2024—2025学年上学期河南初中数学七年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期河南初中数学七年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）一个数的绝对值的相反数是﹣3，这个数是（　　）
A．+3 B．﹣3
C．+3或﹣3 D．任何有理数
3．（3分）2022年宁波舟山港完成货物吞吐量超12.5亿吨，连续14年位居全球第一．其中12.5亿用科学记数法表示为（　　）
A．12.5×108 B．1.25×109 C．0.125×109 D．1.25×108
4．（3分）已知四个数：﹣（﹣2），（﹣2）2，﹣|﹣2|，﹣22，计算结果为负数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3分）下列各组数据，相等的是（　　）
A．﹣32与（﹣3）2 B．﹣23与（﹣2）3
C．﹣32与﹣23 D．﹣（2×3）3与﹣2×33
6．（3分）某水库的水位将80米作为标准水位，水位为85.3米记为+5.3米，则水位为76.8米应记为（　　）
A．+76.8米 B．﹣76.8米 C．+3.2米 D．﹣3.2米
7．（3分）下列说法错误的有（　　）
①绝对值是它本身的数是正数；
②最大的负整数是﹣1；
③有理数分为正有理数和负有理数；
④在数轴上7与9之间的有理数是8；
⑤数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）已知|m|＝3，|n|＝5，且|m+n|＝m+n，则m﹣n的值是（　　）
A．﹣8 B．﹣2 C．﹣2或﹣8 D．2或﹣8
9．（3分）计算（﹣2）2结果为（　　）
A．﹣4 B．±4 C．4 D．±2
10．（3分）若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的是（　　）
A．b＞a B．|a|＞|b| C．﹣b＞﹣a D．a+b＞0
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）用四舍五入法把﹣1.8049精确到0.01为　 　．
12．（3分）某水果店盈利701元时我们记作+701元，那么亏本259元记作 　 　元．
13．（3分）若（a+1）2+|b﹣3|＝0，那么ab＝　 　．
14．（3分）某品种红提用礼盒装销售时，以每盒2.5kg基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，抽取了5盒记录数据如下：﹣0.3，+0.5，﹣0.2，+0.1，+0.3，则这5盒红提的总质量为 　 　kg．
15．（3分）观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32022的结果的个位数字是 　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）把下列各数的序号填在相应的数集内：
1，，+3.2，0，﹣6.5，+108，﹣（﹣2）2，﹣|﹣6|．
（1）正数集合{　 　…}；
（2）整数集合{　 　…}；
（3）负分数集合{　 　…}；
（4）非负整数集合{　 　…}．
17．（9分）画出数轴，在数轴上表示下列各数，用“＜”把它们连接起来并完成填空．
﹣2.3，+|﹣3|，﹣|﹣4|，﹣（+0.5），﹣（﹣1）．
（1）+|﹣3|与﹣|﹣4|的积为 　 　；
（2）﹣2.3与﹣（+0.5）的和为 　 　．
18．（9分）计算：
（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．（9分）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或﹣24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数．J、Q、K、A分别代表11、12、13、1，小明抽到了黑桃3，方块4，红桃6，梅花10，他运用下面的方法凑成了：3×{10﹣[﹣4﹣（﹣6）]}＝24．（提示数2，数3可列23＝8或32＝9）
（1）如果抽到的是红心2，黑桃3，方块3，梅花6，你能凑成24吗？
（2）如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，你能凑成24吗？
（3）如果抽到的是黑桃5，黑桃A，梅花5，方块5，你能凑成24吗？
20．（9分）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从甲村出发，晚上到达乙村，约定向东为正方向，当天的航行记录如下：（单位：千米）
﹣15，+8，﹣9，+10，+8，+9，﹣7，﹣12
（1）请确定乙村相对于甲村的具体方位．
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发地最远是多少？
（3）为了尽快抢救灾民，冲锋舟出发前就加满了油，而且在救灾过程中不再加油，若冲锋舟每千米耗油0.5升，那么该冲锋舟油箱容量至少是多少升？
21．（10分）有一系列等式：
第1个：52﹣12＝8×3；
第2个：92﹣52＝8×7；
第3个：132﹣92＝8×11；
第4个：172﹣132＝8×15；
……
（1）请写出第5个等式：　 　．
（2）请写出第n个等式，并加以验证．
