2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 472.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:37:22 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）已知一个不透明的袋子里装有1个白球，3个黑球，2个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．恰好是白球是必然事件
B．恰好是黑球是不确定事件
C．恰好是红球是不可能事件
D．恰好是黑球是不可能事件
2．（3分）萌萌将如图所示的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，所拼成的多边形中为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为4cm，则点A（ ）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．与⊙O的位置关系无法确定
4．（3分）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则所对的圆心角的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
5．（3分）若关于x的方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m B．m≠0 C．m且m≠0 D．m＞2
6．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A． B．或
C．或 D．或或
7．（3分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水果．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；每千克销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克；设每千克销售单价为x元时（x＞50），月销售利润达8000元，则可列方程为（ ）
A．（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000
B．（x﹣40）（500﹣10x）＝8000
C．（10+x）[500﹣10（x﹣50）]＝8000
D．（10+x）（500﹣10x）＝8000
8．（3分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，若∠B′CA＝20°，则∠BCA的度数是（ ）
A．120° B．30° C．20° D．10°
9．（3分）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，弧线两两交于M、N两点，作直线MN，与边AC、BC分别交于D、E两点，连接BD、AE，若∠BAC＝90°，在下列说法中：
①E为△ABC外接圆的圆心；
②图中有4个等腰三角形；
③△ABE是等边三角形；
④当∠C＝30°时，BD垂直且平分AE．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，连接BE，CF，点M，N分别在BE和CF上．若△DMN是等边三角形，且边长为整数，则满足上述条件的△DMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）
A．当﹣1＜x＜2时，y＜0
B．a+c＝b
C．当x时，y随x的增大而增大
D．若顶点坐标为（，m），则方程ax2+bx+c＝m﹣1有实数根
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中3个红球，7个白球．从中任意摸出1个球是红球的概率为 ．
14．（3分）设x1、x2是方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．若x1+x2＝3，则x1x2＝ ．
15．（3分）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 50 100 200 400 800 1000
“射中9环以上”的次数 38 82 157 317 640 801
“射中9环以上”的频率 0.760 0.820 0.785 0.793 0.800 0.801
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 ．（结果保留小数点后一位）
16．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0）的图象上有两点A（2，4）、B（m，4），那么m的值等于 ．
17．（3分）如果圆锥的底面周长为2πcm，侧面展开后所得的扇形的圆心角是120°，则该圆锥的侧面积是 cm2．（结果保留π）
18．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解方程：
（1）3x2﹣7x﹣10＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
20．（8分）如图，△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）求（1）中点A在旋转到点A1，所经过的路径长（结果保留π）．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC．⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E为BA延长线上一点．
（1）求证：∠B＝2∠ACD；
（2）若∠ACD＝35°，求∠DAE的度数．
22．（10分）甲、乙两队进行打乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（10分）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，
（1）求增加了多少行或多少列？
（2）若团体操表演队在某次文艺汇演，租表演服装每套要50元，化妆每人10元，需支付经费多少元？
24．（10分）如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为AC，P是⊙O上一点，BP平分∠ABC，连接PO、PC．
（1）求证：∠PBC＝∠OPC；
（2）过点P作⊙O的切线，与BC的延长线交于点Q，若BC＝2，QC＝3，求PQ的长．
25．（10分）已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（xM，0）是x轴正半轴上的点．
（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）
（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．
①点D（m，yD）在抛物线C2上，当AM＝AD，xM＝5时，求m的值；
②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．
2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）已知一个不透明的袋子里装有1个白球，3个黑球，2个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．恰好是白球是必然事件
B．恰好是黑球是不确定事件
C．恰好是红球是不可能事件
D．恰好是黑球是不可能事件
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件进行逐项分析即可．
【解答】解：A．恰好是白球是随机事件，故该选项错误；
B．恰好是黑球是随机事件，所以是不确定事件，故该选项正确；
C．恰好是红球是随机事件，故该选项错误；
D．恰好是黑球是随机事件，可能发生也可能不发生，故该选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查事件的分类，理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解题关键．
2．（3分）萌萌将如图所示的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，所拼成的多边形中为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；七巧板．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分能够完全重合．
3．（3分）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为4cm，则点A（ ）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．与⊙O的位置关系无法确定
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，
∴点P在圆内．
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
4．（3分）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则所对的圆心角的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，OB，OD，
∵OA＝OC，∠AOC＝100°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠E＝30°，
∴∠EAC+∠ECA＝180°﹣30°＝150°，
∴∠OAB+∠OCD＝150°﹣40°﹣40°＝70°，
∴∠AOB+∠COD＝180°×2﹣70°×2＝220°，
