2024—2025学年上学期河北初中数学八年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期河北初中数学八年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 422.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 19:51:42 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期河北初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共16小题，满分38分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱和圆锥都只有一条高
B．圆的半径扩大到原来的2倍，直径就扩大到原来的4倍
C．圆柱体体积是圆锥表面积的三倍
D．正数和负数可以表示两种相反意义的量
2．（3分）为了解某市6万名八年级学生每天做家庭作业所用的时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．6万名八年级学生是总体
B．其中的每名八年级学生每天做家庭作业所用的时间是个体
C．所调查的1000名学生是总体的一个样本
D．样本容量是1000名学生
3．（3分）一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同．小明从中任取一球，下列说法错误的是（ ）
A．摸到白球的可能性最大
B．摸到红球和黄球的可能性相同
C．摸到白球的可能性为
D．摸到白球、红球、黄球的可能性都为
4．（3分）今年8月3日晚出现了超级天文奇观“土星合月”，使众多天文爱好者一饱眼福．土星的直径约为1.2×105km，关于1.2×105下列说法正确的是（ ）
A．1.2×105是一个5位数 B．1.2×105﹣0.2＝1×105
C．1.2×105﹣10＝1.2×104 D．1.2×105×10＝1.2×106
5．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．b3 b3＝b9 C．x2+x2＝2x2 D．（m2）3＝m5
6．（3分）下列各数中，最大的是（ ）
A．﹣（+2） B．|﹣3| C．2﹣1 D．（﹣2）0
7．（2分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2分）如图所示，已知前两个天平两端保持平衡．要使第三个天平两端保持平衡，天平的右边应放几个圆形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2分）有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示．如果﹣（a+b）＝a+b，那么下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B． C．|a|＜|c| D．a+c＝0
10．（2分）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
11．（2分）一条线段长为6a+8b，将它剪成两段，其中一段长为2a+b，则另一段长为（ ）
A．4a+5b B．a+b C．4a+7b D．a+7b
12．（2分）如图，A、B、C、D是平面内四点，若AC＝4，BD＝3，AD＝BC＝2，则线段AB的长度可能是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
13．（2分）如选项图所示，左右成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2分）由《九章算术》卷第七《盈不足》改编这样一个问题：“今有共买羊，人出十二，不足五十一；人出十六，不足一十一．问人数、羊价各几何？”题意是若干人共同出资买羊，每人出12钱，则差51钱；每人出16钱，则差11钱．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（ ）
A．12x﹣51＝16x﹣11 B．12x+51＝16x﹣1l
C．12x+51＝16x+11 D．12x﹣51＝16x+11
15．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ACB＝70°．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（ ）
A．BE＝EC B． C．∠BAQ＝40° D．∠EQF＝30°
16．（2分）已知A地、B地、医院在同一直线上，甲从A地、乙从B地同时出发骑车去医院注射新冠疫苗，甲和乙出发2分钟后第一次相遇，第一次相遇后不久甲的自行车出现故障，甲立即改为步行（中间耽搁时间忽略不计），甲比乙晚2分钟到达该医院，设甲、乙两人与A地的距离为y米，甲行驶的时间为x分钟，y与x之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲骑车速度为250米/分，甲步行速度为100米/分
B．A，B两地之间的距离为200米
C．甲和乙第二次相遇时，离医院还有600米的路程
D．甲和乙第二次相遇的时间是出发后13分钟
二．填空题（共3小题，满分10分）
17．（2分）有如图两条线段，比较其中a，b的长度，则结论是a b．（填“＞”“＜”或“＝”）
18．（4分）如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体各面上标有数字1，2，3，﹣3，A，B，相对面的两个数互为相反数，则A＝ ，B＝ ．
19．（4分）如图1，将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上．如图2将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2次变换后，骰子朝上一面的点数是 ；连续完成2022次变换后，骰子朝上一面的点数是 ．
三．解答题（共7小题，满分72分）
20．（10分）计算题：
（1）82019×（﹣0.125）2020
（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；
（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．
21．（7分）解方程：5x+2＝2（x+4）
22．（10分）我区某中学就新冠疫情对青少年价值观产生的影响做了一个问卷调查，其中一项调查内容是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？A．生命，B．感恩，C．责任，D．奉献．每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 名同学；
（2）扇形统计图中a＝ ，并补全条形统计图；
（3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词“B．感恩”的学生的概率是多少．
23．（12分）已知：如图，AD⊥BC，且AD平分∠BAC，∠1＝∠3．求证：EG⊥BC．请完善证明过程，并在括号内填上相应依据．
证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴ ＝ （角平分线的定义），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠1（等量代换），
∴ ∥ （ ）．
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB＝ （ ），
∴∠EGD＝∠ADB＝90°（ ），
∴EG⊥BC（垂直的定义）．
24．（10分）如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为 ；
（2）请解释图中点B的实际意义为 ；
（3）求慢车和快车的速度分别是 和 ；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式是 ，并写出自变量的取值范围是 ；
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30min后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少h？写出解题过程．
25．（11分）如图，点A、C、B在数轴上表示的数分别是﹣3、1、5，动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿A→B→A匀速运动回到点A停止运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→B向终点B匀速运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P到达点B时，点Q表示的数为 ；
（2）当t＝1时，求点P、Q之间的距离；
（3）当点P在A→B上运动时，用含t的代数式表示点P、Q之间的距离；
（4）当点P、Q到点C的距离相等时，直接写出t的值．
26．（12分）问题情境：数学活动课上、老师出示了一个问题：如图1．△ABC为等边三角形，点D在AB上．点E在AC上，连接DE，以DE为边再作一个等边三角形DEF，点F与点A分别在线段DE所在直线的两边．
独立思考：（1）如图2，当点F恰好落在BC边上时，求证：AD＝BF．
实践探究：（2）希望小组发现：如图3，过点F作FG⊥AB于点G．AD与FG存在数量关系，请求出这个数量关系．
问题解决：（3）智慧小组突发奇想：若AD＝2，BD＝4，且当BF最小时，能否求出AE的长？请你认真思考．如能求出AE的长，求出这个值；如果不能求出AE的长，请叙述理由．
2024—2025学年上学期河北初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题，满分38分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱和圆锥都只有一条高
B．圆的半径扩大到原来的2倍，直径就扩大到原来的4倍
C．圆柱体体积是圆锥表面积的三倍
D．正数和负数可以表示两种相反意义的量
【考点】正数和负数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】D
【分析】根据圆柱和圆锥的意义、圆的半径与直径、正负数的意义逐一判断即可．
【解答】解：A、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高，原说法错误，该选项不符合题意；
B、圆的半径扩大到原来的2倍，直径也扩大到原来的2倍，原说法错误，该选项不符合题意；
C、圆柱体体积是圆锥表面积没有直接的关系，原说法错误，该选项不符合题意；
D、正数和负数可以表示两种相反意义的量，原说法正确，该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，圆柱和圆锥的意义，掌握相应的定义是解题的关键．
2．（3分）为了解某市6万名八年级学生每天做家庭作业所用的时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．6万名八年级学生是总体
B．其中的每名八年级学生每天做家庭作业所用的时间是个体
C．所调查的1000名学生是总体的一个样本
D．样本容量是1000名学生