（3）依据上述规律，计算：8×3+8×7+8×11+……+8×399．
22．（10分）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作|a﹣b|，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为|5﹣7|＝2，|5+7|＝|5﹣（﹣7）|表示数轴上表示数5的点与表示数﹣7的点的距离，|a﹣5|表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：
（1）若|x﹣2|＝3，则x＝　 　，|x﹣4|＝|x+2|，则x＝　 　．
（2）若|x﹣3|+|x+2|＝5，则x能取到的最小值是 　 　，最大值是 　 　．
（3）若|x﹣3|+|x+2|＝9，则x的值为多少？
23．（11分）将下列各数分别填在相应的圈内：
﹣1，1，1.2，﹣0.24，0，3，﹣5，33%
2024—2025学年上学期河南初中数学七年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【考点】倒数．
【专题】整式；数感．
【答案】B
【分析】乘积为1的两个数互为倒数．
【解答】解：1÷（）．
故选：B．
【点评】本题考查了倒数的定义，一个分数的倒数就是分子分母颠倒位置，这是解题的关键．
2．（3分）一个数的绝对值的相反数是﹣3，这个数是（　　）
A．+3 B．﹣3
C．+3或﹣3 D．任何有理数
【考点】绝对值；相反数．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】C
【分析】首先求出这个数的绝对值是3，然后根据绝对值的定义求解．
【解答】解：因为3的相反数是﹣3，而绝对值为3的数是±3．
故选：C．
【点评】本题考查绝对值和相反数的定义，熟知绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数是解题关键．
3．（3分）2022年宁波舟山港完成货物吞吐量超12.5亿吨，连续14年位居全球第一．其中12.5亿用科学记数法表示为（　　）
A．12.5×108 B．1.25×109 C．0.125×109 D．1.25×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：12.5亿＝1250000000＝1.25×109．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）已知四个数：﹣（﹣2），（﹣2）2，﹣|﹣2|，﹣22，计算结果为负数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】有理数的乘方；正数和负数；相反数；绝对值．
【专题】实数；数感；符号意识；运算能力．
【答案】B
【分析】根据相反数、有理数的乘方、绝对值的定义解决此题．
【解答】解：∵﹣（﹣2）＝2＞0，（﹣2）2＝4＞0，﹣|﹣2|＝﹣2＜0，﹣22＝﹣4＜0，
∴在﹣（﹣2），（﹣2）2，﹣|﹣2|，﹣22中负数有﹣|﹣2|、﹣22，共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查相反数、有理数的乘方、绝对值，熟练掌握相反数、有理数的乘方、绝对值的定义是解决本题的关键．
5．（3分）下列各组数据，相等的是（　　）
A．﹣32与（﹣3）2 B．﹣23与（﹣2）3
C．﹣32与﹣23 D．﹣（2×3）3与﹣2×33
【考点】有理数的乘方；有理数的乘法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方及乘法求解判断．
【解答】解：A：﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故A是错误的；
B：﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，故B是正确的；
C：﹣32＝﹣9，﹣23＝﹣8，故C是错误的；
D：﹣（2×3）3＝﹣216，﹣2×33＝﹣54，故D是错误的；
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方和乘法，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．
6．（3分）某水库的水位将80米作为标准水位，水位为85.3米记为+5.3米，则水位为76.8米应记为（　　）
A．+76.8米 B．﹣76.8米 C．+3.2米 D．﹣3.2米
【考点】正数和负数．
【专题】实数；数感；应用意识．
【答案】D
【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，水位升高5.3米记为+5.3米，那么水位下降3.2米应记为﹣3.2米．
【解答】解：因为水库的水位将80米作为标准水位，
所以水位为85.3米就是水位升高5.3米记为+5.3米，
所以水位为76.8米就是水位下降3.2米应记为﹣3.2米．
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，确定相反意义的量是解题的关键．
7．（3分）下列说法错误的有（　　）
①绝对值是它本身的数是正数；
②最大的负整数是﹣1；
③有理数分为正有理数和负有理数；
④在数轴上7与9之间的有理数是8；
