2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 498.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:33:46 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）方程y（2y﹣3）﹣4y（y+1）＝0中，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，7，1 B．﹣2，0，﹣7 C．﹣2，7，0 D．﹣2，﹣7，0
3．（3分）已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（3分）点（﹣3，2）关于原点的对称点坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（3，2） D．（2，﹣3）
5．（3分）某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如表所示：根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以是（ ）
甲 乙 两 丁
平均数（单位：分） m 90 91 88
方差s2（单位：分2） n 12.5 14.5 11
A．m＝92，n＝15 B．m＝92，n＝8.5
C．m＝85，n＝10 D．m＝90，n＝12.5
6．（3分）关于x的一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
7．（3分）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD
8．（3分）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10，AB＝3．则△OCD的周长为（ ）
A．13 B．8 C．7 D．5
9．（3分）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子半径为（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
10．（3分）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时．能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元．其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1870元，则下列关系式正确的是（ ）
A．（x+5）（200﹣5x）＝1870
B．（x+40）（200﹣10x）＝1870
C．（x﹣35）（200﹣5x）＝1870
D．（x+5）（200﹣10x）＝1870
11．（3分）周末，小明出去购物；如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系图象，根据图示信息，下列说法不正确的是（ ）
A．小明去时的速度为6千米/小时
B．小明在超市停留了10分钟
C．小明去时花的时间大于回家所花的时间
D．小明去时走下坡路，回家时走上坡路
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的两直角边分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，且AC＝AB＝1，点A与原点O重合．若△ABC向右平移a（a＞0）个单位长度后，恰好△ABC的三边与抛物线y＝x2﹣3x有两个交点，则a的取值范围为（ ）
A．2＜a＜3 B．2＜a C．2≤a≤3 D．2≤a
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）若a，b都是实数，，则ab的值为 ．
14．（2分）如图，在半径为10的圆O中，∠AOB＝90°，C为OB的中点，AC的延长线交圆O于点D，则线段CD的长为 ．
15．（2分）抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）
16．（2分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝30°，且AC＝2，则BD的长度是 ．
17．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为 ．
18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是AB和BC上的动点，且AE＝BF，AF和DE相交于点P，连接BP，则BP的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）用配方法解下列方程：
（1）x2﹣x﹣1＝0；
（2）3x2＝﹣1﹣5x；
（3）5y﹣84+y2＝0；
（4）2x2x＝3．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（1，3），B（2，2），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后，点A，O，B分别落在点A1，O1，B1处．
（1）在所给的直角坐标系中画出旋转后的△A1O1B1（不写画法），其中点A1的坐标是 ；
（2）求过A、A1两点的直线解析式．
22．（10分）目前，世界多个国家新冠疫情依然严峻．虽然我国成功控制了新冠疫情，但仍然不能掉以轻心．某校为了了解初一年级共480名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93．
【整理数据】
班级 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x＜100
甲 1 1 3 4 6
乙 1 2 3 5 4
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 92 a 93 47.3
乙 90 87 b 50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a＝ 分，b＝ 分；
（2）若规定测试成绩92分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
24．（10分）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一、篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小石站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点A练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离是x（单位：m）时，球心距离地面的竖直高度是y（单位：m）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练：
（1）第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6
竖直高度y/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2
①在平面直角坐标系xOy中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求y与x满足的函数解析式；
③小石第一次投篮练习没能投进，请说明理由；
（2）第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小石的出手高度是 m．
25．（10分）将二次函数y＝﹣x2﹣4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点（1，﹣1），求a的值．
（2）求平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值．
26．（10分）综合与实践
问题情境：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．
操作发现：
（1）如图①，当AC＝BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
①∠CBE的度数为 ；
②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；
探究证明：
（2）如图2，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．
①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；
②若AC＝2，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．
2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）方程y（2y﹣3）﹣4y（y+1）＝0中，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，7，1 B．﹣2，0，﹣7 C．﹣2，7，0 D．﹣2，﹣7，0
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】把方程整理为一般形式后，再找出方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【解答】解：y（2y﹣3）﹣4y（y+1）＝0，
2y2﹣3y﹣4y2﹣4y＝0，
﹣2y2﹣7y＝0，
则二次项系数、一次项系数和常数项分别为﹣2，﹣7，0．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．（3分）已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【解答】解：∵点P在圆内，且d＝5，
∴r＞5，
故选：D．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外 d＞r，②点P在圆上 d＝r，③点P在圆内 d＜r．
4．（3分）点（﹣3，2）关于原点的对称点坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（3，2） D．（2，﹣3）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】B
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的横坐标与纵坐标都互为相反数可直接得到答案．
