2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 414.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:38:14 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）如图，在下面的扑克牌中，牌面是中心对称图形的有（ ）
A．2张 B．3张 C．4张 D．5张
2．（3分）下列事件中，必然事件是（ ）
A．姚明在罚球线上投篮一次，投中
B．掷一枚质地均匀的骰子，出现的数字小于7
C．任意画一个三角形，其内角和是360度
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
3．（3分）方程4x2﹣2x0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．只有一个实数根
C．没有实数根
D．有两个不相等的实数根
4．（3分）下列四个选项中，∠x是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣1）2，下列说法正确的有（ ）
①因为a＝﹣3，所以开口方向向上；
②顶点坐标为（1，0）；
③对称轴为直线x＝1；
④当x＞0时，y随x的增大而增大．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（3分）两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（ ）
A． B．（3，4） C． D．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别是x1＝﹣3，x2＝5，则m+n的值（ ）
A．2 B．﹣13 C．﹣17 D．﹣19
8．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO＝5cm，AB＝4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．cm
9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2，∠ACB＝60°，连接OA，OB，则的长是（ ）
A． B． C．π D．
10．（3分）已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜3，记t＝a+b，则（ ）
A．﹣3＜t＜0 B．﹣1＜t＜0 C．﹣1＜t＜3 D．0＜t＜3
11．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE．若∠BAC＝85°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则旋转角的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④当x＞﹣2时，y随x增大而增大；⑤abc＞0；⑥y的最小值为3．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 ．
14．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+4﹣a2＝0的一个根为0，则a的值为 ．
15．（3分）将抛物线y＝﹣3x2+2向上平移3个单位长度后，所得新抛物线的解析式为 ，平移前后图象的形状 ，当x＝ 时，y＝﹣3x2+2有最 值，其值是 ．
16．（3分）如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，且AB＝3，BC＝5，AC＝4，则CD＝ ．
17．（3分）若抛物线y＝ax2﹣x与x轴有公共点，则a的取值范围是 ．
18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝2，AM，BN分别是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别交于D、C两点，AD＝x，BC＝y，则y关于x的函数表达式为 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解下列方程：
（1）2x2﹣x＝0．
（2）x2﹣6x＝7．
20．（8分）已知：如图，△ABC内接于圆O，且AB过圆心O，D是弧BC上的一点，OD⊥BC，垂足为H，连接AD、CD，AD与BC交于点P．
（1）求证：∠ACD＝∠APB．
（2）若AC＝6，AB＝10，求AD的长．
21．（10分）为了让孩子们掌握垃圾分类知识，树立环保意识，李老师制作了一盒垃圾分类卡片，其中，“可回收物”卡片有30张，“易腐垃圾”卡片22张，“其他垃圾”卡片20张以及若干张“有害垃圾”卡片，这些卡片除图案外都相同．
（1）从这盒卡片中任取一张，使“其他垃圾”卡片的概率是，求“有害垃圾”卡片的数量．
（2）现从中取出4张卡片：A．塑料瓶，B．旧书本，C．过期药品，D．剩饭菜（其中A，B为可回收物，C为有害垃圾，D为易腐垃圾），将取出的四张卡片放入一个不透明的袋子中，小聪和小明从袋子中各取一张卡片，问两人取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的概率（要求列表或画树状图）．
22．（10分）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AC＝8，，求DE的长．
23．（10分）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．
（1）若降价x元后，每件衬衫的利润＝ （元），平均每天销售数量为 件（用含x的代数式表示）；
（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？
24．（10分）●特例感知
（1）①如图1，△ABC为等腰直角三角形，则AB2﹣AC2 BC2（填“＞“＝”或“＜）；
②如图2，AD为△ABC的高，若AC＝BD，则AB2﹣AC2 AD2（填“＞“＝”或“＜）；
●形成概念
若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为金高三角形，两边的交点为金点．
●知识应用
（2）①如图3，△ABC为金高三角形（AC＞BC，其中C为金点，CD是边AB上的高，若AD＝2BD＝2，试求线段CD的长度；
②如图4，等腰△ABC为金高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为边AB上的高，过点D作DE∥BC，与边AC交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长．
25．（10分）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）如图，在下面的扑克牌中，牌面是中心对称图形的有（ ）
A．2张 B．3张 C．4张 D．5张
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色求解．
【解答】解：由于黑桃9与梅花3、黑桃8中间的图形旋转180°后无法与原来重合，故不是中心对称图形；
只有红桃2，方片J是中心对称图形，共2张．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
2．（3分）下列事件中，必然事件是（ ）
A．姚明在罚球线上投篮一次，投中
B．掷一枚质地均匀的骰子，出现的数字小于7
C．任意画一个三角形，其内角和是360度
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【考点】随机事件；三角形内角和定理．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】必然事件是指一定发生的事件，根据必然事件的定义即可．
【解答】解：A．姚明在罚球线上投篮一次，投中，此事件是随机事件；
B．掷一枚质地均匀的骰子，出现的数字小于7，此事件是必然事件；
C．任意画一个三角形，其内角和是360度，此事件是不可能事件；
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，此事件是随机事件；
故选：B．
【点评】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）方程4x2﹣2x0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．只有一个实数根
C．没有实数根
D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式．
【专题】计算题；一元二次方程及应用．
【答案】A
【分析】计算出判别式的值即可判断．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×44﹣4＝0，
∴有两个相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
4．（3分）下列四个选项中，∠x是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观．
【答案】C
【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．
【解答】解：根据圆周角定义：
即可得∠x是圆周角的有：C，不是圆周角的有：A，B，D．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
5．（3分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣1）2，下列说法正确的有（ ）
①因为a＝﹣3，所以开口方向向上；
②顶点坐标为（1，0）；
③对称轴为直线x＝1；
④当x＞0时，y随x的增大而增大．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2中，a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，0），
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
故②③2个，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
