皖中名校联盟
合肥八中 2023-2024 学年第二学期高二年级期末检测
数学试题卷
全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2. 请将答案正确填写在答题卡上。
第 I 卷 (选择题 共 58 分)
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 请把正确答案涂在答题卡上)
1. 已知 ,则
A. B.
C. D.
2. 已知双曲线 ,则 “ ” 是 “双曲线 的离心率为 ” 的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 . 既不充分也不必要条件
3. 已知随机变量 ,且 ,则
A. B. C. D.
4. 为积极落实 “双减” 政策, 丰富学生的课外活动, 某校开设了陶艺、剪纸、插花等 5 门课程. 分别安排在周一到周五, 每天一节, 其中陶艺课不排在周一, 剪纸和插花课相邻的课程的安排方案种数为（ ）
A. 18 B. 24 C. 36 D. 42
5. 从一批含有 8 件正品,2 件次品的产品中不放回地抽 3 次,每次抽取 1 件,设抽取的次品数为 ,则
A. 2 B. 1 C. 3 D. 4
6. 设数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 16 B. 31 C. 47 D. 63
7. 在直角坐标系 中,已知点 ,动点 满足线段 的中点在曲线 上,则 的最小值为 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 已知定义域为 的函数 满足 ,且 为奇函数, 则下列结论错误的是 （ ）
A. . 函数 为偶函数
C. D.
二、选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分. 请把正确答案涂在答题卡上)
9. 下列命题中, 正确的命题是（ ）
. 若随机事件 满足: ,则 相互独立
. 若相关系数 的值越大,则两个变量的线性相关性越强
. 样本甲中有 件样品,其方差为 ,样本乙中有 件样品,其方差为 ,则由甲乙组成的总体样本的方差为
. 对具有线性相关关系的变量 ,其线性回归方程为 ,若样本点的中心为 ,则实数 的值是 -4
10. 投掷一枚质地均匀的骰子,规定抛出偶数点得 2 分,抛出奇数点得 1 分,记投掷若干次后,得 分的概率为 ,下列说法不正确的是（ ）
A. B.
. 当 时, . 当 时,
11. 已知 ,则下列结论正确的是（ ）
. 函数 ,在 上存在唯一极值点
. 任意 ,有 恒成立
. 若对任意 ,不等式 恒成立,则实数 的最大值为 2
D. 若 ,则 的最大值为 .
第 II 卷（非选择题 共 92 分）
三、填空题 (本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 把答案填在答题卡的相应位置. )
12. 在 的展开式中,若各项系数和为 0,则 .
13. 在线性回归分析中,已知 ,
则 .
14. 在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质: 从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点. 如图,已知双曲线 的左、右焦点分别为 是 的右支上一点,直线 与 相切于点 .
由点 出发的入射光线碰到点 后反射光线为 ,法线 (在光线投射点与分界面垂直的直线) 交 轴于点 ,此时直线 起到了反射镜的作用. 若 ,则 的离心率为 .
三、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. (13 分) 函数 ,满足 .
(1) 若不等式 对一切实数 恒成立,求实数 的取值范围;
(2) 在 (1) 的条件下,求 的最小值.
16. (15 分) 若等比数列 的首项 且满足 .
(1) 求 通项公式:
(2) 若公比小于 1,求数列 的前 项和 .
17. (15 分) 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产, 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 : 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 ; 若将这两批零件混合放在一起,则合格品率为 .
(1) 混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少
(2) 从混合放在一起的零件中随机抽取 4 个,用频率估计概率,记这 4 个零件中来自甲工厂的个数为 , 求 的分布列和数学期望.
18. (17 分) 为了解某一地区新能源电动汽车销售情况, 一机构根据统计数据, 用最小二乘法得到电动汽车销量 (单位: 万台) 关于 (年份) 的线性回归方程 ,且销量 的方差为 , 年份 的方差为 .
(1) 求 与 的相关系数 ,并据此判断电动汽车销量 与年份 的线性相关性的强弱.
(2) 该机构还调查了该地区 90 位购车车主的性别与购车种类情况, 得到的数据如下表:
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值 的独立性检验,能否认为购买电动汽车与车主性别有关
①参考数据: .
②参考公式: 线性回归方程为 ,其中 ; 相关系数
,若 ,则可判断 与 线性相关较强; ,
其中 . 附表:
0.10 0.05 千 0.010 0.001
2.706 3. 841 6.635 10. 828
19. (17 分) 已知函数 .
