2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 425.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:35:16 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）小华同学某体育项目5次测试的成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，这组数据的众数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（3分）已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝x+2上，则y1、y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较
4．（3分）在 ABCD中，∠A＝30°，AD＝2，BD＝2，则 ABCD的面积是（ ）
A． B．2 C．4 D．2或4
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．4
6．（3分）李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下来修车耽误了8分钟，为了按时到校，再次出发时李老师加快了速度，但仍保持匀速行进，最终准时到校．下面可表示李老师上班过程中行驶路程s与时间t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，则正方形BCFG的面积为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
9．（3分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360
B．（15﹣x）（200+70x）＝1360
C．（15﹣x﹣9）（200﹣70x）＝1360
D．（15﹣x）（200﹣70x）＝1360
10．（3分）已知一次函数y＝kx﹣2的图象经过点A，且y随x的增大而增大，则点A的坐标可以是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（2，﹣3）
11．（3分）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，点E，F分别在边AD，BC上，连接BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，翻折后点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连接GF．则下列结论中一定正确的是（ ）
A．EG∥HF B．FG＝FC C．∠EBD＝∠DFG D．GF⊥BC
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点E、F．将菱形ABCD沿x轴向左平移m个单位，当点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜6 B．4≤m≤6 C．4＜m＜5 D．4≤m≤5
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）要使二次根式有意义，x应该满足的条件是 ．
14．（2分）有一个三角形的两边为6和8，要使它为直角三角形，则第三边为 ．
15．（2分）某超市销售A，B，C三种矿泉水，它们每瓶的单价依次是2元、3元、3.5元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 元．
16．（2分）直线y＝mx+n和直线y＝kx在同一坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式mx+n＞kx的解集是 ．
17．（2分）三年前，王明父亲的年龄恰好是王明年龄的平方，若今年他们父子的年龄和为36，则王明今年的年龄是 岁．
18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE＝8，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若点P、Q分别为DG、CE的中点，则PQ的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）解方程：（2x﹣1）2＝4（2x﹣1）x．
20．（6分）计算：
（1）（23）；
（2）（2）（2）+（2）2．
21．（10分）如图所示，△ABC是等腰三角形，其中AB＝AC，D为AC中点．
（1）作外角∠EAC的角平分线AM（尺规作图）；
（2）延长BD交AM于F点，连接FC，证明：四边形ABCF是平行四边形．
22．（10分）不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）3x2﹣x+1＝0；
（3）5x2+4x﹣1＝0；
（4）2x（2﹣x）＝3．
23．（10分）甲、乙两名工人同时加工同一种零件，现根据两人7天产品中每天出现的次品数情况绘制成如下不完整的统计图和表，依据图、表信息，解答下列问题：
相关统计量表：
量数 人 众数 中位数 平均数 方差
甲 2
乙 1 1 1
次品数量统计表：
天数 人 1 2 3 4 5 6 7
甲 2 2 0 3 1 2 4
乙 1 0 2 1 1 0
（1）补全图、表．
（2）判断谁出现次品的波动小．
（3）估计乙加工该种零件30天出现次品多少件？
24．（10分）市政规划出一块矩形土地用于某项目开发，其中AB＝100m，BC＝180m，设计分区如图所示，E为矩形内一点，作EG⊥AD于点G，EH∥BC交AB，CD于点F，H，过点H作HI∥BE交BC于点Ⅰ，其中丙区域用于主建筑区，其余各区域均用于不同种类绿化
（1）若点G是AD的中点，求BI的长；
（2）要求绿化占地面积不小于7500m2，规定乙区域面积为4500m2
①若将甲区域设计成正方形状，能否达到设计绿化要求？请说明理由；
②若主建筑丙区域不低于乙区域面积的，则AF的最大值为 m．（请直接写出答案）
25．（10分）已知：矩形ABCD，点O为对角线AC中点，点E为矩形外部一点，连接OE，BE，OE＝OC．
（1）如图1，求证：∠OEB+∠EBC＝∠CAD；
（2）如图2，设BE交AC于点F，AB＝BC，FO＝FE，求证：BEOA；
（3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点M，连接ME，OF＝1，AM，请直接写出ME的长．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
（3）若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．（3分）小华同学某体育项目5次测试的成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，这组数据的众数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据中数字10出现次数最多，有2次，
所以这组数据的众数为10．
故选：D．
【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
3．（3分）已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝x+2上，则y1、y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：当x＝﹣4时，y1＝﹣4+2＝﹣2；
当x＝2时，y2＝2+2＝4．
∵﹣2＜4，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
4．（3分）在 ABCD中，∠A＝30°，AD＝2，BD＝2，则 ABCD的面积是（ ）
A． B．2 C．4 D．2或4
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】过D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB＝2，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，AD＝2，
∴DEAD，AEAD＝3，
在Rt△BDE中，∵BD＝2，
∴BE2，
如图1，AB＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝4，
如图2，AB＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用，30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．4
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、2，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（3分）李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下来修车耽误了8分钟，为了按时到校，再次出发时李老师加快了速度，但仍保持匀速行进，最终准时到校．下面可表示李老师上班过程中行驶路程s与时间t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象；函数的概念．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】C
【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【解答】解：随着时间的增多，行进的路程也将增多，排除B，由于停下修车误了8分钟，此时时间在增多，而路程没有变化，排除A．后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数图象，首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间t和运动的路程s之间的关系采用排除法求解即可．
7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，再由直角三角形斜边上的中线性质得AD＝2OE＝4，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠AOD＝90°，
∵OE＝2，点E为线段AD的中点，
∴AD＝2OE＝4，
