北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷
高二数学 2024.7
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在等差数列中，，，则
A．8 B．10 C．12 D．14
2．设函数的导函数为，则为
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
3．袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是
A． B． C． D．
4．在等比数列中，若，，则
A．4 B．6 C．2 D．±6
5．投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X，则方差
A． B． C． D．
6．设等比数列的前n项和为，若，，则
A． B． C． D．
7．设函数的导函数为，则
A． B．
C． D．
8．设等比数列的前n项和为，则“是递增数列”是“是递增数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．如果在区间（-1，0）上是单调函数，那么实数a的取值范围为
A． B． C． D．
10．在数列中，，若存在常数c（），使得对于任意的正整数m，n等式成立，则
A．符合条件的数列有无数个 B．存在符合条件的递减数列
C．存在符合条件的等比数列 D．存在正整数N，当时，
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数的定义域为__________．
12．在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙两人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是．假设甲、乙两人回答问题正确与否相互独立．那么乙答对这道题的概率为_________．
13．设随机变量的分布列如下，其中，，成等差数列，且．
0 1 2
P
则_________；符合条件的的一个值为_________．
14．设数列的前n项和为，若，，且．则_________；使得成立的n的最小值为________．
15．已知函数其中．给出下列四个结论：
①当时，函数有极大值，无极小值；
②若方程存在三个根，则；
③当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点；
④当时，存在，（）使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线．
其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题13分）
函数，其中．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间[0，3]上有两个零点，求m的取值范围．
17．（本小题13分）
设数列的前n项和为，，且对于任意都有成立．
（Ⅰ）写出，的值，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列的首项，公差，求数列的前n项和的最小值．
18．（本小题15分）
为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）：
甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55；
乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40．
假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立．
（Ⅰ）现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数．
（Ⅱ）从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为、乙单位职工户外运动时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
19．（本小题14分）
为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计）
（Ⅰ）把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数；
（Ⅱ）为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？
20．（本小题15分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数的极小值为0，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对任意的，成立，求实数k的最小值
21．（本小题15分）
设和均为各项互不相等的N项数列，其中，．记数列C：，，…，，其中，．
（Ⅰ）写出所有满足条件的数列和，使得数列C：-1，-1，0，2；
（Ⅱ）若，C是公差不为0的等差数列，求证：为定值；
（Ⅲ）若C为各项互不相等的数列，记C中最大的数为P，最小的数为Q，求的最小值．{#{QQABTSYCQEho4ggIYAkJJIaAACASh5CrQQUnmY4CCk0GmQQkkBJACAhAJUQgkOxxUFAAIIKoAxAqAAAYRFFAABBI A=A}=#}#}
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