6．（3分）两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（ ）
A． B．（3，4） C． D．
【考点】正多边形和圆；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接CB，CD，AB，先证明△BCD是等边三角形，得到∠CDB＝60°，再求出∠ADB＝120°，得到A、C、D三点共线，求出∠DAB＝30°，得到∠ABC＝90°，则，再由OB＝OC+BC＝4，可得．
【解答】解：如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接CB，CD，AB，
∴，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CDB＝60°，
∵正六边形的一个内角度数为，
∴∠ADB＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∴∠CDB+∠ADB＝180°，
∴A、C、D三点共线，
∵AD＝BD，
∴，
∴∠ABC＝90°，
∴，
又∵OB＝OC+BC＝4，
∴，
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形内角和定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，正确求出AB，OB的长是解题的关键．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别是x1＝﹣3，x2＝5，则m+n的值（ ）
A．2 B．﹣13 C．﹣17 D．﹣19
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系得出﹣3+5＝﹣m，﹣3×5＝n，求出m、n的值，再求出答案即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别是x1＝﹣3，x2＝5，
∴﹣3+5＝﹣m，﹣3×5＝n，
解得：m＝﹣2，n＝﹣15，
∴m+n＝﹣15+（﹣2）＝﹣17，
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根是x1，x2，则x2+x2，x1 x2．
8．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO＝5cm，AB＝4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．cm
【考点】切线的性质；垂径定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】连接OB，根据切线的性质得到∠ABO＝90°，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∴OB3（cm），
故选：A．
【点评】本题考查的切线的性质、勾股定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2，∠ACB＝60°，连接OA，OB，则的长是（ ）
A． B． C．π D．
【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】D
【分析】过点O作OD⊥AB于D，根据垂径定理求出AD，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出OA，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，
则AD＝DBAB，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∴OA2，
∴的长，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜3，记t＝a+b，则（ ）
A．﹣3＜t＜0 B．﹣1＜t＜0 C．﹣1＜t＜3 D．0＜t＜3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】利用对称轴和对称轴处的函数值的取值范围进行分析即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2），
∴该抛物线开口向上，与x轴的交点分别为（x1，0）、（x2，0）．
∴当x＝1时，y＝1+a+b＞0，
∴a+b＝t＞﹣1．
∵对称轴x，1＜x1＜x2＜3，
∴31，
∴﹣2＞a＞﹣6．
当x时，yb0，
∴a+ba（a+2）2﹣1，
∴a+b＝t＜3．
∴3＞t＞﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征．学生可能不知道该如何下手，不知道从哪些方面确定t的取值范围．
11．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE．若∠BAC＝85°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则旋转角的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据旋转的性质得∠C＝∠E＝70°，∠BAC＝∠DAE，再根据垂直的定义得∠AFC＝90°，则利用互余计算出∠CAF＝90°﹣∠C＝20°，于是得到结论．
【解答】解：设AD与BC的交点为F，
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠C＝∠E＝70°，∠BAC＝∠DAE＝85°，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠EAC＝85°﹣20°＝65°，
∴旋转角的度数为65°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④当x＞﹣2时，y随x增大而增大；⑤abc＞0；⑥y的最小值为3．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力；模型思想．
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，与y轴的交点以及二次函数与一元二次方程的关系逐项进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，
∴2，
∴4a﹣b＝0，
因此①正确；
∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和点（0，0）之间，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
因此②正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），而a＜0，
∴当y＝2时，方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，
因此③正确；
由a＜0，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，即当x＞﹣2时，y随x增大而减小，
因此④不正确；
由抛物线的开口方向可知a＜0，与y轴交点的位置可得c＜0，
由对称轴x2，可得4a＝b，所以b＜0，
所以abc＜0，
因此⑤不正确；
由顶点坐标可得，y的最大值为3，
因此⑥不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，与y轴的交点以及二次函数与一元二次方程的关系是正确判断的前提．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 10 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】10．
【分析】设白色棋子的个数为x个，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．
【解答】解：设白色棋子的个数为x个，根据题意得：
，
解得：x＝10，
经检验x＝10是原方程的解，
答：白色棋子的个数为10个；
故答案为：10．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+4﹣a2＝0的一个根为0，则a的值为 ﹣2 ．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】把x＝0代入原方程得4﹣a2＝0，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值．
【解答】解：把x＝0代入方程（a﹣2）x2+2x+4﹣a2＝0得4﹣a2＝0，解得a1＝2，a2＝﹣2，
因为a﹣2≠0，
所以a的值为﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．（3分）将抛物线y＝﹣3x2+2向上平移3个单位长度后，所得新抛物线的解析式为 y＝﹣3x2+5 ，平移前后图象的形状 相同 ，当x＝ 0 时，y＝﹣3x2+2有最 大 值，其值是 2 ．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识；应用意识．
【答案】y＝﹣3x2+5，相同，0，大，2
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则求得平移的函数解析式，根据平移的性质可知平移前后图象的形状相同，利用二次函数的性质即可求得函数的最值．
【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2+2向上平移3个单位长度后，所得新抛物线的解析式为y＝﹣3x2+5，平移前后图象的形状相同，当x＝0时，y＝﹣3x2+2有最大值，其值是2．
故答案为：y＝﹣3x2+5，相同，0，大，2
【点评】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟知平移的规律和二次函数的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，且AB＝3，BC＝5，AC＝4，则CD＝ ．