∴∠BOD＝360°﹣100°﹣220°＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是正确解答的前提．
5．（3分）若关于x的方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m B．m≠0 C．m且m≠0 D．m＞2
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可．
【解答】解：当m＝0时，方程为﹣4x+3＝0，
解得：x，符合题意；
当m≠0时，
∵关于x的方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣12m≥0，
解得：m且m≠0，
综上所述：m的取值范围是m．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，分类讨论是解本题的关键．
6．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A． B．或
C．或 D．或或
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，
当m≥2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；
当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m或m（舍去）；
当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，
综上，m的值是﹣1.5或，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．（3分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水果．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；每千克销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克；设每千克销售单价为x元时（x＞50），月销售利润达8000元，则可列方程为（ ）
A．（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000
B．（x﹣40）（500﹣10x）＝8000
C．（10+x）[500﹣10（x﹣50）]＝8000
D．（10+x）（500﹣10x）＝8000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，根据利润＝每千克利润×月销售量即可得出方程．
【解答】解：当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500﹣10（x﹣50）]千克．
每千克的销售利润是：（x﹣40）元，
则（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够表示出每千克的利润和销售量，然后表示出总利润．
8．（3分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，若∠B′CA＝20°，则∠BCA的度数是（ ）
A．120° B．30° C．20° D．10°
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题；推理能力．
【答案】B
【分析】先利用旋转得到∠BCB′＝50°，而已知∠ACB′＝20°，由此即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，
∴∠BCB′＝50°，
而∠B′CA＝20°，
∴∠BCA＝∠BCB′﹣∠ACB′＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
9．（3分）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】先利用垂径定理得到AC＝BC＝12，然后利用勾股定理计算OC的长．
【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AC＝BCAB24＝12，
在Rt△OBC中，OC5．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理的应用是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，弧线两两交于M、N两点，作直线MN，与边AC、BC分别交于D、E两点，连接BD、AE，若∠BAC＝90°，在下列说法中：
①E为△ABC外接圆的圆心；
②图中有4个等腰三角形；
③△ABE是等边三角形；
④当∠C＝30°时，BD垂直且平分AE．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题．
【答案】B
【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分BC，则BE＝CE，DB＝DC，利用圆周角定理可对①进行判断；根据斜边上的中线性质和垂直平分线的性质可判定△ABE、△AEC和△DBC都为等腰三角形，则可对②进行判断；根据等边三角形的判定方法对③进行判断；利用DB＝DC得到∠DBC＝∠C＝30°，再计算出∠ABC＝60°，于是可判断△ABE是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可对④进行判断．
【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，则BE＝CE，DB＝DC，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为△ABC外接圆的直径，E点为△ABC外接圆的圆心，所以①正确；
∵AE＝BE＝CE，DB＝DC，
∴△ABE、△AEC和△DBC都为等腰三角形，所以②错误；
只有当∠ABC＝60°时，△ABE是等边三角形，所以③错误；
当∠C＝30°时，∠ABC＝60°，则△ABE是等边三角形，而∠DBC＝∠C＝30°，所以BD为角平分线，所以BD⊥AE，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形外心、线段垂直平分线的性质和等腰三角形和等边三角形的判定与性质．
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，连接BE，CF，点M，N分别在BE和CF上．若△DMN是等边三角形，且边长为整数，则满足上述条件的△DMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【考点】正多边形和圆；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；正多边形与圆；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】通过计算分析出当点M在点B处，点N在点F处时，当点DM⊥CF，DN⊥BE时，此时△DMN为等边三角形，满足边长为整数，在点C和点M之间存在一点M′，使DM′＝10，令MM′＝NN′，证明△DMM′≌△DNN′，证出△DM′N′为等边三角形，同理在OM上存在一点M″，EN上存在一点N″，满足△DM″N″为等边三角形，且边长为10，满足边长为整数，据此解答出此题．
【解答】解：如图1，当点M在点B处，点N在点F处时，
此时△DMN为等边三角形，
∵正六边形边长为6，
∴BFAB＝18，满足边长为整数，符合题意；
如图2，当点DM⊥CF，DN⊥BE时，
此时△CDM≌△DEN（AAS），
∴DM＝DN，∠CDM＝∠EDN＝30°，
∴∠MDN＝60°，
∴△DMN为等边三角形，
∴DM＝AD cos60°＝9，满足边长为整数，符合题意；
设BE、CF交于点O，
∵CD＝6，DM＝9，
∴在点C和点M之间存在一点M′，使DM′＝10，
令MM′＝NN′，如图3，
∴△DMM′≌△DNN′（SAS），
∴DM′＝DN′，∠NDN′＝∠MDM′，
∴∠MDN＝∠M′DN′＝60°，
∴△DM′N′为等边三角形，且边长为10，满足边长为整数，符合题意；
同理在OM上存在一点M″，EN上存在一点N″，满足△DM″N″为等边三角形，且边长为10，满足边长为整数，符合题意；
综上，满足条件的△DMN由4个，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形与园，正六边形的性质及正三角形的性质的综合应用及全等三角形的性质的应用是本题的解题关键．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）
A．当﹣1＜x＜2时，y＜0
B．a+c＝b
C．当x时，y随x的增大而增大
D．若顶点坐标为（，m），则方程ax2+bx+c＝m﹣1有实数根
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】结合函数图象判断选项A；令x＝﹣1判断选项B；由与x轴的交点和中点公式求对称轴判断选项C；根据抛物线与直线y＝m﹣1的交点情况判断选项D．
【解答】解：A、由函数图象知，当﹣1＜x＜2时，函数图象在x轴的下方，
∴当﹣1＜x＜2时，y＜0，故选项A不符合题意；
B、由图可知：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故选项B不符合题意；
C、对称轴是直线x，当x时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
D、若顶点坐标为（，m），则直线y＝m﹣1与抛物线无交点，
∴方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征．解题的关键理解函数图象与不等式之间的关系．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中3个红球，7个白球．从中任意摸出1个球是红球的概率为 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】，