【考点】总体、个体、样本、样本容量．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】B
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、该校八年级全体学生每天做家庭作业所用的时间是总体，故A不符合题意；
B、其中的每名八年级学生每天做家庭作业所用的时间是个体，故B符合题意；
C、从中抽取的1000名学生每天做家庭作业所用的时间是总体的一个样本，故C不符合题意；
D、样本容量是1000，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3．（3分）一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同．小明从中任取一球，下列说法错误的是（ ）
A．摸到白球的可能性最大
B．摸到红球和黄球的可能性相同
C．摸到白球的可能性为
D．摸到白球、红球、黄球的可能性都为
【考点】可能性的大小．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据概率公式即可得到结论．
【解答】解：∵一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，
∴共有20个球，
∴摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，
∵，
∴摸到白球的可能性最大，摸到红球和黄球的可能性相同，摸到白球的可能性为，
故选：D．
【点评】本题考查了可能性的大小，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
4．（3分）今年8月3日晚出现了超级天文奇观“土星合月”，使众多天文爱好者一饱眼福．土星的直径约为1.2×105km，关于1.2×105下列说法正确的是（ ）
A．1.2×105是一个5位数 B．1.2×105﹣0.2＝1×105
C．1.2×105﹣10＝1.2×104 D．1.2×105×10＝1.2×106
【考点】科学记数法—表示较小的数；有理数的混合运算；科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】对给出的答案逐一计算分析，作出判断即可．
【解答】解：A、1.2×105＝120000是一个六位数，故原说法错误，选项不符合题意；
B、1.2×105﹣0.2＝120000﹣0.2≠1×105＝100000，计算错误，选项不符合题意；
C、1.2×105﹣10＝120000﹣10≠1.2×104＝12000，计算错误，选项不符合题意；
D、1.2×105×10＝120000×10＝1200000＝1.2×106，计算正确，故选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
5．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．b3 b3＝b9 C．x2+x2＝2x2 D．（m2）3＝m5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故A不符合题意；
B、b3 b3＝b6，故B不符合题意；
C、x2+x2＝2x2，故C符合题意；
D、（m2）3＝m6，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（3分）下列各数中，最大的是（ ）
A．﹣（+2） B．|﹣3| C．2﹣1 D．（﹣2）0
【考点】负整数指数幂；相反数；绝对值；有理数大小比较；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用绝对值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵﹣（+2）＝﹣2，|﹣3|＝3，2﹣1，（﹣2）0＝1，
∴四个数中最大的是|﹣3|，
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
7．（2分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
8．（2分）如图所示，已知前两个天平两端保持平衡．要使第三个天平两端保持平衡，天平的右边应放几个圆形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设三角形为x，正方形为y，圆为z，根据前两个图列出方程组，消去x得到y和z的关系．
【解答】解：设三角形为x，正方形为y，圆为z，
根据前两个图得：，
由①得：x③，
把③代入②中得：yz，
∴2y＝3z，
故选：C．
【点评】本题考查等式的基本性质，方程组的解法，根据前两个图列出方程组，消去x得到y和z的关系是解题的关键．
9．（2分）有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示．如果﹣（a+b）＝a+b，那么下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B． C．|a|＜|c| D．a+c＝0
【考点】数轴；绝对值．
【专题】数形结合；几何直观．
【答案】C
【分析】根据﹣（a+b）＝a+b，可得a+b＝0，再利用数轴上各数的位置，可知数的大小，判断即可．
【解答】解：∵﹣（a+b）＝a+b，
∴a+b＝0，
∴a＜0，b＞0，|c|＞|a|，
A、a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0，此选项不符合题意；
B、a＜0，b＞0，|a|＝|b|，所以1，此选项不符合题意；
C、|c|＞|b|＝|a|，所以|a|＜|c|，此选项符合题意；
D、a＜0，c＞0，|a|＜|c|，所以a+c＞0，此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较，关键是借助数轴进行判断．
10．（2分）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，
∴不能画出三角形，故本选项不合题意；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
C．当∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性；
D．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
11．（2分）一条线段长为6a+8b，将它剪成两段，其中一段长为2a+b，则另一段长为（ ）
A．4a+5b B．a+b C．4a+7b D．a+7b
【考点】整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意列出算式后，然后根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：另一段长为：（6a+8b）﹣（2a+b）
＝6a+8b﹣2a﹣b
＝4a+7b，
故选：C．
【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
12．（2分）如图，A、B、C、D是平面内四点，若AC＝4，BD＝3，AD＝BC＝2，则线段AB的长度可能是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】根据三角形三边之间的关系得：BD﹣AD＜AB＜BD+AD，则1＜AB＜5，同理AC﹣BC＜AB＜AC+BC，则2＜AB＜6，由此得2＜AB＜5，据此即可得出答案．
【解答】解：在△ABD中，AD＝2，BD＝3，
∴BD﹣AD＜AB＜BD+AD，
即1＜AB＜5，
在△ABC中，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，
即2＜AB＜6，
综上所述：2＜AB＜5，
∴线段AB的长度可能是4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了两点之间的距离，三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解决问题的关键．
13．（2分）如选项图所示，左右成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：如果两个平面图形沿某条直线折叠后能够完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称．
观察各选项可知，左右成轴对称的是D选项．
故选：D．
【点评】本题主要考查轴对称的定义，熟知轴对称的定义是解题关键．
14．（2分）由《九章算术》卷第七《盈不足》改编这样一个问题：“今有共买羊，人出十二，不足五十一；人出十六，不足一十一．问人数、羊价各几何？”题意是若干人共同出资买羊，每人出12钱，则差51钱；每人出16钱，则差11钱．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（ ）
A．12x﹣51＝16x﹣11 B．12x+51＝16x﹣1l
C．12x+51＝16x+11 D．12x﹣51＝16x+11
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设买羊人数为x人，根据出资数不变列出方程．
【解答】解：设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为12x+51＝16x﹣1l．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ACB＝70°．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（ ）
A．BE＝EC B． C．∠BAQ＝40° D．∠EQF＝30°
【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：A．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，故选项A正确，不符合题意；
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB＝90°，
∵∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，
∴∠B＝30°，
∴DEBD，
故选项B正确，不符合题意；
C．由作图可知，AQ平分∠BAC，
∴∠BAQ＝∠CAQ∠BAC＝40°，
故选项C正确，不符合题意；
D．∵∠EFQ＝∠AFC＝70°，∠QEF＝90°，
∴∠EQF＝20°；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
16．（2分）已知A地、B地、医院在同一直线上，甲从A地、乙从B地同时出发骑车去医院注射新冠疫苗，甲和乙出发2分钟后第一次相遇，第一次相遇后不久甲的自行车出现故障，甲立即改为步行（中间耽搁时间忽略不计），甲比乙晚2分钟到达该医院，设甲、乙两人与A地的距离为y米，甲行驶的时间为x分钟，y与x之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲骑车速度为250米/分，甲步行速度为100米/分
B．A，B两地之间的距离为200米
C．甲和乙第二次相遇时，离医院还有600米的路程
D．甲和乙第二次相遇的时间是出发后13分钟
