2024—2025学年上学期南京初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期南京初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 501.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:31:12 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期南京初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了了解某中学1500名学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400名家长，结果有360名家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ）
A．该校约有90%的家长持反对态度
B．该校约有360名家长持反对态度
C．样本是360名家长
D．调查方式是普查
2．（2分）若分式无意义，则x的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0
3．（2分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形
4．（2分）判断21之值介于下列哪两个整数之间？（ ）
A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7
5．（2分）已知反比例函数的图象过（﹣x，y），则它的图象一定不经过点（ ）
A．（y，x） B．（﹣y，x） C．（y，﹣x） D．（﹣xy，1）
6．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）为了了解我市八年级男生的体重分布情况，市教育局从各学校共随机抽取了500名八年级男生进行了测量．在这个问题中，样本是指 ．
8．（2分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．（2分）袋中装有10个小球，颜色为红、白、黑三种，除颜色外其他均相同．若要求摸出一个球是白球和不是白球的可能性相等，则白球共有 个．
10．（2分）计算：6 ．
11．（2分）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则m的取值范围是 ．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2），则顶点B的坐标为 ．
13．（2分）如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：
①∠ACE＝∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的变化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD＝60°或150°；④当∠BCE＝3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的是 ．
14．（2分）若反比例函数y，当x≥a或x≤﹣a时，函数值y范围内的整数有k个；当x≥a+1或x≤﹣a﹣1时，函数值y范围内的整数有k﹣2个，则正整数a＝ ．
15．（2分）如图，平行四边形ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，E点在AB延长线上，G为DE的中点，连接CG，若AD＝6，AB＝CF＝4，则CG的长为 ．
16．（2分）已知关于x的分式方程1的解为非负数，则a的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题，满分68分）
17．（10分）计算、化简．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（6分）解方程：1．
19．（6分）某校为落实“双减”政策及课后服务要求，准备开设乒乓球，素描，书法，篮球，足球五项课后服务项目．为了解学生的需求，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求m的值，补全条形统计图；
（2）若该校有2000名学生，试估计该校参加“素描”活动的学生有多少人？
（3）结合调查信息，请你给该校开设课后服务项目提出一条合理化的建议．
20．（6分）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，七年级（2）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表：
摸球次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 123 247 365 484 603
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 a
（1）表中的a＝ ；
（2）请估计当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（3）试估算摸到红球的概率是 （精确到0.1）；
（4）试估算这个不透明的口袋中红球的个数．
21．（8分）在正方形ABCD中，点E为CD中点，连接AE并延长交BC延长线于点G，点F在BC上，∠FAE＝∠DAE，连接FE并延长交AD延长线于H，连接HG．
（1）求证：四边形AFGH为菱形：
（2）若DH＝1．求四边形AFGH的面积．
22．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①在AB上截取AE，使得AE＝AD；
②作∠BCD的平分线交AB于点F．
（2）连接DE交CF于点P，猜想△CDP的形状，并证明你的结论．
23．（8分）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．
（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：
①货轮出发后几小时追上游轮？
②游轮与货轮何时相距12km？
24．（8分）阅读理解：
配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形：
∵
又∵，
∴，即．
（1）根据上述内容，回答问题：若有正实数m和正实数，则当且仅当m＝ 时，这两个正实数的和有最小值为 ．
（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CO为AB边上中线，AD＝2a，DB＝2b，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件．
（3）探索应用：如图2，已知C为反比例函数的图象上一点，C点的横坐标为1，点A，B为x轴上的动点（点A在点B的左边），连接AC，BC，始终保持∠ACB＝90°，D（0，﹣6）为y轴上一点，连接AD，BD，求四边形ADBC面积的最小值．
25．（10分）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．
（1）【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，求证：M是CD的中点．
（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是 ．
2024—2025学年上学期南京初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了了解某中学1500名学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400名家长，结果有360名家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ）
A．该校约有90%的家长持反对态度
B．该校约有360名家长持反对态度
C．样本是360名家长
D．调查方式是普查
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】A
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、该校约有的家长持反对态度，原说法正确，符合题意；
B、该校约有名家长持反对态度，原说法错误，不符合题意；
C、样本是360名家长对“中学生骑电动车上学”的态度，原说法错误，不符合题意；
D、共1500名学生家长，从中随机调查400个家长，调查方式是抽样调查，原说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了抽查与普查的定义以及用样本估计总体，解题的关键是掌握这些是基础知识．
2．（2分）若分式无意义，则x的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；应用意识．
【答案】A
【分析】先根据分式有意义的条件得出关于x的方程，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式无意义，
∴x+3＝0，解得x＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．
3．（2分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
【专题】多边形与平行四边形．
【答案】D
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故本选项不符合题意；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2分）判断21之值介于下列哪两个整数之间？（ ）
A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7
【考点】估算无理数的大小．
【答案】C
【分析】由2即6＜27，由不等式性质可得21的范围可得答案．
【解答】解：∵2，且，即6＜27，
∴5＜21＜6，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数大小的知识，注意夹逼法的运用是解题关键．
5．（2分）已知反比例函数的图象过（﹣x，y），则它的图象一定不经过点（ ）
A．（y，x） B．（﹣y，x） C．（y，﹣x） D．（﹣xy，1）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；符号意识；运算能力．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象过（﹣x，y），求出k＝﹣xy，再对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象过（﹣x，y），
∴k＝﹣xy．
A、∵y x＝xy≠﹣xy，∴函数图象不过此点，故本选项符合题意；
B、∵﹣y x＝﹣xy，∴函数图象经过此点，故本选项不合题意；
C、∵y （﹣x）＝﹣xy，∴函数图象过此点，故本选项不合题意；
D、∵﹣xy×1＝﹣xy，∴，函数图象过此点，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；矩形的性质．
【专题】存在型；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想；应用意识．
【答案】A
【分析】先确定出EG⊥AC且E、G、H三点共线时，S△ACG中高GH最小，所以S△ACG最小．再利用三角函数求出EH的长，最后GH＝EH﹣1得高．最后求得面积．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°．
由勾股定理得：AC．
∵AB＝3，AE＝2，
∴点F在BC任意一点时，点G始终在AC下方，设点G到AC的距离为h．
∵S△ACGAC h．
∴当h最小时，S△ACG最小.
∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴当EG⊥AC时，GH＝h最小，此时E、G、H三点共线，如图所示．
∵sin∠BAC．
∴EH＝2．
∴h＝EH﹣EG1．
∴S△ACG．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形性质，勾股定理，确定△ACG面积的最小值时点G的位置是本题关键，点G的运动轨迹是圆，动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”结合“垂线段最短”的性质求解．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）为了了解我市八年级男生的体重分布情况，市教育局从各学校共随机抽取了500名八年级男生进行了测量．在这个问题中，样本是指 从各学校共随机抽取的500名八年级男生体重 ．
【考点】总体、个体、样本、样本容量．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】所有考查对象的全体就是总体，而组成总体的每一个考查对象称为个体．研究中实际观测或调查的一部分个体称为样本，依据定义即可解答．
【解答】解：在这个问题中，样本是指从各学校共随机抽取的500名八年级男生体重，
故答案为：从各学校共随机抽取的500名八年级男生体重．
【点评】本题考查了样本的概念．要注意总体、个体和样本所说的“考查对象”是一种数据指标．即要指明具体的对象．
8．（2分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤2 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≤2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式解答即可．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴6﹣3x≥0，即x≤2．
故答案为：x≤2．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列不等式成为解答本题的关键．
9．（2分）袋中装有10个小球，颜色为红、白、黑三种，除颜色外其他均相同．若要求摸出一个球是白球和不是白球的可能性相等，则白球共有 5 个．
【考点】可能性的大小．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】5．
【分析】10×黑球和红球所占总体的百分比＝黑球和红球的数目．
【解答】解：若要求摸出一个球是白球和不是白球的可能性相等，则白球占；
黑球和红球共占．
故黑球和红球共有105个，白球有5个．
故答案为：5．
【点评】考查了可能性的大小，解决本题的关键是得到黑球和红球占球的数目占球的总数的百分比．
10．（2分）计算：6 4 ．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】4．
【分析】利用二次根式的性质化简，再运算即可．
【解答】解：原式＝2
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
11．（2分）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则m的取值范围是 m ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】m．
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由1﹣3m＞0，即可解得答案．
【解答】解：∵反比例函数y的图象位于第一、第三象限，
∴1﹣3m＞0，
解得m，
故答案为：m．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2），则顶点B的坐标为 （3，﹣1） ．
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设B点的坐标为（x，y），根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求解．
【解答】解：设B点的坐标为（x，y），
∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2），
∴，
解得x＝3，y＝﹣1，
∴B（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
13．（2分）如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：
①∠ACE＝∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的变化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD＝60°或150°；④当∠BCE＝3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的是 ① ．
【考点】旋转的性质；平行线的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】①．
【分析】根据题意，利用旋转和平行线的性质，对所给结论依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD；
故①正确．
∵∠BCE＝∠BCA+∠ACE，
∴∠BCE+∠ACD＝∠BCA+∠ACE+∠ACD＝∠BCA+∠DCE＝180°，
所以∠BCE+∠ACD的大小不随着∠ACD的变化而变化．
故②错误．
当旋转角小于90°时，
∵AB∥CE，
∴∠ACE＝∠A＝30°，
∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°．
当旋转角大于90°时，如图所示，
∵AB∥CE，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°＝120°．
故③错误．
由②知，
∠BCE+∠ACD＝180°，
∵∠BCE＝3∠ACD，
∴∠BCE＝135°．
当旋转角小于90°时，
∠ACE＝135°﹣90°＝45°，
又∵∠E＝45°，
∴DE⊥AC．
当旋转角大于90°时，
∵∠BCE＝135°，
∴∠ACD＝45°，
又∵∠D＝45°，
∴∠ACD＝∠D，
∴DE∥AC．
故④错误．
故答案为：①．
【点评】本题考查旋转的性质及平行线的性质，对旋转角度是否大于90°进行分类讨论是解题的关键．
14．（2分）若反比例函数y，当x≥a或x≤﹣a时，函数值y范围内的整数有k个；当x≥a+1或x≤﹣a﹣1时，函数值y范围内的整数有k﹣2个，则正整数a＝ 2或4 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】2或4．
【分析】根据y的性质，以及y为整数，得到y的取值范围，然后得到正整数a只能去1、2、3、4，分别代入进行判断，即可得到答案．
【解答】解：根据题意，反比例函数y中，
当x≥a或x≤﹣a时，则y，且y≠0，
同理，x≥a+1或x≤﹣a﹣1时，则y，且y≠0，
∴正整数a只能为1、2、3、4，
∴当a＝1时，
∵y，
∴﹣4≤y≤4，且y≠0，则k＝8；
∵y，
∴﹣2≤y≤2，且y≠0，则k＝4；
∴a＝1不合题意；
同理可求，
当a＝2时，符合题意；
当a＝3时，不合题意；
当a＝4时，符合题意；
综上，正整数a为2或4，
故答案为2或4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，分类讨论是解题的关键．
15．（2分）如图，平行四边形ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，E点在AB延长线上，G为DE的中点，连接CG，若AD＝6，AB＝CF＝4，则CG的长为 3 ．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】3．
【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的长．
【解答】解：如图，延长CG交BE于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝6，AB＝CF＝4，
∴CD＝4，BC＝6，
∴BF＝BC+CF＝10，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF＝BE＝10，DG＝EG，
∵DC∥AB，
∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，
，
∴△DCG≌△EHG（ASA），
∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝4，BE＝10，
∴HE＝4，BH＝6，
∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝6，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH＝BC＝6，
∴CGCH＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（2分）已知关于x的分式方程1的解为非负数，则a的取值范围是 a≥4且a≠7 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先解关于x的方程，利用方程的解是非负数，以及分式方程的分母不等于0列不等式求得a的范围．
【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣3）得：a﹣3﹣4＝x﹣3
移项，合并同类项，得x＝a﹣4，
根据题意得：a﹣4≥0且a﹣4≠3，
解得：a≥4且a≠7，
故答案为a≥4且a≠7．
【点评】本题考查了解分式方程，注意到分式方程的分母不等于0这一条件是关键．
三．解答题（共9小题，满分68分）
17．（10分）计算、化简．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；分式的混合运算．
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）28；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，然后把化简后合并即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可；
（3）先把括号内通分和进行同分母的加法运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（4）先把括号内通分和进行同分母的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解答】解：（1）原式2