【解答】解：点（﹣3，2）关于原点的对称点的坐标为（3，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．（3分）某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如表所示：根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以是（ ）
甲 乙 两 丁
平均数（单位：分） m 90 91 88
方差s2（单位：分2） n 12.5 14.5 11
A．m＝92，n＝15 B．m＝92，n＝8.5
C．m＝85，n＝10 D．m＝90，n＝12.5
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据平均数和方差的意义求解即可．
【解答】解：∵甲是这四名选手中成绩最好的，
∴m＞91，
又∵甲是发挥最稳定的学生，
∴n＜11，
符合此条件的是m＝92，n＝8.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和平均数的意义．
6．（3分）关于x的一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝16＞0，由此可得出答案．
【解答】解：∵Δ＝22﹣4×3×（﹣1）＝16＞0，
∴一元二次方程3x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
7．（3分）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】由旋转的性质可得∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，由三角形内角和定理可得∠BED＝∠BAD＝∠CAE．
【解答】解：如图，设AD与BE的交点为O，
∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴∠BED＝∠BAD＝∠CAE，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
8．（3分）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10，AB＝3．则△OCD的周长为（ ）
A．13 B．8 C．7 D．5
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】B
【分析】平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3，
C△OCD＝CD+OD+OC＝CD（AC+BD），
∴C△OCD＝310＝8．
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的对边相等
9．（3分）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子半径为（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】D
【分析】由垂径定理得AD＝4m，设该桨轮船的轮子半径为r m，则OD＝（r﹣2）m，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得：AB＝8m，OC⊥AB，
∴AD＝BDAB＝4m，
设该桨轮船的轮子半径为r m，则OD＝（r﹣2）m，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即该桨轮船的轮子半径为5m，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
10．（3分）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时．能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元．其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1870元，则下列关系式正确的是（ ）
A．（x+5）（200﹣5x）＝1870
B．（x+40）（200﹣10x）＝1870
C．（x﹣35）（200﹣5x）＝1870
D．（x+5）（200﹣10x）＝1870
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据总利润＝销售量×每个利润．设涨价x元能赚得1870元的利润，即售价定为每个（x+40）元，销售量为（200﹣5x）个，结合获得的利润为1870元，可列方程．
【解答】解：根据题意可得：（40+x﹣35）（200﹣5x）＝1870，
即：（x+5）（200﹣5x）＝1870．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”．
11．（3分）周末，小明出去购物；如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系图象，根据图示信息，下列说法不正确的是（ ）
A．小明去时的速度为6千米/小时
B．小明在超市停留了10分钟
C．小明去时花的时间大于回家所花的时间
D．小明去时走下坡路，回家时走上坡路
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】D
【分析】A．去时的路程为2千米，时间为20分钟，根据“速度＝路程÷时间”即可判断；B．在超市停留的时间段为函数图象水平的一段，以此即可判断；C．根据图象可知，小明去超市所花的时间为20分钟，回家所花的时间为（40﹣30）分钟，再计较大小即可判断；D．函数图象表示的是距离和时间的关系，因此不能判断出小明去时走下坡路，回家时走上坡路．
【解答】解：A．∵小明去时的路程为2千米，时间为20分钟小时，
∴小明去时的为26（千米/小时），故A选项正确，不符合题意；
B．小明在超市停留的时间为30﹣20＝10（分钟），故B选项正确，不符合题意；
C．小明去超市所花的时间为20分钟，回家所花的时间为40﹣30＝10（分钟），
∵20＞10，
∴小除去时花的时间多于回家所花的时间，故C选项正确，不符合题意；
D．∵函数图象表示的是距离和时间的关系，
∴不能判断出小陈去时走下坡路，回家时走上坡路，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象，理解函数图象每个时间段图象的变化意义时解题关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的两直角边分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，且AC＝AB＝1，点A与原点O重合．若△ABC向右平移a（a＞0）个单位长度后，恰好△ABC的三边与抛物线y＝x2﹣3x有两个交点，则a的取值范围为（ ）
A．2＜a＜3 B．2＜a C．2≤a≤3 D．2≤a
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形；坐标与图形变化﹣平移．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由AC＝AB＝1求出点B，C的坐标，然后分别把y＝0和y＝1代入y＝x2﹣3x求解．
【解答】解：把y＝0代入y＝x2﹣3x得0＝x2﹣3x，
解得x＝0或x＝3，
∵AB＝1，
∴点B坐标为（1，0），
当点B向右移动与抛物线相交时，a＝3﹣1＝2，
∵AC＝1，
∴点C坐标为（0，1），
把y＝1代入y＝x2﹣3x得1＝x2﹣3x，
解得x或x，
当点C向右移动与抛物线相交时，a，
∴a的取值范围是2＜a．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）若a，b都是实数，，则ab的值为 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而求出b的值，最后代值计算即可．
【解答】解：∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
14．（2分）如图，在半径为10的圆O中，∠AOB＝90°，C为OB的中点，AC的延长线交圆O于点D，则线段CD的长为 3 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】3．
【分析】过点O作OH⊥AD于H，由垂径定理得AH＝DHAD，利用勾股定理求出AC，根据面积法求出OH，再利用勾股定理求出AH，可得AD的值，由CD＝AD﹣AC即可求解．
【解答】解：过点O作OH⊥AD于H，
∴AH＝DHAD，
∵C为OB的中点，
∴OCOB＝5，
∵∠AOB＝90°，
∴AC5，
∵S△AOCOA OCAC OH，
∴10×5＝5OH，
∴OH＝2，
∴AH4，
∴AD＝2AH＝4，
∴CD＝AD﹣AC＝853．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，作辅助线利用勾股定理求解是解题的关键．
15．（2分）抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是 下降 ．（填“上升”或“下降”）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，所以在y轴左侧的部分y随x的增加而减小．
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增加而减小，
故答案为下降．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
16．（2分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝30°，且AC＝2，则BD的长度是 2 ．
【考点】切线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】如图，连接OB．根据切线的定义得出AB⊥OB，由含30度直角三角形的性质求出OB＝2，利用勾股定理求出AB＝2，证明∠D＝∠A，根据等腰三角形的性质和判定即可求得答案．
【解答】解：如图，连接OB．
∵AB是⊙O的切线，
∴AB⊥OB，
在Rt△ABO中，∠A＝30°，
∴OBOA，∠AOB＝60°，
∵OB＝OC，
∴OA＝2OB＝AC+OB＝2+OB，
∴OB＝2，
∴OA＝4，
∴AB2，
∵∠D∠AOB＝30°，
∴∠D＝∠A，
∴BD＝AB＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，综合运用相关知识是解答本题的关键．
17．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为 0 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】0．