⑤数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】数轴；绝对值；正数和负数；有理数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义，负整数的意义，有理数的分类和意义，数轴的特征．
【解答】解：①绝对值是它本身的数是非负数，故①错误；
②最大的负整数是﹣1，故②正确；
③有理数分为正有理数、0、负有理数，故③错误；
④在数轴上7与9之间的有理数有无数个，故④错误；
⑤a＜0时，﹣a在原点的右边，故⑤错误；
说法错误的有4个
故选：D．
【点评】本题考查了有理数、数轴、绝对值，理解相关概念是解题的关键．
8．（3分）已知|m|＝3，|n|＝5，且|m+n|＝m+n，则m﹣n的值是（　　）
A．﹣8 B．﹣2 C．﹣2或﹣8 D．2或﹣8
【考点】有理数的减法；绝对值；有理数的加法．
【专题】计算题；符号意识；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意得出m和n的值，然后得出结论即可．
【解答】解：∵|m|＝3，|n|＝5，且|m+n|＝m+n，
∴m＝3，n＝5或m＝﹣3，n＝5，
∴m﹣n的值是3﹣5＝﹣2或﹣3﹣5＝﹣8，
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的减法，熟练掌握有理数减法的计算是解题的关键．
9．（3分）计算（﹣2）2结果为（　　）
A．﹣4 B．±4 C．4 D．±2
【考点】有理数的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据乘方的意义计算即可．
【解答】解：（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘方，准确理解乘方的意义是解题的关键．
10．（3分）若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的是（　　）
A．b＞a B．|a|＞|b| C．﹣b＞﹣a D．a+b＞0
【考点】数轴；绝对值．
【专题】数与式；推理能力．
【答案】C
【分析】由数轴可知0＞a＞b，|a|＜|b|，逐一进行判断即可．
【解答】解：由数轴知：b＜a，
∴A错误，不符合题意；
由数轴知a到原点距离＜b到原点距离，
即|a|＜|b|，
∴B错误，不符合题意；
由a，b在数轴上位置，可判断出：﹣b＞﹣a，
∴C正确，符合题意；
∵b＜a＜0，
∴a+b＜0，
∴D错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴上数的特征，相反数和绝对值的意义，以及两个数大小比较，属于基础题．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）用四舍五入法把﹣1.8049精确到0.01为　﹣1.80　．
【考点】近似数和有效数字．
【专题】实数；数感．
【答案】见试题解答内容
【分析】把千分位上的数字4进行四舍五入即可．
【解答】解：﹣1.8049精确到0.01为﹣1.80．
故答案为﹣1.80．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
12．（3分）某水果店盈利701元时我们记作+701元，那么亏本259元记作 　﹣259　元．
【考点】正数和负数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】﹣259．
【分析】根据题意可知盈利用“+”表示，则亏损用“﹣”表示，即可求出正确答案．
【解答】解：∵水果店盈利701元时我们记作+701元，
∴亏本259元记作﹣259元，
故答案为：﹣259．
【点评】本题主要考查了正负数在实际问题中的含义，解题的关键在于理解题目的含义．
13．（3分）若（a+1）2+|b﹣3|＝0，那么ab＝　﹣3　．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】根据非负数的性质，可求出a、b的值，再代值计算即可求解．
【解答】解：∵（a+1）2+|b﹣3|＝0，
∴a+1＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴ab＝﹣1×3＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14．（3分）某品种红提用礼盒装销售时，以每盒2.5kg基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，抽取了5盒记录数据如下：﹣0.3，+0.5，﹣0.2，+0.1，+0.3，则这5盒红提的总质量为 　12.9　kg．
【考点】正数和负数．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】12.9．
【分析】根据正数和负数的加减得出结论即可．
【解答】解：2.5×5﹣0.3+0.5﹣0.2+0.1+0.3＝12.9（千克），
故答案为：12.9．
【点评】本题主要考查正数和负数的计算，熟练掌握正数和负数的加减计算是解题的关键．
15．（3分）观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32022的结果的个位数字是 　3　．