；
（2）原式＝5﹣9﹣（3﹣21）
＝﹣4﹣4+2
＝28；
（3）原式
；
（4）原式＝[]
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了分式的混合运算．
18．（6分）解方程：1．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4x2+10x﹣4x+10＝4x2﹣25，
解得：x，
经检验x是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（6分）某校为落实“双减”政策及课后服务要求，准备开设乒乓球，素描，书法，篮球，足球五项课后服务项目．为了解学生的需求，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求m的值，补全条形统计图；
（2）若该校有2000名学生，试估计该校参加“素描”活动的学生有多少人？
（3）结合调查信息，请你给该校开设课后服务项目提出一条合理化的建议．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）20，图形见解析过程；
（2）该校参加“素描”活动的学生有200人；
（3）可以适当增加乒乓球这项课后服务活动的开设，减少足球这项课后服务活动的开设．
【分析】（1）先求出总人数，再求m；
（2）先求素描占的比例，再乘以全校人数；
（3）根据条形图和扇形图信息回答．
【解答】解：（1）25÷25%＝100（人），
100﹣40﹣10﹣25﹣5＝20，
即：m＝20，
（2）∵n%＝10÷100＝10%，
∴2000×10%＝200（人）．
∴估计该校参加“素描”活动的学生有200人；
（3）根据图中信息可知参加乒乓球的学生人数最多，参加足球的学生人数最少，所以可以适当增加乒乓球这项课后服务活动的开设，减少足球这项课后服务活动的开设．
【点评】本题主要考查了学生统计的知识、条形统计图知识、扇形统计图知识，本题难度不大，认真作答即可．
20．（6分）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，七年级（2）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表：
摸球次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 123 247 365 484 603
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 a
（1）表中的a＝ 0.404 ；
（2）请估计当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 0.4 （精确到0.1）；
（3）试估算摸到红球的概率是 0.6 （精确到0.1）；
（4）试估算这个不透明的口袋中红球的个数．
【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布表．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）0.404；
（2）0.4；
（3）0.6；
（4）15个．
【分析】（1）根据频率＝频数÷样本总数求得a的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；
（3）摸到红球的概率为1﹣0.4＝0.6；
（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可；
【解答】解：（1）a＝606÷1500＝0.404；
故答案为：0.404；
（2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，
故答案为：0.4；
（3）摸到红球的概率是1﹣0.4＝0.6；
故答案为：0.6；
（4）设红球有x个，根据题意得：0.4，
解得：x＝15，
经检验x＝15是原方程的解．
∴估算这个不透明的口袋中红球的个数为15个．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1．
21．（8分）在正方形ABCD中，点E为CD中点，连接AE并延长交BC延长线于点G，点F在BC上，∠FAE＝∠DAE，连接FE并延长交AD延长线于H，连接HG．
（1）求证：四边形AFGH为菱形：
（2）若DH＝1．求四边形AFGH的面积．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正方形的性质可得FA＝FG，然后证明△ADE≌△GCE可得AD＝CG，同理证明△DEH△CEF可得DH＝CF，进而可得四边形AFGH为菱形；
（2）设正方形边长为x，结合（1）可得AF＝AH＝AD+DH＝x+1，BF＝BC﹣FC＝x﹣1，然后根据勾股定理列出方程即可求出x的值，进而可得四边形AFGH的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠FGA，
∵∠FAE＝∠DAE，
∴∠FGA＝∠FAE，
∴FA＝FG，
∵点E为CD中点，
∴DE＝CE，
∵∠ADE＝∠GCE＝90°，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴AD＝CG，
同理：△DEH△CEF（AAS），
∴DH＝CF，
∵AH＝AD+DH，GF＝CG+CF，
∴AH＝FG，
∴四边形AFGH为平行四边形，
∵FA＝FG，
∴四边形AFGH为菱形；
（2）解：FC＝DH＝1，
设AB＝AD＝x，
由（1）知FC＝DH＝1，
∴AF＝AH＝AD+DH＝x+1，
BF＝BC﹣FC＝x﹣1，
在Rt△ABF中，根据勾股定理，得
AF2＝AB2+BF2，
∴（x+1）2＝x2+（x﹣1）2，
解得x＝4，x＝0（舍去），
∴AF＝FG＝x+1＝5，
∴菱形AFGH的面积为：FG DC＝5×4＝20．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
22．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①在AB上截取AE，使得AE＝AD；
②作∠BCD的平分线交AB于点F．
（2）连接DE交CF于点P，猜想△CDP的形状，并证明你的结论．
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【专题】作图题；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）①见解析；
②见解析；
（2）△CPD是直角三角形，证明见解析．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明∠ADE＝∠CDE，利用平行线的性质再证明∠CDP+∠DCP＝90°即可．
【解答】解：（1）如图，线段AE，射线CF即为所求；
（2）结论：△CPD是直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCP＝∠BCP，
∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴2∠CDP+2∠DCP＝180°，
∴∠CDP+∠DCP＝90°，
∴∠CPD＝90°，
∴△CDP是直角三角形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（8分）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．
（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：
①货轮出发后几小时追上游轮？
②游轮与货轮何时相距12km？
【考点】一次函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图中信息解答即可．
（2）①求出B，C，D，E的坐标，利用待定系数法求解即可．
②分三种情形种情形分别构建方程求解即可．
【解答】解：（1）C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h．
∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长＝23﹣（420÷20）＝23﹣21＝2（h）．
（2）①280÷20＝14h，
∴点A（14，280），点B（16，280），
∵36÷60＝0.6（h），23﹣0.6＝22.4，
∴点E（22.4，420），
设BC的解析式为s＝20t+b，把B（16，280）代入s＝20t+b，可得b＝﹣40，
∴s＝20t﹣40（16≤t≤23），
同理由D（14，0），E（22.4，420）可得DE的解析式为s＝50t﹣700（14≤t≤22.4），
由题意：20t﹣40＝50t﹣700，
解得t＝22，
∵22﹣14＝8（h），
∴货轮出发后8小时追上游轮．
②相遇之前相距12km时，20t﹣40﹣（50t﹣700）＝12，解得t＝21.6．
相遇之后相距12km时，50t﹣700﹣（20t﹣40）＝12，解得t＝22.4，
当游轮在刚离开杭州12km时，此时根据图象可知货轮就在杭州，游轮距离杭州12km，所以此时两船应该也是相距12km，即在0.6h的时候，两船也相距12km
∴0.6h或21.6h或22.4h时游轮与货轮相距12km．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，熟练运用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
24．（8分）阅读理解：
配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形：
∵
又∵，
∴，即．
（1）根据上述内容，回答问题：若有正实数m和正实数，则当且仅当m＝ 时，这两个正实数的和有最小值为 2 ．
（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CO为AB边上中线，AD＝2a，DB＝2b，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件．
（3）探索应用：如图2，已知C为反比例函数的图象上一点，C点的横坐标为1，点A，B为x轴上的动点（点A在点B的左边），连接AC，BC，始终保持∠ACB＝90°，D（0，﹣6）为y轴上一点，连接AD，BD，求四边形ADBC面积的最小值．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线；非负数的性质：偶次方；实数的运算；配方法的应用；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）；；（2）验证见解析，当D与O重合时或a＝b时，等式成立；（3）55．