【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可得出答案．
【解答】解：∵一共有10个只有颜色不同的球，其中红球有3个，
∴从中任意摸出1个球是红球的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14．（3分）设x1、x2是方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．若x1+x2＝3，则x1x2＝ 2 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝m，x1x2＝m﹣1，然后先求出m的值，再计算x1x2的值．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝m，x1x2＝m﹣1，
∵x1+x2＝3，
∴m＝3，
∴x1x2＝3﹣1＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
15．（3分）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 50 100 200 400 800 1000
“射中9环以上”的次数 38 82 157 317 640 801
“射中9环以上”的频率 0.760 0.820 0.785 0.793 0.800 0.801
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 0.8 ．（结果保留小数点后一位）
【考点】利用频率估计概率．
【专题】常规题型；概率及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．
【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．
故答案为：0.8．
【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
16．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0）的图象上有两点A（2，4）、B（m，4），那么m的值等于 ﹣4 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】﹣4．
【分析】根据点A（2，4）、B（m，4）坐标特点可知这两个点关于对称轴对称，可求出m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点A（2，4）、B（m，4）都在抛物线上，
∴点A、B关于直线x＝﹣1对称，
∴1，
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解决问题的关键．
17．（3分）如果圆锥的底面周长为2πcm，侧面展开后所得的扇形的圆心角是120°，则该圆锥的侧面积是 3π cm2．（结果保留π）
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设圆锥的母线长为l，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π，然后根据扇形的面积公式计算该圆锥的侧面积．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，
根据题意得2π，解得l＝3，
所以该圆锥的侧面积 2π 3＝3π（cm2）．
故答案为3π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为 （，﹣1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（，﹣1）．
【分析】作AB⊥x轴于点B，由AB、OB＝1可得∠AOy＝30°，从而知将点A顺时针旋转150°得到点A′后如图所示，OA′＝OA2，∠A′OC＝30°，继而可得答案．
【解答】解：作AB⊥x轴于点B，A′C⊥x轴于点C，
∴AB、OB＝1，
则tan∠AOB，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOy＝30°
∴将点A顺时针旋转150°得到点A′后，如图所示，
OA′＝OA2，∠A′OC＝30°，
∴A′C＝1、OC，即A′（，﹣1），
故答案为：（，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，根据点A的坐标求出∠AOB＝60°，再根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小确定出点A′的位置是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解方程：
（1）3x2﹣7x﹣10＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝﹣1，x2．
（2）x1＝2，x2＝﹣6．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵3x2﹣7x﹣10＝0，
∴（x+1）（3x﹣10）＝0，
∴x1＝﹣1，x2．
（2）方程整理得，x2+4x﹣12＝0，
∴（x﹣2）（x+6）＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣6．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（8分）如图，△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）求（1）中点A在旋转到点A1，所经过的路径长（结果保留π）．
【考点】作图﹣旋转变换；轨迹．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，
（2）∵，
∴π，
则点A在旋转到点A1，所经过的路径长．
【点评】本题主要考查在网格中的旋转和求弧长，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC．⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E为BA延长线上一点．
（1）求证：∠B＝2∠ACD；
（2）若∠ACD＝35°，求∠DAE的度数．
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）∠DAE＝105°．
【分析】（1）证明AC＝AD可得∠B＝2∠ACD；
（2）先求解∠B＝70°，可得∠BCD＝70°+35°＝105°，再利用圆的内接四边形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵D为弧AC的中点，
∴AD＝CD，AC＝AD，
∴∠B＝2∠ACD；
（2）解：∵∠ACD＝35°，∠B＝2∠ACD，
∴∠B＝2×35°＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠BCD＝70°+35°＝105°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝75°，
∴∠EAD＝180°﹣75°＝105°．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟记圆周角定理与圆的内接四边形的性质并灵活应用是解本题的关键．
22．（10分）甲、乙两队进行打乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【考点】列表法与树状图法．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据甲队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意画出树状图如下：
一共有4种等可能情况，确保两局胜的有3种，
所以，P．
【点评】本题考查了用树状图列举随机事件出现的所有情况，并求出某些事件的概率，但应注意在求概率时各种情况出现的可能性务必相同．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，
（1）求增加了多少行或多少列？
（2）若团体操表演队在某次文艺汇演，租表演服装每套要50元，化妆每人10元，需支付经费多少元？
【考点】一元二次方程的应用；有理数的混合运算．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）增加了3行；
（2）需支付经费5940元．
【分析】（1）设增加了x行，则增加人数后的团体操表演队伍有（6+x）行（8+x）列，根据后来增加了51人，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用需支付的经费＝（租每套表演服装费用+每人的化妆费用）×该团体操表演队的人数，即可求出结论．
【解答】解：（1）设增加了x行，则增加人数后的团体操表演队伍有（6+x）行（8+x）列，
根据题意得：（6+x）（8+x）﹣6×8＝51，
整理得：x2+14x﹣51＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣17（不符合题意，舍去）．
答：增加了3行；
（2）（50+10）×（6×8+51）
＝（50+10）×（48+51）
＝60×99
＝5940（元）．
答：需支付经费5940元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（10分）如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为AC，P是⊙O上一点，BP平分∠ABC，连接PO、PC．
（1）求证：∠PBC＝∠OPC；
