股定理得，AF＝2，又H是AF的中点，
∴CHAF，
故选：A．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8．（4分）甲、乙两位同学进行500米短道速滑比赛，他们的五次成绩（单位：秒）如图所示：
则甲、乙两位同学五次成绩的（ ）
A．平均数相等 B．中位数相等
C．众数相等 D．方差相等
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平均数，众数、中位数，方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、甲的平均数是：（45+63+55+52+60）＝55，
乙的平均数是：（51+53+58+56+57）＝55，
所以甲、乙两位同学五次成绩的平均数相等，
故本选项正确，符合题意；
B、把甲的五次成绩从小到大排列为：45，52，55，60，63，中位数是55，
把乙的五次成绩从小到大排列为：51，53，56，57，58，中位数是56，
所以甲和乙的中位数不相等，
故本选项错误，不符合题意；
C、甲和乙没有众数，故本选项错误，不符合题意；
D、甲的方差是：[（45﹣55）2+（63﹣55）2+（55﹣55）2+（52﹣55）2+（60﹣55）2]＝39.6，
乙的方差是：[（51﹣55）2+（53﹣55）2+（58﹣55）2+（56﹣55）2+（57﹣55）2]＝6.8，
所以甲的方差和乙的方差不相等，
故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了平均数，众数、中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
9．（4分）抛物线y＝x2，y＝﹣x2﹣1，yx2共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为y轴
C．都有最低点 D．开口大小相同
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：抛物线y＝x2，开口向上，对称轴为y轴，有最低点；
抛物线y＝﹣x2﹣1，开口向下，对称轴为y轴，有最高点；
抛物线yx2，当开口向上，对称轴为y轴，有最低点；
抛物线y＝x2，y＝﹣x2﹣1，yx2共有的性质是对称轴为y轴．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ）
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是；
③当MN最小时，S△CMNS菱形ABCD；
④四边形AMCN周长最小值为2+2．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】由四边形ABCD是菱形得AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，而∠BAC＝∠ACD＝60°，则△ABC和△ADC都是等边三角形，再证明△BAM≌△CAN，得AM＝AN，而∠MAN＝60°，则△AMN是等边三角形，可判断①正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，由∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2可求得MA＝AM，可判断②正确；
当MN的值最小，则BM＝CM，可证明DN＝CN，根据三角形的中位线定理得MN∥BD，则△CMN∽△CBD，可求得S△CMNS△CBDS菱形ABCD，可判断③正确；
由△BAM≌△CAN得AM＝AN，BM＝CN，得出CM＝DN，则CM+CN＝2，根据“垂线段最短”得：当且仅当AM⊥BC时，AM最小，解直角三角形求得AM，即可求得四边形AMCN周长最小值为2+2可判断④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，
∴△BAM≌△CAN（ASA），
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
故①正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，
∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，
∴MN＝AM＝AB sin60°＝2，
∴MN的最小值是，
故②正确；
∵AM⊥BC 时，MN的值最小，此时BM＝CM，
∴CN＝BMCBCD，
∴DN＝CN，
∴MN∥BD，
∴△CMN∽△CBD，
∴，
∴S△CMNS△CBD，
∵S△CBDS菱形ABCD，
∴S△CMNS菱形ABCDS菱形ABCD，
故③正确；
由①可知△BAM≌△CAN，
∴BM＝CN，
∴CM＝DN，
∴CM+CN＝CD＝2，
由①可知△AMN是等边三角形，
根据“垂线段最短”得：当且仅当AM⊥BC时，AM最小，
则2+2AM为最小，即四边形AMCN周长最小，
∵AM⊥BC，∠A＝60°，
∴AMAB，
∴2+2AM＝2+2．
∴四边形AMCN周长的最小值为2+2，
故结论结论④正确．
故选：D．
【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试题中的拔高区分题．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的情况统计结果如下表：
班级 参赛人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学分析上表后得出如下结论：
①甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字个数≥150为优秀）；
③甲班成绩的波动比乙班大．
上述结论正确的是 ①②③ （把你认为正确结论的序号都填上）．
【考点】方差；中位数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】①②③．
【分析】根据图中给出的甲乙两班的平均字数相同，可得甲乙两班的成绩平均水平相同，从而判断①的正误；
根据乙的中位数＞甲的中位数，可得乙班的优秀人数比甲班多，从而判断②的正误；
根据甲的方差＞乙的方差，可知甲班的成绩不稳定，从而判断③，最后可以得出结论．
【解答】解：∵图中给出的甲乙两班的平均数相同，
∴甲乙两班的成绩平均水平相同，
∴①正确．
∵乙的中位数＞甲的中位数，
∴乙班的优秀人数比甲班多，
∴②正确．
∵甲的方差＞乙的方差，
∴根据方差的波动性可知甲班的成绩不稳定，
∴③正确．
综上可知，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题侧重考查方差与中位数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
12．（4分）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根，则的值是 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】分式；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】利用根与系数的关系，可得出a+b＝2，先计算分式，将其代入即可求出结论．
【解答】解：∵a、b为一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个不等实数根，
∴a+b＝2，
∴
．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
13．（4分）已知一条抛物线经过点（0，1），且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的表达式可以是 y＝﹣x2+2x+1 （写出一个即可）．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】函数思想；二次函数图象及其性质；符号意识；应用意识．
【答案】y＝﹣x2+2x+1．
【分析】根据对称轴右侧的部分是下降的，可得开口向下，再根据抛物线经过点（0，1），可得解析式．
【解答】解：∵对称轴右侧的部分是下降的，
∴开口向下，
∵抛物线经过点（0，1），
∴抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+1；
