北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高一下学期统练四数学试题（图片版，含答案）

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高一下数学统练 4
2024年 7月
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共 10题，每题 4分，共 40分)
1. 已知向量a,b满足a = (2,1) ,a b = ( 1,2)，则a b =（ ）
A. 5 B. 0 C. 5 D. 7
【答案】C
2. A, B是圆心为O的单位圆上两个动点，当 AOB 面积最大时，则下列判断错误的是

A. AB = 2 B. AB 的长为 C. 扇形 AOB的面积为 D. AOB 等边三角形
2 4
【答案】D
3．如图，圆O的半径为1，A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x的始边为射线OA，终
边为射线OP ，过点 P 作直线OA的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为 x的
函数 f (x) ，则 y = f (x) 在 0, 上的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
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【详解】
如图：过M 作MD ⊥OP于D，则由题意可得：PM = sin x，OM = cos x ，
1
在Rt△OMP中， S OMP = MD OP =OM PM ，
2
OM PM cos x sin x 1
所以MD = = = cos xsin x = sin 2x ，
OP 1 2
1
∴ f (x) = sin 2x (0 x ) .
2
故选：B．
4．将函数 f (x) = sin 2x 的图象向左平移 个单位后得到函数 g(x)的图象，若函数
y = f (x) + g(x) 的最大值为a，则a的值不可能为（ ）
A．1 B． 2 1
C．2 D． 2 +1
【答案】D
【详解】由题意得 g (x) = sin (2x + 2 )，
则 y = f (x)+ g (x) = sin 2x + sin (2x + 2 )
= sin 2x + cos 2 sin 2x + sin 2 cos 2x
= (1+ cos 2 )sin 2x + sin 2 cos 2x
2
= (1+ cos 2 ) + sin2 2 sin (2x + )
= 2+ 2cos 2 sin (2x + )，，
因为cos 2 1,1 ，所以 2+ 2cos 2 0,2 ，所以a 0,2 .
故选：D.
5. “sin + tan 0”是“ 为第一或第三象限角”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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【答案】C
6.关于函数 f (x) = sin x + cos2x ，给出下列三个命题：
π
① f (x) 是周期函数；② 曲线 y = f (x) 关于直线 x = 对称；
2
③ f (x) 在区间[0,2π ) 上恰有3个零点．④ f (x) 最小值为 2
其中真命题的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
7. 在 ABC 中，sin B = sin 2A,c = 2a ，则（ ）
A. B为直角 B. B为钝角 C. C 为直角 D. C 为钝角
【答案】C
【解析】
b
【详解】由sin B = sin 2A = 2sin Acos A，即b = 2a cos A，cos A = ，
2a
b2 + c2 a2 b2 + 4a2 a2 b
又 c = 2a ，所以cos A = = = ，化简得b = 3a，
2bc 2b 2a 2a
π π π
则a :b :c =1: 3 : 2，故在 ABC 中， A = , B = ,C = ，
6 3 2
故选：C
8. 在 ABC中，AB = AC =1，D 是 AC 边的中点，则 BD CD 的取值范围是（ ）
3 1 1 3 1 3
(A) ( , ) (B) ( , ) （C） ( ,+ ) （D） ( ， )
4 4 4 4 4 4
【答案】：A
3 x 1
9．已知 f (x) = sin x + sin2 ( 0)，则下列说法错误的是（ ）
2 2 2
2
A．若 f (x)在 (0, )内单调，则0
3
1
B．若 f (x)在 (0, )内无零点，则0
6
C．若 y = f (x) 的最小正周期为 ，则 = 2
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2π
D．若 = 2时，直线 x = 是函数 f (x)图象的一条对称轴
3
【答案】C
3 x 1 3 1
【详解】由题意，函数 f (x) = sin x + sin2 = sin x cos x = sin( x )，
2 2 2 2 2 6

对于 A 中，由 x (0, )，可得 x ( , ) ，
6 6 6
2
要使得 f (x)在 (0, )内单调，则满足 ，解得 ，
6 2 3
2
因为 0，所以0 ，所以 A 正确；
3