【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0），由此求出a﹣b+c的值．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点P（3，0），对称轴是直线x＝1，
∴y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0）是解题的关键．
18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是AB和BC上的动点，且AE＝BF，AF和DE相交于点P，连接BP，则BP的最小值为 22 ．
【考点】正方形的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】22．
【分析】由“SAS”可证△ADE≌△BAF，可得∠BAF＝∠ADE，可证∠APD＝90，即点P在以AD为直径的圆上运动，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠EAD＝∠FBA＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∴∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠APD＝90，
∴点P在以AD为直径的圆上运动，
如图，取AD的中点O，连接BO，OP，
∴AO＝2．
∴BO2，
∴当点P在线段BO上时，BP有最小值为22，
故答案为：22．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，确定点P的运动轨迹是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】2．
【分析】先算除法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
【解答】解：
＝2
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式是解题关键．
20．（6分）用配方法解下列方程：
（1）x2﹣x﹣1＝0；
（2）3x2＝﹣1﹣5x；
（3）5y﹣84+y2＝0；
（4）2x2x＝3．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）常数项移到右边，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解．
（2）移项，方程二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；
（3）整理后，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；
（4）方程二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解．
【解答】解：（1）方程变形得：x2﹣x＝1，
配方得：x2﹣x1，即（x）2，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1，x2＝1；
（2）方程变形得：x2x，
配方得：x2x，即（x）2，
开方得：x，
解得：x1，x2；
（3）方程变形得：y2+5y＝84，
配方得：y2+5y84，即（x）2，
开方得：x±
解得：x1，x2；
（4）方程变形得：x2x，
配方得：x2x，即（x）2，
开方得：x±
解得：x1，x2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负数，开方即可求出解．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（1，3），B（2，2），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后，点A，O，B分别落在点A1，O1，B1处．
（1）在所给的直角坐标系中画出旋转后的△A1O1B1（不写画法），其中点A1的坐标是 （﹣3，1） ；
（2）求过A、A1两点的直线解析式．
【考点】作图﹣旋转变换；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】作图题；待定系数法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1O1B1可得OA1⊥OA，OB1⊥OB，A1B1⊥AB，OA1＝OA，OB1＝OB，A1B1＝AB，故可画出△A1OB1的图形；
（2）根据两点的坐标，利用待定系数即可确定函数解析式．
【解答】解：所画图形如下：
根据图形可得A1（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
（2）设所求函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
解得，
∴所求函数的解析式为．
【点评】本题考查旋转作图及用待定系数法求函数解析式的知识，综合性较强，但难度一般，解答本题的关键是根据旋转的三要素正确地作出图形．
22．（10分）目前，世界多个国家新冠疫情依然严峻．虽然我国成功控制了新冠疫情，但仍然不能掉以轻心．某校为了了解初一年级共480名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93．
【整理数据】
班级 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x＜100
甲 1 1 3 4 6
乙 1 2 3 5 4
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 92 a 93 47.3
乙 90 87 b 50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a＝ 100 分，b＝ 91 分；
（2）若规定测试成绩92分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
【考点】方差；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）100、91；（2）256人；（3）答案不唯一，合理均可．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义可得答案；
（2）用总人数乘以样本中甲、乙班成绩优秀人数和所占比例即可；
（3）根据平均数、众数、中位数、方差的意义求解即可（答案不唯一，合理均可）．
【解答】解：（1）甲班成绩100分出现次数最多，有2次，
∴a＝100，
乙班成绩的第8个是91分，
所以乙班成绩的中位数b＝91分；
故答案为：100、91；
（2）估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有480256（人）；
（3）甲班成绩较好，理由如下：
因为甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，
所以甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定（答案不唯一，合理均可）．
【点评】本题考查了中位数、众数和平均数方差的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；
（2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；
（2）如图，连接OA，
∵AB＝AC，
∴，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线．
【点评】本题考查了圆心角定理、切线的判定、平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
24．（10分）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一、篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小石站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点A练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离是x（单位：m）时，球心距离地面的竖直高度是y（单位：m）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练：
（1）第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6
竖直高度y/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2
①在平面直角坐标系xOy中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求y与x满足的函数解析式；
③小石第一次投篮练习没能投进，请说明理由；
（2）第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小石的出手高度是 2.075 m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）①图象见解答；
②篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.6米，y与x满足的函数解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6；
③理由见解答；
（2）2.075．
【分析】（1）①根据表中数据，描点，连线，作出函数图象；
②根据表格数据和函数图象设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6，然后由待定系数法求出函数解析式；
③当x＝6.5时求出y的值与3.05比较即可；
（2）根据题意第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，然后把（6.5，3.05）代入解析式求出m即可．
【解答】解：（1）①描点，连线，作出函数图象，
②结合表中数据或所画图象可知，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.6米，
由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为（4，3.6），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6，
把（0，2）代入解析式得：2＝a（0﹣4）2+3.6，
解得a＝﹣0.1，
∴y与x满足的函数解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6；
③当x＝6.5时，y＝﹣0.1×（6.5﹣4）2+3.6＝﹣0.625+3.6＝2.975＜3.05，