【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理的逆定理；切线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】由切线长定理得CF＝CE，BD＝BE，AF＝AD，则CF+BD＝CE+BE＝BC＝5，于是得2AD+5＝7，求得AD＝1，由AB2+AC2＝BC2，证明∠A＝90°，即可求得CD，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，
∴CF＝CE，BD＝BE，AF＝AD，
∵AB＝3，BC＝5，AC＝4，
∴CF+BD＝CE+BE＝BC＝5，
∵AC+AB＝AF+CF+BD+AD＝2AD+5＝4+3＝7，
∴AD＝1，
∵AB2+AC2＝32+42＝25，BC2＝52＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，
∴CD，
故答案为：．
【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义、切线长定理、勾股定理及其逆定理等知识，推导出CF+BD＝BC＝5，进而求得AD＝1是解题的关键．
17．（3分）若抛物线y＝ax2﹣x与x轴有公共点，则a的取值范围是 a且a≠0 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】a且a≠0．
【分析】当抛物线y＝ax2﹣x与x轴有公共点时，二次项系数不为零，且关于x的一元二次方程ax2﹣x0的Δ≥0．
【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣1）2﹣4a0且a≠0，
解得a且a≠0．
故答案为：a且a≠0．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝2，AM，BN分别是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别交于D、C两点，AD＝x，BC＝y，则y关于x的函数表达式为 y ．
【考点】切线的性质；切线长定理；函数关系式；勾股定理；矩形的判定与性质．
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据切线长定理得到BF＝AD＝x，CE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y关于x的函数表达式．
【解答】解：作DF⊥BN交BC于点F，如图：
∵AM，BN分别是⊙O的两条切线，
∴AB⊥AM，AB⊥BN，
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝2，
∵BC＝y，
∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；
∵DE切O于E，
∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y，
则DC＝DE+CE＝x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2，
整理得y，
∴y与x的函数关系式是y，
故答案为：y．
【点评】本题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质、勾股定理及函数关系式等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解下列方程：
（1）2x2﹣x＝0．
（2）x2﹣6x＝7．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝0，x2；
（2）x1＝﹣1，x2＝7．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）2x2﹣x＝0，
x（2x﹣1）＝0，
所以x＝0或2x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2；
（2）x2﹣6x＝7，
x2﹣6x﹣7＝0
（x+1）（x﹣7）＝0，
x+1＝0或x﹣7＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝7．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．（8分）已知：如图，△ABC内接于圆O，且AB过圆心O，D是弧BC上的一点，OD⊥BC，垂足为H，连接AD、CD，AD与BC交于点P．
（1）求证：∠ACD＝∠APB．
（2）若AC＝6，AB＝10，求AD的长．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【分析】（1）连接CD，BD，根据垂径定理可得，即可得∠BCD＝∠CAD，结合三角形外角的性质可证明结论；
（2）利用勾股定理可求解BC的长，结合勾股定理可求解BH＝CH＝4，再利用三角形的中位线可求解OH的长，即可求得HD的长，根据勾股定理可求解BD的长，由圆周角定理可得∠ADB＝90°，再利用勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：连接CD，BD，
∵OD⊥BC于点H，
∴，
∴∠BCD＝∠CAD，
∵∠APB＝∠CAD+∠ACB，∠ACD＝∠BCD+∠ACB，
∴∠APB＝∠ACD；
（2）解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC，
∵OD⊥BC于点H，
∴BH＝CH，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OHAC＝3，
∵AB＝10，
∴OD＝OA＝OB＝5，
∴HD＝OD﹣OH＝5﹣3＝2，
∴BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD，
解得AD．
【点评】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线，三角形外角的性质等知识的综合运用，灵活运用勾股定理求解线段的长是解题的关键．
21．（10分）为了让孩子们掌握垃圾分类知识，树立环保意识，李老师制作了一盒垃圾分类卡片，其中，“可回收物”卡片有30张，“易腐垃圾”卡片22张，“其他垃圾”卡片20张以及若干张“有害垃圾”卡片，这些卡片除图案外都相同．
（1）从这盒卡片中任取一张，使“其他垃圾”卡片的概率是，求“有害垃圾”卡片的数量．
（2）现从中取出4张卡片：A．塑料瓶，B．旧书本，C．过期药品，D．剩饭菜（其中A，B为可回收物，C为有害垃圾，D为易腐垃圾），将取出的四张卡片放入一个不透明的袋子中，小聪和小明从袋子中各取一张卡片，问两人取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的概率（要求列表或画树状图）．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【答案】（1）28张；
（2）．
【分析】（1）设“有害垃圾”卡片有x张，由概率公式得出方程，解方程即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，小聪和小明取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）设“有害垃圾”卡片有x张，
由题意得，
∴x＝28
答：“有害垃圾”卡片有28张；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，小聪和小明取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的结果有2个，
∴小聪和小明两人取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AC＝8，，求DE的长．
【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．
【专题】证明题；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）．
【分析】（1）根据切线的性质得出∠BAC＝90°，由直角三角形的性质得出结论即可；
（2）连接AD，根据三角函数解答即可．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°．
∵点E是BC边的中点，
∴AE＝EC．
∴∠C＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠C+∠EAC，
∴∠AEB＝2∠C．
（2）解：在Rt△ABC中，AC＝8，，
∴BC＝10，，
连接AD．
∵AB为直径作⊙O，
∴∠ADB＝90°．
∴∠B+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，
∴∠B＝∠DAC，
∵AC＝8，，
∴．BD＝BC﹣CD，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝5．
∴．
【点评】此题考查了圆周角定理，切线的性质，关键是根据切线性质和三角函数解答．
23．（10分）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．
（1）若降价x元后，每件衬衫的利润＝ （40﹣x） （元），平均每天销售数量为 （30+3x） 件（用含x的代数式表示）；
（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用；列代数式．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）（40﹣x），（30+3x）；
（2）20元．
【分析】（1）利用每件衬衫的利润＝原利润﹣每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出降价后每件衬衫的利润；利用平均每天的销售量＝30+3×每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出降价后平均每天的销售量；
（2）利用该经销商每天销售衬衫获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存、增加盈利，即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：降价x元后，每件衬衫的利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（30+3x）件．
