2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 447.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:34:34 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列四边形不是轴对称的图形是（ ）
A．菱形 B．矩形
C．平行四边形 D．圆
2．（3分）在下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列抛物线的顶点坐标为（4，﹣3）的是（ ）
A．y＝（x+4）2﹣3 B．y＝（x+4）2+3
C．y＝（x﹣4）2﹣3 D．y＝（x﹣4）2+3
4．（3分）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则A、B两地的距离是（ ）
A．6m B．8m C．9m D．10m
5．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝100°，则∠C＝（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
7．（3分）函数y＝|x|﹣1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件115.5万个，设八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝115.5
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝115.5
C．50（1+x）+50（1+x）2＝115.5
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝115.5
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上一点，BE＝BC．若∠A：∠ADC＝1：2，则∠ABE的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
10．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝0.5km，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5km2 B．15km2 C．75km2 D．750km2
11．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（ ）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
12．（3分）如图所示，把正方形ABCD的对角线AC分成n段，以每一段为对角线作正方形，设这n个小正方形的周长为p，正方形ABCD的周长为l，则p与l的关系是（ ）
A．p＞l B．p≥l C．p＝l D．p≤l
E．p＜l
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）有意义，x的取值范围是 ．
14．（2分）x＝2是关于x的方程x2+mx+4＝0的解，则m的值是 ．
15．（2分）小明用公式计算一组数据x1，x2，…xn的方差，那么这组数据的和是 ．
16．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且∠ACB＝45°，AE⊥BD，垂足为F，交BC于点E．若AB＝AE，AO＝2，则BE的长为 ．
17．（2分）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：
水平距离x/m 0 0.4 1 1.2 1.4 2.4 2.8
竖直高度y/m 0 0.48 0.9 0.96 0.98 0.48 0
给出下面四个结论：
①野兔本次跳跃到最大高度时，距离起跳点1.2m；
②野兔本次跳跃的最大高度为0.98m；
③野兔本次跳跃的最远水平距离为2.8m；
④若在野兔起跳点前方1.8m处有高为0.92m的篱笆，则野兔此次跳跃能跃过篱笆．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
18．（2分）（1）若等式 成立，则x的取值范围是 ．
（2）若（1﹣x）成立，则x的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算下列各小题：
（1）；
（2）（2．
20．（6分）计算：
（1）x2﹣4x＝5；
（2）2x2﹣3x+1＝0．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（3，4），请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
22．（10分）今年春节，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，为了提高意识，共克时艰，共渡难关，綦江区某校开展了“全民行动 共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 90 b
众数 c 100
方差 52 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）．
（3）该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
25．（10分）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
26．（10分）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．
2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列四边形不是轴对称的图形是（ ）
A．菱形 B．矩形
C．平行四边形 D．圆
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：菱形、矩形、圆能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
平行四边形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）在下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的概念．
【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】D
【分析】根据设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数判断即可．
【解答】解：A选项，对于x的每一个确定的值，y可能有2个值与其对应，不是函数，故该选项不符合题意；
B选项，对于x的每一个确定的值，y可能有多个值与其对应，不是函数，故该选项不符合题意；
C选项，对于x的每一个确定的值，y可能有2个值与其对应，不是函数，故该选项不符合题意；
D选项，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，是函数，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的概念，掌握设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数是解题的关键．
3．（3分）下列抛物线的顶点坐标为（4，﹣3）的是（ ）
A．y＝（x+4）2﹣3 B．y＝（x+4）2+3
C．y＝（x﹣4）2﹣3 D．y＝（x﹣4）2+3
【考点】二次函数的性质．
【专题】常规题型；二次函数图象及其性质．
【答案】C
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）逐一判断可得．
【解答】解：A、抛物线y＝（x+4）2﹣3的顶点坐标为（﹣4，﹣3），此选项不符合题意；
B、抛物线y＝（x+4）2+3的顶点坐标为（﹣4，3），此选项不符合题意；
C、抛物线y＝（x﹣4）2﹣3的顶点坐标为（4，﹣3），此选项符合题意；
D、抛物线y＝（x﹣4）2+3的顶点坐标为（4，3），此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
4．（3分）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则A、B两地的距离是（ ）
A．6m B．8m C．9m D．10m
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
∴ABDE16＝8（m）．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；应用意识．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、是最简二次根式，该选项符合题意；
