2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 686.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:39:27 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）已知分式的值为0，则x＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
3．（4分）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
4．（4分）用配方法解方程2x2﹣4x﹣1＝0时，需要先将此方程化成形如（x+m）2＝n（n≥0）的形式，则下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣1）2
C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2
5．（4分）若a＜b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．1﹣a＞1﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+3 D．m2a＜m2b
6．（4分）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．10x2﹣5x＝5x 2x﹣5x
B．a（x+y）＝ax+ay
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x
7．（4分）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第2022次旋转后得到的图形与图①～④中相同的（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
8．（4分）如图，直线y＝kx（k≠0）和直线y＝mx+n（m≠0）相交于点A（2，3），则不等式kx≤mx+n的解集为（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≥2 D．x≤2
9．（4分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件不正确的是（ ）
A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E
10．（4分）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a的代数式A＝a2+a，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（ ）个
①当a＝﹣3时，A＝6；
②存在实数a，使得A0；
③若A﹣1＝0，则a23；
④已知代数式A、B、C满足A﹣B＝2，B﹣C＝2，则A2+B2+C2﹣AB﹣AC﹣BC＝14．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）用直接开平方法解一元二次方程时，将一元二次方程的左边化为一个 式，右边化为 ．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为 ．
13．（4分）图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数是 ．
14．（4分）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 ．
15．（4分）如图1，两个完全相同的三角尺ABC和DEF重合放置，将三角尺DEF沿AB平移，点D落在AB的中点处；如图2，在图1的基础上将三角尺DEF绕点D在平面内旋转，若AC＝DF＝2，∠A＝∠EDF＝45°，∠C＝∠F＝90°，当点C恰好落在三角尺DEF的边上时，AF的长为 ．
16．（4分）如图，已知，AB＝AC＝CD，AB⊥CD，若BC＝4，则S△DBC＝ ．
17．（4分）若数m使关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，且使关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数m的值之和为 ．
18．（4分）对于四位数M，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s，将千位数字去掉得到的数记为t，并规定F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d），则F ；若一个四位数M＝1201+1000a+100b+30c+d（0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且F（M）除以13余1，则满足条件的M的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
20．（10分）（1）因式分解a3b﹣ab；
（2）计算：．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（﹣3，﹣1），画出平移后的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．
22．（10分）如图，平行四边形ABCD中，连接BD．
（1）尺规作图：作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BD，BC于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BM，DN，求证：四边形BNDM是平行四边形；
（3）若DM＝10，MN＝12，求BD的长．
23．（10分）清明节之际，学校组织“缅怀 2023清明祭英烈”主题教育活动，八年一班的同学手工制作了祭扫用的绢花．制作绢花需要两种彩色缎带，其中A型缎带16元/卷，B型缎带12元/卷．已知他们购买两种缎带共20卷，总费用未超过预算经费300元，求他们的A型缎带最多购买了多少卷．
24．（10分）如图，等腰Rt△AOB在平面直角坐标系xOy上，∠B＝90°，OA＝4．点C从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，过点C作直线l⊥OA，直线l与射线OB相交于点N．
（1）点B的坐标为 ；
（2）点C的运动时间是t秒．
①当2≤t≤4时，△AOB在直线l右侧部分的图形的面积为S，求S（用含t的式子表示）；
②当t＞0时，点M在直线l上且△ABM是以AB为底的等腰三角形，若CNCM，求t的值．
25．（10分）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
26．（10分）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAC＝90°，AB＝AC＝CD＝2．将△ACD沿AC剪下来，以A为旋转中心逆时针旋转α（0°＜α＜180°），旋转过程中，AD、AC与BC所在的直线的交点分别为E、F．
（1）求证：△ABC≌△CAD；
（2）当旋转角为45°时，如图2所示，求重叠部分的面积；
（3）在旋转过程中，若CE＝1，如图3所示，求CF的长；
（4）在旋转过程中，若CE＝x，请直接写出BF的长（用含x的式子表示）．
2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项B、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到一个点，使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（4分）已知分式的值为0，则x＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据分式的值为0的条件列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，|x|﹣1＝0且1﹣x≠0，
解得x＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．（4分）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．
【解答】解：这个八边形的内角和为：
（8﹣2）×180°＝1080°；
这个八边形的每个内角的度数为：
1080°÷8＝135°；
这个八边形的每个外角的度数为：
360°÷8＝45°；
∴这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：
135：45＝3：1．
故选：D．
【点评】此题考查多边形的内角与外角的关系，属于基础题．
4．（4分）用配方法解方程2x2﹣4x﹣1＝0时，需要先将此方程化成形如（x+m）2＝n（n≥0）的形式，则下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣1）2
C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式．
【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0，
∴2x2﹣4x＝1，
∴x2﹣2x，
则x2﹣2x+11，即（x﹣1）2，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．（4分）若a＜b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．1﹣a＞1﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+3 D．m2a＜m2b
【考点】不等式的性质．
【专题】数与式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴1﹣a＞1﹣b，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，故本选项不符合题意；
C．∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴2a+1＜2b+3，故本选项不符合题意；
D．当m＝0时，m2a＝m2b，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（4分）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．10x2﹣5x＝5x 2x﹣5x
B．a（x+y）＝ax+ay
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x
【考点】因式分解的意义．
【专题】常规题型；运算能力．
【答案】C
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，是因式分解，故此选项符合题意；
D、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
7．（4分）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第2022次旋转后得到的图形与图①～④中相同的（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【考点】中心对称；规律型：图形的变化类；旋转的性质．
【专题】规律型；平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】B