∴小石第一次投篮练习没能投进；
（2）根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，
则第二次篮球运行的抛物线解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6+m，
∵第二次篮球运行的抛物线经过（6.5，3.05），
∴3.05＝﹣0.1×（6.5﹣4）2+3.6+m，
解得m＝0.075，
∴2+0.075＝2.075，
答：小石第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高，2.075米．
故答案为：2.075．
【点评】本题考查二次函数的应用；关键是根据图象求出抛物线解析式．
25．（10分）将二次函数y＝﹣x2﹣4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点（1，﹣1），求a的值．
（2）求平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）1或3；
（2）2．
【分析】利用二次函数平移规律，左加右减，上加下减得出平移后的解析式．
（1）代入（1，﹣1）点，即可求得a的值；
（2）求得平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标，变形后根据二次函数的性质即可求得纵坐标的最大值．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣4x+1＝﹣（x+2）2+5，
∴将二次函数y＝﹣x2﹣4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位得到y＝﹣（x+2﹣a）2+5﹣2a，
（1）∵平移后的二次函数图象经过点（1，﹣1），
∴﹣1＝﹣（1+2﹣a）2+5﹣2a，
解得a1＝3，a2＝1，
故a的值为1或3；
（2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点，
∴y＝﹣（0+2﹣a）2+5﹣2a＝﹣（a﹣1）2+2，
∴与y轴交点的纵坐标最大值为2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握平移规律是解题关键．
26．（10分）综合与实践
问题情境：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．
操作发现：
（1）如图①，当AC＝BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
①∠CBE的度数为 45° ；
②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；
探究证明：
（2）如图2，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．
①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；
②若AC＝2，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．
【考点】几何变换综合题．
【专题】分类讨论；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观；应用意识．
【答案】（1）①45°；
②AD＝BE，理由见解答过程；
（2）①，理由见解答过程；
②△CBE的面积为或或8．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），可得∠CBE＝45°；
②AD＝BE，由△ACD≌△BCE，即可得AD＝BE；
（2）①证明△ACD∽△BCE，及得，故；
②过C作CF⊥AB于F，CG⊥BE于G，AC＝2，BC＝2AC，得BC＝4，AB＝2，即得sin∠ABC，cos∠ABC，可得CF，BF，从而CG＝BF，BG＝CF，（Ⅰ）当CB＝CE时，△CBE的面积为；（Ⅱ）当BC＝BE时，△CBE的面积为BE CG4（Ⅲ）当CE＝BE时，设BE＝CE＝t，可得t2＝（）2+（t）2，解得BE＝2，△CBE的面积为CG BE28．
【解答】解：（1）①∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴∠DCE＝90°，DC＝CE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD＝45°，
故答案为：45°；
②AD＝BE，理由如下：
由①知△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE；
（2）①，理由如下：
∵BC＝2AC，CE＝2CD，
∴，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∴；
②过C作CF⊥AB于F，CG⊥BE于G，如图：
∵AC＝2，BC＝2AC，
∴BC＝4，AB2，
∴sin∠ABC，cos∠ABC，
∴，，
∴CF，BF，
∵四边形CGBF是矩形，
∴CG＝BF，BG＝CF，
（Ⅰ）当CB＝CE时，如图：
∴BE＝2BG，
∴△CBE的面积为；
（Ⅱ）当BC＝BE时，如图：
此时BE＝BC＝4，
∵CG＝BF，
∴△CBE的面积为BE CG4
（Ⅲ）当CE＝BE时，如图：
设BE＝CE＝t，则EG＝t，
在Rt△CEG中，
t2＝（）2+（t）2，
解得t＝2，
∴BE＝2，
∴△CBE的面积为CG BE28，
综上所述，△CBE的面积为或或8．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
考点卡片
1．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
2．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
4．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
5．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
6．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
7．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
8．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
9．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
10．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
11．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
12．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
13．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
14．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
15．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
16．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
17．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
18．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
19．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
20．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
21．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
22．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
23．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
24．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
25．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r
②点P在圆上 d＝r
①点P在圆内 d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
26．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
27．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
28．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
29．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
30．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
31．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
32．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
33．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
34．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
35．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
36．几何变换综合题
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．
37．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
38．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
39．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
40．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
41．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
