2024—2025学年上学期河北初中数学七年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期河北初中数学七年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 356.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:44:42 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期河北初中数学七年级开学模拟试卷2
一．填空题（共10小题，满分23分）
1．（2分）把5克盐放入100克水中，盐水的含盐率是5%． （判断对错）
2．（4分）用百分数表示：0.314＝ ．
3．（2分）在1﹣20的正整数中（含1，20），与8互素的有 ．
4．（2分）有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，乙再单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比 ．
5．（3分）在比例尺是1：20000000的地图上，量得A地到B地的距离是4.5厘米，如果画在比例尺是1：30000000的地图上，A地到B地的距离是 厘米．
6．（2分）如图，把底面周长18.84cm、高10cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．长方体的长是 cm，体积是 cm3．
7．（2分）如图，把A，B，C，D，E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图一共有 种不同的着色方法．
8．（2分）某圆柱与圆锥的底面积相同，高的比为1：4，圆柱的体积为12立方厘米，则圆锥的体积为 立方厘米．
9．（2分）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑩个图形中实心圆点的个数为 ．
10．（2分）小明利用棱长为1的一些小立方体，用强力胶粘贴在一起来做内空的长方体积木模型：
（1）如图棱长为3的立方体积木模型，至少需要 个小立方体；
（2）若做一个长宽高为7，6，5的长方体积木模型，则至少需要 个小立方体．
二．填空题（共5小题，满分5分，每小题1分）
11．（1分）假分数的倒数一定小于1． （判断对错）
12．（1分）如果向东走2km记作+2km，那么向西走8km记作 km．
13．（1分）水结成冰后体积增加，那么冰化成水后，体积减少． （判断对错）
14．（1分）如图，OA＝4cm，阴影部分面积是 cm2．（结果保留π）
15．（1分）一个圆柱的体积是一个圆锥体积的3倍，那么它们一定等高． （判断对错）
三．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分）
16．（1分）孔子出生于公元前551年，可用﹣551年表示，若小明出生于公元2019年，则孔子比小明早出生的年数为（ ）
A．﹣2019 B．﹣551 C．1468 D．2570
17．（1分）一个圆柱体，底面半径增加到原来的3倍，而高度不变，则变化后的圆柱体的体积是原来圆柱体体积的（ ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．9倍
18．（1分）下面各数，在读数时一个“零”也不读的是（ ）
A．620080000 B．35009000 C．700200600 D．80500000
19．（1分）对于底面积相等，高也相等的正方体、圆柱体和圆锥体，下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的体积是圆柱体积的3倍
B．圆柱的体积比正方体的体积小一些
C．圆锥的体积是正方体体积的
D．以上说法都不对
20．（1分）某货运公司用汽车运一批货物，第一次运走总数的40%，而第二次运走78吨，还剩下36吨，则这批货物共有（ ）
A．180吨 B．190吨 C．200吨 D．210吨
四．解答题（共3小题）
21．直接写出得数：
0.15+0.25＝ ；
；
；
100﹣0.89＝ ；
；
1﹣1÷5＝ ；
；
．
22．在2022年“全民读书周”中，衢州市新华书店推出“券礼优惠”活动．
小柯领了四种优惠券各一张，选购了3本书，标价分别为100元，43元，a元．为享受最大优惠，小柯付款时打算采取两次结算，刚好把四张券用完．
【任务1】若a＝67，付款方法及金额如下：
方法 金额
A （100+43）×0.6﹣30＝55.8（元），67×0.7﹣20＝26.9（元），合计82.7元.
B （43+67）×0.6﹣30＝36（元），100×0.7﹣20＝50（元），合计86元.
C
（1）请计算方法C的金额，并说明哪种付款方法最优惠．
【任务2】
（2）若a大于43，当最优惠的付款金额为88.1元时，请列方程求出a的值．
（3）若a＝40，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额．
23．解下列方程：
（1）2x+3（2x﹣1）＝15﹣2（x+2）；
（2）x1．
五．解答题（共1小题）
24．【操作发现】
如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C'，连接BB'；
（2）求∠AB'B的度数；
【问题解决】
如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB，PC＝1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；
【灵活运用】
如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA，BP，PC＝1，求∠BPC的度数．
六．解答题（共2小题）
25．已知：如图，AP：PB＝1：k，BQ：QC＝m：1，求△AOC和△ABC的面积比．
26．将一个长为a，宽为b的长方形绕任意一边旋转一周得到一个几何体，用含a，b的代数式表示这个几何体的体积．
七．解答题（共4小题）
27．某校随机抽取部分学生就“你是否喜欢网课”进行问卷调查，并将调查结果进行统计后，绘制成如下的统计表和扇形统计图．
态度 非常喜欢 喜欢 一般 不喜欢
人数 90 b 30 10
百分比 a 35% 20%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）该校随机抽取了 名同学进行问卷调查；
（2）求出a、b的值；
（3）求在扇形统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角的度数．
28．如图，物体AB在墙上的影子长A′B′是AB长的5倍．已知光源O到墙的距离是20m，求物体AB与光源O的距离．
29．小华看一本70页的书，已经看了19页，看了的页数占全书的几分之几？没看的页数占全书的几分之几？
30．如图，小明用一张正方形纸片剪出两个宽都是5cm的长条，如果其中一个长条的面积是另一个长条的1.2倍，求原来正方形纸片的边长．
2024—2025学年上学期河北初中数学七年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题，满分23分）
1．（2分）把5克盐放入100克水中，盐水的含盐率是5%． × （判断对错）
【考点】百分数的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】×．
【分析】根据含盐率等于盐的质量除以盐水质量再乘100%列式计算可得答案．
【解答】解：盐水的含盐率是100%≈4.76%，
故答案为：×．
【点评】本题考查百分数的应用，解题的关键是掌握含盐率等于盐的质量除以盐水质量再乘100%．
2．（4分）用百分数表示：0.314＝ ．
【考点】百分数的互化．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】先把小数写成分数，再进行约分即可．
【解答】解：0.314．
故答案为：．
【点评】本题考查了小数与分数的互化，掌握小数与分数的互化是解答本题的关键．
3．（2分）在1﹣20的正整数中（含1，20），与8互素的有 1，2，3，5，7，9，11，15，13，17，19 ．
【考点】质数（素数）．
【专题】实数；推理能力．
【答案】1，2，3，5，7，9，11，13，15，17，19．
【分析】依据题意，根据互素的概念即可判断得解．
【解答】解：由题意，根据互素的概念可得，
在1﹣20的正整数中（含1，20），与8互素的有：1，2，3，5，7，9，11，13，15，17，19．
故答案为：1，2，3，5，7，9，11，13，15，17，19．
【点评】本题主要考查了素数的概念，解题时要熟练掌握并理解是关键．
4．（2分）有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，乙再单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比 ．
【考点】比的应用；分数混合运算的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】先设甲单独工作x天可以完成工程，乙单独工作y天可以完成工程，再根据数量关系列式进行计算即可．
【解答】解：设甲单独工作x天可以完成工程，乙单独工作y天可以完成工程，
，
作差得，
则，
故甲的工作效率是乙工作效率的倍．
故答案为：．
【点评】本题考查比的应用和分数混合运算的应用，能够读懂题意，理解题意是解题的关键．
5．（3分）在比例尺是1：20000000的地图上，量得A地到B地的距离是4.5厘米，如果画在比例尺是1：30000000的地图上，A地到B地的距离是 3 厘米．
【考点】比例尺．
【专题】实数；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据比例尺求出A地到B地的实际距离，再根据比例尺1：30000000求出A、B两地的图上距离即可．
【解答】解：∵在比例尺是1：20000000的地图上，量得A地到B地的距离是4.5厘米，
∴A地到B地的实际距离是：
4.590000000（cm），
∴画在比例尺是1：30000000的地图上，A地到B地的距离是：
900000003（cm）．
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例尺，能熟记比例尺100%是解此题的关键．
