2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 487.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:36:11 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知二次函数y＝x2﹣ax，当﹣1≤x≤2时，y的最小值为﹣2，则a的值为（ ）
A．或﹣3 B．3或﹣3 C．或 D．
3．（3分）如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．130° B．125° C．100° D．80°
4．（3分）从0，π，，这四个数中随机取出一个数，取出的数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B． C．∠C＝∠AED D．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转106°，得到△AB1C1，若点C1在线段CB的延长线上，则∠CC1B1的大小为（ ）
A．37° B．69° C．74° D．76°
7．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B．BC是⊙O的直径，连结AC，若AC＝1，BC，则PA＝（ ）
A． B．2 C． D．
8．（3分）如图，点D是△ABC边AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）二次函数y＝﹣x2的图象是（ ）
A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不确定
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），AB，则线段CD长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．
11．（3分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度） （0≤x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．37.5° B．40° C．52.5° D．55°
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：
①abc＞0；
②2c＜3b；
③若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2；
④当△ABD是等腰直角三角形时，则a；
⑤若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2＜3．
其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）圆内接正方形的边长为3，则该圆的直径长为 ．
14．（3分）我校要从张、王、李、赵4名优秀学生选手中随机选派2人参加市教育局举办的“爱我中华”演讲比赛，则张、李两位学生同时被选中的概率为 ．
15．（3分）若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的母线长为 cm．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），点B（0，m）是y轴正半轴上一动点，以AB为一边向右作矩形ABCD，且AB：BC＝3：4，当点B运动时，点C也随之运动．当点C落在x轴上时，m的值为 ；运动过程中，线段OC长的最小值为 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点B、C．
（1）点B的坐标为 ．
（2）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B均在格点上，∠BAC＝26°，经过A，B，C三点的圆的半径为．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠BPC＝38°，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）已知x＝﹣1是方程x2+bx＝﹣9的一个根，求常数b的值及该方程的另一根．
20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是上一动点（不与点B、C重合），OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，连接OC、OD、EF．已知AB＝4．
（1）求证：①∠EOF＝45°；②∠ODE＝∠OFE；
（2）当D是的中点时，求出△DOF面积．
21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果DE＝2，tanC，求⊙O的半径．
22．（10分）要建一个如图所示的面积为300m2的长方形围栏ABCD，围栏总长50m，一边靠墙（墙长25m）．
（1）求围栏的一边AB的长；
（2）能否围成面积为400m2的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽、如果不能请说明理由．
23．（10分）湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题．
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的．
素材二 一般采用的是长方体包装盒．
（1）任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率；
（2）任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为80cm的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长．
24．（10分）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M．
（1）如图1，若AB⊥DE于点N，则∠CAF的度数是 ，∠EMC的度数是 ；
（2）如图2，请你猜想并写出∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由；
（3）请你总结（1），（2）的思路，在图3中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？请直接写出数量关系．
25．（10分）二次函数的性质
一般式y＝ax2+bx+c 顶点式y＝a（x﹣h）2+k
开口方向 a＞0
a＜0
顶点坐标
对称轴 直线x 直线x＝h
最大（小）值 a＞0 当x时，y最小值 当x＝h时，y最小值＝k
a＜0 当x时，y最大值 当x＝h时，y最大值＝k
增减性 a＞0 当x时，y的值随x的增大而 ；当x时，y的值随x的增大而 . 当x＜h时，y的值随x的增大而 ；当x＞h时，y的值随x的增大而 .
a＜0 当x时，y的值随x的增大而 ；当x时，y的值随x的增大而 . 当x＜h时，y的值随x的增大而 ；当x＞h时，y的值随x的增大而 .