42．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）方程y（2y﹣3）﹣4y（y+1）＝0中，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，7，1 B．﹣2，0，﹣7 C．﹣2，7，0 D．﹣2，﹣7，0
3．（3分）已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（3分）点（﹣3，2）关于原点的对称点坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（3，2） D．（2，﹣3）
5．（3分）某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如表所示：根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以是（ ）
甲 乙 两 丁
平均数（单位：分） m 90 91 88
方差s2（单位：分2） n 12.5 14.5 11
A．m＝92，n＝15 B．m＝92，n＝8.5
C．m＝85，n＝10 D．m＝90，n＝12.5
6．（3分）关于x的一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
7．（3分）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD
8．（3分）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10，AB＝3．则△OCD的周长为（ ）
A．13 B．8 C．7 D．5
9．（3分）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子半径为（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
10．（3分）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时．能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元．其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1870元，则下列关系式正确的是（ ）
A．（x+5）（200﹣5x）＝1870
B．（x+40）（200﹣10x）＝1870
C．（x﹣35）（200﹣5x）＝1870
D．（x+5）（200﹣10x）＝1870
11．（3分）周末，小明出去购物；如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系图象，根据图示信息，下列说法不正确的是（ ）
A．小明去时的速度为6千米/小时
B．小明在超市停留了10分钟
C．小明去时花的时间大于回家所花的时间
D．小明去时走下坡路，回家时走上坡路
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的两直角边分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，且AC＝AB＝1，点A与原点O重合．若△ABC向右平移a（a＞0）个单位长度后，恰好△ABC的三边与抛物线y＝x2﹣3x有两个交点，则a的取值范围为（ ）
A．2＜a＜3 B．2＜a C．2≤a≤3 D．2≤a
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）若a，b都是实数，，则ab的值为 ．
14．（2分）如图，在半径为10的圆O中，∠AOB＝90°，C为OB的中点，AC的延长线交圆O于点D，则线段CD的长为 ．
15．（2分）抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）
16．（2分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝30°，且AC＝2，则BD的长度是 ．
17．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为 ．
18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是AB和BC上的动点，且AE＝BF，AF和DE相交于点P，连接BP，则BP的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）用配方法解下列方程：
（1）x2﹣x﹣1＝0；
（2）3x2＝﹣1﹣5x；
（3）5y﹣84+y2＝0；
（4）2x2x＝3．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（1，3），B（2，2），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后，点A，O，B分别落在点A1，O1，B1处．
（1）在所给的直角坐标系中画出旋转后的△A1O1B1（不写画法），其中点A1的坐标是 ；
（2）求过A、A1两点的直线解析式．
22．（10分）目前，世界多个国家新冠疫情依然严峻．虽然我国成功控制了新冠疫情，但仍然不能掉以轻心．某校为了了解初一年级共480名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93．
【整理数据】
班级 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x＜100
甲 1 1 3 4 6
乙 1 2 3 5 4
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 92 a 93 47.3
乙 90 87 b 50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a＝ 分，b＝ 分；
（2）若规定测试成绩92分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
24．（10分）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一、篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小石站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点A练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离是x（单位：m）时，球心距离地面的竖直高度是y（单位：m）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练：
（1）第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6
竖直高度y/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2
①在平面直角坐标系xOy中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求y与x满足的函数解析式；
③小石第一次投篮练习没能投进，请说明理由；
（2）第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小石的出手高度是 m．
25．（10分）将二次函数y＝﹣x2﹣4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点（1，﹣1），求a的值．
（2）求平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值．
26．（10分）综合与实践
问题情境：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．
操作发现：
（1）如图①，当AC＝BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
①∠CBE的度数为 ；
②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；
探究证明：
（2）如图2，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．
①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；
②若AC＝2，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．
2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）方程y（2y﹣3）﹣4y（y+1）＝0中，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，7，1 B．﹣2，0，﹣7 C．﹣2，7，0 D．﹣2，﹣7，0
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】把方程整理为一般形式后，再找出方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【解答】解：y（2y﹣3）﹣4y（y+1）＝0，
2y2﹣3y﹣4y2﹣4y＝0，
﹣2y2﹣7y＝0，
则二次项系数、一次项系数和常数项分别为﹣2，﹣7，0．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．（3分）已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【解答】解：∵点P在圆内，且d＝5，
∴r＞5，
故选：D．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外 d＞r，②点P在圆上 d＝r，③点P在圆内 d＜r．
4．（3分）点（﹣3，2）关于原点的对称点坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（3，2） D．（2，﹣3）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】B
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的横坐标与纵坐标都互为相反数可直接得到答案．
【解答】解：点（﹣3，2）关于原点的对称点的坐标为（3，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．（3分）某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如表所示：根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以是（ ）
