2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 610.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:42:36 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列各式中，是分式的是（ ）
A．x B． C． D．1
2．（4分）下列图形中轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（4分）已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一角为65°的两个等腰三角形相似
C．顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形是矩形，那么原四边形一定是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
5．（4分）函数y＝kx+k与y在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
7．（4分）如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，∠2＝∠3，BC⊥AC于C，DH⊥AB于H，DH交AC于F，O是AB的中点，则下列说法正确的有（ ）
①BC＝CD ②∠4＝30° ③AH＝HF ④OF∥BD
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
8．（4分）在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少．2022年上学期每天作业平均时长为100min，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为70min．设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．100（1﹣x2）＝70 B．70（1+x2）＝100
C．100（1﹣x）2＝70 D．70（1+x）2＝100
9．（4分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，在BD上取一点F，使得BC＝BF，连接CF，过点F作EF⊥CF，EF交AB于点E，延长EF交CD于点G．若AB＝2，则DG的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）观察下列关于x的单项式探究其规律：2x，﹣4x2，6x3，﹣8x4，10x5，﹣12x6，…，按照上述规律，第2024个单项式是（ ）
A．﹣2024x2023 B．2024x2024
C．﹣4048x2023 D．﹣4048x2024
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）（π﹣1）0 ．
12．（4分）若，且a﹣b＝﹣2，则a+b的值是 ．
13．（4分）毕业生小星、小华和小红准备拍照，他们三人随意站成一排，小华恰好站在中间的概率是 ．
14．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
15．（4分）如图所示，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在y和y（k＜0）上，，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于E、F，连接OE、OF，则S△OEF＝ ．
16．（4分）若关于y的不等式组至少有4个整数解，且关于x的分式方程有非负整数解，则所有符合条件的整数a的和是 ．
17．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC和BD交于点O，将矩形纸片折叠，使点D落在AC上的点F处，折痕CE交BD于点G．
（1）如果AB＝6，AD＝8，则DE的长为 ；
（2）如果，则的值为 ．
18．（4分）若正整数a，b，c满足a≤b≤c，abc＝2（a+b+c），则称（a，b，c） 为“好数组”，好数组共有 个．
三．解答题（共2小题，满分18分）
19．（8分）计算：．
20．（10分）解（分式）方程：
（1）x2﹣4x＝5；
（2）3．
四．解答题（共6小题，满分60分，每小题10分）
21．（10分）请完成以下作图和填空：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E．
（1）尺规作图：过点A作AF⊥CD交CD延长线于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若DE＝AF，求证：平行四边形ABCD为菱形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴① ，
∴∠ADF＝∠C，
∵DE⊥BC，AF⊥CD，
∴② ，
在△AFD与△DEC中：
，
∴△AFD≌△DEC（AAS），
∴③ ，
∴平行四边形ABCD是菱形（④ ）．
22．（10分）为了了解2022年某地区5万名大、中、小学生3分钟跳绳成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了20%的学生进行检测，整理样本数据，并结合2018年抽样结果，得到下列统计图．
（1）本次检测抽取了大、中、小学生共 名，其中小学生 名；
（2）根据抽样的结果，估计2022年该地区5万名大、中、小学生中，3分钟跳绳成绩合格的中学生人数为 名；
（3）比较2018年与2022年抽样学生3分钟跳绳成绩合格率情况，写出一条正确的结论．
23．（10分）在平面直角坐标系中，点A（0，m），C（n，0）．
（1）若m，n满足．
①直接写出m＝ ，n＝ ；
②如图1，D为点A上方一点，连接CD，在y轴右侧作等腰Rt△BDC，∠BDC＝90°，连接BA并延长交x轴于点E，当点A上方运动时，求△ACE的面积；
（2）如图2，若m＝n，点D在边OA上，且AD＝11，G为OC上一点，且OG＝8，连接CD，过点G作CD的垂线交CD于点F，交AC于点FH．连接DH，当∠ADH＝∠ODC，求点D的坐标．
24．（10分）某学校准备采购一批化学实验器材A和B．经查询，如果按照标价购买两种实验器材，当购买实验器材B的数量是实验器材A数量的2倍时，购买实验器材A共需要4000元，购买实验器材B共需要6000元，且一套实验器材A单价比一套实验器材B单价贵100元．
（1）求一套实验器材A，一套实验器材B的标价分别是多少元？
（2）学校计划购买相同数量的实验器材B和实验器材A．商家告知，因为周年庆，实验器材B的单价在标价的基础上降价元，实验器材A单价在标价的基础降价100元，该校决定增加采购数量，实际购买实验器材B和实验器材A的数量在原计划基础上分别增加了2.5m%和m%，结果在结算时发现，两种实验器材的总价相等，求m的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，且与正比例函数y＝2x的图象交于点B（2，4）．
（1）求一次函数y＝ax+b（a≠0）的解析式；
（2）点M在x轴上，当MB+MC最小时，求点M的坐标；
（3）若D是直线AB上一点，E是平面内一点，以O、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点E的坐标．
26．（10分）如图1，四边形ABCD为菱形，AB＝m，∠DAB＝60°，DE⊥AB于点E，F为BC上任意一点，连接DF，BD，H为DF上任意一点．
（1）若DF⊥BC，求DF的长（用m表示）；
（2）如图2，作FG∥DE交AC于点G，H为DF的中点，连接HG，HB，BG．猜想线段HG与HB存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点F的运动过程中，当HB+HC+HD的值最小时，请直接写出HF的长（用m表示）．
2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列各式中，是分式的是（ ）
A．x B． C． D．1
【考点】分式的定义．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：的分母中含有字母，属于分式，x、、1的分母中不含有字母，属于整式．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式
2．（4分）下列图形中轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：第一、三、四个图形中都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
第二个图形中不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
3．（4分）已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝﹣1，再把转化成含m+n和mn的代数式的形式，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一角为65°的两个等腰三角形相似
C．顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形是矩形，那么原四边形一定是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；中点四边形．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据梯形的定义、正方形的性质、相似三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定判断即可．
【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可以是等腰梯形，不符合题意；
B、有一个顶角为65°和有一个底角为65°的两个等腰三角形不相似，不符合题意；
C、顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形是矩形，那么原四边形是菱形或对角线垂直的四边形，故不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、相似三角形的判定，中点四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（4分）函数y＝kx+k与y在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；模型思想．
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【解答】解：函数y（k≠0，且k为常数）中k＞0时，反比例函数图象在一、三象限，此时y＝kx+k的图象在第一、二、三象限；
当函数y（k≠0，且k为常数）中k＜0时，反比例函数图象在二、四象限，此时y＝kx+k的图象在第二、三、四象限；
故选：D．
【点评】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．反比例函数y的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
6．（4分）如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，进而得出△AOC∽△A1OC1，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，
∴△AOC∽△A1OC1，
∴，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：4，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．
7．（4分）如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，∠2＝∠3，BC⊥AC于C，DH⊥AB于H，DH交AC于F，O是AB的中点，则下列说法正确的有（ ）
①BC＝CD ②∠4＝30° ③AH＝HF ④OF∥BD
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行线的判定与性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质对①进行判断；先利用三角形内角和计算出∠1＝∠2＝∠3＝30°，再证明△BEC≌△AED，则∠4＝∠1，则可对②进行判断；利用含30度的直角三角形三边的关系对③进行判断；连接OD，O是AB中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可判断△AOD为等边三角形，再证明OF平分∠DOA得到∠FOA＝30°＝∠2，则可对④进行判断．
【解答】解：∵AB∥CD，BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠BDC，
∴BC＝CD，所以①正确；
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∵BC⊥AC于C，
∴∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∵∠ECD＝∠3＝∠EDC＝∠2，
∴EC＝ED，EB＝EA，
而∠BEC＝∠AED，
∴△BEC≌△AED，
∴∠4＝∠1＝30°，所以②正确；
∵DH⊥AH，∠3＝30°，
∴AH：HF：1，故③错误；
连接OD，如图，
∵∠4＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2AD，
∵点O为AB的中点，
∴ODAB，
∴OD＝OA＝AD，
∴△AOD为等边三角形，
∵DH⊥OA，AF平分∠DAO，
∴OF平分∠DOA，
∴∠FOA＝30°＝∠2，
∴OF∥BD，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质、三角形的内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
8．（4分）在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少．2022年上学期每天作业平均时长为100min，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为70min．设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．100（1﹣x2）＝70 B．70（1+x2）＝100
C．100（1﹣x）2＝70 D．70（1+x）2＝100
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】利用2023年上学期平均每天作业时长＝2022年上学期平均每天作业时长×（1﹣这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：100（1﹣x）2＝70．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（4分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，在BD上取一点F，使得BC＝BF，连接CF，过点F作EF⊥CF，EF交AB于点E，延长EF交CD于点G．若AB＝2，则DG的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】过点B作BH⊥CF于H，CH的延长线交CD于K，设CK＝x，证四边形BEGK为平行四边形得GK＝BE，再证HK为△CFG的中位线得CK＝GK，则CK＝GK＝BE＝x，进而得CG＝2x，DG＝2﹣2x，再求出BD，根据BF＝BC＝2得DF，然后证△FDG∽△FBE得DG：BE＝DF：BF，即，由此解出，进而可得DG的长．
【解答】解：过点B作BH⊥CF于H，CH的延长线交CD于K，如图所示：
设CK＝x，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，AB∥CD，
∵EF⊥CF，BH⊥CF，
∴EF∥BH，
即EG∥BK，
又∵AB∥CD，
∴四边形BEGK为平行四边形，
∴GK＝BE，
∵BC＝BF，BH⊥CF
∴CH＝FH，
∵EG∥BK，
∴HK为△CFG的中位线，
∴CK＝GK，
∴CK＝GK＝BE＝x，
∴CG＝CK+GK＝2x，
∴DG＝CD﹣CG＝2﹣2x，
在Rt△BCD中，BC＝CD＝2，
由勾股定理得：BD，
∵BF＝BC＝2，
∴DF＝BD﹣BF，
∵AB∥CD，
∴△FDG∽△FBE，
∴DG：BE＝DF：BF，
即BF DG＝DF BE，
∴，
解得：x，
∴DG＝2﹣2x．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
10．（4分）观察下列关于x的单项式探究其规律：2x，﹣4x2，6x3，﹣8x4，10x5，﹣12x6，…，按照上述规律，第2024个单项式是（ ）
A．﹣2024x2023 B．2024x2024
C．﹣4048x2023 D．﹣4048x2024
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】D
【分析】根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
单项式的系数的绝对值依次增加2，且第一项的系数为2，奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
所以第n项的系数为：（﹣1）n+12n．
单项式的次数依次增加1，且第一项的次数为1，
所以第n项的系数为：n．
所以第n项可表示为：（﹣1）n+12nxn；
当n＝2024时，
（﹣1）n+12nxn＝﹣4048x2024，
即第2024个单项式是﹣4048x2024．
故选：D．
【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）（π﹣1）0 4 ．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+3
＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．（4分）若，且a﹣b＝﹣2，则a+b的值是 12 ．
【考点】比例的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】运用代入消元法解关于a，b的二元一次方程组，即可得出a，b的值．
【解答】解：∵a﹣b＝﹣2，
∴a＝b﹣2，
又∵，
∴，
即7b﹣14＝5b，
解得b＝7，
∴a＝5，
∴a+b＝5+7＝12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，掌握代入消元法是解决问题的关键．
13．（4分）毕业生小星、小华和小红准备拍照，他们三人随意站成一排，小华恰好站在中间的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】．
【分析】列举所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：他们三人随意站成一排，可能的结果为：
（小星，小华，小红），（小星，小红，小华），
（小华，小星，小红），（小华，小红，小星），
（小红，小华，小星），（小红，小星，小华），
其中小华恰好站在中间的有2种结果，
所以小华恰好站在中间的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ﹣1 ．
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22+4c＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝22+4c＝0，
解得c＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
15．（4分）如图所示，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在y和y（k＜0）上，，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于E、F，连接OE、OF，则S△OEF＝ ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；两条直线相交或平行问题．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，易证得△AOM∽△OBN，根据系数三角形的性质即可求得k的值，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得△OEF的面积．
【解答】解：作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOM+∠BON＝∠OBN+BON＝90°，
∴∠AOM＝∠OBN，
∵∠AMO＝∠ONB＝90°，
∴△AOM∽△OBN，
∴（）2，
∵A点在双曲线在y上，，
∴S△AOM9＝4.5，，
∴（）2，
∴S△OBN＝8，
∵B点在双曲线y（k＜0）上，
∴|k|＝8，
∴k＝﹣16，
∵平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，
∴S△OEF9，
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，菱形的性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
16．（4分）若关于y的不等式组至少有4个整数解，且关于x的分式方程有非负整数解，则所有符合条件的整数a的和是 2 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】先根据y的不等式组至少有4个解集求得a＞﹣3，再解关于x的方程得x＝3﹣a，根据关于x的分式方程有非负整数解，确定满足条件的a的值，进而求出之和．
【解答】解：解不等式组，得，
∵不等式组至少只有4个整数解，
∴，
∴a＞﹣3，
解方程，得x＝3﹣a，且x﹣2≠0，
∵x＝3﹣a是非负整数，
∴3﹣a≥0，且3﹣a﹣2≠0，且a为整数，
∴a≤3，且a≠1，且a为整数，
又∵a＞﹣3，
∴﹣3＜a≤3，且a≠1，且a为整数，
∴a＝﹣2或﹣1或0或2或3，
∴所有符合条件的a的值之和是：﹣2﹣1+0+2+3＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题关键．
17．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC和BD交于点O，将矩形纸片折叠，使点D落在AC上的点F处，折痕CE交BD于点G．
（1）如果AB＝6，AD＝8，则DE的长为 3 ；
（2）如果，则的值为 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】（1）3；
（2）．
【分析】（1）根据矩形的性质可得AB＝CD＝6，∠ADC＝90°，由勾股定理求得AC＝10，根据折叠可知DE＝EF，CD＝CF＝6，∠CDE＝∠CFE＝90°，则AF＝4，∠AFE＝90°，设DE＝EF＝x，则AE＝8﹣x，在Rt△AEF中，根据勾股定理列出方程求解即可；
（2）由题意可设AD，AB＝a，根据矩形的性质得AB＝CD＝a，AD＝BC，AD∥BC，∠ADC＝90°，由勾股定理求得AC＝2a，根据折叠可知DE＝EF，CD＝CF＝a，∠CDE＝∠CFE＝90°，则AF＝a，∠AFE＝90°，设DE＝EF＝x，则AEx，在Rt△AEF中，根据勾股定理列出方程，解得DE，易证△DGE∽△BGC，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，AD＝8，
∴AB＝CD＝6，∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，10，
根据折叠的性质可得，DE＝EF，CD＝CF＝6，∠CDE＝∠CFE＝90°，
∴AF＝AC﹣CF＝10﹣6＝4，∠AFE＝90°，
设DE＝EF＝x，则AE＝AD﹣DE＝8﹣x，
在Rt△AEF中，AF2+EF2＝AE2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴DE＝3；
故答案为：3；
（2）∵，
∴设AD，则AB＝a，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝a，AD＝BC，AD∥BC，∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，，
根据折叠的性质可得，DE＝EF，CD＝CF＝a，∠CDE＝∠CFE＝90°，
∴AF＝AC﹣CF＝2a﹣a＝a，∠AFE＝90°，
设DE＝EF＝x，则AE＝AD﹣DEx，
在Rt△AEF中，AF2+EF2＝AE2，
∴，
解得：x，
∴DE，
∵AD∥BC，
∴△DGE∽△BGC，
∴．
【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
18．（4分）若正整数a，b，c满足a≤b≤c，abc＝2（a+b+c），则称（a，b，c） 为“好数组”，好数组共有 3 个．
【考点】因式分解的应用．
【专题】实数；数感；运算能力；推理能力．
【答案】3．
【分析】先由a≤b≤c，abc＝2（a+b+c）可得出abc≤6c，进而得ab≤6，依题意可得a只能为1或2，然后进行分类讨论即可得出答案．
【解答】解：∵a≤b≤c，abc＝2（a+b+c），
∴abc≤6c，
∵a，b，c为正整数，
∴ab≤6，
又∵a≤b≤c，
∴a＝1或2
①当a＝1时，b＝1或2或3或4或5或6，
当a＝1，b＝1时，1×1×c＝2（1+1+c），
解得：c＝﹣4，不合题意，舍去；
当a＝1，b＝2时，1×2×c＝2（1+1+c），
整理得：0 c＝2，故c不存在；
当a＝1，b＝3时，1×3×c＝2（1+3+c），
