合肥一中 2023～2024 学年度高二下学期期末联考
数学参考答案
一.单选题
1．【答案】 D
【解析】对于命题 p ，当 x = 1时， | x +1|= 0 <1，故 p 是假命题，则 p 的否定为真命题，
对于命题q ， < 0，故q 是假命题， q 的否定是真命题，
综上可得， p 的否定和q 的否定都是真命题.
故选 D.
2．【答案】 A
1+ 2 + 3+ 4 + 5
【解析】由已知 x = = 3 y 2 + 4 + 4 + 7 + 8， = = 5 ，
5 5
因为点 (x , y )在回归直线 y =1.5x + a 上，
所以 a = 0.5，
所以 x = 3时残差为 4 y (3) = 4 5 = 1 .
故选: A.
3．【答案】 D
2 2
+
【解析】 S S (3+ t ) S (3) 2= = 3+ t 3 = ，
t t t 3(3+ t )
S 2 2 2
所以 lim = lim =
t→0 t t→0 3(3+ t ) 9 ，即该质点在 t = 3s时的瞬时速度为 ; 9
S (3) S 1
从 t =1s t = 3s ( ) 2到 这两秒内的平均速度为 = ;
3 1 3
故选: D.
4．【答案】 B
【解析】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精
良。从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具;反过来如果有锐利精良的工
具，不能得出一定能做好活儿。
故选: B.
合肥一中高二下学期期末联考·数学参考答案 第1页（共9页） 省十联考
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5．【答案】 D
1 1
【解析】对于选项A，若a =1,b = 1时， < ，则A错误．
a b a
对于选项B，若 a < b,c < d ，当 a = 1,b =1,c = 2,d = 3，则 ac < bd ，则B错误．
b
对于选项C，若取 a = 3 ， b = 2 ， c =1，则 =1 c= ，故C错误．
a c a b
1
对于选项D，因为函数 y = x + 在 (1,+∞)上单调递增，故D正确．
x
故选: D.
6．【答案】 A
1
n
【解析】在二项式 2 x 展开式中，二项式系数的和为2
n = 64 = 26 ，所以n = 6 .
x
n 6
2 x 1 2 x 1 则 即 ，通项公式为Tr+1 = C
r 6 r
6 (2) ( 1)
r x3 r , r = 0,1,2, ,6，
x x
故展开式共有7项，当 r = 0,2,4,6 时，展开式为奇次项，
把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排，再把这4
3 4
个奇次项插入其中的4个空中，方法共有A3A4 种,
A3A43 4 1
故奇次项都互不相邻的概率为 P = = ,
A77 35
故选: A.
7．【答案】C
21
【解析】设10名学生中有n名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为 ξ ，由 P(ξ =1) = ，得
40
C1 2nC10 n 21
3 = ， 化 简 得 n (10 n)(9 n) = 6×3× 7 ， 解 得 n = 3C 40 ， 即 本 次 测 试 的 不 合 格 率 为10
3
× 100% = 30%.
10
故选:C.
8．【答案】 B
a2 + 2b2 + 2c2 + d 2 a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + d 2 2ab + 2bc + 2cd
【 解 析 】 因 为 = = 2 ， 当 且 仅 当
ab + bc + cd ab + bc + cd ab + bc + cd
a = b = c = d 时等号成立.
合肥一中高二下学期期末联考·数学参考答案 第2页（共9页） 省十联考
{#{QQABZYSUggiIAIAAAQhCAQEYCAMQkAEAAYgGRAAEMAAAAANABAA=}#}
a,b 1 b a 10 ∈[ ,1]，由对勾函数性质，所以 + ，
3 a b 3
ab 3 (a2 3 3则 + b2 ) bc (b2 + c2 ) cd (c2 2，同理 ， + d ) 10 10 10
a2 + 2b2 + 2c2 + d 2 a2 + 2b2 + 2c2 + d 2 10=
则 ab + bc + cd 3 (a2 + 2b2 + 2c2 + d 2 3 ， 10 )
a2 + 2b2 + 2c2 + d 2 2 , 10 故 的取值范围是 .
ab + bc + cd 3
故选: B.