D、，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，该选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查最简二次根式的识别，牢记最简二次根式的定义（被开方数中不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式）是解题的关键．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝100°，则∠C＝（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【考点】平行四边形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
【解答】解：在 ABCD中，∠A＝100°，
∴∠C＝∠A＝100°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
7．（3分）函数y＝|x|﹣1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法，可以写出两段对应的函数解析式及此时对应的函数图象，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵函数y＝|x|﹣1，
∴当x≥0时，y＝x﹣1，y随x的增大而增大，
当x＜0时，y＝﹣x﹣1，y随x的增大而减小，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
8．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件115.5万个，设八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝115.5
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝115.5
C．50（1+x）+50（1+x）2＝115.5
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝115.5
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【答案】C
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50（1+x）+50（1+x）2＝115.5．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上一点，BE＝BC．若∠A：∠ADC＝1：2，则∠ABE的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质和∠A：∠ADC＝1：2，可以得到∠A的度数，从而可以得到∠C的度数，然后根据BE＝BC，可以判断△BCE的形状，再根据平行线的性质，可以得到∠ABE和∠BEC的关系，从而可以得到∠ABE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠ADC＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A：∠ADC＝1：2，
∴∠A＝60°，∠ADC＝120°，
∴∠C＝60°，
∵BE＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC＝60°，
∵DC∥AB，
∴∠BEC＝∠ABE，
∴∠ABE＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝0.5km，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5km2 B．15km2 C．75km2 D．750km2
【考点】勾股定理的逆定理；数学常识．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：5×500×12×500＝7500000（平方米）＝7.5（平方千米）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
11．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（ ）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】B
【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．
【解答】解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，
可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝15，则c5，此时c2﹣16＞0．故A错误．
B、正确．
理由：∵M1＝1，M2＝0，
∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，
∵a，b，c是正实数，
∴a＝2，
∵b2＝ac，
∴cb2，
对于y3＝x2+cx+4，
则有Δ＝c2﹣16b4﹣16（b4﹣64）（b2+8）（b2﹣8）＜0，
∴M3＝0，
∴选项B正确，
C、错误．由M1＝0，M2＝2，
可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c18，此时c2﹣16＞0．故C错误．
D、由M1＝0，M2＝0，
可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c4，此时c2﹣16＝0．故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（3分）如图所示，把正方形ABCD的对角线AC分成n段，以每一段为对角线作正方形，设这n个小正方形的周长为p，正方形ABCD的周长为l，则p与l的关系是（ ）
A．p＞l B．p≥l C．p＝l D．p≤l
E．p＜l
【考点】函数关系式；生活中的平移现象；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】C
【分析】根据图形平移性质，这n个小正方形的周长为p与正方形ABCD的周长是相等的关系．
【解答】解：根据平移性质，这n个小正方形的周长和正好是正方形ABCD的周长，
∴p＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了平移性质和图形的变化规律，熟练掌握平移性质是解答本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）有意义，x的取值范围是 x≤3 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】见试题解答内容
【分析】依据二次根式被开方数大于等于零求解即可．
【解答】解：∵有意义，
∴3﹣x≥0．
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
14．（2分）x＝2是关于x的方程x2+mx+4＝0的解，则m的值是 ﹣4 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】将x＝2代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值．
【解答】解：将x＝2代入原方程得：22+2m+4＝0，
解得：m＝﹣4，
∴m的值是﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
15．（2分）小明用公式计算一组数据x1，x2，…xn的方差，那么这组数据的和是 50 ．
【考点】方差．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】50．
【分析】根据方差公式得到这组数据有10个数，其平均数为5，于是得到这组数据的和为50．
【解答】解：根据题意得5，
这组数据的和＝10×5＝50．
故答案为：50．
【点评】本题考查方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且∠ACB＝45°，AE⊥BD，垂足为F，交BC于点E．若AB＝AE，AO＝2，则BE的长为 ．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】过点A作AH⊥BC于H，过点B作BG⊥AO于点G，由平行四边形的性质求得AC，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理求得CH，再证明BA＝BO，求得OG，再由等腰直角三角形求得BC，进而得BH，再由等腰三角形的性质求得BE．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，过点B作BG⊥AO于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝4，