【分析】由于每经过4次旋转后两矩形重合，而2022＝4×505+2，所以第2022次旋转后得到的图形与图②相同．
【解答】解：由于每经过4次旋转后两矩形重合，2022＝4×505+2，
∴第2022次旋转后得到的图形与图②相同．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
8．（4分）如图，直线y＝kx（k≠0）和直线y＝mx+n（m≠0）相交于点A（2，3），则不等式kx≤mx+n的解集为（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≥2 D．x≤2
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】D
【分析】写出直线y＝kx（k≠0）在直线y＝mx+n（m≠0）下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，不等式kx≤mx+n的解集为x≤2；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
9．（4分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件不正确的是（ ）
A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；
B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
C．∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
∵∠B＝∠E，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；
D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．
10．（4分）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a的代数式A＝a2+a，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（ ）个
①当a＝﹣3时，A＝6；
②存在实数a，使得A0；
③若A﹣1＝0，则a23；
④已知代数式A、B、C满足A﹣B＝2，B﹣C＝2，则A2+B2+C2﹣AB﹣AC﹣BC＝14．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】因式分解的应用；分式的加减法；二次根式的加减法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】①把a＝﹣3代入计算；
②先把左边配方，再根据非负数的性质判断；
③根据a的值是否为0，分情况讨论求解；
④先把左边分解因式，再整体代入求解．
【解答】解：①当a＝﹣3时，A＝（﹣3）2﹣3＝6；
②∵A（a）2≥0，
∴不存在实数a，使得A0；
③∵A﹣1＝a2+a﹣1＝0，
∵a≠0时，
∴a+10，
∴（a）2＝1，
∴a23；
④∵A﹣B＝2，B﹣C＝2，
∴A﹣C＝4，
∴A2+B2+C2﹣AB﹣AC﹣BC
（2A2+2B2+2C2﹣2AB﹣2AC﹣2BC）
[（A﹣B）2+（B﹣C）2+（A﹣C）2]
[（2）2+（2）2+42]
（6+46﹣416）
＝14，
故正确的有：①③④两个，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式及整体代入法是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）用直接开平方法解一元二次方程时，将一元二次方程的左边化为一个 完全平方 式，右边化为 常数 ．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】完全平方，常数．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方，据此可得答案．
【解答】解：用直接开平方法解一元二次方程时，将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，
故答案为：完全平方，常数．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为 2 ．
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】2．
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝12，
∴，
在Rt△AFB中，AB＝8，
，
∴EF＝DE﹣DF＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
13．（4分）图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数是 120° ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】120°．
【分析】根据n边形内角和公式（n﹣2） 180°求解即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（5﹣2）×180°＝540°，∠A＝∠B＝∠D，∠C＝∠E＝90°，
∴3∠A+2×90°＝540°，
则∠A＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了多边形的内角和问题，掌握多边形的内角和公式是解答的关键．
14．（4分）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 300（1+x）2＝363 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×（1+增长率）＝363，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一年的产量为300×（1+x），
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为300×（1+x）×（1+x），
则列出的方程是300（1+x）2＝363．
故答案为：300（1+x）2＝363．
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
15．（4分）如图1，两个完全相同的三角尺ABC和DEF重合放置，将三角尺DEF沿AB平移，点D落在AB的中点处；如图2，在图1的基础上将三角尺DEF绕点D在平面内旋转，若AC＝DF＝2，∠A＝∠EDF＝45°，∠C＝∠F＝90°，当点C恰好落在三角尺DEF的边上时，AF的长为 或 ．
【考点】旋转的性质；平移的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】或．
【分析】分两种情况讨论，由等腰直角三角形的性质可得AD＝CD，利用勾股定理和平行四边形的性质可求解．
【解答】解：如图，当点C落在DF上时，
∵AC＝DF＝2，∠A＝∠EDF＝45°，∠C＝∠F＝90°，
∴△ACB和△DFE都是等腰直角三角形，
∴AB＝DE＝2，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝CD，
∴AF；
当点C落在DE上时，连接CF，
∵DE＝AB＝2，CD，
∴CE＝CD，
∵△EFD是等腰直角三角形，
∴CF＝CDAD，CF⊥DE，
∴CF∥AD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF＝CD，
故答案为：或．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
16．（4分）如图，已知，AB＝AC＝CD，AB⊥CD，若BC＝4，则S△DBC＝ 4 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的面积．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】4．
【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴BEBC＝2，
过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，
∴∠DHC＝∠AEC＝90°，
∴∠CDH+∠DCH＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠ABC+∠BCO＝90°，
∴∠CDH＝∠ABC，
在△CDH与△ABE中，
，
∴△CDH≌△ABE（AAS），
∴DH＝BE＝2，
∴S△DBC4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，正确地作出辅助线是解题的关键．
17．（4分）若数m使关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，且使关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数m的值之和为 2 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】先解关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，可得m≤5．再解关于y的分式方程1，可得y．因为该分式方程有非负整数解，所以可推断出整数m的值．
【解答】解：由x+8＞3x﹣2，得x＜5．
∵关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，
∴m≤5．
∵1，
∴y+m﹣2y＝y﹣3．
∴y．
又∵关于y的分式方程1有非负整数解且m为整数，
∴是非负整数且3．
∴m≠3、m≥﹣3．
∴﹣3≤m≤5且m≠3．
∴m＝﹣3或m＝﹣1或m＝1或m＝5．
∴符合条件的m的和为﹣3+（﹣1）+1+5＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组以及解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组以及解分式方程是解决本题的关键．
18．（4分）对于四位数M，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s，将千位数字去掉得到的数记为t，并规定F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d），则F 82 ；若一个四位数M＝1201+1000a+100b+30c+d（0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且F（M）除以13余1，则满足条件的M的最小值为 1406 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】推理填空题；新定义；整体思想；因式分解；整式；运算能力；推理能力．
【答案】82；1406．