对于 B 中，由 x (0, )，可得 x ( , ) ，
6 6 6
1
要使得 f (x)在 (0, )内无零点，则 0，解得 ，
6 6
1
因为 0，所以0 ，所以 B 正确；
6

对于 C 中，函数 y = f (x) 的最小正周期为 ，可得 = ，解得 =1，所以 C 不正确；


对于 D 中，若 = 2，则函数 f (x) = sin(2x )，
6
2 3 2
当 x = 时，2x = ，此时 f ( ) =1，
3 6 2 3
2
则直线 x = 是函数 f (x)图象的一条对称轴，所以 D 正确.
3
故选：C.
10.在 ABC中， BAC = 90 ，BC = 2， 点P 在BC 边上，且 AP (AB + AC ) =1，则
AP 的取值范围是
1 1 2 2
（A） ( , 1] （B）[ ,1] （C） ( ,1] （D）[ ,1]
2 2 2 2
【答案】：A
【详解】以BC 的中点为原点，过O垂直于BC 的直线为 y 轴，BC 为 x轴，
建立平面直角坐标系，如图：
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则B ( 1,0)， (1,0)，
设P (x,0)， A(a,b)， x 1，
OA =1， a2 +b2 =1，
则由 AP ( 1AB + AC ) =1，得 (x a, b) ( a, b) = ，
2
1
化简ax = ，
2
2 2
所以 AP = (x a) + b2 = x2 2ax + a2 + b2 = x2 ，
由 a2 +b2 =1，因为a 1，所以 a 1，
1 1
所以 x = ，
2a 2
1
所以 AP = x 的取值范围为 ,1 .
2
故选：A
二．填空题(共 5题，每题 5 分，共 25分)
11．若 z (1+ i) = 2+3i,( z C ) . z 的虚部______
5 2+3i 1+5i
【答案】： , z = =
2 1+ i 2
π
12．已知 ABC 中， A = ， a = 13 ，b = 2，则c = .
6
【答案】： 3 3
13．在 ABC 中， A = 30 ， AC = 2 3，满足此条件 ABC 有两解，则 BC边长度的取值
范围为 .
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【答案】： ( 3,2 3)
10
14.已知sin + 2cos = ， tan 2 = ______
2
3
【答案】： ，设OA = (2,1) ,OB = (cos ,sin ) ,OA为角 的终边
4
10 10
所以OA OB = 5 cos AOB = AOB = =
2 2 4 4
1
1
1 4 3 tan 2 = tan 2 = = =
2 tan 2 1 4
15．设 ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为a,b,c
①若 A B ，则sin A sin B；
②若cos A cos B ．则 A B；
③若a2 tan B = b2 tan A，则 ABC 一定为等腰直角三角形；
④若sin2 A+ cos2 C cos2 B ，则 ABC 一定为钝角三角形；
⑤若 tan A+ tan B + tan C 0，则 ABC 一定为锐角三角形．
则上述命题中正确的是________．（写出所有正确命题的编号）
【答案】①②④⑤
【详解】对于命题①②，在 ABC 中，有 A B a b sin A sin B ，
显然cos A cos B A B．
因此命题①②正确．
对于命题③，有a2 tan B = b2 tan A sin3 Acos A = sin3 Bcos B ，

