广东省汕头市2023-2024学年高一下学期期末普通高中教学质量监测数学试题（含答案）

汕头市2023-2024学年高一下学期期末普通高中教学质量监测
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第I卷 选择题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
5．已知平面内两个粒子A，B从同一发射源射出，在某一时刻，它们的位置分别为，，相应的位移分别为，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知在有两个零点，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意拋掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件B与C互斥 B．
C．事件A与C相互独立 D．
10．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．不等式的解集为
C．在区间上单调递减
D．为了得到函数的图象，只要把函数曲线上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
11．已知为定义在R上的奇函数，当时，；将函数和图象的所有交点从左到右依次记为，，，，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．当，时，
C．
D．若P点坐标为，则
第II卷 非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知x是方程在复数范围内的根，则________．
13．将一个底面边长为，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为________．
14．始建于1880年的表角灯塔位于汕头港达濠半岛广澳角，既是粤东沿海干线的重要灯塔，又是进出汕头港外航道的重要助航标志，其射程24海里（射程：在晴天黑夜，观测者能够看到灯塔灯光的最大距离）．一艘船以16海里/小时的速度航行，到某点时测得表角灯塔在其西南方向32海里，随后向正南方向航行，在同一气象能见度条件下，大约________后，这艘船上的船员就能看到灯塔的灯光，并持续时间________（结果都精确到，参考数据：）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，在等边中，，点O在边BC上，且．过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N．
（1）设，，试用，表示，；
（2）求，；
（3）设，，求的值和的最小值．
16．（本小题满分15分）
某中学的学生在劳动实践项目中培育一种植物，现在这批植物中随机抽测了部分植株的高度（单位：cm），所得数据统计如下图．
（1）求a的值，并估计这批植株高度的平均数和第75百分位数；（第75百分位数的结果保留小数点后两位）；
（2）若从高度在和的植株中采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取6株样本再从该样本中采用不放回简单随机抽样抽取2株，求抽取的2株植株高度均在内的概率．
17．（本小题满分15分）
如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，点C是圆周上的点且，M在线段PA上且，N是BM的中点．
（1）若二面角的大小为，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值；
（2）线段PC上是否存在点Q，使得平面ABC 若存在，则求的值；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分17分）
酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．经过反复试验，喝了一定量的酒后，酒精在人体血液中含量的变化规律如下：一开始含量呈线性增长，当其上升到时，会以每小时的速度减少（函数模型如下图）．
（1）求血液中酒精含量y（单位：）关于时间x（单位：小时）的函数解析式；
（2）某驾驶员在喝了同等量的酒后，至少要经过几个小时才能合法驾驶 （结果取整数）．
（参考数据：，）
19．（本小题满分17分）
已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，．
（1）求角C；
（2）若外接圆的圆心为O，P为圆O上的一动点，求的取值范围；
（3）若的面积，D为AB边上一点且总存在使得成立，求线段CD长度的取值范围．
汕头市2023-2024学年高一下学期期末普通高中教学质量监测
数学科参考答案与评分标准
第I卷
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D A C B A A B BCD AB ACD
1．【解析】，则
2．【解析】数据，，，的平均数为，方差为
3．【解析】因为，且，所以，，则复数在复平面上对应的点位于第一象限
4．【解析】A．若，，两直线不一定平行
B．若，，，，两平面可能相交也可能平行
C．若，，，，通过面面垂直的性质和平行的传递性可以推出
D．若，，，则两平面不一定垂直
5．【解析】，，则在上的投影向量为
6．【解析】因为，，，，所以，，则
7．【解析】令，函数单调递增，且，则，所以原函数化为其在有两个零点，所以，解得且，所以p是q的充分不必要条件
8．【解析】因为，即
即，又因，所以，分别沿AP，AQ翻折可与重合，可得是的半角，即．设，，则，其中，
因为，，所以最大值为
9．【解析】A．因为得到的点数是2时，事件B与C同时发生，所以不互斥
B．，正确
C．，，，则，即事件A与C相互独立，正确
D．，，则正确
10．【解析】
A．最小正周期为，正确
B．，即，，所以解集为，正确
C．因为，即，在该区间不单调递减，错误
D．为了得到函数的图象，只要把函数上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，错误
11．【解析】A．为定义在R上的奇函数，通过平移，可得的图象关于点对称，正确
B．当时，，再利用的图象关于点对称，在凹凸性相反，所以当，时，，错误
C．当时，是增函数，再利用的图象关于点对称，在单调性相同，所以是增函数，又，所以，正确
D．和的所有交点有11个，且关于点对称，P点坐标为，则．以此类推，所以，
第II卷
题号 12 13 14
答案 55，60
注：14题第一空2分，第二空3分
12．【解析】方程解得，得
13．【解析】可得正四棱锥侧面斜高为2，利用等体积法求得内切球半径为，所以球的表面积为
14．【解析】设船行驶距离为x，由余弦定理得，解得由速度16海里/小时，可得行驶的时间，所以，，，即后这艘船上的船员就能看到灯塔的灯光，并持续时间
15．解：（1）∵，∴
．
（2）
，
∴
（3）∵，，
所以
因为M，O，N共线，
所以，
∵m，
∴
当且仅当且，即，时，取到最小值．
16．解：（1）依题意可得，解得
样本每组的频率分别为0.1，0.15，0.25，0.3，0.2
所以，样本的平均数
高度在的频率为
高度在的频率为
所以，第75百分位数在
则
据此，可以估计这批植物高度的平均数约为20.7，第75百分位数约为22.67
（2）由（1）可得高度在的频率为：，高度在的频率为：即，所以分层抽取的6株样本中，高度在和的株数分别为2和4
因此记高度在两株植株分别为m，n，高度在四株植株分别为A，B，C，D
则试验的样本空间，
设“抽取的2株高度均在内”为事件M，
由古典概型的计算公式得：
∴抽取的2株高度均在内的概率为
17．解：（1）连接MC
∵AB为圆O直径 ∴即
∵平面ABC，平面ABC ∴
∵，PA，平面 平面PAC
∴BM与平面PAC所成角为
∵平面PAC，∴，又
∴二面角的平面角为，即
∴为等腰三角形
又∵，∴，
∴
∴在中，
即BM与平面PAC所成角的正弦值为
（2）存在点Q，假设，使得平面ABC
过点Q作交AC于点D，连接NO，NQ，DO，∴
又∵ ∴
∵N，O分别是BM，AB的中点，∴，
∴，
∴四边形NODQ为平行四边形
∴
又平面ABC，平面ABC，∴平面ABC
18．解（1）依题意，得
当酒精含量呈直线上升时，设
∵函数过点，∴
解得，，即
∴当时，解得
又当其上升到时，会以每小时的速度减少
∴当时，
∴
（2）根据题意，
即，即
可得
∴
∴驾驶员甲至少要经过10个小时才能合法驾驶．
19．解：（1）∵
由正弦定理得
又∵
∴
又
化简得，即
又，则，∴，∴
（2）如图所示，取AB的中点M
则
由正弦定理得，即
∴，
∵，即
∴
（3）∵，∵
同理，
即CD为角C的平分线
∵，
∴，
∴，即
由余弦定理得，即，
∴，
又∵的面积
∴，解得
∵
令，在上单调递增
∴CD的取值范围为