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：由图象可得，
乙骑车的速度为：（2900﹣200）÷18＝150（米/分），
甲骑车速度为：（200+150×2）÷2＝250（米/分），甲步行速度为：（2900﹣250×6）÷（18+2﹣6）＝100（米/分），故选项A不符合题意；
A、B两地的距离为200米，故选项B不符合题意；
甲和乙第二次相遇的时间为x分钟，
250×6+（x﹣6）×100＝200+150x，
解得x＝14，故选项D符合题意，
∴甲和乙第二次相遇时，离医院的路程是：150×（18﹣14）＝600（米），故选项C不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出甲骑车和步行的速度、乙骑车的速度，然后利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共3小题，满分10分）
17．（2分）有如图两条线段，比较其中a，b的长度，则结论是a ＝ b．（填“＞”“＜”或“＝”）
【考点】比较线段的长短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】＝．
【分析】用刻度尺对两条线段进行测量即可．
【解答】解：用刻度尺测量后，线段a与b的长度相等．
故答案为：＝．
【点评】本题考查了比较线段长短，正确进行测量是解题关键．
18．（4分）如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体各面上标有数字1，2，3，﹣3，A，B，相对面的两个数互为相反数，则A＝ ﹣2 ，B＝ ﹣1 ．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字；相反数．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】﹣2，﹣1．
【分析】根据正方体表面展开图的特征进判断相对的面，再根据相对面上的两个数互为相反数，即可求出A、B所表示的数．
【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“1”与“B”是相对的面，
“2”与“A”是相对的面，
又因为相对面上的两个数互为相反数，
所以A＝﹣2，B＝﹣1．
故答案为：﹣2，﹣1．
【点评】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征，正确判断正方体展开图中“相对的面”是正确解答的关键．
19．（4分）如图1，将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上．如图2将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2次变换后，骰子朝上一面的点数是 6 ；连续完成2022次变换后，骰子朝上一面的点数是 3 ．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；投影与视图；空间观念．
【答案】6；3．
【分析】先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续3次变换是一个循环，据此解答即可．
【解答】解：根据题意可知连续3次变换是一循环，
故骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2次变换后，骰子朝上一面的点数是6；
2022÷3＝674，
故连续完成2022次变换后，骰子朝上一面的点数是3．
故答案为：6；3．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三．解答题（共7小题，满分72分）
20．（10分）计算题：
（1）82019×（﹣0.125）2020
（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；
（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）0.125；
（2）1；
（3）81x4﹣y4；
（4）4ab﹣5b2；
（5）﹣xy，．
【分析】（1）将原式变形为（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125），再逆用积的乘方变形、计算可得；
（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；
（3）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（5）原式中括号中利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）82019×（﹣0.125）2020
＝（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×8）2019×（﹣0.125）
＝0.125；
（2）20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣20202+1
＝1；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）
＝（3x﹣y）（3x+y）（9x2+y2）
＝（9x2﹣y2）（9x2+y2）
＝81x4﹣y4；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2
＝b2﹣a2﹣（a2﹣4ab+4b2）
＝b2﹣a2﹣a2+4ab﹣4b2
＝﹣2a2+4ab﹣3b2；
（5）[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x）
＝（x2+6xy+9y2﹣3x2+xy﹣6xy+2y2﹣11y2）÷2x
＝（﹣2x2+xy）÷2x
＝﹣xy，
当x＝﹣2，y＝1时，原式．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（7分）解方程：5x+2＝2（x+4）
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去括号得：5x+2＝2x+8，
移项合并得：3x＝6，
解得：x＝2．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
22．（10分）我区某中学就新冠疫情对青少年价值观产生的影响做了一个问卷调查，其中一项调查内容是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？A．生命，B．感恩，C．责任，D．奉献．每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 300 名同学；
（2）扇形统计图中a＝ 15 ，并补全条形统计图；
（3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词“B．感恩”的学生的概率是多少．
【考点】概率公式；扇形统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用；概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）300；
（2）15；条形图见解答；
（3）．
【分析】（1）根据A的人数为105人，所占的百分比为35%，求出总人数，即可解答；
（2）用D所对应的人数除以其所占的百分比，再乘以100得到a的值；用总人数×30%求出C所对应的人数，用总人数﹣A所对应的人数﹣C所对应的人数﹣D所对应的人数得到B所对应的人数，即可补全条形统计图；
（3）根据概率公式，即可解答．
【解答】解：（1）105÷35%＝300（人），
故答案为：300；
（2）a100＝15；
C所对应的人数为：300×30%＝90（人），
B所对应的人数为：300﹣105﹣90﹣45＝60（人）．
补全条形图如图所示：
故答案为：15；
（3），
答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词“B．感恩”的学生的概率是．
【点评】本题考查条形统计图与扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了概率的知识．概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（12分）已知：如图，AD⊥BC，且AD平分∠BAC，∠1＝∠3．求证：EG⊥BC．请完善证明过程，并在括号内填上相应依据．
证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴ ∠2 ＝ ∠3 （角平分线的定义），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠1（等量代换），
∴ AD ∥ EG （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB＝ 90° （ 垂直的定义 ），
∴∠EGD＝∠ADB＝90°（ 两直线平行，同位角相等 ），
∴EG⊥BC（垂直的定义）．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】∠2，∠3，AD，EG，内错角相等，两直线平行，90°，垂直的定义，两直线平行，同位角相等．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠2＝∠3（角平分线的定义），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠1（等量代换），
∴AD∥EG（内错角相等，两直线平行），
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB＝90°（垂直的定义），
∴∠EGD＝∠ADB＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴EG⊥BC（垂直的定义）．
故答案为：∠2，∠3，AD，EG，内错角相等，两直线平行，90°，垂直的定义，两直线平行，同位角相等．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，熟练应用相关性质进行求解是解决本题的关键．
24．（10分）如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为 900km ；
（2）请解释图中点B的实际意义为 当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇 ；
（3）求慢车和快车的速度分别是 75km/h 和 150km/h ；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式是 y＝225x﹣900 ，并写出自变量的取值范围是 4≤x≤6 ；
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30min后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少h？写出解题过程．
【考点】一次函数的应用．