6．（2分）如图，把底面周长18.84cm、高10cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．长方体的长是 9.42 cm，体积是 282.6 cm3．
【考点】截一个几何体；展开图折叠成几何体．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】9.42；282.6．
【分析】由图形可得圆柱的底面周长等于长方体的两条长之和，再根据体积公式即可得出答案．
【解答】解：长方体的长为18.84÷2＝9.42（cm），
长方体的体积为3.14×（18.84÷3.14÷2）2×10
＝3.14×9×10
＝282.6（cm3），
故答案为：9.42；282.6．
【点评】本题主要考查截一个几何体，由图形可得圆柱的底面周长等于长方体的两条长之和是解题的关键．
7．（2分）如图，把A，B，C，D，E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图一共有 96 种不同的着色方法．
【考点】加法原理与乘法原理．
【专题】分类讨论；运算能力；推理能力．
【答案】96．
【分析】首先分析至少需要几种颜色，显然至少需要三种，然后分情况讨论：（1）若用三种颜色，则A、B、C三块就必须用三种且必有A、D同色，B、E同色，对于A、B、C三块，首先从4种颜色选择3种，有4种选法，然后自由涂色，有6种涂法，然后对于剩余两块涂法是固定的，即这种情况下，有24种涂法，算式为4×6＝24；（2）若用4种颜色，则A，B，C三块仍然需要三种颜色，且可任意涂色，但此时，对于D（不妨分析D，E也是同理），有两种涂法：①D仍与A同色，此时，对于最后一块E有两种涂法，这时共有涂法48种，算式为4×6×2＝48；②D与A不同色，则D为第四种颜色，易知E只能与A同色，此时共有涂法24种，算式为4×6×＝24．综上所述，共有涂法24+48+24＝96种．
【解答】解：用三种颜色，有4×6×1＝24（种）；
若用4种颜色，有两种涂法：
①D仍与A同色，有4×6×2＝48（种）；
②D与A不同色，有4×6×1＝24（种）．
综上所述，共有涂法24+48+24＝96（种）．
故答案为：96．
【点评】本题主要考查加法原理与乘法原理．加法原理：做一件事情完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法， 在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+ +mn种不同的办法．乘法原理：做一件事完成它可分成n步，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法， m1 m2 mn做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1 m2 … mn种不同的方法．
8．（2分）某圆柱与圆锥的底面积相同，高的比为1：4，圆柱的体积为12立方厘米，则圆锥的体积为 16 立方厘米．
【考点】圆锥的体积；圆柱的体积．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】16．
【分析】设圆柱的高为h厘米，则圆锥的高为4h厘米，利用圆柱的体积公式求出底面积，再利用圆锥的体积公式即可得解．
【解答】解：设圆柱的高为h厘米，则圆锥的高为4h厘米．
因为圆柱的体积为12立方厘米，
所以该圆柱的底面积为平方厘米．
又因为圆柱与圆锥的底面积相同，
所以圆锥的体积为（立方厘米）．
故答案为：16．
【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活运用，解题的关键是利用设参法设出圆柱、圆锥的高．
9．（2分）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑩个图形中实心圆点的个数为 32 ．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】实数；推理能力．
【答案】32．
【分析】根据题意可得第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，由此发现规律，即可求解．
【解答】解：根据题意得：
第①个图形一共有5＝（3+2）个实心圆点，
第②个图形一共有8＝（3×2+2）个实心圆点，
第③个图形一共有11＝（3×3+2）个实心圆点，
…，
由此发现规律，第n个图形中实心圆点的个数为（3n+2）个实心圆点，
第⑩个图形中实心圆点的个数为3×10+2＝32个实心圆点．
故答案为：32．
【点评】本题主要查了图形类规律题，解题的关键是得到第n个图形中实心圆点的个数为（3n+2）个实心圆点．
10．（2分）小明利用棱长为1的一些小立方体，用强力胶粘贴在一起来做内空的长方体积木模型：
（1）如图棱长为3的立方体积木模型，至少需要 26 个小立方体；
（2）若做一个长宽高为7，6，5的长方体积木模型，则至少需要 150． 个小立方体．
【考点】认识立体图形．
【专题】展开与折叠；运算能力．
【答案】（1）26；
（2）150．
【分析】（1）根据正方体找到规律计算求解；
（2）根据（1）中的规律求解．
【解答】解：（1）33﹣1＝26．
故答案为：26；
（2）7×6×5﹣（7﹣2）×（6﹣2）×（5﹣2）
＝210﹣60
＝150．
故答案为：150．
【点评】本题考查了立体图形，掌握空间想象力是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分5分，每小题1分）
11．（1分）假分数的倒数一定小于1． × （判断对错）
【考点】倒数的认识；分数的认识；真分数、假分数和带分数．
【专题】实数；数感．
【答案】×．
【分析】由倒数的定义，即可得到答案．
【解答】解：当假分数的分子与分母相等时，假分数的倒数等于1，
∴假分数的倒数一定小于1，这个说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题考查倒数的认识，分数的认识，真分数，假分数，带分数，关键是掌握倒数的定义．
12．（1分）如果向东走2km记作+2km，那么向西走8km记作 ﹣8 km．
【考点】正数和负数．
【专题】实数；数感；符号意识．
【答案】﹣8．
【分析】根据正数与负数表示的意义可直接求解．
【解答】解：向东走2km记作+2km，
则向西走8km记作﹣8km．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．
13．（1分）水结成冰后体积增加，那么冰化成水后，体积减少． √ （判断对错）
【考点】分数混合运算的应用；分数的互化．
【专题】整体思想；运算能力．
【答案】√．
【分析】根据“水结成冰后，体积增加，把水的体积看作单位“1”，得出冰的体积对应的分率，要求冰化成水后体积减少几分之几，是把冰的体积看作单位“1”，先求出减少的部分，再求出减少的分率．
【解答】解：把水的体积看作单位“1”，
冰的体积对应的分率：1，
冰化成水后体积减少：
（1），
答：冰化成水后体积减少，
故答案为：√．
【点评】本题考查分数混合运算的应用，解题的关键是设单位1．
14．（1分）如图，OA＝4cm，阴影部分面积是 4π cm2．（结果保留π）
【考点】圆的面积．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】4π．
【分析】先算半圆，再算阴影部分面积．
【解答】解：半圆面积为π×42＝8π．
空白圆的面积为π×（4÷2）2＝4π．
∴阴影部分面积为8π﹣4π＝4π（cm2）．
故答案为：4π．
【点评】本题考查图形面积的计算，先算半圆面积，再算小圆面积，是求解本题的关键．
15．（1分）一个圆柱的体积是一个圆锥体积的3倍，那么它们一定等高． × （判断对错）
【考点】圆锥的体积；圆柱的体积．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】×．
【分析】根据圆柱的体积和圆锥的体积公式即可得出答案．
【解答】解：因为圆柱和圆锥的底面积的大小关系不确定，
所以它们的高不一定相等，
故答案为：×．
【点评】本题考查了圆柱的体积和圆锥的体积，熟记圆柱的体积和圆锥的体积公式是解题关键．
三．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分）
16．（1分）孔子出生于公元前551年，可用﹣551年表示，若小明出生于公元2019年，则孔子比小明早出生的年数为（ ）
A．﹣2019 B．﹣551 C．1468 D．2570
【考点】正数和负数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正数与负数的意义列式计算可求解．
【解答】解：2019﹣（﹣551）＝2019+551＝2570，
答：孔子比小明早出生的年数为2570，
故选：D．
【点评】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．
17．（1分）一个圆柱体，底面半径增加到原来的3倍，而高度不变，则变化后的圆柱体的体积是原来圆柱体体积的（ ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．9倍
【考点】圆柱的体积．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】D
【分析】根据的体积公式：v＝sh，圆柱的体积是由它的底面积和高两个条件决定的，圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，它的底面积就扩大9倍，则得出变化后的圆柱体体积与原来圆柱体体积的关系．
【解答】解：设原来圆柱体积是v＝sh，
∵底面半径增加到原来的3倍，
∴它的底面积就扩大9倍，
∴变化后的圆柱体体积为：v＝9s×h＝9sh，
∴变化后的圆柱体体积是原来圆柱体体积的9倍．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，此题考查的目的是掌握圆柱的体积公式，以及积的变化规律是解题关键．
18．（1分）下面各数，在读数时一个“零”也不读的是（ ）
A．620080000 B．35009000 C．700200600 D．80500000
【考点】数学常识．
【专题】实数；推理能力．
【答案】B
【分析】根据数的读法对题目中给出的四个数逐一进行判断即可得出答案．
