广东省汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试题（含答案）

试卷类型：A
汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测
数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷选择题
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是关于的实系数方程的一个根，则的值为（ ）
A.26 B.-26 C.13 D.-13
2.若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（ ）
A. B.
C.，既不垂直也不平行 D.，的位置关系不确定
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知为等差数列，，，则（ ）
A.1 B.33 C.65 D.-1
5.对于变量和变量的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，则模型误差（ ）
A.满足一元线性回归模型的所有假设
B.不满足一元线性回归模型的的假设
C.不满足一元线性回归模型的的假设
D.不满足一元线性回归模型的和的假设
6.通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下列联表.已知，，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（ ）
跳绳 性别 合计
男 女
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
合计 60 50 110
A.爱好跳绳与性别有关
B.爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C.爱好跳绳与性别无关
D.爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
7.在中，，边上的高等于，则（ ）
A. B. C. D.
8.某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到.在该海湾某一固定点，大海水深（单位：）与午夜24：00后的时间（单位：）的关系由函数表示，则上午9：00潮水的涨落速度为（精确到，参考数据：）（ ）
A.3.00 B.-1.64 C.1.12 D.-2.15
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知点 在所在平面内，则（ ）
A.若，则点是的外心
B.若，则点是的重心
C.若，则点是的内心
D.若，则是等腰三角形
10.已知函数的最大值为1，则（ ）
A.
B.的最小正周期为
C.在上单调递减
D.的图象按向量平移，所得图象过原点
11.已知点和以点为圆心的圆，以为直径，点为圆心的圆与圆相交于 两点，则（ ）
A.圆的方程为
B.与两条直线中，有一条直线的斜率不存在
C.直线的方程为
D.线段的长为
第II卷非选择题
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.写出的展开式中系数最大的项：__________.
13.已知一正四面体状木块的棱长为3，点为侧面的重心，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面周长为__________.
14.设椭圆的离心率为，双曲线的渐近线斜率小于，则的取值范围是__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项 （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
16.（本小题满分15分）
在长方体中，点 分别在棱 上，且，.
（1）求证：平面；
（2）当，，时，求平面与平面的夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）作出的大致图象，并说明理由；
（2）讨论函数的零点个数.
18.（本小题满分17分）
甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势：若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率；若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率.如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有如下两个方案，
方案一执行投资计划；
方案二聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确.投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.
假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是0.4，经济形势不好的概率是0.6.
（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；
（2）根据获得利润的数学期望的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.
19.（本小题满分17分）
抛物线具有光学性质：由其焦点发出的光线经抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.
由光路可逆知，反之也成立.
（1）已知平行于轴的光线从点发出，经抛物线上的点反射后，再经该抛物线上另一点，最后沿方向射出，若射线平分，求实数的值；
（2）光线被抛物线上某点反射，其实是被抛物线在该点处的切线反射.对于一般的抛物线，请证明上述抛物线的光学性质.
汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测
数学科参考答案与评分标准
第I卷
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D B A C C D B ABD AB ABD
1.【解析】实系数一元二次方程的两根互为共轭复数，由韦达定理得；
2.【解析】利用长方体易得；
3.【解析】；
4.【解析】，同理，故公差，所以；
5.【解析】由残差图的点没有均匀分布在水平带状区域内可知：不满足的假设；
6.【解析】计算得，说明没有充分证据作此推断；
7.【解析】作于，设，则，故由余弦定理可求得；
8.【解析】由导数的意义知，上午潮水的涨落速度为
9.【解析】由外心定义，A正确；设是中点，由得，B正确；由得，即，同理，，故点是的垂心，错误；
设，则为的平分线，又，故D正确；
10.【解析】化简得，故，A正确；显然，B正确；
在上递增，且，而在上没有单调性，故C错误；
设的图象按向量平移，得到函数的图象，则，D错误；
11.【解析】设点为圆上任一点，由知，正确；
显然，与为圆的切线，若有一条的斜率不存在，则其方程必为，它到圆心的距离为3，与圆半径相等，符合题意，故B正确；
圆与圆的方程相减得直线的方程为，故C错误；
圆心到直线的距离为，所以，故D正确；
第II卷
题号 12 13 14
答案 6
12.【解析】的展开式中系数最大的项也即是二项式系数最大的项，即；
13.【解析】由线面平行的性质定理知，截面的两组对边分别与和平行，与平行的边长为
2，与平行的边长为1，故周长为6；
14.【解析】依题意，，故；
15.【答案】
（1）设等比数列的公比为，则
当时：，①
当时：，②
由①②解得：，
所以数列的通项公式；
（2）设数列中存在3项成等比数列，则，
因为，
所以，即；
又因为成等差数列，所以，
所以，
化简得，所以，
又各不相等，所以，矛盾.
从而假设不成立，故在数列中不存在3项成等比数列.
16.【答案】
（1）证明：因为，
所以，
因为，
所以，
又，故平面；
（2）以点为原点，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为，
则，取，
由（1）知：是平面的一个法向量
所以，，
设平面和平面的夹角为，则.
17.【答案】
（1）的定义域为，且，
由得：或，
列表得：
0
+ 0 - - 0 +
极大值 极小值
所以，的递增区间为与，递减区间为与，
的极大值为，极小值为，
当时，，且时，，
当从1的左侧无限趋近1时，，当从1的右侧无限趋近1时，
又
所以函数的大致图象如图所示：
（2）令得：，
由（1）知，
当时，恰有1个零点；
当时，恰有2个零点；
当时，没有零点.
18.【答案】
（1）记“投资期间经济形势好”，“投资咨询公司预测投资期间经济形势好”，
则，
，
由全概率公式得：
（2）设采取方案一获得利润万元，则的分布列是
50 -20
0.4 0.6
设采取方案二获得利润万元，则的所有可能取值为，
，
，
，
的分布列为：
-20.5 -1.5 49.5
0.18 0.5 0.32
，
甲公司应该选择方案二.
19.【答案】
（1）依题意可知，直线的方程为，
由得：，
又，所以，
故直线的方程为，
由得：，
则，
设直线的倾斜角为，由得或-2（舍去）
所以，故；
（2）设直线与拋物线相切于点，
由得：，
故，整理得，
从而，
进而，
取直线的一个方向向量，
直线的一个方向向量为，
焦点发出的光线经点反射，设反射光线斜率为，取其一个方向向量为，
故，
即：
整理得：，
因为与不共线，所以，
从而，
所以由抛物线焦点发出的光线经拋物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.