∵∠ACB＝45°，AH⊥BC，
∴∠ACB＝∠HAC＝45°，
∴AH＝HC，
∵AH2+HC2＝AC2，
∴AH＝HC＝2，
∵AB＝AE，
∴BH＝EH，∠BAH＝∠EAH，
∵AE⊥BD，
∵∠EAH+∠AEH＝∠AEH+∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠EAH＝∠BAH，
∵∠BAO＝∠BAH+∠CAH＝∠BAH+45°，
∠BOA＝∠EBF+∠OCB＝∠EBF+45°，
∴∠BAO＝∠BOA，
∴BA＝BO，
∴OG＝∴，
∵OC＝OA＝2，
∴CG＝OC+OG＝3，
∵∠BCG＝45°，
∴∠CBG＝∠BCG＝45°，
∴BG＝CG＝3，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，关键作等腰三角形的底边上的高，求得BC与CH．
17．（2分）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：
水平距离x/m 0 0.4 1 1.2 1.4 2.4 2.8
竖直高度y/m 0 0.48 0.9 0.96 0.98 0.48 0
给出下面四个结论：
①野兔本次跳跃到最大高度时，距离起跳点1.2m；
②野兔本次跳跃的最大高度为0.98m；
③野兔本次跳跃的最远水平距离为2.8m；
④若在野兔起跳点前方1.8m处有高为0.92m的篱笆，则野兔此次跳跃能跃过篱笆．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ②③ ．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】②③．
【分析】根据抛物线的对称性，采用数形结合法求解．
【解答】解：根据抛物线的对称性得：当x1.4时，达到最大高度，故①是错误的；
由表格得：当x＝1.4时，y＝0.98，故②是正确的；
由表格得：2.8﹣0＝2.8，故③是正确的；
根据抛物线的对称性，当x＝1.8和x＝1时，y的值相等为0.9m，0.9＜0.92，
∴野兔此次跳跃不能跃过篱笆，
故④是错误的；
故答案为：②③．
【点评】本题考查了二次函数的应用，理解抛物线的对称性和数形结合思想是解题的关键．
18．（2分）（1）若等式 成立，则x的取值范围是 ﹣1≤x≤1 ．
（2）若（1﹣x）成立，则x的取值范围是 0≤x≤1 ．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力；推理能力．
【答案】（1）﹣1≤x≤1；
（2）0≤x≤1．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，然后求得x的取值范围即可；
（2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，然后求得x的取值范围即可．
【解答】解：（1）等式 成立，
∴，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x≤1，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x≤1；
故答案为：﹣1≤x≤1；
（2），
∴，
∴，
∴，
上式成立则：，
由②得：x≤1，
∴不等式组的解集为：0≤x≤1；
故答案为：0≤x≤1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围是解题关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算下列各小题：
（1）；
（2）（2．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）．
（2）9﹣7．
【分析】（1）先算乘法与除法，算出的结果化为最简二次根式后，合并同类二次根式即可．
（2）先展开完全平方式，再进行加减运算即可．
【解答】解：（1）
．
（2）（3）2
＝2﹣69﹣2
＝（2+9﹣2）+（﹣6﹣1）
＝9﹣7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用运算法则是解题关键．
20．（6分）计算：
（1）x2﹣4x＝5；
（2）2x2﹣3x+1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x1＝1，x2．
【分析】（1）根据配方法的步骤，先把方程配方，得出（x﹣2）2＝9，再进行计算即可．
（2）一元二次方程的求根公式，先求出a＝2，b＝﹣3，c＝1，再代入计算即可，
【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x+4＝9，
∴（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝±3，
∴x1＝5，x2＝﹣1．
（2）2x2﹣3x+1＝0，
∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣8＝1，
∴x，
∴x1＝1，x2．
【点评】此题考查了公式法和配方法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式、配方法，注意根据方程的特点选择合适的解法．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（3，4），请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；网格型；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）图形见解答；
（2）A1的坐标为（﹣1，2）、B1的坐标为（﹣4，1）、C1的坐标为（﹣3，4）；
（3）4．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）由（1）中所作图形可得答案；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）由图知，A1的坐标为（﹣1，2）、B1的坐标为（﹣4，1）、C1的坐标为（﹣3，4）；
（3）△A1B1C1的面积为3×31×31×32×2＝4．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．（10分）今年春节，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，为了提高意识，共克时艰，共渡难关，綦江区某校开展了“全民行动 共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 90 b
众数 c 100
方差 52 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）．
（3）该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
【考点】方差；用样本估计总体；中位数；众数．
【专题】统计的应用；应用意识．
【答案】（1）a＝40，b＝94，c＝99；（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由见解析；（3）估计参加竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是468人．
【分析】（1）求出C组所占的百分比，再根据频率之和为1，即可求出a的值，依据中位数、众数的计算方法可求出八年级的中位数，和七年级的众数，确定b、c的值；
（2）通过比较平均数、中位数、众数得出答案；
（3）样本估计总体，样本中“优秀”占，因此根据总体720人的是“优秀”人数．
【解答】解：（1）3÷10＝30%，1﹣30%﹣10%﹣20%＝40%，因此a＝40，
A组有2人，B组有1人，C组有3人，D组有4人，
将他们的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是94，因此中位数是94，即b＝94，
七年级竞赛成绩出现次数最多的是99，都出现2次，因此众数是99，即c＝99，
答：a＝40，b＝94，c＝99；
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
（3）720468（人）．
答：估计参加竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是468人．
【点评】本题考查频数分布表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证△AOF≌△COE（ASA），得出AF＝CE，则四边形AECF是平行四边形，由EF⊥AC，得出四边形AECF是菱形；