【解答】解：620080000读作六亿二千零八万；
35009000读作三千五百万九千；
700200600读作七亿零二十万零六百；
80500000读作八千零五十万．
故选：B．
【点评】此题主要考查了数的读法，熟练掌握数的读法是解答此题的关键．
19．（1分）对于底面积相等，高也相等的正方体、圆柱体和圆锥体，下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的体积是圆柱体积的3倍
B．圆柱的体积比正方体的体积小一些
C．圆锥的体积是正方体体积的
D．以上说法都不对
【考点】圆锥的体积；圆柱的体积．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】C
【分析】根据正方体的体积公式：V＝sh，圆柱的体积公式：V＝sh，圆锥的体积公式：Vsh，如果正方体和圆柱的底面积相等、高也相等，那么正方体和圆柱的体积相等，如果圆锥和圆柱的底面积相等、高也相等，那么圆锥的体积是圆柱体积的，据此解答．
【解答】解：正方体、圆柱体和圆锥体的底面积相等，高也相等，正方体和圆柱的体积就相等，圆锥的体积是圆柱体积（正方体体积）的，
故选：C．
【点评】此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥体积之间关系的灵活运用．解题的关键是牢记各种几何体的体积公式，难度不大．
20．（1分）某货运公司用汽车运一批货物，第一次运走总数的40%，而第二次运走78吨，还剩下36吨，则这批货物共有（ ）
A．180吨 B．190吨 C．200吨 D．210吨
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设这批货物共有x吨，根据第一次运走的货物+第二次运走的货物+36＝货物总数，列出方程，求出x的值即可得出答案．
【解答】解：设这批货物共有x吨，根据题意得：
40%x+78+36＝x，
解得：x＝190，
即：这批货物共有190吨．
故选：B．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出题目中的数量关系，列出方程是解题的关键，本题的等量关系是：第一次运走的货物+第二次运走的货物+剩下的货物＝货物总数．
四．解答题（共3小题）
21．直接写出得数：
0.15+0.25＝ 0.4 ；
1 ；
；
100﹣0.89＝ 99.11 ；
；
1﹣1÷5＝ ；
；
1 ．
【考点】分数的混合运算；小数的运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】0.4；1；；99.11；；；；1．
【分析】根据小数和分数加减乘除法运算的计算法则计算即可求解．
【解答】解：0.15+0.25＝0.4；
1；
；
100﹣0.89＝99.11；
；
1﹣1÷5；
；
1．
【点评】本题考查了小数和分数加减乘除法运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
22．在2022年“全民读书周”中，衢州市新华书店推出“券礼优惠”活动．
小柯领了四种优惠券各一张，选购了3本书，标价分别为100元，43元，a元．为享受最大优惠，小柯付款时打算采取两次结算，刚好把四张券用完．
【任务1】若a＝67，付款方法及金额如下：
方法 金额
A （100+43）×0.6﹣30＝55.8（元），67×0.7﹣20＝26.9（元），合计82.7元.
B （43+67）×0.6﹣30＝36（元），100×0.7﹣20＝50（元），合计86元.
C
（1）请计算方法C的金额，并说明哪种付款方法最优惠．
【任务2】
（2）若a大于43，当最优惠的付款金额为88.1元时，请列方程求出a的值．
（3）若a＝40，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额．
【考点】小数的运算．
【专题】方案型；实数；运算能力．
【答案】（1）方法C的金额为80.3元，方法C最优惠．
（2）a＝80．
（3）将标价为100元和40元的书一起付款，标价为43元的书单独付款最优惠，付款金额为64.1元．
【分析】（1）由另一种付款方式为“标价为100元和67元的书组合用6折优惠券和折后减30元优惠券，标价为43元的书用7折优惠券和折后减20元优惠券”，列式计算，再比较即可得到答案．
（2）结合（1）得到最优惠的付款方法可列出方程，求解即可．
（3）由为40元的书不能单独结算，可分三种方式结算，分别算出总共费用再比较即可．
【解答】解：（1）方法C：（100+67）×0.6﹣30＝70.2（元），43×0.7﹣20＝10.1（元），合计80.3元，
∵80.3＜82.7＜86，
∴方法C最优惠．
（2）若a大于43，
由题意得（100+a）×0.6﹣30+（43×0.7﹣20）＝88.1，
解得：a＝80．
（3）方法1：（100+40）×0.6﹣30+43×0.7﹣20＝64.1（元），
方法2：（43+40）×0.6﹣20+100×0.7﹣30＝69.8（元），
方法3：（43+40）×0.7﹣20+100×0.6﹣30＝68.1（元），
∵64.1＜68.1＜69.8，
∴将标价为100元和40元的书一起付款，标价为43元的书单独付款最优惠，付款金额为64.1元．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，本题属于方案选择题型，解题关键是根据题意正确列式计算，并通过比较的大小确定最优惠的方法．
23．解下列方程：
（1）2x+3（2x﹣1）＝15﹣2（x+2）；
（2）x1．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x；（2）x＝﹣3．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：（1）去括号，得：2x+6x﹣3＝15﹣2x﹣4，
移项，得：2x+6x+2x＝15﹣4+3，
合并同类项，得：10x＝14，
化系数为1，得：x．
（2）去分母，得：4x﹣（x﹣1）＝4﹣2（3﹣x），
去括号，得：4x﹣x+1＝4﹣6+2x，
移项，得：4x﹣x﹣2x＝4﹣6﹣1，
合并同类项，得：x＝﹣3．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
五．解答题（共1小题）
24．【操作发现】
如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C'，连接BB'；
（2）求∠AB'B的度数；
【问题解决】
如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB，PC＝1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；
【灵活运用】
如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA，BP，PC＝1，求∠BPC的度数．
【考点】几何变换综合题．
【专题】作图题；综合题；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）45°；
（2）150°；；
（3）135°．
【分析】（1）只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ABC＝60°，根据旋转的性质得到AP'＝CP＝1，BP'＝BP，∠PBC＝∠P'BA，∠AP'B＝∠BPC，推出△BPP'是等边三角形，得到PP'，∠BP'P＝60°．根据勾股定理的逆定理得到△PP'A是直角三角形，于是得到结论；
（3）仿照（2）中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A，然后连接PP′，根据旋转的性质结合勾股定理的逆定理可得△AP′P是直角三角形，可得从而得出结论．
【解答】解：（1）如图1，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，
∴∠AB′B＝45°；
故答案为：45°；
（2）如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△ABP'，
∴AP'＝CP＝1，BP'＝BP，∠PBC＝∠P'BA，∠AP'B＝∠BPC，
又∵∠PBP'＝60°，
∴△BPP'是等边三角形，
∴PP'，∠BP'P＝60°．
∵AP'＝1，AP＝2，
∴AP′2+PP′2＝12+（）2＝4，AP2＝22＝4，
∴AP'2+PP'2＝AP2，
∴∠AP'P＝90°，则△PP'A是直角三角形，
∴∠BPC＝∠AP'B＝∠AP'P+∠PBP'＝90°+60°＝150°；
过点B作BM⊥AP′延长线于点M，
∴∠M′PB＝30°，BM，
根据勾股定理，得P′M，
∴AM＝1，
∴AB．
（3）如图3，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
则BP′＝BP，∠PBP′＝90°，
故PP′2，∠BP′P＝∠BPP′＝45°，
∵PA，P′P＝2，PC＝AP′＝1，
∴P′P2+AP′2＝PA2，
∴△AP′P是直角三角形，
∴∠AP′B＝∠BPC＝45°+90°＝135°，
即∠BPC＝135°．
【点评】本题考查几何变换综合题、旋转的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．
六．解答题（共2小题）
25．已知：如图，AP：PB＝1：k，BQ：QC＝m：1，求△AOC和△ABC的面积比．
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】过P点作PH∥BC交AQ于H点，如图，根据平行线分线段成比例定理，由PH∥BQ得到，由于BQ：QC＝m：1，则，再由PH∥CQ得到，利用比例的性质得到，则根据三角形面积公式得到，即S△AOCS△APC，接着利用AP：PB＝1：k得到，根据三角形面积公式得到，则S△APCS△ABC，所以S△AOCS△ABC．
【解答】解：过P点作PH∥BC交AQ于H点，如图，
∵PH∥BQ，
∴，
∵AP：PB＝1：k，
∴，
∵BQ：QC＝m：1，
∴BQ＝mQC，
∴，
即，
∵PH∥CQ，
∴，
∴，
即，
∴，
即S△AOCS△APC，
∵AP：PB＝1：k，
∴，
∴，
即S△APCS△ABC，
∴S△AOC S△ABCS△ABC，
∴．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S底×高．也考查了平行线分线段成比例定理和比例的性质．