【分析】（1）根据可知，由此可解；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得，通过证明△ADC∽△CDB，可得，进而得出，根据CO≥CD，可得；
（3）过点C作CM⊥AB于M． ，结合（2）中结论，求出AB的最小值即可．
【解答】解：（1）由题意知，
当且仅当时等号成立，
解得，∵m是正实数，∴，
即当且仅当时，这两个正实数的和有最小值为．
故答案为：，；
（2）∵AD＝2a，DB＝2b，
∴AB＝AD+BD＝2a+2b．
在Rt△ABC中，∵CO为中线，
∴．
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B．
又∵∠ADC＝90°，∠CDB＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴，
∴．
∵CD⊥AB，
∴CO≥CD，即．
当D与O重合时或a＝b时，等式成立．
（3）解：过点C作CM⊥AB于M．
将x＝1代入得y＝5，
则点C坐标为（1，5），
∵点D坐标为（0，﹣6），∴OD＝6，
∴，
当AB最小时S四边形ADBC最小．
∵∠ACB＝90°，CM⊥AB，
∴由（2）知：当AM＝BM时，AB最小，
此时，AB＝2CM＝2×5＝10，
∴AB最小值为10，此时．
【点评】本题考查了反比例函数、相似三角形的判定与性质、用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足a＝b时，a+b有最小值是解题的关键．
25．（10分）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．
（1）【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 12 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，求证：M是CD的中点．
（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是 8 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）12；
（2）证明见解析；
（3）8．
【分析】（1）先证△AMN≌△EAN（SAS），得MN＝EN．则MN＝BN+DM．再由勾股定理得MN＝10，则BN+DM＝10，设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，得x﹣3+x﹣4＝5，求解即可；
（2）设BN＝m，DM＝n，由（1）得MN＝BN+DM＝m+n，再由锐角三角函数定义得AB＝3BN＝3m，则CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，然后在Rt△CMN中，由勾股定理得出方程，得3m＝2n，即可解决问题；
（3）延长AB至P，使BP＝BN＝4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，则四边形APQD是正方形，得PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝16，设DM＝a，则MQ＝16﹣a，证△ABN∽△APE，得PEBN，则EQ，然后在Rt△QEM中，由勾股定理得出方程，求解即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转的性质得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，
即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△AEN中，
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，
∴MN＝BN+DM，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN10，
则BN+DM＝10，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，
∴x﹣6+x﹣8＝10，
解得：x＝12，
即正方形ABCD的边长是12；
故答案为：12；
（2）证明：设BN＝m，DM＝n，
由（1）可知，MN＝BN+DM＝m+n，
∵∠B＝90°，tan∠BAN，
∴tan∠BAN，
∴AB＝3BN＝3m，
∴CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：（2m）2+（3m﹣n）2＝（m+n）2，
整理得：3m＝2n，
∴CM＝2n﹣n＝n，
∴DM＝CM，
即M是CD的中点；
（3）解：延长AB至P，使BP＝BN＝4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，如图③所示：
则四边形APQD是正方形，
∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝12+4＝16，
设DM＝a，则MQ＝16﹣a，
∵PQ∥BC，
∴△ABN∽△APE，
∴，
∴PEBN，
∴EQ＝PQ﹣PE＝16，
由（1）得：EM＝PE+DMa，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（16﹣a）2＝（a）2，
解得：a＝8，
即DM的长是8；
故答案为：8．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、锐角三角函数定义、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
5．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
6．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
7．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
8．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
9．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
10．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
11．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
12．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
13．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
14．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
15．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
16．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
17．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
18．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
19．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
20．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
21．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
24．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
25．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
26．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
27．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
28．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
29．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
30．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
31．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
32．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
33．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
34．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
35．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
36．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
37．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
38．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
39．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
40．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
41．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
42．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
43．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
2024—2025学年上学期南京初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了了解某中学1500名学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400名家长，结果有360名家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ）
A．该校约有90%的家长持反对态度
B．该校约有360名家长持反对态度
C．样本是360名家长