（2）由菱形的性质得出CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，证EF∥AB，由平行线的性质得出∠OEC＝∠B＝30°，由直角三角形的性质得出OCCE＝1，OEOC，则AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，由菱形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，EF⊥AC，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，
∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC⊥AB，
∴EF∥AB，
∴∠OEC＝∠B＝30°，
∴OCCE＝1，OEOC，
∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，
∴四边形AECF的面积AC×EF2×22．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
【考点】二次函数的最值；全等三角形的判定与性质．
【专题】二次函数图象及其性质；图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】（1）s＝﹣2x2+6x（0＜x＜2）．
（2）当x时，S的值最大，最大值为．
【分析】（1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系．
（2）通过对函数配方，求出函数的对称轴，对称轴在定义域内，在对称轴处取得最值．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），
所以S＝S矩形ABCD﹣2S△AEH﹣2S△EFB＝2×4﹣2x2﹣2（4﹣x）（2﹣x）＝﹣2x2+6x（0＜x＜2）．
（2）S＝﹣2x2+6x＝﹣2（x）2．
所以当x时，S的值最大，最大值为．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关键．
25．（10分）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）yx2+2x （0≤x≤8）；
（2）此时工人不会碰到头，理由见解析．
【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可．
【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a，
∴二次函数的表达式为y（x﹣4）2+4，
即yx2+2x （0≤x≤8）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.41.2＝1，
∴将＝1代入yx2+2x，
解得：y1.75
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头．
【点评】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．
26．（10分）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．
【考点】四边形综合题．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）10；
（2）当0＜x＜3时，y，当3＜x＜4.5时，y；
（3）x＝2或或．
【分析】（1）由AB∥CD得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；
（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；
（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．
【解答】解：（1）如图1，
在矩形ABCD中，
BC＝AD＝6，
AB∥CD，
∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，
∴，，
∴AM＝2CF＝4，
∴BM＝AB﹣AM＝5，
∴，
∴BN＝10；
（2）当CF＝BM时，MF∥BC，此时△BEN不存在，
∴CF＝9﹣2CF，
∴CF＝3，
当点M和B点重合时，
AB＝2CF，
∴CF＝4.5，
∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，
如图2，
当0＜x＜3时，
作EG⊥BC于G，
由（1）知，
EG＝3，AM＝2CF＝2x，
∴BM＝9﹣2x，
由得，
，
∴BN，
∴y
，
如图3，
当3＜x＜4.5时，
由得，
，
∴CN，
∴y
；
（3）△BME能成为等腰三角形，理由如下：
如图4，
∵EG∥AB，
∴，
∴CGCB＝2，
∴GB＝CB﹣CG＝4，
∴BE＝5，
当BM＝BE＝5时，
9﹣2x＝5，
∴x＝2，
如图5，
当EM＝EB＝5时，
作EH⊥AB于H，
∴BM＝2BH＝2EG＝6，
∴9﹣2x＝6，
∴x，
如图6，
当EM＝BM时，
作MH⊥BE于H，
在Rt△BMH中，BH，sin∠MBH＝sin∠BEG，
∴BM
，
∴9﹣2x，
∴x，
综上所述：x＝2或或．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类．
考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
3．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
4．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
5．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
6．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质： （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
7．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
8．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
9．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
11．函数的概念
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
12．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
13．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
14．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
15．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
16．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
17．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
18．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
20．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
21．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
22．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
23．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
24．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
25．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
26．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
27．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
28．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
29．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
30．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
31．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
