2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 562.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:43:43 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在一次函数y＝2x+1的图象上的一个点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C． D．
3．（4分）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．，， C．1，1， D．3，5，6
4．（4分）依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）在今年的体育考试中，某校甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为：S甲2＝10，S乙2＝25，S丙2＝20，S丁2＝15，则四个班体育考试成绩最整齐的是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
6．（4分）小红的爷爷出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里．下面图形表示小红爷爷离家时间x与外出路程y之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）对于一次函数，下列说法错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象与y轴交点为（0，3）
C．图象经过第一、二、四象限
D．图象经过点（3，0）
8．（4分）在△DEF中，∠E＝90°，对应三边为d，e，f，则d，e，f的关系是（ ）
A．f2＝d2+e2 B．d2＝e2+f2 C．e＝d+f D．e2＝d2+f2
9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC＝5，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．2
10．（4分）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC＝3：5，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）（﹣2）2÷（）＝ ．
12．（4分）一组数据2，1，3，1，2，的中位数是 ．
13．（4分）已知P1（﹣1，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1的图象上的两点，则y1 y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
14．（4分）若一组数据6，7，5，7，10，则这组数据的方差为 ．
15．（4分）要在台阶上铺设某种红地毯，已知这种红地毯每平方米的售价是20元，台阶宽为3米，侧面如图所示，购买这种红地毯至少需要 元．
16．（4分）如果m满足关于x的分式方程的解为正整数，且使得关于x的一次函数y＝﹣3x﹣m+7不过第三象限，则所有满足条件的整数m的值的和为 ．
17．（4分）如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED交BC于点G，点D、C分别落在点D′、C′位置上，若∠EFG＝55°，∠BGE＝ 度．
18．（4分）整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先 ，然后再 ．
※注意：
（1）整式加减的一般步骤是：
①先去括号；
②再合并同类项．
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来；
（3）整式加减的最后结果的要求：
①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；
②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）
（2）
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，AB＝16．
（1）求BC的长；
（2）仅用一把无刻度的直尺在AB边上确定点F，使得∠AFD＝∠BEC．请画出满足题意的点F．（保留痕迹，不写作法）
21．（10分）已知：一次函数的图象与直线yx平行，且通过点（0，4）．
（1）求一次函数的解析式．
（2）若点M（﹣8，m）和N（n，5）在一次函数的图象上，求m，n的值．
22．（10分）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.75≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年级 92.6 m 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是 ；
（2）频数分布直方图中，C组的频数是 ；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数m＝ ；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为 年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（5）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有 人．
23．（10分）点A是线段MN的中点，在MN同侧有B，D两点，连结AD，AB，∠DAM＝∠BAN，DM∥BN，以AD，AB为边作平行四边形ABCD，分别延长BA与DM相交于点E，连结CA．
（1）求证：四边形EACD是平行四边形．
（2）已知AC＝7．
①若四边形ABCD是菱形，求BN的长．
②若DM：ME＝4：3，当平行四边形ABCD、平行四边形EACD其中一个为矩形时，则平行四边形ABCD的周长为 ．（直接写出答案）
24．（10分）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°．P为菱形ABCD内对角线BD右侧一点．
（1）如图1，连接AP、BP、DP，若∠BPD＝2∠BAD，求证：AP＝BP+DP；
（2）如图2，过点P作PE⊥CD于点E，PF⊥BD于点F，PG⊥BC于点G．连接EF、FG、EG，若AB＝6，求△EFG面积的最大值．
25．（10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时是多少千米？
26．（10分）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．试说明中点四边形EFGH是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：
反思交流：
（1）：
①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据1： ；
依据2： ；
②连接AC，若AC＝BD时，则中点四边形EFGH的形状为 ；并说明理由；
创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：
（2）如图（2），点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状为 ，并说明理由；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其它条件不变，则中点四边形EFGH的形状为 ．
2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；数感．
【答案】D
【分析】最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．
【解答】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、3，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是能够看出被开方数中的能开得尽方的因数或因式．
2．（4分）在一次函数y＝2x+1的图象上的一个点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C． D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】将每个选项中的横坐标代入函数解析式，求出y的值，再进一步比较即可．
【解答】解：当x＝2时，y＝2x+1＝4+1＝5，
故A不符合题意，C不符合题意；
当x＝﹣2时，y＝2x+1＝﹣4+1＝﹣3，
故B不符合题意；
当x时，y＝2x+1＝1+1＝2，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
3．（4分）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．，， C．1，1， D．3，5，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、∵（）2+（）2＝7，（）2＝5，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵12+12＝2，（）2＝2，
∴12+12＝（）2，
∴能成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵32+52＝34，62＝36，
∴32+52≠62，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．（4分）依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，因此图中的四边形不可能是平行四边形，
故A不符合题意；
B．一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，
故B不符合题意；
C．两组对边相等能判断四边形是平行四边形，
故C符合题意；
D．一组对边平行但不相等的四边形不是平行四边形，
故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
5．（4分）在今年的体育考试中，某校甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为：S甲2＝10，S乙2＝25，S丙2＝20，S丁2＝15，则四个班体育考试成绩最整齐的是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
【考点】方差．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据四个班的平均分相等结合给定的方差值，即可找出成绩最稳定的班级．
【解答】解：∵甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为：S甲2＝10，S乙2＝25，S丙2＝20，S丁2＝15，且10＜15＜20＜25，