26．将一个长为a，宽为b的长方形绕任意一边旋转一周得到一个几何体，用含a，b的代数式表示这个几何体的体积．
【考点】点、线、面、体；列代数式．
【专题】几何图形；几何直观．
【答案】这个几何体的体积为πb2a或πa2b．
【分析】利用圆柱的体积公式进行分析即可，注意分类讨论．
【解答】解：绕长为a的一边旋转时，这个几何体的体积为：V＝πb2a；
绕长为b的一边旋转时，这个几何体的体积为：V＝πa2b；
综上分析可知，这个几何体的体积为πb2a或πa2b．
【点评】本题主要考查了列代数式，解题的关键是熟练掌握圆柱的体积公式，注意分类讨论．
七．解答题（共4小题）
27．某校随机抽取部分学生就“你是否喜欢网课”进行问卷调查，并将调查结果进行统计后，绘制成如下的统计表和扇形统计图．
态度 非常喜欢 喜欢 一般 不喜欢
人数 90 b 30 10
百分比 a 35% 20%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）该校随机抽取了 200 名同学进行问卷调查；
（2）求出a、b的值；
（3）求在扇形统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角的度数．
【考点】扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）200；（2）45%，70；（3）126°．
【分析】（1）由“一般”、“不喜欢”的人数和及其所占百分比可得总人数；
（2）“非常喜欢”的人数除以总人数可得a，总人数乘以“喜欢”对应的百分比可得b；
（3）用360°乘以“喜欢”对应的百分比即可．
【解答】解：（1）该校随机抽取的学生人数为（30+10）÷20%＝200（名），
故答案为：200；
（2）a＝90÷200×100%＝45%，b＝200×35%＝70；
（3）扇形统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角的度数为360°×35%＝126°．
【点评】本题考查扇形统计图、统计表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
28．如图，物体AB在墙上的影子长A′B′是AB长的5倍．已知光源O到墙的距离是20m，求物体AB与光源O的距离．
【考点】平行投影．
【专题】投影与视图；运算能力；推理能力．
【答案】物体AB与光源O的距离为4m．
【分析】过点O作ON⊥A′B′于点N，由AB∥A′B′知ON⊥AB且△OAB∽△OA′B′，据此得出，即，求出OM的长度即可得出答案．
【解答】解：如图，过点O作ON⊥A′B′于点N，
∵AB∥A′B′，
∴ON⊥AB，且△OAB∽△OA′B′，
∴，即，
解得OM＝4，
答：物体AB与光源O的距离为4m．
【点评】本题主要考查平行投影，解题的关键是根据平行投影的性质得出两个三角形相似．
29．小华看一本70页的书，已经看了19页，看了的页数占全书的几分之几？没看的页数占全书的几分之几？
【考点】分数混合运算的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】看了的页数占全书的，
没看的页数占全书．
【分析】根据“一本70页的书，已经看了19页”列式计算即可．
【解答】解：看了的页数占全书的，
没看的页数占全书．
【点评】本题考查分数的应用，解题的关键是读懂题意，列出算式．
30．如图，小明用一张正方形纸片剪出两个宽都是5cm的长条，如果其中一个长条的面积是另一个长条的1.2倍，求原来正方形纸片的边长．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】几何图形问题；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】30cm．
【分析】设小长条的长为x cm，则原来正方形的边长为（x+5）cm，然后计算两个长条的面积，再利用面积关系列出方程求x，即可求出原正方形的边长．
【解答】解：设小长条的长为x cm，则原来正方形的边长为（x+5）cm，
∴小长条的面积为：5x cm2，大长条的面积为：5（x+5）cm2，
∵其中一个长条的面积是另一个长条的1.2倍，
∴1.2×5x＝5（x+5），
解得：x＝25，
∴原来正方形纸片的边长为x+5＝25+5＝30cm．
故原来正方形纸片的边长为30cm．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，找到两个长条的边长关系是解题的关键．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
3．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
4．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
5．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
6．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
7．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
8．点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看
点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看
点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
9．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
10．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
11．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
12．几何变换综合题
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．
13．平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
14．加法原理与乘法原理
加法原理与乘法原理．
加法原理：做一件事情完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的办法．
乘法原理：做一件事完成它可分成n步，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1 m2 … mn种不同的方法．
15．质数（素数）
质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．
16．分数的认识
1．初步认识分数、理解几分之一的含义；会读写几分之一、会比较简单的几分之一的大小．2．通过观察、操作、比较、推理、交流等活动经历几分之一的认识过程，体会几分之一的含义．
17．真分数、假分数和带分数
1、真分数：分子比分母小的分数．2、假分数：分子大于或者等于分母的分数．3、带分数：一个正整数与一个真分数相加所成的数．4、真分数一定小于1；假分数大于或等于1；带分数一定大于1．带分数一定大于它的整数部分，小于它的整数+1．
18．倒数的认识
若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在．特殊1和0的倒数：1的倒数是1；0没有倒数．
19．分数的互化
分数的互化是指带分数与假分数之间的互化．把带分数的整数部分乘上分母再加上分子就是假分数．
20．分数的混合运算
分数的混合运算可以分为这样2种：一种是同级运算，只包括加减或者是只有乘除的混合运算，像这样的混合运算，自然是从左往右算；一种是异级运算，加减乘除同时存在，甚至是包括小括号的，而像这样的运算自然是先算高级，再算低级，也就是没有括号的时候，先算乘除，后算加减，如果有括号先算括号．而混合运算，其实是建立在四则运算的每一个单项里，也就是分数加、减、乘、除分别怎么算．
21．分数混合运算的应用
分数的混合运算的应用包括两个部分的内容，第一是对整个应用题目信息的提取和分析得出计算的方法和分析的结果，其次是在计算的过程当中需要如何进行简便快速的运算，那么也是大家需要掌握的第二个重点问题．
22．小数的运算
在一个算式中，含有加、减、乘、除四种运算中两种或两种以上运算的，称为四则运算．运算中的数字是小数时叫做小数四则运算．法则 同级运算时，从左到右依次计算；两级运算时，先算乘除，再算加减．
23．比的应用
1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或者几个数量是多少？2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或者几个数量是多少？
24．比例尺
“比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．公式为：比例尺＝图上距离与实际距离的比．”
25．百分数的互化
1．百分比化成数值：百分比要换成数值就是把数直接除以100，如10%＝10÷100＝0.1.2．数值化成百分比：数值要加个百分比单位，就是把数值乘以100，如0.2＝0.2x100%＝20%．百分数通常不写成分数的形式，而采用百分号（%）来表示，如41%，1%等．
26．百分数的应用
超市卖货中的打折（折扣）问题，如一件上衣400元，现八折（80%）出售．成数问题，如这次小麦收成是上次的二成（20%）．事物配制问题：如水占8伤，药占水的20%等．
27．圆的面积
圆面积是指圆形所占的平面空间大小，常用S表示．圆是一种规则的平面几何图形，其计算方法有很多种，比较常见的是开普勒的求解方法，卡瓦利里的求解方法等．圆的面积就是：圆的半径（r）的平方乘以π．
28．圆柱的体积
圆柱体积公式是用于计算圆柱体体积的公式，表达式为V＝π*r2*h．
29．圆锥的体积
一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积．一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的三分之一，V圆锥＝1/3Sh（S为圆锥的底面积，h为圆锥的高），圆锥底面积S＝πR2（R为圆锥底面圆的半径．
