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第1章 一元二次方程 单元测试培优卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 沙坪坝区期末）下列方程中，是一元二次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．方程不是一元二次方程，不符合题意；
．方程一元是二次方程，符合题意；
．方程不是一元二次方程，不符合题意；
．方程不是一元二次方程，不符合题意，
故选．
2．（2024春 沙坪坝区期末）一元二次方程有一个根是，则的值是
A． B． C．2 D．3
【答案】
【解析】关于的一元二次方程的一个根是1，
，解得：．故选．
3．（2024春 通州区期末）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝﹣2 B．（x+3）2＝﹣2 C．（x﹣3）2＝7 D．（x+3）2＝7
【答案】C
【解析】x2﹣6x+2＝0，
移项可得：x2﹣6x＝﹣2，
左右两边同时加上9：x2﹣6x+9＝9﹣2，则（x﹣3）2＝7．故选C．
4．（2024春 钱塘区期末）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为
A． B．2 C．2或 D．4或
【答案】
【解析】根据题意可得：，解得．故选．
5．（2024 邯郸模拟）若，是方程的两个实数根，则的值为
A． B． C．4046 D．2023
【答案】
【解析】，是方程的两个实数根，
，
．
故选．
6．（2024春 西湖区期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是
A．1，4 B．1， C．2， D．3，0
【答案】
【解析】由题意知，方程的两根互为相反数，
，解得，
，，
故选．
7．（2024 庐阳区校级二模）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】关于的一元二次方程的根为，
二次项系数为1，一次项系数为，常数项为，
这个方程为．
故选．
8．（2024 邹城市校级模拟）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是
A． B．13 C．11或8 D．11和13
【答案】
【解析】，
，
或，
，．
因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3，
故周长．
故选．
9．（2023秋 梁园区校级期中）已知为实数，且满足，则的值是
A．6 B．30 C．36 D．12
【答案】
【解析】令，
由，得，，
或，
又，
，
即．
，
故选．
10．（2024春 通州区期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】
【解析】根据题意得，△，
，，
．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024 济南模拟）一元二次方程的一般形式为 ，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
【答案】；；；．
【解析】一元二次方程的一般形式为，
二次项为，一次项系数为，常数项为，
故答案为：；；；．
12．（2024春 重庆期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ．
【答案】．
【解析】方程是关于的一元二次方程，
，，
解得：．
故答案为：．
13．（2024春 海安市期末）若是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
【答案】8．
【解析】是一元二次方程的一个根，
，
，
，
故答案为：8．
14．（2024 兴庆区校级一模）已知实数，是方程的两根，则的值为 ．
【答案】．
【解析】实数，是方程的两根，
，，
，
故答案为：．
15．（2024春 房山区期末）随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元．若设每件成本的平均降低率是，则可列方程为： ．
【答案】．
【解析】由题意得，．
故答案为：．
16．（2024春 庐阳区校级期中）新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．
（1）与是“同类方程”，则 ；
（2）现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ．
【答案】（1）5；（2）6．
【解析】（1），
，
，
，
，
与是“同类方程”，
即与是“同类方程”，
，
解得，
故答案为：5；
（2）与是“同类方程”，
，
，
，
解得，
，
，
当时，能取的最大值，是6，
故答案为：6．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 淮北月考）关于的方程为一元二次方程．
（1）求的值．
（2）求该一元二次方程的根．
【解析】（1）根据题意得且，
解得，
即的值为；
（2）一元二次方程为，
解得，．
18．（2024春 诸暨市期末）（1）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2；
（2）解方程：（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．
【解析】（1）x（x﹣2）＝x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝2，x2＝1．
（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2，
（3x﹣4）2﹣（4x﹣3）2＝0，
（3x﹣4+4x﹣3）（3x﹣4﹣4x+3）＝0，
（7x﹣7）（﹣x﹣1）＝0，
则7x﹣7＝0或﹣x﹣1＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣1．
19．（2024 蒸湘区一模）关于的一元二次方程有两个实数根，，并且．
（1）求实数的取值范围；
（2）满足，求的值．
【解析】（1）方程有两个实数根，，并且，
，
；
（2），是该方程的两个根，
，，
，
，
解得：或，
，
．
20．（2024春 思明区校级期末）如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．若围成的花圃面积为40平方米时，求的长．
【解析】设的长为米，则的长为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：的长为10米．
21．（2024春 镇海区期末）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．
（1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由．
（2）已知关于的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程．
【解析】（1）是波浪方程．
，，，
．
故此方程为波浪方程．
（2）将代入原方程得，
①，
此方程为波浪方程，
②，
由①②得，
，
这个波浪方程为．
22．（2024春 通州区期末）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值，该方程都有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于1，求的取值范围．
【解析】（1）证明：在方程中，△，
方程总有两个实数根．
（2）解：，
，．
方程有一根小于1，
，解得：，
的取值范围为．
23．（2024春 利辛县月考）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出，将的值再代入 中解的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上过方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可．根据上述方法，完成下列问题：
（1）若，则的值为 ；
（2）解方程：．
【解析】（1）设，则，
原方程可化为，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
所以的值为2；
故答案为：2；
（2），
，
，
或，
解方程得，；
解方程得，，
所以原方程的解为，，，．
24．（2024春 西湖区期末）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．
（1）求2021年至2023年日租金的平均增长率；
