2024—2025学年上学期南京初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期南京初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）关于x的一元二次方程x2+2xk＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（3分）如图，大半圆中有n个小半圆，若大半圆弧长为L1，n个小半圆弧长的和为L2，大半圆的弦AB，BC，CD的长度和为L3．则（　　）
A．L1＝L2＞L3
B．L1＝L2＜L3
C．无法比较L1、L2、L3间的大小关系
D．L1＞L3＞L2
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+11＝0，此方程可化为（　　）
A．（x﹣4）2＝5 B．（x+4）2＝5 C．（x﹣4）2＝27 D．（x+4）2＝27
4．（3分）如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠DOE的度数是（　　）
A．148° B．120° C．108° D．116°
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，若AB＝10，CD＝6，则BE的长是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（3分）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
7．（3分）化简：　 　，　 　．
8．（3分）写出一个解为1和2的一元二次方程：　 　．
9．（3分）已知圆中一弦将圆分为1：2的两条弧，则这条弦所对的圆心角为　 　度．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实根，则m的值为 　 　．
11．（3分）若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是 　 　．
12．（3分）若点P在⊙O的内部，OP＝4，则⊙O的半径可能是 　 　．（填上一个符合要求的数字）
13．（3分）关于x的方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2+x1x2的值为　 　．
14．（3分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，若⊙O的直径是，则DE的长为 　 　．
15．（3分）某房间窗户如图所示，其中装饰物由2个四分之圆和1个半圆组成，它们的半径都是0.5米，装饰物所占的面积是 　 　平方米，窗户中射进阳光的部分的面积是 　 　平方米．
16．（3分）若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝　 　时，△ABC是直角三角形．
三．解答题（共5小题，满分52分）
17．（12分）解方程
（1）x2﹣x﹣5＝0（用公式法）．
（2）x2+3x＝﹣2．
18．（10分）如图，直径是50cm的圆形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB．
19．（10分）为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率．
（2）该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加20袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）
20．（10分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某市一家“大学生自主创业”的快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别是10万件和12.1万件，现假设该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的22名快递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？请说明理由．
21．（10分）菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD＝180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．
（1）如图1，当∠ABC＝90°时，△OEF的形状是　 　；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到OA的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD＝180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC＝4，且时，直接写出线段CE的长．
2024—2025学年上学期南京初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）关于x的一元二次方程x2+2xk＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】根的判别式．
【专题】常规题型；一元二次方程及应用．
【答案】C
【分析】利用方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于k的方程，即可求得k的值．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程x2+2xk＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即22﹣4×1k＝0，解得k＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
2．（3分）如图，大半圆中有n个小半圆，若大半圆弧长为L1，n个小半圆弧长的和为L2，大半圆的弦AB，BC，CD的长度和为L3．则（　　）
A．L1＝L2＞L3
B．L1＝L2＜L3
C．无法比较L1、L2、L3间的大小关系
D．L1＞L3＞L2
【考点】圆的认识．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】A
【分析】设小半圆的半径为r，大半圆的半径为nr，分别计算弧长即可得出L1＝L2，再利用两点之间线段最短可得L1＞L3，从而可得答案．
【解答】解：设小半圆的半径为r，大半圆的半径为nr，L1nπr，L2n＝nπr，
∴L1＝L2，
∵弦AB，弦BC，弦CD，
∴L1＞L3，
∴L1＝L2＞L3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了圆的认识，关键是掌握弧长计算公式．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+11＝0，此方程可化为（　　）
A．（x﹣4）2＝5 B．（x+4）2＝5 C．（x﹣4）2＝27 D．（x+4）2＝27
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先移项，再配方，变形后即可得出选项．
【解答】解：x2﹣8x+11＝0，
移项，得x2﹣8x＝﹣11，
配方，得x2﹣8x+16＝﹣11+16，
即（x﹣4）2＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4．（3分）如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠DOE的度数是（　　）