故答案为：（40﹣x）；（30+3x）．
（2）依题意得：（40﹣x）（30+3x）＝1800，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵要尽快减少库存、增加盈利，
∴x＝20．
答：每件商品应降价20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出降价后每件衬衫的利润及降价后平均每天的销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（10分）●特例感知
（1）①如图1，△ABC为等腰直角三角形，则AB2﹣AC2 ＝ BC2（填“＞“＝”或“＜）；
②如图2，AD为△ABC的高，若AC＝BD，则AB2﹣AC2 ＝ AD2（填“＞“＝”或“＜）；
●形成概念
若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为金高三角形，两边的交点为金点．
●知识应用
（2）①如图3，△ABC为金高三角形（AC＞BC，其中C为金点，CD是边AB上的高，若AD＝2BD＝2，试求线段CD的长度；
②如图4，等腰△ABC为金高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为边AB上的高，过点D作DE∥BC，与边AC交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）①＝；②＝；（2）①CD；②DE＝2a．
【分析】（1）①根据勾股定理即可求解；
②根据勾股定理可得：AB2﹣BD2＝AD2，由已知条件AC＝BD，即可求解；
（2）①因为AD＝2BD＝2，所以BD＝1，而根据金高三角形概念可知，CB＝AD＝2，所以直角三角形CBD中运用勾股定理可得CD的长；
②过点A向ED引垂线，垂足为G，只要证明△AGD≌△CDB（AAS），即可解决问题．
【解答】解：（1）①∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB2＝AC2+BC2，即AB2﹣AC2＝BC2；
故答案为：＝；
②∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
∵AC＝BD，
∴AB2＝AD2+AC2，
∴AB2﹣AC2＝AD2；
故答案为：＝；
（2）①∵△ABC为金高三角形，AC＞BC，其中C为金点，CD是边AB上的高，
∴AC2﹣BC2＝CD2，AC2﹣AD2＝CD2，
∴BC＝AD，
∵AD＝2BD＝2，
∴BC＝AD＝2，BD＝1，
在Rt△CBD中，CD2＝BC2﹣BD2，
∴CD；
●深入探究：
如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，
∴AD2＝CB2，
即AD＝CB；
②过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵等腰△ABC为金高三角形，AB＝AC＞BC，CD为边AB上的高，
∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，
∵AC2﹣AD2＝CD2，
∴AD＝BC．
又∵ED∥BC，
∴∠ADE＝∠B．
∵∠AGD＝∠CDB＝90°，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴DG＝BD．
∵△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B．
∵ED∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD，
∵AG⊥DE，
∴DE＝2DG＝2BD．
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝EC＝a，
∴DE＝2a．
【点评】本题是三角形综合题，考查了勾股定理的应用与等腰三角形的性质，理解题干中给出的金高三角形两边之间与高的关系，构造直角三角形利用勾
股定理是解题的关键．
25．（10分）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；抛物线与x轴的交点．
【专题】方程思想；函数及其图象；推理能力．
【答案】（1）该二次函数图象的顶点横坐标为；
（2）p＝﹣1；
（3）1＜a≤2．
【分析】（1）直接用顶点的坐标公式，代值进行计算；
（2）将二次函数表达式进行因式分解，即可求解；
（3）由（2）可得二次函数图象与x轴交点坐标，设两交点分别为C，D，由于顶点在y轴右侧，所以顶点横坐标大于0，由此求得a＞1，所以CD＝a+1，由题意可得，A在x轴上方，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，所以CD≤3，否则，A点和交点不可能在x轴异侧，由此得到a+1≤3，即可求解．
【解答】解：（1）根据顶点坐标公式可得，
顶点的横坐标为：，
∴该二次函数图象的顶点横坐标为；
（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣[x2﹣（a﹣1）x﹣a]＝﹣（x+1）（x﹣a），
∴p＝﹣1，
（3）∵二次函数图象顶点在y轴右侧，
∴，
∴a＞1，
设二次函数图象与x轴交点分别为C，D，C在D左侧，
令y＝0，则﹣（x+1）（x﹣a）＝0，
∴x＝﹣1或a，
∴C（﹣1，0），D（a，0），
∴CD＝a+1，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，
∴A在CD上方，
∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，如图，
∴CD≤3，
∴a+1≤3，
∴a≤2，
∴1＜a≤2．
备注：a的范围还可以详述为：
由题意得：a＞1，
由n＞0得：﹣1＜m＜a，
则2＜m+3＜a+3，
∵抛物线和x＝m+3的交点在x轴的下方，
故m+3＞a，
即当m+3＞2时，都有m+3＞a成立，
故a≤2，
故1＜a≤2．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的三种表现形式，二次函数的图象与x轴交点坐标问题，根据题意，理解A点和（m+3，0）两点之间的关系，是解决问题的突破口．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
4．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
5．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
6．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
7．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
8．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
9．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
10．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
11．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
12．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
13．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
14．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
15．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
16．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
17．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
18．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
21．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
22．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
23．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
24．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
25．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
26．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
27．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
28．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
29．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
30．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
31．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
32．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
33．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，cosA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
34．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
35．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