二、多选题
9．【答案】ABD
1 2P(ξ >1) 1
【解析】对于选项A，若ξ ~ N (0,1) ， P( 1< ξ 0) = = p ，则A正确．
2 2
E (ξ ) = np 30
n = 90
=
对于选项B，设ξ ~ B(n, p) ，则 ( ) ( ) ，解得 ，则B正确． D ξ = np 1 p = 20
p 1 = 3
对于选项C， D(2X 3) = 4D(X ) ，故C错误．
对于选项D，因为 X ~ B(10,0.8) ，则 P (x = k ) = Ck10 0.8k 0.210 k ;
P (x = k +1) Ck+110 0.8k+1 0.29 k 40 4k 40 4k 39
因为 =( ) k k 10 k
= ，若 =1 k = < 8，
P x = k C10 0.8 0.2 k +1 k +1 5
则当 k ≤ 7 时， P (x = k +1) > P (x = k )，当 k ≥ 8时， P (x = k +1) < P (x = k )，
即 P (x =1) < P (x = 2) < < P (x = 7) < P (x = 8) > P (x = 9) > P (x =10)，所以当 X = 8 时概率
最大，故D正确．
故选: ABD.
10．【答案】BD
m n！ (n 1)! m 1
【解析】对于选项A， An = = n = nA(n - m) (n 1) (m 1) ! n 1 ，则A错误． ！
对 于 选 项 B ， An+1 nn+1 An = (n +1)! n!= n! (n +1 1) = n n! n
2 An 1， n 1 = n
2 (n 1)!= n n! ， 所 以
An+1 An = n2 An 1n+1 n n 1 ，则B正确．
合肥一中高二下学期期末联考·数学参考答案 第3页（共9页） 省十联考
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对于选项C，C3 +C3 +C3 + +C3 = C 4 3 3 3 4 33 4 5 2023 4 +C4 +C5 + +C2023 = C5 +C5 +
3
+C2023
= = C 4 2020 2024 = C2024 ，故C错误.
对于选项D，考虑二项式 (1+ x)2n n展开式的 xn 前的系数是C2n ，又因为
(1+ x)2n = (1+ x)n (x +1)n xn C0 C0 +C1 C1的 前的系数可看成 n n n n + +C
n
n C
n
n ，故D正确．
故选: BD.
11．【答案】 BC
2a
= a ≥ 0 a ≤ 0
【解析】对于选项A，若函数 f (x) 在 R 上单调递增，则 2 ，即 ，即a∈[ 1,0]
2a ≤1 a a ≥ 1
，则A错误．
对于选项B，令 f (x) = 0 ，当 x ≥ 0 时，a = ex ，若函数 f (x) 有3个零点，则 a = ex 需有一个零点，则 a ≥1
;
当 x < 0 时，得 x2 2ax 2a = 0 ，若函数 f (x) 有3个零点，则 x2 + 2ax + 2a = 0需有两个不等的负实根
= (2a)2 4 2a > 0
，则 ，解得 a > 2.
2a > 0
故若函数 f (x) 有3个零点，则a 的取值范围是 (2,+∞)，则B正确．
x + x = 2a
对于选项C，设函数 f (x) 的3个零点分别是 x1 ， x2 ， x3 (x x
< < x ) 1 21 2 3 ，则 ex a ，得 3 =
x 1 1 1 1 6x 11 + x2 x3 = 2a ln a ，令 g(x) = 2x ln x ， x∈(2,+∞)则 g′(x) = 2 = ，则 g(x) 在3 3 3 3x 3x
(2,+∞) g(x) g(2) 4 1上单调递减， max = = ln 2 3
当 x
1
趋近于+∞时， g(x)
趋近于负无穷大，则函数 g(x)的取值范围为 ∞, 4 ln 2
3
x 1
1
即 1 + x2 x3 的取值范围是 ∞, 4 ln 2 ，故C正确． 3 3
2
对于选项D，当 x < 0 时，函数 f1 (x) = x 2ax 2a 是开口向下的二次函数，故函数 f1 (x)只能在两
边端点处取得最小值;当 x ≥ 0 时，函数 f2 (x) = ex a 单调递增，故 f2 (x) = f 0min 2 ( ) =1 a ;要使函
ff (x) ( 1,1) 1
( 1) = 1≥1 a a ≥ 2
数 在 内有最小值，即 ，即 ，故a 无解，所以不存在a ，故D
f1 (0) = 2a ≥1 a a ≤ 1
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错误．
故选: BC.