（2）过点P作⊙O的切线，与BC的延长线交于点Q，若BC＝2，QC＝3，求PQ的长．
【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】计算题；证明题；数形结合；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由角平分线的定义、等腰三角形的性质、同弧所对的圆周角及等量代换可证得结论；
（2）由直径所对的圆周角为直角、角平分线的定义可证得∠POC＝90°；由切线的性质可得∠OPQ＝90°；由同旁内角互补，两直线平行，可证得OC∥PQ；利用有两个角相等的三角形相似可证得△PCQ∽△BPQ，从而可得比例式，将相关数据代入可得PQ的长．
【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，
∵OP＝OC，
∴∠OPC＝∠OCP，
∵∠OCP＝∠ABP，
∴∠OPC＝∠ABP，
∴∠PBC＝∠OPC；
（2）∵△ABC的外接圆⊙O的直径为AC，
∴∠ABC＝90°．
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC∠ABC＝45°，
∴∠OPC＝∠PBC＝45°，
∵OP＝OC，
∴∠OPC＝∠OCP＝45°，
∴∠POC＝90°．
又∵PQ是⊙O的切线，
∴∠OPQ＝90°，
∴∠OPQ+∠POC＝180°，
∴OC∥PQ，
∴∠CPQ＝∠OCP，
又∵∠ABP＝∠OCP，
∴∠CPQ＝∠PBC，
∵∠Q＝∠Q，
∴△PCQ∽△BPQ，
∴，
∴PQ2＝CQ BQ，
∵BC＝2，QC＝3，
∴BQ＝5，
∴PQ．
∴PQ的长为．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
25．（10分）已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（xM，0）是x轴正半轴上的点．
（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）
（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．
①点D（m，yD）在抛物线C2上，当AM＝AD，xM＝5时，求m的值；
②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）E（m，m2﹣m﹣1）；
（2）①m＝31；
②66．
【分析】（1）根据抛物线的对称性求出抛物线的对称轴，再由E点在抛物线C1上，求E点坐标即可；
（2）①过D点作DH⊥x轴交于H点，则H（m，0），判断出△ADH是等腰直角三角形，则ADAH，又有AM＝AD，xM＝5，得到方程5+1（m+1），求出m＝31；
②过点G作MG⊥x轴交于点M，过点E作NE∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式为y＝x﹣3，可知N（1，﹣2），设G（t，t﹣3），F（x，0），则S△CGE＝S△NEC+S△NEG＝t，证明△OFC∽△FGM，可得x2﹣tx+9﹣3t＝0，令y＝x2﹣tx+9﹣3t，（0＜t＜3），要保证x2﹣tx+9﹣3t＝0在0＜t＜3有解，只需满足Δ＝t2﹣4（9﹣3t）≥0，解得t≥66或t≤﹣66，即可求△CGE面积的最小值为66．
【解答】解：（1）∵抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），
∴抛物线的对称轴为直线xm，
∵E在抛物线C1上，
∴ym2﹣m﹣1，
∴E（m，m2﹣m﹣1）；
（2）①∵抛物线C2：y＝x2﹣mx+n经过点A（﹣1，0），
∴1+m+n＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣mx﹣1﹣m，
∵点D（m，yD）在抛物线C2上，
∴yD＝﹣m﹣1，
∴D（m，﹣m﹣1），
∵m＞0，
∴mm＞0，﹣m﹣1＜0，
∴点D在第四象限，在直线xm的右侧，
过D点作DH⊥x轴交于H点，则H（m，0），
∴AH＝m+1，DH＝m+1，
∴AH＝DH，
在Rt△ADH中，∠ADH＝∠DAH＝45°，
∴ADAH，
∵AM＝AD，xM＝5，
∴5+1（m+1），
解得m＝31；
②过点G作MG⊥x轴交于点M，过点E作NE∥y轴交BC于点N，
由（1）可知，当m＝2时，抛物线C2的顶点E（1，﹣4），
∴抛物线C2的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，
∴3k﹣3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴N（1，﹣2），
设G（t，t﹣3），F（x，0），
∴S△CGE＝S△NEC+S△NEG
NE×（xG﹣xC）
＝t，
∵∠CFG＝90°，
∴∠FGM+∠GFM＝90°，∠GFM+∠OFC＝90°，
∴∠OFC＝∠FGM，
∴△OFC∽△FGM，
∴，即，
整理得，x2﹣tx+9﹣3t＝0，
令y＝x2﹣tx+9﹣3t，（0＜t＜3），
∵当x＝3时，y＝18﹣6t＞0，对称轴xt在y轴右侧，
∴要保证x2﹣tx+9﹣3t＝0在0＜t＜3有解，只需满足Δ＝t2﹣4（9﹣3t）≥0，
解得t≥66或t≤﹣66，
∴S△CGE＝t≥66，
∴△CGE面积的最小值为66．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
3．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
4．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
5．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
6．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
7．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
8．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
10．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
11．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
13．七巧板
（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．
（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号．
（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了．
14．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
15．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
16．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
17．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
18．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
21．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
22．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
23．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r
②点P在圆上 d＝r
①点P在圆内 d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
24．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
25．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
26．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
27．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧 2πr l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
28．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
29．轨迹
轨迹 数学概念轨迹数学概念：在数学中，轨迹是由满足坐标关系的特定方程的所有点，或由一个点、线或运动曲面构成的曲线或其他形状．所有的形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等．
30．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
31．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
32．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
33．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
34．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
35．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
36．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