【分析】分别求出s和t，把s和t代入F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d），并整理得F（M）＝82（a﹣b），或F（M）＝41（c﹣d），即可求出；因为M＝1201+1000a+100b+30c+d，可得M千位上的数、百位上的数、位上的数和个位上的数分别为：1+a、2+b、3c、1+d，由题意得2[（1+a）﹣（2+b）]＝3c﹣（1+d），即2a﹣2b＝3c﹣d+1，进而求得F（M）＝82a﹣82b﹣82，由于F（M）除以13余1，故F（M）﹣1＝82a﹣82b﹣83能被13整除，将82a﹣82b﹣83变形为13（6a﹣6b﹣6）+4a﹣4b﹣5，可知4a﹣4b﹣5也能被13整除．由0≤a≤8，0≤b≤7可推出﹣28≤4a﹣4b﹣5≤32，分①当4a﹣4b﹣5＝﹣26时，②当4a﹣4b﹣5＝﹣13时，③当4a﹣4b﹣5＝0时，④当4a﹣4b﹣5＝13时，⑤当4a﹣4b﹣5＝26时，分别求出符合条件的a的值，进而求出符合条件的b、c、d的值即可．
【解答】解：由题意得，2（a﹣b）＝c﹣d，
将M的个位数字去掉得s＝abc，将四位数M的千位数字去掉后t＝bcd，
∴F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d）
＝（100a+10b+c）﹣（100b+10c+d）﹣10（b﹣d）
＝100a+10b+c﹣100b﹣10c﹣d﹣10b+10d
＝100（a﹣b）﹣9（c﹣d）
∴F（M）＝82（a﹣b），或F（M）＝41（c﹣d），
∴41×（6﹣4）＝82；
∵M＝1201+1000a+100b+30c+d，
∴这个“双倍差数”的千位上的数、百位上的数、位上的数和个位上的数分别为：1+a、2+b、3c、1+d，
∴2[（1+a）﹣（2+b）]＝3c﹣（1+d），
∴2a﹣2b＝3c﹣d+1，
∴F（M）＝82[（1+a）﹣（2+b）]＝82a﹣82b﹣82，
∵F（M）除以13余1，
∴82a﹣82b﹣83能被13整除，
∵82a﹣82b﹣83＝78a+4a﹣78b﹣4b﹣78﹣5
＝13（6a﹣6b﹣6）+4a﹣4b﹣5，
∴4a﹣4b﹣5能被13整除，
∵0≤a≤8，0≤b≤7，
∴0≤4a≤32，﹣28≤﹣4b≤0，
∴﹣28≤4a﹣4b﹣5≤32，
①当4a﹣4b﹣5＝﹣26时，a＝b，
∵0≤a≤8，0≤b≤7，且a、b为整数，
∴此种情况不符合题意，舍去；
②当4a﹣4b﹣5＝﹣13时，a＝b﹣2，即b＝a+2
∵0≤a≤8，0≤b≤7，且a、b为整数，
∴0≤a+2≤7，
∴0≤a≤5，
∴a＝0，1，5，3，4，5，
③当4a﹣4b﹣5＝0时，a＝b，
∵0≤a≤8，0≤b≤7，且a、b为整数，
∴此种情况不符合题意，舍去；
④当4a﹣4b﹣5＝13时，a＝b，
∵0≤a≤8，0≤b≤7，且a、b为整数，
∴此种情况不符合题意，舍去；
⑤当4a﹣4b﹣5＝26时，a＝b，
∵0≤a≤8，0≤b≤7，且a、b为整数，
∴此种情况不符合题意，舍去；
综上，a的取值为0，1，2，3，4，5，
∴当a＝0时，M取值最小，把a＝0代入b＝a+2，得b＝2，
把a＝0，b＝2代入2a﹣2b＝3c﹣d+1，得﹣4＝3c﹣d+1，
整理得，3c＝d﹣5，
∵0≤d≤8，
∴当d＝5时，3c取最小值5﹣5＝0，则c＝0，
综上，当M取最小值时a＝0，b＝2，c＝0，d＝5，
∴M＝1201+1000a+100b+30c+d
＝1201+0+200+0+5
＝1406．
故答案为：82；1406．
【点评】本题是新定义型，主要考查因式分解的应用，整式的加减和不等式的性质等知识，难度大，理解新定义，将F（M）整理得F（M）＝82（a﹣b）或F（M）＝41（c﹣d）以及运用分类讨论的思想是解答本题的关键．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x+6＞3（x+1），得：x，
解不等式，得：x≤4，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（10分）（1）因式分解a3b﹣ab；
（2）计算：．
【考点】分式的混合运算；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；分式；运算能力．
【答案】（1）ab（a+1）（a﹣1）；
（2）﹣x﹣1．
【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式将题目中的式子因式分解即可；
（2．先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
【解答】解：（1）a3b﹣ab
＝ab（a2﹣1）
＝ab（a+1）（a﹣1）；
（2）
＝﹣（x+1）
＝﹣x﹣1．
【点评】本题考查分式的混合运算，因式分解，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则，同时还要明确因式分解的方法．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（﹣3，﹣1），画出平移后的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）见解答；
（3）（0，）．
【分析】（1）利用中心对称的性质写出A、B关于C点的对称点，然后描点即可；
（2）利用点A、A2的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）连接A1A2交CC2于P点，则P点为旋转中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，旋转中心P的坐标为（0，）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
22．（10分）如图，平行四边形ABCD中，连接BD．
（1）尺规作图：作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BD，BC于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BM，DN，求证：四边形BNDM是平行四边形；
（3）若DM＝10，MN＝12，求BD的长．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】作图题；证明题；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）16．
【分析】（1）利用基本作图作BD的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OD，MB＝MD，NB＝ND，再证明△DOM≌△BON，得出BN＝MD，再根据AD∥BC，得出BNDM是平行四边形；
（3）结合（2）证明四边形BEDF为菱形，然后根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）解：如图，MN为所作；
（2）证明：∵MN垂直平分BD，
∴OB＝OD，MB＝MD，NB＝ND，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
在△DOM和△BON中，
，
∴△DOM≌△BON（AAS），
∴BN＝MD，
∵AD∥BC，
∴四边形BNDM是平行四边形；
（3）解：△DOM≌△BON，
∴DM＝BN，
∴BM＝DM＝BN＝DN，
∴四边形BEDF为菱形，
∴OM＝ONMN12＝6，MN⊥BD，
∵DM＝10，
∴OD8，
∴BD＝2OD＝16．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定，解决本题的关键是熟练掌握基本作图方法．
23．（10分）清明节之际，学校组织“缅怀 2023清明祭英烈”主题教育活动，八年一班的同学手工制作了祭扫用的绢花．制作绢花需要两种彩色缎带，其中A型缎带16元/卷，B型缎带12元/卷．已知他们购买两种缎带共20卷，总费用未超过预算经费300元，求他们的A型缎带最多购买了多少卷．
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】他们的A型缎带最多购买了15卷．
【分析】设他们购买了x卷A型缎带，则购买了（20﹣x）卷B型缎带，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过300元，可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：设他们购买了x卷A型缎带，则购买了（20﹣x）卷B型缎带，
根据题意得：16x+12（20﹣x）≤300，
解得：x≤15，
∴x的最大值为15．
答：他们的A型缎带最多购买了15卷．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
24．（10分）如图，等腰Rt△AOB在平面直角坐标系xOy上，∠B＝90°，OA＝4．点C从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，过点C作直线l⊥OA，直线l与射线OB相交于点N．
（1）点B的坐标为 （2，2） ；
（2）点C的运动时间是t秒．
①当2≤t≤4时，△AOB在直线l右侧部分的图形的面积为S，求S（用含t的式子表示）；
②当t＞0时，点M在直线l上且△ABM是以AB为底的等腰三角形，若CNCM，求t的值．
【考点】三角形综合题．
【专题】平面直角坐标系；一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（2，2）；
（2）①S；
②t＝6，或t．
【分析】（1）过B点作BD⊥OA于点D，根据等腰直角三角形的性质求得OD与BD的长度，便可写出B点的坐标；
（2）①证明△ACM为等腰直角三角形，再由三角形的面积公式求得结果；
②过AB的中点D，作线段AB的垂直平分线DE，求出直线OB与DE的解析式，再用t表示C、M、N的坐标，进而用t表示CN与CM，根据已知条件CNCM，列出t的方程进行解答便可．
【解答】解：（1）过B点作BD⊥OA于点D，如图1，
∵∠OBA＝90°，OB＝AB，OA＝4．
∴BD＝OD＝ADOA＝2，
∴B（2，2），
故答案为（2，2）；
（2）①当2≤t≤4时，如图2，则AC＝OA﹣OC＝4﹣t，
∵∠OBA＝90°，OB＝AB，
∴∠OAB＝45°，
∵直线l⊥OA，
∴∠ACM＝90°，
∴∠AMC＝45°＝∠CAM，
∴AC＝CM＝4﹣t，
∴S；
②过AB的中点D，作线段AB的垂直平分线DE，如图3，
∵△ABM是以AB为底的等腰三角形，
∴MA＝MB，
∴点M在直线DE上，
∵点M在直线l上，
∴点M为直线l与直线DE的交点，
设直线OB的解析式为y＝kx（k≠0），
由（1）知，B（2，2），
∴2＝2k，
∴k＝1，
∴直线OB的解析式为：y＝x，
∵∠ABO＝∠ADM＝90°，
∴DE∥OB，
∴设直线DE的解析式为y＝x+n，
∵A（4，0），B（2，2），D为AB的中点，
∴D（3，1），
把D（3，1）代入y＝x+n中，得1＝3+n，
∴n＝﹣2，
∴直线DE的解析式为：y＝x﹣2，
∵OC＝t，
∴C（t，0），N（t，t），M（t，t﹣2），
∵CNCM，t＞0
∴t|t﹣2|，
∴t（t﹣2），或t（2﹣t），
解得，t＝6，或t．
【点评】本题主要考查了点的坐标，待定系数法，求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，难度不大，第（3）题关键是求出AB的垂直平分线的解析式和正确列出t的方程．
25．（10分）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）共有6种购买方案；
（3）m＝5．
【分析】（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B款文化衫的单价，再将其代入（x+10）中，可求出A款文化衫的单价；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于14800元且不少于14750元，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可得出w关于y的函数关系式，由（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同（即w的值与y值无关），利用一次函数的性质，可得出m﹣5＝0，解之即可得出m的值．