36．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）如图，在下面的扑克牌中，牌面是中心对称图形的有（ ）
A．2张 B．3张 C．4张 D．5张
2．（3分）下列事件中，必然事件是（ ）
A．姚明在罚球线上投篮一次，投中
B．掷一枚质地均匀的骰子，出现的数字小于7
C．任意画一个三角形，其内角和是360度
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
3．（3分）方程4x2﹣2x0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．只有一个实数根
C．没有实数根
D．有两个不相等的实数根
4．（3分）下列四个选项中，∠x是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣1）2，下列说法正确的有（ ）
①因为a＝﹣3，所以开口方向向上；
②顶点坐标为（1，0）；
③对称轴为直线x＝1；
④当x＞0时，y随x的增大而增大．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（3分）两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（ ）
A． B．（3，4） C． D．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别是x1＝﹣3，x2＝5，则m+n的值（ ）
A．2 B．﹣13 C．﹣17 D．﹣19
8．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO＝5cm，AB＝4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．cm
9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2，∠ACB＝60°，连接OA，OB，则的长是（ ）
A． B． C．π D．
10．（3分）已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜3，记t＝a+b，则（ ）
A．﹣3＜t＜0 B．﹣1＜t＜0 C．﹣1＜t＜3 D．0＜t＜3
11．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE．若∠BAC＝85°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则旋转角的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④当x＞﹣2时，y随x增大而增大；⑤abc＞0；⑥y的最小值为3．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 ．
14．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+4﹣a2＝0的一个根为0，则a的值为 ．
15．（3分）将抛物线y＝﹣3x2+2向上平移3个单位长度后，所得新抛物线的解析式为 ，平移前后图象的形状 ，当x＝ 时，y＝﹣3x2+2有最 值，其值是 ．
16．（3分）如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，且AB＝3，BC＝5，AC＝4，则CD＝ ．
17．（3分）若抛物线y＝ax2﹣x与x轴有公共点，则a的取值范围是 ．
18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝2，AM，BN分别是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别交于D、C两点，AD＝x，BC＝y，则y关于x的函数表达式为 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解下列方程：
（1）2x2﹣x＝0．
（2）x2﹣6x＝7．
20．（8分）已知：如图，△ABC内接于圆O，且AB过圆心O，D是弧BC上的一点，OD⊥BC，垂足为H，连接AD、CD，AD与BC交于点P．
（1）求证：∠ACD＝∠APB．
（2）若AC＝6，AB＝10，求AD的长．
21．（10分）为了让孩子们掌握垃圾分类知识，树立环保意识，李老师制作了一盒垃圾分类卡片，其中，“可回收物”卡片有30张，“易腐垃圾”卡片22张，“其他垃圾”卡片20张以及若干张“有害垃圾”卡片，这些卡片除图案外都相同．
（1）从这盒卡片中任取一张，使“其他垃圾”卡片的概率是，求“有害垃圾”卡片的数量．
（2）现从中取出4张卡片：A．塑料瓶，B．旧书本，C．过期药品，D．剩饭菜（其中A，B为可回收物，C为有害垃圾，D为易腐垃圾），将取出的四张卡片放入一个不透明的袋子中，小聪和小明从袋子中各取一张卡片，问两人取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的概率（要求列表或画树状图）．
22．（10分）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AC＝8，，求DE的长．
23．（10分）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．
（1）若降价x元后，每件衬衫的利润＝ （元），平均每天销售数量为 件（用含x的代数式表示）；
（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？
24．（10分）●特例感知
（1）①如图1，△ABC为等腰直角三角形，则AB2﹣AC2 BC2（填“＞“＝”或“＜）；
②如图2，AD为△ABC的高，若AC＝BD，则AB2﹣AC2 AD2（填“＞“＝”或“＜）；
●形成概念
若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为金高三角形，两边的交点为金点．
●知识应用
（2）①如图3，△ABC为金高三角形（AC＞BC，其中C为金点，CD是边AB上的高，若AD＝2BD＝2，试求线段CD的长度；
②如图4，等腰△ABC为金高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为边AB上的高，过点D作DE∥BC，与边AC交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长．
25．（10分）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
2024—2025学年上学期天津初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）如图，在下面的扑克牌中，牌面是中心对称图形的有（ ）
A．2张 B．3张 C．4张 D．5张
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色求解．
【解答】解：由于黑桃9与梅花3、黑桃8中间的图形旋转180°后无法与原来重合，故不是中心对称图形；
只有红桃2，方片J是中心对称图形，共2张．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
2．（3分）下列事件中，必然事件是（ ）
A．姚明在罚球线上投篮一次，投中
B．掷一枚质地均匀的骰子，出现的数字小于7
C．任意画一个三角形，其内角和是360度
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【考点】随机事件；三角形内角和定理．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】必然事件是指一定发生的事件，根据必然事件的定义即可．
【解答】解：A．姚明在罚球线上投篮一次，投中，此事件是随机事件；
B．掷一枚质地均匀的骰子，出现的数字小于7，此事件是必然事件；
C．任意画一个三角形，其内角和是360度，此事件是不可能事件；
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，此事件是随机事件；
故选：B．
【点评】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）方程4x2﹣2x0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．只有一个实数根
C．没有实数根
D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式．
【专题】计算题；一元二次方程及应用．
【答案】A
【分析】计算出判别式的值即可判断．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×44﹣4＝0，
∴有两个相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
4．（3分）下列四个选项中，∠x是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观．
【答案】C
【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．
【解答】解：根据圆周角定义：
即可得∠x是圆周角的有：C，不是圆周角的有：A，B，D．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
5．（3分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣1）2，下列说法正确的有（ ）
①因为a＝﹣3，所以开口方向向上；
②顶点坐标为（1，0）；
③对称轴为直线x＝1；
④当x＞0时，y随x的增大而增大．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2中，a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，0），
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
故②③2个，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
6．（3分）两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（ ）
A． B．（3，4） C． D．