D．调查方式是普查
2．（2分）若分式无意义，则x的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0
3．（2分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形
4．（2分）判断21之值介于下列哪两个整数之间？（ ）
A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7
5．（2分）已知反比例函数的图象过（﹣x，y），则它的图象一定不经过点（ ）
A．（y，x） B．（﹣y，x） C．（y，﹣x） D．（﹣xy，1）
6．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）为了了解我市八年级男生的体重分布情况，市教育局从各学校共随机抽取了500名八年级男生进行了测量．在这个问题中，样本是指 ．
8．（2分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．（2分）袋中装有10个小球，颜色为红、白、黑三种，除颜色外其他均相同．若要求摸出一个球是白球和不是白球的可能性相等，则白球共有 个．
10．（2分）计算：6 ．
11．（2分）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则m的取值范围是 ．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2），则顶点B的坐标为 ．
13．（2分）如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：
①∠ACE＝∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的变化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD＝60°或150°；④当∠BCE＝3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的是 ．
14．（2分）若反比例函数y，当x≥a或x≤﹣a时，函数值y范围内的整数有k个；当x≥a+1或x≤﹣a﹣1时，函数值y范围内的整数有k﹣2个，则正整数a＝ ．
15．（2分）如图，平行四边形ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，E点在AB延长线上，G为DE的中点，连接CG，若AD＝6，AB＝CF＝4，则CG的长为 ．
16．（2分）已知关于x的分式方程1的解为非负数，则a的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题，满分68分）
17．（10分）计算、化简．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（6分）解方程：1．
19．（6分）某校为落实“双减”政策及课后服务要求，准备开设乒乓球，素描，书法，篮球，足球五项课后服务项目．为了解学生的需求，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求m的值，补全条形统计图；
（2）若该校有2000名学生，试估计该校参加“素描”活动的学生有多少人？
（3）结合调查信息，请你给该校开设课后服务项目提出一条合理化的建议．
20．（6分）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，七年级（2）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表：
摸球次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 123 247 365 484 603
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 a
（1）表中的a＝ ；
（2）请估计当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（3）试估算摸到红球的概率是 （精确到0.1）；
（4）试估算这个不透明的口袋中红球的个数．
21．（8分）在正方形ABCD中，点E为CD中点，连接AE并延长交BC延长线于点G，点F在BC上，∠FAE＝∠DAE，连接FE并延长交AD延长线于H，连接HG．
（1）求证：四边形AFGH为菱形：
（2）若DH＝1．求四边形AFGH的面积．
22．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①在AB上截取AE，使得AE＝AD；
②作∠BCD的平分线交AB于点F．
（2）连接DE交CF于点P，猜想△CDP的形状，并证明你的结论．
23．（8分）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．
（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：
①货轮出发后几小时追上游轮？
②游轮与货轮何时相距12km？
24．（8分）阅读理解：
配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形：
∵
又∵，
∴，即．
（1）根据上述内容，回答问题：若有正实数m和正实数，则当且仅当m＝ 时，这两个正实数的和有最小值为 ．
（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CO为AB边上中线，AD＝2a，DB＝2b，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件．
（3）探索应用：如图2，已知C为反比例函数的图象上一点，C点的横坐标为1，点A，B为x轴上的动点（点A在点B的左边），连接AC，BC，始终保持∠ACB＝90°，D（0，﹣6）为y轴上一点，连接AD，BD，求四边形ADBC面积的最小值．
25．（10分）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．
（1）【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，求证：M是CD的中点．
（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是 ．
2024—2025学年上学期南京初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了了解某中学1500名学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400名家长，结果有360名家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ）
A．该校约有90%的家长持反对态度
B．该校约有360名家长持反对态度
C．样本是360名家长
D．调查方式是普查
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】A
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、该校约有的家长持反对态度，原说法正确，符合题意；
B、该校约有名家长持反对态度，原说法错误，不符合题意；
C、样本是360名家长对“中学生骑电动车上学”的态度，原说法错误，不符合题意；
D、共1500名学生家长，从中随机调查400个家长，调查方式是抽样调查，原说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了抽查与普查的定义以及用样本估计总体，解题的关键是掌握这些是基础知识．
2．（2分）若分式无意义，则x的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；应用意识．
【答案】A
【分析】先根据分式有意义的条件得出关于x的方程，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式无意义，
∴x+3＝0，解得x＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．
3．（2分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
【专题】多边形与平行四边形．
【答案】D
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故本选项不符合题意；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2分）判断21之值介于下列哪两个整数之间？（ ）
A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7
【考点】估算无理数的大小．
【答案】C
【分析】由2即6＜27，由不等式性质可得21的范围可得答案．
【解答】解：∵2，且，即6＜27，
∴5＜21＜6，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数大小的知识，注意夹逼法的运用是解题关键．
5．（2分）已知反比例函数的图象过（﹣x，y），则它的图象一定不经过点（ ）
A．（y，x） B．（﹣y，x） C．（y，﹣x） D．（﹣xy，1）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；符号意识；运算能力．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象过（﹣x，y），求出k＝﹣xy，再对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象过（﹣x，y），
∴k＝﹣xy．
A、∵y x＝xy≠﹣xy，∴函数图象不过此点，故本选项符合题意；
B、∵﹣y x＝﹣xy，∴函数图象经过此点，故本选项不合题意；
C、∵y （﹣x）＝﹣xy，∴函数图象过此点，故本选项不合题意；
D、∵﹣xy×1＝﹣xy，∴，函数图象过此点，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；矩形的性质．
【专题】存在型；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想；应用意识．
【答案】A
【分析】先确定出EG⊥AC且E、G、H三点共线时，S△ACG中高GH最小，所以S△ACG最小．再利用三角函数求出EH的长，最后GH＝EH﹣1得高．最后求得面积．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°．
由勾股定理得：AC．
∵AB＝3，AE＝2，
∴点F在BC任意一点时，点G始终在AC下方，设点G到AC的距离为h．
∵S△ACGAC h．
∴当h最小时，S△ACG最小.
∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴当EG⊥AC时，GH＝h最小，此时E、G、H三点共线，如图所示．
∵sin∠BAC．
∴EH＝2．
∴h＝EH﹣EG1．
∴S△ACG．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形性质，勾股定理，确定△ACG面积的最小值时点G的位置是本题关键，点G的运动轨迹是圆，动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”结合“垂线段最短”的性质求解．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）为了了解我市八年级男生的体重分布情况，市教育局从各学校共随机抽取了500名八年级男生进行了测量．在这个问题中，样本是指 从各学校共随机抽取的500名八年级男生体重 ．
【考点】总体、个体、样本、样本容量．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】所有考查对象的全体就是总体，而组成总体的每一个考查对象称为个体．研究中实际观测或调查的一部分个体称为样本，依据定义即可解答．
【解答】解：在这个问题中，样本是指从各学校共随机抽取的500名八年级男生体重，
故答案为：从各学校共随机抽取的500名八年级男生体重．
【点评】本题考查了样本的概念．要注意总体、个体和样本所说的“考查对象”是一种数据指标．即要指明具体的对象．
8．（2分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤2 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≤2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式解答即可．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴6﹣3x≥0，即x≤2．
故答案为：x≤2．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列不等式成为解答本题的关键．
9．（2分）袋中装有10个小球，颜色为红、白、黑三种，除颜色外其他均相同．若要求摸出一个球是白球和不是白球的可能性相等，则白球共有 5 个．
【考点】可能性的大小．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】5．
【分析】10×黑球和红球所占总体的百分比＝黑球和红球的数目．
【解答】解：若要求摸出一个球是白球和不是白球的可能性相等，则白球占；
黑球和红球共占．
故黑球和红球共有105个，白球有5个．
故答案为：5．
【点评】考查了可能性的大小，解决本题的关键是得到黑球和红球占球的数目占球的总数的百分比．
10．（2分）计算：6 4 ．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】4．
【分析】利用二次根式的性质化简，再运算即可．
【解答】解：原式＝2
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
11．（2分）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则m的取值范围是 m ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】m．
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由1﹣3m＞0，即可解得答案．
【解答】解：∵反比例函数y的图象位于第一、第三象限，
∴1﹣3m＞0，
解得m，
故答案为：m．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2），则顶点B的坐标为 （3，﹣1） ．
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设B点的坐标为（x，y），根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求解．
【解答】解：设B点的坐标为（x，y），
∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2），
∴，
解得x＝3，y＝﹣1，
∴B（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
13．（2分）如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：
①∠ACE＝∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的变化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD＝60°或150°；④当∠BCE＝3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的是 ① ．
【考点】旋转的性质；平行线的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】①．
【分析】根据题意，利用旋转和平行线的性质，对所给结论依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD；
故①正确．
∵∠BCE＝∠BCA+∠ACE，
∴∠BCE+∠ACD＝∠BCA+∠ACE+∠ACD＝∠BCA+∠DCE＝180°，
所以∠BCE+∠ACD的大小不随着∠ACD的变化而变化．
故②错误．
当旋转角小于90°时，
∵AB∥CE，
∴∠ACE＝∠A＝30°，
∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°．
当旋转角大于90°时，如图所示，
∵AB∥CE，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°＝120°．
故③错误．
由②知，
∠BCE+∠ACD＝180°，
∵∠BCE＝3∠ACD，
∴∠BCE＝135°．
当旋转角小于90°时，
∠ACE＝135°﹣90°＝45°，
又∵∠E＝45°，
∴DE⊥AC．
当旋转角大于90°时，
∵∠BCE＝135°，
∴∠ACD＝45°，
又∵∠D＝45°，
∴∠ACD＝∠D，
∴DE∥AC．
故④错误．
故答案为：①．
【点评】本题考查旋转的性质及平行线的性质，对旋转角度是否大于90°进行分类讨论是解题的关键．
14．（2分）若反比例函数y，当x≥a或x≤﹣a时，函数值y范围内的整数有k个；当x≥a+1或x≤﹣a﹣1时，函数值y范围内的整数有k﹣2个，则正整数a＝ 2或4 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】2或4．
【分析】根据y的性质，以及y为整数，得到y的取值范围，然后得到正整数a只能去1、2、3、4，分别代入进行判断，即可得到答案．
【解答】解：根据题意，反比例函数y中，
当x≥a或x≤﹣a时，则y，且y≠0，
同理，x≥a+1或x≤﹣a﹣1时，则y，且y≠0，
∴正整数a只能为1、2、3、4，
∴当a＝1时，
∵y，
∴﹣4≤y≤4，且y≠0，则k＝8；
∵y，
∴﹣2≤y≤2，且y≠0，则k＝4；
∴a＝1不合题意；
同理可求，
当a＝2时，符合题意；
当a＝3时，不合题意；
当a＝4时，符合题意；
综上，正整数a为2或4，
故答案为2或4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，分类讨论是解题的关键．
15．（2分）如图，平行四边形ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，E点在AB延长线上，G为DE的中点，连接CG，若AD＝6，AB＝CF＝4，则CG的长为 3 ．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】3．
【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的长．
【解答】解：如图，延长CG交BE于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝6，AB＝CF＝4，
∴CD＝4，BC＝6，
∴BF＝BC+CF＝10，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF＝BE＝10，DG＝EG，
∵DC∥AB，
∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，
，
∴△DCG≌△EHG（ASA），
∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝4，BE＝10，
∴HE＝4，BH＝6，
∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝6，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH＝BC＝6，
∴CGCH＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（2分）已知关于x的分式方程1的解为非负数，则a的取值范围是 a≥4且a≠7 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先解关于x的方程，利用方程的解是非负数，以及分式方程的分母不等于0列不等式求得a的范围．
【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣3）得：a﹣3﹣4＝x﹣3
移项，合并同类项，得x＝a﹣4，
根据题意得：a﹣4≥0且a﹣4≠3，
解得：a≥4且a≠7，
故答案为a≥4且a≠7．
【点评】本题考查了解分式方程，注意到分式方程的分母不等于0这一条件是关键．
三．解答题（共9小题，满分68分）
17．（10分）计算、化简．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；分式的混合运算．
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）28；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，然后把化简后合并即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可；