（2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为 元，实际能租出 辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？（日收益总租金各类费用）
【解析】（1）设2021年至2023年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：2021年至2023年日租金的平均增长率为；
（2）①根据题意得：在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆．
故答案为：，；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当每辆汽车的日租金上涨20或30元时，该租赁公司的日收益可达28200元．
25．（2024春 历下区期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为：
，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．
定义：
倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为，且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为，且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
（1）请你判断：方程是 （填“倍根方程”或“方根方程” ；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
（3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
【解析】（1）解方程得：
，，
，
方程是倍根方程；
故答案为：“倍根方程”；
（2）设方程的两个根为，，
一元二次方程是“倍根方程”，
，
，，
，，
，
；
（3）设一元二次方程，的两个实数根分别为、，
这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，
，，
，
解得或（舍去），
，
这个方程的根是2、4．
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第1章 一元二次方程 单元测试培优卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 沙坪坝区期末）下列方程中，是一元二次方程的是
A． B． C． D．
2．（2024春 沙坪坝区期末）一元二次方程有一个根是，则的值是
A． B． C．2 D．3
3．（2024春 通州区期末）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝﹣2 B．（x+3）2＝﹣2 C．（x﹣3）2＝7 D．（x+3）2＝7
4．（2024春 钱塘区期末）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为
A． B．2 C．2或 D．4或
5．（2024 邯郸模拟）若，是方程的两个实数根，则的值为
A． B． C．4046 D．2023
6．（2024春 西湖区期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是
A．1，4 B．1， C．2， D．3，0
7．（2024 庐阳区校级二模）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是
A． B． C． D．
8．（2024 邹城市校级模拟）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是
A． B．13 C．11或8 D．11和13
9．（2023秋 梁园区校级期中）已知为实数，且满足，则的值是
A．6 B．30 C．36 D．12
10．（2024春 通州区期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
二．填空题（共6小题）
11．（2024 济南模拟）一元二次方程的一般形式为 ，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
12．（2024春 重庆期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ．
13．（2024春 海安市期末）若是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
14．（2024 兴庆区校级一模）已知实数，是方程的两根，则的值为 ．
15．（2024春 房山区期末）随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元．若设每件成本的平均降低率是，则可列方程为： ．
16．（2024春 庐阳区校级期中）新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．
（1）与是“同类方程”，则 ；
（2）现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 淮北月考）关于的方程为一元二次方程．
（1）求的值．
（2）求该一元二次方程的根．
18．（2024春 诸暨市期末）（1）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2；
（2）解方程：（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．
19．（2024 蒸湘区一模）关于的一元二次方程有两个实数根，，并且．
（1）求实数的取值范围；
（2）满足，求的值．
20．（2024春 思明区校级期末）如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．若围成的花圃面积为40平方米时，求的长．
21．（2024春 镇海区期末）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．
（1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由．
（2）已知关于的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程．
22．（2024春 通州区期末）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值，该方程都有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于1，求的取值范围．
23．（2024春 利辛县月考）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出，将的值再代入 中解的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上过方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可．根据上述方法，完成下列问题：
（1）若，则的值为 ；
（2）解方程：．
24．（2024春 西湖区期末）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．
（1）求2021年至2023年日租金的平均增长率；
（2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为 元，实际能租出 辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？（日收益总租金各类费用）
25．（2024春 历下区期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为：
，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．
定义：
倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为，且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为，且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
（1）请你判断：方程是 （填“倍根方程”或“方根方程” ；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
（3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
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