甲 乙 两 丁
平均数（单位：分） m 90 91 88
方差s2（单位：分2） n 12.5 14.5 11
A．m＝92，n＝15 B．m＝92，n＝8.5
C．m＝85，n＝10 D．m＝90，n＝12.5
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据平均数和方差的意义求解即可．
【解答】解：∵甲是这四名选手中成绩最好的，
∴m＞91，
又∵甲是发挥最稳定的学生，
∴n＜11，
符合此条件的是m＝92，n＝8.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和平均数的意义．
6．（3分）关于x的一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝16＞0，由此可得出答案．
【解答】解：∵Δ＝22﹣4×3×（﹣1）＝16＞0，
∴一元二次方程3x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
7．（3分）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】由旋转的性质可得∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，由三角形内角和定理可得∠BED＝∠BAD＝∠CAE．
【解答】解：如图，设AD与BE的交点为O，
∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴∠BED＝∠BAD＝∠CAE，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
8．（3分）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10，AB＝3．则△OCD的周长为（ ）
A．13 B．8 C．7 D．5
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】B
【分析】平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3，
C△OCD＝CD+OD+OC＝CD（AC+BD），
∴C△OCD＝310＝8．
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的对边相等
9．（3分）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子半径为（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】D
【分析】由垂径定理得AD＝4m，设该桨轮船的轮子半径为r m，则OD＝（r﹣2）m，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得：AB＝8m，OC⊥AB，
∴AD＝BDAB＝4m，
设该桨轮船的轮子半径为r m，则OD＝（r﹣2）m，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即该桨轮船的轮子半径为5m，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
10．（3分）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时．能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元．其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1870元，则下列关系式正确的是（ ）
A．（x+5）（200﹣5x）＝1870
B．（x+40）（200﹣10x）＝1870
C．（x﹣35）（200﹣5x）＝1870
D．（x+5）（200﹣10x）＝1870
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据总利润＝销售量×每个利润．设涨价x元能赚得1870元的利润，即售价定为每个（x+40）元，销售量为（200﹣5x）个，结合获得的利润为1870元，可列方程．
【解答】解：根据题意可得：（40+x﹣35）（200﹣5x）＝1870，
即：（x+5）（200﹣5x）＝1870．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”．
11．（3分）周末，小明出去购物；如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系图象，根据图示信息，下列说法不正确的是（ ）
A．小明去时的速度为6千米/小时
B．小明在超市停留了10分钟
C．小明去时花的时间大于回家所花的时间
D．小明去时走下坡路，回家时走上坡路
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】D
【分析】A．去时的路程为2千米，时间为20分钟，根据“速度＝路程÷时间”即可判断；B．在超市停留的时间段为函数图象水平的一段，以此即可判断；C．根据图象可知，小明去超市所花的时间为20分钟，回家所花的时间为（40﹣30）分钟，再计较大小即可判断；D．函数图象表示的是距离和时间的关系，因此不能判断出小明去时走下坡路，回家时走上坡路．
【解答】解：A．∵小明去时的路程为2千米，时间为20分钟小时，
∴小明去时的为26（千米/小时），故A选项正确，不符合题意；
B．小明在超市停留的时间为30﹣20＝10（分钟），故B选项正确，不符合题意；
C．小明去超市所花的时间为20分钟，回家所花的时间为40﹣30＝10（分钟），
∵20＞10，
∴小除去时花的时间多于回家所花的时间，故C选项正确，不符合题意；
D．∵函数图象表示的是距离和时间的关系，
∴不能判断出小陈去时走下坡路，回家时走上坡路，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象，理解函数图象每个时间段图象的变化意义时解题关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的两直角边分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，且AC＝AB＝1，点A与原点O重合．若△ABC向右平移a（a＞0）个单位长度后，恰好△ABC的三边与抛物线y＝x2﹣3x有两个交点，则a的取值范围为（ ）
A．2＜a＜3 B．2＜a C．2≤a≤3 D．2≤a
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形；坐标与图形变化﹣平移．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由AC＝AB＝1求出点B，C的坐标，然后分别把y＝0和y＝1代入y＝x2﹣3x求解．
【解答】解：把y＝0代入y＝x2﹣3x得0＝x2﹣3x，
解得x＝0或x＝3，
∵AB＝1，
∴点B坐标为（1，0），
当点B向右移动与抛物线相交时，a＝3﹣1＝2，
∵AC＝1，
∴点C坐标为（0，1），
把y＝1代入y＝x2﹣3x得1＝x2﹣3x，
解得x或x，
当点C向右移动与抛物线相交时，a，
∴a的取值范围是2＜a．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）若a，b都是实数，，则ab的值为 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而求出b的值，最后代值计算即可．
【解答】解：∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
14．（2分）如图，在半径为10的圆O中，∠AOB＝90°，C为OB的中点，AC的延长线交圆O于点D，则线段CD的长为 3 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】3．
【分析】过点O作OH⊥AD于H，由垂径定理得AH＝DHAD，利用勾股定理求出AC，根据面积法求出OH，再利用勾股定理求出AH，可得AD的值，由CD＝AD﹣AC即可求解．
【解答】解：过点O作OH⊥AD于H，
∴AH＝DHAD，
∵C为OB的中点，
∴OCOB＝5，
∵∠AOB＝90°，
∴AC5，
∵S△AOCOA OCAC OH，
∴10×5＝5OH，
∴OH＝2，
∴AH4，
∴AD＝2AH＝4，
∴CD＝AD﹣AC＝853．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，作辅助线利用勾股定理求解是解题的关键．
15．（2分）抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是 下降 ．（填“上升”或“下降”）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，所以在y轴左侧的部分y随x的增加而减小．
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增加而减小，
故答案为下降．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
16．（2分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝30°，且AC＝2，则BD的长度是 2 ．
【考点】切线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】如图，连接OB．根据切线的定义得出AB⊥OB，由含30度直角三角形的性质求出OB＝2，利用勾股定理求出AB＝2，证明∠D＝∠A，根据等腰三角形的性质和判定即可求得答案．
【解答】解：如图，连接OB．
∵AB是⊙O的切线，
∴AB⊥OB，
在Rt△ABO中，∠A＝30°，
∴OBOA，∠AOB＝60°，
∵OB＝OC，
∴OA＝2OB＝AC+OB＝2+OB，
∴OB＝2，
∴OA＝4，
∴AB2，
∵∠D∠AOB＝30°，
∴∠D＝∠A，
∴BD＝AB＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，综合运用相关知识是解答本题的关键．
17．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为 0 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】0．
【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0），由此求出a﹣b+c的值．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点P（3，0），对称轴是直线x＝1，
∴y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0）是解题的关键．