2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）已知二次函数y＝x2﹣ax，当﹣1≤x≤2时，y的最小值为﹣2，则a的值为（ ）
A．或﹣3 B．3或﹣3 C．或 D．
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据解析式求出二次函数的对称轴为直线x，然后分三种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣ax，
∴对称轴为直线x，开口向上，
①当时，a≤﹣2，
此时函数在x＝﹣1处取得最小值为﹣2，
∴1+a＝﹣2，
解得a＝﹣3，
②当﹣12时，﹣2＜a＜4，
此时函数的最小值在顶点处，即x，y＝﹣2，
∴a 2，
解得a＝2或﹣2（舍去），
③当2时，a≥4，
此时函数在x＝2处取得最小值为﹣2，
∴4﹣2a＝﹣2，
解得a＝3（舍去）．
综上a的值为﹣3或2．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，对对称轴进行分类讨论是解题关键．
3．（3分）如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．130° B．125° C．100° D．80°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】首先在上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．
【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，
∵∠AOC＝100°，
∴∠ADC∠AOC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
4．（3分）从0，π，，这四个数中随机取出一个数，取出的数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【答案】D
【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵0，π，，这四个数中无理数有2个，
∴随机取出一个数，取出的数是无理数的概率．
故选：D．
【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．
5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B． C．∠C＝∠AED D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据∠1＝∠2得出∠BAC＝∠DAE，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE．
A、∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B、∵，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C、∵∠C＝∠AED，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D、∵，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转106°，得到△AB1C1，若点C1在线段CB的延长线上，则∠CC1B1的大小为（ ）
A．37° B．69° C．74° D．76°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质求出∠CC1A和∠AC1B1的度数即可解决问题．
【解答】解：根据旋转的性质可知∠CAC1＝106°，AC＝AC1，∠ACB＝∠AC1B1．
∵点C1在线段CB的延长线上，
∴∠CC1A＝∠ACB＝37°．
∴∠AC1B1＝37°．
∴∠CC1B1＝∠CC1A+∠AC1B1＝37°+37°＝74°．
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质由旋转的性质求出∠AC1B1的度数是解题的关键．
7．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B．BC是⊙O的直径，连结AC，若AC＝1，BC，则PA＝（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OP，根据圆周角定理得到∠CAB＝90°，根据勾股定理求出AB，根据切线的性质、平行线的性质得出∠POB＝∠ACB，根据正切的定义计算，得到答案．
【解答】解：连接OP，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∵AC＝1，BC，
∴AB2，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴CB⊥PB，PA＝PB，
∴∠POB＝∠ACB，
∴tan∠POB＝tan∠ACB＝2，
∴2，即2，
解得：PB，
∴PA，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
8．（3分）如图，点D是△ABC边AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】由相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，，，△ADE∽△ABC，
∴DE＝BF，，，
∴，
则A、C、D不符合题意，B符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
9．（3分）二次函数y＝﹣x2的图象是（ ）
A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不确定
【考点】二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象特征进行判断即可求解．
【解答】解：由题意得
二次函数y＝﹣x2的图象是抛物线；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象特征，理解特征是解题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），AB，则线段CD长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意求出位似比，根据位似比计算即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），
∴线段AB与线段CD的位似比为1：2，
∵AB，
∴CD＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据题意求出位似比是解题的关键．
11．（3分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度） （0≤x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．37.5° B．40° C．52.5° D．55°
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
该函数的对称轴x且x＜50，
∴37.5＜x＜50，
∴此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：
①abc＞0；
②2c＜3b；
③若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2；
④当△ABD是等腰直角三角形时，则a；
⑤若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2＜3．
其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；等腰直角三角形；根的判别式；根与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据图象可知a＞0，b＜0，c＜0，即可判断①；根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），可知二次函数的对称轴为直线x＝1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得解析式，即可判断②；利用抛物线的对称性即可判断可判断③；根据图象AD＝BD，顶点坐标，判断④；由题意可知x1，x2是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝4的两个交点的横坐标，根据图象即可判断⑤．
【解答】解：①由图象可知a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∴②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，二次函数的对称轴为直线x1，
∴2a+b＝0．
∴b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②不正确；
③若bx1bx2且x1≠x2，则抛物线上的点（x1，y1），（x2，y2）关于对称轴对称，
∴，
∴x1+x2＝2；故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a．故④正确；
⑤若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2，
则x1，x2是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝4的两个交点的横坐标，
由图象可知x1＜﹣1＜，x2＞3．故⑤不正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）圆内接正方形的边长为3，则该圆的直径长为 3 ．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BD，利用圆周角定理得到BD是圆的直径，然后根据边长利用勾股定理求得直径的长即可．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠C＝90°，BC＝DC，
∴BD是圆的直径，
∵BC＝3，