∴菱形的周长＝4AD＝4×4＝16，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，掌握菱形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AD的长是解题的关键．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，则正方形BCFG的面积为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由正方形面积和三角形面积得S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，再由勾股定理得a2﹣b2＝c2，则c2＝16，求出c＝4，然后求出b＝2，则a2＝b2+c2＝20，即可求解．
【解答】解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∵S1＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ，S2＝S正方形ACHI﹣S△ACJ，
∴S1﹣S2＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ﹣S正方形ACHI+S△ACJ＝S正方形BCFG﹣4﹣S正方形ACHI＝12，
∴S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，
即a2﹣b2＝16，
∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴a2﹣b2＝c2，
∴c2＝16，
∴c＝4（负值已舍去），
∴S△ABCbc＝2b＝4，
∴b＝2，
∴a2＝b2+c2＝16+22＝20，
∴正方形BCFG的面积为20，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和正方形的性质，求出c和b的值是解题的关键．
9．（3分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360
B．（15﹣x）（200+70x）＝1360
C．（15﹣x﹣9）（200﹣70x）＝1360
D．（15﹣x）（200﹣70x）＝1360
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】由售价及销售间的关系，可得出降价后每袋粽子的销售利润为（15﹣x﹣9），每天可售出（200+70x）袋，利用超市每天售出此种粽子的利润＝每袋的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为（15﹣x﹣9），每天可售出（200+70x）袋，
∴超市每天售出此种粽子的利润（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）已知一次函数y＝kx﹣2的图象经过点A，且y随x的增大而增大，则点A的坐标可以是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（2，﹣3）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据一次函数y随x的增大而增大，可知k＞0，分别将点代入y＝kx﹣2，求出k的值，即可确定．
【解答】解：根据题意，得k＞0，
将（﹣2，1）代入y＝kx﹣2，
得﹣2k﹣2＝1，
解得k，
故A选项不符合题意；
将点（﹣1，0）代入y＝kx﹣2，
得﹣k﹣2＝0，
解得k＝﹣2，
故B选项不符合题意；
将点（1，2）代入y＝kx﹣2，
得k﹣2＝2，
解得k＝4，
故C选项符合题意；
将点（2，﹣3）代入y＝kx﹣2，
得2k﹣2＝﹣3，
解得k，
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
11．（3分）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，点E，F分别在边AD，BC上，连接BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，翻折后点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连接GF．则下列结论中一定正确的是（ ）
A．EG∥HF B．FG＝FC C．∠EBD＝∠DFG D．GF⊥BC
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】由折叠得∠EGB＝∠FHD＝90°，得到EG∥HF，故A正确；由折叠得，FC＝FH，在△FGH中H≠FG，故FC≠FG，故B不正确；证明△ABE≌△CDF，AE＝CF，说明GF与BC不一定垂直，故D不正确；只有当GF∥CD时，即FG⊥BC时，∠EBD＝∠DFG，而GF与BC不一定垂直，故C不正确．
【解答】解：由折叠得，∠A＝∠EGB＝90°，∠C＝∠FHD＝90°，
∴∠EGB＝∠FHD，
∴EG∥HF，故A正确；
由折叠得，FC＝FH，
在△FGH中，∠FHD＝90°，
∴FH≠FG，
∴FC≠FG，故B不正确；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
由折叠得，∠ABE∠ABD，∠CDF∠CDB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴GF与BC不一定垂直，故D不正确；
若∠EBD＝∠DFG，
∵∠EBD＝∠BDF，
∴∠DFG＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠CDF，
∴∠DFG＝∠CDF，
∴FG∥CD，
∴FG⊥BC，而GF与BC不一定垂直，故C不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质的应用，三角形的全等的证明及性质的应用是解题关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点E、F．将菱形ABCD沿x轴向左平移m个单位，当点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜6 B．4≤m≤6 C．4＜m＜5 D．4≤m≤5
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点D的坐标，再根据直线解析式求出点D移动到EF上时的x的值，从而得到m的取值范围．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A（2，0），点B（0，1），
∴点D的坐标为（4，1），
当y＝1时，x+2＝1，
解得x＝﹣1，
∴点D向左移动1+4＝5时，点D在EF上，
∵点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），
∴4＜m＜5，
故选：C．
【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，比较简单，求出m的取值范围是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）要使二次根式有意义，x应该满足的条件是 x≥3 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥3．
【分析】根据二次根式有意义的条件列得不等式，解不等式即可．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14．（2分）有一个三角形的两边为6和8，要使它为直角三角形，则第三边为 10或 ．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况讨论：①若6是直角边，8是斜边，②若6和8是直角边，再利用勾股定理求出第三边．
【解答】解：①若6是直角边，8是斜边，那么第三边2；
②若6和8是直角边，那么第三边10，
故答案是2或10．
【点评】本题考查了勾股定理以及其逆定理．解题的关键是注意分情况讨论．
15．（2分）某超市销售A，B，C三种矿泉水，它们每瓶的单价依次是2元、3元、3.5元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 2.6 元．
【考点】加权平均数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】2.6．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是2×50%+3×30%+3.5×20%＝2.6（元），
故答案为：2.6．
【点评】本题考查了加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的方法解答．
16．（2分）直线y＝mx+n和直线y＝kx在同一坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式mx+n＞kx的解集是 x＜﹣1 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图形得出直线y＝mx+n和直线y＝kx的交点坐标，根据图象的特点和交点坐标即可得出答案．
【解答】解：∵由图象可知：直线y＝mx+n和直线y＝kx的交点坐标是（﹣1，﹣1），
∴关于x的不等式mx+n＞kx的解集是x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，通过做此题培养了学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较好，难度也适中．
17．（2分）三年前，王明父亲的年龄恰好是王明年龄的平方，若今年他们父子的年龄和为36，则王明今年的年龄是 8 岁．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】8．
【分析】设王明今年的年龄为x岁，则王明父亲的年龄为（x﹣3）2+3，由题意：今年他们父子的年龄和为36，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设王明今年的年龄为x岁，则王明父亲的年龄为（x﹣3）2+3，
由题意得：（x﹣3）2+3+x＝36，
解得：x1＝8，x2＝﹣3（不符合题意，舍去），
即王明今年的年龄为8岁，
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE＝8，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若点P、Q分别为DG、CE的中点，则PQ的长为 2 ．