【考点】正多边形和圆；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接CB，CD，AB，先证明△BCD是等边三角形，得到∠CDB＝60°，再求出∠ADB＝120°，得到A、C、D三点共线，求出∠DAB＝30°，得到∠ABC＝90°，则，再由OB＝OC+BC＝4，可得．
【解答】解：如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接CB，CD，AB，
∴，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CDB＝60°，
∵正六边形的一个内角度数为，
∴∠ADB＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∴∠CDB+∠ADB＝180°，
∴A、C、D三点共线，
∵AD＝BD，
∴，
∴∠ABC＝90°，
∴，
又∵OB＝OC+BC＝4，
∴，
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形内角和定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，正确求出AB，OB的长是解题的关键．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别是x1＝﹣3，x2＝5，则m+n的值（ ）
A．2 B．﹣13 C．﹣17 D．﹣19
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系得出﹣3+5＝﹣m，﹣3×5＝n，求出m、n的值，再求出答案即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别是x1＝﹣3，x2＝5，
∴﹣3+5＝﹣m，﹣3×5＝n，
解得：m＝﹣2，n＝﹣15，
∴m+n＝﹣15+（﹣2）＝﹣17，
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根是x1，x2，则x2+x2，x1 x2．
8．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO＝5cm，AB＝4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．cm
【考点】切线的性质；垂径定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】连接OB，根据切线的性质得到∠ABO＝90°，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∴OB3（cm），
故选：A．
【点评】本题考查的切线的性质、勾股定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2，∠ACB＝60°，连接OA，OB，则的长是（ ）
A． B． C．π D．
【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】D
【分析】过点O作OD⊥AB于D，根据垂径定理求出AD，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出OA，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，
则AD＝DBAB，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∴OA2，
∴的长，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜3，记t＝a+b，则（ ）
A．﹣3＜t＜0 B．﹣1＜t＜0 C．﹣1＜t＜3 D．0＜t＜3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】利用对称轴和对称轴处的函数值的取值范围进行分析即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2），
∴该抛物线开口向上，与x轴的交点分别为（x1，0）、（x2，0）．
∴当x＝1时，y＝1+a+b＞0，
∴a+b＝t＞﹣1．
∵对称轴x，1＜x1＜x2＜3，
∴31，
∴﹣2＞a＞﹣6．
当x时，yb0，
∴a+ba（a+2）2﹣1，
∴a+b＝t＜3．
∴3＞t＞﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征．学生可能不知道该如何下手，不知道从哪些方面确定t的取值范围．
11．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE．若∠BAC＝85°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则旋转角的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据旋转的性质得∠C＝∠E＝70°，∠BAC＝∠DAE，再根据垂直的定义得∠AFC＝90°，则利用互余计算出∠CAF＝90°﹣∠C＝20°，于是得到结论．
【解答】解：设AD与BC的交点为F，
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠C＝∠E＝70°，∠BAC＝∠DAE＝85°，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠EAC＝85°﹣20°＝65°，
∴旋转角的度数为65°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④当x＞﹣2时，y随x增大而增大；⑤abc＞0；⑥y的最小值为3．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力；模型思想．
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，与y轴的交点以及二次函数与一元二次方程的关系逐项进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，
∴2，
∴4a﹣b＝0，
因此①正确；
∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和点（0，0）之间，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
因此②正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），而a＜0，
∴当y＝2时，方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，
因此③正确；
由a＜0，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，即当x＞﹣2时，y随x增大而减小，
因此④不正确；
由抛物线的开口方向可知a＜0，与y轴交点的位置可得c＜0，
由对称轴x2，可得4a＝b，所以b＜0，
所以abc＜0，
因此⑤不正确；
由顶点坐标可得，y的最大值为3，
因此⑥不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，与y轴的交点以及二次函数与一元二次方程的关系是正确判断的前提．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 10 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】10．
【分析】设白色棋子的个数为x个，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．
【解答】解：设白色棋子的个数为x个，根据题意得：
，
解得：x＝10，
经检验x＝10是原方程的解，
答：白色棋子的个数为10个；
故答案为：10．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+4﹣a2＝0的一个根为0，则a的值为 ﹣2 ．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】把x＝0代入原方程得4﹣a2＝0，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值．
【解答】解：把x＝0代入方程（a﹣2）x2+2x+4﹣a2＝0得4﹣a2＝0，解得a1＝2，a2＝﹣2，
因为a﹣2≠0，
所以a的值为﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．（3分）将抛物线y＝﹣3x2+2向上平移3个单位长度后，所得新抛物线的解析式为 y＝﹣3x2+5 ，平移前后图象的形状 相同 ，当x＝ 0 时，y＝﹣3x2+2有最 大 值，其值是 2 ．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识；应用意识．
【答案】y＝﹣3x2+5，相同，0，大，2
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则求得平移的函数解析式，根据平移的性质可知平移前后图象的形状相同，利用二次函数的性质即可求得函数的最值．
【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2+2向上平移3个单位长度后，所得新抛物线的解析式为y＝﹣3x2+5，平移前后图象的形状相同，当x＝0时，y＝﹣3x2+2有最大值，其值是2．
故答案为：y＝﹣3x2+5，相同，0，大，2
【点评】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟知平移的规律和二次函数的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，且AB＝3，BC＝5，AC＝4，则CD＝ ．
【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理的逆定理；切线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】由切线长定理得CF＝CE，BD＝BE，AF＝AD，则CF+BD＝CE+BE＝BC＝5，于是得2AD+5＝7，求得AD＝1，由AB2+AC2＝BC2，证明∠A＝90°，即可求得CD，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，