18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是AB和BC上的动点，且AE＝BF，AF和DE相交于点P，连接BP，则BP的最小值为 22 ．
【考点】正方形的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】22．
【分析】由“SAS”可证△ADE≌△BAF，可得∠BAF＝∠ADE，可证∠APD＝90，即点P在以AD为直径的圆上运动，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠EAD＝∠FBA＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∴∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠APD＝90，
∴点P在以AD为直径的圆上运动，
如图，取AD的中点O，连接BO，OP，
∴AO＝2．
∴BO2，
∴当点P在线段BO上时，BP有最小值为22，
故答案为：22．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，确定点P的运动轨迹是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】2．
【分析】先算除法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
【解答】解：
＝2
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式是解题关键．
20．（6分）用配方法解下列方程：
（1）x2﹣x﹣1＝0；
（2）3x2＝﹣1﹣5x；
（3）5y﹣84+y2＝0；
（4）2x2x＝3．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）常数项移到右边，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解．
（2）移项，方程二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；
（3）整理后，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；
（4）方程二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解．
【解答】解：（1）方程变形得：x2﹣x＝1，
配方得：x2﹣x1，即（x）2，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1，x2＝1；
（2）方程变形得：x2x，
配方得：x2x，即（x）2，
开方得：x，
解得：x1，x2；
（3）方程变形得：y2+5y＝84，
配方得：y2+5y84，即（x）2，
开方得：x±
解得：x1，x2；
（4）方程变形得：x2x，
配方得：x2x，即（x）2，
开方得：x±
解得：x1，x2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负数，开方即可求出解．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（1，3），B（2，2），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后，点A，O，B分别落在点A1，O1，B1处．
（1）在所给的直角坐标系中画出旋转后的△A1O1B1（不写画法），其中点A1的坐标是 （﹣3，1） ；
（2）求过A、A1两点的直线解析式．
【考点】作图﹣旋转变换；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】作图题；待定系数法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1O1B1可得OA1⊥OA，OB1⊥OB，A1B1⊥AB，OA1＝OA，OB1＝OB，A1B1＝AB，故可画出△A1OB1的图形；
（2）根据两点的坐标，利用待定系数即可确定函数解析式．
【解答】解：所画图形如下：
根据图形可得A1（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
（2）设所求函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
解得，
∴所求函数的解析式为．
【点评】本题考查旋转作图及用待定系数法求函数解析式的知识，综合性较强，但难度一般，解答本题的关键是根据旋转的三要素正确地作出图形．
22．（10分）目前，世界多个国家新冠疫情依然严峻．虽然我国成功控制了新冠疫情，但仍然不能掉以轻心．某校为了了解初一年级共480名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93．
【整理数据】
班级 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x＜100
甲 1 1 3 4 6
乙 1 2 3 5 4
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 92 a 93 47.3
乙 90 87 b 50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a＝ 100 分，b＝ 91 分；
（2）若规定测试成绩92分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
【考点】方差；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）100、91；（2）256人；（3）答案不唯一，合理均可．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义可得答案；
（2）用总人数乘以样本中甲、乙班成绩优秀人数和所占比例即可；
（3）根据平均数、众数、中位数、方差的意义求解即可（答案不唯一，合理均可）．
【解答】解：（1）甲班成绩100分出现次数最多，有2次，
∴a＝100，
乙班成绩的第8个是91分，
所以乙班成绩的中位数b＝91分；
故答案为：100、91；
（2）估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有480256（人）；
（3）甲班成绩较好，理由如下：
因为甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，
所以甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定（答案不唯一，合理均可）．
【点评】本题考查了中位数、众数和平均数方差的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；
（2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；
（2）如图，连接OA，
∵AB＝AC，
∴，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线．
【点评】本题考查了圆心角定理、切线的判定、平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
24．（10分）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一、篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小石站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点A练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离是x（单位：m）时，球心距离地面的竖直高度是y（单位：m）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练：
（1）第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6
竖直高度y/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2
①在平面直角坐标系xOy中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求y与x满足的函数解析式；
③小石第一次投篮练习没能投进，请说明理由；
（2）第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小石的出手高度是 2.075 m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）①图象见解答；
②篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.6米，y与x满足的函数解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6；
③理由见解答；
（2）2.075．
【分析】（1）①根据表中数据，描点，连线，作出函数图象；
②根据表格数据和函数图象设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6，然后由待定系数法求出函数解析式；
③当x＝6.5时求出y的值与3.05比较即可；
（2）根据题意第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，然后把（6.5，3.05）代入解析式求出m即可．
【解答】解：（1）①描点，连线，作出函数图象，
②结合表中数据或所画图象可知，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.6米，
由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为（4，3.6），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6，
把（0，2）代入解析式得：2＝a（0﹣4）2+3.6，
解得a＝﹣0.1，
∴y与x满足的函数解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6；
③当x＝6.5时，y＝﹣0.1×（6.5﹣4）2+3.6＝﹣0.625+3.6＝2.975＜3.05，
∴小石第一次投篮练习没能投进；
（2）根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，
则第二次篮球运行的抛物线解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6+m，