【专题】计算题；函数思想；待定系数法；一次函数及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）900km；（2）当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇；（3）75km/h，150km/h；（4）y＝225x﹣900，4≤x≤6；（5）第二列快车比第一列快车晚出发0.75 h．
【分析】（1）由图象可知甲、乙两地之间的距离；
（2）由图象可知，当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇；
（3）由图象可知慢车行驶900km，用12h，求出慢车的速度，根据行驶4小时时，慢车和快车相遇，求出两车的速度之和，进一步求出快车速度；
（4）根据路程、速度、时间之间的关系先求出快车行驶完整个路程的时间求出C点坐标，进一步求出一次函数解析式及x的取值范围；
（5）先求出第二列快车与慢车相遇，慢车行驶的时间，代入一次函数解析式求出y，即两列快车之间的距离，再除以快车速度就是晚出发的时间．
【解答】解：（1）由图象可知：甲、乙两地之间的距离：900km，
故答案为：900km；
（2）B的实际意义为：当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇，
故答案为：当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇；
（3）由图象可知慢车行驶900km，用12h，
∴慢车的速度：900÷12＝75（km/h），
∵行驶4小时时，慢车和快车相遇，
∴慢车和快车行驶速度之和为：900÷4＝225（km/h），
∴快车的速度：225﹣75＝150（km/h），
故答案为：75km/h，150km/h；
（4）∵快车走完整个路程所需要的时间：900÷150＝6（h），
慢车6h行驶距离：75×6＝450（km），
∴C（6，450），
设线段BC距离所表示的关系式为：y＝kx+b，
把（6，450），（4，0）代入得，
，
解得，
∴线段BC的函数关系式是：y＝225x﹣900，自变量的取值范围是 4≤x≤6；
（5）∵第一列快车与慢车相遇30min后，第二列快车与慢车相遇，此时慢车行驶的时间为4.5，
把x＝4.5代入y＝225x﹣900，
得y＝112.5，
∴慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5 km，
∴两列快车出发的间隔时间：112.5÷150＝0.75（h），
∴第二列快车比第一列快车晚出发0.75 h．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，掌握函数图象包含的不同层次的信息：当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇，车行驶900km，用12h等，根据这些信息求出快慢车速度及一次函数解析式．
25．（11分）如图，点A、C、B在数轴上表示的数分别是﹣3、1、5，动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿A→B→A匀速运动回到点A停止运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→B向终点B匀速运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P到达点B时，点Q表示的数为 3 ；
（2）当t＝1时，求点P、Q之间的距离；
（3）当点P在A→B上运动时，用含t的代数式表示点P、Q之间的距离；
（4）当点P、Q到点C的距离相等时，直接写出t的值．
【考点】一元一次方程的应用；数轴．
【专题】行程问题；应用意识．
【答案】（1）3；
（2）1；
（3）当时，点P、Q之间的距离为4﹣3t；当时，点P、Q之间的距离为3t﹣4；
（4）或或或4．
【分析】（1）当点P在A→B上运动时，点P表示的数为﹣3+4t，点Q表示的数是1+t，当点P到达点B时，则点P表示的数为5，列方程求出t的值，代入1+t即可求出此时点Q表示的数；
（2）当t＝1时，点P在A→B上运动，分别求出点P和点Q表示的数，再求出点P、Q之间的距离；
（3）点P在A→B上运动分两种情况，先求出点P与点Q重合时t的值，再按点P与点Q相遇前和相遇后分别用含t的代数式表示点P、Q之间的距离；
（4）按点P在A→B上运动和点P在B→A上运动分类讨论，又分为点C在P、Q两点之间和P、Q两点重合，分别列方程求出相应的t的值．
【解答】解：（1）当点P到达点B时，则﹣3+4t＝5，
解得t＝2，
点Q表示的数是1+t，
当t＝2时，1+t＝1+2＝3，
所以点Q表示的数是3，
故答案为：3．
（2）当0≤t≤2时，点P表示的数是﹣3+4t，点Q表示的数是1+t，
当t＝1时，﹣3+4t＝﹣3+4×1＝1，1+t＝1+1＝2，
所以点P和点Q表示的数分别是1和2，
所以2﹣1＝1，
所以点P、Q之间的距离是1．
（3）当点P在A→B上运动，若点P、Q重合，则﹣3+4t＝1+t．
解得．
当时，则点Q表示的数大于或等于点P表示的数，
所以1+t﹣（﹣3+4t）＝4﹣3t，
所以点P、Q之间的距离为4﹣3t；
当时，则点P表示的数大于点Q表示的数，
所以﹣3+4t﹣（1+t）＝3t﹣4，
所以点P、Q之间的距离为3t﹣4．
（4）当0≤t≤2时，若点P在点C左侧，点Q在点C右侧，
根据题意得1﹣（﹣3+4t）＝（1+t）﹣1，
解得t；
若点P与点Q重合，则点P、Q到点C的距离相等，
由（3）得t；
当2＜t≤4时，则点P表示的数是﹣3+[2（5+3）﹣4t]，即13﹣4t，
若点P与点Q重合，
根据题意得1+t＝13﹣4t，
解得t；
若点P在点C左侧，点Q在点C右侧，
根据题意得1﹣（13﹣4t）＝（1+t）﹣1，
解得t＝4，
综上所述，t的值为或或或4．
【点评】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清动点的运动方向、速度、时间以及两个动点的运动是属于相遇问题还是属于追及问题．
26．（12分）问题情境：数学活动课上、老师出示了一个问题：如图1．△ABC为等边三角形，点D在AB上．点E在AC上，连接DE，以DE为边再作一个等边三角形DEF，点F与点A分别在线段DE所在直线的两边．
独立思考：（1）如图2，当点F恰好落在BC边上时，求证：AD＝BF．
实践探究：（2）希望小组发现：如图3，过点F作FG⊥AB于点G．AD与FG存在数量关系，请求出这个数量关系．
问题解决：（3）智慧小组突发奇想：若AD＝2，BD＝4，且当BF最小时，能否求出AE的长？请你认真思考．如能求出AE的长，求出这个值；如果不能求出AE的长，请叙述理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）见解析过程；
（2）DHAD；
（3）5．
【分析】（1）由“AAS”可证△ADE≌△BFD，可得结论；
（2）由“AAS”可证△DFG≌△EDH，可得DH＝FG，由锐角三角函数可求解：
（3）由“SAS”可证△ADE≌△HDF，可得∠DHF＝∠A＝60°＝∠ADH，AE＝HF，可得点F在过点H且平行于AB的直线HF上，则当BF⊥HF时，BF有最小值，由直角三角形的性质和平行四边形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°＝∠EDF，DE＝DF，
∵∠EDB＝∠A+∠AED＝∠EDF+∠BDF，
∴∠AED＝∠BDF，
∴△ADE≌△BFD（AAS），
∴AD＝BF；
（2）解：DHAD，理由如下：
如图3，过点D作DH⊥AC于H，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°＝∠A，
∵∠EDB＝∠A+∠AED＝∠EDF+∠BDF，
∴∠AED＝∠BDF，
又∵∠DHE＝∠FGD＝90°，
∴△DFG≌△EDH（AAS），
∴DH＝FG，
∵∠A＝60°，
∴sinA，
∴DHAD；
（3）解：如图4，在AC上截取AH＝AD，连接HD，HF，
∵AD＝AH，∠A＝60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD＝DH，∠ADH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝∠ADH＝60°，
∴∠ADE＝∠HDF，
∴△ADE≌△HDF（SAS），
∴∠DHF＝∠A＝60°＝∠ADH，AE＝HF，
∴HF∥AB，
∴点F在过点H且平行于AB的直线HF上，
∴当BF⊥HF时，BF有最小值，
如图5，过点H作HN⊥AB于N，
∴HN∥BF，
又∵HF∥AB，
∴四边形HNBF是平行四边形，
∴HF＝BN，
∵△AHD是等边三角形，HN⊥AB，
∴AN＝1＝ND，
∴BN＝BD+DN＝5，
∴HF＝BN＝AE＝5．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
6．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
7．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
8．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
9．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
10．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
11．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
12．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
13．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
14．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
15．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
16．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
17．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
18．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
19．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
20．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
21．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
22．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
23．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
24．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
25．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
26．比较线段的长短
（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD．
