2024—2025学年上学期南京初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期南京初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）不解方程，判别方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不等实根 B．有两个相等实根
C．没有实根 D．无法确定
2．（3分）某公园计划砌一个如图甲所示的喷水池，有人改为图乙的形状，若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿（　　）
A．甲需要的材料多
B．乙需要的材料多
C．甲、乙需要的材料一样多
D．不确定
3．（3分）用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）如图．AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠BOC＝（　　）
A．80° B．100° C．120° D．140°
5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若⊙O的半径为10，CD＝4，那么AB的长为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣2）x+m2﹣m＝0有两个实数根x1和x2，且|x1|＝|x2|，m的值为（　　）
A．﹣1或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．1
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
7．（3分）如果|x﹣a|＝a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么　 　．
8．（3分）请写出一个两实根之和为1的一元二次方程　 　．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD＝BD，若∠DOB＝30°，则∠AOC＝　 　．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值为 　 　．
11．（3分）已知关于x的一元二次方程a（x+m）2+bx＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解为x1＝1，x2＝3，则方程a（x+m+2）2+b（x+2）＝0的解为 　 　．
12．（3分）已知点C在线段AB上，且0＜ACAB．如果⊙C经过点A，那么点B与⊙C的位置关系是　 　．
13．（3分）若m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个根，且（m﹣1）（n﹣1）＝3，则a的值为 　 　．
14．（3分）已知△ABC的外接圆的半径为6，若∠A＝45°，∠B＝30°，则AB的长为 　 　．
15．（3分）某房间窗户如图所示，其中装饰物由2个四分之圆和1个半圆组成，它们的半径都是0.5米，装饰物所占的面积是 　 　平方米，窗户中射进阳光的部分的面积是 　 　平方米．
16．（3分）a、b、c是△ABC的三条边的长，且a、b是方程x2﹣3x+1＝0的两根，c＝5，则△ABC的形状为　 　．
三．解答题（共5小题，满分52分）
17．（12分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2＝3x；
（2）2x2+5x+1＝0．
18．（10分）如图，有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度AB＝7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m、船舱顶部为正方形且高出水面2m的货船要通过拱桥．请你判断，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说明你的理由．
19．（10分）疫情全面开放以来，旅游业迅速升温，某旅行社为吸引广大市民组团去H市旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为350元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于280元．
（1）如果某公司组织12人参加去H市旅游，那么需人均支付旅行社旅游费用 　 　元；
（2）现某公司组织员工去H市旅游，共支付给该旅行社旅游费用6000元，那么该单位有多少名员工参加旅游？
20．（10分）从一块长60cm，宽20cm的长方形木板上截去一个面积为500cm2的长方形，使周围剩余部分一样宽，求此宽度．
21．（10分）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M．
（1）如图1，若AB⊥DE于点N，则∠CAF的度数是 　 　，∠EMC的度数是 　 　；
（2）如图2，请你猜想并写出∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由；
（3）请你总结（1），（2）的思路，在图3中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？请直接写出数量关系．
2024—2025学年上学期南京初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）不解方程，判别方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不等实根 B．有两个相等实根
C．没有实根 D．无法确定
【考点】根的判别式．
【专题】常规题型；一元二次方程及应用．
【答案】A
【分析】计算方程的判别式即可求得答案．
【解答】解：
∵x2﹣4x+3＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3＝16﹣12＝4＞0，
∴该方程有两个不等实数根，
故选：A．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
2．（3分）某公园计划砌一个如图甲所示的喷水池，有人改为图乙的形状，若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿（　　）
A．甲需要的材料多
B．乙需要的材料多
C．甲、乙需要的材料一样多
D．不确定
【考点】圆的认识．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】设乙图中小圆的半径为r，则大圆的半径为3r，再根据圆的周长公式计算出图甲中水池边沿的长度和图乙中水池边沿的长度，然后比较两长度则对各选项进行判断．
【解答】解：设乙图中小圆的半径为r，则大圆的半径为3r，
图甲中水池边沿的长度为2×2π×3r＝12πr，
图乙中水池边沿的长度为2π×3r+3×2πr＝12πr，
所以图甲中水池边沿的长度与图乙中水池边沿的长度相等．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的认识：正确理解与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解决问题的关键．也考查了圆的周长公式．
3．（3分）用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据配方法可以将题目中的方程进行变形，从而可以解答本题．
【解答】解：∵ax2+bx+c＝0，
∴x2x0，
∴x2x，
∴（x）2，
故选：C．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是明确配方法，会用配方法对方程变形．