【考点】三角形中位线定理；正方形的性质；勾股定理．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理、三角形的相似可以求得PH和QH的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长．
【解答】解：方法一：作QM⊥EF于点M，作PN⊥EF于点N，作QH⊥PN交PN的延长线于点H，如图所示，
∵正方形ABCD的边长为12，BE＝8，EF∥BC，点P、Q分别为DG、CE的中点，
∴DF＝4，CF＝8，EF＝12，
∴MQ＝4，PN＝2，MF＝6，
∵QM⊥EF，PN⊥EF，BE＝8，DF＝4，
∴△EGB∽△FGD，
∴，
即，
解得，FG＝4，
∴FN＝2，
∴MN＝6﹣2＝4，
∴QH＝4，
∵PH＝PN+QM，
∴PH＝6，
∴PQ，
故答案为：2．
方法二：取DF的中点M，连接PF，取CF的中点N，连接QN，作PH⊥QN于点H，
∵点P，点Q分别为DG、EC的中点，
∴PMGF，QNEF，
∵正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE＝8，过点E作EF∥BC，AD为对角线，
∴BE＝EG＝8，BE＝CF＝8，
∴GF＝4，
∴PM＝2，QN＝6，
∴MN＝PH＝6，QH＝QN﹣HN＝4，
∴PQ，
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）解方程：（2x﹣1）2＝4（2x﹣1）x．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1，x2．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（2x﹣1）2＝4（2x﹣1）x，
∴（2x﹣1）2﹣4（2x﹣1）x＝0，
则（2x﹣1）（﹣2x﹣1）＝0，
∴2x﹣1＝0或﹣2x﹣1＝0，
解得x1，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．
20．（6分）计算：
（1）（23）；
（2）（2）（2）+（2）2．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）15+4．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并，然后分母有理化即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝（89）
；
（2）原式＝5﹣4+2+412
＝15+4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
21．（10分）如图所示，△ABC是等腰三角形，其中AB＝AC，D为AC中点．
（1）作外角∠EAC的角平分线AM（尺规作图）；
（2）延长BD交AM于F点，连接FC，证明：四边形ABCF是平行四边形．
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质；平行四边形的判定．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作图见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）利用基本作图作∠CAE的平分线即可；
（2）通过证明△ADF≌△CDB得到DF＝DB，然后根据对角线互相平分的四边形的平行四边形得到结论．
【解答】（1）解：如图，AM为所作；
（2）证明：∵AM平分∠CAE，
∴∠EAM＝∠CAM，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠CAE＝∠ABC+∠ACB，
即∠EAM+∠CAM＝∠ABC+∠ACB，
∴∠CAM＝∠ACB，
∵D为AC中点，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDB中，
，
∴△ADF≌△CDB（ASA），
∴DF＝DB，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCF是平行四边形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和平行四边形的判定．
22．（10分）不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）3x2﹣x+1＝0；
（3）5x2+4x﹣1＝0；
（4）2x（2﹣x）＝3．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程没有实数根；
（3）方程有两个不相等的实数根；
（4）方程没有实数根．
【分析】（1）（2）（3）先求出△的值，再进行判断即可；（4）先化为一般式，再求出△的值，最后进行判断即可．
【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣5）＝16+20＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵Δ＝（﹣1）2﹣4×3×1＝1﹣12＝﹣11＜0，
∴方程没有实数根；
（3）∵Δ＝42﹣4×5×（﹣1）＝16+20＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（4）原方程化一般式为2x2﹣4x+3＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝16﹣24＝﹣8＜0，
∴方程没有实数根．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键．
23．（10分）甲、乙两名工人同时加工同一种零件，现根据两人7天产品中每天出现的次品数情况绘制成如下不完整的统计图和表，依据图、表信息，解答下列问题：
相关统计量表：
量数 人 众数 中位数 平均数 方差
甲 2 2 2
乙 1 1 1
次品数量统计表：
天数 人 1 2 3 4 5 6 7
甲 2 2 0 3 1 2 4
乙 1 0 2 1 1 0 2
（1）补全图、表．
（2）判断谁出现次品的波动小．
（3）估计乙加工该种零件30天出现次品多少件？
【考点】折线统计图；算术平均数；中位数；众数；方差；用样本估计总体．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义分别进行计算，即可补全统计图和统计表；
（2）根据方差的意义进行判断，方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小，即可得出答案；
（3）根据图表中乙的平均数是1，即可求出乙加工该种零件30天出现次品件数．
【解答】解：（1）：从图表（2）可以看出，甲的第一天是2，
则2出现了3次，出现的次数最多，众数是2，
把这组数据从小到大排列为0，1，2，2，2，3，4，最中间的数是2，
则中位数是2；
乙的平均数是1，则乙的第7天的数量是1×7﹣1﹣0﹣2﹣1﹣1﹣0＝2；
填表和补图如下：
量数 人 众数 中位数 平均数 方差
甲 2 2 2
乙 1 1 1
次品数量统计表：
天数 人 1 2 3 4 5 6 7
甲 2 2 0 3 1 2 4
乙 1 0 2 1 1 0 2
（2）∵S甲2，S乙2，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙出现次品的波动小．
（3）∵乙的平均数是1，
∴30天出现次品是1×30＝30（件）．
【点评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是平均数、众数、中位数、方差的意义、用样本估计总体；读懂折线统计图和图表，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
24．（10分）市政规划出一块矩形土地用于某项目开发，其中AB＝100m，BC＝180m，设计分区如图所示，E为矩形内一点，作EG⊥AD于点G，EH∥BC交AB，CD于点F，H，过点H作HI∥BE交BC于点Ⅰ，其中丙区域用于主建筑区，其余各区域均用于不同种类绿化
（1）若点G是AD的中点，求BI的长；
（2）要求绿化占地面积不小于7500m2，规定乙区域面积为4500m2
①若将甲区域设计成正方形状，能否达到设计绿化要求？请说明理由；
②若主建筑丙区域不低于乙区域面积的，则AF的最大值为 40 m．（请直接写出答案）
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由矩形的性质得出AD＝BC＝180m，AB∥CD，AD∥BC，证出四边形AFEG和四边形DGEH是矩形，四边形BIHE是平行四边形，得出AG＝EF，DG＝EH，EH＝BI，求出DGAD＝90m，即可得出答案；
（2）①设正方形AFEG的边长为xm，由题意得出方程x2+2x×（100﹣x）+4500≥7500，解得x≥30，即可得出答案；
②设AF＝xm，由题意得出EHm，得出方程（100﹣x）4500，解得x≤40，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝180m，AB∥CD，AD∥BC，
∵EG⊥AD，EH∥BC，HI∥BE，
∴四边形AFEG和四边形DGEH是矩形，四边形BIHE是平行四边形，
∴AG＝EF，DG＝EH，EH＝BI，
∵点G是AD的中点，
∴DGAD＝90m，
∴BI＝EH＝DG＝90m；
（2）①设正方形AFEG的边长为xm，
由题意得：x2+2x×（100﹣x）+4500≥7500，
解得：x≥30，
当x＝30时，EH150，
则EF＝180﹣150＝30，符合要求；
∴若将甲区域设计成正方形形状，能达到设计绿化要求；
②设AF＝xm，则EHm，
由题意得：（100﹣x）4500，
解得：x≤40，即AF≤40m，
即AF的最大值为40m，
故答案为：40．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程好分式方程是解题的关键．
25．（10分）已知：矩形ABCD，点O为对角线AC中点，点E为矩形外部一点，连接OE，BE，OE＝OC．
（1）如图1，求证：∠OEB+∠EBC＝∠CAD；
（2）如图2，设BE交AC于点F，AB＝BC，FO＝FE，求证：BEOA；
（3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点M，连接ME，OF＝1，AM，请直接写出ME的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）．
【分析】（1）连接OB，根据矩形性质，结合已知条件可得结论；
（2）连接DF，根据AB＝BC，可得矩形ABCD是正方形，证明OE是三角形BDE的中线，可得Rt△ODF≌Rt△EDF证明△ODE是等边三角形，进而可得结论；