32．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列四边形不是轴对称的图形是（ ）
A．菱形 B．矩形
C．平行四边形 D．圆
2．（3分）在下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列抛物线的顶点坐标为（4，﹣3）的是（ ）
A．y＝（x+4）2﹣3 B．y＝（x+4）2+3
C．y＝（x﹣4）2﹣3 D．y＝（x﹣4）2+3
4．（3分）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则A、B两地的距离是（ ）
A．6m B．8m C．9m D．10m
5．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝100°，则∠C＝（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
7．（3分）函数y＝|x|﹣1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件115.5万个，设八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝115.5
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝115.5
C．50（1+x）+50（1+x）2＝115.5
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝115.5
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上一点，BE＝BC．若∠A：∠ADC＝1：2，则∠ABE的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
10．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝0.5km，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5km2 B．15km2 C．75km2 D．750km2
11．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（ ）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
12．（3分）如图所示，把正方形ABCD的对角线AC分成n段，以每一段为对角线作正方形，设这n个小正方形的周长为p，正方形ABCD的周长为l，则p与l的关系是（ ）
A．p＞l B．p≥l C．p＝l D．p≤l
E．p＜l
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）有意义，x的取值范围是 ．
14．（2分）x＝2是关于x的方程x2+mx+4＝0的解，则m的值是 ．
15．（2分）小明用公式计算一组数据x1，x2，…xn的方差，那么这组数据的和是 ．
16．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且∠ACB＝45°，AE⊥BD，垂足为F，交BC于点E．若AB＝AE，AO＝2，则BE的长为 ．
17．（2分）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：
水平距离x/m 0 0.4 1 1.2 1.4 2.4 2.8
竖直高度y/m 0 0.48 0.9 0.96 0.98 0.48 0
给出下面四个结论：
①野兔本次跳跃到最大高度时，距离起跳点1.2m；
②野兔本次跳跃的最大高度为0.98m；
③野兔本次跳跃的最远水平距离为2.8m；
④若在野兔起跳点前方1.8m处有高为0.92m的篱笆，则野兔此次跳跃能跃过篱笆．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
18．（2分）（1）若等式 成立，则x的取值范围是 ．
（2）若（1﹣x）成立，则x的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算下列各小题：
（1）；
（2）（2．
20．（6分）计算：
（1）x2﹣4x＝5；
（2）2x2﹣3x+1＝0．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（3，4），请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
22．（10分）今年春节，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，为了提高意识，共克时艰，共渡难关，綦江区某校开展了“全民行动 共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 90 b
众数 c 100
方差 52 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）．
（3）该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
25．（10分）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
26．（10分）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．
2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列四边形不是轴对称的图形是（ ）
A．菱形 B．矩形
C．平行四边形 D．圆
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：菱形、矩形、圆能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
平行四边形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）在下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的概念．
【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】D
【分析】根据设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数判断即可．
【解答】解：A选项，对于x的每一个确定的值，y可能有2个值与其对应，不是函数，故该选项不符合题意；
B选项，对于x的每一个确定的值，y可能有多个值与其对应，不是函数，故该选项不符合题意；
C选项，对于x的每一个确定的值，y可能有2个值与其对应，不是函数，故该选项不符合题意；
D选项，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，是函数，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的概念，掌握设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数是解题的关键．
3．（3分）下列抛物线的顶点坐标为（4，﹣3）的是（ ）
A．y＝（x+4）2﹣3 B．y＝（x+4）2+3
C．y＝（x﹣4）2﹣3 D．y＝（x﹣4）2+3
【考点】二次函数的性质．
【专题】常规题型；二次函数图象及其性质．
【答案】C
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）逐一判断可得．
【解答】解：A、抛物线y＝（x+4）2﹣3的顶点坐标为（﹣4，﹣3），此选项不符合题意；
B、抛物线y＝（x+4）2+3的顶点坐标为（﹣4，3），此选项不符合题意；
C、抛物线y＝（x﹣4）2﹣3的顶点坐标为（4，﹣3），此选项符合题意；
D、抛物线y＝（x﹣4）2+3的顶点坐标为（4，3），此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
4．（3分）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则A、B两地的距离是（ ）
A．6m B．8m C．9m D．10m
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
∴ABDE16＝8（m）．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；应用意识．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、是最简二次根式，该选项符合题意；