三、填空题
12．【答案】[6,8]
解析: U B = ( ∞,0]∪[6,+∞) ，所以 A ( U B) = [6,8]
13．【答案】4.
解析:由三次函数对称性可知 f (x1) + f (x2 ) = 4.答案:4.
（24年全国1卷18题第2问思路）
f ′(x) 3ax2 a
2
0 x a , x a另解: = = 解得 1 = 2 = 2 6 6
a
所以 f (x1) + f (x2 ) = f ( )
a
+ f ( ) = 4
6 6
1 2 314．答案: m m +1.
2 2
解析:设三组中的数的个数分别为3x,3y,3z(x, y, z∈N+ )
则3x + 3y + 3z + 2 = 3m + 2, 所以 x + y + z = m
2 (m 1)(m 2) 1 2 3
隔板法可得Cm 1 = = m m +1. 2 2 2
（24年全国1卷19题第3问思路）
四、解答题
15．
解析:（Ⅰ）因为 x2 (a +1)x + a = 0解得 x1 = a, x2 =1. 2分
当 a >1时，不等式解集为 ( ∞,1]∪[a,+∞) ;当a =1时，不等式解集为 R ;
当 a <1时，不等式解集为 ( ∞,a]∪[1,+∞) . 8分
x2 + 3 3 3
(Ⅱ)易知a ≤ = x + 在 x∈[1, 2]上有解，所以a ≤ (x + ) 10分
x x x max
因为 x∈[1, 2] 3，所以 x + ≤ 4.
x
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所以a ≤ 4 .
答案:a ≤ 4 13分
16．
解析:（Ⅰ）零假设为 H0 :是否喜欢篮球和学生性别没有关联.
2
χ 2 n(ad bc)= ≈ 4.167 < 6.635 = x 4分
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 0.01
根据α = 0.01的独立性检验，没有充分证据推断 H0 不成立，因此可以认为 H0 成立，即该高中学生是
否喜欢篮球和学生性别没有关联. 5分
不一致.原因是根据全面调查数据作判断，其结论是确定且准确的.而根据样本数据作判断，会因为随
机性导致样本数据不具代表性，从而不能得出与全面调查一致的结论. 8分
(Ⅱ)将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，经计算:
χ 2 n(ad bc)
2
= ≈ 8.333 > 6.635 = x 12分
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 0.01
根据α = 0.01独立性检验，可以推断该高中学生是否喜欢篮球和学生性别有关联 13分
与原样本数据得到的结论不一致，样本变大为原来的2倍，相当于样本量变大为原来的2倍，导致推断
结论发生了变化. 15分
17．
s(x) x2 1解析:（Ⅰ） = + 2 ≥ 2, (x > 0)，当且仅当 x =1时，等号成立，所以当 P(1,1)时， x
点 P 是 f (x) 到点 M 的“最近点”; 6分
(Ⅱ) s(x) = x2 + (ln x 1)2 , (x > 0) ;
s′(x) 2x
2 2+ 2ln x
所以 = ; 9分
x
记 h(x) = x2 1+ ln x, (x > 0) ，则h(x) 在 (0,+∞)上单调递增，
因为h(1) = 0，所以 s(x) 在 (0,1) 单调递减，在 (1,+∞)单调递增，
所以 s(x) ≥ s(1)，即点 P(1,0)是 f (x) 到点 M 的“最近点”. 13分
切点为 P(1,0)，则 f (x) 在点 P 处的切线 l 的斜率为1，
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k 1 0MP = = 1 0 1
所以直线MP与 f (x) 在点 P 处的切线垂直，
当且仅当取 P(1,0) 时，它是 f (x) 到点M 的“最近点”，且直线MP与 f (x) 在点 P 处的切线垂直.