【考点】尾数特征；有理数的乘方．
【专题】数与式；数感．
【答案】3．
【分析】根据3n的尾数特征判断．
【解答】解：通过已知等式得：30，31，32，33个位数字之和为0；34，35，36，37个位数字之和为0，
∴30+31+32+…+32022＝（30+31+32+33）+（34+35+36+37）+...+（32016+32017+2018+32019）+32020+32021+32022，
其中每个括号里四个数的个位数字之和是0，且3n的个位数按1，3，9，7循环出现．
∴的个位数即是30+31+32的个位数，
∵1+3+9＝13，
故答案为：3．
【点评】本题考查尾数特征，抓住3n的尾数特征是求解本题的关键．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）把下列各数的序号填在相应的数集内：
1，，+3.2，0，﹣6.5，+108，﹣（﹣2）2，﹣|﹣6|．
（1）正数集合{　1，+3.2，+108，　…}；
（2）整数集合{　1，0，+108，﹣（﹣2）2，﹣|﹣6|，　…}；
（3）负分数集合{　，﹣6.5，　…}；
（4）非负整数集合{　1，0，+108，　…}．
【考点】有理数的乘方；有理数；相反数；绝对值．
【专题】实数；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）1，+3.2，+108，；（2）1，0，+108，﹣（﹣2）2，﹣|﹣6|，；（3），﹣6.5，；（4）1，0，+108．
【分析】根据正数、整数、负分数及非负整数的定义依次填写即可．
【解答】解：（1）正数集合{1，+3.2，+108，…}；
故答案为：1，+3.2，+108，；
（2）整数集合{1，0，+108，﹣（﹣2）2，﹣|﹣6|，…}；
故答案为：1，0，+108，﹣（﹣2）2，﹣|﹣6|，；
（3）负分数集合{，﹣6.5，…}；
故答案为：，﹣6.5，；
（4）非负整数集合{1，0，+108，…}．
故答案为：1，0，+108．
【点评】本题考查了正数、整数、负分数及非负整数的定义等有理数的相关基础知识，熟练掌握相关定义是解题的关键．
17．（9分）画出数轴，在数轴上表示下列各数，用“＜”把它们连接起来并完成填空．
﹣2.3，+|﹣3|，﹣|﹣4|，﹣（+0.5），﹣（﹣1）．
（1）+|﹣3|与﹣|﹣4|的积为 　﹣12　；
（2）﹣2.3与﹣（+0.5）的和为 　﹣2.8　．
【考点】有理数大小比较；有理数的加法；有理数的乘法；数轴；相反数；绝对值．
【专题】实数；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】先去括号，去绝对值符号，在数轴上表示出各数，用“＜”把它们连接起来；
（1）根据有理数的乘法进行计算；
（2）根据有理数的加法进行计算．
【解答】解：+|﹣3|＝3，﹣|﹣4＝﹣4|，﹣（+0.5）＝﹣0.5，﹣（﹣1）＝1，
如图，
故﹣|﹣4|＜﹣2.3＜﹣（+0.5）＜﹣（﹣1）＜+|﹣3|．
（1）+|﹣3|×（﹣|﹣4|）＝3×（﹣4）＝﹣12；
（2））﹣2.3﹣（+0.5）＝﹣2.3﹣0.5＝﹣2.8．
故答案为：﹣12，﹣2.8．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，有理数的加减法及有理数的乘法，熟知数轴上右边的数比左边的大是解题的关键．
18．（9分）计算：
（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】（1）﹣19；（2）﹣10；（3）1；（4）．
【分析】（1）将减法统一成加法，然后利用有理数加法运算法则进行计算；
（2）使用乘法分配律进行简便计算；
（3）将除法统一成乘法，然后利用有理数乘法的运算法则进行计算；
（4）先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的，绝对值相当于小括号．
【解答】解：（1）原式＝﹣20+3+5+（﹣7）
＝[（﹣20）+（﹣7）]+（3+5）
＝﹣27+8
＝﹣19；
（2）原式＝﹣363636
＝﹣9+20﹣21
＝﹣10；
（3）原式＝81
＝1；
（4）原式＝﹣4+3﹣241
＝﹣11
．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．
19．（9分）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或﹣24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数．J、Q、K、A分别代表11、12、13、1，小明抽到了黑桃3，方块4，红桃6，梅花10，他运用下面的方法凑成了：3×{10﹣[﹣4﹣（﹣6）]}＝24．（提示数2，数3可列23＝8或32＝9）
（1）如果抽到的是红心2，黑桃3，方块3，梅花6，你能凑成24吗？
（2）如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，你能凑成24吗？
（3）如果抽到的是黑桃5，黑桃A，梅花5，方块5，你能凑成24吗？
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】（1）﹣2×（﹣3﹣3﹣6）＝24；
（2）[1﹣（﹣2）]×23＝24；
（3）（1÷5﹣5）×（﹣5）＝24．
