2023—2024学年人教版数学八年级上册知识分类训练 12.3 角平分线的性质（含详案）

人教版2024年八年级上册知识分类训练
12.3 角平分线的性质
1、角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
2、角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
4、角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
5、尺规作角的平分线：
画法：①以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
②分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
③作射线ＯＣ．
所以，射线ＯＣ即为所求．
针对训练
1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（　　）
A．12 B．18 C．24 D．36
3．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝4，则PQ的长不可能是（　　）
A．3.9 B．4 C．4.3 D．5.5
4．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．15 B．12 C．8 D．6
6．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
7．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，则S△ABD＝　 　．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，如果AB＝10，△ADB的面积是15，则CD的长为 　 　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，则点D到AB的距离为 　 　．
10．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 　 　．
11．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2．AB＝6．BC＝4，求△ABC的面积．
12．如图在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB于点，DF⊥AC于点F．
求证：AD是△ABC的角平分线．
13．如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．
14．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明AP＝AQ．
15．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．
16．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）求证：AB+CD＝AD．
17．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
参考答案
1．解：过P作PE⊥AO于E，
∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，
∴PE＝PD＝2，
∴点P到OA的距离是2．
故选：C．
2．解：过点G作GH⊥AB于点H，
根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥CG，
∵GH⊥AB，
∴CG＝GH，
∵CG＝3，
∴，
故选：B．
3．解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝4，
∴当PQ⊥AM时，PQ＝PA＝4，
∴PQ≥4，
∴PQ的长不可能3.9．
故选：A．
4．解：
过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，
∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，
∴PQ＝PW，PW＝PR，
∴PR＝PQ，
∵点P到AC的距离为3，
∴PQ＝PR＝3，
则点P到AB的距离为3，
故选：C．
5．解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝4，
∵BC＝6，
∴△BCD的面积＝BC DE＝×6×4＝12，
故选：B．
6．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC
＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
7．解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC于点E，F，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝h，
∵BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，
∴AB h+AC h＝14，即×5h+×2h＝14，
解得h＝4，
∴S△ABD＝AB DE＝×5×4＝10．
故答案为：10．
8．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝10，△ADB的面积是15，
∴，
∴DE＝3，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，
∴CD＝DE＝3，
故答案为：3．
9．解：过点D，作DE⊥AB，交AB于点E，
∵∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝4，
故答案为：4．
10．解：作DH⊥OB于点H，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，
∴DH＝DP＝5，
∴△ODQ的面积＝OQ DH＝4×5＝10，
故答案为：10．
11．解：如图，过点D作DF⊥BC于点F．
∵BD是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
又∵AB＝6，BC＝4，
∴
＝．
12．证明：∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
即点D到AB和AC的距离相等，
∴AD是△ABC的角平分线．
13．证明：∵CE⊥AD于E，CF⊥AB，
∴∠DEC＝∠CFB＝90°，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE与△CBF中，
，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴CE＝CF，
∴AC平分∠DAB．
14．（1）解：如图所示，BQ为所求作；
（2）证明：∵BQ平分∠ABC，
∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠BAC＝90°
∴∠AQP+∠ABQ＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CBQ+∠BPD＝90°，
∵∠ABQ＝∠CBQ，
∴∠AQP＝∠BPD，
又∵∠BPD＝∠APQ，
∴∠AQP＝∠APQ，
∴AP＝AQ．
15．证明：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
在Rt△OPD和Rt△OPE中，，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），
∴OD＝OE，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF＝∠EOF，
在△ODF和△OEF中，，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF＝EF．
16．证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，
∴BE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴CE＝EF，
又∵∠C＝90°，EF⊥AD，
∴DE是∠ADC的平分线．
（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，
∴AB＝AF，DC＝DF，
∴AB+CD＝AF+FD＝AD．
17．（1）解：∵∠ACB＝110°，
∴∠ACD＝180°﹣110°＝70°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝55°，
∴∠ECH＝90°﹣55°＝35°，
∴∠ACE＝180°﹣35°﹣110°＝35°；
（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝AC EN+CD EH＝（AC+CD） EM＝21，
即，
解得EM＝3，
∵AB＝8.5，
∴S△ABE＝AB EM＝．