∴BD3，
故答案为：3．
【点评】该题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
14．（3分）我校要从张、王、李、赵4名优秀学生选手中随机选派2人参加市教育局举办的“爱我中华”演讲比赛，则张、李两位学生同时被选中的概率为 ．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与张、李两位学生同时被选中的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，张、李两位学生同时被选中的有2种情况，
∴张、李两位学生同时被选中的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的母线长为 4 cm．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】4．
【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．
【解答】解：设母线长为l cm，
则2π×1
解得：l＝4．
故答案为：4．
【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），点B（0，m）是y轴正半轴上一动点，以AB为一边向右作矩形ABCD，且AB：BC＝3：4，当点B运动时，点C也随之运动．当点C落在x轴上时，m的值为 4 ；运动过程中，线段OC长的最小值为 ．
【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】4，．
【分析】（1）通过证明△ABO∽△BCO，即可求解；
（2）通过证明△ABO∽△BCH，可得BH＝4，CHm，由勾股定理和二次函数的性质可求解．
【解答】解：∵点A（﹣3，0），点B（0，m）
∴OA＝3，OB＝m，
如图，当点C落在x轴上时，∠BOC＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠OBC，
∴∠BAO＝∠CBO，
∴△ABO∽△BCO，
∴，
∴m＝4，
如图，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠CHB＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠OBC，
∴∠BAO＝∠CBO，
∴△ABO∽△BCH，
∴，
∴，
∴BH＝4，CHm，
∴OC，
当m时，OC有最小值为，
故答案为：4，．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点B、C．
（1）点B的坐标为 （2，2） ．
（2）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是 0＜a＜2 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】（1）B（2，2）；
（2）0＜a＜2．
【分析】（1）观察图象即可得到a＞0，求得对称轴为直线x＝1，即可求得BC＝2，即可求出点B的坐标；
（2）易求得c＝2，得到抛物线为y＝ax2﹣2ax+2，根据题意得到，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c开口向上，
∴a＞0．
∵对称轴为直线，且经过点B、C，
∴BC＝2，
∴正方形的边长为2，
∴B（2，2），
故答案为：B（2，2）；
（2）可求得点C坐标为（0，2），
∴c＝2．
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+2．
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，
∴，
解得0＜a＜2，
∴0＜a＜2．
故答案为：0＜a＜2．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，坐标与图形、二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质、解一元一次不等式组，根据题意得到关于a的不等式组是解题的关键．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B均在格点上，∠BAC＝26°，经过A，B，C三点的圆的半径为．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠BPC＝38°，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 如图，取格点O，连接OC并延长，取格点D，连接BD并延长，与OC的延长线相交于点P，则点P即为所求 ．
【考点】作图—复杂作图；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）作图见解析部分．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可．
（Ⅱ）如图，取格点O，连接OC并延长，取格点D，连接BD并延长，与OC的延长线相交于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AB．
（Ⅱ）如图，点P即为所求作．
故答案为：如图，取格点O，连接OC并延长，取格点D，连接BD并延长，与OC的延长线相交于点P，则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会利用切线的性质解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）已知x＝﹣1是方程x2+bx＝﹣9的一个根，求常数b的值及该方程的另一根．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】10，﹣9．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣1代入关于x的一元二次方程x2+bx＝﹣9，求得b的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的一元二次方程x2+bx＝﹣9的一个根是﹣1，
∴x＝﹣1满足关于x的一元二次方程x2+bx＝﹣9，
∴（﹣1）2﹣b+9＝0，
解得b＝10；
又由韦达定理知﹣1×x2＝9，
解得x2＝﹣9．
即方程的另一根是﹣9．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是上一动点（不与点B、C重合），OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，连接OC、OD、EF．已知AB＝4．
（1）求证：①∠EOF＝45°；②∠ODE＝∠OFE；
（2）当D是的中点时，求出△DOF面积．
【考点】圆周角定理；三角形中位线定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①根据圆周角定理得到∠ADC∠AOC＝45°，根据垂直的定义得到∠OED＝∠DFO＝90°，根据三角形的内角和得到结论；
②推出O，D，F，E四点共圆，根据圆周角定理得到∠ODE＝∠OFE；
（2）过C作CH⊥OD于H，由D是的中点，得到∠COD∠BOD＝45°，推出△OCH是等腰直角三角形，根据勾股定理得到CH，根据等腰三角形的性质得到CF＝DF，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）①∵AB是半圆O的直径，C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠ADC∠AOC＝45°，
∵OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，
∴∠OED＝∠DFO＝90°，
∴∠EGO＝∠DGF＝45°，
∴∠EOF＝45°；
②∵∠OED＝∠DFO＝90°，
∴O，D，F，E四点共圆，
∴∠ODE＝∠OFE；
（2）过C作CH⊥OD于H，
∵D是的中点，
∴∠COD∠BOD＝45°，
∴△OCH是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴OC＝2，
∴CH，
∵OF⊥CD，
∴CF＝DF，
∴S△ODFS△CODOD×CH．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果DE＝2，tanC，求⊙O的半径．
【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）2.5．
【分析】（1）由切线的性质可得DE⊥OD，由三角形中位线定理可得OD∥BC，可得结论；
（2）由锐角三角函数可求EC＝4，在Rt△DEC中，由勾股定理可求DC的长，由锐角三角函数可求BD的长，即可求解．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵AO＝OB，D是AC的中点，
∴OD∥BC．
∴DE⊥BC；
（2）连接DB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴DB⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∵D为AC中点，
∴AB＝BC，
在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，DE＝2，tanC，
∴，
∴DC，
在Rt△DCB中，∠BDC＝90°，
∴BD＝DC tanC，
∴BC5，
∴AB＝BC＝5，
∴⊙O的半径为2.5．
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
22．（10分）要建一个如图所示的面积为300m2的长方形围栏ABCD，围栏总长50m，一边靠墙（墙长25m）．
（1）求围栏的一边AB的长；
（2）能否围成面积为400m2的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽、如果不能请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）围栏的一边AB为20米；
（2）即不能围成面积为400m2的长方形围栏．