【分析】（1）所给的数字为：﹣2、3、﹣3、6；
（2）所给的数字为：1、﹣2、2、3；
（3）所给的数字为：5、1、5、﹣5；
利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可．
【解答】解：（1）﹣2×（﹣3﹣3﹣6）＝24；
（2）[1﹣（﹣2）]×23＝24；
（3）（1÷5﹣5）×（﹣5）＝24．
【点评】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题．
20．（9分）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从甲村出发，晚上到达乙村，约定向东为正方向，当天的航行记录如下：（单位：千米）
﹣15，+8，﹣9，+10，+8，+9，﹣7，﹣12
（1）请确定乙村相对于甲村的具体方位．
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发地最远是多少？
（3）为了尽快抢救灾民，冲锋舟出发前就加满了油，而且在救灾过程中不再加油，若冲锋舟每千米耗油0.5升，那么该冲锋舟油箱容量至少是多少升？
【考点】正数和负数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）乙村位于甲村地的正西方向，距离甲村8千米；
（2）16千米；
（3）39升．
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则乙村在甲村的东方，若结果为负数，则乙村在甲村的西方；
（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；
（3）先求出这一天走的总路程，再乘0.5即可．
【解答】解：（1）﹣15+8﹣9+10+8+9﹣7﹣12＝﹣8（千米），
答：乙村位于甲村地的正西方向，距离甲村8千米；
（2）第1次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为：﹣15千米，
第2次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为：﹣15+8＝﹣7（千米），
第3次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为：﹣7﹣9＝﹣16（千米），
第4次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为：﹣16+10＝﹣6（千米），
第5次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为：﹣6+8＝2（千米），
第6次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为：2+9＝11（千米），
第7次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为：11﹣7＝4（千米），
第8次记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为：4﹣12＝﹣8（千米），
由此可知，救灾过程中，冲锋舟离出发点甲村最远处为16千米；
（3）冲锋舟当天航行总路程为：15+8+9+10+8+9+7+12＝78（千米），
78×0.5＝39（升），
答：该冲锋舟油箱容量至少是39升．
【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，解题关键是理清正数与负数的意义并掌握有理数的混合运算法则．
21．（10分）有一系列等式：
第1个：52﹣12＝8×3；
第2个：92﹣52＝8×7；
第3个：132﹣92＝8×11；
第4个：172﹣132＝8×15；
……
（1）请写出第5个等式：　212﹣172＝8×19　．
（2）请写出第n个等式，并加以验证．
（3）依据上述规律，计算：8×3+8×7+8×11+……+8×399．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；猜想归纳；实数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据规律：相间两个奇数的乘方差，等于这个两数的平均数的8倍．进行解答便可；
（2）把得出的规律用字母n表示出来，并运用整式的运算法则进行验证；
（3）根据规律，把各个积裂分成两个奇数的平方差，再进行计算便可．
【解答】解：（1）由题意可知：相间两个奇数的乘方差，等于这个两数的平均数的8倍，
∴第5个等式为：212﹣172＝8×19，
故答案为：212﹣172＝8×19；
（2）第n个等式为：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1）．
验证：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝16n2+8n+1﹣（16n2﹣24n+9）＝32n﹣8＝8（4n﹣1），
∴（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1）；
（3）8×3+8×7+8×11+……+8×399
＝52﹣12+92﹣52+132﹣92+……+4012﹣3972
＝4012﹣12