【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，
根据题意得：，
解得：275≤y≤280，
又∵y为正整数，
∴y可以为275，276，277，278，279，280，
∴共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴w的值与y值无关，
∴m﹣5＝0，
∴m＝5．
答：m的值为5．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于y的函数关系式．
26．（10分）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAC＝90°，AB＝AC＝CD＝2．将△ACD沿AC剪下来，以A为旋转中心逆时针旋转α（0°＜α＜180°），旋转过程中，AD、AC与BC所在的直线的交点分别为E、F．
（1）求证：△ABC≌△CAD；
（2）当旋转角为45°时，如图2所示，求重叠部分的面积；
（3）在旋转过程中，若CE＝1，如图3所示，求CF的长；
（4）在旋转过程中，若CE＝x，请直接写出BF的长（用含x的式子表示）．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；压轴题；推理能力；应用意识．
【答案】（1）证明见解答；
（2）重叠部分的面积为S△ACG＝2；
（3）CF的长度为；
（4）BF的长为或或．
【分析】（1）由平行线性质可得∠BAC＝∠ACD＝90°，再利用SAS即可证得△ABC≌△CAD；
（2）当旋转角为45°时，重叠部分为等腰直角三角形ACG，利用等腰直角三角形性质可求得AG＝CGAC22，再根据三角形面积公式即可求得答案；
（3）根据旋转的性质可证得△AEF′≌△AEF，得出EF′＝EF，设EF＝EF′＝a，则CF′＝BF＝4﹣1﹣a＝3﹣a，再利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；
（4）分五种情况：当0°＜α＜45°时，当45°≤α≤90°时，当90°＜α＜135°时，当α＝135°时，当135°＜α＜180°时，分别求出BF即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
在△ABC和△CAD中，
，
∴△ABC≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∵将△ACD绕点A逆时针旋转45°得到△AC′D，
∴重叠部分为△ACG，且∠CAG＝∠ACG＝45°，
∴∠AGC＝90°，
∴AGAC22，
∴重叠部分的面积为S△ACG22＝2；
（3）解：如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°，得到△ACF′，连接EF′，
则∠ACF′＝∠ABF＝∠EAF＝45°，∠CAF′＝∠BAF，AF′＝AF，CF′＝BF，
∵∠BAF+∠CAE＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF′＝∠CAF′+∠CAE＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF，
在△AEF′和△AEF中，
，
∴△AEF′≌△AEF（SAS），
∴EF′＝EF，
在等腰直角三角形△ABC中，BCAB24，
设EF＝EF′＝a，则CF′＝BF＝4﹣1﹣a＝3﹣a，
在Rt△CEF′中，CE2+CF′2＝EF′2，
∴12+（3﹣a）2＝a2，
解得：a，
∴EF，
∴CF＝CE+EF＝1；
（4）解：当0°＜α＜45°时，如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°得到△ACF′，连接FF′，EF′，
设BF＝y，则CF＝4﹣y，
由旋转得：CF′＝BF＝y，AF′＝AF，∠ACF′＝∠B＝∠ACB＝45°，∠CAF′＝∠BAF，
∵∠FAF′＝∠CAF′+∠CAF＝∠BAF+∠CAF＝∠BAC＝90°，
∴△AFF′是等腰直角三角形，
∵∠EAF＝∠EAF′＝45°，
∴AE垂直平分线段FF′，
∴EF′＝EF＝CE+CF＝x+4﹣y，
∵∠BCF′＝∠ACB+∠ACF′＝45°+45°＝90°，
∴∠ECF′＝180°﹣∠BCF′＝90°，
∴CE2+CF′2＝EF′2，
∴x2+y2＝（x+4﹣y）2，
∴y；
当45°≤α≤90°时，如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°得到△ACF′，连接EF′，
设BF＝y，则CF＝4﹣y，EF＝4﹣x﹣y，
由旋转得：CF′＝BF＝y，AF′＝AF，∠ACF′＝∠B＝∠ACB＝45°，∠CAF′＝∠BAF，
∵∠EAF′＝∠CAF′+∠CAE＝∠BAF+∠CAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF，
在△EAF′和△EAF中，
，
∴△EAF′≌△EAF（SAS），
∴EF′＝EF＝4﹣x﹣y，
∵CE2+CF′2＝EF′2，
∴x2+y2＝（4﹣x﹣y）2，
∴y（0≤x≤2）；
当90°＜α＜135°时，如图，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，FE′，
设BF＝y，则EF＝4﹣x+y，
由旋转得：BE′＝CE＝x，AE′＝AE，∠ABE′＝∠ACE＝∠ABC＝45°，∠BAE′＝∠CAE，
∵∠EAE′＝∠BAE′+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，∠C′AD′＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
∴AF垂直平分EE′，
∴E′F＝EF＝4﹣x+y，
∵∠EBE′＝∠ABC+∠ABE′＝45°+45°＝90°，
∴∠E′BF＝180°﹣∠EBE′＝90°，
∴BF2+BE′2＝E′F2，
即y2+x2＝（4﹣x+y）2，
∴y（2＜x＜4）；
当α＝135°时，AC′∥BC，
∴AC′所在的直线与直线BC没有交点；
当135°＜α＜180°时，如图，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，FE′，
∵∠C′AD′＝∠CAD＝45°，
∴∠AFC+∠AEB＝45°，
∵∠AFC+∠CAF＝∠ACB＝45°，
∴∠AEB＝∠CAF，
∵∠ABE＝∠ACF＝135°，
∴△ABE∽△FCA，
∴，
∴BE CF＝AB AC，
∵BE＝CE﹣BC＝x﹣4，CF＝BF﹣BC＝y﹣4，AB＝AC＝2，
∴（x﹣4）（y﹣4）＝22，
∴y（x＞4）；
综上所述，BF的长为或或．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，旋转变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，运用数形结合思想和分类讨论思想来解决问题．
考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
3．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
4．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
5．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
6．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
7．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
8．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
9．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
10．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
11．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
12．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
13．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
14．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
15．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
16．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
17．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
19．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
20．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
21．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
22．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
23．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
24．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
25．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
26．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
27．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
28．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
29．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
30．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
31．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
32．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
33．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
34．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
35．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
36．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
37．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