（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．
（3）线段的和、差、倍、分及计算
做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．
如图，AC＝BC，C为AB中点，ACAB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DBCBAB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．
27．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
28．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
29．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
30．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
31．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
32．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
33．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
34．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
35．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
36．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
37．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
38．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
2024—2025学年上学期河北初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共16小题，满分38分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱和圆锥都只有一条高
B．圆的半径扩大到原来的2倍，直径就扩大到原来的4倍
C．圆柱体体积是圆锥表面积的三倍
D．正数和负数可以表示两种相反意义的量
2．（3分）为了解某市6万名八年级学生每天做家庭作业所用的时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．6万名八年级学生是总体
B．其中的每名八年级学生每天做家庭作业所用的时间是个体
C．所调查的1000名学生是总体的一个样本
D．样本容量是1000名学生
3．（3分）一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同．小明从中任取一球，下列说法错误的是（ ）
A．摸到白球的可能性最大
B．摸到红球和黄球的可能性相同
C．摸到白球的可能性为
D．摸到白球、红球、黄球的可能性都为
4．（3分）今年8月3日晚出现了超级天文奇观“土星合月”，使众多天文爱好者一饱眼福．土星的直径约为1.2×105km，关于1.2×105下列说法正确的是（ ）
A．1.2×105是一个5位数 B．1.2×105﹣0.2＝1×105
C．1.2×105﹣10＝1.2×104 D．1.2×105×10＝1.2×106
5．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．b3 b3＝b9 C．x2+x2＝2x2 D．（m2）3＝m5
6．（3分）下列各数中，最大的是（ ）
A．﹣（+2） B．|﹣3| C．2﹣1 D．（﹣2）0
7．（2分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2分）如图所示，已知前两个天平两端保持平衡．要使第三个天平两端保持平衡，天平的右边应放几个圆形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2分）有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示．如果﹣（a+b）＝a+b，那么下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B． C．|a|＜|c| D．a+c＝0
10．（2分）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
11．（2分）一条线段长为6a+8b，将它剪成两段，其中一段长为2a+b，则另一段长为（ ）
A．4a+5b B．a+b C．4a+7b D．a+7b
12．（2分）如图，A、B、C、D是平面内四点，若AC＝4，BD＝3，AD＝BC＝2，则线段AB的长度可能是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
13．（2分）如选项图所示，左右成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2分）由《九章算术》卷第七《盈不足》改编这样一个问题：“今有共买羊，人出十二，不足五十一；人出十六，不足一十一．问人数、羊价各几何？”题意是若干人共同出资买羊，每人出12钱，则差51钱；每人出16钱，则差11钱．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（ ）
A．12x﹣51＝16x﹣11 B．12x+51＝16x﹣1l
C．12x+51＝16x+11 D．12x﹣51＝16x+11
15．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ACB＝70°．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（ ）
A．BE＝EC B． C．∠BAQ＝40° D．∠EQF＝30°
16．（2分）已知A地、B地、医院在同一直线上，甲从A地、乙从B地同时出发骑车去医院注射新冠疫苗，甲和乙出发2分钟后第一次相遇，第一次相遇后不久甲的自行车出现故障，甲立即改为步行（中间耽搁时间忽略不计），甲比乙晚2分钟到达该医院，设甲、乙两人与A地的距离为y米，甲行驶的时间为x分钟，y与x之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲骑车速度为250米/分，甲步行速度为100米/分
B．A，B两地之间的距离为200米
C．甲和乙第二次相遇时，离医院还有600米的路程
D．甲和乙第二次相遇的时间是出发后13分钟
二．填空题（共3小题，满分10分）
17．（2分）有如图两条线段，比较其中a，b的长度，则结论是a b．（填“＞”“＜”或“＝”）
18．（4分）如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体各面上标有数字1，2，3，﹣3，A，B，相对面的两个数互为相反数，则A＝ ，B＝ ．
19．（4分）如图1，将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上．如图2将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2次变换后，骰子朝上一面的点数是 ；连续完成2022次变换后，骰子朝上一面的点数是 ．
三．解答题（共7小题，满分72分）
20．（10分）计算题：
（1）82019×（﹣0.125）2020
（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；
（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．
21．（7分）解方程：5x+2＝2（x+4）
22．（10分）我区某中学就新冠疫情对青少年价值观产生的影响做了一个问卷调查，其中一项调查内容是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？A．生命，B．感恩，C．责任，D．奉献．每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 名同学；
（2）扇形统计图中a＝ ，并补全条形统计图；
（3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词“B．感恩”的学生的概率是多少．
23．（12分）已知：如图，AD⊥BC，且AD平分∠BAC，∠1＝∠3．求证：EG⊥BC．请完善证明过程，并在括号内填上相应依据．
证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴ ＝ （角平分线的定义），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠1（等量代换），
∴ ∥ （ ）．
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB＝ （ ），
∴∠EGD＝∠ADB＝90°（ ），
∴EG⊥BC（垂直的定义）．
24．（10分）如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为 ；
（2）请解释图中点B的实际意义为 ；
（3）求慢车和快车的速度分别是 和 ；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式是 ，并写出自变量的取值范围是 ；
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30min后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少h？写出解题过程．
25．（11分）如图，点A、C、B在数轴上表示的数分别是﹣3、1、5，动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿A→B→A匀速运动回到点A停止运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→B向终点B匀速运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P到达点B时，点Q表示的数为 ；
（2）当t＝1时，求点P、Q之间的距离；
（3）当点P在A→B上运动时，用含t的代数式表示点P、Q之间的距离；
（4）当点P、Q到点C的距离相等时，直接写出t的值．
26．（12分）问题情境：数学活动课上、老师出示了一个问题：如图1．△ABC为等边三角形，点D在AB上．点E在AC上，连接DE，以DE为边再作一个等边三角形DEF，点F与点A分别在线段DE所在直线的两边．
独立思考：（1）如图2，当点F恰好落在BC边上时，求证：AD＝BF．
实践探究：（2）希望小组发现：如图3，过点F作FG⊥AB于点G．AD与FG存在数量关系，请求出这个数量关系．
问题解决：（3）智慧小组突发奇想：若AD＝2，BD＝4，且当BF最小时，能否求出AE的长？请你认真思考．如能求出AE的长，求出这个值；如果不能求出AE的长，请叙述理由．