∴甲班体育考试成绩最整齐．
故选：A．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6．（4分）小红的爷爷出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里．下面图形表示小红爷爷离家时间x与外出路程y之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】D
【分析】从小红的爷爷散步的时间段看，分为0﹣20分钟散步，20﹣30分钟看报，30﹣45分钟返回家，按时间段把函数图象分为三段．
【解答】解：依题意，0﹣20分钟散步，离家路程增加到900米，
20﹣30分钟看报，离家路程不变，
30﹣45分钟返回家，离家路程减少为0米．
故选：D．
【点评】此题主要考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
7．（4分）对于一次函数，下列说法错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象与y轴交点为（0，3）
C．图象经过第一、二、四象限
D．图象经过点（3，0）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵一次函数1，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，故选项C正确，不合题意；
函数值y随x的增大而减小，故选项A正确，不合题意；
函数图象与y轴交点为（0，1），故选项B错误，符合题意；
当x＝3时，y＝0，
所以图象经过点（3，0），故选项D正确，不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
8．（4分）在△DEF中，∠E＝90°，对应三边为d，e，f，则d，e，f的关系是（ ）
A．f2＝d2+e2 B．d2＝e2+f2 C．e＝d+f D．e2＝d2+f2
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】直接利用勾股定理可得答案．
【解答】解：在△DEF中，∵∠E＝90°，
∴e2＝d2+f2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，分清斜边是解题的关键，属于基础题．
9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC＝5，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．2
【考点】矩形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】设EH⊥AB于H，EG⊥BC于G，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，AC交EF于O，连接AE、CE、EN、FM，由题意得EH＝EG＝EM＝FN＝1，易证四边形EMFN是平行四边形，得OM＝ONMN，OE＝OFEF，再证四边形BGEH是正方形，得BH＝BG＝EH＝1，然后证Rt△AHE≌Rt△AME（HL），得AH＝AM，Rt△CGE≌Rt△CME（HL），则CG＝CM，设AB＝x，BC＝y，且y≥x，则AH＝AM＝x﹣1，CG＝CM＝y﹣1，则，求出AM＝2，CM＝3，同理CN＝2，求出OM，即可解决问题．
【解答】解：设EH⊥AB于H，EG⊥BC于G，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，AC交EF于O，连接AE、CE、EN、FM，如图所示：
∴EM∥FN，
由题意得：EH＝EG＝EM＝FN＝1，
∴四边形EMFN是平行四边形，
∴OM＝ONMN，OE＝OFEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴四边形BGEH是正方形，
∴BH＝BG＝EH＝1，
在Rt△AHE和Rt△AME中，
，
∴Rt△AHE≌Rt△AME（HL），
∴AH＝AM，
在Rt△CGE和Rt△CME中，
，
∴Rt△CGE≌Rt△CME（HL），
∴CG＝CM，
设AB＝x，BC＝y，且y≥x，
则AH＝AM＝x﹣1，CG＝CM＝y﹣1，
∵AC＝5，
∴，
解得：，
∴AM＝2，CM＝3，
同理得：CN＝2，
∴OMMN（AC﹣AM﹣CN）（5﹣2﹣2），
在Rt△EMO中，由勾股定理得：OE，
∴EF＝2OE，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（4分）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC＝3：5，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【答案】A
【分析】首先设AE与CD相交于F，根据折叠的性质可得△ACF、△DEF是等腰三角形，继而证得△ACF∽△EDF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DF：FC＝3：5，再设DF＝3x，FC＝5x，即可求得AB，继而求得答案．
【解答】解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠BAC＝∠EAC，AE＝AB＝CD，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DCA，
设AE与CD相交于F，则AF＝CF，
∴AE﹣AF＝CD﹣CF，
即DF＝EF，
∴，
又∵∠AFC＝∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴，
设DF＝3x，FC＝5x，则AF＝5x，
在Rt△ADF中，AD4x，
又∵AB＝CD＝DF+FC＝3x+5x＝8x，
∴．
故选：A．
【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）（﹣2）2÷（）＝ 8 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】8．
【分析】先算乘方，然后算小括号里面的，最后括号外面的．
【解答】解：原式＝48÷（534）
＝48÷（54）
＝48÷2
＝48
＝48
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则是解题关键．
12．（4分）一组数据2，1，3，1，2，的中位数是 2 ．
【考点】中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：把这组数据从小到大排序后为1，1，2，2，3，
∴这组数据的中位数为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
13．（4分）已知P1（﹣1，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1的图象上的两点，则y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一次函数的增减性即可得．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中的k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵P1（﹣1，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1的图象上的两点，且﹣1＜2，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．
14．（4分）若一组数据6，7，5，7，10，则这组数据的方差为 2.8 ．
【考点】方差．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】2.8．
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式进行计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数是：（6+7+5+7+10）÷5＝7，
则数据的方差S2[（6﹣7）2+（7﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+（10﹣7）2]＝2.8．
故答案为：2.8．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15．（4分）要在台阶上铺设某种红地毯，已知这种红地毯每平方米的售价是20元，台阶宽为3米，侧面如图所示，购买这种红地毯至少需要 600 元．
【考点】生活中的平移现象．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】600
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【解答】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，长宽分别为5.2米，4.8米，
∴地毯的长度为5.2+4.8＝10（米），
地毯的面积为10×3＝30（平方米），
∴购买这种红地毯至少需要30×20＝600（元）．
故答案为：600．
【点评】本题考查了平移的性质，属于基础应用题，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
16．（4分）如果m满足关于x的分式方程的解为正整数，且使得关于x的一次函数y＝﹣3x﹣m+7不过第三象限，则所有满足条件的整数m的值的和为 12 ．
【考点】一次函数的性质；分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；函数及其图象；运算能力．
【答案】12．
【分析】根据y＝﹣3x﹣m+7不过第三象限，可得出m的取值范围，再根据m满足关于x的分式方程的解为正整数可得出m的值，再取公共解集相加即可．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x﹣m+7不过第三象限，
∴﹣m+7≥0，
∴m≤7，
，
解得：x，
∵为正整数，
∵x﹣1≠0，
∴m≠3，
∴m＝5或m＝7，
∴和为：5+7＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一次函数的性质和分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法和一次函数图象的性质是解题关键．
17．（4分）如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED交BC于点G，点D、C分别落在点D′、C′位置上，若∠EFG＝55°，∠BGE＝ 110 度．
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质；矩形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】110．
【分析】根据纸片是长方形，找到图中的平行线，再根据平行线的性质和翻折不变性解题．