（3）设BE与DC交于点Q，设CQ＝x，DQx，由△BQC∽△DQE，可得QEx，根据勾股定理求出x的值，过点E作EP⊥AD延长线于点P，利用锐角三角形和勾股定理列式计算即可求出ME的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OB，
在矩形ABCD中，OB＝OC，
∴OE＝OC＝OB，
∴∠E＝∠OBE，
∴∠OEB+∠EBC＝∠OBE+∠EBC＝∠OBC，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OEB+∠EBC＝∠CAD；
（2）证明：如图2，连接DF，DB，DE，
∵AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形，
∴OE＝OCACBD，
∵O是BD的中点，
∴OE是三角形BDE的中线，且OEBD，
∴△BDE是直角三角形，
在Rt△ODF和Rt△EDF中，
，
∴Rt△ODF≌Rt△EDF（HL），
∴OD＝DE，
∵OE＝OD，
∴OD＝OE＝DE，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠DBE＝90°﹣∠ODE＝30°，
∴BEDE，
∵OEACBD，
∴BEOA；
（3）解：如图3，设BE与DC交于点Q，
∵OF＝1，∠FOE＝∠FEO＝30°，
∴OE，
∴BD＝2OE＝2，
∴AD＝DCBD2，
设CQ＝x，
∴DQx，
∵∠DEB＝∠DCB＝90°，∠BQC＝∠DQE，
∴△BQC∽△DQE，
∴，
∴QEx，
在Rt△DQE中，根据勾股定理，得
DQ2＝DE2+QE2，
∴（x）2＝（）2+（x）2，
解得x＝23（负值舍去），
过点E作EP⊥AD延长线于点P，
∵△BQC∽△DQE，CD⊥AD，
∴∠QBC＝∠QDE，且PE∥CD，
∴sin∠QBC＝sin∠QDE，
∵BQ，
∴sin∠QBC＝sin∠DEP，
∵DE，
∴DP＝DE×sin∠DEP，
∵MP＝MD+DP，
∵PE，
∴ME．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，一元二次方程，勾股定理等知识，综合运用以上知识并正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
（3）若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】综合题；动点型；分类讨论；方程思想；待定系数法；一次函数及其应用；多边形与平行四边形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝2x+4；
（2）4；
（3）（0，﹣2）或（0，10）．
【分析】（1）设OB＝OC＝m，由S△ABC＝12，得m （m+2）＝12，可得B（0，4），设直线AB解析式为y＝kx+b，有，即得直线AB解析式为y＝2x+4；
（2）将直线ABy＝2x+4向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x﹣2，可得E（0，﹣2），垂线l2的解析式为y＝﹣2，由B（0，4），C（4，0），得直线BC解析式为y＝﹣x+4，从而可求得D（2，2），作D关于y轴的对称点D'，作D关于直线y＝﹣2对称点D''，连接D'D''交y轴于P，交直线y＝﹣2于Q，此时PD+PQ+DQ的最小，根据D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），得直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2，从而P（0，﹣2），Q（0，﹣2），故此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，PD+PQ+DQ的最小值为4．
（3）设P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），①以AD、MN为对角线，此时AD中点即为MN中点，得，解得N（0，﹣2）；②以AM、DN为对角线，同理可得N（0，10）；③以AN、DM为对角线，同理可得N（0，﹣2）．
【解答】解：（1）设OB＝OC＝m，
∵OA＝2，
∴AC＝m+2，A（﹣2，0），
∵S△ABC＝12，
∴AC OB＝12，即m （m+2）＝12，
解得m＝4或m＝﹣6（舍去），
∴OB＝OC＝4，
∴B（0，4），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB解析式为y＝2x+4；
（2）将直线ABy＝2x+4向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，
∴E（0，﹣2），垂线l2的解析式为y＝﹣2，
∵B（0，4），C（4，0），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
由得：，
∴D（2，2），
作D关于y轴的对称点D'，作D关于直线y＝﹣2对称点D''，连接D'D''交y轴于P，交直线y＝﹣2于Q，此时PD+PQ+DQ的最小，如图：
∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），
设直线D'D''解析式为y＝sx+t，
则，解得，
∴直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），
令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），
∴此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，
∴PD+PQ+DQ的最小值为4．
（3）存在，理由如下：
设P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），
①以AD、MN为对角线，如图：
此时AD中点即为MN中点，
∴，解得，
∴N（0，﹣2）；
②以AM、DN为对角线，如图：
同理可得：，解得，
∴N（0，10）；
③以AN、DM为对角线，如图：
同理可得，解得，
∴N（0，﹣2），
综上所述，以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．
【点评】本题考查一次函数及应用，涉及待定系数法、一次函数图象上点坐标特征、线段和的最小值、平行四边形等知识，解题的关键是应用平行四边形对角线互相平分，列方程组解决问题．
考点卡片
1．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
2．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
3．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
4．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
6．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
7．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
8．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
9．函数的概念
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
10．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
11．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
12．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
13．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
14．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
15．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
16．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
18．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
19．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
20．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
21．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
22．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
23．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
24．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
25．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
26．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
27．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
28．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
29．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
30．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量． ③根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
31．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
32．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
33．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
34．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
