甘肃省庆阳市华池县第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

甘肃省华池县第一中学2023—2024学年度第二学期期末考试
高二数学
2024．6
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本试卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若集合，则（ ）
A． B． Ｃ． Ｄ．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量，则（ ）
附：若随机变量，则
．
A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174
5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．2023年，中国空间站正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排（ ）
A．450种 B．72种 C．90种 D．360种
6．响函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．若是离散型随机变量，，又已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
8．已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2024项和（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设某大学的女生体重（单位；）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中正确的是（ ）
A．与具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心
C．若该大学某女生身高增加，则其体重纯增加
D．若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为
10．已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若，则该圆圆心为，半径为4
C．若，过的直线与圆相交所得弦长为，则该直线方程为
D．若，直线恒过的圆心，则恒成立
如图1，点为正方形边上异于点的动点，将沿翻折，得到如图2所示的四棱锥，且平面平面，点为线段上异于点的动点，则在四棱锥中，下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线必不在同一平面上
B．存在点使得直线平面
C．存在点使得直线与平面．
D．存在点E使得BE与直线CD垂直
以存在点使得直线与直线垂直
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在展开式中，的系数为______．（结果是数字作答）
13．已知函数的单调递减区间是，则的值为______．
14．在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．
15．（13分）
在中，角的对边分别为．已知．
（1）求；
（2）若，的面积为，求．
16．（15分）
某市教育局进行新学年教师招聘工作，初试为笔试，考核内容为教育理论综合知识和专业知识，笔试成绩满分100分，60分及格，将笔试成绩分为“及格”与“不及格”两类，按照应届毕业生与往届毕业生两类统计如下：
不及格 及格
应届毕业生 50 100
往届毕业生 75 125
（1）是否有以上的把握认为笔试成绩与毕业时间有关？
（2）在笔试成绩中，根据毕业时间进行分层抽样，各层中按成绩由高到底的顺序共选取90人进入复试，且这90人中“双一流大学”毕业生有4人，优秀班主任有5人，若从这9人中随机抽取2人被某市重点中学录用，记这2人中“双一流大学”毕业生的人数为，求的分布列及数学期望．
附：．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17．（15分）
如图，在三棱锥中，底面．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小．
18．（17分）
已知双曲线的离心率为为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的左顶点为，过的直线与双曲线交于两点，直线与轴分别交于两点，设的斜率分别为，求的值．
19．（17分）
已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若函数有2个零点，求实数的取值范围．
甘肃省华池县第一中学2023—2024学年度第二学期
期末考试·高二数学参考答案，提示及评分细则
1．A 集合．
2．C ．
3．D
，
．
4．B 由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得
5．A 由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑：
第一种，分人数为的三组，共有种；
第二种，分人数为的三组，共有种；所以不同的安排方法共有种．
6．C ，则，因为满足，所以函数的图象关于直线对称，所以，所以，因为，所以的最小值为．
7．B 随机变量的值只能为解得
8．D 据题意，得，所以，所以，所以．又，所以，所以，所以
9．ABC D选项中，若该大学某女生身高为，则可断定其体重约为，故D错误．故选ABC．
10．AD 圆，标准方程为：，因为方程是圆的方程，则可得，所以A正确；当时，圆心坐标为，半径为2，所以B不正确；当时，若过点的直线斜率不存在，此时直线方程为，符合题意；当斜率存在时，设过的方程为：，
即，圆的半径，所以可得圆心到直线的距离，而圆心到直线的距离，由题意可得，解得：，所以直线的方程为：，故所求直线的方程为或，故C不正确；时，圆心的坐标为，由题意可得，当且仅当，
即时取等号，所以D正确．
11．AC 在A中，若直线与直线共面，则点五点共面，由已知得在平面外，所以直线与直线必不在同一平面上，故A正确；在B中，若存在点使得直线平面，则，且，因为平面平面，平面平面，所以当时，必同时垂直，由于与不垂直，所以不存在点使得直线平面，故B错误；在C中，当是中点，且为中点时，直线与平面平行，故C正确；在D中，因为是锐角，，所以与平面不垂直，所以不存在点使得直线，故．错误．故选AC．
12．—40 展开式的通项为，令，则，所以项的系数为．
13．－2 ，结合题意：，解得：，故．
14． 由正弦定理，得，即，又由余弦定理，得
，当且仅当时，等号成立，又的最大值为．
15．解：（1），
．
（2）由（1）得，
由面积公式，可得，①
根据余弦定理得，
则，②
两式联立可得或．
16．解：（1）完善列联表如下所示：
不及格 及格 合计
应届毕业生 50 100 150
往届毕业生 75 125 200
合计 125 225 350
，
故没有的把握认为笔试成绩与毕业时间有关．
（2）依题意，的所有可能取值为，
故的分布列为：
0 1 2
所以．
17．（1）证明：因为底面平面，所以．
又，所以，又平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）解：由（1）知平面，所以，又，
所以即为平面和平面所成的角，即，
又，所以，又，则．
如图，以为原点，为轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立直角坐标系，
则，
设，又点在上，所以，
即，得，
又因为，所以，得
所以，
过点作直线垂直于点，则即为平面的法向量，．
设直线与平面所成角为，
则，所以直线与平面所成角为．
18．解：（1）因为双曲线的离心率为，所以，可得，
设，则，即，
又双曲线的渐近线方程为，
所以，
又由于，
则，故双曲线方程为．
（2）设直线，其中，联立方程组整理得，
由于，且，所以，
．
因为直线的方程为，所以的坐标为，同理可得的坐标为，
因为．
所以
，即为定值．
19．解：（1）由题意，函数可得，
当或时，；当时，；当时，，
所以函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为，
函数的极大值为，函数的极小值为．
（2）函数的定义域为，
则，
令，则，
所以函数在上为增函数，且．
①当时，即当时，对任意的恒成立，
所以函数为上的增函数，则函数在上至多只有一个零点，不符合题意；
②当时，即当时，则存在使得，
当时，，此时，则函数在上单调递减，
当时，，此时，则函数在上单调递增，
由于函数有两个零点，
当时，；当时，．
可得，
可得，解得，即的取值范围是．