【解答】解：∵四边形纸片ABCD是矩形纸片，
∴AD∥BC（矩形的对边相互平行），
∴∠DEF＝∠EFG（两直线平行，内错角相等）；
又∵∠EFG＝55°（已知），
∴∠DEF＝55°，
根据图形的翻折不变性，∠GEF＝∠DEF＝55°，
∴∠EGB＝55°+55°＝110°（外角定理）．
故答案为：110．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、矩形的性质及平行线的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，只是上的位置变化．
18．（4分）整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先 去括号 ，然后再 合并同类项 ．
※注意：
（1）整式加减的一般步骤是：
①先去括号；
②再合并同类项．
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来；
（3）整式加减的最后结果的要求：
①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；
②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
【考点】整式的加减；有理数；有理数的除法；整式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】去括号，合并同类项．
【分析】利用整式的加减运算法则判断即可．
【解答】解：整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
故答案为：去括号，合并同类项；
※注意：
（1）整式加减的一般步骤是：
①先去括号；
②再合并同类项．
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来；
（3）整式加减的最后结果的要求：
①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；
②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）
（2）
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）5．
【分析】（1）先化简各式，再合并同类二次根式即可；
（2）先去括号，再根据二次根式的除法法则，进行计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
＝5．
【点评】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，AB＝16．
（1）求BC的长；
（2）仅用一把无刻度的直尺在AB边上确定点F，使得∠AFD＝∠BEC．请画出满足题意的点F．（保留痕迹，不写作法）
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）10．
（2）作图见解析部分．
【分析】（1）证明AD＝DE＝BC，求出DE即可解决问题．
（2）连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AB于点F，连接DF，点F即为所求．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EAB＝∠AED，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DA＝DE，
∵CE＝6，CD＝AB＝16，
∴DE＝CD﹣CE＝16﹣6＝10，
∴BC＝AD＝DE＝10．
（2）如图，点F即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明AD＝DE，属于中考常考题型．
21．（10分）已知：一次函数的图象与直线yx平行，且通过点（0，4）．
（1）求一次函数的解析式．
（2）若点M（﹣8，m）和N（n，5）在一次函数的图象上，求m，n的值．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】计算题；待定系数法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）两直线平行时，其函数解析式的一次项系数相等，设所求一次函数解析式为yx+b，将点（0，4）代入求b即可；
（2）将点M（﹣8，m）和N（n，5）分别代入（1）中的函数解析式，可求m，n的值．
【解答】解：（1）因为所求一次函数的图象与直线yx平行，
设所求一次函数解析式为：yx+b，
将点（0，4）代入，得b＝4
所以，一次函数解析式为：yx+4；
（2）将点M（﹣8，m）和N（n，5）代入yx+b中，
得：m（﹣8）+4；
5n+4，n．
故m，n．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式的方法，点的坐标与一次函数解析式的关系的问题．
22．（10分）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.75≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年级 92.6 m 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是 50 ；
（2）频数分布直方图中，C组的频数是 13 ；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数m＝ 93 ；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为 八 年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（5）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有 160 人．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；方差；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）50；
（2）13；
（3）93；
（4）八；
（5）160．
【分析】（1）由样本容量的定义即可得出答案；
（2）根据各组频数之和等于样本容量50进行计算即可；
（3）根据中位数的定义和计算方法进行计算即可；
（4）由七、八年级学生成绩的方差的大小即可得出结论；
（5）求出样本中，八年级学生成绩不低于95分的学生所占的百分比，估计总体中所占的百分比，根据频率进行计算即可．
【解答】解：（1）由于“随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析”因此本次抽取八年级学生的样本容量是50，
故答案为：50；
（2）频数分布直方图中，C组的频数为50﹣4﹣6﹣7﹣20﹣13（人），
故答案为：13；
（3）将抽取的50名八年级学生成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数为93（分），因此本次抽取八年级学生成绩的中位数是93分，即m＝93，
故答案为：93；
（4）样本中七年级学生成绩的方差为57.4，而八年级学生成绩的方差为49.2，由于57.4＞49.2，
因此八年级学生成绩比较整齐，
故答案为：八；
（5）400160（名），
答：该校八年级400名学生中，成绩不低于95分的学生大约有160名．
【点评】本题考查频数分布直方图，样本容量，中位数，众数，方差以及样本估计总体，掌握中位数的计算方法，理解方差的定义以及样本估计总体的方法是解决问题的前提．
23．（10分）点A是线段MN的中点，在MN同侧有B，D两点，连结AD，AB，∠DAM＝∠BAN，DM∥BN，以AD，AB为边作平行四边形ABCD，分别延长BA与DM相交于点E，连结CA．
（1）求证：四边形EACD是平行四边形．
（2）已知AC＝7．
①若四边形ABCD是菱形，求BN的长．
②若DM：ME＝4：3，当平行四边形ABCD、平行四边形EACD其中一个为矩形时，则平行四边形ABCD的周长为 或14 ．（直接写出答案）
【考点】四边形综合题．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解析过程；
（2）①；②或14．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得CD∥AB，CD＝AB，由“AAS”可证△ABN≌△AEN，可得AE＝AB＝CD，可得结论；
（2）①由菱形的性质可得AD＝AB＝AE，由等腰三角形的性质可得AM⊥DM，DM，即可求解；
②分两种情况讨论，由角平分线的性质可得MH＝MG，由勾股定理可求AD，AE的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵点A是MN的中点，
∴MA＝AN，
∵BN∥DM，
∴∠ANB＝∠AME，∠ABN＝∠AEM，
∴△ABN≌△AEN（AAS），
∴AE＝AB，EM＝BN，
∴AE＝CD，
∴四边形EACD是平行四边形；
（2）①解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵四边形EACD是平行四边形，
∴AC＝DE＝7，AE＝AD＝AB，
又∵∠DAM＝∠BAN＝∠EAM，
∴DM＝EM，AM⊥DE，
∴BN＝EM；
②解：如图，过点M作MH⊥AE于H，MG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠MAE＝∠MAD，MH⊥AE，MG⊥AD，
∴MG＝MH，
∵DM：ME＝4：3，
∴S△AMD：S△AME＝4：3，
∴（AD×MG）：（AE×MH）＝4：3，
∴AD：AE＝4：3，
∴设AD＝4x，AE＝3x，
当四边形ACDE是矩形时，即∠E＝90°，
∴AD2＝DE2+AE2，
∴16x2＝49+9x2，
∴x（负值舍去），
∴AD＝4，AE＝3AB，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×（43）＝14；
当四边形ABCD是矩形，即∠DAB＝90°＝∠DAE，
∴DE2＝AE2+AD2，
∴49＝16x2+9x2，
∴x（负值舍去），
∴AD，AEAB，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×（）；
故答案为：或14．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程组是解题的关键．
24．（10分）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°．P为菱形ABCD内对角线BD右侧一点．
（1）如图1，连接AP、BP、DP，若∠BPD＝2∠BAD，求证：AP＝BP+DP；
（2）如图2，过点P作PE⊥CD于点E，PF⊥BD于点F，PG⊥BC于点G．连接EF、FG、EG，若AB＝6，求△EFG面积的最大值．
【考点】四边形综合题．
【专题】证明题；代数几何综合题；数形结合；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】（1）见解析．
（2）．