35．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）小华同学某体育项目5次测试的成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，这组数据的众数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（3分）已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝x+2上，则y1、y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较
4．（3分）在 ABCD中，∠A＝30°，AD＝2，BD＝2，则 ABCD的面积是（ ）
A． B．2 C．4 D．2或4
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．4
6．（3分）李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下来修车耽误了8分钟，为了按时到校，再次出发时李老师加快了速度，但仍保持匀速行进，最终准时到校．下面可表示李老师上班过程中行驶路程s与时间t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，则正方形BCFG的面积为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
9．（3分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360
B．（15﹣x）（200+70x）＝1360
C．（15﹣x﹣9）（200﹣70x）＝1360
D．（15﹣x）（200﹣70x）＝1360
10．（3分）已知一次函数y＝kx﹣2的图象经过点A，且y随x的增大而增大，则点A的坐标可以是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（2，﹣3）
11．（3分）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，点E，F分别在边AD，BC上，连接BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，翻折后点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连接GF．则下列结论中一定正确的是（ ）
A．EG∥HF B．FG＝FC C．∠EBD＝∠DFG D．GF⊥BC
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点E、F．将菱形ABCD沿x轴向左平移m个单位，当点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜6 B．4≤m≤6 C．4＜m＜5 D．4≤m≤5
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）要使二次根式有意义，x应该满足的条件是 ．
14．（2分）有一个三角形的两边为6和8，要使它为直角三角形，则第三边为 ．
15．（2分）某超市销售A，B，C三种矿泉水，它们每瓶的单价依次是2元、3元、3.5元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 元．
16．（2分）直线y＝mx+n和直线y＝kx在同一坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式mx+n＞kx的解集是 ．
17．（2分）三年前，王明父亲的年龄恰好是王明年龄的平方，若今年他们父子的年龄和为36，则王明今年的年龄是 岁．
18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE＝8，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若点P、Q分别为DG、CE的中点，则PQ的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）解方程：（2x﹣1）2＝4（2x﹣1）x．
20．（6分）计算：
（1）（23）；
（2）（2）（2）+（2）2．
21．（10分）如图所示，△ABC是等腰三角形，其中AB＝AC，D为AC中点．
（1）作外角∠EAC的角平分线AM（尺规作图）；
（2）延长BD交AM于F点，连接FC，证明：四边形ABCF是平行四边形．
22．（10分）不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）3x2﹣x+1＝0；
（3）5x2+4x﹣1＝0；
（4）2x（2﹣x）＝3．
23．（10分）甲、乙两名工人同时加工同一种零件，现根据两人7天产品中每天出现的次品数情况绘制成如下不完整的统计图和表，依据图、表信息，解答下列问题：
相关统计量表：
量数 人 众数 中位数 平均数 方差
甲 2
乙 1 1 1
次品数量统计表：
天数 人 1 2 3 4 5 6 7
甲 2 2 0 3 1 2 4
乙 1 0 2 1 1 0
（1）补全图、表．
（2）判断谁出现次品的波动小．
（3）估计乙加工该种零件30天出现次品多少件？
24．（10分）市政规划出一块矩形土地用于某项目开发，其中AB＝100m，BC＝180m，设计分区如图所示，E为矩形内一点，作EG⊥AD于点G，EH∥BC交AB，CD于点F，H，过点H作HI∥BE交BC于点Ⅰ，其中丙区域用于主建筑区，其余各区域均用于不同种类绿化
（1）若点G是AD的中点，求BI的长；
（2）要求绿化占地面积不小于7500m2，规定乙区域面积为4500m2
①若将甲区域设计成正方形状，能否达到设计绿化要求？请说明理由；
②若主建筑丙区域不低于乙区域面积的，则AF的最大值为 m．（请直接写出答案）
25．（10分）已知：矩形ABCD，点O为对角线AC中点，点E为矩形外部一点，连接OE，BE，OE＝OC．
（1）如图1，求证：∠OEB+∠EBC＝∠CAD；
（2）如图2，设BE交AC于点F，AB＝BC，FO＝FE，求证：BEOA；
（3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点M，连接ME，OF＝1，AM，请直接写出ME的长．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
（3）若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2024—2025学年上学期南宁初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．（3分）小华同学某体育项目5次测试的成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，这组数据的众数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据中数字10出现次数最多，有2次，
所以这组数据的众数为10．
故选：D．
【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
3．（3分）已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝x+2上，则y1、y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：当x＝﹣4时，y1＝﹣4+2＝﹣2；
当x＝2时，y2＝2+2＝4．
∵﹣2＜4，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
4．（3分）在 ABCD中，∠A＝30°，AD＝2，BD＝2，则 ABCD的面积是（ ）
A． B．2 C．4 D．2或4
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】过D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB＝2，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，AD＝2，
∴DEAD，AEAD＝3，
在Rt△BDE中，∵BD＝2，
∴BE2，
如图1，AB＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝4，
如图2，AB＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用，30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．4
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、2，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（3分）李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下来修车耽误了8分钟，为了按时到校，再次出发时李老师加快了速度，但仍保持匀速行进，最终准时到校．下面可表示李老师上班过程中行驶路程s与时间t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象；函数的概念．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】C
【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【解答】解：随着时间的增多，行进的路程也将增多，排除B，由于停下修车误了8分钟，此时时间在增多，而路程没有变化，排除A．后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数图象，首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间t和运动的路程s之间的关系采用排除法求解即可．
7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，再由直角三角形斜边上的中线性质得AD＝2OE＝4，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠AOD＝90°，
∵OE＝2，点E为线段AD的中点，
∴AD＝2OE＝4，