∴CF＝CE，BD＝BE，AF＝AD，
∵AB＝3，BC＝5，AC＝4，
∴CF+BD＝CE+BE＝BC＝5，
∵AC+AB＝AF+CF+BD+AD＝2AD+5＝4+3＝7，
∴AD＝1，
∵AB2+AC2＝32+42＝25，BC2＝52＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，
∴CD，
故答案为：．
【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义、切线长定理、勾股定理及其逆定理等知识，推导出CF+BD＝BC＝5，进而求得AD＝1是解题的关键．
17．（3分）若抛物线y＝ax2﹣x与x轴有公共点，则a的取值范围是 a且a≠0 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】a且a≠0．
【分析】当抛物线y＝ax2﹣x与x轴有公共点时，二次项系数不为零，且关于x的一元二次方程ax2﹣x0的Δ≥0．
【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣1）2﹣4a0且a≠0，
解得a且a≠0．
故答案为：a且a≠0．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝2，AM，BN分别是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别交于D、C两点，AD＝x，BC＝y，则y关于x的函数表达式为 y ．
【考点】切线的性质；切线长定理；函数关系式；勾股定理；矩形的判定与性质．
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据切线长定理得到BF＝AD＝x，CE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y关于x的函数表达式．
【解答】解：作DF⊥BN交BC于点F，如图：
∵AM，BN分别是⊙O的两条切线，
∴AB⊥AM，AB⊥BN，
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝2，
∵BC＝y，
∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；
∵DE切O于E，
∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y，
则DC＝DE+CE＝x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2，
整理得y，
∴y与x的函数关系式是y，
故答案为：y．
【点评】本题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质、勾股定理及函数关系式等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解下列方程：
（1）2x2﹣x＝0．
（2）x2﹣6x＝7．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝0，x2；
（2）x1＝﹣1，x2＝7．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）2x2﹣x＝0，
x（2x﹣1）＝0，
所以x＝0或2x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2；
（2）x2﹣6x＝7，
x2﹣6x﹣7＝0
（x+1）（x﹣7）＝0，
x+1＝0或x﹣7＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝7．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．（8分）已知：如图，△ABC内接于圆O，且AB过圆心O，D是弧BC上的一点，OD⊥BC，垂足为H，连接AD、CD，AD与BC交于点P．
（1）求证：∠ACD＝∠APB．
（2）若AC＝6，AB＝10，求AD的长．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【分析】（1）连接CD，BD，根据垂径定理可得，即可得∠BCD＝∠CAD，结合三角形外角的性质可证明结论；
（2）利用勾股定理可求解BC的长，结合勾股定理可求解BH＝CH＝4，再利用三角形的中位线可求解OH的长，即可求得HD的长，根据勾股定理可求解BD的长，由圆周角定理可得∠ADB＝90°，再利用勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：连接CD，BD，
∵OD⊥BC于点H，
∴，
∴∠BCD＝∠CAD，
∵∠APB＝∠CAD+∠ACB，∠ACD＝∠BCD+∠ACB，
∴∠APB＝∠ACD；
（2）解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC，
∵OD⊥BC于点H，
∴BH＝CH，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OHAC＝3，
∵AB＝10，
∴OD＝OA＝OB＝5，
∴HD＝OD﹣OH＝5﹣3＝2，
∴BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD，
解得AD．
【点评】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线，三角形外角的性质等知识的综合运用，灵活运用勾股定理求解线段的长是解题的关键．
21．（10分）为了让孩子们掌握垃圾分类知识，树立环保意识，李老师制作了一盒垃圾分类卡片，其中，“可回收物”卡片有30张，“易腐垃圾”卡片22张，“其他垃圾”卡片20张以及若干张“有害垃圾”卡片，这些卡片除图案外都相同．
（1）从这盒卡片中任取一张，使“其他垃圾”卡片的概率是，求“有害垃圾”卡片的数量．
（2）现从中取出4张卡片：A．塑料瓶，B．旧书本，C．过期药品，D．剩饭菜（其中A，B为可回收物，C为有害垃圾，D为易腐垃圾），将取出的四张卡片放入一个不透明的袋子中，小聪和小明从袋子中各取一张卡片，问两人取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的概率（要求列表或画树状图）．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【答案】（1）28张；
（2）．
【分析】（1）设“有害垃圾”卡片有x张，由概率公式得出方程，解方程即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，小聪和小明取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）设“有害垃圾”卡片有x张，
由题意得，
∴x＝28
答：“有害垃圾”卡片有28张；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，小聪和小明取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的结果有2个，
∴小聪和小明两人取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AC＝8，，求DE的长．
【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．
【专题】证明题；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）．
【分析】（1）根据切线的性质得出∠BAC＝90°，由直角三角形的性质得出结论即可；
（2）连接AD，根据三角函数解答即可．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°．
∵点E是BC边的中点，
∴AE＝EC．
∴∠C＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠C+∠EAC，
∴∠AEB＝2∠C．
（2）解：在Rt△ABC中，AC＝8，，
∴BC＝10，，
连接AD．
∵AB为直径作⊙O，
∴∠ADB＝90°．
∴∠B+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，
∴∠B＝∠DAC，
∵AC＝8，，
∴．BD＝BC﹣CD，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝5．
∴．
【点评】此题考查了圆周角定理，切线的性质，关键是根据切线性质和三角函数解答．
23．（10分）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．
（1）若降价x元后，每件衬衫的利润＝ （40﹣x） （元），平均每天销售数量为 （30+3x） 件（用含x的代数式表示）；
（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用；列代数式．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）（40﹣x），（30+3x）；
（2）20元．
【分析】（1）利用每件衬衫的利润＝原利润﹣每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出降价后每件衬衫的利润；利用平均每天的销售量＝30+3×每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出降价后平均每天的销售量；
（2）利用该经销商每天销售衬衫获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存、增加盈利，即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：降价x元后，每件衬衫的利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（30+3x）件．
故答案为：（40﹣x）；（30+3x）．