37．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）已知一个不透明的袋子里装有1个白球，3个黑球，2个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．恰好是白球是必然事件
B．恰好是黑球是不确定事件
C．恰好是红球是不可能事件
D．恰好是黑球是不可能事件
2．（3分）萌萌将如图所示的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，所拼成的多边形中为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为4cm，则点A（ ）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．与⊙O的位置关系无法确定
4．（3分）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则所对的圆心角的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
5．（3分）若关于x的方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m B．m≠0 C．m且m≠0 D．m＞2
6．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A． B．或
C．或 D．或或
7．（3分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水果．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；每千克销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克；设每千克销售单价为x元时（x＞50），月销售利润达8000元，则可列方程为（ ）
A．（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000
B．（x﹣40）（500﹣10x）＝8000
C．（10+x）[500﹣10（x﹣50）]＝8000
D．（10+x）（500﹣10x）＝8000
8．（3分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，若∠B′CA＝20°，则∠BCA的度数是（ ）
A．120° B．30° C．20° D．10°
9．（3分）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，弧线两两交于M、N两点，作直线MN，与边AC、BC分别交于D、E两点，连接BD、AE，若∠BAC＝90°，在下列说法中：
①E为△ABC外接圆的圆心；
②图中有4个等腰三角形；
③△ABE是等边三角形；
④当∠C＝30°时，BD垂直且平分AE．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，连接BE，CF，点M，N分别在BE和CF上．若△DMN是等边三角形，且边长为整数，则满足上述条件的△DMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）
A．当﹣1＜x＜2时，y＜0
B．a+c＝b
C．当x时，y随x的增大而增大
D．若顶点坐标为（，m），则方程ax2+bx+c＝m﹣1有实数根
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中3个红球，7个白球．从中任意摸出1个球是红球的概率为 ．
14．（3分）设x1、x2是方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．若x1+x2＝3，则x1x2＝ ．
15．（3分）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 50 100 200 400 800 1000
“射中9环以上”的次数 38 82 157 317 640 801
“射中9环以上”的频率 0.760 0.820 0.785 0.793 0.800 0.801
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 ．（结果保留小数点后一位）
16．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0）的图象上有两点A（2，4）、B（m，4），那么m的值等于 ．
17．（3分）如果圆锥的底面周长为2πcm，侧面展开后所得的扇形的圆心角是120°，则该圆锥的侧面积是 cm2．（结果保留π）
18．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解方程：
（1）3x2﹣7x﹣10＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
20．（8分）如图，△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）求（1）中点A在旋转到点A1，所经过的路径长（结果保留π）．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC．⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E为BA延长线上一点．
（1）求证：∠B＝2∠ACD；
（2）若∠ACD＝35°，求∠DAE的度数．
22．（10分）甲、乙两队进行打乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（10分）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，
（1）求增加了多少行或多少列？
（2）若团体操表演队在某次文艺汇演，租表演服装每套要50元，化妆每人10元，需支付经费多少元？
24．（10分）如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为AC，P是⊙O上一点，BP平分∠ABC，连接PO、PC．
（1）求证：∠PBC＝∠OPC；
（2）过点P作⊙O的切线，与BC的延长线交于点Q，若BC＝2，QC＝3，求PQ的长．
25．（10分）已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（xM，0）是x轴正半轴上的点．
（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）
（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．
①点D（m，yD）在抛物线C2上，当AM＝AD，xM＝5时，求m的值；
②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．
2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）已知一个不透明的袋子里装有1个白球，3个黑球，2个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．恰好是白球是必然事件
B．恰好是黑球是不确定事件
C．恰好是红球是不可能事件
D．恰好是黑球是不可能事件
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件进行逐项分析即可．
【解答】解：A．恰好是白球是随机事件，故该选项错误；
B．恰好是黑球是随机事件，所以是不确定事件，故该选项正确；
C．恰好是红球是随机事件，故该选项错误；
D．恰好是黑球是随机事件，可能发生也可能不发生，故该选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查事件的分类，理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解题关键．
2．（3分）萌萌将如图所示的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，所拼成的多边形中为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；七巧板．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分能够完全重合．
3．（3分）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为4cm，则点A（ ）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．与⊙O的位置关系无法确定
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，
∴点P在圆内．
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
4．（3分）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则所对的圆心角的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，OB，OD，
∵OA＝OC，∠AOC＝100°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠E＝30°，
∴∠EAC+∠ECA＝180°﹣30°＝150°，
∴∠OAB+∠OCD＝150°﹣40°﹣40°＝70°，
∴∠AOB+∠COD＝180°×2﹣70°×2＝220°，
∴∠BOD＝360°﹣100°﹣220°＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是正确解答的前提．
5．（3分）若关于x的方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m B．m≠0 C．m且m≠0 D．m＞2