30．扇形统计图
扇形统计图的特点：圆的面积表示总数，用圆内扇形的面积表示占圆的面积的百分比．扇形统计图的作用：可以从图中清楚的看出各部分占整体的百分比以及部分与部分之间的关系．
2024—2025学年上学期河北初中数学七年级开学模拟试卷2
一．填空题（共10小题，满分23分）
1．（2分）把5克盐放入100克水中，盐水的含盐率是5%． （判断对错）
2．（4分）用百分数表示：0.314＝ ．
3．（2分）在1﹣20的正整数中（含1，20），与8互素的有 ．
4．（2分）有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，乙再单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比 ．
5．（3分）在比例尺是1：20000000的地图上，量得A地到B地的距离是4.5厘米，如果画在比例尺是1：30000000的地图上，A地到B地的距离是 厘米．
6．（2分）如图，把底面周长18.84cm、高10cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．长方体的长是 cm，体积是 cm3．
7．（2分）如图，把A，B，C，D，E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图一共有 种不同的着色方法．
8．（2分）某圆柱与圆锥的底面积相同，高的比为1：4，圆柱的体积为12立方厘米，则圆锥的体积为 立方厘米．
9．（2分）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑩个图形中实心圆点的个数为 ．
10．（2分）小明利用棱长为1的一些小立方体，用强力胶粘贴在一起来做内空的长方体积木模型：
（1）如图棱长为3的立方体积木模型，至少需要 个小立方体；
（2）若做一个长宽高为7，6，5的长方体积木模型，则至少需要 个小立方体．
二．填空题（共5小题，满分5分，每小题1分）
11．（1分）假分数的倒数一定小于1． （判断对错）
12．（1分）如果向东走2km记作+2km，那么向西走8km记作 km．
13．（1分）水结成冰后体积增加，那么冰化成水后，体积减少． （判断对错）
14．（1分）如图，OA＝4cm，阴影部分面积是 cm2．（结果保留π）
15．（1分）一个圆柱的体积是一个圆锥体积的3倍，那么它们一定等高． （判断对错）
三．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分）
16．（1分）孔子出生于公元前551年，可用﹣551年表示，若小明出生于公元2019年，则孔子比小明早出生的年数为（ ）
A．﹣2019 B．﹣551 C．1468 D．2570
17．（1分）一个圆柱体，底面半径增加到原来的3倍，而高度不变，则变化后的圆柱体的体积是原来圆柱体体积的（ ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．9倍
18．（1分）下面各数，在读数时一个“零”也不读的是（ ）
A．620080000 B．35009000 C．700200600 D．80500000
19．（1分）对于底面积相等，高也相等的正方体、圆柱体和圆锥体，下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的体积是圆柱体积的3倍
B．圆柱的体积比正方体的体积小一些
C．圆锥的体积是正方体体积的
D．以上说法都不对
20．（1分）某货运公司用汽车运一批货物，第一次运走总数的40%，而第二次运走78吨，还剩下36吨，则这批货物共有（ ）
A．180吨 B．190吨 C．200吨 D．210吨
四．解答题（共3小题）
21．直接写出得数：
0.15+0.25＝ ；
；
；
100﹣0.89＝ ；
；
1﹣1÷5＝ ；
；
．
22．在2022年“全民读书周”中，衢州市新华书店推出“券礼优惠”活动．
小柯领了四种优惠券各一张，选购了3本书，标价分别为100元，43元，a元．为享受最大优惠，小柯付款时打算采取两次结算，刚好把四张券用完．
【任务1】若a＝67，付款方法及金额如下：
方法 金额
A （100+43）×0.6﹣30＝55.8（元），67×0.7﹣20＝26.9（元），合计82.7元.
B （43+67）×0.6﹣30＝36（元），100×0.7﹣20＝50（元），合计86元.
C
（1）请计算方法C的金额，并说明哪种付款方法最优惠．
【任务2】
（2）若a大于43，当最优惠的付款金额为88.1元时，请列方程求出a的值．
（3）若a＝40，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额．
23．解下列方程：
（1）2x+3（2x﹣1）＝15﹣2（x+2）；
（2）x1．
五．解答题（共1小题）
24．【操作发现】
如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C'，连接BB'；
（2）求∠AB'B的度数；
【问题解决】
如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB，PC＝1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；
【灵活运用】
如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA，BP，PC＝1，求∠BPC的度数．
六．解答题（共2小题）
25．已知：如图，AP：PB＝1：k，BQ：QC＝m：1，求△AOC和△ABC的面积比．
26．将一个长为a，宽为b的长方形绕任意一边旋转一周得到一个几何体，用含a，b的代数式表示这个几何体的体积．
七．解答题（共4小题）
27．某校随机抽取部分学生就“你是否喜欢网课”进行问卷调查，并将调查结果进行统计后，绘制成如下的统计表和扇形统计图．
态度 非常喜欢 喜欢 一般 不喜欢
人数 90 b 30 10
百分比 a 35% 20%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）该校随机抽取了 名同学进行问卷调查；
（2）求出a、b的值；
（3）求在扇形统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角的度数．
28．如图，物体AB在墙上的影子长A′B′是AB长的5倍．已知光源O到墙的距离是20m，求物体AB与光源O的距离．
29．小华看一本70页的书，已经看了19页，看了的页数占全书的几分之几？没看的页数占全书的几分之几？
30．如图，小明用一张正方形纸片剪出两个宽都是5cm的长条，如果其中一个长条的面积是另一个长条的1.2倍，求原来正方形纸片的边长．
2024—2025学年上学期河北初中数学七年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题，满分23分）
1．（2分）把5克盐放入100克水中，盐水的含盐率是5%． × （判断对错）
【考点】百分数的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】×．
【分析】根据含盐率等于盐的质量除以盐水质量再乘100%列式计算可得答案．
【解答】解：盐水的含盐率是100%≈4.76%，
故答案为：×．
【点评】本题考查百分数的应用，解题的关键是掌握含盐率等于盐的质量除以盐水质量再乘100%．
2．（4分）用百分数表示：0.314＝ ．
【考点】百分数的互化．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】先把小数写成分数，再进行约分即可．
【解答】解：0.314．
故答案为：．
【点评】本题考查了小数与分数的互化，掌握小数与分数的互化是解答本题的关键．
3．（2分）在1﹣20的正整数中（含1，20），与8互素的有 1，2，3，5，7，9，11，15，13，17，19 ．
【考点】质数（素数）．
【专题】实数；推理能力．
【答案】1，2，3，5，7，9，11，13，15，17，19．
【分析】依据题意，根据互素的概念即可判断得解．
【解答】解：由题意，根据互素的概念可得，
在1﹣20的正整数中（含1，20），与8互素的有：1，2，3，5，7，9，11，13，15，17，19．
故答案为：1，2，3，5，7，9，11，13，15，17，19．
【点评】本题主要考查了素数的概念，解题时要熟练掌握并理解是关键．
4．（2分）有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，乙再单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比 ．
【考点】比的应用；分数混合运算的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】先设甲单独工作x天可以完成工程，乙单独工作y天可以完成工程，再根据数量关系列式进行计算即可．
【解答】解：设甲单独工作x天可以完成工程，乙单独工作y天可以完成工程，
，
作差得，
则，
故甲的工作效率是乙工作效率的倍．
故答案为：．
【点评】本题考查比的应用和分数混合运算的应用，能够读懂题意，理解题意是解题的关键．
5．（3分）在比例尺是1：20000000的地图上，量得A地到B地的距离是4.5厘米，如果画在比例尺是1：30000000的地图上，A地到B地的距离是 3 厘米．
【考点】比例尺．
【专题】实数；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据比例尺求出A地到B地的实际距离，再根据比例尺1：30000000求出A、B两地的图上距离即可．
【解答】解：∵在比例尺是1：20000000的地图上，量得A地到B地的距离是4.5厘米，
∴A地到B地的实际距离是：
4.590000000（cm），
∴画在比例尺是1：30000000的地图上，A地到B地的距离是：
900000003（cm）．
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例尺，能熟记比例尺100%是解此题的关键．
6．（2分）如图，把底面周长18.84cm、高10cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．长方体的长是 9.42 cm，体积是 282.6 cm3．