(1) 讨论函数 的单调性;
(2) ,若 是 的极小值点,求 的取值范围.智学大联考 皖中名校联盟 合肥八中 2023-2024 学年
第二学期高二年级期末检测数学答案
注意事项:
1.你拿到的试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上
答题无效。
第Ⅰ卷（选择题 共 58分）
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡上）
1．已知 A x 4 x 3 ,B x lg x 1 0 ，则 A B （ ）
A． x 4 x 2 B． x 4 x 2 C． x 2 x 3 D． x 2 x 3
【答案】D
x2 y2
2．已知双曲线C : 1，则“m 3 ”是“双曲线C 的离心率为 3 ”的（ ）
m m 3
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
3 2
1
．已知随机变量 X ~ N , ，Y ~ B 6, p ，且P X 4 ，E X E Y ，则 p （ ）
2
1 2 1 1
A． B． C． D．
3 3 4 2
【答案】B
4．为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校在周三上午开设了陶艺、剪纸、插
花等 5门课程．安排在某天上午，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程的安排
方案种数为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．42
【答案】C
5．从一批含有 8件正品，2件次品的产品中不放回地抽 3次，每次抽取 1件，设抽取的次
品数为ξ，则 E(5ξ＋1)＝( )
{#{QQABDYQUggAgAIIAAQhCAQ3oCAAQkBAACYgGBBAEIAAAgRFABAA=}#}
A．2 B．1 C．3 D．4
【答案】D
6．设数列 an 的前n项和为Sn，若 Sn n 2an 1，则 a5 （ ）
A．16 B．31 C．47 D．63
【答案】C
7．在直角坐标系 xOy 中，已知点F 1,0 ，E 2,0 ，M 3, 2 ，动点 P 满足线段 PE 的中点
在曲线 y2 2x 2上，则 PM PF 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
8. 已知定义域为 R的函数 f x 满足 f x f x 2x，f 0 2 ，且 y f x 1 1
为奇函数，则下列结论错误的是（ ）
A. f 1 1 B. 函数 y f x x 为偶函数
19
C. f 2024 2022 D. f i 150
i 1
【答案】D
二、选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求. 全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分. 请把正确答案
涂在答题卡上）
9．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．若随机事件 A，B满足： P(A|B) P(A) 1，则 A，B 相互独立
B．若相关系数 r 的值越大，则两个变量的线性相关性越强
2 2
C．样本甲中有m件样品，其方差为 s1 ，样本乙中有n件样品，其方差为 s2 ，则由甲乙组成
m
的总体样本的方差为 s2
n
s2
m n 1 m n 2
D．对具有线性相关关系的变量 x，y，其线性回归方程为 y 0.3x m，若样本点的中心为
m, 2.8 ，则实数 m的值是 4
【答案】AD
10．投掷一枚质地均匀的骰子，规定抛出偶数点得 2 分，抛出奇数点得 1分，记投掷若干次
后，得 n 分的概率为Pn，下列说法不正确的是（ ）
{#{QQABDYQUggAgAIIAAQhCAQ3oCAAQkBAACYgGBBAEIAAAgRFABAA=}#}
P 1 1A． 1 B．P 2 2 2
1 1
C．当 n 3时，Pn Pn 1 Pn 2 D．当 n≥10时， Pn 1 2P2 2 n 1
【答案】BD
11.已知 ( ) = ( + 1) ， ( ) = ( + 1)(其中 = 2.71828…为自然对数的底数)，则下
列结论正确的是
( )
A.函数 ( )在(0, + ∞)上存在唯一极值点
B. 任意 ∈ (0, + ∞)， > ( )
C. 若对任意 > 0，不等式 ( 2 + + ) ≤ (2 )恒成立，则实数 的最大值为 2
D. 若 ( 1) = ( 2) = ( > 0)
ln 1
，则2 2 1+1
的最大值为2
【答案】BCD
第Ⅱ卷（非选择题共 92分）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡的相应位置.
12．在 ax 1 2x 1 3的展开式中，若各项系数的和为0，则a ．
【答案】 a 1
n n
13．在线性回归分析中，已知 xi x yi y 77， xi yi 182， x 3，y 7，则
i 1 i 1
n ．
【答案】5
14. 在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线
经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线
x2 y2
C： 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为F1，F2，M是 C的右支上一点，直线 l
a2 b2
与 C 相切于点 M．由点F2出发的入射光线碰到点 M后反射光线为 MQ，法线（在光线投射点
MF2 3
与分界面垂直的直线）交 x轴于点 N，此时直线 l 起到了反射镜的作用．若 ，则
NF2 4
C 的离心率为______．
{#{QQABDYQUggAgAIIAAQhCAQ3oCAAQkBAACYgGBBAEIAAAgRFABAA=}#}
4
【答案】
3
三 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（13分）函数 f (x) mx2 bx c ,满足 f ( x ) f ( x 1), f (0) 2 .