解得：c＝8，
故得“好数组”（a，b，c）为（1，3，8）；
当a＝1，b＝4时，1×4×c＝2（1+4+c），
解得：c＝5，
故得“好数组”（a，b，c）为（1，4，5），
当a＝1，b＝5时，1×5×c＝2（1+5+c），
解得：c，不合题意，舍去；
当a＝1，b＝6时，1×6×c＝2（1+6+c），
解得：c，不合题意，舍去；
②当a＝2时，b＝2或3，
当a＝2，b＝2时，2×2×c＝2（2+2+c），
解得：c＝4，
故得“好数组”（a，b，c）为（2，2，4）．
当a＝2，b＝3时，2×3×c＝2（2+3+c），
解得：c，不合题意，舍去．
综上所述：“好数组”（a，b，c）为（1，3，8），（1，4，5），（2，2，4），共3组．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了不等式及其性质，正整数的特征，解答此题的关键是由已知条件a≤b≤c，abc＝2（a+b+c）得出ab≤6，再根据正整数的特征进行分类讨论．
三．解答题（共2小题，满分18分）
19．（8分）计算：．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【答案】．
【分析】先算分式除法，再算分式的减法．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
20．（10分）解（分式）方程：
（1）x2﹣4x＝5；
（2）3．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解分式方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；
（2）无解．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）去分母化分式方程为整式方程，解之得出x的值，再检验即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
则（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）两边都乘以x﹣2，得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2），
1＝x﹣1﹣3x+6，
3x﹣x＝﹣1+6﹣1，
2x＝4，
x＝2，
检验：x＝2时，x﹣2＝0，
∴x＝2是分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣因式分解法和解分式方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
四．解答题（共6小题，满分60分，每小题10分）
21．（10分）请完成以下作图和填空：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E．
（1）尺规作图：过点A作AF⊥CD交CD延长线于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若DE＝AF，求证：平行四边形ABCD为菱形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴① AD∥BC ，
∴∠ADF＝∠C，
∵DE⊥BC，AF⊥CD，
∴② ∠DEC＝∠AFD＝90° ，
在△AFD与△DEC中：
，
∴△AFD≌△DEC（AAS），
∴③ AD＝DC ，
∴平行四边形ABCD是菱形（④ 邻边相等的平行四边形为菱形 ）．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）AD∥BC，∠DEC＝∠AFD＝90°，AD＝DC，邻边相等的平行四边形为菱形．
【分析】（1）利用基本作图，过A点作CD的垂线即可；
（2）先利用平行四边形的性质得到AD∥BC，所以∠ADF＝∠C，接着证明△AFD≌△DEC得到AD＝DC，然后根据菱形的判定方法得到平行四边形ABCD是菱形．
【解答】（1）解：如图，AF为所作；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠ADF＝∠C，
∵DE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠DEC＝∠AFD＝90°，
在△AFD与△DEC中：
，
∴△AFD≌△DEC（AAS），
∴AD＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形为菱形）．
故答案为：AD∥BC，∠DEC＝∠AFD＝90°，AD＝DC，邻边相等的平行四边形为菱形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质和菱形的判定．
22．（10分）为了了解2022年某地区5万名大、中、小学生3分钟跳绳成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了20%的学生进行检测，整理样本数据，并结合2018年抽样结果，得到下列统计图．
（1）本次检测抽取了大、中、小学生共 10000 名，其中小学生 4500 名；
（2）根据抽样的结果，估计2022年该地区5万名大、中、小学生中，3分钟跳绳成绩合格的中学生人数为 18000 名；
（3）比较2018年与2022年抽样学生3分钟跳绳成绩合格率情况，写出一条正确的结论．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）10000，4500；
（2）18000；
（3）与2018年相比，2022年该地区大学生3分钟跳绳成绩合格率下降了5%（答案不唯一）．
【分析】（1）根据“教育部门从这三类学生群体中各抽取了20%的学生进行检测”，可得50000×20%，即可得到本次检测抽取了大、中、小学生共多少名，再根据扇形图可得小学生所占45%，即可解答；
（2）先计算出样本中3分钟跳绳成绩合格的中学生人数所占的百分比，再乘以5万，即可解答；
（3）根据条形图，写出一条即可，答案不唯一．
【解答】解：（1）本次检测抽取了大、中、小学生共：50000×20%＝10000（名），
其中小学生：10000×45%＝4500（名）．
故答案为：10000，4500；
（2）估计2022年该地区5万名大、中、小学生中，3分钟跳绳成绩合格的中学生人数为：50000×40%×90%＝18000（名）．
故答案为：18000；
（3）与2018年相比，2022年该地区大学生3分钟跳绳成绩合格率下降了5%（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23．（10分）在平面直角坐标系中，点A（0，m），C（n，0）．
（1）若m，n满足．
①直接写出m＝ 4 ，n＝ 4 ；
②如图1，D为点A上方一点，连接CD，在y轴右侧作等腰Rt△BDC，∠BDC＝90°，连接BA并延长交x轴于点E，当点A上方运动时，求△ACE的面积；
（2）如图2，若m＝n，点D在边OA上，且AD＝11，G为OC上一点，且OG＝8，连接CD，过点G作CD的垂线交CD于点F，交AC于点FH．连接DH，当∠ADH＝∠ODC，求点D的坐标．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①解方程组求出m，n即可．
②证明∠OCD∽△ACB，推出∠BAC＝∠DOC＝90°，可得EO＝OC＝AO＝4，由此即可解决问题．
（2）如图2中，作CP∥OA交DH的延长线于P，作DK⊥CP于K．证明△HCG≌△HCP（AAS），推出CG＝CP，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）①由，解得，
故答案为4，4．
②如图1中，
∵A（0，4），C（4，0），
∴OA＝OC＝4，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴ACOC，∠ACO＝45°，
∵△DCB是等腰直角三角形，
∴BCCD，∠DCB＝45°，
∴∠OCD＝∠ACB，，
∴∠OCD∽△ACB，
∴∠BAC＝∠DOC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACE＝45°，
∴AE＝AC，∵AO⊥EC，
∴EO＝OC＝AO＝4，
∴S△ACE EC AO8×4＝16．
（2）如图2中，作CP∥OA交DH的延长线于P，作DK⊥CP于K．
∵PC∥OA，
∴∠P＝∠ADH，∠DCP＝∠ODC，
∵∠ADH＝∠ODC，
∴∠P＝∠PCD，
∴DP＝DC，
∴△DPC是等腰三角形，
∵∠DKC＝∠KCO＝∠DOC＝90°，
∴四边形ODKC是矩形，
∴OD＝CK，
∵DK⊥PC，
∴PK＝CK＝OD，设OD＝x，则PK＝CK＝x，PC＝2x，
∵OA＝OC，AD＝11，OG＝8，
∴CG＝OC﹣OG＝x+3，
∵GH⊥DC，
∴∠CFG＝∠COD＝90°，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠CGF+∠FCG＝90°，
∴∠ODC＝∠CGF，
∴∠CGH＝∠P，
∵CH＝CH，∠HCG＝∠HCP＝45°，
∴△HCG≌△HCP（AAS），
∴CG＝CP，
∴x+3＝2x，
∴x＝3，
∴D（0，3）
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．（10分）某学校准备采购一批化学实验器材A和B．经查询，如果按照标价购买两种实验器材，当购买实验器材B的数量是实验器材A数量的2倍时，购买实验器材A共需要4000元，购买实验器材B共需要6000元，且一套实验器材A单价比一套实验器材B单价贵100元．
（1）求一套实验器材A，一套实验器材B的标价分别是多少元？
（2）学校计划购买相同数量的实验器材B和实验器材A．商家告知，因为周年庆，实验器材B的单价在标价的基础上降价元，实验器材A单价在标价的基础降价100元，该校决定增加采购数量，实际购买实验器材B和实验器材A的数量在原计划基础上分别增加了2.5m%和m%，结果在结算时发现，两种实验器材的总价相等，求m的值．
【考点】分式方程的应用；一元二次方程的应用．
【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）一套实验器材A的标价是400元，一套实验器材B的标价是300元；
（2）m的值为95．
【分析】（1）设一套实验器材B的标价为x元，则一套实验器材A的标价为（x+100）元，由题意：购买实验器材B的数量是实验器材A数量的2倍时，购买实验器材A共需要4000元，购买实验器材B共需要6000元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校计划购买的实验器材B和实验器材A的数量均为a，由题意：两种实验器材的总价相等，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设一套实验器材B的标价为x元，则一套实验器材A的标价为（x+100）元，
由题意得：2，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，
则x+100＝400，
答：一套实验器材A的标价是400元，一套实验器材B的标价是300元；
（2）设学校计划购买的实验器材B和实验器材A的数量均为a，
由题意得：（300m） a（1+2.5m%）＝（400﹣100） a（1+m%），
整理得：m2﹣95m＝0，
解得：m1＝95，m2＝0（舍去），
答：m的值为95．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，且与正比例函数y＝2x的图象交于点B（2，4）．
（1）求一次函数y＝ax+b（a≠0）的解析式；
（2）点M在x轴上，当MB+MC最小时，求点M的坐标；
（3）若D是直线AB上一点，E是平面内一点，以O、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点E的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）y＝x+2；
（2）M（，0）；
（3）（﹣2，2）或（1，1）．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作C点关于x轴的对称点C'，连接BC'与x轴交于点M，连接MC'、MC，MC+MB＝MC'+MB≥BC'，此时MC+BM的值最小，求出直线BC'与x轴的交点即可求M点坐标；
（3）根据矩形的性质分两种情况讨论：当CO为矩形的边时，D点与A点重合，E（﹣2，2）；当CO为矩形的对角线时，过O点作OD⊥AC交于D点，△OCD是等腰直角三角形，D（﹣1，1），E（1，1）．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（2，4）代入y＝ax+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+2；
（2）作C点关于x轴的对称点C'，连接BC'与x轴交于点M，连接MC'、MC，
∵MC＝MC'，
∴MC+MB＝MC'+MB≥BC'，此时MC+BM的值最小，