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可．
【解答】解：当m＝0时，方程为﹣4x+3＝0，
解得：x，符合题意；
当m≠0时，
∵关于x的方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣12m≥0，
解得：m且m≠0，
综上所述：m的取值范围是m．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，分类讨论是解本题的关键．
6．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A． B．或
C．或 D．或或
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，
当m≥2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；
当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m或m（舍去）；
当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，
综上，m的值是﹣1.5或，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．（3分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水果．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；每千克销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克；设每千克销售单价为x元时（x＞50），月销售利润达8000元，则可列方程为（ ）
A．（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000
B．（x﹣40）（500﹣10x）＝8000
C．（10+x）[500﹣10（x﹣50）]＝8000
D．（10+x）（500﹣10x）＝8000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，根据利润＝每千克利润×月销售量即可得出方程．
【解答】解：当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500﹣10（x﹣50）]千克．
每千克的销售利润是：（x﹣40）元，
则（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够表示出每千克的利润和销售量，然后表示出总利润．
8．（3分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，若∠B′CA＝20°，则∠BCA的度数是（ ）
A．120° B．30° C．20° D．10°
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题；推理能力．
【答案】B
【分析】先利用旋转得到∠BCB′＝50°，而已知∠ACB′＝20°，由此即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，
∴∠BCB′＝50°，
而∠B′CA＝20°，
∴∠BCA＝∠BCB′﹣∠ACB′＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
9．（3分）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】先利用垂径定理得到AC＝BC＝12，然后利用勾股定理计算OC的长．
【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AC＝BCAB24＝12，
在Rt△OBC中，OC5．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理的应用是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，弧线两两交于M、N两点，作直线MN，与边AC、BC分别交于D、E两点，连接BD、AE，若∠BAC＝90°，在下列说法中：
①E为△ABC外接圆的圆心；
②图中有4个等腰三角形；
③△ABE是等边三角形；
④当∠C＝30°时，BD垂直且平分AE．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题．
【答案】B
【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分BC，则BE＝CE，DB＝DC，利用圆周角定理可对①进行判断；根据斜边上的中线性质和垂直平分线的性质可判定△ABE、△AEC和△DBC都为等腰三角形，则可对②进行判断；根据等边三角形的判定方法对③进行判断；利用DB＝DC得到∠DBC＝∠C＝30°，再计算出∠ABC＝60°，于是可判断△ABE是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可对④进行判断．
【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，则BE＝CE，DB＝DC，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为△ABC外接圆的直径，E点为△ABC外接圆的圆心，所以①正确；
∵AE＝BE＝CE，DB＝DC，
∴△ABE、△AEC和△DBC都为等腰三角形，所以②错误；
只有当∠ABC＝60°时，△ABE是等边三角形，所以③错误；
当∠C＝30°时，∠ABC＝60°，则△ABE是等边三角形，而∠DBC＝∠C＝30°，所以BD为角平分线，所以BD⊥AE，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形外心、线段垂直平分线的性质和等腰三角形和等边三角形的判定与性质．
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，连接BE，CF，点M，N分别在BE和CF上．若△DMN是等边三角形，且边长为整数，则满足上述条件的△DMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【考点】正多边形和圆；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；正多边形与圆；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】通过计算分析出当点M在点B处，点N在点F处时，当点DM⊥CF，DN⊥BE时，此时△DMN为等边三角形，满足边长为整数，在点C和点M之间存在一点M′，使DM′＝10，令MM′＝NN′，证明△DMM′≌△DNN′，证出△DM′N′为等边三角形，同理在OM上存在一点M″，EN上存在一点N″，满足△DM″N″为等边三角形，且边长为10，满足边长为整数，据此解答出此题．
【解答】解：如图1，当点M在点B处，点N在点F处时，
此时△DMN为等边三角形，
∵正六边形边长为6，
∴BFAB＝18，满足边长为整数，符合题意；
如图2，当点DM⊥CF，DN⊥BE时，
此时△CDM≌△DEN（AAS），
∴DM＝DN，∠CDM＝∠EDN＝30°，
∴∠MDN＝60°，
∴△DMN为等边三角形，
∴DM＝AD cos60°＝9，满足边长为整数，符合题意；
设BE、CF交于点O，
∵CD＝6，DM＝9，
∴在点C和点M之间存在一点M′，使DM′＝10，
令MM′＝NN′，如图3，
∴△DMM′≌△DNN′（SAS），
∴DM′＝DN′，∠NDN′＝∠MDM′，
∴∠MDN＝∠M′DN′＝60°，
∴△DM′N′为等边三角形，且边长为10，满足边长为整数，符合题意；
同理在OM上存在一点M″，EN上存在一点N″，满足△DM″N″为等边三角形，且边长为10，满足边长为整数，符合题意；
综上，满足条件的△DMN由4个，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形与园，正六边形的性质及正三角形的性质的综合应用及全等三角形的性质的应用是本题的解题关键．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）
A．当﹣1＜x＜2时，y＜0
B．a+c＝b
C．当x时，y随x的增大而增大
D．若顶点坐标为（，m），则方程ax2+bx+c＝m﹣1有实数根
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】结合函数图象判断选项A；令x＝﹣1判断选项B；由与x轴的交点和中点公式求对称轴判断选项C；根据抛物线与直线y＝m﹣1的交点情况判断选项D．
【解答】解：A、由函数图象知，当﹣1＜x＜2时，函数图象在x轴的下方，
∴当﹣1＜x＜2时，y＜0，故选项A不符合题意；
B、由图可知：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故选项B不符合题意；
C、对称轴是直线x，当x时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
D、若顶点坐标为（，m），则直线y＝m﹣1与抛物线无交点，
∴方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征．解题的关键理解函数图象与不等式之间的关系．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中3个红球，7个白球．从中任意摸出1个球是红球的概率为 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】，
【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可得出答案．