【分析】（1）设围栏的边AD为x米，则围栏的另一边AB为（50﹣2x）米，根据“围栏的面积＝围栏长×宽”即可列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再根据长方形的长大于宽以及长方形的长小于墙的长度列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围，由此即可得出结论；
（2）假设能围成，设围栏的一边为y米，则围栏的另一边为（50﹣2y）米，根据“围栏的面积＝围栏长×宽”即可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＜0，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）设围栏的AD为x米，则AB＝（50﹣2x）米，
依题意得：x（50﹣2x）＝300，即2x2﹣50x+300＝（x﹣15）（2x﹣20）＝0，
解得：x＝10或x＝15，
∵，
解得：x，
∴x＝15，50﹣2x＝20．
答：围栏的另一边AB为20米．
（2）假设能围成，设围栏的一边为y米，则围栏的另一边为（50﹣2y）米，
依题意得：y（50﹣2y）＝400，即2y2﹣50y+400＝0，
∵Δ＝（﹣50）2﹣2×4×400＝﹣700＜0，
∴该方程没有实数根．
故假设不成立，即不能围成面积为400m2的长方形围栏．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程以及一元一次不等式组；（2）由根的判别式的正负得出方程解得情况．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，不仅仅列出方程解出方程，还需要根据隐含的条件列出不等式组，求出x的取值范围，此处是失分点，希望在日常练习中多加注意．
23．（10分）湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题．
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的．
素材二 一般采用的是长方体包装盒．
（1）任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率；
（2）任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为80cm的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长．
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为20%；
（2）折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有最大值，此时剪掉的正方形边长20cm．
【分析】（1）设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为x，根据“2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的”，列出一元二次方程，解方程取正值即可；
（2）设剪掉的正方形边长为m cm，由盒子的侧面积为y cm2，侧面积＝4个长方形面积，列出二次函数式，配方求最值即可．
【解答】解：（1）设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为x，
由题意得：50（1+x）2＝72，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
答：纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为20%；
（2）折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有最大值，理由如下：
设剪掉的正方形边长为m cm，盒子的侧面积为y cm2，
由题意得：y＝4m（80﹣2m）＝﹣8m2+320m＝﹣8（m﹣20）2+3200，
∴当m＝20时，y＝﹣8（m﹣20）2+3200有最大值，
∴此时剪掉的正方形边长20cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）正确列出二次函数关系式．
24．（10分）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M．
（1）如图1，若AB⊥DE于点N，则∠CAF的度数是 30° ，∠EMC的度数是 60° ；
（2）如图2，请你猜想并写出∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由；
（3）请你总结（1），（2）的思路，在图3中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？请直接写出数量关系．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）30°；60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由见解析；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由见解析．
【分析】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数；
（2）过C作CH∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）过B作BK∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
【解答】解：（1）过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，
∴∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，
∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AB⊥DE，
∴∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；
故答案为：30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：
证明：如图，
过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC＝∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：
证明：如图，
过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD＝∠KBM，
∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
【点评】本题是几何综合题，主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质进行推算．
25．（10分）二次函数的性质
一般式y＝ax2+bx+c 顶点式y＝a（x﹣h）2+k
开口方向 a＞0 开口向上 开口向上
a＜0 开口向下 开口向下
顶点坐标 （，） （h，k）
对称轴 直线x 直线x＝h
最大（小）值 a＞0 当x时，y最小值 当x＝h时，y最小值＝k
a＜0 当x时，y最大值 当x＝h时，y最大值＝k
增减性 a＞0 当x时，y的值随x的增大而 减小 ；当x时，y的值随x的增大而 增大 . 当x＜h时，y的值随x的增大而 减小 ；当x＞h时，y的值随x的增大而 增大 .
a＜0 当x时，y的值随x的增大而 增大 ；当x时，y的值随x的增大而 减小 . 当x＜h时，y的值随x的增大而 增大 ；当x＞h时，y的值随x的增大而 减小 .
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；二次函数的三种形式．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】开口向上，开口向上，开口向下，开口向下，（，），（h，k），减小，增大；减小，增大；增大，减小；增大，减小．
【分析】根据二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：二次函数的性质：
一般式y＝ax2+bx+c 顶点式y＝a（x﹣h）2+k
开口方向 a＞0 开口向上 开口向上
a＜0 开口向下 开口向下
顶点坐标 （，） （h，k）
对称轴 直线x 直线x＝h
最大（小）值 a＞0 当x时， y最小值 当x＝h时， y最小值＝k
a＜0 当x时， y最大值 当x＝h时， y最大值＝k
增减性 a＞0 当x时，y的值随x的增大而减小；当x时，y的值随x的增大而增大 当x＜h时，y的值随x的增大而减小；当x＞h时，y的值随x的增大而增大
a＜0 当x时，y的值随x的增大而增大；当x时，y的值随x的增大而减小 当x＜h时，y的值随x的增大而增大；当x＞h时，y的值随x的增大而减小
故答案为：开口向上，开口向上，开口向下，开口向下，（，），（h，k），减小，增大；减小，增大；增大，减小；增大，减小．
【点评】本题考查了二次函数性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
考点卡片
1．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
2．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
3．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
4．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
5．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
6．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
7．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
8．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
10．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