【分析】（1）通过把DP边逆时针旋转60°可证△DPE为等边三角形，然后证明B，P，E三点共线 证明△ADP≌△BDE即可．
（2）首先计算出△BCD的面积得到PE，PF，PG三条线段的关系，再用含PE，PF，PG的式子表示出△EFG的面积，最后使用均值不等式求出最大值．
【解答】解：（1）证明：如图1所示．将DP绕点D逆时针旋转60°至DE．
连接PE．∵∠EDP＝60°，PD＝ED．
∴△DPE为等边三角形，故∠DPE＝60°．
由四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°．
∴∠BPD＝2∠BAD＝2×60°＝120°．
∴∠BPD+∠DPE＝180°，
故B、P、E三点共线．
由菱形性质得AD＝AB＝CB＝CD，
又∵∠DAB＝60°，
∴△ADB为等边三角形，∠ADB＝∠ADB＝60°．
∴∠ADB+∠BDP＝∠EDP+∠BDP．
即∠ADP＝∠BDE．
在△ADP和△BDE中，
∴△ADP≌△BDE（SAS）．
∴AP＝BE＝BP+PE＝BP+DP．
故AP＝BP+DP．
（2）如图2所示，设AC、BD相交于点H，连接DP、BP、CP．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝6．
∴AB⊥BC，DH＝BH．
∴CH．
∴．
设PE＝a，PF＝b，PG＝c．
则S△BDC＝S△BPD+S△DPC+S△CPB
．
∴a+b+c． ①
∵∠DBC＝∠BCD＝∠CDB＝60°，
PE⊥DC，PF⊥BD，PG⊥BC．
∴∠DBC+∠FPG＝180°，
∠BCD+∠EPG＝180°，
∠CDB+∠FPE＝180°．
∴∠FPG＝∠EPG＝∠FPE＝120°．
∵S△EFG＝S△PFE+S△PFG+S△PGE
．
由①式得2（a+b+c）2
＝2（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac）
＝2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ac
＝（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）+4ab+4bc+4ac
≥2ab+2bc+2ac+4ab+4bc+4ac
＝6（ab+bc+ac）．
即ab+bc+ac≤9．
∴．
故△EFG面积的最大值为．
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质与判定、全等三角形判定与性质、均值不等式证明最值． 综合性很强．
25．（10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时是多少千米？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】应用题；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由待定系数法可求出函数解析式；
（2）根据图中的信息求出乙返回B地所需的时间，由题意可列出不等式1.6v≥120，解不等式即可得出答案．
【解答】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128；
由图可知200﹣80＝120（千米），120÷80＝1.5（小时），1.6+1.5＝3.1（小时），
∴x的取值范围是1.6≤x＜3.1．
∴货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x＜3.1）；
（2）当y＝200﹣80＝120时，
120＝80x﹣128，
解得x＝3.1，
由图可知，甲的速度为50（千米/小时），
货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），
18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），
设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，
∴1.6v≥120，
解得v≥75．
答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．
【点评】本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键．
26．（10分）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．试说明中点四边形EFGH是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：
反思交流：
（1）：
①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据1： 三角形的中位线定理 ；
依据2： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ；
②连接AC，若AC＝BD时，则中点四边形EFGH的形状为 菱形 ；并说明理由；
创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：
（2）如图（2），点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状为 菱形 ，并说明理由；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其它条件不变，则中点四边形EFGH的形状为 正方形 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）三角形中位线定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，菱形．
（2）结论：四边形EFGH是菱形．理由见解析部分；
（3）结论：正方形．理由见解析部分．
【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可；
（2）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．
【解答】解：（1）①依据1：三角形的中位线定理．
依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
②菱形．
理由：如图1中，
∵AE＝EB，AH＝HD，
∴EHBD，
∵DH＝HA，DG＝GC，
∴HGAC，
∴HE＝HG，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：三角形中位线定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，菱形．
（2）结论：四边形EFGH是菱形．
理由：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，
即：∠BPD＝∠APC，
∵PA＝PB，PC＝PD，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC＝BD，
∴HG＝HE，
由问题情境可知：四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）结论：正方形．
理由：如图2﹣1中，连接AC，BD，BD交AC于点O，交GH于点K，AC交PD于点J．
∵△APC≌△BPD，∠DPC＝90°，
∴∠PDB＝∠PCA，
∵∠PJC＝∠DJO，
∴∠CPJ＝∠DOJ＝90°，
∵HG∥AC，
∴∠BKG＝∠BOC＝90°，
∵EH∥BD，
∴∠EHG＝∠BKG＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考压轴题．
考点卡片
1．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
2．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
3．整式
（1）概念：单项式和多项式统称为整式．
他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．
（2）规律方法总结：
①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．
4．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
5．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
8．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
9．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
10．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
11．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
12．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
13．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
14．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
15．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
16．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
17．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
18．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
19．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
20．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
21．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
23．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
24．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
25．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
26．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
27．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
28．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
29．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