D、，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，该选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查最简二次根式的识别，牢记最简二次根式的定义（被开方数中不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式）是解题的关键．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝100°，则∠C＝（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【考点】平行四边形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
【解答】解：在 ABCD中，∠A＝100°，
∴∠C＝∠A＝100°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
7．（3分）函数y＝|x|﹣1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法，可以写出两段对应的函数解析式及此时对应的函数图象，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵函数y＝|x|﹣1，
∴当x≥0时，y＝x﹣1，y随x的增大而增大，
当x＜0时，y＝﹣x﹣1，y随x的增大而减小，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
8．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件115.5万个，设八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝115.5
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝115.5
C．50（1+x）+50（1+x）2＝115.5
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝115.5
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【答案】C
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50（1+x）+50（1+x）2＝115.5．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上一点，BE＝BC．若∠A：∠ADC＝1：2，则∠ABE的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质和∠A：∠ADC＝1：2，可以得到∠A的度数，从而可以得到∠C的度数，然后根据BE＝BC，可以判断△BCE的形状，再根据平行线的性质，可以得到∠ABE和∠BEC的关系，从而可以得到∠ABE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠ADC＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A：∠ADC＝1：2，
∴∠A＝60°，∠ADC＝120°，
∴∠C＝60°，
∵BE＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC＝60°，
∵DC∥AB，
∴∠BEC＝∠ABE，
∴∠ABE＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝0.5km，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5km2 B．15km2 C．75km2 D．750km2
【考点】勾股定理的逆定理；数学常识．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：5×500×12×500＝7500000（平方米）＝7.5（平方千米）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
11．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（ ）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】B
【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．
【解答】解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，
可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝15，则c5，此时c2﹣16＞0．故A错误．
B、正确．
理由：∵M1＝1，M2＝0，
∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，
∵a，b，c是正实数，
∴a＝2，
∵b2＝ac，
∴cb2，
对于y3＝x2+cx+4，
则有Δ＝c2﹣16b4﹣16（b4﹣64）（b2+8）（b2﹣8）＜0，
∴M3＝0，
∴选项B正确，
C、错误．由M1＝0，M2＝2，
可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c18，此时c2﹣16＞0．故C错误．
D、由M1＝0，M2＝0，
可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c4，此时c2﹣16＝0．故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（3分）如图所示，把正方形ABCD的对角线AC分成n段，以每一段为对角线作正方形，设这n个小正方形的周长为p，正方形ABCD的周长为l，则p与l的关系是（ ）
A．p＞l B．p≥l C．p＝l D．p≤l
E．p＜l
【考点】函数关系式；生活中的平移现象；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】C
【分析】根据图形平移性质，这n个小正方形的周长为p与正方形ABCD的周长是相等的关系．
【解答】解：根据平移性质，这n个小正方形的周长和正好是正方形ABCD的周长，
∴p＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了平移性质和图形的变化规律，熟练掌握平移性质是解答本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）有意义，x的取值范围是 x≤3 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】见试题解答内容
【分析】依据二次根式被开方数大于等于零求解即可．
【解答】解：∵有意义，
∴3﹣x≥0．
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
14．（2分）x＝2是关于x的方程x2+mx+4＝0的解，则m的值是 ﹣4 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】将x＝2代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值．
【解答】解：将x＝2代入原方程得：22+2m+4＝0，
解得：m＝﹣4，
∴m的值是﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
15．（2分）小明用公式计算一组数据x1，x2，…xn的方差，那么这组数据的和是 50 ．
【考点】方差．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】50．
【分析】根据方差公式得到这组数据有10个数，其平均数为5，于是得到这组数据的和为50．
【解答】解：根据题意得5，
这组数据的和＝10×5＝50．
故答案为：50．
【点评】本题考查方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且∠ACB＝45°，AE⊥BD，垂足为F，交BC于点E．若AB＝AE，AO＝2，则BE的长为 ．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】过点A作AH⊥BC于H，过点B作BG⊥AO于点G，由平行四边形的性质求得AC，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理求得CH，再证明BA＝BO，求得OG，再由等腰直角三角形求得BC，进而得BH，再由等腰三角形的性质求得BE．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，过点B作BG⊥AO于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝4，
∵∠ACB＝45°，AH⊥BC，
∴∠ACB＝∠HAC＝45°，