11．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
13．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
14．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
15．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
16．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
17．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
18．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
19．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
20．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
21．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
22．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
23．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
24．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
25．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
26．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧 2πr l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
27．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
28．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
29．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
30．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
31．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
32．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
33．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
34．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
35．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，cosA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
36．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
37．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知二次函数y＝x2﹣ax，当﹣1≤x≤2时，y的最小值为﹣2，则a的值为（ ）
A．或﹣3 B．3或﹣3 C．或 D．
3．（3分）如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．130° B．125° C．100° D．80°
4．（3分）从0，π，，这四个数中随机取出一个数，取出的数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B． C．∠C＝∠AED D．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转106°，得到△AB1C1，若点C1在线段CB的延长线上，则∠CC1B1的大小为（ ）
A．37° B．69° C．74° D．76°
7．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B．BC是⊙O的直径，连结AC，若AC＝1，BC，则PA＝（ ）
A． B．2 C． D．
8．（3分）如图，点D是△ABC边AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）二次函数y＝﹣x2的图象是（ ）
A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不确定
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），AB，则线段CD长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．
11．（3分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度） （0≤x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．37.5° B．40° C．52.5° D．55°
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：
①abc＞0；
②2c＜3b；
③若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2；
④当△ABD是等腰直角三角形时，则a；
⑤若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2＜3．
其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）圆内接正方形的边长为3，则该圆的直径长为 ．
14．（3分）我校要从张、王、李、赵4名优秀学生选手中随机选派2人参加市教育局举办的“爱我中华”演讲比赛，则张、李两位学生同时被选中的概率为 ．
15．（3分）若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的母线长为 cm．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），点B（0，m）是y轴正半轴上一动点，以AB为一边向右作矩形ABCD，且AB：BC＝3：4，当点B运动时，点C也随之运动．当点C落在x轴上时，m的值为 ；运动过程中，线段OC长的最小值为 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点B、C．
（1）点B的坐标为 ．
（2）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B均在格点上，∠BAC＝26°，经过A，B，C三点的圆的半径为．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠BPC＝38°，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）已知x＝﹣1是方程x2+bx＝﹣9的一个根，求常数b的值及该方程的另一根．
20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是上一动点（不与点B、C重合），OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，连接OC、OD、EF．已知AB＝4．
（1）求证：①∠EOF＝45°；②∠ODE＝∠OFE；
（2）当D是的中点时，求出△DOF面积．
21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果DE＝2，tanC，求⊙O的半径．
22．（10分）要建一个如图所示的面积为300m2的长方形围栏ABCD，围栏总长50m，一边靠墙（墙长25m）．
（1）求围栏的一边AB的长；
（2）能否围成面积为400m2的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽、如果不能请说明理由．
23．（10分）湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题．
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的．
素材二 一般采用的是长方体包装盒．
（1）任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率；
（2）任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为80cm的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长．
24．（10分）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M．
（1）如图1，若AB⊥DE于点N，则∠CAF的度数是 ，∠EMC的度数是 ；
（2）如图2，请你猜想并写出∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由；
（3）请你总结（1），（2）的思路，在图3中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？请直接写出数量关系．
25．（10分）二次函数的性质
一般式y＝ax2+bx+c 顶点式y＝a（x﹣h）2+k
开口方向 a＞0
a＜0
顶点坐标
对称轴 直线x 直线x＝h
最大（小）值 a＞0 当x时，y最小值 当x＝h时，y最小值＝k
a＜0 当x时，y最大值 当x＝h时，y最大值＝k
增减性 a＞0 当x时，y的值随x的增大而 ；当x时，y的值随x的增大而 . 当x＜h时，y的值随x的增大而 ；当x＞h时，y的值随x的增大而 .
a＜0 当x时，y的值随x的增大而 ；当x时，y的值随x的增大而 . 当x＜h时，y的值随x的增大而 ；当x＞h时，y的值随x的增大而 .