2024—2025学年上学期河北初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题，满分38分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱和圆锥都只有一条高
B．圆的半径扩大到原来的2倍，直径就扩大到原来的4倍
C．圆柱体体积是圆锥表面积的三倍
D．正数和负数可以表示两种相反意义的量
【考点】正数和负数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】D
【分析】根据圆柱和圆锥的意义、圆的半径与直径、正负数的意义逐一判断即可．
【解答】解：A、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高，原说法错误，该选项不符合题意；
B、圆的半径扩大到原来的2倍，直径也扩大到原来的2倍，原说法错误，该选项不符合题意；
C、圆柱体体积是圆锥表面积没有直接的关系，原说法错误，该选项不符合题意；
D、正数和负数可以表示两种相反意义的量，原说法正确，该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，圆柱和圆锥的意义，掌握相应的定义是解题的关键．
2．（3分）为了解某市6万名八年级学生每天做家庭作业所用的时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．6万名八年级学生是总体
B．其中的每名八年级学生每天做家庭作业所用的时间是个体
C．所调查的1000名学生是总体的一个样本
D．样本容量是1000名学生
【考点】总体、个体、样本、样本容量．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】B
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、该校八年级全体学生每天做家庭作业所用的时间是总体，故A不符合题意；
B、其中的每名八年级学生每天做家庭作业所用的时间是个体，故B符合题意；
C、从中抽取的1000名学生每天做家庭作业所用的时间是总体的一个样本，故C不符合题意；
D、样本容量是1000，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3．（3分）一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同．小明从中任取一球，下列说法错误的是（ ）
A．摸到白球的可能性最大
B．摸到红球和黄球的可能性相同
C．摸到白球的可能性为
D．摸到白球、红球、黄球的可能性都为
【考点】可能性的大小．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据概率公式即可得到结论．
【解答】解：∵一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，
∴共有20个球，
∴摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，
∵，
∴摸到白球的可能性最大，摸到红球和黄球的可能性相同，摸到白球的可能性为，
故选：D．
【点评】本题考查了可能性的大小，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
4．（3分）今年8月3日晚出现了超级天文奇观“土星合月”，使众多天文爱好者一饱眼福．土星的直径约为1.2×105km，关于1.2×105下列说法正确的是（ ）
A．1.2×105是一个5位数 B．1.2×105﹣0.2＝1×105
C．1.2×105﹣10＝1.2×104 D．1.2×105×10＝1.2×106
【考点】科学记数法—表示较小的数；有理数的混合运算；科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】对给出的答案逐一计算分析，作出判断即可．
【解答】解：A、1.2×105＝120000是一个六位数，故原说法错误，选项不符合题意；
B、1.2×105﹣0.2＝120000﹣0.2≠1×105＝100000，计算错误，选项不符合题意；
C、1.2×105﹣10＝120000﹣10≠1.2×104＝12000，计算错误，选项不符合题意；
D、1.2×105×10＝120000×10＝1200000＝1.2×106，计算正确，故选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
5．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．b3 b3＝b9 C．x2+x2＝2x2 D．（m2）3＝m5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故A不符合题意；
B、b3 b3＝b6，故B不符合题意；
C、x2+x2＝2x2，故C符合题意；
D、（m2）3＝m6，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（3分）下列各数中，最大的是（ ）
A．﹣（+2） B．|﹣3| C．2﹣1 D．（﹣2）0
【考点】负整数指数幂；相反数；绝对值；有理数大小比较；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用绝对值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵﹣（+2）＝﹣2，|﹣3|＝3，2﹣1，（﹣2）0＝1，
∴四个数中最大的是|﹣3|，
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
7．（2分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
8．（2分）如图所示，已知前两个天平两端保持平衡．要使第三个天平两端保持平衡，天平的右边应放几个圆形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设三角形为x，正方形为y，圆为z，根据前两个图列出方程组，消去x得到y和z的关系．
【解答】解：设三角形为x，正方形为y，圆为z，
根据前两个图得：，
由①得：x③，
把③代入②中得：yz，
∴2y＝3z，
故选：C．
【点评】本题考查等式的基本性质，方程组的解法，根据前两个图列出方程组，消去x得到y和z的关系是解题的关键．
9．（2分）有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示．如果﹣（a+b）＝a+b，那么下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B． C．|a|＜|c| D．a+c＝0
【考点】数轴；绝对值．
【专题】数形结合；几何直观．
【答案】C
【分析】根据﹣（a+b）＝a+b，可得a+b＝0，再利用数轴上各数的位置，可知数的大小，判断即可．
【解答】解：∵﹣（a+b）＝a+b，
∴a+b＝0，
∴a＜0，b＞0，|c|＞|a|，
A、a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0，此选项不符合题意；
B、a＜0，b＞0，|a|＝|b|，所以1，此选项不符合题意；
C、|c|＞|b|＝|a|，所以|a|＜|c|，此选项符合题意；
D、a＜0，c＞0，|a|＜|c|，所以a+c＞0，此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较，关键是借助数轴进行判断．
10．（2分）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，
∴不能画出三角形，故本选项不合题意；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
C．当∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性；
D．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
11．（2分）一条线段长为6a+8b，将它剪成两段，其中一段长为2a+b，则另一段长为（ ）
A．4a+5b B．a+b C．4a+7b D．a+7b
【考点】整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意列出算式后，然后根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：另一段长为：（6a+8b）﹣（2a+b）
＝6a+8b﹣2a﹣b
＝4a+7b，
故选：C．
【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
12．（2分）如图，A、B、C、D是平面内四点，若AC＝4，BD＝3，AD＝BC＝2，则线段AB的长度可能是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】根据三角形三边之间的关系得：BD﹣AD＜AB＜BD+AD，则1＜AB＜5，同理AC﹣BC＜AB＜AC+BC，则2＜AB＜6，由此得2＜AB＜5，据此即可得出答案．
【解答】解：在△ABD中，AD＝2，BD＝3，
∴BD﹣AD＜AB＜BD+AD，
即1＜AB＜5，
在△ABC中，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，
即2＜AB＜6，
综上所述：2＜AB＜5，
∴线段AB的长度可能是4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了两点之间的距离，三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解决问题的关键．
13．（2分）如选项图所示，左右成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：如果两个平面图形沿某条直线折叠后能够完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称．
观察各选项可知，左右成轴对称的是D选项．
故选：D．
【点评】本题主要考查轴对称的定义，熟知轴对称的定义是解题关键．
14．（2分）由《九章算术》卷第七《盈不足》改编这样一个问题：“今有共买羊，人出十二，不足五十一；人出十六，不足一十一．问人数、羊价各几何？”题意是若干人共同出资买羊，每人出12钱，则差51钱；每人出16钱，则差11钱．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（ ）
A．12x﹣51＝16x﹣11 B．12x+51＝16x﹣1l
C．12x+51＝16x+11 D．12x﹣51＝16x+11
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设买羊人数为x人，根据出资数不变列出方程．
【解答】解：设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为12x+51＝16x﹣1l．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ACB＝70°．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（ ）
A．BE＝EC B． C．∠BAQ＝40° D．∠EQF＝30°