∴菱形的周长＝4AD＝4×4＝16，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，掌握菱形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AD的长是解题的关键．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，则正方形BCFG的面积为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由正方形面积和三角形面积得S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，再由勾股定理得a2﹣b2＝c2，则c2＝16，求出c＝4，然后求出b＝2，则a2＝b2+c2＝20，即可求解．
【解答】解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∵S1＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ，S2＝S正方形ACHI﹣S△ACJ，
∴S1﹣S2＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ﹣S正方形ACHI+S△ACJ＝S正方形BCFG﹣4﹣S正方形ACHI＝12，
∴S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，
即a2﹣b2＝16，
∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴a2﹣b2＝c2，
∴c2＝16，
∴c＝4（负值已舍去），
∴S△ABCbc＝2b＝4，
∴b＝2，
∴a2＝b2+c2＝16+22＝20，
∴正方形BCFG的面积为20，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和正方形的性质，求出c和b的值是解题的关键．
9．（3分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360
B．（15﹣x）（200+70x）＝1360
C．（15﹣x﹣9）（200﹣70x）＝1360
D．（15﹣x）（200﹣70x）＝1360
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】由售价及销售间的关系，可得出降价后每袋粽子的销售利润为（15﹣x﹣9），每天可售出（200+70x）袋，利用超市每天售出此种粽子的利润＝每袋的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为（15﹣x﹣9），每天可售出（200+70x）袋，
∴超市每天售出此种粽子的利润（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）已知一次函数y＝kx﹣2的图象经过点A，且y随x的增大而增大，则点A的坐标可以是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（2，﹣3）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据一次函数y随x的增大而增大，可知k＞0，分别将点代入y＝kx﹣2，求出k的值，即可确定．
【解答】解：根据题意，得k＞0，
将（﹣2，1）代入y＝kx﹣2，
得﹣2k﹣2＝1，
解得k，
故A选项不符合题意；
将点（﹣1，0）代入y＝kx﹣2，
得﹣k﹣2＝0，
解得k＝﹣2，
故B选项不符合题意；
将点（1，2）代入y＝kx﹣2，
得k﹣2＝2，
解得k＝4，
故C选项符合题意；
将点（2，﹣3）代入y＝kx﹣2，
得2k﹣2＝﹣3，
解得k，
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
11．（3分）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，点E，F分别在边AD，BC上，连接BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，翻折后点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连接GF．则下列结论中一定正确的是（ ）
A．EG∥HF B．FG＝FC C．∠EBD＝∠DFG D．GF⊥BC
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】由折叠得∠EGB＝∠FHD＝90°，得到EG∥HF，故A正确；由折叠得，FC＝FH，在△FGH中H≠FG，故FC≠FG，故B不正确；证明△ABE≌△CDF，AE＝CF，说明GF与BC不一定垂直，故D不正确；只有当GF∥CD时，即FG⊥BC时，∠EBD＝∠DFG，而GF与BC不一定垂直，故C不正确．
【解答】解：由折叠得，∠A＝∠EGB＝90°，∠C＝∠FHD＝90°，
∴∠EGB＝∠FHD，
∴EG∥HF，故A正确；
由折叠得，FC＝FH，
在△FGH中，∠FHD＝90°，
∴FH≠FG，
∴FC≠FG，故B不正确；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
由折叠得，∠ABE∠ABD，∠CDF∠CDB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴GF与BC不一定垂直，故D不正确；
若∠EBD＝∠DFG，
∵∠EBD＝∠BDF，
∴∠DFG＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠CDF，
∴∠DFG＝∠CDF，
∴FG∥CD，
∴FG⊥BC，而GF与BC不一定垂直，故C不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质的应用，三角形的全等的证明及性质的应用是解题关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点E、F．将菱形ABCD沿x轴向左平移m个单位，当点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜6 B．4≤m≤6 C．4＜m＜5 D．4≤m≤5
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点D的坐标，再根据直线解析式求出点D移动到EF上时的x的值，从而得到m的取值范围．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A（2，0），点B（0，1），
∴点D的坐标为（4，1），
当y＝1时，x+2＝1，
解得x＝﹣1，
∴点D向左移动1+4＝5时，点D在EF上，
∵点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），
∴4＜m＜5，
故选：C．
【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，比较简单，求出m的取值范围是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）要使二次根式有意义，x应该满足的条件是 x≥3 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥3．
【分析】根据二次根式有意义的条件列得不等式，解不等式即可．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14．（2分）有一个三角形的两边为6和8，要使它为直角三角形，则第三边为 10或 ．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况讨论：①若6是直角边，8是斜边，②若6和8是直角边，再利用勾股定理求出第三边．
【解答】解：①若6是直角边，8是斜边，那么第三边2；
②若6和8是直角边，那么第三边10，
故答案是2或10．
【点评】本题考查了勾股定理以及其逆定理．解题的关键是注意分情况讨论．
15．（2分）某超市销售A，B，C三种矿泉水，它们每瓶的单价依次是2元、3元、3.5元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 2.6 元．
【考点】加权平均数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】2.6．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是2×50%+3×30%+3.5×20%＝2.6（元），
故答案为：2.6．
【点评】本题考查了加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的方法解答．
16．（2分）直线y＝mx+n和直线y＝kx在同一坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式mx+n＞kx的解集是 x＜﹣1 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图形得出直线y＝mx+n和直线y＝kx的交点坐标，根据图象的特点和交点坐标即可得出答案．
【解答】解：∵由图象可知：直线y＝mx+n和直线y＝kx的交点坐标是（﹣1，﹣1），
∴关于x的不等式mx+n＞kx的解集是x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，通过做此题培养了学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较好，难度也适中．
17．（2分）三年前，王明父亲的年龄恰好是王明年龄的平方，若今年他们父子的年龄和为36，则王明今年的年龄是 8 岁．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】8．
【分析】设王明今年的年龄为x岁，则王明父亲的年龄为（x﹣3）2+3，由题意：今年他们父子的年龄和为36，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设王明今年的年龄为x岁，则王明父亲的年龄为（x﹣3）2+3，
由题意得：（x﹣3）2+3+x＝36，
解得：x1＝8，x2＝﹣3（不符合题意，舍去），
即王明今年的年龄为8岁，
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE＝8，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若点P、Q分别为DG、CE的中点，则PQ的长为 2 ．
【考点】三角形中位线定理；正方形的性质；勾股定理．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理、三角形的相似可以求得PH和QH的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长．