4．（3分）如图．AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠BOC＝（　　）
A．80° B．100° C．120° D．140°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理即可求出∠BOC．
【解答】解：∵∠D＝40°，
∴∠BOC＝2∠D＝80°．
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，邻补角定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若⊙O的半径为10，CD＝4，那么AB的长为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】连接OA，先求得OD，再根据勾股定理求得AD，由垂径定理得出AB的长．
【解答】解：连接OA，
∵OC＝10，CD＝4，
∴OD＝6，
在Rt△OAD中，OD2+AD2＝OA2，
∴62+AD2＝102，
∴AD＝8，
∵OC⊥AB，
∴AB＝16．
故选：C．
【点评】本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解答这类题要告诉学生常做的辅助线，是解此题的关键．
6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣2）x+m2﹣m＝0有两个实数根x1和x2，且|x1|＝|x2|，m的值为（　　）
A．﹣1或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．1
【考点】根与系数的关系；绝对值；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】由|x1|＝|x2|知x1＝x2或x1+x2＝0，当x1＝x2时，（2m﹣2）2﹣4（m2﹣m）＝0，当x1+x2＝0时，2﹣2m＝0，解方程可得答案．
【解答】解：∵|x1|＝|x2|，
∴x1＝x2或x1+x2＝0，
当x1＝x2时，Δ＝0，即（2m﹣2）2﹣4（m2﹣m）＝0，
解得m＝1；
当x1+x2＝0时，2﹣2m＝0，
解得m＝1，
综上所述，m的值为1；
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是分类讨论思想的应用．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
7．（3分）如果|x﹣a|＝a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么　﹣2x　．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】﹣2x．
【分析】直接利用已知得出a﹣x＞0，a+x＞0，再利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：∵|x﹣a|＝a﹣|x|，
∴|x|＝x，且x≤a，而x≠0，x≠a，
∴a﹣x＞0，a+x＞0，
∴
＝|a﹣x|﹣|a+x|
＝a﹣x﹣（a+x）
＝a﹣x﹣a﹣x
＝﹣2x．
故答案为：﹣2x．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
8．（3分）请写出一个两实根之和为1的一元二次方程　x2﹣x﹣6＝0　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】开放型．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为方程x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝0符合根与系数的关系，所以将x1＝3，x2＝﹣2代入上式即可得到x2﹣（﹣2+3）x+3×（﹣2）＝0．即x2﹣x﹣6＝0两实根之和为1．
【解答】解：选择x1＝3，x2＝﹣2为所求方程的两根．
则x1+x2＝1，x1 x2＝﹣6．
由根与系数关系知：所求方程为x2﹣x﹣6＝0．
【点评】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0根与系数的关系：x1+x2，x1x2解答．可见，当a＝1时有x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝0．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD＝BD，若∠DOB＝30°，则∠AOC＝　120°　．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】计算题；几何直观．
【答案】120°．
【分析】由CD＝BD，推出∠COD＝∠BOD，即可解决问题．
【解答】解：∵CD＝DB，
∴，
∴∠COD＝∠BOD＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOC＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦的关系，关键是由圆心角，弧，弦的关系得出有关等式．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值为 　﹣3　．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用根的判别式当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根求解即可．
【解答】解：一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝16+4m＞0，
∴m＞﹣4；
则m的最小整数值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程根的存在性知识；熟练掌握利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；Δ＜0时，方程没有实数根．确定一元二次方程根的存在性是解题的关键．
11．（3分）已知关于x的一元二次方程a（x+m）2+bx＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解为x1＝1，x2＝3，则方程a（x+m+2）2+b（x+2）＝0的解为 　x3＝﹣1，x4＝1　．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】换元法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x3＝﹣1，x4＝1．
【分析】利用换元的方法和一元二次方程的解的意义解答即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程a（x+m）2+bx＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解为x1＝1，x2＝3，
∴方程a（x+m+2）2+b（x+2）＝0中，令x+2＝y，
则原方程变为：a（y+m）2+by＝0（a，b，m为常数，a≠0），
∴y1＝1，y2＝3，
∴x+2＝1，x+2＝3，
解得：x3＝﹣1，x4＝1．
∴则方程a（x+m+2）2+b（x+2）＝0的解为：x3＝﹣1，x4＝1，
故答案为：x3＝﹣1，x4＝1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，利用换元的思想方法解得是解题的关键．
12．（3分）已知点C在线段AB上，且0＜ACAB．如果⊙C经过点A，那么点B与⊙C的位置关系是　点B在⊙C外　．