【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：A．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，故选项A正确，不符合题意；
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB＝90°，
∵∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，
∴∠B＝30°，
∴DEBD，
故选项B正确，不符合题意；
C．由作图可知，AQ平分∠BAC，
∴∠BAQ＝∠CAQ∠BAC＝40°，
故选项C正确，不符合题意；
D．∵∠EFQ＝∠AFC＝70°，∠QEF＝90°，
∴∠EQF＝20°；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
16．（2分）已知A地、B地、医院在同一直线上，甲从A地、乙从B地同时出发骑车去医院注射新冠疫苗，甲和乙出发2分钟后第一次相遇，第一次相遇后不久甲的自行车出现故障，甲立即改为步行（中间耽搁时间忽略不计），甲比乙晚2分钟到达该医院，设甲、乙两人与A地的距离为y米，甲行驶的时间为x分钟，y与x之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲骑车速度为250米/分，甲步行速度为100米/分
B．A，B两地之间的距离为200米
C．甲和乙第二次相遇时，离医院还有600米的路程
D．甲和乙第二次相遇的时间是出发后13分钟
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：由图象可得，
乙骑车的速度为：（2900﹣200）÷18＝150（米/分），
甲骑车速度为：（200+150×2）÷2＝250（米/分），甲步行速度为：（2900﹣250×6）÷（18+2﹣6）＝100（米/分），故选项A不符合题意；
A、B两地的距离为200米，故选项B不符合题意；
甲和乙第二次相遇的时间为x分钟，
250×6+（x﹣6）×100＝200+150x，
解得x＝14，故选项D符合题意，
∴甲和乙第二次相遇时，离医院的路程是：150×（18﹣14）＝600（米），故选项C不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出甲骑车和步行的速度、乙骑车的速度，然后利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共3小题，满分10分）
17．（2分）有如图两条线段，比较其中a，b的长度，则结论是a ＝ b．（填“＞”“＜”或“＝”）
【考点】比较线段的长短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】＝．
【分析】用刻度尺对两条线段进行测量即可．
【解答】解：用刻度尺测量后，线段a与b的长度相等．
故答案为：＝．
【点评】本题考查了比较线段长短，正确进行测量是解题关键．
18．（4分）如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体各面上标有数字1，2，3，﹣3，A，B，相对面的两个数互为相反数，则A＝ ﹣2 ，B＝ ﹣1 ．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字；相反数．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】﹣2，﹣1．
【分析】根据正方体表面展开图的特征进判断相对的面，再根据相对面上的两个数互为相反数，即可求出A、B所表示的数．
【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“1”与“B”是相对的面，
“2”与“A”是相对的面，
又因为相对面上的两个数互为相反数，
所以A＝﹣2，B＝﹣1．
故答案为：﹣2，﹣1．
【点评】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征，正确判断正方体展开图中“相对的面”是正确解答的关键．
19．（4分）如图1，将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上．如图2将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2次变换后，骰子朝上一面的点数是 6 ；连续完成2022次变换后，骰子朝上一面的点数是 3 ．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；投影与视图；空间观念．
【答案】6；3．
【分析】先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续3次变换是一个循环，据此解答即可．
【解答】解：根据题意可知连续3次变换是一循环，
故骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2次变换后，骰子朝上一面的点数是6；
2022÷3＝674，
故连续完成2022次变换后，骰子朝上一面的点数是3．
故答案为：6；3．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三．解答题（共7小题，满分72分）
20．（10分）计算题：
（1）82019×（﹣0.125）2020
（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；
（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）0.125；
（2）1；
（3）81x4﹣y4；
（4）4ab﹣5b2；
（5）﹣xy，．
【分析】（1）将原式变形为（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125），再逆用积的乘方变形、计算可得；
（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；
（3）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（5）原式中括号中利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）82019×（﹣0.125）2020
＝（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×8）2019×（﹣0.125）
＝0.125；
（2）20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣20202+1
＝1；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）
＝（3x﹣y）（3x+y）（9x2+y2）
＝（9x2﹣y2）（9x2+y2）
＝81x4﹣y4；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2
＝b2﹣a2﹣（a2﹣4ab+4b2）
＝b2﹣a2﹣a2+4ab﹣4b2
＝﹣2a2+4ab﹣3b2；
（5）[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x）
＝（x2+6xy+9y2﹣3x2+xy﹣6xy+2y2﹣11y2）÷2x
＝（﹣2x2+xy）÷2x
＝﹣xy，
当x＝﹣2，y＝1时，原式．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（7分）解方程：5x+2＝2（x+4）
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去括号得：5x+2＝2x+8，
移项合并得：3x＝6，
解得：x＝2．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
22．（10分）我区某中学就新冠疫情对青少年价值观产生的影响做了一个问卷调查，其中一项调查内容是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？A．生命，B．感恩，C．责任，D．奉献．每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 300 名同学；
（2）扇形统计图中a＝ 15 ，并补全条形统计图；
（3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词“B．感恩”的学生的概率是多少．
【考点】概率公式；扇形统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用；概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）300；
（2）15；条形图见解答；
（3）．
【分析】（1）根据A的人数为105人，所占的百分比为35%，求出总人数，即可解答；
（2）用D所对应的人数除以其所占的百分比，再乘以100得到a的值；用总人数×30%求出C所对应的人数，用总人数﹣A所对应的人数﹣C所对应的人数﹣D所对应的人数得到B所对应的人数，即可补全条形统计图；
（3）根据概率公式，即可解答．
【解答】解：（1）105÷35%＝300（人），
故答案为：300；
（2）a100＝15；
C所对应的人数为：300×30%＝90（人），
B所对应的人数为：300﹣105﹣90﹣45＝60（人）．
补全条形图如图所示：
故答案为：15；
（3），
答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词“B．感恩”的学生的概率是．
【点评】本题考查条形统计图与扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了概率的知识．概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（12分）已知：如图，AD⊥BC，且AD平分∠BAC，∠1＝∠3．求证：EG⊥BC．请完善证明过程，并在括号内填上相应依据．
证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴ ∠2 ＝ ∠3 （角平分线的定义），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠1（等量代换），
∴ AD ∥ EG （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB＝ 90° （ 垂直的定义 ），
∴∠EGD＝∠ADB＝90°（ 两直线平行，同位角相等 ），
∴EG⊥BC（垂直的定义）．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】∠2，∠3，AD，EG，内错角相等，两直线平行，90°，垂直的定义，两直线平行，同位角相等．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠2＝∠3（角平分线的定义），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠1（等量代换），
∴AD∥EG（内错角相等，两直线平行），
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB＝90°（垂直的定义），