【解答】解：方法一：作QM⊥EF于点M，作PN⊥EF于点N，作QH⊥PN交PN的延长线于点H，如图所示，
∵正方形ABCD的边长为12，BE＝8，EF∥BC，点P、Q分别为DG、CE的中点，
∴DF＝4，CF＝8，EF＝12，
∴MQ＝4，PN＝2，MF＝6，
∵QM⊥EF，PN⊥EF，BE＝8，DF＝4，
∴△EGB∽△FGD，
∴，
即，
解得，FG＝4，
∴FN＝2，
∴MN＝6﹣2＝4，
∴QH＝4，
∵PH＝PN+QM，
∴PH＝6，
∴PQ，
故答案为：2．
方法二：取DF的中点M，连接PF，取CF的中点N，连接QN，作PH⊥QN于点H，
∵点P，点Q分别为DG、EC的中点，
∴PMGF，QNEF，
∵正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE＝8，过点E作EF∥BC，AD为对角线，
∴BE＝EG＝8，BE＝CF＝8，
∴GF＝4，
∴PM＝2，QN＝6，
∴MN＝PH＝6，QH＝QN﹣HN＝4，
∴PQ，
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）解方程：（2x﹣1）2＝4（2x﹣1）x．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1，x2．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（2x﹣1）2＝4（2x﹣1）x，
∴（2x﹣1）2﹣4（2x﹣1）x＝0，
则（2x﹣1）（﹣2x﹣1）＝0，
∴2x﹣1＝0或﹣2x﹣1＝0，
解得x1，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．
20．（6分）计算：
（1）（23）；
（2）（2）（2）+（2）2．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）15+4．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并，然后分母有理化即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝（89）
；
（2）原式＝5﹣4+2+412
＝15+4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
21．（10分）如图所示，△ABC是等腰三角形，其中AB＝AC，D为AC中点．
（1）作外角∠EAC的角平分线AM（尺规作图）；
（2）延长BD交AM于F点，连接FC，证明：四边形ABCF是平行四边形．
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质；平行四边形的判定．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作图见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）利用基本作图作∠CAE的平分线即可；
（2）通过证明△ADF≌△CDB得到DF＝DB，然后根据对角线互相平分的四边形的平行四边形得到结论．
【解答】（1）解：如图，AM为所作；
（2）证明：∵AM平分∠CAE，
∴∠EAM＝∠CAM，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠CAE＝∠ABC+∠ACB，
即∠EAM+∠CAM＝∠ABC+∠ACB，
∴∠CAM＝∠ACB，
∵D为AC中点，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDB中，
，
∴△ADF≌△CDB（ASA），
∴DF＝DB，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCF是平行四边形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和平行四边形的判定．
22．（10分）不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）3x2﹣x+1＝0；
（3）5x2+4x﹣1＝0；
（4）2x（2﹣x）＝3．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程没有实数根；
（3）方程有两个不相等的实数根；
（4）方程没有实数根．
【分析】（1）（2）（3）先求出△的值，再进行判断即可；（4）先化为一般式，再求出△的值，最后进行判断即可．
【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣5）＝16+20＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵Δ＝（﹣1）2﹣4×3×1＝1﹣12＝﹣11＜0，
∴方程没有实数根；
（3）∵Δ＝42﹣4×5×（﹣1）＝16+20＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（4）原方程化一般式为2x2﹣4x+3＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝16﹣24＝﹣8＜0，
∴方程没有实数根．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键．
23．（10分）甲、乙两名工人同时加工同一种零件，现根据两人7天产品中每天出现的次品数情况绘制成如下不完整的统计图和表，依据图、表信息，解答下列问题：
相关统计量表：
量数 人 众数 中位数 平均数 方差
甲 2 2 2
乙 1 1 1
次品数量统计表：
天数 人 1 2 3 4 5 6 7
甲 2 2 0 3 1 2 4
乙 1 0 2 1 1 0 2
（1）补全图、表．
（2）判断谁出现次品的波动小．
（3）估计乙加工该种零件30天出现次品多少件？
【考点】折线统计图；算术平均数；中位数；众数；方差；用样本估计总体．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义分别进行计算，即可补全统计图和统计表；
（2）根据方差的意义进行判断，方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小，即可得出答案；
（3）根据图表中乙的平均数是1，即可求出乙加工该种零件30天出现次品件数．
【解答】解：（1）：从图表（2）可以看出，甲的第一天是2，
则2出现了3次，出现的次数最多，众数是2，
把这组数据从小到大排列为0，1，2，2，2，3，4，最中间的数是2，
则中位数是2；
乙的平均数是1，则乙的第7天的数量是1×7﹣1﹣0﹣2﹣1﹣1﹣0＝2；
填表和补图如下：
量数 人 众数 中位数 平均数 方差
甲 2 2 2
乙 1 1 1
次品数量统计表：
天数 人 1 2 3 4 5 6 7
甲 2 2 0 3 1 2 4
乙 1 0 2 1 1 0 2
（2）∵S甲2，S乙2，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙出现次品的波动小．
（3）∵乙的平均数是1，
∴30天出现次品是1×30＝30（件）．
【点评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是平均数、众数、中位数、方差的意义、用样本估计总体；读懂折线统计图和图表，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
24．（10分）市政规划出一块矩形土地用于某项目开发，其中AB＝100m，BC＝180m，设计分区如图所示，E为矩形内一点，作EG⊥AD于点G，EH∥BC交AB，CD于点F，H，过点H作HI∥BE交BC于点Ⅰ，其中丙区域用于主建筑区，其余各区域均用于不同种类绿化
（1）若点G是AD的中点，求BI的长；
（2）要求绿化占地面积不小于7500m2，规定乙区域面积为4500m2
①若将甲区域设计成正方形状，能否达到设计绿化要求？请说明理由；
②若主建筑丙区域不低于乙区域面积的，则AF的最大值为 40 m．（请直接写出答案）
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由矩形的性质得出AD＝BC＝180m，AB∥CD，AD∥BC，证出四边形AFEG和四边形DGEH是矩形，四边形BIHE是平行四边形，得出AG＝EF，DG＝EH，EH＝BI，求出DGAD＝90m，即可得出答案；
（2）①设正方形AFEG的边长为xm，由题意得出方程x2+2x×（100﹣x）+4500≥7500，解得x≥30，即可得出答案；
②设AF＝xm，由题意得出EHm，得出方程（100﹣x）4500，解得x≤40，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝180m，AB∥CD，AD∥BC，
∵EG⊥AD，EH∥BC，HI∥BE，
∴四边形AFEG和四边形DGEH是矩形，四边形BIHE是平行四边形，
∴AG＝EF，DG＝EH，EH＝BI，
∵点G是AD的中点，
∴DGAD＝90m，
∴BI＝EH＝DG＝90m；
（2）①设正方形AFEG的边长为xm，
由题意得：x2+2x×（100﹣x）+4500≥7500，
解得：x≥30，
当x＝30时，EH150，
则EF＝180﹣150＝30，符合要求；
∴若将甲区域设计成正方形形状，能达到设计绿化要求；
②设AF＝xm，则EHm，
由题意得：（100﹣x）4500，
解得：x≤40，即AF≤40m，
即AF的最大值为40m，
故答案为：40．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程好分式方程是解题的关键．
25．（10分）已知：矩形ABCD，点O为对角线AC中点，点E为矩形外部一点，连接OE，BE，OE＝OC．
（1）如图1，求证：∠OEB+∠EBC＝∠CAD；
（2）如图2，设BE交AC于点F，AB＝BC，FO＝FE，求证：BEOA；
（3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点M，连接ME，OF＝1，AM，请直接写出ME的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）．
【分析】（1）连接OB，根据矩形性质，结合已知条件可得结论；
（2）连接DF，根据AB＝BC，可得矩形ABCD是正方形，证明OE是三角形BDE的中线，可得Rt△ODF≌Rt△EDF证明△ODE是等边三角形，进而可得结论；
（3）设BE与DC交于点Q，设CQ＝x，DQx，由△BQC∽△DQE，可得QEx，根据勾股定理求出x的值，过点E作EP⊥AD延长线于点P，利用锐角三角形和勾股定理列式计算即可求出ME的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OB，