【考点】截一个几何体；展开图折叠成几何体．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】9.42；282.6．
【分析】由图形可得圆柱的底面周长等于长方体的两条长之和，再根据体积公式即可得出答案．
【解答】解：长方体的长为18.84÷2＝9.42（cm），
长方体的体积为3.14×（18.84÷3.14÷2）2×10
＝3.14×9×10
＝282.6（cm3），
故答案为：9.42；282.6．
【点评】本题主要考查截一个几何体，由图形可得圆柱的底面周长等于长方体的两条长之和是解题的关键．
7．（2分）如图，把A，B，C，D，E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图一共有 96 种不同的着色方法．
【考点】加法原理与乘法原理．
【专题】分类讨论；运算能力；推理能力．
【答案】96．
【分析】首先分析至少需要几种颜色，显然至少需要三种，然后分情况讨论：（1）若用三种颜色，则A、B、C三块就必须用三种且必有A、D同色，B、E同色，对于A、B、C三块，首先从4种颜色选择3种，有4种选法，然后自由涂色，有6种涂法，然后对于剩余两块涂法是固定的，即这种情况下，有24种涂法，算式为4×6＝24；（2）若用4种颜色，则A，B，C三块仍然需要三种颜色，且可任意涂色，但此时，对于D（不妨分析D，E也是同理），有两种涂法：①D仍与A同色，此时，对于最后一块E有两种涂法，这时共有涂法48种，算式为4×6×2＝48；②D与A不同色，则D为第四种颜色，易知E只能与A同色，此时共有涂法24种，算式为4×6×＝24．综上所述，共有涂法24+48+24＝96种．
【解答】解：用三种颜色，有4×6×1＝24（种）；
若用4种颜色，有两种涂法：
①D仍与A同色，有4×6×2＝48（种）；
②D与A不同色，有4×6×1＝24（种）．
综上所述，共有涂法24+48+24＝96（种）．
故答案为：96．
【点评】本题主要考查加法原理与乘法原理．加法原理：做一件事情完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法， 在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+ +mn种不同的办法．乘法原理：做一件事完成它可分成n步，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法， m1 m2 mn做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1 m2 … mn种不同的方法．
8．（2分）某圆柱与圆锥的底面积相同，高的比为1：4，圆柱的体积为12立方厘米，则圆锥的体积为 16 立方厘米．
【考点】圆锥的体积；圆柱的体积．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】16．
【分析】设圆柱的高为h厘米，则圆锥的高为4h厘米，利用圆柱的体积公式求出底面积，再利用圆锥的体积公式即可得解．
【解答】解：设圆柱的高为h厘米，则圆锥的高为4h厘米．
因为圆柱的体积为12立方厘米，
所以该圆柱的底面积为平方厘米．
又因为圆柱与圆锥的底面积相同，
所以圆锥的体积为（立方厘米）．
故答案为：16．
【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活运用，解题的关键是利用设参法设出圆柱、圆锥的高．
9．（2分）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑩个图形中实心圆点的个数为 32 ．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】实数；推理能力．
【答案】32．
【分析】根据题意可得第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，由此发现规律，即可求解．
【解答】解：根据题意得：
第①个图形一共有5＝（3+2）个实心圆点，
第②个图形一共有8＝（3×2+2）个实心圆点，
第③个图形一共有11＝（3×3+2）个实心圆点，
…，
由此发现规律，第n个图形中实心圆点的个数为（3n+2）个实心圆点，
第⑩个图形中实心圆点的个数为3×10+2＝32个实心圆点．
故答案为：32．
【点评】本题主要查了图形类规律题，解题的关键是得到第n个图形中实心圆点的个数为（3n+2）个实心圆点．
10．（2分）小明利用棱长为1的一些小立方体，用强力胶粘贴在一起来做内空的长方体积木模型：
（1）如图棱长为3的立方体积木模型，至少需要 26 个小立方体；
（2）若做一个长宽高为7，6，5的长方体积木模型，则至少需要 150． 个小立方体．
【考点】认识立体图形．
【专题】展开与折叠；运算能力．
【答案】（1）26；
（2）150．
【分析】（1）根据正方体找到规律计算求解；
（2）根据（1）中的规律求解．
【解答】解：（1）33﹣1＝26．
故答案为：26；
（2）7×6×5﹣（7﹣2）×（6﹣2）×（5﹣2）
＝210﹣60
＝150．
故答案为：150．
【点评】本题考查了立体图形，掌握空间想象力是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分5分，每小题1分）
11．（1分）假分数的倒数一定小于1． × （判断对错）
【考点】倒数的认识；分数的认识；真分数、假分数和带分数．
【专题】实数；数感．
【答案】×．
【分析】由倒数的定义，即可得到答案．
【解答】解：当假分数的分子与分母相等时，假分数的倒数等于1，
∴假分数的倒数一定小于1，这个说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题考查倒数的认识，分数的认识，真分数，假分数，带分数，关键是掌握倒数的定义．
12．（1分）如果向东走2km记作+2km，那么向西走8km记作 ﹣8 km．
【考点】正数和负数．
【专题】实数；数感；符号意识．
【答案】﹣8．
【分析】根据正数与负数表示的意义可直接求解．
【解答】解：向东走2km记作+2km，
则向西走8km记作﹣8km．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．
13．（1分）水结成冰后体积增加，那么冰化成水后，体积减少． √ （判断对错）
【考点】分数混合运算的应用；分数的互化．
【专题】整体思想；运算能力．
【答案】√．
【分析】根据“水结成冰后，体积增加，把水的体积看作单位“1”，得出冰的体积对应的分率，要求冰化成水后体积减少几分之几，是把冰的体积看作单位“1”，先求出减少的部分，再求出减少的分率．
【解答】解：把水的体积看作单位“1”，
冰的体积对应的分率：1，
冰化成水后体积减少：
（1），
答：冰化成水后体积减少，
故答案为：√．
【点评】本题考查分数混合运算的应用，解题的关键是设单位1．
14．（1分）如图，OA＝4cm，阴影部分面积是 4π cm2．（结果保留π）
【考点】圆的面积．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】4π．
【分析】先算半圆，再算阴影部分面积．
【解答】解：半圆面积为π×42＝8π．
空白圆的面积为π×（4÷2）2＝4π．
∴阴影部分面积为8π﹣4π＝4π（cm2）．
故答案为：4π．
【点评】本题考查图形面积的计算，先算半圆面积，再算小圆面积，是求解本题的关键．
15．（1分）一个圆柱的体积是一个圆锥体积的3倍，那么它们一定等高． × （判断对错）
【考点】圆锥的体积；圆柱的体积．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】×．
【分析】根据圆柱的体积和圆锥的体积公式即可得出答案．
【解答】解：因为圆柱和圆锥的底面积的大小关系不确定，
所以它们的高不一定相等，
故答案为：×．
【点评】本题考查了圆柱的体积和圆锥的体积，熟记圆柱的体积和圆锥的体积公式是解题关键．
三．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分）
16．（1分）孔子出生于公元前551年，可用﹣551年表示，若小明出生于公元2019年，则孔子比小明早出生的年数为（ ）
A．﹣2019 B．﹣551 C．1468 D．2570
【考点】正数和负数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正数与负数的意义列式计算可求解．
【解答】解：2019﹣（﹣551）＝2019+551＝2570，
答：孔子比小明早出生的年数为2570，
故选：D．
【点评】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．
17．（1分）一个圆柱体，底面半径增加到原来的3倍，而高度不变，则变化后的圆柱体的体积是原来圆柱体体积的（ ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．9倍
【考点】圆柱的体积．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】D
【分析】根据的体积公式：v＝sh，圆柱的体积是由它的底面积和高两个条件决定的，圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，它的底面积就扩大9倍，则得出变化后的圆柱体体积与原来圆柱体体积的关系．
【解答】解：设原来圆柱体积是v＝sh，
∵底面半径增加到原来的3倍，
∴它的底面积就扩大9倍，
∴变化后的圆柱体体积为：v＝9s×h＝9sh，
∴变化后的圆柱体体积是原来圆柱体体积的9倍．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，此题考查的目的是掌握圆柱的体积公式，以及积的变化规律是解题关键．
18．（1分）下面各数，在读数时一个“零”也不读的是（ ）
A．620080000 B．35009000 C．700200600 D．80500000
【考点】数学常识．
【专题】实数；推理能力．
【答案】B
【分析】根据数的读法对题目中给出的四个数逐一进行判断即可得出答案．
【解答】解：620080000读作六亿二千零八万；
35009000读作三千五百万九千；
700200600读作七亿零二十万零六百；
80500000读作八千零五十万．
故选：B．
【点评】此题主要考查了数的读法，熟练掌握数的读法是解答此题的关键．