(1)若不等式 f ( x ) x m 2 对一切实数 x恒成立，求实数 m的取值范围；
m2 3m 6
(2)在（1）的条件下，求 的最小值；
m 1
1
【答案】(1) , (2)5 3
【详解】（1）易知当m 0， f (x) 2；当m 0 ， f (x) mx2 mx 2
由 f ( x ) x m 2 恒成立得：mx2 (m 1)x m 0对一切实数 x 恒成立.
当m 0时，不等式为 x 0，不合题意；
m 0 1
当m 0 时， m
Δ
2 ，解得： ；1 m 4m2 0 3
1
综上所述：实数 m 的取值范围为 , ． 3
1 4
（2） m ， m 1 ，
3 3
m2 3m 6 (m 1)2 m 1 4
m 1 4 1 4 2 (m 1) 1 5，
m 1 m 1 m 1 m 1
4 2
（当且仅当m 1 ，即m 1 m 3m 6时取等号），的最小值为 为 5
m 1 m 1
16．（15分）若等比数列 an 的首项a1 1且满足2an 3an 1 an 2(n 3）．
(1)求 an 通项公式；
(2)若公比小于 1,求数列 nan 的前 n项和 Sn．
2
【答案】（1）由题设公比为 q ,当 n 3时, an q an 2,an 1 qan 2 .
因为 an 为等比数列，所以an 2 0，所以 2q 2 3q 1，解得： q 1或q
1
.
2
{#{QQABDYQUggAgAIIAAQhCAQ3oCAAQkBAACYgGBBAEIAAAgRFABAA=}#}
1 n 1a 1 a n 或 n 2
1 1 n 1 1 n 1
（2）当q 时， an 为等比数列，由a1 1，所以 an ，所以 nan n2 2
.
2
所以数列 nan 的前 n项和：
S 1 2( 1 ) 3( 1n )
2 n( 1 ) n 1 ①
2 2 2
1
两边同乘以 ，得：
2
1 S 1 n 2(
1 ) 2 3( 1 )3 n( 1 ) n ②
2 2 2 2 2
①式减去②式,得：
1 S 1 ( 1 ) 1 ( ) 2 ( 1 ) n 1 1n n( )
n
2 2 2 2 2
1 (1)n
21 n(
1)n
1 2
2
S 4 n 2 *所以 n 2n 1
(n N ) .
17．（15分）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生
产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 92%；乙工厂试生产的另
一批零件的合格品率为 97%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 96%．
(1)混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少？
(2)从混合放在一起的零件中随机抽取 4个，用频率估计概率，记这 4个零件中来自甲工厂
的个数为 X，求 X的分布列和数学期望；
【答案】（1）设甲工厂试生产的这批零件有 m件，乙工厂试生产的这批零件有 n件，
事件M “混合放在一起零件来自甲工厂”，事件N “混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件C “混合放在一起的某一零件是合格品”，
m
则P M ， P N n ，
m n m n
P(C) P(C M )P(M ) P(C N)P(N)
92% m n 97% 96%，
m n m n
计算得m : n 1: 4．
{#{QQABDYQUggAgAIIAAQhCAQ3oCAAQkBAACYgGBBAEIAAAgRFABAA=}#}
P M m 1（2）由（1）知所以 ．
m n 5
1
X的可能取值为 0，1，2，3，4 X ~ B 4, ，
5
E X 1 4 4 ，
5 5
0 4 1 3
P X 0 C0 1 4 256 1 1 4 2564 5 ， P X 1 C5 625 4 5 ， 5 625
2
P X 2 C 2 1 4
2 96 1 3 4 1
P X 3 C3 164 ，5 5 625 4 5 5 625
4 0
P X 4 C 4 1 4 1 4 ．所以，X的分布列为：
5 5 625
X 0 1 2 3 4
P 256 256 96 16 1
625 625 625 625 625
18．（17分）为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘
法得到电动汽车销量 y（单位：万台）关于 x（年份）的线性回归方程 y 4.8x 9459.2，
2 256 2
且销量 y的方差为 sy ，年份 x的方差为 s 2 .5 x
(1)求 y与 x的相关系数 r，并据此判断电动汽车销量 y与年份 x的线性相关性的强弱.