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：如图，
∵点C在线段AB上，且0＜ACAB，
∴BC＞AC，
∴点B在⊙C外，
故答案为：点B在⊙C外．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，当d＞r时点P在圆外；当d＜r时点P在圆内是解答此题的关键．
13．（3分）若m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个根，且（m﹣1）（n﹣1）＝3，则a的值为 　5　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】5．
【分析】由m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个解，得出m+n＝3，mn＝a，整理（m﹣1）（n﹣1）＝3，整体代入求得a的数值即可．
【解答】解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个解，
∴m+n＝3，mn＝a，
∵（m﹣1）（n﹣1）＝3，
∴mn﹣（m+n）+1＝3，
即a﹣3+1＝3，
解得：a＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1、x2，则．
14．（3分）已知△ABC的外接圆的半径为6，若∠A＝45°，∠B＝30°，则AB的长为 　33　．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】33．
【分析】设圆心为O，连接OC，OB，OA，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，∠BOC＝2∠BAC＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，△AOC是等边三角形，求得BC6，AC＝OC＝6，过C作CH⊥AB于H，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：设圆心为O，连接OC，OB，OA，
∵∠BAC＝45°，∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC＝OA，
∴△BOC是等腰直角三角形，△AOC是等边三角形，
∴BC6，AC＝OC＝6，
过C作CH⊥AB于H，
∴BHBC＝3，AHAC＝3，
∴AB＝BH+AH＝33，
故答案为：33．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．（3分）某房间窗户如图所示，其中装饰物由2个四分之圆和1个半圆组成，它们的半径都是0.5米，装饰物所占的面积是 　　平方米，窗户中射进阳光的部分的面积是 　（6）　平方米．
【考点】有关圆的应用题．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】，（6）．
【分析】半径相同的两个四分之一圆和一个半圆正好构成了一个整圆，所求装饰物所占的面积正好是一个整圆的面积；能射进阳光的部分的面积＝窗户面积﹣装饰物面积．
【解答】解：依题意得：
装饰物的面积正好等于一个直径为1的圆的面积（平方米）；
窗户中射进阳光的部分的面积是：3×26（平方米）．
故答案为：，（6）．
【点评】本题考查了与圆有关的应用题．将不规则图形的面积转化为规则图形的面积求解是解题的关键．
16．（3分）a、b、c是△ABC的三条边的长，且a、b是方程x2﹣3x+1＝0的两根，c＝5，则△ABC的形状为　直角三角形　．
【考点】根与系数的关系；勾股定理的逆定理．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据根与系数的关系得a+b＝3，ab＝1，再计算出a2+b2＝25，则a2+b2＝c2，然后根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形．
【解答】解：根据题意得a+b＝3，ab＝1，
∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（3）2﹣2×1＝25，
而c＝5，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
故答案为直角三角形．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了勾股定理的逆定理．
三．解答题（共5小题，满分52分）
17．（12分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2＝3x；
（2）2x2+5x+1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝0，x2＝3；
（2）．
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据公式法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2＝3x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3；
（2）2x2+5x+1＝0，
∵a＝2，b＝5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝17，
，
．
【点评】本题考查因式分解法和公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
18．（10分）如图，有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度AB＝7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m、船舱顶部为正方形且高出水面2m的货船要通过拱桥．请你判断，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说明你的理由．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】此货船能顺利通过这座拱桥．
【分析】根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求出拱桥的半径长，连接ON，OB，通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）．先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OEN中勾股定理求出EN的长，从而求得MN的长．
【解答】解：根据题意作图如下所示：
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝7.2m，
∴BDAB＝3.6m．
又∵CD＝2.4m，
设OB＝OC＝ON＝r m，则OD＝（r﹣2.4）m．
在Rt△BOD中，
根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，
解得r＝3.9．
∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB＝2m，
∴CE＝2.4﹣2＝0.4（m），
∴OE＝r﹣CE＝3.9﹣0.4＝3.5（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝3.92﹣3.52＝2.96（m2），
∴EN（m）．
∴MN＝2EN＝23.44m＞3m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