15分
18．
解析:（Ⅰ）设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B.
P(B A) n(AB) A
3 1
= = 3 2 = .n(A) C1 A3 C 4分 4 3 + 42 A
3 7
A 32
(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2 5分
2 3 1 3 1
P(X = 0) C A= 5 3 +C5 A3 +C3 93= ;
35 243
C15C
2 1
4 A3 C5C
1
4 A3
A2 3 90 2 3 8分 P(X =1) = 2 5 = ; P(X
A 60
= 2) = 2 5 = ;3 243 3 243
所以 X 的分布列为:
X 0 1 2
93 90 60
243 243 243
P
93 90 60 70
X 的数学期望 E(X ) = 0× +1× + 2× = . 10分
243 243 243 81
70 7000
(Ⅲ)选择方案1获取奖金总额的数学期望为 ×300 = . 11分
81 27
设选择方案2获奖人数为Y ，Y 的可能取值为0,1,2.
P(Y 0) A
2
2 2 ; P(Y 1) C
1 2
5 A2 10 ; P(Y 2) C
2 A2 20
则 = = = = = = = = 5 2 = ; 14分
25 32 25 32 25 32
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E(Y ) 0 2 1 10 20 25方案2获奖人数的数学期望 = × + × + 2× = .
32 32 32 16
25 625
选择方案2获取奖金总额的数学期望为 ×200 = . 16分
16 2
625 7000
因为 > .所以选择方案2. 17分
2 27
19．
解析:（Ⅰ） f (x) 的定义域为{x x ≠ 0} 1分
x x x
f ′(x) xe e e (x 1)= 2 = 2 = 0.得到 x =1 2分 x x
所以 f (x) 在 (1,+∞)单调递增，在 ( ∞,0)和 (0,1) 单调递减. 4分
2 x 2 x 2
(Ⅱ)因为 g(x) x= ，所以x g′(x)
2xe x e 2x x
= = , x∈R. 6分
e e2x ex
2x x 22 x
设切点坐标为 (x0 , x0 e 0 )，则切线方程为 y x 20 e
x0 = 0 0 (x x ) . x 0 7分 e 0
2
因为曲线 y = g(x) 2x0 x的切线的斜率为负数，所以 0 < 0，解得 x0 < 0或 xex 0
> 2 .
0
2
在切线方程中，令 y = 0，得 x 2e x 2x0 = 0 x00 x (x x0 ) ， e 0
x x
2
= 0
x0
解得 = x
2
0 2+ + 3 . 8分 x0 2 x0 2
令 t = x0 2
2
，则 x = t + + 3(t < 2 或 t > 0)，
t
可得 x∈ ( ∞,0)∪[3+ 2 2,+∞).
即 l 在 x 轴上的截距的取值范围为 ( ∞,0)∪[3+ 2 2,+∞) . 10分
x x 2
(Ⅲ)因为 (x) e 2sin x. (x 1)e 2x cos x= 则 ′(x) = . 11分
x x2
当 x [ π∈ ,0)时， ′(x) < 0. π.故 (x) 在[ ,0)上单调递减. 12分
2 2
当 x π∈ ( π , )时，令h(x) = (x 1)ex 2x2 cos x
2
则 h′(x) = xex 4x cos x + 2x2 sin x = x(ex 4cos x + 2x sin x) < 0， 13分
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{#{QQABZYSUggiIAIAAAQhCAQEYCAMQkAEAAYgGRAAEMAAAAANABAA=}#}
所以h(x) 在 ( π , π π ) 上单调递减，因为h( π ) > 0, h( ) < 0，
2 2
所以h(x) ( π , π π在 ) 上有唯一零点.即 (x) 在 ( π , ) 上有唯一零点 x = a . 15分
2 2
当 x∈ ( π , a)时，h(x) > 0，即 ′(x) > 0，
当 x∈ (a,0)时，h(x) < 0，即 ′(x) < 0，所以 x = a时 (x) 取最大值.