38．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）已知分式的值为0，则x＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
3．（4分）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
4．（4分）用配方法解方程2x2﹣4x﹣1＝0时，需要先将此方程化成形如（x+m）2＝n（n≥0）的形式，则下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣1）2
C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2
5．（4分）若a＜b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．1﹣a＞1﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+3 D．m2a＜m2b
6．（4分）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．10x2﹣5x＝5x 2x﹣5x
B．a（x+y）＝ax+ay
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x
7．（4分）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第2022次旋转后得到的图形与图①～④中相同的（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
8．（4分）如图，直线y＝kx（k≠0）和直线y＝mx+n（m≠0）相交于点A（2，3），则不等式kx≤mx+n的解集为（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≥2 D．x≤2
9．（4分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件不正确的是（ ）
A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E
10．（4分）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a的代数式A＝a2+a，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（ ）个
①当a＝﹣3时，A＝6；
②存在实数a，使得A0；
③若A﹣1＝0，则a23；
④已知代数式A、B、C满足A﹣B＝2，B﹣C＝2，则A2+B2+C2﹣AB﹣AC﹣BC＝14．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）用直接开平方法解一元二次方程时，将一元二次方程的左边化为一个 式，右边化为 ．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为 ．
13．（4分）图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数是 ．
14．（4分）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 ．
15．（4分）如图1，两个完全相同的三角尺ABC和DEF重合放置，将三角尺DEF沿AB平移，点D落在AB的中点处；如图2，在图1的基础上将三角尺DEF绕点D在平面内旋转，若AC＝DF＝2，∠A＝∠EDF＝45°，∠C＝∠F＝90°，当点C恰好落在三角尺DEF的边上时，AF的长为 ．
16．（4分）如图，已知，AB＝AC＝CD，AB⊥CD，若BC＝4，则S△DBC＝ ．
17．（4分）若数m使关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，且使关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数m的值之和为 ．
18．（4分）对于四位数M，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s，将千位数字去掉得到的数记为t，并规定F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d），则F ；若一个四位数M＝1201+1000a+100b+30c+d（0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且F（M）除以13余1，则满足条件的M的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
20．（10分）（1）因式分解a3b﹣ab；
（2）计算：．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（﹣3，﹣1），画出平移后的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．
22．（10分）如图，平行四边形ABCD中，连接BD．
（1）尺规作图：作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BD，BC于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BM，DN，求证：四边形BNDM是平行四边形；
（3）若DM＝10，MN＝12，求BD的长．
23．（10分）清明节之际，学校组织“缅怀 2023清明祭英烈”主题教育活动，八年一班的同学手工制作了祭扫用的绢花．制作绢花需要两种彩色缎带，其中A型缎带16元/卷，B型缎带12元/卷．已知他们购买两种缎带共20卷，总费用未超过预算经费300元，求他们的A型缎带最多购买了多少卷．
24．（10分）如图，等腰Rt△AOB在平面直角坐标系xOy上，∠B＝90°，OA＝4．点C从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，过点C作直线l⊥OA，直线l与射线OB相交于点N．
（1）点B的坐标为 ；
（2）点C的运动时间是t秒．
①当2≤t≤4时，△AOB在直线l右侧部分的图形的面积为S，求S（用含t的式子表示）；
②当t＞0时，点M在直线l上且△ABM是以AB为底的等腰三角形，若CNCM，求t的值．
25．（10分）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
26．（10分）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAC＝90°，AB＝AC＝CD＝2．将△ACD沿AC剪下来，以A为旋转中心逆时针旋转α（0°＜α＜180°），旋转过程中，AD、AC与BC所在的直线的交点分别为E、F．
（1）求证：△ABC≌△CAD；
（2）当旋转角为45°时，如图2所示，求重叠部分的面积；
（3）在旋转过程中，若CE＝1，如图3所示，求CF的长；
（4）在旋转过程中，若CE＝x，请直接写出BF的长（用含x的式子表示）．
2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项B、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到一个点，使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（4分）已知分式的值为0，则x＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据分式的值为0的条件列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，|x|﹣1＝0且1﹣x≠0，
解得x＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．（4分）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．
【解答】解：这个八边形的内角和为：
（8﹣2）×180°＝1080°；
这个八边形的每个内角的度数为：
1080°÷8＝135°；
这个八边形的每个外角的度数为：
360°÷8＝45°；
∴这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：
135：45＝3：1．
故选：D．
【点评】此题考查多边形的内角与外角的关系，属于基础题．
4．（4分）用配方法解方程2x2﹣4x﹣1＝0时，需要先将此方程化成形如（x+m）2＝n（n≥0）的形式，则下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣1）2
C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式．
【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0，
∴2x2﹣4x＝1，
∴x2﹣2x，
则x2﹣2x+11，即（x﹣1）2，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．（4分）若a＜b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．1﹣a＞1﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+3 D．m2a＜m2b
【考点】不等式的性质．
【专题】数与式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴1﹣a＞1﹣b，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，故本选项不符合题意；
C．∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴2a+1＜2b+3，故本选项不符合题意；
D．当m＝0时，m2a＝m2b，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（4分）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．10x2﹣5x＝5x 2x﹣5x
B．a（x+y）＝ax+ay
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x
【考点】因式分解的意义．
【专题】常规题型；运算能力．
【答案】C
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，是因式分解，故此选项符合题意；
D、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
7．（4分）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第2022次旋转后得到的图形与图①～④中相同的（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【考点】中心对称；规律型：图形的变化类；旋转的性质．
【专题】规律型；平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】B
【分析】由于每经过4次旋转后两矩形重合，而2022＝4×505+2，所以第2022次旋转后得到的图形与图②相同．
【解答】解：由于每经过4次旋转后两矩形重合，2022＝4×505+2，