当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∴C'（0，﹣2），
设直线BC'的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴直线BC'的解析式为y＝3x﹣2，
∴M（，0）；
（3）当CO为矩形的边时，DO⊥CO，
∴D点与A点重合，
∴E（﹣2，2）；
当CO为矩形的对角线时，过O点作OD⊥AC交于D点，
∵OA＝OC＝2，
∴∠OCA＝45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴D（﹣1，1），
∴E（1，1）；
综上所述：E点坐标为（﹣2，2）或（1，1）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
26．（10分）如图1，四边形ABCD为菱形，AB＝m，∠DAB＝60°，DE⊥AB于点E，F为BC上任意一点，连接DF，BD，H为DF上任意一点．
（1）若DF⊥BC，求DF的长（用m表示）；
（2）如图2，作FG∥DE交AC于点G，H为DF的中点，连接HG，HB，BG．猜想线段HG与HB存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点F的运动过程中，当HB+HC+HD的值最小时，请直接写出HF的长（用m表示）．
【考点】四边形综合题．
【专题】代数几何综合题；平面直角坐标系；一次函数及其应用；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）m；
（2）HBHG，证明过程请看解答；
（3）m．
【分析】（1）由菱形的性质易证△BCD是等边三角形，得出BD＝BC＝m，由等边三角形的性质得BFBCm，由勾股定理即可得出结果；
（2）方法一：以点E为原点，AB为x轴、DE为y轴，建立平面直角坐标系，求得B（m，0），A（m，0），C（m，m），D（0，m），由待定系数法求出直线BC的解析式为yxm，直线AC的解析式为yxm，设F（c，cm），则G（c，cm），求出H（c，c），由两点间的距离公式求出HB，HG，即可得出结果；
方法二：设DE交AC于点N，将△BCG绕点B逆时针旋转60°，得到△BDM，点M在DE上，连接HM、GM，则DM＝CG，△BGM是等边三角形，易证∠CGF＝∠CNE＝120°，∠GCF＝∠GFC，则FG＝CG＝DM，连接DG、MF，四边形DGFM是平行四边形，易证M、H、G三点共线，HG＝HM，由等边三角形的性质得出BH⊥GM，在Rt△BHG中，BH＝tan∠BGM HGHG；
（3）设点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，从而有DE＝PC，连接PD得到PD＝PA，同时∠APB+∠APD＝120°+60°＝180°，∠ADP+∠ADE＝180°，即B、P、D、E四点共线，故PA+PB+PC＝PD+PB+DE＝BE，在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，得出点P为等边△ABC的中心时到三个顶点距离之和最小，在点F的运动过程中，当HB+HC+HD的值最小时，点H为等边△BCD的中心，此时，DF⊥BC，HFDF，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴BC＝AB＝m，△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝m，
∵DF⊥BC，
∴点F为BC的中点，
∴BFBCm，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DFm；
（2）线段HG与HB存在的数量关系为：HBHG，理由如下：
方法一：以点E为原点，AB为x轴、DE为y轴，建立平面直角坐标系，如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴DC＝AD＝AB＝m，△ABD是等边三角形，
∴DEADm，AE＝BEABm，
∴B（m，0），A（m，0），C（m，m），D（0，m），
设直线BC的解析式为：y＝kx+a，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为：yxm，
设直线AC的解析式为：y＝k′x+b，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为：yxm，
设F（c，cm），
∵FG∥DE，
∴G（c，cm），
∵H为DF的中点，
∴H（c，c），
∴HB，
HG，
∴HBHG；
方法二：设DE交AC于点N，
∵∠BCG＝∠BDE＝30°，BC＝BD，∠CBD＝60°，
∴将△BCG绕点B逆时针旋转60°，得到△BDM，点M在DE上，如图2﹣1所示：
连接HM、GM，
则DM＝CG，△BGM是等边三角形，
∴∠BGM＝60°，
∵FG∥DE，
∴∠CGF＝∠CNE＝∠NEA+∠NAE＝90°+30°＝120°，
∴∠GFC＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠GCF＝∠GFC，
∴FG＝CG，
∴GF＝DM，
连接DG、MF，则四边形DGFM是平行四边形，
∵H为DF的中点，
∴GM过点H，
∴M、H、G三点共线，HG＝HM，
∴BH⊥GM，
在Rt△BHG中，BH＝tan∠BGM HG＝tan60° HGHG；
（3）如图3所示：设点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴DE＝PC，AP＝AD，
连接PD，
则△APD是等边三角形，
∴PD＝PA，∠APB+∠APD＝120°+60°＝180°，∠ADP+∠ADE＝180°，
∴B、P、D、E四点共线，
∴PA+PB+PC＝PD+PB+DE＝BE．
在△ABC中，另取一点P′，则点P′与三个顶点连线的夹角不相等，即∠AP′B≠120°，
将△ACP′绕点A逆时针旋转60°得到△AD′E，
∴D′E＝P′C，AP′＝AD′，
连接P′D′，则△AP′D′是等边三角形，
∴P′D′＝P′A，∠APB+∠APD≠180°，∠ADP+∠ADE≠180°，
∴B、P′、D′、E四点不共线，
∴P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，
∴点P为等边△ABC的中心时到三个顶点距离之和最小，
∴在点F的运动过程中，当HB+HC+HD的值最小时，点H为等边△BCD的中心，
此时，DF⊥BC，HFDF，
由（1）得：DFm，
∴HFmm．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、坐标与图形的性质、锐角三角函数定义、平行线的性质、等边三角形的中心性质、勾股定理、待定系数法求直线解析式、平面直角坐标系中两点间的距离等知识；熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定与性质，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
3．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
4．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
5．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
6．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
7．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
8．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
9．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
10．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
11．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
12．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
13．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
14．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
15．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
16．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
17．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
18．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
19．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
20．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
21．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
22．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
23．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
24．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
25．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
26．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
27．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
28．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
29．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
30．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
31．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
32．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
33．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
34．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
35．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
36．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
37．中点四边形
瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．
38．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
39．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
40．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
41．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
42．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc．
②合比性质．若，则．
③分比性质．若，则．
④合分比性质．若，则．
⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则．
43．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
44．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
45．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
46．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
47．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
48．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