π
π 2(πe 2 a
所以 (a) > ( ) 1) e = ，π > 0 (a) = 2sin a < 2sin a < 2， 2
πe 2 a
即0 < (a) < 2得证. 17分
合肥一中高二下学期期末联考·数学参考答案 第9页（共9页） 省十联考
{#{QQABZYSUggiIAIAAAQhCAQEYCAMQkAEAAYgGRAAEMAAAAANABAA=}#}合肥一中 2023～2024 学年度高二下学期期末联考
数学试题
(考试时间:120分钟 满分:150分)
注意事项:
1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。
2．答题时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作
图题可先用铅笔在答．题．卷．规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必
须在题号所指示的答题区域作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，在．试．题．卷．、草．稿．纸．上．答．题．无．效．。
4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.）
1．已知命题 p : x∈R ， | x +1|>1，命题q : x > 0， x2 x +1= 0 ，则( )
A．命题 p 、命题q 都是真命题
B. 命题 p 的否定、命题q 都是真命题
C．命题 p 、命题q 的否定都是真命题
D. 命题 p 的否定、命题q 的否定都是真命题
2．给定两个随机变量 x 和 y 的 5 组数据如下表所示，利用最小二乘法得到 y 关于 x 的线性回归方程为
y =1.5x + a ，则（ ）
x 1 2 3 4 5
y 2 4 4 7 8
A. a = 0.5, x = 3时的残差为 1
B． a = 0.5, x = 3时的残差为1
C． a = 0.4, x = 3时的残差为 0.9
D． a = 0.4, x = 3时的残差为0.9
3．若质点 A运动的位移 S （单位: m ）与时间 t （单位: s ）之间的函数关系是 S (t ) 2= (t ≥1)，那么
t
该质点在 t = 3s 时的瞬时速度和从 t =1s 到 t = 3s 这两秒内的平均速度分别为（ ）
2 , 2 2 2 2 2 2 2A． B． , C． , D． ,
3 9 3 9 9 3 9 3
4．子曰:“工欲善其事，必先利其器。”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》。此名言中的“利其器”
是“善其事”的( )
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
合肥一中高二下学期期末联考·数学 第1页（共4页） 省十联考
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5．对于实数 a,b,c,d ，下列说法正确的是( )
1 1
A．若 a > b，则 > B．若 a < b,c < d ，则 ac > bd
a b a
b c 1 1
C．若 a > b > c > 0，则 > D．若 a > b >1，则 a + > b +
a c a b a b
6 2 x 1
n
．在二项式 的展开式中，二项式系数的和为 64，把展开式中所有的项重新排成一列，
x
奇次项（未知数 x 的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（ ）
1 1 1
A 2． B． C． D．
35 6 4 7
7．现有 10 名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不
21
合格人数为ξ ，已知 P(ξ =1) = ，则本次测试的不合格率为( )
40
A．10% B. 20% C. 30% D. 40%
1 a2 + 2b2 + 2c2 + d 2
8．已知 a,b,c,d ∈[ ,1]，则 的取值范围是（ ）
3 ab + bc + cd
5
A ． 2 , B. 2 ,
10 5 ,10 C
. D. [2,+∞) 2 3 2 3
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 6 分，部分选择对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9．下列说法中正确的是( )
A．若ξ ~ N (0,1) ，且 P(ξ >1) = p P( 1 ξ 0) 1，则 < = p
2
B．设ξ ~ B(n, p) ，若E (ξ ) = 30， D (ξ ) = 20，则n = 90
C．已知随机变量 X 的方差为 D(X )，则 D(2X 3) = 2D(X ) 3
D．若 X ~ B(10,0.8)，则当 X = 8时概率最大
10．已知m, n∈N 且 n ≥ m >1，下列等式正确的有( )
A m． A = mAm 1 n+1 n 2 n 1n n 1 B. An+1 An = n An 1
C．C3 +C3 +C3 33 4 5 + +C2023 = C
2021
2024 D. (C
0 )2n + (C
1 )2 + + (Cn 2 nn n ) = C2n
x2 2ax 2a, x < 0
11．设函数 f (x) = ，则下列说法正确的是( )
e
x a, x ≥ 0
A．若函数 f (x) 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ( ∞,0]
B．若函数 f (x) 有3个零点，则实数 a 的取值范围是 (2,+∞)
C．设函数 f (x)
1
的 3 个零点分别是 x1 ， x2 ， x3 (x1 < x2 < x3 ) ，则 x1 + x2 x3 的取值范围是3
1
∞, 4 ln 2
3
D．存在实数 a ，使函数 f (x) 在 ( 1,1)内有最小值
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三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．全集U = R ， A = [4,8], B = (0,6)，则 A ( U B) = .