∴第2022次旋转后得到的图形与图②相同．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
8．（4分）如图，直线y＝kx（k≠0）和直线y＝mx+n（m≠0）相交于点A（2，3），则不等式kx≤mx+n的解集为（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≥2 D．x≤2
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】D
【分析】写出直线y＝kx（k≠0）在直线y＝mx+n（m≠0）下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，不等式kx≤mx+n的解集为x≤2；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
9．（4分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件不正确的是（ ）
A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；
B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
C．∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
∵∠B＝∠E，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；
D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．
10．（4分）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a的代数式A＝a2+a，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（ ）个
①当a＝﹣3时，A＝6；
②存在实数a，使得A0；
③若A﹣1＝0，则a23；
④已知代数式A、B、C满足A﹣B＝2，B﹣C＝2，则A2+B2+C2﹣AB﹣AC﹣BC＝14．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】因式分解的应用；分式的加减法；二次根式的加减法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】①把a＝﹣3代入计算；
②先把左边配方，再根据非负数的性质判断；
③根据a的值是否为0，分情况讨论求解；
④先把左边分解因式，再整体代入求解．
【解答】解：①当a＝﹣3时，A＝（﹣3）2﹣3＝6；
②∵A（a）2≥0，
∴不存在实数a，使得A0；
③∵A﹣1＝a2+a﹣1＝0，
∵a≠0时，
∴a+10，
∴（a）2＝1，
∴a23；
④∵A﹣B＝2，B﹣C＝2，
∴A﹣C＝4，
∴A2+B2+C2﹣AB﹣AC﹣BC
（2A2+2B2+2C2﹣2AB﹣2AC﹣2BC）
[（A﹣B）2+（B﹣C）2+（A﹣C）2]
[（2）2+（2）2+42]
（6+46﹣416）
＝14，
故正确的有：①③④两个，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式及整体代入法是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）用直接开平方法解一元二次方程时，将一元二次方程的左边化为一个 完全平方 式，右边化为 常数 ．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】完全平方，常数．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方，据此可得答案．
【解答】解：用直接开平方法解一元二次方程时，将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，
故答案为：完全平方，常数．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为 2 ．
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】2．
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝12，
∴，
在Rt△AFB中，AB＝8，
，
∴EF＝DE﹣DF＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
13．（4分）图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数是 120° ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】120°．
【分析】根据n边形内角和公式（n﹣2） 180°求解即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（5﹣2）×180°＝540°，∠A＝∠B＝∠D，∠C＝∠E＝90°，
∴3∠A+2×90°＝540°，
则∠A＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了多边形的内角和问题，掌握多边形的内角和公式是解答的关键．
14．（4分）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 300（1+x）2＝363 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×（1+增长率）＝363，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一年的产量为300×（1+x），
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为300×（1+x）×（1+x），
则列出的方程是300（1+x）2＝363．
故答案为：300（1+x）2＝363．
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
15．（4分）如图1，两个完全相同的三角尺ABC和DEF重合放置，将三角尺DEF沿AB平移，点D落在AB的中点处；如图2，在图1的基础上将三角尺DEF绕点D在平面内旋转，若AC＝DF＝2，∠A＝∠EDF＝45°，∠C＝∠F＝90°，当点C恰好落在三角尺DEF的边上时，AF的长为 或 ．
【考点】旋转的性质；平移的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】或．
【分析】分两种情况讨论，由等腰直角三角形的性质可得AD＝CD，利用勾股定理和平行四边形的性质可求解．
【解答】解：如图，当点C落在DF上时，
∵AC＝DF＝2，∠A＝∠EDF＝45°，∠C＝∠F＝90°，
∴△ACB和△DFE都是等腰直角三角形，
∴AB＝DE＝2，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝CD，
∴AF；
当点C落在DE上时，连接CF，
∵DE＝AB＝2，CD，
∴CE＝CD，
∵△EFD是等腰直角三角形，
∴CF＝CDAD，CF⊥DE，
∴CF∥AD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF＝CD，
故答案为：或．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
16．（4分）如图，已知，AB＝AC＝CD，AB⊥CD，若BC＝4，则S△DBC＝ 4 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的面积．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】4．
【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴BEBC＝2，
过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，
∴∠DHC＝∠AEC＝90°，
∴∠CDH+∠DCH＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠ABC+∠BCO＝90°，
∴∠CDH＝∠ABC，
在△CDH与△ABE中，
，
∴△CDH≌△ABE（AAS），
∴DH＝BE＝2，
∴S△DBC4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，正确地作出辅助线是解题的关键．
17．（4分）若数m使关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，且使关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数m的值之和为 2 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】先解关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，可得m≤5．再解关于y的分式方程1，可得y．因为该分式方程有非负整数解，所以可推断出整数m的值．
【解答】解：由x+8＞3x﹣2，得x＜5．
∵关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，
∴m≤5．
∵1，
∴y+m﹣2y＝y﹣3．
∴y．
又∵关于y的分式方程1有非负整数解且m为整数，
∴是非负整数且3．
∴m≠3、m≥﹣3．
∴﹣3≤m≤5且m≠3．
∴m＝﹣3或m＝﹣1或m＝1或m＝5．
∴符合条件的m的和为﹣3+（﹣1）+1+5＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组以及解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组以及解分式方程是解决本题的关键．
18．（4分）对于四位数M，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s，将千位数字去掉得到的数记为t，并规定F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d），则F 82 ；若一个四位数M＝1201+1000a+100b+30c+d（0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且F（M）除以13余1，则满足条件的M的最小值为 1406 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】推理填空题；新定义；整体思想；因式分解；整式；运算能力；推理能力．
【答案】82；1406．
【分析】分别求出s和t，把s和t代入F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d），并整理得F（M）＝82（a﹣b），或F（M）＝41（c﹣d），即可求出；因为M＝1201+1000a+100b+30c+d，可得M千位上的数、百位上的数、位上的数和个位上的数分别为：1+a、2+b、3c、1+d，由题意得2[（1+a）﹣（2+b）]＝3c﹣（1+d），即2a﹣2b＝3c﹣d+1，进而求得F（M）＝82a﹣82b﹣82，由于F（M）除以13余1，故F（M）﹣1＝82a﹣82b﹣83能被13整除，将82a﹣82b﹣83变形为13（6a﹣6b﹣6）+4a﹣4b﹣5，可知4a﹣4b﹣5也能被13整除．由0≤a≤8，0≤b≤7可推出﹣28≤4a﹣4b﹣5≤32，分①当4a﹣4b﹣5＝﹣26时，②当4a﹣4b﹣5＝﹣13时，③当4a﹣4b﹣5＝0时，④当4a﹣4b﹣5＝13时，⑤当4a﹣4b﹣5＝26时，分别求出符合条件的a的值，进而求出符合条件的b、c、d的值即可．