49．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列各式中，是分式的是（ ）
A．x B． C． D．1
2．（4分）下列图形中轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（4分）已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一角为65°的两个等腰三角形相似
C．顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形是矩形，那么原四边形一定是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
5．（4分）函数y＝kx+k与y在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
7．（4分）如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，∠2＝∠3，BC⊥AC于C，DH⊥AB于H，DH交AC于F，O是AB的中点，则下列说法正确的有（ ）
①BC＝CD ②∠4＝30° ③AH＝HF ④OF∥BD
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
8．（4分）在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少．2022年上学期每天作业平均时长为100min，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为70min．设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．100（1﹣x2）＝70 B．70（1+x2）＝100
C．100（1﹣x）2＝70 D．70（1+x）2＝100
9．（4分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，在BD上取一点F，使得BC＝BF，连接CF，过点F作EF⊥CF，EF交AB于点E，延长EF交CD于点G．若AB＝2，则DG的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）观察下列关于x的单项式探究其规律：2x，﹣4x2，6x3，﹣8x4，10x5，﹣12x6，…，按照上述规律，第2024个单项式是（ ）
A．﹣2024x2023 B．2024x2024
C．﹣4048x2023 D．﹣4048x2024
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）（π﹣1）0 ．
12．（4分）若，且a﹣b＝﹣2，则a+b的值是 ．
13．（4分）毕业生小星、小华和小红准备拍照，他们三人随意站成一排，小华恰好站在中间的概率是 ．
14．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
15．（4分）如图所示，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在y和y（k＜0）上，，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于E、F，连接OE、OF，则S△OEF＝ ．
16．（4分）若关于y的不等式组至少有4个整数解，且关于x的分式方程有非负整数解，则所有符合条件的整数a的和是 ．
17．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC和BD交于点O，将矩形纸片折叠，使点D落在AC上的点F处，折痕CE交BD于点G．
（1）如果AB＝6，AD＝8，则DE的长为 ；
（2）如果，则的值为 ．
18．（4分）若正整数a，b，c满足a≤b≤c，abc＝2（a+b+c），则称（a，b，c） 为“好数组”，好数组共有 个．
三．解答题（共2小题，满分18分）
19．（8分）计算：．
20．（10分）解（分式）方程：
（1）x2﹣4x＝5；
（2）3．
四．解答题（共6小题，满分60分，每小题10分）
21．（10分）请完成以下作图和填空：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E．
（1）尺规作图：过点A作AF⊥CD交CD延长线于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若DE＝AF，求证：平行四边形ABCD为菱形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴① ，
∴∠ADF＝∠C，
∵DE⊥BC，AF⊥CD，
∴② ，
在△AFD与△DEC中：
，
∴△AFD≌△DEC（AAS），
∴③ ，
∴平行四边形ABCD是菱形（④ ）．
22．（10分）为了了解2022年某地区5万名大、中、小学生3分钟跳绳成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了20%的学生进行检测，整理样本数据，并结合2018年抽样结果，得到下列统计图．
（1）本次检测抽取了大、中、小学生共 名，其中小学生 名；
（2）根据抽样的结果，估计2022年该地区5万名大、中、小学生中，3分钟跳绳成绩合格的中学生人数为 名；
（3）比较2018年与2022年抽样学生3分钟跳绳成绩合格率情况，写出一条正确的结论．
23．（10分）在平面直角坐标系中，点A（0，m），C（n，0）．
（1）若m，n满足．
①直接写出m＝ ，n＝ ；
②如图1，D为点A上方一点，连接CD，在y轴右侧作等腰Rt△BDC，∠BDC＝90°，连接BA并延长交x轴于点E，当点A上方运动时，求△ACE的面积；
（2）如图2，若m＝n，点D在边OA上，且AD＝11，G为OC上一点，且OG＝8，连接CD，过点G作CD的垂线交CD于点F，交AC于点FH．连接DH，当∠ADH＝∠ODC，求点D的坐标．
24．（10分）某学校准备采购一批化学实验器材A和B．经查询，如果按照标价购买两种实验器材，当购买实验器材B的数量是实验器材A数量的2倍时，购买实验器材A共需要4000元，购买实验器材B共需要6000元，且一套实验器材A单价比一套实验器材B单价贵100元．
（1）求一套实验器材A，一套实验器材B的标价分别是多少元？
（2）学校计划购买相同数量的实验器材B和实验器材A．商家告知，因为周年庆，实验器材B的单价在标价的基础上降价元，实验器材A单价在标价的基础降价100元，该校决定增加采购数量，实际购买实验器材B和实验器材A的数量在原计划基础上分别增加了2.5m%和m%，结果在结算时发现，两种实验器材的总价相等，求m的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，且与正比例函数y＝2x的图象交于点B（2，4）．
（1）求一次函数y＝ax+b（a≠0）的解析式；
（2）点M在x轴上，当MB+MC最小时，求点M的坐标；
（3）若D是直线AB上一点，E是平面内一点，以O、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点E的坐标．
26．（10分）如图1，四边形ABCD为菱形，AB＝m，∠DAB＝60°，DE⊥AB于点E，F为BC上任意一点，连接DF，BD，H为DF上任意一点．
（1）若DF⊥BC，求DF的长（用m表示）；
（2）如图2，作FG∥DE交AC于点G，H为DF的中点，连接HG，HB，BG．猜想线段HG与HB存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点F的运动过程中，当HB+HC+HD的值最小时，请直接写出HF的长（用m表示）．
2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列各式中，是分式的是（ ）
A．x B． C． D．1
【考点】分式的定义．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：的分母中含有字母，属于分式，x、、1的分母中不含有字母，属于整式．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式
2．（4分）下列图形中轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：第一、三、四个图形中都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
第二个图形中不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
3．（4分）已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝﹣1，再把转化成含m+n和mn的代数式的形式，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一角为65°的两个等腰三角形相似
C．顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形是矩形，那么原四边形一定是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；中点四边形．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据梯形的定义、正方形的性质、相似三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定判断即可．
【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可以是等腰梯形，不符合题意；
B、有一个顶角为65°和有一个底角为65°的两个等腰三角形不相似，不符合题意；
C、顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形是矩形，那么原四边形是菱形或对角线垂直的四边形，故不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、相似三角形的判定，中点四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（4分）函数y＝kx+k与y在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；模型思想．
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【解答】解：函数y（k≠0，且k为常数）中k＞0时，反比例函数图象在一、三象限，此时y＝kx+k的图象在第一、二、三象限；
当函数y（k≠0，且k为常数）中k＜0时，反比例函数图象在二、四象限，此时y＝kx+k的图象在第二、三、四象限；
故选：D．
【点评】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．反比例函数y的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
6．（4分）如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，进而得出△AOC∽△A1OC1，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，
∴△AOC∽△A1OC1，
∴，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：4，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．
7．（4分）如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，∠2＝∠3，BC⊥AC于C，DH⊥AB于H，DH交AC于F，O是AB的中点，则下列说法正确的有（ ）
①BC＝CD ②∠4＝30° ③AH＝HF ④OF∥BD
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行线的判定与性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质对①进行判断；先利用三角形内角和计算出∠1＝∠2＝∠3＝30°，再证明△BEC≌△AED，则∠4＝∠1，则可对②进行判断；利用含30度的直角三角形三边的关系对③进行判断；连接OD，O是AB中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可判断△AOD为等边三角形，再证明OF平分∠DOA得到∠FOA＝30°＝∠2，则可对④进行判断．
【解答】解：∵AB∥CD，BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠BDC，
∴BC＝CD，所以①正确；
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∵BC⊥AC于C，
∴∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∵∠ECD＝∠3＝∠EDC＝∠2，