30．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在一次函数y＝2x+1的图象上的一个点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C． D．
3．（4分）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．，， C．1，1， D．3，5，6
4．（4分）依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）在今年的体育考试中，某校甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为：S甲2＝10，S乙2＝25，S丙2＝20，S丁2＝15，则四个班体育考试成绩最整齐的是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
6．（4分）小红的爷爷出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里．下面图形表示小红爷爷离家时间x与外出路程y之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）对于一次函数，下列说法错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象与y轴交点为（0，3）
C．图象经过第一、二、四象限
D．图象经过点（3，0）
8．（4分）在△DEF中，∠E＝90°，对应三边为d，e，f，则d，e，f的关系是（ ）
A．f2＝d2+e2 B．d2＝e2+f2 C．e＝d+f D．e2＝d2+f2
9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC＝5，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．2
10．（4分）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC＝3：5，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）（﹣2）2÷（）＝ ．
12．（4分）一组数据2，1，3，1，2，的中位数是 ．
13．（4分）已知P1（﹣1，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1的图象上的两点，则y1 y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
14．（4分）若一组数据6，7，5，7，10，则这组数据的方差为 ．
15．（4分）要在台阶上铺设某种红地毯，已知这种红地毯每平方米的售价是20元，台阶宽为3米，侧面如图所示，购买这种红地毯至少需要 元．
16．（4分）如果m满足关于x的分式方程的解为正整数，且使得关于x的一次函数y＝﹣3x﹣m+7不过第三象限，则所有满足条件的整数m的值的和为 ．
17．（4分）如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED交BC于点G，点D、C分别落在点D′、C′位置上，若∠EFG＝55°，∠BGE＝ 度．
18．（4分）整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先 ，然后再 ．
※注意：
（1）整式加减的一般步骤是：
①先去括号；
②再合并同类项．
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来；
（3）整式加减的最后结果的要求：
①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；
②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）
（2）
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，AB＝16．
（1）求BC的长；
（2）仅用一把无刻度的直尺在AB边上确定点F，使得∠AFD＝∠BEC．请画出满足题意的点F．（保留痕迹，不写作法）
21．（10分）已知：一次函数的图象与直线yx平行，且通过点（0，4）．
（1）求一次函数的解析式．
（2）若点M（﹣8，m）和N（n，5）在一次函数的图象上，求m，n的值．
22．（10分）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.75≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年级 92.6 m 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是 ；
（2）频数分布直方图中，C组的频数是 ；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数m＝ ；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为 年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（5）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有 人．
23．（10分）点A是线段MN的中点，在MN同侧有B，D两点，连结AD，AB，∠DAM＝∠BAN，DM∥BN，以AD，AB为边作平行四边形ABCD，分别延长BA与DM相交于点E，连结CA．
（1）求证：四边形EACD是平行四边形．
（2）已知AC＝7．
①若四边形ABCD是菱形，求BN的长．
②若DM：ME＝4：3，当平行四边形ABCD、平行四边形EACD其中一个为矩形时，则平行四边形ABCD的周长为 ．（直接写出答案）
24．（10分）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°．P为菱形ABCD内对角线BD右侧一点．
（1）如图1，连接AP、BP、DP，若∠BPD＝2∠BAD，求证：AP＝BP+DP；
（2）如图2，过点P作PE⊥CD于点E，PF⊥BD于点F，PG⊥BC于点G．连接EF、FG、EG，若AB＝6，求△EFG面积的最大值．
25．（10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时是多少千米？
26．（10分）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．试说明中点四边形EFGH是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：
反思交流：
（1）：
①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据1： ；
依据2： ；
②连接AC，若AC＝BD时，则中点四边形EFGH的形状为 ；并说明理由；
创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：
（2）如图（2），点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状为 ，并说明理由；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其它条件不变，则中点四边形EFGH的形状为 ．
2024—2025学年上学期重庆初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；数感．
【答案】D
【分析】最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．
【解答】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、3，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是能够看出被开方数中的能开得尽方的因数或因式．
2．（4分）在一次函数y＝2x+1的图象上的一个点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C． D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】将每个选项中的横坐标代入函数解析式，求出y的值，再进一步比较即可．
【解答】解：当x＝2时，y＝2x+1＝4+1＝5，
故A不符合题意，C不符合题意；
当x＝﹣2时，y＝2x+1＝﹣4+1＝﹣3，
故B不符合题意；
当x时，y＝2x+1＝1+1＝2，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
3．（4分）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．，， C．1，1， D．3，5，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、∵（）2+（）2＝7，（）2＝5，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵12+12＝2，（）2＝2，
∴12+12＝（）2，
∴能成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵32+52＝34，62＝36，
∴32+52≠62，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．（4分）依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，因此图中的四边形不可能是平行四边形，
故A不符合题意；
B．一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，
故B不符合题意；
C．两组对边相等能判断四边形是平行四边形，
故C符合题意；
D．一组对边平行但不相等的四边形不是平行四边形，
故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
5．（4分）在今年的体育考试中，某校甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为：S甲2＝10，S乙2＝25，S丙2＝20，S丁2＝15，则四个班体育考试成绩最整齐的是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
【考点】方差．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据四个班的平均分相等结合给定的方差值，即可找出成绩最稳定的班级．
【解答】解：∵甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为：S甲2＝10，S乙2＝25，S丙2＝20，S丁2＝15，且10＜15＜20＜25，
∴甲班体育考试成绩最整齐．