（2）依题意得：（40﹣x）（30+3x）＝1800，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵要尽快减少库存、增加盈利，
∴x＝20．
答：每件商品应降价20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出降价后每件衬衫的利润及降价后平均每天的销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（10分）●特例感知
（1）①如图1，△ABC为等腰直角三角形，则AB2﹣AC2 ＝ BC2（填“＞“＝”或“＜）；
②如图2，AD为△ABC的高，若AC＝BD，则AB2﹣AC2 ＝ AD2（填“＞“＝”或“＜）；
●形成概念
若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为金高三角形，两边的交点为金点．
●知识应用
（2）①如图3，△ABC为金高三角形（AC＞BC，其中C为金点，CD是边AB上的高，若AD＝2BD＝2，试求线段CD的长度；
②如图4，等腰△ABC为金高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为边AB上的高，过点D作DE∥BC，与边AC交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）①＝；②＝；（2）①CD；②DE＝2a．
【分析】（1）①根据勾股定理即可求解；
②根据勾股定理可得：AB2﹣BD2＝AD2，由已知条件AC＝BD，即可求解；
（2）①因为AD＝2BD＝2，所以BD＝1，而根据金高三角形概念可知，CB＝AD＝2，所以直角三角形CBD中运用勾股定理可得CD的长；
②过点A向ED引垂线，垂足为G，只要证明△AGD≌△CDB（AAS），即可解决问题．
【解答】解：（1）①∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB2＝AC2+BC2，即AB2﹣AC2＝BC2；
故答案为：＝；
②∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
∵AC＝BD，
∴AB2＝AD2+AC2，
∴AB2﹣AC2＝AD2；
故答案为：＝；
（2）①∵△ABC为金高三角形，AC＞BC，其中C为金点，CD是边AB上的高，
∴AC2﹣BC2＝CD2，AC2﹣AD2＝CD2，
∴BC＝AD，
∵AD＝2BD＝2，
∴BC＝AD＝2，BD＝1，
在Rt△CBD中，CD2＝BC2﹣BD2，
∴CD；
●深入探究：
如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，
∴AD2＝CB2，
即AD＝CB；
②过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵等腰△ABC为金高三角形，AB＝AC＞BC，CD为边AB上的高，
∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，
∵AC2﹣AD2＝CD2，
∴AD＝BC．
又∵ED∥BC，
∴∠ADE＝∠B．
∵∠AGD＝∠CDB＝90°，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴DG＝BD．
∵△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B．
∵ED∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD，
∵AG⊥DE，
∴DE＝2DG＝2BD．
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝EC＝a，
∴DE＝2a．
【点评】本题是三角形综合题，考查了勾股定理的应用与等腰三角形的性质，理解题干中给出的金高三角形两边之间与高的关系，构造直角三角形利用勾
股定理是解题的关键．
25．（10分）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；抛物线与x轴的交点．
【专题】方程思想；函数及其图象；推理能力．
【答案】（1）该二次函数图象的顶点横坐标为；
（2）p＝﹣1；
（3）1＜a≤2．
【分析】（1）直接用顶点的坐标公式，代值进行计算；
（2）将二次函数表达式进行因式分解，即可求解；
（3）由（2）可得二次函数图象与x轴交点坐标，设两交点分别为C，D，由于顶点在y轴右侧，所以顶点横坐标大于0，由此求得a＞1，所以CD＝a+1，由题意可得，A在x轴上方，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，所以CD≤3，否则，A点和交点不可能在x轴异侧，由此得到a+1≤3，即可求解．
【解答】解：（1）根据顶点坐标公式可得，
顶点的横坐标为：，
∴该二次函数图象的顶点横坐标为；
（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣[x2﹣（a﹣1）x﹣a]＝﹣（x+1）（x﹣a），
∴p＝﹣1，
（3）∵二次函数图象顶点在y轴右侧，
∴，
∴a＞1，
设二次函数图象与x轴交点分别为C，D，C在D左侧，
令y＝0，则﹣（x+1）（x﹣a）＝0，
∴x＝﹣1或a，
∴C（﹣1，0），D（a，0），
∴CD＝a+1，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，
∴A在CD上方，
∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，如图，
∴CD≤3，
∴a+1≤3，
∴a≤2，
∴1＜a≤2．
备注：a的范围还可以详述为：
由题意得：a＞1，
由n＞0得：﹣1＜m＜a，
则2＜m+3＜a+3，
∵抛物线和x＝m+3的交点在x轴的下方，
故m+3＞a，
即当m+3＞2时，都有m+3＞a成立，
故a≤2，
故1＜a≤2．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的三种表现形式，二次函数的图象与x轴交点坐标问题，根据题意，理解A点和（m+3，0）两点之间的关系，是解决问题的突破口．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
4．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
5．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
6．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
7．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
8．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
9．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
10．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
11．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
12．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
13．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
14．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
15．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
16．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
17．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
18．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
21．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
22．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
23．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
24．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
25．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
26．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
27．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
28．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
29．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
30．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
31．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
32．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
33．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，cosA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
34．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
35．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
36．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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