∴EC＝ED，EB＝EA，
而∠BEC＝∠AED，
∴△BEC≌△AED，
∴∠4＝∠1＝30°，所以②正确；
∵DH⊥AH，∠3＝30°，
∴AH：HF：1，故③错误；
连接OD，如图，
∵∠4＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2AD，
∵点O为AB的中点，
∴ODAB，
∴OD＝OA＝AD，
∴△AOD为等边三角形，
∵DH⊥OA，AF平分∠DAO，
∴OF平分∠DOA，
∴∠FOA＝30°＝∠2，
∴OF∥BD，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质、三角形的内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
8．（4分）在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少．2022年上学期每天作业平均时长为100min，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为70min．设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．100（1﹣x2）＝70 B．70（1+x2）＝100
C．100（1﹣x）2＝70 D．70（1+x）2＝100
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】利用2023年上学期平均每天作业时长＝2022年上学期平均每天作业时长×（1﹣这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：100（1﹣x）2＝70．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（4分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，在BD上取一点F，使得BC＝BF，连接CF，过点F作EF⊥CF，EF交AB于点E，延长EF交CD于点G．若AB＝2，则DG的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】过点B作BH⊥CF于H，CH的延长线交CD于K，设CK＝x，证四边形BEGK为平行四边形得GK＝BE，再证HK为△CFG的中位线得CK＝GK，则CK＝GK＝BE＝x，进而得CG＝2x，DG＝2﹣2x，再求出BD，根据BF＝BC＝2得DF，然后证△FDG∽△FBE得DG：BE＝DF：BF，即，由此解出，进而可得DG的长．
【解答】解：过点B作BH⊥CF于H，CH的延长线交CD于K，如图所示：
设CK＝x，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，AB∥CD，
∵EF⊥CF，BH⊥CF，
∴EF∥BH，
即EG∥BK，
又∵AB∥CD，
∴四边形BEGK为平行四边形，
∴GK＝BE，
∵BC＝BF，BH⊥CF
∴CH＝FH，
∵EG∥BK，
∴HK为△CFG的中位线，
∴CK＝GK，
∴CK＝GK＝BE＝x，
∴CG＝CK+GK＝2x，
∴DG＝CD﹣CG＝2﹣2x，
在Rt△BCD中，BC＝CD＝2，
由勾股定理得：BD，
∵BF＝BC＝2，
∴DF＝BD﹣BF，
∵AB∥CD，
∴△FDG∽△FBE，
∴DG：BE＝DF：BF，
即BF DG＝DF BE，
∴，
解得：x，
∴DG＝2﹣2x．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
10．（4分）观察下列关于x的单项式探究其规律：2x，﹣4x2，6x3，﹣8x4，10x5，﹣12x6，…，按照上述规律，第2024个单项式是（ ）
A．﹣2024x2023 B．2024x2024
C．﹣4048x2023 D．﹣4048x2024
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】D
【分析】根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
单项式的系数的绝对值依次增加2，且第一项的系数为2，奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
所以第n项的系数为：（﹣1）n+12n．
单项式的次数依次增加1，且第一项的次数为1，
所以第n项的系数为：n．
所以第n项可表示为：（﹣1）n+12nxn；
当n＝2024时，
（﹣1）n+12nxn＝﹣4048x2024，
即第2024个单项式是﹣4048x2024．
故选：D．
【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）（π﹣1）0 4 ．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+3
＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．（4分）若，且a﹣b＝﹣2，则a+b的值是 12 ．
【考点】比例的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】运用代入消元法解关于a，b的二元一次方程组，即可得出a，b的值．
【解答】解：∵a﹣b＝﹣2，
∴a＝b﹣2，
又∵，
∴，
即7b﹣14＝5b，
解得b＝7，
∴a＝5，
∴a+b＝5+7＝12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，掌握代入消元法是解决问题的关键．
13．（4分）毕业生小星、小华和小红准备拍照，他们三人随意站成一排，小华恰好站在中间的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】．
【分析】列举所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：他们三人随意站成一排，可能的结果为：
（小星，小华，小红），（小星，小红，小华），
（小华，小星，小红），（小华，小红，小星），
（小红，小华，小星），（小红，小星，小华），
其中小华恰好站在中间的有2种结果，
所以小华恰好站在中间的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ﹣1 ．
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22+4c＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝22+4c＝0，
解得c＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
15．（4分）如图所示，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在y和y（k＜0）上，，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于E、F，连接OE、OF，则S△OEF＝ ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；两条直线相交或平行问题．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，易证得△AOM∽△OBN，根据系数三角形的性质即可求得k的值，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得△OEF的面积．
【解答】解：作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOM+∠BON＝∠OBN+BON＝90°，
∴∠AOM＝∠OBN，
∵∠AMO＝∠ONB＝90°，
∴△AOM∽△OBN，
∴（）2，
∵A点在双曲线在y上，，
∴S△AOM9＝4.5，，
∴（）2，
∴S△OBN＝8，
∵B点在双曲线y（k＜0）上，
∴|k|＝8，
∴k＝﹣16，
∵平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，
∴S△OEF9，
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，菱形的性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
16．（4分）若关于y的不等式组至少有4个整数解，且关于x的分式方程有非负整数解，则所有符合条件的整数a的和是 2 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】先根据y的不等式组至少有4个解集求得a＞﹣3，再解关于x的方程得x＝3﹣a，根据关于x的分式方程有非负整数解，确定满足条件的a的值，进而求出之和．
【解答】解：解不等式组，得，
∵不等式组至少只有4个整数解，
∴，
∴a＞﹣3，
解方程，得x＝3﹣a，且x﹣2≠0，
∵x＝3﹣a是非负整数，
∴3﹣a≥0，且3﹣a﹣2≠0，且a为整数，
∴a≤3，且a≠1，且a为整数，
又∵a＞﹣3，
∴﹣3＜a≤3，且a≠1，且a为整数，
∴a＝﹣2或﹣1或0或2或3，
∴所有符合条件的a的值之和是：﹣2﹣1+0+2+3＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题关键．
17．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC和BD交于点O，将矩形纸片折叠，使点D落在AC上的点F处，折痕CE交BD于点G．
（1）如果AB＝6，AD＝8，则DE的长为 3 ；
（2）如果，则的值为 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】（1）3；
（2）．
【分析】（1）根据矩形的性质可得AB＝CD＝6，∠ADC＝90°，由勾股定理求得AC＝10，根据折叠可知DE＝EF，CD＝CF＝6，∠CDE＝∠CFE＝90°，则AF＝4，∠AFE＝90°，设DE＝EF＝x，则AE＝8﹣x，在Rt△AEF中，根据勾股定理列出方程求解即可；
（2）由题意可设AD，AB＝a，根据矩形的性质得AB＝CD＝a，AD＝BC，AD∥BC，∠ADC＝90°，由勾股定理求得AC＝2a，根据折叠可知DE＝EF，CD＝CF＝a，∠CDE＝∠CFE＝90°，则AF＝a，∠AFE＝90°，设DE＝EF＝x，则AEx，在Rt△AEF中，根据勾股定理列出方程，解得DE，易证△DGE∽△BGC，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，AD＝8，
∴AB＝CD＝6，∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，10，
根据折叠的性质可得，DE＝EF，CD＝CF＝6，∠CDE＝∠CFE＝90°，
∴AF＝AC﹣CF＝10﹣6＝4，∠AFE＝90°，
设DE＝EF＝x，则AE＝AD﹣DE＝8﹣x，
在Rt△AEF中，AF2+EF2＝AE2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴DE＝3；
故答案为：3；
（2）∵，
∴设AD，则AB＝a，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝a，AD＝BC，AD∥BC，∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，，
根据折叠的性质可得，DE＝EF，CD＝CF＝a，∠CDE＝∠CFE＝90°，
∴AF＝AC﹣CF＝2a﹣a＝a，∠AFE＝90°，
设DE＝EF＝x，则AE＝AD﹣DEx，
在Rt△AEF中，AF2+EF2＝AE2，
∴，
解得：x，
∴DE，
∵AD∥BC，
∴△DGE∽△BGC，
∴．
【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
18．（4分）若正整数a，b，c满足a≤b≤c，abc＝2（a+b+c），则称（a，b，c） 为“好数组”，好数组共有 3 个．
【考点】因式分解的应用．
【专题】实数；数感；运算能力；推理能力．
【答案】3．
【分析】先由a≤b≤c，abc＝2（a+b+c）可得出abc≤6c，进而得ab≤6，依题意可得a只能为1或2，然后进行分类讨论即可得出答案．
【解答】解：∵a≤b≤c，abc＝2（a+b+c），
∴abc≤6c，
∵a，b，c为正整数，
∴ab≤6，
又∵a≤b≤c，
∴a＝1或2
①当a＝1时，b＝1或2或3或4或5或6，
当a＝1，b＝1时，1×1×c＝2（1+1+c），
解得：c＝﹣4，不合题意，舍去；
当a＝1，b＝2时，1×2×c＝2（1+1+c），
整理得：0 c＝2，故c不存在；
当a＝1，b＝3时，1×3×c＝2（1+3+c），
解得：c＝8，
故得“好数组”（a，b，c）为（1，3，8）；
当a＝1，b＝4时，1×4×c＝2（1+4+c），
解得：c＝5，
故得“好数组”（a，b，c）为（1，4，5），
当a＝1，b＝5时，1×5×c＝2（1+5+c），