【解答】解：由题意得，2（a﹣b）＝c﹣d，
将M的个位数字去掉得s＝abc，将四位数M的千位数字去掉后t＝bcd，
∴F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d）
＝（100a+10b+c）﹣（100b+10c+d）﹣10（b﹣d）
＝100a+10b+c﹣100b﹣10c﹣d﹣10b+10d
＝100（a﹣b）﹣9（c﹣d）
∴F（M）＝82（a﹣b），或F（M）＝41（c﹣d），
∴41×（6﹣4）＝82；
∵M＝1201+1000a+100b+30c+d，
∴这个“双倍差数”的千位上的数、百位上的数、位上的数和个位上的数分别为：1+a、2+b、3c、1+d，
∴2[（1+a）﹣（2+b）]＝3c﹣（1+d），
∴2a﹣2b＝3c﹣d+1，
∴F（M）＝82[（1+a）﹣（2+b）]＝82a﹣82b﹣82，
∵F（M）除以13余1，
∴82a﹣82b﹣83能被13整除，
∵82a﹣82b﹣83＝78a+4a﹣78b﹣4b﹣78﹣5
＝13（6a﹣6b﹣6）+4a﹣4b﹣5，
∴4a﹣4b﹣5能被13整除，
∵0≤a≤8，0≤b≤7，
∴0≤4a≤32，﹣28≤﹣4b≤0，
∴﹣28≤4a﹣4b﹣5≤32，
①当4a﹣4b﹣5＝﹣26时，a＝b，
∵0≤a≤8，0≤b≤7，且a、b为整数，
∴此种情况不符合题意，舍去；
②当4a﹣4b﹣5＝﹣13时，a＝b﹣2，即b＝a+2
∵0≤a≤8，0≤b≤7，且a、b为整数，
∴0≤a+2≤7，
∴0≤a≤5，
∴a＝0，1，5，3，4，5，
③当4a﹣4b﹣5＝0时，a＝b，
∵0≤a≤8，0≤b≤7，且a、b为整数，
∴此种情况不符合题意，舍去；
④当4a﹣4b﹣5＝13时，a＝b，
∵0≤a≤8，0≤b≤7，且a、b为整数，
∴此种情况不符合题意，舍去；
⑤当4a﹣4b﹣5＝26时，a＝b，
∵0≤a≤8，0≤b≤7，且a、b为整数，
∴此种情况不符合题意，舍去；
综上，a的取值为0，1，2，3，4，5，
∴当a＝0时，M取值最小，把a＝0代入b＝a+2，得b＝2，
把a＝0，b＝2代入2a﹣2b＝3c﹣d+1，得﹣4＝3c﹣d+1，
整理得，3c＝d﹣5，
∵0≤d≤8，
∴当d＝5时，3c取最小值5﹣5＝0，则c＝0，
综上，当M取最小值时a＝0，b＝2，c＝0，d＝5，
∴M＝1201+1000a+100b+30c+d
＝1201+0+200+0+5
＝1406．
故答案为：82；1406．
【点评】本题是新定义型，主要考查因式分解的应用，整式的加减和不等式的性质等知识，难度大，理解新定义，将F（M）整理得F（M）＝82（a﹣b）或F（M）＝41（c﹣d）以及运用分类讨论的思想是解答本题的关键．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x+6＞3（x+1），得：x，
解不等式，得：x≤4，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（10分）（1）因式分解a3b﹣ab；
（2）计算：．
【考点】分式的混合运算；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；分式；运算能力．
【答案】（1）ab（a+1）（a﹣1）；
（2）﹣x﹣1．
【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式将题目中的式子因式分解即可；
（2．先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
【解答】解：（1）a3b﹣ab
＝ab（a2﹣1）
＝ab（a+1）（a﹣1）；
（2）
＝﹣（x+1）
＝﹣x﹣1．
【点评】本题考查分式的混合运算，因式分解，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则，同时还要明确因式分解的方法．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（﹣3，﹣1），画出平移后的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）见解答；
（3）（0，）．
【分析】（1）利用中心对称的性质写出A、B关于C点的对称点，然后描点即可；
（2）利用点A、A2的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）连接A1A2交CC2于P点，则P点为旋转中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，旋转中心P的坐标为（0，）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
22．（10分）如图，平行四边形ABCD中，连接BD．
（1）尺规作图：作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BD，BC于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BM，DN，求证：四边形BNDM是平行四边形；
（3）若DM＝10，MN＝12，求BD的长．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】作图题；证明题；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）16．
【分析】（1）利用基本作图作BD的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OD，MB＝MD，NB＝ND，再证明△DOM≌△BON，得出BN＝MD，再根据AD∥BC，得出BNDM是平行四边形；
（3）结合（2）证明四边形BEDF为菱形，然后根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）解：如图，MN为所作；
（2）证明：∵MN垂直平分BD，
∴OB＝OD，MB＝MD，NB＝ND，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
在△DOM和△BON中，
，
∴△DOM≌△BON（AAS），
∴BN＝MD，
∵AD∥BC，
∴四边形BNDM是平行四边形；
（3）解：△DOM≌△BON，
∴DM＝BN，
∴BM＝DM＝BN＝DN，
∴四边形BEDF为菱形，
∴OM＝ONMN12＝6，MN⊥BD，
∵DM＝10，
∴OD8，
∴BD＝2OD＝16．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定，解决本题的关键是熟练掌握基本作图方法．
23．（10分）清明节之际，学校组织“缅怀 2023清明祭英烈”主题教育活动，八年一班的同学手工制作了祭扫用的绢花．制作绢花需要两种彩色缎带，其中A型缎带16元/卷，B型缎带12元/卷．已知他们购买两种缎带共20卷，总费用未超过预算经费300元，求他们的A型缎带最多购买了多少卷．
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】他们的A型缎带最多购买了15卷．
【分析】设他们购买了x卷A型缎带，则购买了（20﹣x）卷B型缎带，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过300元，可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：设他们购买了x卷A型缎带，则购买了（20﹣x）卷B型缎带，
根据题意得：16x+12（20﹣x）≤300，
解得：x≤15，
∴x的最大值为15．
答：他们的A型缎带最多购买了15卷．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
24．（10分）如图，等腰Rt△AOB在平面直角坐标系xOy上，∠B＝90°，OA＝4．点C从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，过点C作直线l⊥OA，直线l与射线OB相交于点N．
（1）点B的坐标为 （2，2） ；
（2）点C的运动时间是t秒．
①当2≤t≤4时，△AOB在直线l右侧部分的图形的面积为S，求S（用含t的式子表示）；
②当t＞0时，点M在直线l上且△ABM是以AB为底的等腰三角形，若CNCM，求t的值．
【考点】三角形综合题．
【专题】平面直角坐标系；一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（2，2）；
（2）①S；
②t＝6，或t．
【分析】（1）过B点作BD⊥OA于点D，根据等腰直角三角形的性质求得OD与BD的长度，便可写出B点的坐标；
（2）①证明△ACM为等腰直角三角形，再由三角形的面积公式求得结果；
②过AB的中点D，作线段AB的垂直平分线DE，求出直线OB与DE的解析式，再用t表示C、M、N的坐标，进而用t表示CN与CM，根据已知条件CNCM，列出t的方程进行解答便可．
【解答】解：（1）过B点作BD⊥OA于点D，如图1，
∵∠OBA＝90°，OB＝AB，OA＝4．
∴BD＝OD＝ADOA＝2，
∴B（2，2），
故答案为（2，2）；
（2）①当2≤t≤4时，如图2，则AC＝OA﹣OC＝4﹣t，
∵∠OBA＝90°，OB＝AB，
∴∠OAB＝45°，
∵直线l⊥OA，
∴∠ACM＝90°，
∴∠AMC＝45°＝∠CAM，
∴AC＝CM＝4﹣t，
∴S；
②过AB的中点D，作线段AB的垂直平分线DE，如图3，
∵△ABM是以AB为底的等腰三角形，
∴MA＝MB，
∴点M在直线DE上，
∵点M在直线l上，
∴点M为直线l与直线DE的交点，
设直线OB的解析式为y＝kx（k≠0），
由（1）知，B（2，2），
∴2＝2k，
∴k＝1，
∴直线OB的解析式为：y＝x，
∵∠ABO＝∠ADM＝90°，
∴DE∥OB，
∴设直线DE的解析式为y＝x+n，
∵A（4，0），B（2，2），D为AB的中点，
∴D（3，1），
把D（3，1）代入y＝x+n中，得1＝3+n，
∴n＝﹣2，
∴直线DE的解析式为：y＝x﹣2，
∵OC＝t，
∴C（t，0），N（t，t），M（t，t﹣2），
∵CNCM，t＞0
∴t|t﹣2|，
∴t（t﹣2），或t（2﹣t），
解得，t＝6，或t．
【点评】本题主要考查了点的坐标，待定系数法，求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，难度不大，第（3）题关键是求出AB的垂直平分线的解析式和正确列出t的方程．
25．（10分）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）共有6种购买方案；
（3）m＝5．
【分析】（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B款文化衫的单价，再将其代入（x+10）中，可求出A款文化衫的单价；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于14800元且不少于14750元，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可得出w关于y的函数关系式，由（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同（即w的值与y值无关），利用一次函数的性质，可得出m﹣5＝0，解之即可得出m的值．