故选：A．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6．（4分）小红的爷爷出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里．下面图形表示小红爷爷离家时间x与外出路程y之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】D
【分析】从小红的爷爷散步的时间段看，分为0﹣20分钟散步，20﹣30分钟看报，30﹣45分钟返回家，按时间段把函数图象分为三段．
【解答】解：依题意，0﹣20分钟散步，离家路程增加到900米，
20﹣30分钟看报，离家路程不变，
30﹣45分钟返回家，离家路程减少为0米．
故选：D．
【点评】此题主要考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
7．（4分）对于一次函数，下列说法错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象与y轴交点为（0，3）
C．图象经过第一、二、四象限
D．图象经过点（3，0）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵一次函数1，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，故选项C正确，不合题意；
函数值y随x的增大而减小，故选项A正确，不合题意；
函数图象与y轴交点为（0，1），故选项B错误，符合题意；
当x＝3时，y＝0，
所以图象经过点（3，0），故选项D正确，不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
8．（4分）在△DEF中，∠E＝90°，对应三边为d，e，f，则d，e，f的关系是（ ）
A．f2＝d2+e2 B．d2＝e2+f2 C．e＝d+f D．e2＝d2+f2
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】直接利用勾股定理可得答案．
【解答】解：在△DEF中，∵∠E＝90°，
∴e2＝d2+f2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，分清斜边是解题的关键，属于基础题．
9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC＝5，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．2
【考点】矩形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】设EH⊥AB于H，EG⊥BC于G，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，AC交EF于O，连接AE、CE、EN、FM，由题意得EH＝EG＝EM＝FN＝1，易证四边形EMFN是平行四边形，得OM＝ONMN，OE＝OFEF，再证四边形BGEH是正方形，得BH＝BG＝EH＝1，然后证Rt△AHE≌Rt△AME（HL），得AH＝AM，Rt△CGE≌Rt△CME（HL），则CG＝CM，设AB＝x，BC＝y，且y≥x，则AH＝AM＝x﹣1，CG＝CM＝y﹣1，则，求出AM＝2，CM＝3，同理CN＝2，求出OM，即可解决问题．
【解答】解：设EH⊥AB于H，EG⊥BC于G，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，AC交EF于O，连接AE、CE、EN、FM，如图所示：
∴EM∥FN，
由题意得：EH＝EG＝EM＝FN＝1，
∴四边形EMFN是平行四边形，
∴OM＝ONMN，OE＝OFEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴四边形BGEH是正方形，
∴BH＝BG＝EH＝1，
在Rt△AHE和Rt△AME中，
，
∴Rt△AHE≌Rt△AME（HL），
∴AH＝AM，
在Rt△CGE和Rt△CME中，
，
∴Rt△CGE≌Rt△CME（HL），
∴CG＝CM，
设AB＝x，BC＝y，且y≥x，
则AH＝AM＝x﹣1，CG＝CM＝y﹣1，
∵AC＝5，
∴，
解得：，
∴AM＝2，CM＝3，
同理得：CN＝2，
∴OMMN（AC﹣AM﹣CN）（5﹣2﹣2），
在Rt△EMO中，由勾股定理得：OE，
∴EF＝2OE，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（4分）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC＝3：5，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【答案】A
【分析】首先设AE与CD相交于F，根据折叠的性质可得△ACF、△DEF是等腰三角形，继而证得△ACF∽△EDF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DF：FC＝3：5，再设DF＝3x，FC＝5x，即可求得AB，继而求得答案．
【解答】解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠BAC＝∠EAC，AE＝AB＝CD，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DCA，
设AE与CD相交于F，则AF＝CF，
∴AE﹣AF＝CD﹣CF，
即DF＝EF，
∴，
又∵∠AFC＝∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴，
设DF＝3x，FC＝5x，则AF＝5x，
在Rt△ADF中，AD4x，
又∵AB＝CD＝DF+FC＝3x+5x＝8x，
∴．
故选：A．
【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）（﹣2）2÷（）＝ 8 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】8．
【分析】先算乘方，然后算小括号里面的，最后括号外面的．
【解答】解：原式＝48÷（534）
＝48÷（54）
＝48÷2
＝48
＝48
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则是解题关键．
12．（4分）一组数据2，1，3，1，2，的中位数是 2 ．
【考点】中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：把这组数据从小到大排序后为1，1，2，2，3，
∴这组数据的中位数为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
13．（4分）已知P1（﹣1，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1的图象上的两点，则y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一次函数的增减性即可得．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中的k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵P1（﹣1，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1的图象上的两点，且﹣1＜2，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．
14．（4分）若一组数据6，7，5，7，10，则这组数据的方差为 2.8 ．
【考点】方差．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】2.8．
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式进行计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数是：（6+7+5+7+10）÷5＝7，
则数据的方差S2[（6﹣7）2+（7﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+（10﹣7）2]＝2.8．
故答案为：2.8．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15．（4分）要在台阶上铺设某种红地毯，已知这种红地毯每平方米的售价是20元，台阶宽为3米，侧面如图所示，购买这种红地毯至少需要 600 元．
【考点】生活中的平移现象．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】600
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【解答】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，长宽分别为5.2米，4.8米，
∴地毯的长度为5.2+4.8＝10（米），
地毯的面积为10×3＝30（平方米），
∴购买这种红地毯至少需要30×20＝600（元）．
故答案为：600．
【点评】本题考查了平移的性质，属于基础应用题，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
16．（4分）如果m满足关于x的分式方程的解为正整数，且使得关于x的一次函数y＝﹣3x﹣m+7不过第三象限，则所有满足条件的整数m的值的和为 12 ．
【考点】一次函数的性质；分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；函数及其图象；运算能力．
【答案】12．
【分析】根据y＝﹣3x﹣m+7不过第三象限，可得出m的取值范围，再根据m满足关于x的分式方程的解为正整数可得出m的值，再取公共解集相加即可．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x﹣m+7不过第三象限，
∴﹣m+7≥0，
∴m≤7，
，
解得：x，
∵为正整数，
∵x﹣1≠0，
∴m≠3，
∴m＝5或m＝7，
∴和为：5+7＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一次函数的性质和分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法和一次函数图象的性质是解题关键．
17．（4分）如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED交BC于点G，点D、C分别落在点D′、C′位置上，若∠EFG＝55°，∠BGE＝ 110 度．
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质；矩形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】110．
【分析】根据纸片是长方形，找到图中的平行线，再根据平行线的性质和翻折不变性解题．
【解答】解：∵四边形纸片ABCD是矩形纸片，
∴AD∥BC（矩形的对边相互平行），
∴∠DEF＝∠EFG（两直线平行，内错角相等）；
又∵∠EFG＝55°（已知），
∴∠DEF＝55°，
根据图形的翻折不变性，∠GEF＝∠DEF＝55°，