解得：c，不合题意，舍去；
当a＝1，b＝6时，1×6×c＝2（1+6+c），
解得：c，不合题意，舍去；
②当a＝2时，b＝2或3，
当a＝2，b＝2时，2×2×c＝2（2+2+c），
解得：c＝4，
故得“好数组”（a，b，c）为（2，2，4）．
当a＝2，b＝3时，2×3×c＝2（2+3+c），
解得：c，不合题意，舍去．
综上所述：“好数组”（a，b，c）为（1，3，8），（1，4，5），（2，2，4），共3组．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了不等式及其性质，正整数的特征，解答此题的关键是由已知条件a≤b≤c，abc＝2（a+b+c）得出ab≤6，再根据正整数的特征进行分类讨论．
三．解答题（共2小题，满分18分）
19．（8分）计算：．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【答案】．
【分析】先算分式除法，再算分式的减法．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
20．（10分）解（分式）方程：
（1）x2﹣4x＝5；
（2）3．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解分式方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；
（2）无解．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）去分母化分式方程为整式方程，解之得出x的值，再检验即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
则（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）两边都乘以x﹣2，得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2），
1＝x﹣1﹣3x+6，
3x﹣x＝﹣1+6﹣1，
2x＝4，
x＝2，
检验：x＝2时，x﹣2＝0，
∴x＝2是分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣因式分解法和解分式方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
四．解答题（共6小题，满分60分，每小题10分）
21．（10分）请完成以下作图和填空：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E．
（1）尺规作图：过点A作AF⊥CD交CD延长线于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若DE＝AF，求证：平行四边形ABCD为菱形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴① AD∥BC ，
∴∠ADF＝∠C，
∵DE⊥BC，AF⊥CD，
∴② ∠DEC＝∠AFD＝90° ，
在△AFD与△DEC中：
，
∴△AFD≌△DEC（AAS），
∴③ AD＝DC ，
∴平行四边形ABCD是菱形（④ 邻边相等的平行四边形为菱形 ）．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）AD∥BC，∠DEC＝∠AFD＝90°，AD＝DC，邻边相等的平行四边形为菱形．
【分析】（1）利用基本作图，过A点作CD的垂线即可；
（2）先利用平行四边形的性质得到AD∥BC，所以∠ADF＝∠C，接着证明△AFD≌△DEC得到AD＝DC，然后根据菱形的判定方法得到平行四边形ABCD是菱形．
【解答】（1）解：如图，AF为所作；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠ADF＝∠C，
∵DE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠DEC＝∠AFD＝90°，
在△AFD与△DEC中：
，
∴△AFD≌△DEC（AAS），
∴AD＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形为菱形）．
故答案为：AD∥BC，∠DEC＝∠AFD＝90°，AD＝DC，邻边相等的平行四边形为菱形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质和菱形的判定．
22．（10分）为了了解2022年某地区5万名大、中、小学生3分钟跳绳成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了20%的学生进行检测，整理样本数据，并结合2018年抽样结果，得到下列统计图．
（1）本次检测抽取了大、中、小学生共 10000 名，其中小学生 4500 名；
（2）根据抽样的结果，估计2022年该地区5万名大、中、小学生中，3分钟跳绳成绩合格的中学生人数为 18000 名；
（3）比较2018年与2022年抽样学生3分钟跳绳成绩合格率情况，写出一条正确的结论．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）10000，4500；
（2）18000；
（3）与2018年相比，2022年该地区大学生3分钟跳绳成绩合格率下降了5%（答案不唯一）．
【分析】（1）根据“教育部门从这三类学生群体中各抽取了20%的学生进行检测”，可得50000×20%，即可得到本次检测抽取了大、中、小学生共多少名，再根据扇形图可得小学生所占45%，即可解答；
（2）先计算出样本中3分钟跳绳成绩合格的中学生人数所占的百分比，再乘以5万，即可解答；
（3）根据条形图，写出一条即可，答案不唯一．
【解答】解：（1）本次检测抽取了大、中、小学生共：50000×20%＝10000（名），
其中小学生：10000×45%＝4500（名）．
故答案为：10000，4500；
（2）估计2022年该地区5万名大、中、小学生中，3分钟跳绳成绩合格的中学生人数为：50000×40%×90%＝18000（名）．
故答案为：18000；
（3）与2018年相比，2022年该地区大学生3分钟跳绳成绩合格率下降了5%（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23．（10分）在平面直角坐标系中，点A（0，m），C（n，0）．
（1）若m，n满足．
①直接写出m＝ 4 ，n＝ 4 ；
②如图1，D为点A上方一点，连接CD，在y轴右侧作等腰Rt△BDC，∠BDC＝90°，连接BA并延长交x轴于点E，当点A上方运动时，求△ACE的面积；
（2）如图2，若m＝n，点D在边OA上，且AD＝11，G为OC上一点，且OG＝8，连接CD，过点G作CD的垂线交CD于点F，交AC于点FH．连接DH，当∠ADH＝∠ODC，求点D的坐标．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①解方程组求出m，n即可．
②证明∠OCD∽△ACB，推出∠BAC＝∠DOC＝90°，可得EO＝OC＝AO＝4，由此即可解决问题．
（2）如图2中，作CP∥OA交DH的延长线于P，作DK⊥CP于K．证明△HCG≌△HCP（AAS），推出CG＝CP，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）①由，解得，
故答案为4，4．
②如图1中，
∵A（0，4），C（4，0），
∴OA＝OC＝4，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴ACOC，∠ACO＝45°，
∵△DCB是等腰直角三角形，
∴BCCD，∠DCB＝45°，
∴∠OCD＝∠ACB，，
∴∠OCD∽△ACB，
∴∠BAC＝∠DOC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACE＝45°，
∴AE＝AC，∵AO⊥EC，
∴EO＝OC＝AO＝4，
∴S△ACE EC AO8×4＝16．
（2）如图2中，作CP∥OA交DH的延长线于P，作DK⊥CP于K．
∵PC∥OA，
∴∠P＝∠ADH，∠DCP＝∠ODC，
∵∠ADH＝∠ODC，
∴∠P＝∠PCD，
∴DP＝DC，
∴△DPC是等腰三角形，
∵∠DKC＝∠KCO＝∠DOC＝90°，
∴四边形ODKC是矩形，
∴OD＝CK，
∵DK⊥PC，
∴PK＝CK＝OD，设OD＝x，则PK＝CK＝x，PC＝2x，
∵OA＝OC，AD＝11，OG＝8，
∴CG＝OC﹣OG＝x+3，
∵GH⊥DC，
∴∠CFG＝∠COD＝90°，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠CGF+∠FCG＝90°，
∴∠ODC＝∠CGF，
∴∠CGH＝∠P，
∵CH＝CH，∠HCG＝∠HCP＝45°，
∴△HCG≌△HCP（AAS），
∴CG＝CP，
∴x+3＝2x，
∴x＝3，
∴D（0，3）
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．（10分）某学校准备采购一批化学实验器材A和B．经查询，如果按照标价购买两种实验器材，当购买实验器材B的数量是实验器材A数量的2倍时，购买实验器材A共需要4000元，购买实验器材B共需要6000元，且一套实验器材A单价比一套实验器材B单价贵100元．
（1）求一套实验器材A，一套实验器材B的标价分别是多少元？
（2）学校计划购买相同数量的实验器材B和实验器材A．商家告知，因为周年庆，实验器材B的单价在标价的基础上降价元，实验器材A单价在标价的基础降价100元，该校决定增加采购数量，实际购买实验器材B和实验器材A的数量在原计划基础上分别增加了2.5m%和m%，结果在结算时发现，两种实验器材的总价相等，求m的值．
【考点】分式方程的应用；一元二次方程的应用．
【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）一套实验器材A的标价是400元，一套实验器材B的标价是300元；
（2）m的值为95．
【分析】（1）设一套实验器材B的标价为x元，则一套实验器材A的标价为（x+100）元，由题意：购买实验器材B的数量是实验器材A数量的2倍时，购买实验器材A共需要4000元，购买实验器材B共需要6000元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校计划购买的实验器材B和实验器材A的数量均为a，由题意：两种实验器材的总价相等，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设一套实验器材B的标价为x元，则一套实验器材A的标价为（x+100）元，
由题意得：2，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，
则x+100＝400，
答：一套实验器材A的标价是400元，一套实验器材B的标价是300元；
（2）设学校计划购买的实验器材B和实验器材A的数量均为a，
由题意得：（300m） a（1+2.5m%）＝（400﹣100） a（1+m%），
整理得：m2﹣95m＝0，
解得：m1＝95，m2＝0（舍去），
答：m的值为95．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，且与正比例函数y＝2x的图象交于点B（2，4）．
（1）求一次函数y＝ax+b（a≠0）的解析式；
（2）点M在x轴上，当MB+MC最小时，求点M的坐标；
（3）若D是直线AB上一点，E是平面内一点，以O、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点E的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）y＝x+2；
（2）M（，0）；
（3）（﹣2，2）或（1，1）．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作C点关于x轴的对称点C'，连接BC'与x轴交于点M，连接MC'、MC，MC+MB＝MC'+MB≥BC'，此时MC+BM的值最小，求出直线BC'与x轴的交点即可求M点坐标；
（3）根据矩形的性质分两种情况讨论：当CO为矩形的边时，D点与A点重合，E（﹣2，2）；当CO为矩形的对角线时，过O点作OD⊥AC交于D点，△OCD是等腰直角三角形，D（﹣1，1），E（1，1）．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（2，4）代入y＝ax+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+2；
（2）作C点关于x轴的对称点C'，连接BC'与x轴交于点M，连接MC'、MC，
∵MC＝MC'，
∴MC+MB＝MC'+MB≥BC'，此时MC+BM的值最小，
当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∴C'（0，﹣2），
设直线BC'的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴直线BC'的解析式为y＝3x﹣2，