记 f (x) = sin3 xcos x，则 f (0) = f = 0，
2

于是 f (x) 在 0, 上不单调，因此必然存在 f (A) = f (B) 且 A B，命题错误．
2
对于命题④，根据条件，有 sin2 A sin2 C + sin2 B 0 a2 + b2 c2 ，
因此角 C 为钝角，命题正确．
对于命题⑤，根据三角恒等式，有 tan A+ tan B + tanC = tan A tan B tanC，
于是命题正确．
故选：①②④⑤
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三．解答题（共 3道答题，共 35分）
16．（本题 10 分）
在平面直角坐标系中，O为原点， A( 2,2) , B (3,1)
（1）BO在直线 AB 上的投影是BC ,求OC
（2）若四边形 AOBD 是以OB 为底的直角梯形，求点OD
解：（1）设OC =OB + BA = (3,1)+ ( 5,1) = (3 5 ,1+ )
12 21 25
OC BA 26 14 = 0 = OC = ， -----------4 分
13 13 13
（2）四边形 AOBD 是以OB 为底的直角梯形，且OA OB = 4 0, -----6 分
AD / /OB, AD ⊥ DB，-----8 分
设 D (x, y) AD = (x + 2, y 2) , BD = (x 3, y 1)
11
x =
3y 6 = x + 2 5 x = 2
或 （舍）------10 分
(x + 2)(x 3)+ ( y 2)( y 1) = 0 17 y = 2y =
5
17.（本题 13 分）
在 ABC中， BC = 4， AC = 13 ， AB =1.
（I）求 B；
（II）若 D为 BC 边上一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已
知，使 ABD 存在且唯一确定，求 ABD 的面积.
π
条件①： ADB = ;
4
2 2
条件②： AD = ;
3
条件③： ABD 的周长为3+ 3 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件
分别解答，按第一个解答计分．
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解：（Ⅰ）在△ABC 中,由余弦定理得
BC2 + AB2 AC2
cos B =
2BC AB
又因为 BC = 4， AC = 13 ， AB =1，
42 +12 ( 13)2 1
所以cos B = = .
2 4 1 2
π
又 B (0, π) ,所以 B = . ......................................... ...........................5 分
3
π
（II）选择条件①： ADB = .
4
AD 1
AD AB =
在△ADB 中，由正弦定理 = ，得 3 2 ，
sin B sin ADB
2 2
6
所以 AD = .
2
所以 sin BAD = sin( B + ADB)
= sin Bcos ADB +cos Bsin ADB
3 2 1 2
= +
2 2 2 2
6 + 2
= .
4
1
所以 S ABD = AB ADsin BAD .
2
1 6 6 + 2
= 1
2 2 4
3+ 3
= . ......................................................................13 分
8
选择条件③：由余弦定理 AD2 = AB2 + BD2 2AB BDcos B , AB + BD + AD = 3 3 ,
2
得 (2 + 3 BD) =1+ BD2 BD ，
解得 BD = 2，
1 1 3 3
所以 S = AB BD sin B = 1 2 = . ........................ ...............13 分 ABD
2 2 2 2
18. （本题 12 分）
π π
已知函数 f (x) = 2 sin (2x + ) 的图象上所有点向右平移 个单位长度，所得函数
2 8
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图象关于原点对称.
(1)求 的值；
1
(2)设 g (x) = f (x) 2cos2 x + ，若 g (x)在区间 (0,m)上有且只有一个零点，求m的取值
2
范围.
π π
（1）解：将函数 f (x) = 2 sin (2x + ) 的图象上所有点向右平移 个单位长度，
2 8
π π
可得到函数 y = 2 sin 2 x + = 2 sin 2x + ，-------2 分
8 4
π π
由题意可知，函数 y = 2 sin 2x + 为奇函数，则 = kπ (k Z)，
4 4
π π π
可得 = + kπ (k Z)，又因为 ，则 = .----------------4 分
4 2 4
π
（2）解：由（1）可知， f (x) = 2 sin 2x + = sin 2x + cos 2x，----------6 分
4
1 1 1
则 g (x) = f (x) 2cos2 x + = sin 2x + cos 2x (1+ cos 2x)+ = sin 2x ，-------8 分
2 2 2
因为0 x m，则0 2x 2m ，
1
由 g (x) = 0，可得sin 2x = ，---------10 分
2
π 5π π 5π
因为 g (x)在区间 (0,m)上有且只有一个零点，则 2m ，解得 m .
6 6 12 12
π 5π
因此，实数m的取值范围是 , .-------------------------12 分
12 12
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