∴∠EGB＝55°+55°＝110°（外角定理）．
故答案为：110．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、矩形的性质及平行线的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，只是上的位置变化．
18．（4分）整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先 去括号 ，然后再 合并同类项 ．
※注意：
（1）整式加减的一般步骤是：
①先去括号；
②再合并同类项．
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来；
（3）整式加减的最后结果的要求：
①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；
②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
【考点】整式的加减；有理数；有理数的除法；整式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】去括号，合并同类项．
【分析】利用整式的加减运算法则判断即可．
【解答】解：整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
故答案为：去括号，合并同类项；
※注意：
（1）整式加减的一般步骤是：
①先去括号；
②再合并同类项．
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来；
（3）整式加减的最后结果的要求：
①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；
②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）
（2）
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）5．
【分析】（1）先化简各式，再合并同类二次根式即可；
（2）先去括号，再根据二次根式的除法法则，进行计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
＝5．
【点评】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，AB＝16．
（1）求BC的长；
（2）仅用一把无刻度的直尺在AB边上确定点F，使得∠AFD＝∠BEC．请画出满足题意的点F．（保留痕迹，不写作法）
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）10．
（2）作图见解析部分．
【分析】（1）证明AD＝DE＝BC，求出DE即可解决问题．
（2）连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AB于点F，连接DF，点F即为所求．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EAB＝∠AED，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DA＝DE，
∵CE＝6，CD＝AB＝16，
∴DE＝CD﹣CE＝16﹣6＝10，
∴BC＝AD＝DE＝10．
（2）如图，点F即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明AD＝DE，属于中考常考题型．
21．（10分）已知：一次函数的图象与直线yx平行，且通过点（0，4）．
（1）求一次函数的解析式．
（2）若点M（﹣8，m）和N（n，5）在一次函数的图象上，求m，n的值．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】计算题；待定系数法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）两直线平行时，其函数解析式的一次项系数相等，设所求一次函数解析式为yx+b，将点（0，4）代入求b即可；
（2）将点M（﹣8，m）和N（n，5）分别代入（1）中的函数解析式，可求m，n的值．
【解答】解：（1）因为所求一次函数的图象与直线yx平行，
设所求一次函数解析式为：yx+b，
将点（0，4）代入，得b＝4
所以，一次函数解析式为：yx+4；
（2）将点M（﹣8，m）和N（n，5）代入yx+b中，
得：m（﹣8）+4；
5n+4，n．
故m，n．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式的方法，点的坐标与一次函数解析式的关系的问题．
22．（10分）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.75≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年级 92.6 m 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是 50 ；
（2）频数分布直方图中，C组的频数是 13 ；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数m＝ 93 ；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为 八 年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（5）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有 160 人．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；方差；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）50；
（2）13；
（3）93；
（4）八；
（5）160．
【分析】（1）由样本容量的定义即可得出答案；
（2）根据各组频数之和等于样本容量50进行计算即可；
（3）根据中位数的定义和计算方法进行计算即可；
（4）由七、八年级学生成绩的方差的大小即可得出结论；
（5）求出样本中，八年级学生成绩不低于95分的学生所占的百分比，估计总体中所占的百分比，根据频率进行计算即可．
【解答】解：（1）由于“随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析”因此本次抽取八年级学生的样本容量是50，
故答案为：50；
（2）频数分布直方图中，C组的频数为50﹣4﹣6﹣7﹣20﹣13（人），
故答案为：13；
（3）将抽取的50名八年级学生成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数为93（分），因此本次抽取八年级学生成绩的中位数是93分，即m＝93，
故答案为：93；
（4）样本中七年级学生成绩的方差为57.4，而八年级学生成绩的方差为49.2，由于57.4＞49.2，
因此八年级学生成绩比较整齐，
故答案为：八；
（5）400160（名），
答：该校八年级400名学生中，成绩不低于95分的学生大约有160名．
【点评】本题考查频数分布直方图，样本容量，中位数，众数，方差以及样本估计总体，掌握中位数的计算方法，理解方差的定义以及样本估计总体的方法是解决问题的前提．
23．（10分）点A是线段MN的中点，在MN同侧有B，D两点，连结AD，AB，∠DAM＝∠BAN，DM∥BN，以AD，AB为边作平行四边形ABCD，分别延长BA与DM相交于点E，连结CA．
（1）求证：四边形EACD是平行四边形．
（2）已知AC＝7．
①若四边形ABCD是菱形，求BN的长．
②若DM：ME＝4：3，当平行四边形ABCD、平行四边形EACD其中一个为矩形时，则平行四边形ABCD的周长为 或14 ．（直接写出答案）
【考点】四边形综合题．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解析过程；
（2）①；②或14．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得CD∥AB，CD＝AB，由“AAS”可证△ABN≌△AEN，可得AE＝AB＝CD，可得结论；
（2）①由菱形的性质可得AD＝AB＝AE，由等腰三角形的性质可得AM⊥DM，DM，即可求解；
②分两种情况讨论，由角平分线的性质可得MH＝MG，由勾股定理可求AD，AE的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵点A是MN的中点，
∴MA＝AN，
∵BN∥DM，
∴∠ANB＝∠AME，∠ABN＝∠AEM，
∴△ABN≌△AEN（AAS），
∴AE＝AB，EM＝BN，
∴AE＝CD，
∴四边形EACD是平行四边形；
（2）①解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵四边形EACD是平行四边形，
∴AC＝DE＝7，AE＝AD＝AB，
又∵∠DAM＝∠BAN＝∠EAM，
∴DM＝EM，AM⊥DE，
∴BN＝EM；
②解：如图，过点M作MH⊥AE于H，MG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠MAE＝∠MAD，MH⊥AE，MG⊥AD，
∴MG＝MH，
∵DM：ME＝4：3，
∴S△AMD：S△AME＝4：3，
∴（AD×MG）：（AE×MH）＝4：3，
∴AD：AE＝4：3，
∴设AD＝4x，AE＝3x，
当四边形ACDE是矩形时，即∠E＝90°，
∴AD2＝DE2+AE2，
∴16x2＝49+9x2，
∴x（负值舍去），
∴AD＝4，AE＝3AB，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×（43）＝14；
当四边形ABCD是矩形，即∠DAB＝90°＝∠DAE，
∴DE2＝AE2+AD2，
∴49＝16x2+9x2，
∴x（负值舍去），
∴AD，AEAB，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×（）；
故答案为：或14．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程组是解题的关键．
24．（10分）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°．P为菱形ABCD内对角线BD右侧一点．
（1）如图1，连接AP、BP、DP，若∠BPD＝2∠BAD，求证：AP＝BP+DP；
（2）如图2，过点P作PE⊥CD于点E，PF⊥BD于点F，PG⊥BC于点G．连接EF、FG、EG，若AB＝6，求△EFG面积的最大值．
【考点】四边形综合题．
【专题】证明题；代数几何综合题；数形结合；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】（1）见解析．
（2）．
【分析】（1）通过把DP边逆时针旋转60°可证△DPE为等边三角形，然后证明B，P，E三点共线 证明△ADP≌△BDE即可．
（2）首先计算出△BCD的面积得到PE，PF，PG三条线段的关系，再用含PE，PF，PG的式子表示出△EFG的面积，最后使用均值不等式求出最大值．