19．（1分）对于底面积相等，高也相等的正方体、圆柱体和圆锥体，下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的体积是圆柱体积的3倍
B．圆柱的体积比正方体的体积小一些
C．圆锥的体积是正方体体积的
D．以上说法都不对
【考点】圆锥的体积；圆柱的体积．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】C
【分析】根据正方体的体积公式：V＝sh，圆柱的体积公式：V＝sh，圆锥的体积公式：Vsh，如果正方体和圆柱的底面积相等、高也相等，那么正方体和圆柱的体积相等，如果圆锥和圆柱的底面积相等、高也相等，那么圆锥的体积是圆柱体积的，据此解答．
【解答】解：正方体、圆柱体和圆锥体的底面积相等，高也相等，正方体和圆柱的体积就相等，圆锥的体积是圆柱体积（正方体体积）的，
故选：C．
【点评】此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥体积之间关系的灵活运用．解题的关键是牢记各种几何体的体积公式，难度不大．
20．（1分）某货运公司用汽车运一批货物，第一次运走总数的40%，而第二次运走78吨，还剩下36吨，则这批货物共有（ ）
A．180吨 B．190吨 C．200吨 D．210吨
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设这批货物共有x吨，根据第一次运走的货物+第二次运走的货物+36＝货物总数，列出方程，求出x的值即可得出答案．
【解答】解：设这批货物共有x吨，根据题意得：
40%x+78+36＝x，
解得：x＝190，
即：这批货物共有190吨．
故选：B．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出题目中的数量关系，列出方程是解题的关键，本题的等量关系是：第一次运走的货物+第二次运走的货物+剩下的货物＝货物总数．
四．解答题（共3小题）
21．直接写出得数：
0.15+0.25＝ 0.4 ；
1 ；
；
100﹣0.89＝ 99.11 ；
；
1﹣1÷5＝ ；
；
1 ．
【考点】分数的混合运算；小数的运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】0.4；1；；99.11；；；；1．
【分析】根据小数和分数加减乘除法运算的计算法则计算即可求解．
【解答】解：0.15+0.25＝0.4；
1；
；
100﹣0.89＝99.11；
；
1﹣1÷5；
；
1．
【点评】本题考查了小数和分数加减乘除法运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
22．在2022年“全民读书周”中，衢州市新华书店推出“券礼优惠”活动．
小柯领了四种优惠券各一张，选购了3本书，标价分别为100元，43元，a元．为享受最大优惠，小柯付款时打算采取两次结算，刚好把四张券用完．
【任务1】若a＝67，付款方法及金额如下：
方法 金额
A （100+43）×0.6﹣30＝55.8（元），67×0.7﹣20＝26.9（元），合计82.7元.
B （43+67）×0.6﹣30＝36（元），100×0.7﹣20＝50（元），合计86元.
C
（1）请计算方法C的金额，并说明哪种付款方法最优惠．
【任务2】
（2）若a大于43，当最优惠的付款金额为88.1元时，请列方程求出a的值．
（3）若a＝40，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额．
【考点】小数的运算．
【专题】方案型；实数；运算能力．
【答案】（1）方法C的金额为80.3元，方法C最优惠．
（2）a＝80．
（3）将标价为100元和40元的书一起付款，标价为43元的书单独付款最优惠，付款金额为64.1元．
【分析】（1）由另一种付款方式为“标价为100元和67元的书组合用6折优惠券和折后减30元优惠券，标价为43元的书用7折优惠券和折后减20元优惠券”，列式计算，再比较即可得到答案．
（2）结合（1）得到最优惠的付款方法可列出方程，求解即可．
（3）由为40元的书不能单独结算，可分三种方式结算，分别算出总共费用再比较即可．
【解答】解：（1）方法C：（100+67）×0.6﹣30＝70.2（元），43×0.7﹣20＝10.1（元），合计80.3元，
∵80.3＜82.7＜86，
∴方法C最优惠．
（2）若a大于43，
由题意得（100+a）×0.6﹣30+（43×0.7﹣20）＝88.1，
解得：a＝80．
（3）方法1：（100+40）×0.6﹣30+43×0.7﹣20＝64.1（元），
方法2：（43+40）×0.6﹣20+100×0.7﹣30＝69.8（元），
方法3：（43+40）×0.7﹣20+100×0.6﹣30＝68.1（元），
∵64.1＜68.1＜69.8，
∴将标价为100元和40元的书一起付款，标价为43元的书单独付款最优惠，付款金额为64.1元．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，本题属于方案选择题型，解题关键是根据题意正确列式计算，并通过比较的大小确定最优惠的方法．
23．解下列方程：
（1）2x+3（2x﹣1）＝15﹣2（x+2）；
（2）x1．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x；（2）x＝﹣3．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：（1）去括号，得：2x+6x﹣3＝15﹣2x﹣4，
移项，得：2x+6x+2x＝15﹣4+3，
合并同类项，得：10x＝14，
化系数为1，得：x．
（2）去分母，得：4x﹣（x﹣1）＝4﹣2（3﹣x），
去括号，得：4x﹣x+1＝4﹣6+2x，
移项，得：4x﹣x﹣2x＝4﹣6﹣1，
合并同类项，得：x＝﹣3．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
五．解答题（共1小题）
24．【操作发现】
如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C'，连接BB'；
（2）求∠AB'B的度数；
【问题解决】
如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB，PC＝1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；
【灵活运用】
如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA，BP，PC＝1，求∠BPC的度数．
【考点】几何变换综合题．
【专题】作图题；综合题；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）45°；
（2）150°；；
（3）135°．
【分析】（1）只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ABC＝60°，根据旋转的性质得到AP'＝CP＝1，BP'＝BP，∠PBC＝∠P'BA，∠AP'B＝∠BPC，推出△BPP'是等边三角形，得到PP'，∠BP'P＝60°．根据勾股定理的逆定理得到△PP'A是直角三角形，于是得到结论；
（3）仿照（2）中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A，然后连接PP′，根据旋转的性质结合勾股定理的逆定理可得△AP′P是直角三角形，可得从而得出结论．
【解答】解：（1）如图1，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，
∴∠AB′B＝45°；
故答案为：45°；
（2）如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△ABP'，
∴AP'＝CP＝1，BP'＝BP，∠PBC＝∠P'BA，∠AP'B＝∠BPC，
又∵∠PBP'＝60°，
∴△BPP'是等边三角形，
∴PP'，∠BP'P＝60°．
∵AP'＝1，AP＝2，
∴AP′2+PP′2＝12+（）2＝4，AP2＝22＝4，
∴AP'2+PP'2＝AP2，
∴∠AP'P＝90°，则△PP'A是直角三角形，
∴∠BPC＝∠AP'B＝∠AP'P+∠PBP'＝90°+60°＝150°；
过点B作BM⊥AP′延长线于点M，
∴∠M′PB＝30°，BM，
根据勾股定理，得P′M，
∴AM＝1，
∴AB．
（3）如图3，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
则BP′＝BP，∠PBP′＝90°，
故PP′2，∠BP′P＝∠BPP′＝45°，
∵PA，P′P＝2，PC＝AP′＝1，
∴P′P2+AP′2＝PA2，
∴△AP′P是直角三角形，
∴∠AP′B＝∠BPC＝45°+90°＝135°，
即∠BPC＝135°．
【点评】本题考查几何变换综合题、旋转的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．
六．解答题（共2小题）
25．已知：如图，AP：PB＝1：k，BQ：QC＝m：1，求△AOC和△ABC的面积比．
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】过P点作PH∥BC交AQ于H点，如图，根据平行线分线段成比例定理，由PH∥BQ得到，由于BQ：QC＝m：1，则，再由PH∥CQ得到，利用比例的性质得到，则根据三角形面积公式得到，即S△AOCS△APC，接着利用AP：PB＝1：k得到，根据三角形面积公式得到，则S△APCS△ABC，所以S△AOCS△ABC．
【解答】解：过P点作PH∥BC交AQ于H点，如图，
∵PH∥BQ，
∴，
∵AP：PB＝1：k，
∴，
∵BQ：QC＝m：1，
∴BQ＝mQC，
∴，
即，
∵PH∥CQ，
∴，
∴，
即，
∴，
即S△AOCS△APC，
∵AP：PB＝1：k，
∴，
∴，
即S△APCS△ABC，
∴S△AOC S△ABCS△ABC，
∴．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S底×高．也考查了平行线分线段成比例定理和比例的性质．
26．将一个长为a，宽为b的长方形绕任意一边旋转一周得到一个几何体，用含a，b的代数式表示这个几何体的体积．
【考点】点、线、面、体；列代数式．
【专题】几何图形；几何直观．
【答案】这个几何体的体积为πb2a或πa2b．
