13））
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2023—2024学年度第二学期高二教学质量检测
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B；2．A；3．A；4．B；5．C；6．C；7．D；8．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．AC；10．AB；11．BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．；13．（或）14．0.64．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）解：（1）由，
有， ……………………3分
取得到，解得． ………………6分
将代入，
可得． ………………7分
（2）设， ………………8分
则， ………………9分
故当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
故． ………………11分
从而成立． ………………13分
16．（15分）解：（1）因为，
…………………………3分
依据小概率值的独立性检验，可以认为是否养宠物与性别有关联．
…………………………5分
（2）由x的取值依次为1，2，3，4，5，6，
得，
， …………………………7分（每个数值1分）
因为回归方程为，
所以，…………………8分
所以， …………………10分
所以． ………13分
因为， …………14分
所以y与x有较强的相关性，该同归方程有价值． ………15分
17．（15分）解：（1）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，
连续摸4次，且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，
所以随机变量， …………3分
所以， …………5分
； …………7分
（2）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，
且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，
随机变量服从超几何分布，则，……9分
可得，
…………12分（每个数值正确得1分）
所以的分布列为：
2 3 4
； …………15分
18．（17分）解：（1）因为，
所以，则， …………………………2分
当时，， …………………………3分
当时，， ……………4分
当时也成立，
所以的通项公式为． …………………………5分
（2）由（1）可知， …………………………6分
所以， ……………………7分
所以，
则
，
所以； ……………………10分
（3）由题意，数列元素依次为：，
在到之间的个数为，
故到处共有个元素， ……………………12分
所以前项中含及个， ……………………14分
故．
……………………17分
19．（17分）解：（1）函数的定义域为，且， …………2分
当时，恒成立，所以在单调递减；…………3分
当时，令，即，解得，，
因为，所以，则，
所以当时，， …………4分
当时，， …………5分
当时，，
所以在上单调递减，
在上单调递增，
在上单调递减； …………6分
当时，此时，
所以时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减．
…………8分
综上可得：当时在单调递减；
当时在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增，在上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知． …………10分
（ⅱ）由（1）在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
…………12分
又，所以，则，
又，
又，
所以在上没有零点， …………14分
又，则，则，，
则， …………15分
所以， …………16分
所以在上存在一个零点，
综上可得函数有且只有一个零点． …………17分参照秘密级管理★启用前
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数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置
上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答
案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．设等差数列 an ，a2 = 3，d = 5，则a5 =
A． 5 B．18 C．23 D．28
f (1 x) f (1) 1
2．若函数 f (x) 满足 lim = ，则 f (1) =
x→0 x 8
1 1 1 1
A． B． C． D．
8 4 8 4
3．设 an 是等比数列，且a2 + a3 = 2,a5 + a6 = 16，则公比q =
A． 2 B． 2 C． 8 D．8
4．在 (2 x)7 的展开式中，含 x2 的项的系数为
A． 280 B．280 C． 560 D．560
5．某志愿者小组有5人，从中选3人到 A、B两个社区开展活动，其中1人到 A 社
区，则不同的选法有
A．12 种 B．24 种 C．30 种 D．60 种
6．直线 y = kx 与曲线 y = ln (2x)相切，则实数 k的值为
1 2 2
A．1 B． C． D．
2 e e2
1 3 1
7．若P(B∣A) = , P(A) = , P(B) = ，则P(A∣B) =
3 4 2
1 3 1 1
A． B． C． D．
4 4 3 2
8．不等式2ln x x ln 2的解集是
A． (1,2) B． (4,+ ) C． (2,+ ) D． (2,4)
高二数学试题 第1页（共4页）
{#{QQABbY6UggAgAoAAAQhCAQEYCAIQkBEAAQgGwBAAIAAAAAFABAA=}#}
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分．
9．已知随机变量 X N(3,1) ，则下列说法正确的是
A．若Y = X +3，则E(Y ) = 6 B．若Y = 3X +1，则D (Y ) = 3
C．P (X 2) = P (X 4) D．P (0 X 4) =1 2P (X 4)