（3）先把括号内通分和进行同分母的加法运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（4）先把括号内通分和进行同分母的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解答】解：（1）原式2
；
（2）原式＝5﹣9﹣（3﹣21）
＝﹣4﹣4+2
＝28；
（3）原式
；
（4）原式＝[]
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了分式的混合运算．
18．（6分）解方程：1．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4x2+10x﹣4x+10＝4x2﹣25，
解得：x，
经检验x是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（6分）某校为落实“双减”政策及课后服务要求，准备开设乒乓球，素描，书法，篮球，足球五项课后服务项目．为了解学生的需求，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求m的值，补全条形统计图；
（2）若该校有2000名学生，试估计该校参加“素描”活动的学生有多少人？
（3）结合调查信息，请你给该校开设课后服务项目提出一条合理化的建议．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）20，图形见解析过程；
（2）该校参加“素描”活动的学生有200人；
（3）可以适当增加乒乓球这项课后服务活动的开设，减少足球这项课后服务活动的开设．
【分析】（1）先求出总人数，再求m；
（2）先求素描占的比例，再乘以全校人数；
（3）根据条形图和扇形图信息回答．
【解答】解：（1）25÷25%＝100（人），
100﹣40﹣10﹣25﹣5＝20，
即：m＝20，
（2）∵n%＝10÷100＝10%，
∴2000×10%＝200（人）．
∴估计该校参加“素描”活动的学生有200人；
（3）根据图中信息可知参加乒乓球的学生人数最多，参加足球的学生人数最少，所以可以适当增加乒乓球这项课后服务活动的开设，减少足球这项课后服务活动的开设．
【点评】本题主要考查了学生统计的知识、条形统计图知识、扇形统计图知识，本题难度不大，认真作答即可．
20．（6分）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，七年级（2）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表：
摸球次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 123 247 365 484 603
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 a
（1）表中的a＝ 0.404 ；
（2）请估计当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 0.4 （精确到0.1）；
（3）试估算摸到红球的概率是 0.6 （精确到0.1）；
（4）试估算这个不透明的口袋中红球的个数．
【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布表．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）0.404；
（2）0.4；
（3）0.6；
（4）15个．
【分析】（1）根据频率＝频数÷样本总数求得a的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；
（3）摸到红球的概率为1﹣0.4＝0.6；
（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可；
【解答】解：（1）a＝606÷1500＝0.404；
故答案为：0.404；
（2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，
故答案为：0.4；
（3）摸到红球的概率是1﹣0.4＝0.6；
故答案为：0.6；
（4）设红球有x个，根据题意得：0.4，
解得：x＝15，
经检验x＝15是原方程的解．
∴估算这个不透明的口袋中红球的个数为15个．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1．
21．（8分）在正方形ABCD中，点E为CD中点，连接AE并延长交BC延长线于点G，点F在BC上，∠FAE＝∠DAE，连接FE并延长交AD延长线于H，连接HG．
（1）求证：四边形AFGH为菱形：
（2）若DH＝1．求四边形AFGH的面积．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正方形的性质可得FA＝FG，然后证明△ADE≌△GCE可得AD＝CG，同理证明△DEH△CEF可得DH＝CF，进而可得四边形AFGH为菱形；
（2）设正方形边长为x，结合（1）可得AF＝AH＝AD+DH＝x+1，BF＝BC﹣FC＝x﹣1，然后根据勾股定理列出方程即可求出x的值，进而可得四边形AFGH的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠FGA，
∵∠FAE＝∠DAE，
∴∠FGA＝∠FAE，
∴FA＝FG，
∵点E为CD中点，
∴DE＝CE，
∵∠ADE＝∠GCE＝90°，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴AD＝CG，
同理：△DEH△CEF（AAS），
∴DH＝CF，
∵AH＝AD+DH，GF＝CG+CF，
∴AH＝FG，
∴四边形AFGH为平行四边形，
∵FA＝FG，
∴四边形AFGH为菱形；
（2）解：FC＝DH＝1，
设AB＝AD＝x，
由（1）知FC＝DH＝1，
∴AF＝AH＝AD+DH＝x+1，
BF＝BC﹣FC＝x﹣1，
在Rt△ABF中，根据勾股定理，得
AF2＝AB2+BF2，
∴（x+1）2＝x2+（x﹣1）2，
解得x＝4，x＝0（舍去），
∴AF＝FG＝x+1＝5，
∴菱形AFGH的面积为：FG DC＝5×4＝20．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
22．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①在AB上截取AE，使得AE＝AD；
②作∠BCD的平分线交AB于点F．
（2）连接DE交CF于点P，猜想△CDP的形状，并证明你的结论．
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【专题】作图题；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）①见解析；
②见解析；
（2）△CPD是直角三角形，证明见解析．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明∠ADE＝∠CDE，利用平行线的性质再证明∠CDP+∠DCP＝90°即可．
【解答】解：（1）如图，线段AE，射线CF即为所求；
（2）结论：△CPD是直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCP＝∠BCP，
∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴2∠CDP+2∠DCP＝180°，
∴∠CDP+∠DCP＝90°，
∴∠CPD＝90°，
∴△CDP是直角三角形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（8分）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．
（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：
①货轮出发后几小时追上游轮？
②游轮与货轮何时相距12km？
【考点】一次函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图中信息解答即可．
（2）①求出B，C，D，E的坐标，利用待定系数法求解即可．
②分三种情形种情形分别构建方程求解即可．
【解答】解：（1）C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h．
∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长＝23﹣（420÷20）＝23﹣21＝2（h）．
（2）①280÷20＝14h，
∴点A（14，280），点B（16，280），
∵36÷60＝0.6（h），23﹣0.6＝22.4，
∴点E（22.4，420），
设BC的解析式为s＝20t+b，把B（16，280）代入s＝20t+b，可得b＝﹣40，
∴s＝20t﹣40（16≤t≤23），
同理由D（14，0），E（22.4，420）可得DE的解析式为s＝50t﹣700（14≤t≤22.4），
由题意：20t﹣40＝50t﹣700，
解得t＝22，
∵22﹣14＝8（h），
∴货轮出发后8小时追上游轮．
②相遇之前相距12km时，20t﹣40﹣（50t﹣700）＝12，解得t＝21.6．
相遇之后相距12km时，50t﹣700﹣（20t﹣40）＝12，解得t＝22.4，
当游轮在刚离开杭州12km时，此时根据图象可知货轮就在杭州，游轮距离杭州12km，所以此时两船应该也是相距12km，即在0.6h的时候，两船也相距12km
∴0.6h或21.6h或22.4h时游轮与货轮相距12km．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，熟练运用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
24．（8分）阅读理解：
配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形：
∵
又∵，
∴，即．
（1）根据上述内容，回答问题：若有正实数m和正实数，则当且仅当m＝ 时，这两个正实数的和有最小值为 2 ．
（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CO为AB边上中线，AD＝2a，DB＝2b，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件．
（3）探索应用：如图2，已知C为反比例函数的图象上一点，C点的横坐标为1，点A，B为x轴上的动点（点A在点B的左边），连接AC，BC，始终保持∠ACB＝90°，D（0，﹣6）为y轴上一点，连接AD，BD，求四边形ADBC面积的最小值．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线；非负数的性质：偶次方；实数的运算；配方法的应用；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）；；（2）验证见解析，当D与O重合时或a＝b时，等式成立；（3）55．