故答案为：y＝﹣x2+2x+1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数关系式、二次函数性质、二次函数图象上点的坐标特征，掌握三个知识点的应用，根据已知得到开口方向及递增情况是解题关键．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝ 50° ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质可以求得∠A的度数，本题得以解决．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CDAD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠CDA＝80°，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．（4分）如图，正方形硬纸片ABCD的边长是2，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是 1 ．
【考点】图形的剪拼．
【专题】平移、旋转与对称．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系解答．
【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，
由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，
正方形的面积＝2×2＝4，
∴图中阴影部分的面积是4÷4＝1．
故答案为：1
【点评】本题考查空间想象能力．解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系．
16．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D＝45°，点E在BC边上，将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AB1E，AB1交CD于点F，使EB1经过点C，则CB1的长度为 22 ．
【考点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】22．
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝2，∠D＝∠B＝45°，由折叠的性质可得BE＝B1E，AE⊥B1B，AB＝AB1，可求∠BAB1＝90°，由等腰直角三角形的性质可求BB1的长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，∠D＝∠B＝45°，
∵将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AB1E，
∴BE＝B1E，AE⊥B1B，AB＝AB1，
∴∠B＝∠B1＝45°，
∴∠BAB1＝90°，
∴BB1AB＝2，
∴CB1＝BB1﹣BC＝22，
故答案为22．
【点评】本题考查了菱形的性质，翻折变换，等腰直角三角形的性质，求出BB1的长是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．（6分）二次根式的计算：
（1）计算；
（2）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法法则运算．
（2）先化简二次根式和绝对值，然后再合并即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（6分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）2x（x﹣3）＝（x﹣3）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝﹣5，x2＝1；
（2）x1＝3，x2．
【分析】（1）根据因式分解法可以解答此方程；
（2）先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1；
（2）2x（x﹣3）＝（x﹣3），
2x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0 或 2x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，根据方程的特点选择合适的解答方法．
19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF∥CD．
（1）求证：四边形CBFD为菱形；
（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF，求AC的长．
【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【分析】（1）先证四边形CBFD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得CDAB＝BD，然后证出CD＝CB，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OC＝OFCF＝2，BD⊥CF，再由等边三角形的性质得∠CBD＝∠BCD＝60°，∠BCO＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得OBOC＝2，BC＝2OB＝4，进而得出ACBC＝4．
【解答】（1）证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵BF∥CD，
∴四边形CBFD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CDAB＝BD，
又∵BC＝BD，
∴CD＝BC，
∴平行四边形CBFD为菱形；
（2）解：如图，由（1）得：四边形CBFD为菱形，
∴OC＝OFCF＝2，BD⊥CF，
∵BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝∠BCD＝60°，
∵BD⊥CF，
∴∠BCO＝30°，
∴OBOC＝2，
∴BC＝2OB＝4，
∵∠A＝90°﹣∠CBD＝30°，
∴ACBC＝4．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证出CD＝BD是解题的关键．
20．（10分）某工厂加工一种产品的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润y元与降价x元之间的函数关系；
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）当定价应设在什么范围之间时，可使工厂每天的利润要不低于9750元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据利润＝销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可；
（2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可；
（3）首先由（2）中的函数得出降价x元时，每天要获得9750元的利润，进一步利用函数的性质得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，
答：工厂每天的利润y元与降价x元之间的函数关系为y＝﹣50x2+400x+9000；
（2）由（1）得：y＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，
∵﹣50＜0，
∴x＝4时，y最大为9800，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，
解得：x1＝3，x2＝5，
48﹣3＝45，48﹣5＝43，
∴定价应为43﹣45元之间（含43元和45元）．
【点评】此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．
21．（12分）某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可卖出120套（两套服装的市场行情互不影响）．目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：
转让数量（套） 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100
价格 （元/套） 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350
方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；
方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装；
方案3：部分转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装．
问：
①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】阅读型；方案型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据利润＝（售价﹣成本）×销售量，分别求出两方案一年内的利润．