【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，
根据题意得：，
解得：275≤y≤280，
又∵y为正整数，
∴y可以为275，276，277，278，279，280，
∴共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴w的值与y值无关，
∴m﹣5＝0，
∴m＝5．
答：m的值为5．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于y的函数关系式．
26．（10分）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAC＝90°，AB＝AC＝CD＝2．将△ACD沿AC剪下来，以A为旋转中心逆时针旋转α（0°＜α＜180°），旋转过程中，AD、AC与BC所在的直线的交点分别为E、F．
（1）求证：△ABC≌△CAD；
（2）当旋转角为45°时，如图2所示，求重叠部分的面积；
（3）在旋转过程中，若CE＝1，如图3所示，求CF的长；
（4）在旋转过程中，若CE＝x，请直接写出BF的长（用含x的式子表示）．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；压轴题；推理能力；应用意识．
【答案】（1）证明见解答；
（2）重叠部分的面积为S△ACG＝2；
（3）CF的长度为；
（4）BF的长为或或．
【分析】（1）由平行线性质可得∠BAC＝∠ACD＝90°，再利用SAS即可证得△ABC≌△CAD；
（2）当旋转角为45°时，重叠部分为等腰直角三角形ACG，利用等腰直角三角形性质可求得AG＝CGAC22，再根据三角形面积公式即可求得答案；
（3）根据旋转的性质可证得△AEF′≌△AEF，得出EF′＝EF，设EF＝EF′＝a，则CF′＝BF＝4﹣1﹣a＝3﹣a，再利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；
（4）分五种情况：当0°＜α＜45°时，当45°≤α≤90°时，当90°＜α＜135°时，当α＝135°时，当135°＜α＜180°时，分别求出BF即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
在△ABC和△CAD中，
，
∴△ABC≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∵将△ACD绕点A逆时针旋转45°得到△AC′D，
∴重叠部分为△ACG，且∠CAG＝∠ACG＝45°，
∴∠AGC＝90°，
∴AGAC22，
∴重叠部分的面积为S△ACG22＝2；
（3）解：如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°，得到△ACF′，连接EF′，
则∠ACF′＝∠ABF＝∠EAF＝45°，∠CAF′＝∠BAF，AF′＝AF，CF′＝BF，
∵∠BAF+∠CAE＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF′＝∠CAF′+∠CAE＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF，
在△AEF′和△AEF中，
，
∴△AEF′≌△AEF（SAS），
∴EF′＝EF，
在等腰直角三角形△ABC中，BCAB24，
设EF＝EF′＝a，则CF′＝BF＝4﹣1﹣a＝3﹣a，
在Rt△CEF′中，CE2+CF′2＝EF′2，
∴12+（3﹣a）2＝a2，
解得：a，
∴EF，
∴CF＝CE+EF＝1；
（4）解：当0°＜α＜45°时，如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°得到△ACF′，连接FF′，EF′，
设BF＝y，则CF＝4﹣y，
由旋转得：CF′＝BF＝y，AF′＝AF，∠ACF′＝∠B＝∠ACB＝45°，∠CAF′＝∠BAF，
∵∠FAF′＝∠CAF′+∠CAF＝∠BAF+∠CAF＝∠BAC＝90°，
∴△AFF′是等腰直角三角形，
∵∠EAF＝∠EAF′＝45°，
∴AE垂直平分线段FF′，
∴EF′＝EF＝CE+CF＝x+4﹣y，
∵∠BCF′＝∠ACB+∠ACF′＝45°+45°＝90°，
∴∠ECF′＝180°﹣∠BCF′＝90°，
∴CE2+CF′2＝EF′2，
∴x2+y2＝（x+4﹣y）2，
∴y；
当45°≤α≤90°时，如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°得到△ACF′，连接EF′，
设BF＝y，则CF＝4﹣y，EF＝4﹣x﹣y，
由旋转得：CF′＝BF＝y，AF′＝AF，∠ACF′＝∠B＝∠ACB＝45°，∠CAF′＝∠BAF，
∵∠EAF′＝∠CAF′+∠CAE＝∠BAF+∠CAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF，
在△EAF′和△EAF中，
，
∴△EAF′≌△EAF（SAS），
∴EF′＝EF＝4﹣x﹣y，
∵CE2+CF′2＝EF′2，
∴x2+y2＝（4﹣x﹣y）2，
∴y（0≤x≤2）；
当90°＜α＜135°时，如图，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，FE′，
设BF＝y，则EF＝4﹣x+y，
由旋转得：BE′＝CE＝x，AE′＝AE，∠ABE′＝∠ACE＝∠ABC＝45°，∠BAE′＝∠CAE，
∵∠EAE′＝∠BAE′+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，∠C′AD′＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
∴AF垂直平分EE′，
∴E′F＝EF＝4﹣x+y，
∵∠EBE′＝∠ABC+∠ABE′＝45°+45°＝90°，
∴∠E′BF＝180°﹣∠EBE′＝90°，
∴BF2+BE′2＝E′F2，
即y2+x2＝（4﹣x+y）2，
∴y（2＜x＜4）；
当α＝135°时，AC′∥BC，
∴AC′所在的直线与直线BC没有交点；
当135°＜α＜180°时，如图，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，FE′，
∵∠C′AD′＝∠CAD＝45°，
∴∠AFC+∠AEB＝45°，
∵∠AFC+∠CAF＝∠ACB＝45°，
∴∠AEB＝∠CAF，
∵∠ABE＝∠ACF＝135°，
∴△ABE∽△FCA，
∴，
∴BE CF＝AB AC，
∵BE＝CE﹣BC＝x﹣4，CF＝BF﹣BC＝y﹣4，AB＝AC＝2，
∴（x﹣4）（y﹣4）＝22，
∴y（x＞4）；
综上所述，BF的长为或或．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，旋转变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，运用数形结合思想和分类讨论思想来解决问题．
考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
3．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
4．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
5．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
6．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
7．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
8．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
9．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
10．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
11．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
12．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
13．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
14．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
15．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
16．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
17．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
19．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
20．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
21．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
22．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
23．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
24．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
25．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
26．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
27．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
28．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
29．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
30．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
31．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
32．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
33．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
34．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
35．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
36．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
37．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
38．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
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