在矩形ABCD中，OB＝OC，
∴OE＝OC＝OB，
∴∠E＝∠OBE，
∴∠OEB+∠EBC＝∠OBE+∠EBC＝∠OBC，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OEB+∠EBC＝∠CAD；
（2）证明：如图2，连接DF，DB，DE，
∵AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形，
∴OE＝OCACBD，
∵O是BD的中点，
∴OE是三角形BDE的中线，且OEBD，
∴△BDE是直角三角形，
在Rt△ODF和Rt△EDF中，
，
∴Rt△ODF≌Rt△EDF（HL），
∴OD＝DE，
∵OE＝OD，
∴OD＝OE＝DE，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠DBE＝90°﹣∠ODE＝30°，
∴BEDE，
∵OEACBD，
∴BEOA；
（3）解：如图3，设BE与DC交于点Q，
∵OF＝1，∠FOE＝∠FEO＝30°，
∴OE，
∴BD＝2OE＝2，
∴AD＝DCBD2，
设CQ＝x，
∴DQx，
∵∠DEB＝∠DCB＝90°，∠BQC＝∠DQE，
∴△BQC∽△DQE，
∴，
∴QEx，
在Rt△DQE中，根据勾股定理，得
DQ2＝DE2+QE2，
∴（x）2＝（）2+（x）2，
解得x＝23（负值舍去），
过点E作EP⊥AD延长线于点P，
∵△BQC∽△DQE，CD⊥AD，
∴∠QBC＝∠QDE，且PE∥CD，
∴sin∠QBC＝sin∠QDE，
∵BQ，
∴sin∠QBC＝sin∠DEP，
∵DE，
∴DP＝DE×sin∠DEP，
∵MP＝MD+DP，
∵PE，
∴ME．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，一元二次方程，勾股定理等知识，综合运用以上知识并正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
（3）若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】综合题；动点型；分类讨论；方程思想；待定系数法；一次函数及其应用；多边形与平行四边形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝2x+4；
（2）4；
（3）（0，﹣2）或（0，10）．
【分析】（1）设OB＝OC＝m，由S△ABC＝12，得m （m+2）＝12，可得B（0，4），设直线AB解析式为y＝kx+b，有，即得直线AB解析式为y＝2x+4；
（2）将直线ABy＝2x+4向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x﹣2，可得E（0，﹣2），垂线l2的解析式为y＝﹣2，由B（0，4），C（4，0），得直线BC解析式为y＝﹣x+4，从而可求得D（2，2），作D关于y轴的对称点D'，作D关于直线y＝﹣2对称点D''，连接D'D''交y轴于P，交直线y＝﹣2于Q，此时PD+PQ+DQ的最小，根据D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），得直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2，从而P（0，﹣2），Q（0，﹣2），故此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，PD+PQ+DQ的最小值为4．
（3）设P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），①以AD、MN为对角线，此时AD中点即为MN中点，得，解得N（0，﹣2）；②以AM、DN为对角线，同理可得N（0，10）；③以AN、DM为对角线，同理可得N（0，﹣2）．
【解答】解：（1）设OB＝OC＝m，
∵OA＝2，
∴AC＝m+2，A（﹣2，0），
∵S△ABC＝12，
∴AC OB＝12，即m （m+2）＝12，
解得m＝4或m＝﹣6（舍去），
∴OB＝OC＝4，
∴B（0，4），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB解析式为y＝2x+4；
（2）将直线ABy＝2x+4向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，
∴E（0，﹣2），垂线l2的解析式为y＝﹣2，
∵B（0，4），C（4，0），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
由得：，
∴D（2，2），
作D关于y轴的对称点D'，作D关于直线y＝﹣2对称点D''，连接D'D''交y轴于P，交直线y＝﹣2于Q，此时PD+PQ+DQ的最小，如图：
∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），
设直线D'D''解析式为y＝sx+t，
则，解得，
∴直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），
令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），
∴此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，
∴PD+PQ+DQ的最小值为4．
（3）存在，理由如下：
设P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），
①以AD、MN为对角线，如图：
此时AD中点即为MN中点，
∴，解得，
∴N（0，﹣2）；
②以AM、DN为对角线，如图：
同理可得：，解得，
∴N（0，10）；
③以AN、DM为对角线，如图：
同理可得，解得，
∴N（0，﹣2），
综上所述，以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．
【点评】本题考查一次函数及应用，涉及待定系数法、一次函数图象上点坐标特征、线段和的最小值、平行四边形等知识，解题的关键是应用平行四边形对角线互相平分，列方程组解决问题．
考点卡片
1．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
2．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
3．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
4．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
6．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
7．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
8．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
9．函数的概念
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
10．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
11．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
12．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
13．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
14．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
15．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
16．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
18．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
19．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
20．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
21．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
22．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
23．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
24．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
25．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
26．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
27．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
28．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
29．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
30．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量． ③根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
31．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
32．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
33．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
34．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
35．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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