＝402×400
＝160800．
【点评】此题考查数字的变化规律，根据数字的特点，得出运算的规律，利用规律解决问题是解题的关键所在．
22．（10分）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作|a﹣b|，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为|5﹣7|＝2，|5+7|＝|5﹣（﹣7）|表示数轴上表示数5的点与表示数﹣7的点的距离，|a﹣5|表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：
（1）若|x﹣2|＝3，则x＝　﹣1或5　，|x﹣4|＝|x+2|，则x＝　1　．
（2）若|x﹣3|+|x+2|＝5，则x能取到的最小值是 　﹣2　，最大值是 　3　．
（3）若|x﹣3|+|x+2|＝9，则x的值为多少？
【考点】数轴；绝对值；非负数的性质：绝对值．
【专题】实数；几何直观；运算能力；应用意识．
【答案】（1）5或﹣1，1；（2）﹣2，3；（3）5或﹣4．
【分析】（1）根据表示数轴上表示x的点到2的距离为3，|x﹣4|＝|x+2|表示数轴上表示x的点到表示4和﹣2的距离相等，得出答案；
（2）|x﹣3|+|x+2|＝5，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和﹣2两点的距离之和为5，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；
（3）根据所提供的绝对值意义，即可解答．
【解答】解：（1）|x﹣2|＝3|表示数轴上表示x的点到﹣1的距离为3，
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x＝5或﹣1，
|x﹣4|＝|x+2|表示数轴上表示x的点到表示4和﹣2的距离相等，因此到4和﹣2距离相等的点表示的数为，
故答案为：5或﹣1，1；
（2）|x﹣3|+|x+2|＝5，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和﹣2两点的距离之和为5，可得﹣2≤x≤3，
因此x的最大值为3，最小值为﹣2；
故答案为：﹣2，3；
（3）|∵数轴上表示有理数a的点到表示有理数1的点的距离可表示为|a﹣1|，表示有理数a的点到有理数﹣3的点的距离可表示为|a+3|，
∴|x﹣3|表示有理数x的点到表示有理数3的点的距离，|x+2|表示有理数x的点到表示有理数﹣2的点的距离，
∴x＝5或﹣4．
【点评】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键．
23．（11分）将下列各数分别填在相应的圈内：
﹣1，1，1.2，﹣0.24，0，3，﹣5，33%
【考点】有理数．
【专题】实数；数感．
【答案】答案见解答．
【分析】根据有理数的分类对各数进行判断，且填入对应的集合中．
【解答】解：答案如图所示：
【点评】本题考查了有理数：整数和分数统称为有理数．有理数的分类：按整数、分数的关系分类；按正数、负数与0的关系分类．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
3．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
4．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
5．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
6．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
7．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
8．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
9．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
10．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
11．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
12．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
13．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
14．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
15．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
16．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
17．尾数特征
“尾数特性，即得到一个具体算式时，可以先不进行详细计算而直接心算出其末位数字从而排除错误选项．其应用的核心技巧在于，只要选项的尾数不同，就有可能根据尾数快速得到答案．
18．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．