【解答】解：（1）证明：如图1所示．将DP绕点D逆时针旋转60°至DE．
连接PE．∵∠EDP＝60°，PD＝ED．
∴△DPE为等边三角形，故∠DPE＝60°．
由四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°．
∴∠BPD＝2∠BAD＝2×60°＝120°．
∴∠BPD+∠DPE＝180°，
故B、P、E三点共线．
由菱形性质得AD＝AB＝CB＝CD，
又∵∠DAB＝60°，
∴△ADB为等边三角形，∠ADB＝∠ADB＝60°．
∴∠ADB+∠BDP＝∠EDP+∠BDP．
即∠ADP＝∠BDE．
在△ADP和△BDE中，
∴△ADP≌△BDE（SAS）．
∴AP＝BE＝BP+PE＝BP+DP．
故AP＝BP+DP．
（2）如图2所示，设AC、BD相交于点H，连接DP、BP、CP．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝6．
∴AB⊥BC，DH＝BH．
∴CH．
∴．
设PE＝a，PF＝b，PG＝c．
则S△BDC＝S△BPD+S△DPC+S△CPB
．
∴a+b+c． ①
∵∠DBC＝∠BCD＝∠CDB＝60°，
PE⊥DC，PF⊥BD，PG⊥BC．
∴∠DBC+∠FPG＝180°，
∠BCD+∠EPG＝180°，
∠CDB+∠FPE＝180°．
∴∠FPG＝∠EPG＝∠FPE＝120°．
∵S△EFG＝S△PFE+S△PFG+S△PGE
．
由①式得2（a+b+c）2
＝2（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac）
＝2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ac
＝（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）+4ab+4bc+4ac
≥2ab+2bc+2ac+4ab+4bc+4ac
＝6（ab+bc+ac）．
即ab+bc+ac≤9．
∴．
故△EFG面积的最大值为．
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质与判定、全等三角形判定与性质、均值不等式证明最值． 综合性很强．
25．（10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时是多少千米？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】应用题；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由待定系数法可求出函数解析式；
（2）根据图中的信息求出乙返回B地所需的时间，由题意可列出不等式1.6v≥120，解不等式即可得出答案．
【解答】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128；
由图可知200﹣80＝120（千米），120÷80＝1.5（小时），1.6+1.5＝3.1（小时），
∴x的取值范围是1.6≤x＜3.1．
∴货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x＜3.1）；
（2）当y＝200﹣80＝120时，
120＝80x﹣128，
解得x＝3.1，
由图可知，甲的速度为50（千米/小时），
货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），
18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），
设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，
∴1.6v≥120，
解得v≥75．
答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．
【点评】本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键．
26．（10分）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．试说明中点四边形EFGH是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：
反思交流：
（1）：
①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据1： 三角形的中位线定理 ；
依据2： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ；
②连接AC，若AC＝BD时，则中点四边形EFGH的形状为 菱形 ；并说明理由；
创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：
（2）如图（2），点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状为 菱形 ，并说明理由；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其它条件不变，则中点四边形EFGH的形状为 正方形 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）三角形中位线定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，菱形．
（2）结论：四边形EFGH是菱形．理由见解析部分；
（3）结论：正方形．理由见解析部分．
【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可；
（2）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．
【解答】解：（1）①依据1：三角形的中位线定理．
依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
②菱形．
理由：如图1中，
∵AE＝EB，AH＝HD，
∴EHBD，
∵DH＝HA，DG＝GC，
∴HGAC，
∴HE＝HG，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：三角形中位线定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，菱形．
（2）结论：四边形EFGH是菱形．
理由：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，
即：∠BPD＝∠APC，
∵PA＝PB，PC＝PD，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC＝BD，
∴HG＝HE，
由问题情境可知：四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）结论：正方形．
理由：如图2﹣1中，连接AC，BD，BD交AC于点O，交GH于点K，AC交PD于点J．
∵△APC≌△BPD，∠DPC＝90°，
∴∠PDB＝∠PCA，
∵∠PJC＝∠DJO，
∴∠CPJ＝∠DOJ＝90°，
∵HG∥AC，
∴∠BKG＝∠BOC＝90°，
∵EH∥BD，
∴∠EHG＝∠BKG＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考压轴题．
考点卡片
1．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
2．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
3．整式
（1）概念：单项式和多项式统称为整式．
他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．
（2）规律方法总结：
①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．
4．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
5．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
8．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
9．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
10．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
11．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
12．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
13．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
14．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
15．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
16．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
17．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
18．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
19．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
20．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
21．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
23．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
24．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
25．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
26．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
27．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
28．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
29．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
30．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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