【分析】利用圆柱的体积公式进行分析即可，注意分类讨论．
【解答】解：绕长为a的一边旋转时，这个几何体的体积为：V＝πb2a；
绕长为b的一边旋转时，这个几何体的体积为：V＝πa2b；
综上分析可知，这个几何体的体积为πb2a或πa2b．
【点评】本题主要考查了列代数式，解题的关键是熟练掌握圆柱的体积公式，注意分类讨论．
七．解答题（共4小题）
27．某校随机抽取部分学生就“你是否喜欢网课”进行问卷调查，并将调查结果进行统计后，绘制成如下的统计表和扇形统计图．
态度 非常喜欢 喜欢 一般 不喜欢
人数 90 b 30 10
百分比 a 35% 20%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）该校随机抽取了 200 名同学进行问卷调查；
（2）求出a、b的值；
（3）求在扇形统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角的度数．
【考点】扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）200；（2）45%，70；（3）126°．
【分析】（1）由“一般”、“不喜欢”的人数和及其所占百分比可得总人数；
（2）“非常喜欢”的人数除以总人数可得a，总人数乘以“喜欢”对应的百分比可得b；
（3）用360°乘以“喜欢”对应的百分比即可．
【解答】解：（1）该校随机抽取的学生人数为（30+10）÷20%＝200（名），
故答案为：200；
（2）a＝90÷200×100%＝45%，b＝200×35%＝70；
（3）扇形统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角的度数为360°×35%＝126°．
【点评】本题考查扇形统计图、统计表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
28．如图，物体AB在墙上的影子长A′B′是AB长的5倍．已知光源O到墙的距离是20m，求物体AB与光源O的距离．
【考点】平行投影．
【专题】投影与视图；运算能力；推理能力．
【答案】物体AB与光源O的距离为4m．
【分析】过点O作ON⊥A′B′于点N，由AB∥A′B′知ON⊥AB且△OAB∽△OA′B′，据此得出，即，求出OM的长度即可得出答案．
【解答】解：如图，过点O作ON⊥A′B′于点N，
∵AB∥A′B′，
∴ON⊥AB，且△OAB∽△OA′B′，
∴，即，
解得OM＝4，
答：物体AB与光源O的距离为4m．
【点评】本题主要考查平行投影，解题的关键是根据平行投影的性质得出两个三角形相似．
29．小华看一本70页的书，已经看了19页，看了的页数占全书的几分之几？没看的页数占全书的几分之几？
【考点】分数混合运算的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】看了的页数占全书的，
没看的页数占全书．
【分析】根据“一本70页的书，已经看了19页”列式计算即可．
【解答】解：看了的页数占全书的，
没看的页数占全书．
【点评】本题考查分数的应用，解题的关键是读懂题意，列出算式．
30．如图，小明用一张正方形纸片剪出两个宽都是5cm的长条，如果其中一个长条的面积是另一个长条的1.2倍，求原来正方形纸片的边长．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】几何图形问题；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】30cm．
【分析】设小长条的长为x cm，则原来正方形的边长为（x+5）cm，然后计算两个长条的面积，再利用面积关系列出方程求x，即可求出原正方形的边长．
【解答】解：设小长条的长为x cm，则原来正方形的边长为（x+5）cm，
∴小长条的面积为：5x cm2，大长条的面积为：5（x+5）cm2，
∵其中一个长条的面积是另一个长条的1.2倍，
∴1.2×5x＝5（x+5），
解得：x＝25，
∴原来正方形纸片的边长为x+5＝25+5＝30cm．
故原来正方形纸片的边长为30cm．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，找到两个长条的边长关系是解题的关键．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
3．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
4．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
5．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
6．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
7．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
8．点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看
点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看
点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
9．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
10．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
11．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
12．几何变换综合题
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．
13．平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
14．加法原理与乘法原理
加法原理与乘法原理．
加法原理：做一件事情完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的办法．
乘法原理：做一件事完成它可分成n步，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1 m2 … mn种不同的方法．
15．质数（素数）
质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．
16．分数的认识
1．初步认识分数、理解几分之一的含义；会读写几分之一、会比较简单的几分之一的大小．2．通过观察、操作、比较、推理、交流等活动经历几分之一的认识过程，体会几分之一的含义．
17．真分数、假分数和带分数
1、真分数：分子比分母小的分数．2、假分数：分子大于或者等于分母的分数．3、带分数：一个正整数与一个真分数相加所成的数．4、真分数一定小于1；假分数大于或等于1；带分数一定大于1．带分数一定大于它的整数部分，小于它的整数+1．
18．倒数的认识
若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在．特殊1和0的倒数：1的倒数是1；0没有倒数．
19．分数的互化
分数的互化是指带分数与假分数之间的互化．把带分数的整数部分乘上分母再加上分子就是假分数．
20．分数的混合运算
分数的混合运算可以分为这样2种：一种是同级运算，只包括加减或者是只有乘除的混合运算，像这样的混合运算，自然是从左往右算；一种是异级运算，加减乘除同时存在，甚至是包括小括号的，而像这样的运算自然是先算高级，再算低级，也就是没有括号的时候，先算乘除，后算加减，如果有括号先算括号．而混合运算，其实是建立在四则运算的每一个单项里，也就是分数加、减、乘、除分别怎么算．
21．分数混合运算的应用
分数的混合运算的应用包括两个部分的内容，第一是对整个应用题目信息的提取和分析得出计算的方法和分析的结果，其次是在计算的过程当中需要如何进行简便快速的运算，那么也是大家需要掌握的第二个重点问题．
22．小数的运算
在一个算式中，含有加、减、乘、除四种运算中两种或两种以上运算的，称为四则运算．运算中的数字是小数时叫做小数四则运算．法则 同级运算时，从左到右依次计算；两级运算时，先算乘除，再算加减．
23．比的应用
1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或者几个数量是多少？2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或者几个数量是多少？
24．比例尺
“比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．公式为：比例尺＝图上距离与实际距离的比．”
25．百分数的互化
1．百分比化成数值：百分比要换成数值就是把数直接除以100，如10%＝10÷100＝0.1.2．数值化成百分比：数值要加个百分比单位，就是把数值乘以100，如0.2＝0.2x100%＝20%．百分数通常不写成分数的形式，而采用百分号（%）来表示，如41%，1%等．
26．百分数的应用
超市卖货中的打折（折扣）问题，如一件上衣400元，现八折（80%）出售．成数问题，如这次小麦收成是上次的二成（20%）．事物配制问题：如水占8伤，药占水的20%等．
27．圆的面积
圆面积是指圆形所占的平面空间大小，常用S表示．圆是一种规则的平面几何图形，其计算方法有很多种，比较常见的是开普勒的求解方法，卡瓦利里的求解方法等．圆的面积就是：圆的半径（r）的平方乘以π．
28．圆柱的体积
圆柱体积公式是用于计算圆柱体体积的公式，表达式为V＝π*r2*h．
29．圆锥的体积
一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积．一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的三分之一，V圆锥＝1/3Sh（S为圆锥的底面积，h为圆锥的高），圆锥底面积S＝πR2（R为圆锥底面圆的半径．
30．扇形统计图
扇形统计图的特点：圆的面积表示总数，用圆内扇形的面积表示占圆的面积的百分比．扇形统计图的作用：可以从图中清楚的看出各部分占整体的百分比以及部分与部分之间的关系．
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