a2
13．已知a > 0，函数 f (x) = ax3 x + 2有两个不同极值点 x
2 1
, x2 ，则 f (x1) + f (x2 ) = .
14．从一列数a1,a2 , a3, ,a3m+2（m ≥ 3, m∈Z ）中抽取ai ,a j （1< i < j < 3m + 2）两项，剩余的项
分成（a1,a2 , , ai 1 ）,（ai+1, ai+2 , , a j 1）,（a j+1,a j+2 , ,a3m+2 ）三组，每组中数的个数均大于
零且是 3 的倍数，则ai ,a j 有 种不同的取法.（答案用m 表示）
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明证明、过程或演算步骤.）
15．（13 分）
2
（Ⅰ）解关于 x 的不等式: x (a +1)x + a ≥ 0.
2
（Ⅱ）关于 x 的不等式 x ax + 3 ≥ 0 在 x∈[1, 2]上有解，求实数a 的取值范围.
16．（15 分）为了研究合肥市某高中学生是否喜欢篮球和学生性别的关联性，调查了该中学所有学生，
得到如下等高堆积条形图:
从所有学生中获取容量为 100 的样本，由样本数据整理得到如下列联表:
男生 女生 合计
喜欢 35 15 50
不喜欢 25 25 50
合计 60 40 100
（Ⅰ）根据样本数据，依据α = 0.01的独立性检验，能否认为该中学学生是否喜欢篮球和学生性
别有关联 与所有学生的等高堆积条形图得到的结论是否一致 试解释其中原因.
（Ⅱ）将样本列联表中所有数据扩大为原来的 2 倍，依据α = 0.01的独立性检验，与原样本数据
得到的结论是否一致 试解释其中原因.
χ 2 n(ad bc)
2
参考公式: = 其中n = a + b + c + d ）．
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
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17．（15 分）对于一个函数 f (x) 和一个点 M (a,b)，定义 s(x) = (x a)2 + ( f (x) b)2 ，若存在
P(x0 ， f (x0 ))，使 s(x0 ) 是 s(x)的最小值，则称点 P 是函数 f (x) 到点 M 的“最近点”．
（Ⅰ）对于 f (x) 1= (x > 0) 和点M (0,0) ，求点 P ，使得点 P 是 f (x) 到点 M 的“最近点”.
x
（Ⅱ）对于 f (x) = ln x，M (0,1) ，请判断是否存在一个点 P ，它是 f (x) 到点M 的“最近点”，且直
线 MP与 f (x) 在点 P 处的切线垂直，若存在，求出点 P ；若不存在，说明理由.
18．（17 分）某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从 A, B,C 三个
字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励.（例如: 5人中2 人选 A，2 人
选 B ，1人选C ，则选择C 的人获奖; 5人中3人选 A，1人选 B ，1人选C ，则选择 B 和C 的人
均获奖;如 A, B,C 中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖）
（Ⅰ）若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率;
（Ⅱ）设每组5人中获奖人数为随机变量 X ，求 X 的分布列和数学期望;
（Ⅲ）商家提供方案2 ：将 A, B,C 三个字母改为 A和 B 两个字母，其余规则不变，获奖的每个人
奖励200 元.作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方
案 2 ？
ex
19．（17 分）函数 f (x) = .
x
（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间;
x
（Ⅱ）已知函数 g(x) = ，当函数 y = g(x) 的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上的截距的
f (x)
取值范围;
（Ⅲ）设 (x) = f (x) 2sin x ，若 x = a是函数 (x) 在 ( π ,0) 上的极值点，求证: 0 < (a) < 2 .
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