（2）设转让A品牌服装x套，则转让价格是每套360元，可进购B品牌服装套，列出利润与x之间的函数关系式，求其最大值．
【解答】解：经销商甲的进货成本是＝1200×400＝480000（元）
①若选方案1，则获利1200×600﹣480000＝240000（元）．
若选方案2，得转让款1200×240＝288000元，可进购B品牌服装1440套，
一年内刚好卖空可获利1440×500﹣480000＝240000（元）．
②设转让A品牌服装x套，
则转让价格是每套360元，可进购B品牌服装套，全部售出B品牌服装后得款元，
此时还剩A品牌服装（1200﹣x）套，全部售出A品牌服装后得款600（1200﹣x）元，
共获利w600（1200﹣x）﹣480000330000（0＜x≤1200）．
故当x＝600套时，可得最大利润为330000元．
答：经销商甲选择方案3可以使自己一年内获得最大利润．若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是600（精确到百套），此时他在一年内共得利润330000元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据利润＝（售价﹣成本）×销售量，列出函数关系式，求出最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
22．（12分）点P是矩形ABCD的边BC上一动点，连接AP、DP，将△ABP、△DCP分别沿AP、DP翻折，得到△AB'P、△DC'P．
（1）如图1，PB'交AD于点M，PC'交AD于N，N在M的右侧，求证：PM+MN+PN＝AD；
（2）如图2，当P、B'、C'共线时，称点P为BC边上的“叠合点”．
①在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P为BC边上的“叠合点”，求DP的长；
②若在矩形ABCD中，AD＝4AB，点P是BC边上的“叠合点”，则 7±4 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①2或4；
②7±4．
【分析】（1）利用平行线的性质翻折变换的性质证明MA＝MB，NP＝ND，可得结论；
（2）①由矩形的性质得出AB＝CD＝4，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，设CP＝x，则BP＝10﹣x，由勾股定理得出102＝42+（10﹣x）2+42+x2，求得x＝2或x＝8，则可求出答案；
②设CP＝x，则BP＝4AB﹣x，由矩形的性质及勾股定理得出4AB2＝AB2+（4AB﹣x）2+AB2+x2，求出x＝（2）AB或x＝（2）AB，则可求出答案．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠APB＝∠PAM，
由翻折的性质可知∠APB＝∠APM，
∴∠APM＝∠PAM，
∴MA＝MP，
同法可证NP＝DN，
∴PM+MN+KN＝AM+MN+DN＝AD；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，
设CP＝x，则BP＝10﹣x，
在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△CDP中，DP2＝CD2+CP2＝42+x2，
由折叠的性质可知，∠APB＝∠APB'，∠DPC＝∠DPC'，
∴∠APD＝∠APB'+∠DPC'（∠BPB'+∠CPC'）＝90°，
在Rt△APD中，AD2＝AP2+DP2，
∴102＝42+（10﹣x）2+42+x2，
解得x＝2或x＝8，
∴CP的长为2或8，
当CP＝2时，DP2；
当CP＝8时，DP4；
综上所述，DP的长为2或4；
②∵四边形ABCD是矩形，AD＝4AB，
∴AB＝CD，AD＝BC＝4AB，∠B＝∠C＝90°，
设CP＝x，则BP＝4AB﹣x，
在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2＝AB2+（4AB﹣x）2，
在Rt△CDP中，DP2＝CD2+CP2＝AB2+x2，
由①得，∠APD＝90°，
在Rt△APD中，AD2＝AP2+DP2，
∴4AB2＝AB2+（4AB﹣x）2+AB2+x2，
解得x＝（2）AB或x＝（2）AB，
当CP＝（2）AB时，BP＝（2）AB，
∴7﹣4；
当CP＝（2）AB时，BP＝（2）AB，
∴7+4；
综上所述，的值为7±4．
故答案为：7±4．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
5．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
6．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
7．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
8．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
9．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
10．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
11．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
12．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
13．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
14．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
15．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
16．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
18．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
19．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
20．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
21．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
22．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
23．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
24．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
25．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
26．中点四边形
瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．
27．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
28．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
29．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
30．图形的剪拼
平面构成设计的基础知识，图形拼摆使学生初步理解基本形图形拼摆的概念、构成，以及基本形在平面构成设计中的意义．运用形象与空间关系的规律，设计出新颖的图形拼摆图案．2．学习用分割、组合的方法获得基本形，在教师指导下进行巧妙组合、色彩搭配，图形拼摆完成简单的平面构成设计．培养、锻炼学生的组合造型能力和空间想象能力，发展抽象思维．3．通过动手拼摆、操作，使学生初步了解分解构成的原理，增强设计意识，并在小组活动中培养学生的操作、观察、表达及思维能力，培养探索意识和合作精神．
31．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
32．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
33．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
34．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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