∴M（，0）；
（3）当CO为矩形的边时，DO⊥CO，
∴D点与A点重合，
∴E（﹣2，2）；
当CO为矩形的对角线时，过O点作OD⊥AC交于D点，
∵OA＝OC＝2，
∴∠OCA＝45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴D（﹣1，1），
∴E（1，1）；
综上所述：E点坐标为（﹣2，2）或（1，1）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
26．（10分）如图1，四边形ABCD为菱形，AB＝m，∠DAB＝60°，DE⊥AB于点E，F为BC上任意一点，连接DF，BD，H为DF上任意一点．
（1）若DF⊥BC，求DF的长（用m表示）；
（2）如图2，作FG∥DE交AC于点G，H为DF的中点，连接HG，HB，BG．猜想线段HG与HB存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点F的运动过程中，当HB+HC+HD的值最小时，请直接写出HF的长（用m表示）．
【考点】四边形综合题．
【专题】代数几何综合题；平面直角坐标系；一次函数及其应用；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）m；
（2）HBHG，证明过程请看解答；
（3）m．
【分析】（1）由菱形的性质易证△BCD是等边三角形，得出BD＝BC＝m，由等边三角形的性质得BFBCm，由勾股定理即可得出结果；
（2）方法一：以点E为原点，AB为x轴、DE为y轴，建立平面直角坐标系，求得B（m，0），A（m，0），C（m，m），D（0，m），由待定系数法求出直线BC的解析式为yxm，直线AC的解析式为yxm，设F（c，cm），则G（c，cm），求出H（c，c），由两点间的距离公式求出HB，HG，即可得出结果；
方法二：设DE交AC于点N，将△BCG绕点B逆时针旋转60°，得到△BDM，点M在DE上，连接HM、GM，则DM＝CG，△BGM是等边三角形，易证∠CGF＝∠CNE＝120°，∠GCF＝∠GFC，则FG＝CG＝DM，连接DG、MF，四边形DGFM是平行四边形，易证M、H、G三点共线，HG＝HM，由等边三角形的性质得出BH⊥GM，在Rt△BHG中，BH＝tan∠BGM HGHG；
（3）设点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，从而有DE＝PC，连接PD得到PD＝PA，同时∠APB+∠APD＝120°+60°＝180°，∠ADP+∠ADE＝180°，即B、P、D、E四点共线，故PA+PB+PC＝PD+PB+DE＝BE，在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，得出点P为等边△ABC的中心时到三个顶点距离之和最小，在点F的运动过程中，当HB+HC+HD的值最小时，点H为等边△BCD的中心，此时，DF⊥BC，HFDF，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴BC＝AB＝m，△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝m，
∵DF⊥BC，
∴点F为BC的中点，
∴BFBCm，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DFm；
（2）线段HG与HB存在的数量关系为：HBHG，理由如下：
方法一：以点E为原点，AB为x轴、DE为y轴，建立平面直角坐标系，如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴DC＝AD＝AB＝m，△ABD是等边三角形，
∴DEADm，AE＝BEABm，
∴B（m，0），A（m，0），C（m，m），D（0，m），
设直线BC的解析式为：y＝kx+a，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为：yxm，
设直线AC的解析式为：y＝k′x+b，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为：yxm，
设F（c，cm），
∵FG∥DE，
∴G（c，cm），
∵H为DF的中点，
∴H（c，c），
∴HB，
HG，
∴HBHG；
方法二：设DE交AC于点N，
∵∠BCG＝∠BDE＝30°，BC＝BD，∠CBD＝60°，
∴将△BCG绕点B逆时针旋转60°，得到△BDM，点M在DE上，如图2﹣1所示：
连接HM、GM，
则DM＝CG，△BGM是等边三角形，
∴∠BGM＝60°，
∵FG∥DE，
∴∠CGF＝∠CNE＝∠NEA+∠NAE＝90°+30°＝120°，
∴∠GFC＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠GCF＝∠GFC，
∴FG＝CG，
∴GF＝DM，
连接DG、MF，则四边形DGFM是平行四边形，
∵H为DF的中点，
∴GM过点H，
∴M、H、G三点共线，HG＝HM，
∴BH⊥GM，
在Rt△BHG中，BH＝tan∠BGM HG＝tan60° HGHG；
（3）如图3所示：设点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴DE＝PC，AP＝AD，
连接PD，
则△APD是等边三角形，
∴PD＝PA，∠APB+∠APD＝120°+60°＝180°，∠ADP+∠ADE＝180°，
∴B、P、D、E四点共线，
∴PA+PB+PC＝PD+PB+DE＝BE．
在△ABC中，另取一点P′，则点P′与三个顶点连线的夹角不相等，即∠AP′B≠120°，
将△ACP′绕点A逆时针旋转60°得到△AD′E，
∴D′E＝P′C，AP′＝AD′，
连接P′D′，则△AP′D′是等边三角形，
∴P′D′＝P′A，∠APB+∠APD≠180°，∠ADP+∠ADE≠180°，
∴B、P′、D′、E四点不共线，
∴P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，
∴点P为等边△ABC的中心时到三个顶点距离之和最小，
∴在点F的运动过程中，当HB+HC+HD的值最小时，点H为等边△BCD的中心，
此时，DF⊥BC，HFDF，
由（1）得：DFm，
∴HFmm．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、坐标与图形的性质、锐角三角函数定义、平行线的性质、等边三角形的中心性质、勾股定理、待定系数法求直线解析式、平面直角坐标系中两点间的距离等知识；熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定与性质，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
3．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
4．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
5．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
6．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
7．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
8．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
9．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
10．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
11．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
12．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
13．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
14．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
15．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
16．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
17．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
18．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
19．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
20．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
21．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
22．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
23．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
24．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
25．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
26．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
27．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
28．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
29．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
30．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
31．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
32．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
33．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
34．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
35．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
36．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
37．中点四边形
瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．
38．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
39．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
40．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
41．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
42．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc．
②合比性质．若，则．
③分比性质．若，则．
④合分比性质．若，则．
⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则．
43．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
44．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
45．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
46．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
47．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
48．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
49．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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