【解答】解：∵一共有10个只有颜色不同的球，其中红球有3个，
∴从中任意摸出1个球是红球的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14．（3分）设x1、x2是方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．若x1+x2＝3，则x1x2＝ 2 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝m，x1x2＝m﹣1，然后先求出m的值，再计算x1x2的值．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝m，x1x2＝m﹣1，
∵x1+x2＝3，
∴m＝3，
∴x1x2＝3﹣1＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
15．（3分）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 50 100 200 400 800 1000
“射中9环以上”的次数 38 82 157 317 640 801
“射中9环以上”的频率 0.760 0.820 0.785 0.793 0.800 0.801
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 0.8 ．（结果保留小数点后一位）
【考点】利用频率估计概率．
【专题】常规题型；概率及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．
【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．
故答案为：0.8．
【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
16．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0）的图象上有两点A（2，4）、B（m，4），那么m的值等于 ﹣4 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】﹣4．
【分析】根据点A（2，4）、B（m，4）坐标特点可知这两个点关于对称轴对称，可求出m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）2+c（a≠0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点A（2，4）、B（m，4）都在抛物线上，
∴点A、B关于直线x＝﹣1对称，
∴1，
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解决问题的关键．
17．（3分）如果圆锥的底面周长为2πcm，侧面展开后所得的扇形的圆心角是120°，则该圆锥的侧面积是 3π cm2．（结果保留π）
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设圆锥的母线长为l，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π，然后根据扇形的面积公式计算该圆锥的侧面积．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，
根据题意得2π，解得l＝3，
所以该圆锥的侧面积 2π 3＝3π（cm2）．
故答案为3π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为 （，﹣1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（，﹣1）．
【分析】作AB⊥x轴于点B，由AB、OB＝1可得∠AOy＝30°，从而知将点A顺时针旋转150°得到点A′后如图所示，OA′＝OA2，∠A′OC＝30°，继而可得答案．
【解答】解：作AB⊥x轴于点B，A′C⊥x轴于点C，
∴AB、OB＝1，
则tan∠AOB，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOy＝30°
∴将点A顺时针旋转150°得到点A′后，如图所示，
OA′＝OA2，∠A′OC＝30°，
∴A′C＝1、OC，即A′（，﹣1），
故答案为：（，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，根据点A的坐标求出∠AOB＝60°，再根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小确定出点A′的位置是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解方程：
（1）3x2﹣7x﹣10＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝﹣1，x2．
（2）x1＝2，x2＝﹣6．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵3x2﹣7x﹣10＝0，
∴（x+1）（3x﹣10）＝0，
∴x1＝﹣1，x2．
（2）方程整理得，x2+4x﹣12＝0，
∴（x﹣2）（x+6）＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣6．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（8分）如图，△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）求（1）中点A在旋转到点A1，所经过的路径长（结果保留π）．
【考点】作图﹣旋转变换；轨迹．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，
（2）∵，
∴π，
则点A在旋转到点A1，所经过的路径长．
【点评】本题主要考查在网格中的旋转和求弧长，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC．⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E为BA延长线上一点．
（1）求证：∠B＝2∠ACD；
（2）若∠ACD＝35°，求∠DAE的度数．
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）∠DAE＝105°．
【分析】（1）证明AC＝AD可得∠B＝2∠ACD；
（2）先求解∠B＝70°，可得∠BCD＝70°+35°＝105°，再利用圆的内接四边形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵D为弧AC的中点，
∴AD＝CD，AC＝AD，
∴∠B＝2∠ACD；
（2）解：∵∠ACD＝35°，∠B＝2∠ACD，
∴∠B＝2×35°＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠BCD＝70°+35°＝105°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝75°，
∴∠EAD＝180°﹣75°＝105°．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟记圆周角定理与圆的内接四边形的性质并灵活应用是解本题的关键．
22．（10分）甲、乙两队进行打乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【考点】列表法与树状图法．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据甲队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意画出树状图如下：
一共有4种等可能情况，确保两局胜的有3种，
所以，P．
【点评】本题考查了用树状图列举随机事件出现的所有情况，并求出某些事件的概率，但应注意在求概率时各种情况出现的可能性务必相同．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，
（1）求增加了多少行或多少列？
（2）若团体操表演队在某次文艺汇演，租表演服装每套要50元，化妆每人10元，需支付经费多少元？
【考点】一元二次方程的应用；有理数的混合运算．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）增加了3行；
（2）需支付经费5940元．
【分析】（1）设增加了x行，则增加人数后的团体操表演队伍有（6+x）行（8+x）列，根据后来增加了51人，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用需支付的经费＝（租每套表演服装费用+每人的化妆费用）×该团体操表演队的人数，即可求出结论．
【解答】解：（1）设增加了x行，则增加人数后的团体操表演队伍有（6+x）行（8+x）列，
根据题意得：（6+x）（8+x）﹣6×8＝51，
整理得：x2+14x﹣51＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣17（不符合题意，舍去）．
答：增加了3行；
（2）（50+10）×（6×8+51）
＝（50+10）×（48+51）
＝60×99
＝5940（元）．
答：需支付经费5940元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（10分）如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为AC，P是⊙O上一点，BP平分∠ABC，连接PO、PC．
（1）求证：∠PBC＝∠OPC；
（2）过点P作⊙O的切线，与BC的延长线交于点Q，若BC＝2，QC＝3，求PQ的长．