2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）已知二次函数y＝x2﹣ax，当﹣1≤x≤2时，y的最小值为﹣2，则a的值为（ ）
A．或﹣3 B．3或﹣3 C．或 D．
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据解析式求出二次函数的对称轴为直线x，然后分三种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣ax，
∴对称轴为直线x，开口向上，
①当时，a≤﹣2，
此时函数在x＝﹣1处取得最小值为﹣2，
∴1+a＝﹣2，
解得a＝﹣3，
②当﹣12时，﹣2＜a＜4，
此时函数的最小值在顶点处，即x，y＝﹣2，
∴a 2，
解得a＝2或﹣2（舍去），
③当2时，a≥4，
此时函数在x＝2处取得最小值为﹣2，
∴4﹣2a＝﹣2，
解得a＝3（舍去）．
综上a的值为﹣3或2．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，对对称轴进行分类讨论是解题关键．
3．（3分）如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．130° B．125° C．100° D．80°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】首先在上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．
【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，
∵∠AOC＝100°，
∴∠ADC∠AOC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
4．（3分）从0，π，，这四个数中随机取出一个数，取出的数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【答案】D
【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵0，π，，这四个数中无理数有2个，
∴随机取出一个数，取出的数是无理数的概率．
故选：D．
【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．
5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B． C．∠C＝∠AED D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据∠1＝∠2得出∠BAC＝∠DAE，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE．
A、∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B、∵，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C、∵∠C＝∠AED，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D、∵，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转106°，得到△AB1C1，若点C1在线段CB的延长线上，则∠CC1B1的大小为（ ）
A．37° B．69° C．74° D．76°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质求出∠CC1A和∠AC1B1的度数即可解决问题．
【解答】解：根据旋转的性质可知∠CAC1＝106°，AC＝AC1，∠ACB＝∠AC1B1．
∵点C1在线段CB的延长线上，
∴∠CC1A＝∠ACB＝37°．
∴∠AC1B1＝37°．
∴∠CC1B1＝∠CC1A+∠AC1B1＝37°+37°＝74°．
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质由旋转的性质求出∠AC1B1的度数是解题的关键．
7．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B．BC是⊙O的直径，连结AC，若AC＝1，BC，则PA＝（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OP，根据圆周角定理得到∠CAB＝90°，根据勾股定理求出AB，根据切线的性质、平行线的性质得出∠POB＝∠ACB，根据正切的定义计算，得到答案．
【解答】解：连接OP，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∵AC＝1，BC，
∴AB2，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴CB⊥PB，PA＝PB，
∴∠POB＝∠ACB，
∴tan∠POB＝tan∠ACB＝2，
∴2，即2，
解得：PB，
∴PA，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
8．（3分）如图，点D是△ABC边AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】由相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，，，△ADE∽△ABC，
∴DE＝BF，，，
∴，
则A、C、D不符合题意，B符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
9．（3分）二次函数y＝﹣x2的图象是（ ）
A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不确定
【考点】二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象特征进行判断即可求解．
【解答】解：由题意得
二次函数y＝﹣x2的图象是抛物线；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象特征，理解特征是解题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），AB，则线段CD长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意求出位似比，根据位似比计算即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），
∴线段AB与线段CD的位似比为1：2，
∵AB，
∴CD＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据题意求出位似比是解题的关键．
11．（3分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度） （0≤x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．37.5° B．40° C．52.5° D．55°
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
该函数的对称轴x且x＜50，
∴37.5＜x＜50，
∴此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：
①abc＞0；
②2c＜3b；
③若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2；
④当△ABD是等腰直角三角形时，则a；
⑤若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2＜3．
其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；等腰直角三角形；根的判别式；根与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据图象可知a＞0，b＜0，c＜0，即可判断①；根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），可知二次函数的对称轴为直线x＝1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得解析式，即可判断②；利用抛物线的对称性即可判断可判断③；根据图象AD＝BD，顶点坐标，判断④；由题意可知x1，x2是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝4的两个交点的横坐标，根据图象即可判断⑤．
【解答】解：①由图象可知a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∴②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，二次函数的对称轴为直线x1，
∴2a+b＝0．
∴b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②不正确；
③若bx1bx2且x1≠x2，则抛物线上的点（x1，y1），（x2，y2）关于对称轴对称，
∴，
∴x1+x2＝2；故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a．故④正确；
⑤若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2，
则x1，x2是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝4的两个交点的横坐标，
由图象可知x1＜﹣1＜，x2＞3．故⑤不正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）圆内接正方形的边长为3，则该圆的直径长为 3 ．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BD，利用圆周角定理得到BD是圆的直径，然后根据边长利用勾股定理求得直径的长即可．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠C＝90°，BC＝DC，
∴BD是圆的直径，
∵BC＝3，
∴BD3，
故答案为：3．
【点评】该题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
14．（3分）我校要从张、王、李、赵4名优秀学生选手中随机选派2人参加市教育局举办的“爱我中华”演讲比赛，则张、李两位学生同时被选中的概率为 ．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与张、李两位学生同时被选中的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，张、李两位学生同时被选中的有2种情况，
∴张、李两位学生同时被选中的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的母线长为 4 cm．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】4．
【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．
【解答】解：设母线长为l cm，
则2π×1
解得：l＝4．
故答案为：4．