A．148° B．120° C．108° D．116°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出∠BOD＝∠AOE＝32°，再根据对顶角相等，可推出∠AOC＝∠BOD＝32°，最后用∠COE＝∠COA+∠AOE即可求解．
【解答】解：∵，∠AOE＝32°，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠AOC＝∠BOD＝32°，
∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝32°+32°＝64°．
∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝116°，
故选：D．
【点评】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键．
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，若AB＝10，CD＝6，则BE的长是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】连接OC，如图，根据垂径定理由AB⊥CD得到CE＝DE＝3，再在Rt△OCE中根据勾股定理计算出OE＝4，然后利用BE＝OB﹣OE进行计算即可．
【解答】解：连接OC，如图，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DECD6＝3，
在Rt△OCE中，∵OC＝5，CE＝3，
∴OE4，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣4＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．也考查了勾股定理．
6．（3分）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
【考点】根与系数的关系；绝对值；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】方程整理为一般形式，设两根分别为a，b，利用根与系数的关系表示出a+b与ab，判断即可．
【解答】解：设方程两根设为a，b，
方程整理得：x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴由根与系数的关系得：a+b＝﹣1＜0，ab＝﹣2﹣p2＜0，
则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小．
故选：D．
【点评】此题考查了根与系数的关系，绝对值，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
7．（3分）化简：　　，　﹣3　．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】；﹣3．
【分析】利用二次根式的性质和立方根的意义化简运算即可．
【解答】解：，
3．
故答案为：；﹣3．
【点评】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，立方根的意义，熟练掌握实数法则与性质是解题的关键．
8．（3分）写出一个解为1和2的一元二次方程：　x2﹣3x+2＝0　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】开放型．
【答案】见试题解答内容
【分析】先计算1、2的和与积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程．
【解答】解：∵1+2＝3，1×2＝2，
∴以1和2为根的一元二次方程可为x2﹣3x+2＝0．
故答案为x2﹣3x+2＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
9．（3分）已知圆中一弦将圆分为1：2的两条弧，则这条弦所对的圆心角为　120　度．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意画出相应的图形，由弦AB将圆分为1：2的两条弧，利用弧与圆心角的关系，得到优弧与劣弧所对圆心角之比为2：1，由周角为360°求出所对圆心角∠AOB的度数，即为弦所对圆心角的度数．
【解答】解：根据题意画出图形为：
∵弦AB把⊙O分成1：2两部分，
∴的度数为：360120°，
又所对的圆心角为∠AOB，
∴∠AOB＝120°．
故答案为：120
【点评】此题考查了圆心角，弧及弦之间的关系，其关系可简化为：等弦对等弧（分优弧和劣弧），等角对等弧，等弧等对弦，等弧对等角，等角对等弦，等弦对等角，熟练掌握这些关系是解本题的关键．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实根，则m的值为 　1　．
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：∵x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
11．（3分）若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是 　y1＝2，y2＝﹣6　．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】换元法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】y1＝2，y2＝﹣6．
【分析】设t＝y+1，则原方程可化为at2+bt+c＝0，根据关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，得到t1＝3，t2＝﹣5，于是得到结论．
【解答】解：设t＝y+1，
则原方程可化为at2+bt+c＝0，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，
∴t1＝3，t2＝﹣5，
∴y+1＝3或y+1＝﹣5，
解得y1＝2，y2＝﹣6．
故答案为：y1＝2，y2＝﹣6．
【点评】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．
12．（3分）若点P在⊙O的内部，OP＝4，则⊙O的半径可能是 　5（答案不唯一）　．（填上一个符合要求的数字）
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】5（答案不唯一）．
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行求解即可．
【解答】解：∵点P在⊙O的内部，OP＝4，
∴⊙O的半径大于4．
故答案为：5（答案不唯一）．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
13．（3分）关于x的方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2+x1x2的值为　5　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝2，然后利用整体代入的方法计算x1+x2+x1x2的值．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝2，
所以x1+x2+x1x2＝3+2＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