19．（10分）疫情全面开放以来，旅游业迅速升温，某旅行社为吸引广大市民组团去H市旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为350元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于280元．
（1）如果某公司组织12人参加去H市旅游，那么需人均支付旅行社旅游费用 　340　元；
（2）现某公司组织员工去H市旅游，共支付给该旅行社旅游费用6000元，那么该单位有多少名员工参加旅游？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）340
（2）20名
【分析】（1）根据所给的收费标准列式求解即可；
（2）设该单位有x名员工参加旅游，计算得到可分下列两种情况：当10＜x≤24时，当x＞24时，根据所给的收费标准列出方程求解即可．
【解答】解：（1）350﹣（12﹣10）×5＝340，
∴人均支付旅行社旅游费用340元；
故答案为：340；
（2）设该单位有x名员工参加旅游，由题意得：350﹣5（x﹣10）≥280，解得x≤24，
∵350×10＝3500＜6000，
∴该单位超过10人参加旅游；
当10＜x≤24时，
由题意得，x[350﹣5（x﹣10）]＝6000，
∴x2﹣80x+1200＝0，
解得x1＝20或x2＝60（舍去），
当x＞24时，
由题意得，280x＝6000，
解得x≈21.4（不符合题意），
综上所述，x＝20；
答：该单位有20名员工参加旅游．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是需分不同情况进行讨论，根据题意列出一元二次方程，求解时舍去不符合题意的解，易错点是需确定未知数在不同取值范围时不同的解法．
20．（10分）从一块长60cm，宽20cm的长方形木板上截去一个面积为500cm2的长方形，使周围剩余部分一样宽，求此宽度．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】此宽度为5cm．
【分析】设此宽度为x cm，则截取的长方形的长为（60﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，根据长方形的面积公式列出方程并解答即可．
【解答】解：设此宽度为x cm，
根据题意，得（60﹣2x）（20﹣2x）＝500．
整理，得x2﹣40x+175＝0．
解得x1＝35，x2＝5．
当x＝35时，60﹣2x＝﹣10，不符合题意，舍去．
答：此宽度为5cm．
【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，利用矩形的面积计算方法找出等量关系是解决问题的关键．
21．（10分）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M．
（1）如图1，若AB⊥DE于点N，则∠CAF的度数是 　30°　，∠EMC的度数是 　60°　；
（2）如图2，请你猜想并写出∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由；
（3）请你总结（1），（2）的思路，在图3中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？请直接写出数量关系．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）30°；60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由见解析；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由见解析．
【分析】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数；
（2）过C作CH∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）过B作BK∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
【解答】解：（1）过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，
∴∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，
∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AB⊥DE，
∴∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；
故答案为：30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：
证明：如图，
过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC＝∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：
证明：如图，
过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD＝∠KBM，
∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
【点评】本题是几何综合题，主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质进行推算．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
4．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
5．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
6．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
9．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
10．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
11．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
12．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
13．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
14．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
15．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
16．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
17．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
18．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r
②点P在圆上 d＝r
①点P在圆内 d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
19．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
20．有关圆的应用题
主要在六年级数学课本中学习，主要考查圆的面积，根据面积求费用．也考查圆的周长，根据圆的周长求两人同向或逆向跑步时何时相遇．