【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），点B（0，m）是y轴正半轴上一动点，以AB为一边向右作矩形ABCD，且AB：BC＝3：4，当点B运动时，点C也随之运动．当点C落在x轴上时，m的值为 4 ；运动过程中，线段OC长的最小值为 ．
【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】4，．
【分析】（1）通过证明△ABO∽△BCO，即可求解；
（2）通过证明△ABO∽△BCH，可得BH＝4，CHm，由勾股定理和二次函数的性质可求解．
【解答】解：∵点A（﹣3，0），点B（0，m）
∴OA＝3，OB＝m，
如图，当点C落在x轴上时，∠BOC＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠OBC，
∴∠BAO＝∠CBO，
∴△ABO∽△BCO，
∴，
∴m＝4，
如图，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠CHB＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠OBC，
∴∠BAO＝∠CBO，
∴△ABO∽△BCH，
∴，
∴，
∴BH＝4，CHm，
∴OC，
当m时，OC有最小值为，
故答案为：4，．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点B、C．
（1）点B的坐标为 （2，2） ．
（2）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是 0＜a＜2 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】（1）B（2，2）；
（2）0＜a＜2．
【分析】（1）观察图象即可得到a＞0，求得对称轴为直线x＝1，即可求得BC＝2，即可求出点B的坐标；
（2）易求得c＝2，得到抛物线为y＝ax2﹣2ax+2，根据题意得到，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c开口向上，
∴a＞0．
∵对称轴为直线，且经过点B、C，
∴BC＝2，
∴正方形的边长为2，
∴B（2，2），
故答案为：B（2，2）；
（2）可求得点C坐标为（0，2），
∴c＝2．
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+2．
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，
∴，
解得0＜a＜2，
∴0＜a＜2．
故答案为：0＜a＜2．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，坐标与图形、二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质、解一元一次不等式组，根据题意得到关于a的不等式组是解题的关键．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B均在格点上，∠BAC＝26°，经过A，B，C三点的圆的半径为．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠BPC＝38°，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 如图，取格点O，连接OC并延长，取格点D，连接BD并延长，与OC的延长线相交于点P，则点P即为所求 ．
【考点】作图—复杂作图；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）作图见解析部分．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可．
（Ⅱ）如图，取格点O，连接OC并延长，取格点D，连接BD并延长，与OC的延长线相交于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AB．
（Ⅱ）如图，点P即为所求作．
故答案为：如图，取格点O，连接OC并延长，取格点D，连接BD并延长，与OC的延长线相交于点P，则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会利用切线的性质解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）已知x＝﹣1是方程x2+bx＝﹣9的一个根，求常数b的值及该方程的另一根．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】10，﹣9．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣1代入关于x的一元二次方程x2+bx＝﹣9，求得b的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的一元二次方程x2+bx＝﹣9的一个根是﹣1，
∴x＝﹣1满足关于x的一元二次方程x2+bx＝﹣9，
∴（﹣1）2﹣b+9＝0，
解得b＝10；
又由韦达定理知﹣1×x2＝9，
解得x2＝﹣9．
即方程的另一根是﹣9．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是上一动点（不与点B、C重合），OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，连接OC、OD、EF．已知AB＝4．
（1）求证：①∠EOF＝45°；②∠ODE＝∠OFE；
（2）当D是的中点时，求出△DOF面积．
【考点】圆周角定理；三角形中位线定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①根据圆周角定理得到∠ADC∠AOC＝45°，根据垂直的定义得到∠OED＝∠DFO＝90°，根据三角形的内角和得到结论；
②推出O，D，F，E四点共圆，根据圆周角定理得到∠ODE＝∠OFE；
（2）过C作CH⊥OD于H，由D是的中点，得到∠COD∠BOD＝45°，推出△OCH是等腰直角三角形，根据勾股定理得到CH，根据等腰三角形的性质得到CF＝DF，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）①∵AB是半圆O的直径，C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠ADC∠AOC＝45°，
∵OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，
∴∠OED＝∠DFO＝90°，
∴∠EGO＝∠DGF＝45°，
∴∠EOF＝45°；
②∵∠OED＝∠DFO＝90°，
∴O，D，F，E四点共圆，
∴∠ODE＝∠OFE；
（2）过C作CH⊥OD于H，
∵D是的中点，
∴∠COD∠BOD＝45°，
∴△OCH是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴OC＝2，
∴CH，
∵OF⊥CD，
∴CF＝DF，
∴S△ODFS△CODOD×CH．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果DE＝2，tanC，求⊙O的半径．
【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）2.5．
【分析】（1）由切线的性质可得DE⊥OD，由三角形中位线定理可得OD∥BC，可得结论；
（2）由锐角三角函数可求EC＝4，在Rt△DEC中，由勾股定理可求DC的长，由锐角三角函数可求BD的长，即可求解．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵AO＝OB，D是AC的中点，
∴OD∥BC．
∴DE⊥BC；
（2）连接DB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴DB⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∵D为AC中点，
∴AB＝BC，
在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，DE＝2，tanC，
∴，
∴DC，
在Rt△DCB中，∠BDC＝90°，
∴BD＝DC tanC，
∴BC5，
∴AB＝BC＝5，
∴⊙O的半径为2.5．
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
22．（10分）要建一个如图所示的面积为300m2的长方形围栏ABCD，围栏总长50m，一边靠墙（墙长25m）．
（1）求围栏的一边AB的长；
（2）能否围成面积为400m2的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽、如果不能请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）围栏的一边AB为20米；
（2）即不能围成面积为400m2的长方形围栏．
【分析】（1）设围栏的边AD为x米，则围栏的另一边AB为（50﹣2x）米，根据“围栏的面积＝围栏长×宽”即可列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再根据长方形的长大于宽以及长方形的长小于墙的长度列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围，由此即可得出结论；
（2）假设能围成，设围栏的一边为y米，则围栏的另一边为（50﹣2y）米，根据“围栏的面积＝围栏长×宽”即可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＜0，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）设围栏的AD为x米，则AB＝（50﹣2x）米，
依题意得：x（50﹣2x）＝300，即2x2﹣50x+300＝（x﹣15）（2x﹣20）＝0，
解得：x＝10或x＝15，
∵，
解得：x，
∴x＝15，50﹣2x＝20．
答：围栏的另一边AB为20米．
（2）假设能围成，设围栏的一边为y米，则围栏的另一边为（50﹣2y）米，
依题意得：y（50﹣2y）＝400，即2y2﹣50y+400＝0，
∵Δ＝（﹣50）2﹣2×4×400＝﹣700＜0，
∴该方程没有实数根．
故假设不成立，即不能围成面积为400m2的长方形围栏．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程以及一元一次不等式组；（2）由根的判别式的正负得出方程解得情况．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，不仅仅列出方程解出方程，还需要根据隐含的条件列出不等式组，求出x的取值范围，此处是失分点，希望在日常练习中多加注意．
23．（10分）湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题．
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的．
素材二 一般采用的是长方体包装盒．
（1）任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率；
（2）任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为80cm的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长．