【分析】（1）根据可知，由此可解；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得，通过证明△ADC∽△CDB，可得，进而得出，根据CO≥CD，可得；
（3）过点C作CM⊥AB于M． ，结合（2）中结论，求出AB的最小值即可．
【解答】解：（1）由题意知，
当且仅当时等号成立，
解得，∵m是正实数，∴，
即当且仅当时，这两个正实数的和有最小值为．
故答案为：，；
（2）∵AD＝2a，DB＝2b，
∴AB＝AD+BD＝2a+2b．
在Rt△ABC中，∵CO为中线，
∴．
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B．
又∵∠ADC＝90°，∠CDB＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴，
∴．
∵CD⊥AB，
∴CO≥CD，即．
当D与O重合时或a＝b时，等式成立．
（3）解：过点C作CM⊥AB于M．
将x＝1代入得y＝5，
则点C坐标为（1，5），
∵点D坐标为（0，﹣6），∴OD＝6，
∴，
当AB最小时S四边形ADBC最小．
∵∠ACB＝90°，CM⊥AB，
∴由（2）知：当AM＝BM时，AB最小，
此时，AB＝2CM＝2×5＝10，
∴AB最小值为10，此时．
【点评】本题考查了反比例函数、相似三角形的判定与性质、用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足a＝b时，a+b有最小值是解题的关键．
25．（10分）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．
（1）【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 12 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，求证：M是CD的中点．
（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是 8 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）12；
（2）证明见解析；
（3）8．
【分析】（1）先证△AMN≌△EAN（SAS），得MN＝EN．则MN＝BN+DM．再由勾股定理得MN＝10，则BN+DM＝10，设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，得x﹣3+x﹣4＝5，求解即可；
（2）设BN＝m，DM＝n，由（1）得MN＝BN+DM＝m+n，再由锐角三角函数定义得AB＝3BN＝3m，则CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，然后在Rt△CMN中，由勾股定理得出方程，得3m＝2n，即可解决问题；
（3）延长AB至P，使BP＝BN＝4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，则四边形APQD是正方形，得PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝16，设DM＝a，则MQ＝16﹣a，证△ABN∽△APE，得PEBN，则EQ，然后在Rt△QEM中，由勾股定理得出方程，求解即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转的性质得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，
即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△AEN中，
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，
∴MN＝BN+DM，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN10，
则BN+DM＝10，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，
∴x﹣6+x﹣8＝10，
解得：x＝12，
即正方形ABCD的边长是12；
故答案为：12；
（2）证明：设BN＝m，DM＝n，
由（1）可知，MN＝BN+DM＝m+n，
∵∠B＝90°，tan∠BAN，
∴tan∠BAN，
∴AB＝3BN＝3m，
∴CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：（2m）2+（3m﹣n）2＝（m+n）2，
整理得：3m＝2n，
∴CM＝2n﹣n＝n，
∴DM＝CM，
即M是CD的中点；
（3）解：延长AB至P，使BP＝BN＝4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，如图③所示：
则四边形APQD是正方形，
∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝12+4＝16，
设DM＝a，则MQ＝16﹣a，
∵PQ∥BC，
∴△ABN∽△APE，
∴，
∴PEBN，
∴EQ＝PQ﹣PE＝16，
由（1）得：EM＝PE+DMa，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（16﹣a）2＝（a）2，
解得：a＝8，
即DM的长是8；
故答案为：8．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、锐角三角函数定义、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
5．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
6．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
7．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
8．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
9．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
10．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
11．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
12．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
13．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
14．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
15．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
16．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
17．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
18．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
19．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
20．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
21．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
24．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
25．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
26．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
27．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
28．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
29．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
30．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
31．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
32．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
33．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
34．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
35．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
36．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
37．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
38．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
39．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
40．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
41．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
42．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
43．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
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