安徽省滁州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（含答案）

姓名__________座位号__________.
（在此卷上答题无效）
滁州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测
数学
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集为，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则（ ）
A.-1 B. C. D.1
3.已知正项等比数列单调递增，，则（ ）
A.12 B.16 C.24 D.32
4.一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数（prime number），质数又称素数，如等都是素数.数学上把相差为2的两个素数叫做孪生素数，如：3和5，5和.如果我们在不超过31的素数中随机选取两个不同的数，则这两个数是孪生素数的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.在中，，点在边上，且，则长为（ ）
A. B.1 C. D.
6.若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ）
A.32 B.64 C.80 D.160
7.如图，正方体的棱长为1，点为棱的中点，空间中一点满足，则点的轨迹截正方体表面所得图形的周长为（ ）
A. B. C. D.
8.双曲线的左 有焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（ ）
A. B. C.10 D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若复数满足，则（ ）
A.的实部为1 B.的虚部为
C. D.
10.已知定义在上的函数满足，且.若时，，则（ ）
A.的最小正周期
B.的图象关于对称
C.
D.函数在区间上所有零点之和为-2
11.如图，四棱锥中，平面平面，且，是棱的中点，，则（ ）
A.平面
B.平面
C.和平面所成角的正弦值为
D.四面体外接球的表面积为
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若本市2024年高二某次数学测试的成绩（单位：分）近似服从正态分布.从本市中任选1名高二学生，则这名学生数学成绩在102~104分之间的概率约为__________.
参考数据：若随机变量，则，.
13.过抛物线上一点作切线与轫交于点，真线被圆截得的弦长为，则点的坐标为__________.
14.已知函数满足，且恰有一个极值点，则的取值范围为__________.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知公差不为0的等差数列，其前项和为.若，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
16.（15分）
在如图所示的几何体中，四边形是边长为的正方形，四边形为菱形，，平面平面.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求平面和平面夹角的余弦值.
17.（15分）
2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021一2035年）》，《规划》提出，到2035年，纯电动汽车成为新销售车辆的主流，公共领域用车全面电动化，燃料电池汽车实现商业化应用，高度自动驾驶汽车实现规模化应用，有效促进节能减排水平和社会运行效率的提升.某市车企为了解消费者群体中购买不同汽车种类与性别的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了近期购车的90位车主，得到如下列联表：（单位：人）
性别 购车种类 合计
新能源汽车 燃油汽车
男 20 40 60
女 20 10 30
合计 40 50 90
（1）试根据小概率值的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关；
（2）以上述统计结果的频率估计概率，设事件“购车为新能源汽车”，“购车车主为男性”.
①计算；
②从该市近期购车男性中随机抽取2人 女性中随机抽取1人，设这三人中购买新能源汽车的人数为，求的分布列及数学期望.
附：参考公式：.
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.（17分）
已知函数.
（1）当时，求的最大值；
（2）若在定义域上恒成立，求实数的取值范围.
19.（17分）
已知椭圆的短轴长为2，且右焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，，其中为坐标原点.
①求与的关系式；
②为线段中点，射线与椭圆相交于点，记四边形的面积与的面积之比为，求实数的取值范围.
滁州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测
数学参考答案
一 单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D A C D C
二 多项选择题
题号 9 10 11
答案 AC ABD ACD
三 填空题
12.0.1359 13. 14.
四 解答题：
15.解：（1）设的首项为，公差为，
，即.①
又成等比数列，即.
化简得：.②
联立①②，可得，故.
（2），即.
.
.
16.解：（1）设，如图1，连接.
因为四边形为菱形且，所以为等边三角形，则.
四边形是边长为的正方形，所以.
又因为面，故面
面.
.
（2）因为平面平面，且面面面，在正形中，，所以面.
而又由（1）知.
如图2，以为坐标原点，所在直线分別为轴，轴，轴，建泣空间直角坐标系.
可得：A.
设面BAF的法向量为.
，令
设两的法向量为.
令.
故.
所以，平面和平面夹角的余弦值为.
17.解：（1）依题意可得，.
零假设为：购车种类与性别无关联.
依据列联表中数据，经计算得到：
.
所以，根据小概率得独立性检验，我们判断购物种类与性别有关，此判断犯错误概率不大于0.005.
（2）①，
②设定事件C：在购车群体中，男性购买新能源汽车.
则.
设定事件：在购车群体中，女性购买新能源汽车.
则.
依题意，的可能取值为：.
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，随机变量的数学期望.
18.解：（1）当时，，
恒成立，
在上单调递减.
所以
（2），
.
当时，佰成立，在上単调递增.
，不满足题意.
当时，.
在上恒成立，在上单调递增.
，不满足题意.
当时，令.
（i）若时，，
令，
在上单调递增，上单调递减.
所以当时，矛盾.不满足题意..
（ii）若时，在上恒成立，
在上单调递减.
，满足题意.
综上所述，的取值范围为不满足题意.
19.（1）依题意可得：右焦点，且，即.
又因为.
故，椭圆的标准方程为：.
（2）①：设，
.
.
由韦达定理可得：.①
又因为即，
，
将①代入上式，化简可得：.
即：，此时成立.
故与的关系式为：.
②：由①知：因为为线段的中点，
所以，
设
又因为在椭圆上，.
化简可得：.
（*）
又由（1）知：，将其代入（*）式得：
.
，即.
所以，的取值范围为.
另接（*）式：又由（1）知：.
.
即.
所以，的取值范围为.