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为20%；
（2）折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有最大值，此时剪掉的正方形边长20cm．
【分析】（1）设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为x，根据“2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的”，列出一元二次方程，解方程取正值即可；
（2）设剪掉的正方形边长为m cm，由盒子的侧面积为y cm2，侧面积＝4个长方形面积，列出二次函数式，配方求最值即可．
【解答】解：（1）设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为x，
由题意得：50（1+x）2＝72，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
答：纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为20%；
（2）折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有最大值，理由如下：
设剪掉的正方形边长为m cm，盒子的侧面积为y cm2，
由题意得：y＝4m（80﹣2m）＝﹣8m2+320m＝﹣8（m﹣20）2+3200，
∴当m＝20时，y＝﹣8（m﹣20）2+3200有最大值，
∴此时剪掉的正方形边长20cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）正确列出二次函数关系式．
24．（10分）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M．
（1）如图1，若AB⊥DE于点N，则∠CAF的度数是 30° ，∠EMC的度数是 60° ；
（2）如图2，请你猜想并写出∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由；
（3）请你总结（1），（2）的思路，在图3中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？请直接写出数量关系．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）30°；60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由见解析；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由见解析．
【分析】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数；
（2）过C作CH∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）过B作BK∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
【解答】解：（1）过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，
∴∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，
∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AB⊥DE，
∴∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；
故答案为：30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：
证明：如图，
过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC＝∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：
证明：如图，
过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD＝∠KBM，
∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
【点评】本题是几何综合题，主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质进行推算．
25．（10分）二次函数的性质
一般式y＝ax2+bx+c 顶点式y＝a（x﹣h）2+k
开口方向 a＞0 开口向上 开口向上
a＜0 开口向下 开口向下
顶点坐标 （，） （h，k）
对称轴 直线x 直线x＝h
最大（小）值 a＞0 当x时，y最小值 当x＝h时，y最小值＝k
a＜0 当x时，y最大值 当x＝h时，y最大值＝k
增减性 a＞0 当x时，y的值随x的增大而 减小 ；当x时，y的值随x的增大而 增大 . 当x＜h时，y的值随x的增大而 减小 ；当x＞h时，y的值随x的增大而 增大 .
a＜0 当x时，y的值随x的增大而 增大 ；当x时，y的值随x的增大而 减小 . 当x＜h时，y的值随x的增大而 增大 ；当x＞h时，y的值随x的增大而 减小 .
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；二次函数的三种形式．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】开口向上，开口向上，开口向下，开口向下，（，），（h，k），减小，增大；减小，增大；增大，减小；增大，减小．
【分析】根据二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：二次函数的性质：
一般式y＝ax2+bx+c 顶点式y＝a（x﹣h）2+k
开口方向 a＞0 开口向上 开口向上
a＜0 开口向下 开口向下
顶点坐标 （，） （h，k）
对称轴 直线x 直线x＝h
最大（小）值 a＞0 当x时， y最小值 当x＝h时， y最小值＝k
a＜0 当x时， y最大值 当x＝h时， y最大值＝k
增减性 a＞0 当x时，y的值随x的增大而减小；当x时，y的值随x的增大而增大 当x＜h时，y的值随x的增大而减小；当x＞h时，y的值随x的增大而增大
a＜0 当x时，y的值随x的增大而增大；当x时，y的值随x的增大而减小 当x＜h时，y的值随x的增大而增大；当x＞h时，y的值随x的增大而减小
故答案为：开口向上，开口向上，开口向下，开口向下，（，），（h，k），减小，增大；减小，增大；增大，减小；增大，减小．
【点评】本题考查了二次函数性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
考点卡片
1．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
2．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
3．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
4．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
5．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
6．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
7．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
8．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
10．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
11．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
13．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
14．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
15．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
16．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
17．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
18．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
19．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
20．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
21．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
22．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
23．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
24．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
25．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
26．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧 2πr l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
27．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
28．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
29．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
30．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
31．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
32．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
33．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
34．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
35．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，cosA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
36．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
37．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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