14．（3分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，若⊙O的直径是，则DE的长为 　1　．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】1．
【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，由AD平分∠BAC，得出△BDC是等腰直角三角形，求出BD＝CD＝1，由角平分线的定义得出∠DBC+∠EBC＝∠BAD+∠ABE，由三角形外角的性质得出∠DBE＝∠BAD+∠ABE，进而得出∠DBE＝∠DEB，即可得出DE＝DB＝1．
【解答】解：如图，连接CD，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，即BC，
∴∠BDC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴，
∴BD＝CD，∠DBC＝∠BAD，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BD＝CD1，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠DBC+∠EBC＝∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE＝∠BAD+∠ABE，
∵∠DEB＝∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆，掌握圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识是解决问题的关键．
15．（3分）某房间窗户如图所示，其中装饰物由2个四分之圆和1个半圆组成，它们的半径都是0.5米，装饰物所占的面积是 　　平方米，窗户中射进阳光的部分的面积是 　（6）　平方米．
【考点】有关圆的应用题．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】，（6）．
【分析】半径相同的两个四分之一圆和一个半圆正好构成了一个整圆，所求装饰物所占的面积正好是一个整圆的面积；能射进阳光的部分的面积＝窗户面积﹣装饰物面积．
【解答】解：依题意得：
装饰物的面积正好等于一个直径为1的圆的面积（平方米）；
窗户中射进阳光的部分的面积是：3×26（平方米）．
故答案为：，（6）．
【点评】本题考查了与圆有关的应用题．将不规则图形的面积转化为规则图形的面积求解是解题的关键．
16．（3分）若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝　2或11　时，△ABC是直角三角形．
【考点】根与系数的关系；勾股定理的逆定理．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】2或11．
【分析】利用因式分解法解方程得到AB、AC的长为k+1，k+2，利用勾股定理的逆定理，当（k+1）2+（k+2）2＝52时，△ABC为直角三角形；当（k+1）2+52＝（k+2）2时，△ABC为直角三角形，然后分别解关于k的方程即可．
【解答】解：∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
∴[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]＝0，
∴x1＝k+1，x2＝k+2，
即AB、AC的长为k+1，k+2，
当（k+1）2+（k+2）2＝52时，△ABC为直角三角形，解得k1＝2，k2＝﹣5（舍去）；
当（k+1）2+52＝（k+2）2时，△ABC为直角三角形，解得k＝11；
综上所述，当k＝2或11时，△ABC是直角三角形．
故答案为2或11．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了因式分解法解一元二次方程和勾股定理的逆定理．
三．解答题（共5小题，满分52分）
17．（12分）解方程
（1）x2﹣x﹣5＝0（用公式法）．
（2）x2+3x＝﹣2．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）x1，x2；
（2）x1＝﹣2，x2＝﹣1．
【分析】（1）根据公式法，先写出a、b、c，然后计算△，再求根即可；
（2）先变形，然后根据因式分解法即可求得该方程的根．
【解答】解：（1）x2﹣x﹣5＝0，
a＝1，b＝﹣1，c＝﹣5，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣5）＝21＞0，
∴x，
∴x1，x2；
（2）∵x2+3x＝﹣2，
∴x2+3x+2＝0，
∴（x+2）（x+1）＝0，
∴x+2＝0或x+1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝﹣1．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是根据方程的特点，选择合适的解答方法．
18．（10分）如图，直径是50cm的圆形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】10cm．
【分析】先根据垂径定理得出AB＝2AD，再由圆柱形油槽的直径为50cm求出OC的长，再根据油深CD为15cm得出可求出OD的长，根据勾股定理可得出AD的长，进而可得出结论．
【解答】解：如图，连接OA，
∵OC⊥AB于点D，
∴AB＝2AD，
∵直径是50cm，
∴OA＝OC＝25cm，
∴OD＝OC﹣CD＝25﹣15＝10cm，
由勾股定理知，
AD5cm，
∴AB＝10cm．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．（10分）为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率．
（2）该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加20袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）三、四这两个月的月平均增长率为25%；
（2）当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
【分析】（1）直接利用二月销量×（1+x）2＝四月的销量进而求出答案．
（2）首先设出未知数，再利用每袋的利润×销量＝总利润列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）设三、四这两个月的月平均增长率为x．
由题意得：192（1+x）2＝300，
解得：x1，x2（不合题意，舍去），
答：三、四这两个月的月平均增长率为25%．
（2）设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
根据题意可得：（40﹣25﹣m）（300+5m）＝3250，
解得：m1＝5，m2＝﹣50（不合题意，舍去）．
答：当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
20．（10分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某市一家“大学生自主创业”的快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别是10万件和12.1万件，现假设该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的22名快递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）10%；