∴AH＝HC，
∵AH2+HC2＝AC2，
∴AH＝HC＝2，
∵AB＝AE，
∴BH＝EH，∠BAH＝∠EAH，
∵AE⊥BD，
∵∠EAH+∠AEH＝∠AEH+∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠EAH＝∠BAH，
∵∠BAO＝∠BAH+∠CAH＝∠BAH+45°，
∠BOA＝∠EBF+∠OCB＝∠EBF+45°，
∴∠BAO＝∠BOA，
∴BA＝BO，
∴OG＝∴，
∵OC＝OA＝2，
∴CG＝OC+OG＝3，
∵∠BCG＝45°，
∴∠CBG＝∠BCG＝45°，
∴BG＝CG＝3，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，关键作等腰三角形的底边上的高，求得BC与CH．
17．（2分）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：
水平距离x/m 0 0.4 1 1.2 1.4 2.4 2.8
竖直高度y/m 0 0.48 0.9 0.96 0.98 0.48 0
给出下面四个结论：
①野兔本次跳跃到最大高度时，距离起跳点1.2m；
②野兔本次跳跃的最大高度为0.98m；
③野兔本次跳跃的最远水平距离为2.8m；
④若在野兔起跳点前方1.8m处有高为0.92m的篱笆，则野兔此次跳跃能跃过篱笆．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ②③ ．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】②③．
【分析】根据抛物线的对称性，采用数形结合法求解．
【解答】解：根据抛物线的对称性得：当x1.4时，达到最大高度，故①是错误的；
由表格得：当x＝1.4时，y＝0.98，故②是正确的；
由表格得：2.8﹣0＝2.8，故③是正确的；
根据抛物线的对称性，当x＝1.8和x＝1时，y的值相等为0.9m，0.9＜0.92，
∴野兔此次跳跃不能跃过篱笆，
故④是错误的；
故答案为：②③．
【点评】本题考查了二次函数的应用，理解抛物线的对称性和数形结合思想是解题的关键．
18．（2分）（1）若等式 成立，则x的取值范围是 ﹣1≤x≤1 ．
（2）若（1﹣x）成立，则x的取值范围是 0≤x≤1 ．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力；推理能力．
【答案】（1）﹣1≤x≤1；
（2）0≤x≤1．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，然后求得x的取值范围即可；
（2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，然后求得x的取值范围即可．
【解答】解：（1）等式 成立，
∴，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x≤1，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x≤1；
故答案为：﹣1≤x≤1；
（2），
∴，
∴，
∴，
上式成立则：，
由②得：x≤1，
∴不等式组的解集为：0≤x≤1；
故答案为：0≤x≤1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围是解题关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算下列各小题：
（1）；
（2）（2．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）．
（2）9﹣7．
【分析】（1）先算乘法与除法，算出的结果化为最简二次根式后，合并同类二次根式即可．
（2）先展开完全平方式，再进行加减运算即可．
【解答】解：（1）
．
（2）（3）2
＝2﹣69﹣2
＝（2+9﹣2）+（﹣6﹣1）
＝9﹣7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用运算法则是解题关键．
20．（6分）计算：
（1）x2﹣4x＝5；
（2）2x2﹣3x+1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x1＝1，x2．
【分析】（1）根据配方法的步骤，先把方程配方，得出（x﹣2）2＝9，再进行计算即可．
（2）一元二次方程的求根公式，先求出a＝2，b＝﹣3，c＝1，再代入计算即可，
【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x+4＝9，
∴（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝±3，
∴x1＝5，x2＝﹣1．
（2）2x2﹣3x+1＝0，
∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣8＝1，
∴x，
∴x1＝1，x2．
【点评】此题考查了公式法和配方法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式、配方法，注意根据方程的特点选择合适的解法．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（3，4），请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；网格型；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）图形见解答；
（2）A1的坐标为（﹣1，2）、B1的坐标为（﹣4，1）、C1的坐标为（﹣3，4）；
（3）4．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）由（1）中所作图形可得答案；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）由图知，A1的坐标为（﹣1，2）、B1的坐标为（﹣4，1）、C1的坐标为（﹣3，4）；
（3）△A1B1C1的面积为3×31×31×32×2＝4．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．（10分）今年春节，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，为了提高意识，共克时艰，共渡难关，綦江区某校开展了“全民行动 共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 90 b
众数 c 100
方差 52 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）．
（3）该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
【考点】方差；用样本估计总体；中位数；众数．
【专题】统计的应用；应用意识．
【答案】（1）a＝40，b＝94，c＝99；（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由见解析；（3）估计参加竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是468人．
【分析】（1）求出C组所占的百分比，再根据频率之和为1，即可求出a的值，依据中位数、众数的计算方法可求出八年级的中位数，和七年级的众数，确定b、c的值；
（2）通过比较平均数、中位数、众数得出答案；
（3）样本估计总体，样本中“优秀”占，因此根据总体720人的是“优秀”人数．
【解答】解：（1）3÷10＝30%，1﹣30%﹣10%﹣20%＝40%，因此a＝40，
A组有2人，B组有1人，C组有3人，D组有4人，
将他们的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是94，因此中位数是94，即b＝94，
七年级竞赛成绩出现次数最多的是99，都出现2次，因此众数是99，即c＝99，
答：a＝40，b＝94，c＝99；
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
（3）720468（人）．
答：估计参加竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是468人．
【点评】本题考查频数分布表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证△AOF≌△COE（ASA），得出AF＝CE，则四边形AECF是平行四边形，由EF⊥AC，得出四边形AECF是菱形；
（2）由菱形的性质得出CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，证EF∥AB，由平行线的性质得出∠OEC＝∠B＝30°，由直角三角形的性质得出OCCE＝1，OEOC，则AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，由菱形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，EF⊥AC，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，
∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC⊥AB，
∴EF∥AB，
∴∠OEC＝∠B＝30°，
∴OCCE＝1，OEOC，
∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，
∴四边形AECF的面积AC×EF2×22．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
【考点】二次函数的最值；全等三角形的判定与性质．
【专题】二次函数图象及其性质；图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】（1）s＝﹣2x2+6x（0＜x＜2）．
（2）当x时，S的值最大，最大值为．
【分析】（1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系．
（2）通过对函数配方，求出函数的对称轴，对称轴在定义域内，在对称轴处取得最值．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），
所以S＝S矩形ABCD﹣2S△AEH﹣2S△EFB＝2×4﹣2x2﹣2（4﹣x）（2﹣x）＝﹣2x2+6x（0＜x＜2）．
（2）S＝﹣2x2+6x＝﹣2（x）2．
所以当x时，S的值最大，最大值为．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关键．
25．（10分）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）yx2+2x （0≤x≤8）；
（2）此时工人不会碰到头，理由见解析．
【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可．
【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a，
∴二次函数的表达式为y（x﹣4）2+4，
即yx2+2x （0≤x≤8）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.41.2＝1，
∴将＝1代入yx2+2x，
解得：y1.75
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头．
【点评】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．
26．（10分）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．
【考点】四边形综合题．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）10；
（2）当0＜x＜3时，y，当3＜x＜4.5时，y；
（3）x＝2或或．
【分析】（1）由AB∥CD得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；
（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；
（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．
【解答】解：（1）如图1，
在矩形ABCD中，
BC＝AD＝6，
AB∥CD，
∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，
∴，，
∴AM＝2CF＝4，
∴BM＝AB﹣AM＝5，
∴，
∴BN＝10；
（2）当CF＝BM时，MF∥BC，此时△BEN不存在，
∴CF＝9﹣2CF，
∴CF＝3，
当点M和B点重合时，
AB＝2CF，
∴CF＝4.5，
∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，
如图2，
当0＜x＜3时，
作EG⊥BC于G，
由（1）知，
EG＝3，AM＝2CF＝2x，
∴BM＝9﹣2x，
由得，
，
∴BN，
∴y
，
如图3，
当3＜x＜4.5时，
由得，
，
∴CN，
∴y
；
（3）△BME能成为等腰三角形，理由如下：
如图4，
∵EG∥AB，
∴，
∴CGCB＝2，
∴GB＝CB﹣CG＝4，
∴BE＝5，
当BM＝BE＝5时，
9﹣2x＝5，
∴x＝2，
如图5，
当EM＝EB＝5时，
作EH⊥AB于H，
∴BM＝2BH＝2EG＝6，
∴9﹣2x＝6，
∴x，
如图6，
当EM＝BM时，
作MH⊥BE于H，
在Rt△BMH中，BH，sin∠MBH＝sin∠BEG，
∴BM
，
∴9﹣2x，
∴x，
综上所述：x＝2或或．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类．
考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
3．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
4．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
5．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
6．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质： （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
7．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
8．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
9．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
11．函数的概念
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
12．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
13．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
14．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
15．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
16．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
17．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
18．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
20．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
21．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
22．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
23．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
24．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
25．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
26．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
27．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
28．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
29．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
30．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
31．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
32．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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