(2)该机构还调查了该地区 90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值 0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
①参考数据： 0.4 0.63 .
n
xi x yi y
②参考公式：线性回归方程为 y b x a ，其中b i 1 n ，a y b x；相关系数
xi x 2
i 1
n
xi x yi y
r i 1 ，若 | r | 0.9n n ，则可判断 y与 x线性相关较强；
xi x 2 yi y 2
i 1 i 1
{#{QQABDYQUggAgAIIAAQhCAQ3oCAAQkBAACYgGBBAEIAAAgRFABAA=}#}
K2 n(ad bc)
2
，其中 n a b c d .附表：
(a b)(c d)(a c)(b d)
P K 2 k0 0.10 0.05 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
n
2 2 2
【答案】【详解】（1）由 sx 2，得 xi x nsx 2n ，
i 1
2 256 n y y 2 ns 2 256n由 sy ，得 i y ，5 i 1 5
n
xi x yi y
因为线性回归方程 y 4.8x 9459.2，则b i 1 n 4.8，
x x 2i
i 1
n n
即 xi x yi y 4.8 xi x 2 4.8 2n 9.6n，
i 1 i 1
n
xi x yi y
r i 1 9.6n 0.6 0.6因此相关系数 0.95 0.9n n
2 2 256n 0.4 0.63
，
xi x yi y 2n
i 1 i 1 5
所以电动汽车销量 y与年份 x的线性相关性的较强.
（2）零假设H0：购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得：
K 2 90(39 15 30 6)
2
5.031 3.841，
45 45 69 21
依据小概率值 0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有
关，此推断犯错误的概率不大于 0.05.
19．（17 2分）已知函数 f x mx ln x 1 ，m 0．
(1)讨论函数 f x 的单调性；
(2) g x sin x f x ，若 x 0 是 g x 的极小值点，求 m的取值范围；
【详解】(1) 函数定义域为 ( 1, )，
2
f x mx 2 ln x 1 f x 2mx 1 2mx 2mx 1, ,
x 1 x 1
{#{QQABDYQUggAgAIIAAQhCAQ3oCAAQkBAACYgGBBAEIAAAgRFABAA=}#}
①当 2 m 0 时， f x 0， f x 在 ( 1, )上单调递减；
2 2
②当m 2时，令 f x 0 x 1 m 2m x 1 m 2m得 ， ，则1 2 2m 2 2 2m
1 x2 x1，
∴ f x 在 ( 1, x2 ) 上单调递减，在 (x2 , x1)上单调递增，在 (x1, )上单调递减.
(2)由题意知 g x sin x ln x 1 mx 2 ， g 0 0 ， g ' x 1 2mx cos x，
1 x
1
g ' 0 0．令 h x g ' x ，则 h' x 2m 2 sin x， h' 0 2m 1 1 x ，
1 1
①若m ，因为当 x 1,1 时， y 2 单调递增，所以 h' x 在 1,1 2 1 x 上单
调递增．当 x 1时，h' x 2m
1
2 sin x ，又因为 h' 0 2m 1 0 1 x ，
因此存在 x0 1, 0 ，使得 h' x0 0 ，
所以当 x 1, x0 时， h' x h' x0 0， g ' x h x 在 1, x0 上单调递减，
当 x x0 ,1 时， h' x h' x0 0， g ' x h x 在 x0 ,1 上单调递增．
又因为 g ' 0 h 0 0，所以当 x x0 , 0 时， g ' x 0；
当 x 0,1 时， g ' x 0，
所以 g x 在 x0 , 0 上单调递减，在 0,1 上单调递增，符合题意．
1
②若 m 0，当 x 1, 0 时，
2
h' x 1 1 2m
1 x 2
sin x 1 sin x 0
1 ， x 2
所以 h x 在 1, 0 上单调递减，h(x) g ' x g ' 0 0，g x 在 1, 0 上单调递增，
因此 x 0 不可能是 g x 的极小值点．
1
综上，当 x 0 是 g x 的极小值点时，m的取值范围为 ， ．
2
{#{QQABDYQUggAgAIIAAQhCAQ3oCAAQkBAACYgGBBAEIAAAgRFABAA=}#}
{#{QQABDYQUggAgAIIAAQhCAQ3oCAAQkBAACYgGBBAEIAAAgRFABAA=}#}