【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】计算题；证明题；数形结合；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由角平分线的定义、等腰三角形的性质、同弧所对的圆周角及等量代换可证得结论；
（2）由直径所对的圆周角为直角、角平分线的定义可证得∠POC＝90°；由切线的性质可得∠OPQ＝90°；由同旁内角互补，两直线平行，可证得OC∥PQ；利用有两个角相等的三角形相似可证得△PCQ∽△BPQ，从而可得比例式，将相关数据代入可得PQ的长．
【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，
∵OP＝OC，
∴∠OPC＝∠OCP，
∵∠OCP＝∠ABP，
∴∠OPC＝∠ABP，
∴∠PBC＝∠OPC；
（2）∵△ABC的外接圆⊙O的直径为AC，
∴∠ABC＝90°．
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC∠ABC＝45°，
∴∠OPC＝∠PBC＝45°，
∵OP＝OC，
∴∠OPC＝∠OCP＝45°，
∴∠POC＝90°．
又∵PQ是⊙O的切线，
∴∠OPQ＝90°，
∴∠OPQ+∠POC＝180°，
∴OC∥PQ，
∴∠CPQ＝∠OCP，
又∵∠ABP＝∠OCP，
∴∠CPQ＝∠PBC，
∵∠Q＝∠Q，
∴△PCQ∽△BPQ，
∴，
∴PQ2＝CQ BQ，
∵BC＝2，QC＝3，
∴BQ＝5，
∴PQ．
∴PQ的长为．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
25．（10分）已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（xM，0）是x轴正半轴上的点．
（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）
（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．
①点D（m，yD）在抛物线C2上，当AM＝AD，xM＝5时，求m的值；
②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）E（m，m2﹣m﹣1）；
（2）①m＝31；
②66．
【分析】（1）根据抛物线的对称性求出抛物线的对称轴，再由E点在抛物线C1上，求E点坐标即可；
（2）①过D点作DH⊥x轴交于H点，则H（m，0），判断出△ADH是等腰直角三角形，则ADAH，又有AM＝AD，xM＝5，得到方程5+1（m+1），求出m＝31；
②过点G作MG⊥x轴交于点M，过点E作NE∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式为y＝x﹣3，可知N（1，﹣2），设G（t，t﹣3），F（x，0），则S△CGE＝S△NEC+S△NEG＝t，证明△OFC∽△FGM，可得x2﹣tx+9﹣3t＝0，令y＝x2﹣tx+9﹣3t，（0＜t＜3），要保证x2﹣tx+9﹣3t＝0在0＜t＜3有解，只需满足Δ＝t2﹣4（9﹣3t）≥0，解得t≥66或t≤﹣66，即可求△CGE面积的最小值为66．
【解答】解：（1）∵抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），
∴抛物线的对称轴为直线xm，
∵E在抛物线C1上，
∴ym2﹣m﹣1，
∴E（m，m2﹣m﹣1）；
（2）①∵抛物线C2：y＝x2﹣mx+n经过点A（﹣1，0），
∴1+m+n＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣mx﹣1﹣m，
∵点D（m，yD）在抛物线C2上，
∴yD＝﹣m﹣1，
∴D（m，﹣m﹣1），
∵m＞0，
∴mm＞0，﹣m﹣1＜0，
∴点D在第四象限，在直线xm的右侧，
过D点作DH⊥x轴交于H点，则H（m，0），
∴AH＝m+1，DH＝m+1，
∴AH＝DH，
在Rt△ADH中，∠ADH＝∠DAH＝45°，
∴ADAH，
∵AM＝AD，xM＝5，
∴5+1（m+1），
解得m＝31；
②过点G作MG⊥x轴交于点M，过点E作NE∥y轴交BC于点N，
由（1）可知，当m＝2时，抛物线C2的顶点E（1，﹣4），
∴抛物线C2的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，
∴3k﹣3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴N（1，﹣2），
设G（t，t﹣3），F（x，0），
∴S△CGE＝S△NEC+S△NEG
NE×（xG﹣xC）
＝t，
∵∠CFG＝90°，
∴∠FGM+∠GFM＝90°，∠GFM+∠OFC＝90°，
∴∠OFC＝∠FGM，
∴△OFC∽△FGM，
∴，即，
整理得，x2﹣tx+9﹣3t＝0，
令y＝x2﹣tx+9﹣3t，（0＜t＜3），
∵当x＝3时，y＝18﹣6t＞0，对称轴xt在y轴右侧，
∴要保证x2﹣tx+9﹣3t＝0在0＜t＜3有解，只需满足Δ＝t2﹣4（9﹣3t）≥0，
解得t≥66或t≤﹣66，
∴S△CGE＝t≥66，
∴△CGE面积的最小值为66．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
3．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
4．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
5．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
6．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
7．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
8．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
10．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
11．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
13．七巧板
（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．
（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号．
（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了．
14．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
15．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
16．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
17．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
18．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
21．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
22．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
23．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r
②点P在圆上 d＝r
①点P在圆内 d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
24．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
25．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
26．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
27．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧 2πr l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
28．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
29．轨迹
轨迹 数学概念轨迹数学概念：在数学中，轨迹是由满足坐标关系的特定方程的所有点，或由一个点、线或运动曲面构成的曲线或其他形状．所有的形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等．
30．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
31．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
32．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
33．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
34．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
35．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
36．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
37．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
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