10．若函数 f (x) 的定义域为 ( 4,3)，其导函数
f (x)的图象如图所示，则
A． f (x) 有两个极大值点 B． f (x) 有一个极小值点
C． f (0) f (1) D． f ( 2) f ( 3)
11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛
积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但
是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列1,3,6,10，它的前后两项之差组成
新数列2,3,4 ，新数列2,3,4 为等差数列，则数列1,3,6,10被称为二阶等差数列，
现有二阶等差数列 cn ，其前6 项分别为4,8,10,10,8,4，设其通项公式
cn = g(n)．则下列结论中正确的是
20
A．数列 c 2n+1 cn 的公差为 B． (ci+1 ci ) = 300
i=1
C．数列 cn 的前7 项和最大 D．c21 = 296
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
5
12．已知 (2x 1) = a 55x + a4x
4 + a x3 + a x23 2 + a1x + a0 ，
则 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = ________．
13．已知随机变量 X 的分布列如下：
X 0 1 2
P p 0.6 q
若 E (X ) =1.2，则D (X ) =________．
14．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格
的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为 60%，利
率不变的概率为 40%．根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格
上涨的概率为 80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为 40%，则该支股
票将上涨的概率为________．
高二数学试题 第2页（共4页）
{#{QQABbY6UggAgAoAAAQhCAQEYCAIQkBEAAQgGwBAAIAAAAAFABAA=}#}
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
2
15．（13 分）已知函数 f (x) = f (1) x + x + 2ln x ．
(1)求 f (1)的值，并写出 f (x)的表达式；
(2)证明： f (x) x 1．
16．（15 分）近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠
1
物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为 ．
5
(1)随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下
列联表：
成年男性 成年女性 合计
养宠物 38 60 98
不养宠物 62 40 102
合计 100 100 200
依据小概率值 = 0.01的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关？
(2)记 2018-2023 年的年份代码 x依次为1,2,3,4,5,6 ，中国宠物经济产业年规模为 y
（单位：亿元），由这 6 年中国宠物经济产业年规模数据求得 y，关于 x的回归方程
6
2
为 y = 0.86x+0.63，且 ( yi y ) 3.61．求相关系数 r，并判断该回归方程
i=1
是否有价值．
2
n
2 (ad bc)
参考公式及数据： = ，其中n = a+b+c+d
(a +b)(c+ d )(a + c)(b+ d )
0.10 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
高二数学试题 第3页（共4页）
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n
( xi x ) ( yi y )
回归方程 y = b x + a ，其中b = i=1 ， a = y b x ，
n
2
( xi x )
i=1
n
(xi x )( yi y )
相关系数 r = i=1 ；
n n
2 2
(xi x ) ( yi y )
i=1 i=1
若 r 0.75，则认为 y与 x有较强的相关性．其中 17.5 4.18．
17．（15 分）在一个不透明的密闭纸箱中装有 10 个大小 形状完全相同的小球，其
中 8 个白球，2 个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸 4
次，记随机变量 X 为小张摸出白球的个数.
(1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求E (X )和D (X )；
(2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求 X 的分布列和E (X )；
18．（17 分）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S log S + 2 = n +1n 满足 2 ( n ) ．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)数列 bn 的通项bn = n，求 an bn 的前 n 项和M n ；
k
(3)在任意相邻两项ak 与a 2k+1（其中 k N*）之间插入 个 3，使它们和原数列的
项构成一个新的数列 cn ．记T 为数列 cn n 的前 n 项和，求T36 的值．
1
19．（17 分）已知函数 f (x) = aln (x+ 2) x2 (a R)．
2
(1)讨论函数 f (x)的单调性；
(2)若函数 f (x)有两个极值点，
（ⅰ）求实数 a 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 f (x)有且只有一个零点．
高二数学试题 第4页（共4页）
{#{QQABbY6UggAgAoAAAQhCAQEYCAIQkBEAAQgGwBAAIAAAAAFABAA=}#}