∵第二次篮球运行的抛物线经过（6.5，3.05），
∴3.05＝﹣0.1×（6.5﹣4）2+3.6+m，
解得m＝0.075，
∴2+0.075＝2.075，
答：小石第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高，2.075米．
故答案为：2.075．
【点评】本题考查二次函数的应用；关键是根据图象求出抛物线解析式．
25．（10分）将二次函数y＝﹣x2﹣4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点（1，﹣1），求a的值．
（2）求平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）1或3；
（2）2．
【分析】利用二次函数平移规律，左加右减，上加下减得出平移后的解析式．
（1）代入（1，﹣1）点，即可求得a的值；
（2）求得平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标，变形后根据二次函数的性质即可求得纵坐标的最大值．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣4x+1＝﹣（x+2）2+5，
∴将二次函数y＝﹣x2﹣4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位得到y＝﹣（x+2﹣a）2+5﹣2a，
（1）∵平移后的二次函数图象经过点（1，﹣1），
∴﹣1＝﹣（1+2﹣a）2+5﹣2a，
解得a1＝3，a2＝1，
故a的值为1或3；
（2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点，
∴y＝﹣（0+2﹣a）2+5﹣2a＝﹣（a﹣1）2+2，
∴与y轴交点的纵坐标最大值为2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握平移规律是解题关键．
26．（10分）综合与实践
问题情境：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．
操作发现：
（1）如图①，当AC＝BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
①∠CBE的度数为 45° ；
②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；
探究证明：
（2）如图2，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．
①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；
②若AC＝2，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．
【考点】几何变换综合题．
【专题】分类讨论；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观；应用意识．
【答案】（1）①45°；
②AD＝BE，理由见解答过程；
（2）①，理由见解答过程；
②△CBE的面积为或或8．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），可得∠CBE＝45°；
②AD＝BE，由△ACD≌△BCE，即可得AD＝BE；
（2）①证明△ACD∽△BCE，及得，故；
②过C作CF⊥AB于F，CG⊥BE于G，AC＝2，BC＝2AC，得BC＝4，AB＝2，即得sin∠ABC，cos∠ABC，可得CF，BF，从而CG＝BF，BG＝CF，（Ⅰ）当CB＝CE时，△CBE的面积为；（Ⅱ）当BC＝BE时，△CBE的面积为BE CG4（Ⅲ）当CE＝BE时，设BE＝CE＝t，可得t2＝（）2+（t）2，解得BE＝2，△CBE的面积为CG BE28．
【解答】解：（1）①∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴∠DCE＝90°，DC＝CE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD＝45°，
故答案为：45°；
②AD＝BE，理由如下：
由①知△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE；
（2）①，理由如下：
∵BC＝2AC，CE＝2CD，
∴，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∴；
②过C作CF⊥AB于F，CG⊥BE于G，如图：
∵AC＝2，BC＝2AC，
∴BC＝4，AB2，
∴sin∠ABC，cos∠ABC，
∴，，
∴CF，BF，
∵四边形CGBF是矩形，
∴CG＝BF，BG＝CF，
（Ⅰ）当CB＝CE时，如图：
∴BE＝2BG，
∴△CBE的面积为；
（Ⅱ）当BC＝BE时，如图：
此时BE＝BC＝4，
∵CG＝BF，
∴△CBE的面积为BE CG4
（Ⅲ）当CE＝BE时，如图：
设BE＝CE＝t，则EG＝t，
在Rt△CEG中，
t2＝（）2+（t）2，
解得t＝2，
∴BE＝2，
∴△CBE的面积为CG BE28，
综上所述，△CBE的面积为或或8．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
考点卡片
1．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
2．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
4．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
5．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
6．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
7．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
8．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
9．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
10．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
11．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
12．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
13．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
14．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
15．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
16．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
17．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
18．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
19．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
20．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
21．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
22．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
23．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
24．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
25．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r
②点P在圆上 d＝r
①点P在圆内 d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
26．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
27．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
28．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
29．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
30．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
31．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
32．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
33．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
34．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
35．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
36．几何变换综合题
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．
37．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
38．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
39．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
40．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
41．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
42．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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