（2）不能完成任务．
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出22名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务．
【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，
根据题意得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）＝13.31（万件）．
∵平均每人每月最多可投递0.6万件，
∴22名快递投递员能完成的快递投递任务是：0.6×22＝13.2＜13.31，
∴该公司现有的22名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务
答：该公司现有的22名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率一般公式列出方程即可解决问题．
21．（10分）菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD＝180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．
（1）如图1，当∠ABC＝90°时，△OEF的形状是　等腰直角三角形　；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到OA的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD＝180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC＝4，且时，直接写出线段CE的长．
【考点】四边形综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）△OEF是等腰直角三角形，只要证明△OBE≌△OCF即可．
（2））△OEF是等边三角形，如图2所示：过点O作OG⊥BC与G，作OH⊥CD与H．先证明△OGE≌△OHF，得OE＝OF，证明∠EOF＝60°即可解决问题．
（3）CE＝33或33．见如图3中两种情形，作O′G⊥BC于G，O′H⊥CD于H，只要证明△OGE≌△OHF推出△EOF是等腰直角三角形，求出EG即可解决问题．
【解答】解：（1）结论：△OEF是等腰直角三角形．
理由：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为正方形．
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCN＝45°，∠BOC＝90°，∠BCD＝90°．
又∵∠MON+∠BCD＝180°，
∴∠EOF＝90°．
∴∠EOC+COF＝90°．
∵∠BOE+∠EOC＝90°，
∴∠BOE＝∠COF．
在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF，
∴OE＝OF．
∴△OEF为等腰直角三角形．
故答案为等腰直角三角形．
（2）结论：△OEF是等边三角形，
证明：如图2所示：过点O作OG⊥BC与G，作OH⊥CD与H．
过O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，
∴∠OGE＝∠OGC＝∠OHC＝90°
∵四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，
∴OG＝OH，∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC＝360°，
∴∠GOH+∠BCD＝180°，
∵∠MON+∠BCD＝180°，
∴∠EOF＝∠GOH＝180°﹣∠BCD＝60°，
∴∠EOF﹣∠GOF＝∠GOH﹣∠GOF，
∴∠EOG＝∠FOH，
在△EOG和△FOH中，
，
∴△OGE≌△OHF，
∴OE＝OF，
∵∠EOF＝60°，
∴△EOF是等边三角形．
（3）CE＝33或33．
理由：如图3中，∵菱形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，，
作O′G⊥BC于G，O′H⊥CD于H，
∴∠O′GC＝∠O′HC＝∠GCH＝90°，
∴四边形O′GCH是矩形，
∴O′G∥AB，O′H∥AD，
∴，
∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∴O′G＝O′H＝3，
∴四边形O′GCH是正方形，
∴CG＝O′G＝3，∠GO′H＝90°，
∵∠MO∠′N+∠BCD＝180°，∠BCD＝90°，
∴∠EO′F＝90°，
∴∠EO′F＝∠GO′H＝90°，
∴∠EO′G＝∠FO′H，
在△EO′G和△FO′H中，
，
∴△EO′G≌△FO′H，
∴O′E＝O′F，
∴△O′EF是等腰直角三角形，
∵S△ABC4416，，
∴S△OEF＝36，
在RT△O′EG中，EG3，
∴CE＝EG+CG＝33，
根据对称性可知，当∠MON旋转到如图所示位置时，
CE′＝E′G﹣CG＝33．
综上所述CE＝33或33
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考压轴题．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
4．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
5．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
6．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
9．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
10．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
11．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
12．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
13．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
14．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
15．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
16．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
17．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
18．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r
②点P在圆上 d＝r
①点P在圆内 d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
19．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
20．有关圆的应用题
主要在六年级数学课本中学习，主要考查圆的面积，根据面积求费用．也考查圆的周长，根据圆的周长求两人同向或逆向跑步时何时相遇．