∴∠EGD＝∠ADB＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴EG⊥BC（垂直的定义）．
故答案为：∠2，∠3，AD，EG，内错角相等，两直线平行，90°，垂直的定义，两直线平行，同位角相等．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，熟练应用相关性质进行求解是解决本题的关键．
24．（10分）如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为 900km ；
（2）请解释图中点B的实际意义为 当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇 ；
（3）求慢车和快车的速度分别是 75km/h 和 150km/h ；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式是 y＝225x﹣900 ，并写出自变量的取值范围是 4≤x≤6 ；
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30min后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少h？写出解题过程．
【考点】一次函数的应用．
【专题】计算题；函数思想；待定系数法；一次函数及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）900km；（2）当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇；（3）75km/h，150km/h；（4）y＝225x﹣900，4≤x≤6；（5）第二列快车比第一列快车晚出发0.75 h．
【分析】（1）由图象可知甲、乙两地之间的距离；
（2）由图象可知，当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇；
（3）由图象可知慢车行驶900km，用12h，求出慢车的速度，根据行驶4小时时，慢车和快车相遇，求出两车的速度之和，进一步求出快车速度；
（4）根据路程、速度、时间之间的关系先求出快车行驶完整个路程的时间求出C点坐标，进一步求出一次函数解析式及x的取值范围；
（5）先求出第二列快车与慢车相遇，慢车行驶的时间，代入一次函数解析式求出y，即两列快车之间的距离，再除以快车速度就是晚出发的时间．
【解答】解：（1）由图象可知：甲、乙两地之间的距离：900km，
故答案为：900km；
（2）B的实际意义为：当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇，
故答案为：当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇；
（3）由图象可知慢车行驶900km，用12h，
∴慢车的速度：900÷12＝75（km/h），
∵行驶4小时时，慢车和快车相遇，
∴慢车和快车行驶速度之和为：900÷4＝225（km/h），
∴快车的速度：225﹣75＝150（km/h），
故答案为：75km/h，150km/h；
（4）∵快车走完整个路程所需要的时间：900÷150＝6（h），
慢车6h行驶距离：75×6＝450（km），
∴C（6，450），
设线段BC距离所表示的关系式为：y＝kx+b，
把（6，450），（4，0）代入得，
，
解得，
∴线段BC的函数关系式是：y＝225x﹣900，自变量的取值范围是 4≤x≤6；
（5）∵第一列快车与慢车相遇30min后，第二列快车与慢车相遇，此时慢车行驶的时间为4.5，
把x＝4.5代入y＝225x﹣900，
得y＝112.5，
∴慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5 km，
∴两列快车出发的间隔时间：112.5÷150＝0.75（h），
∴第二列快车比第一列快车晚出发0.75 h．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，掌握函数图象包含的不同层次的信息：当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇，车行驶900km，用12h等，根据这些信息求出快慢车速度及一次函数解析式．
25．（11分）如图，点A、C、B在数轴上表示的数分别是﹣3、1、5，动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿A→B→A匀速运动回到点A停止运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→B向终点B匀速运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P到达点B时，点Q表示的数为 3 ；
（2）当t＝1时，求点P、Q之间的距离；
（3）当点P在A→B上运动时，用含t的代数式表示点P、Q之间的距离；
（4）当点P、Q到点C的距离相等时，直接写出t的值．
【考点】一元一次方程的应用；数轴．
【专题】行程问题；应用意识．
【答案】（1）3；
（2）1；
（3）当时，点P、Q之间的距离为4﹣3t；当时，点P、Q之间的距离为3t﹣4；
（4）或或或4．
【分析】（1）当点P在A→B上运动时，点P表示的数为﹣3+4t，点Q表示的数是1+t，当点P到达点B时，则点P表示的数为5，列方程求出t的值，代入1+t即可求出此时点Q表示的数；
（2）当t＝1时，点P在A→B上运动，分别求出点P和点Q表示的数，再求出点P、Q之间的距离；
（3）点P在A→B上运动分两种情况，先求出点P与点Q重合时t的值，再按点P与点Q相遇前和相遇后分别用含t的代数式表示点P、Q之间的距离；
（4）按点P在A→B上运动和点P在B→A上运动分类讨论，又分为点C在P、Q两点之间和P、Q两点重合，分别列方程求出相应的t的值．
【解答】解：（1）当点P到达点B时，则﹣3+4t＝5，
解得t＝2，
点Q表示的数是1+t，
当t＝2时，1+t＝1+2＝3，
所以点Q表示的数是3，
故答案为：3．
（2）当0≤t≤2时，点P表示的数是﹣3+4t，点Q表示的数是1+t，
当t＝1时，﹣3+4t＝﹣3+4×1＝1，1+t＝1+1＝2，
所以点P和点Q表示的数分别是1和2，
所以2﹣1＝1，
所以点P、Q之间的距离是1．
（3）当点P在A→B上运动，若点P、Q重合，则﹣3+4t＝1+t．
解得．
当时，则点Q表示的数大于或等于点P表示的数，
所以1+t﹣（﹣3+4t）＝4﹣3t，
所以点P、Q之间的距离为4﹣3t；
当时，则点P表示的数大于点Q表示的数，
所以﹣3+4t﹣（1+t）＝3t﹣4，
所以点P、Q之间的距离为3t﹣4．
（4）当0≤t≤2时，若点P在点C左侧，点Q在点C右侧，
根据题意得1﹣（﹣3+4t）＝（1+t）﹣1，
解得t；
若点P与点Q重合，则点P、Q到点C的距离相等，
由（3）得t；
当2＜t≤4时，则点P表示的数是﹣3+[2（5+3）﹣4t]，即13﹣4t，
若点P与点Q重合，
根据题意得1+t＝13﹣4t，
解得t；
若点P在点C左侧，点Q在点C右侧，
根据题意得1﹣（13﹣4t）＝（1+t）﹣1，
解得t＝4，
综上所述，t的值为或或或4．
【点评】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清动点的运动方向、速度、时间以及两个动点的运动是属于相遇问题还是属于追及问题．
26．（12分）问题情境：数学活动课上、老师出示了一个问题：如图1．△ABC为等边三角形，点D在AB上．点E在AC上，连接DE，以DE为边再作一个等边三角形DEF，点F与点A分别在线段DE所在直线的两边．
独立思考：（1）如图2，当点F恰好落在BC边上时，求证：AD＝BF．
实践探究：（2）希望小组发现：如图3，过点F作FG⊥AB于点G．AD与FG存在数量关系，请求出这个数量关系．
问题解决：（3）智慧小组突发奇想：若AD＝2，BD＝4，且当BF最小时，能否求出AE的长？请你认真思考．如能求出AE的长，求出这个值；如果不能求出AE的长，请叙述理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）见解析过程；
（2）DHAD；
（3）5．
【分析】（1）由“AAS”可证△ADE≌△BFD，可得结论；
（2）由“AAS”可证△DFG≌△EDH，可得DH＝FG，由锐角三角函数可求解：
（3）由“SAS”可证△ADE≌△HDF，可得∠DHF＝∠A＝60°＝∠ADH，AE＝HF，可得点F在过点H且平行于AB的直线HF上，则当BF⊥HF时，BF有最小值，由直角三角形的性质和平行四边形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°＝∠EDF，DE＝DF，
∵∠EDB＝∠A+∠AED＝∠EDF+∠BDF，
∴∠AED＝∠BDF，
∴△ADE≌△BFD（AAS），
∴AD＝BF；
（2）解：DHAD，理由如下：
如图3，过点D作DH⊥AC于H，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°＝∠A，
∵∠EDB＝∠A+∠AED＝∠EDF+∠BDF，
∴∠AED＝∠BDF，
又∵∠DHE＝∠FGD＝90°，
∴△DFG≌△EDH（AAS），
∴DH＝FG，
∵∠A＝60°，
∴sinA，
∴DHAD；
（3）解：如图4，在AC上截取AH＝AD，连接HD，HF，
∵AD＝AH，∠A＝60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD＝DH，∠ADH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝∠ADH＝60°，
∴∠ADE＝∠HDF，
∴△ADE≌△HDF（SAS），
∴∠DHF＝∠A＝60°＝∠ADH，AE＝HF，
∴HF∥AB，
∴点F在过点H且平行于AB的直线HF上，
∴当BF⊥HF时，BF有最小值，
如图5，过点H作HN⊥AB于N，
∴HN∥BF，
又∵HF∥AB，
∴四边形HNBF是平行四边形，
∴HF＝BN，
∵△AHD是等边三角形，HN⊥AB，
∴AN＝1＝ND，
∴BN＝BD+DN＝5，
∴HF＝BN＝AE＝5．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
6．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
7．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
8．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
9．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
10．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
11．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
12．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
13．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
14．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
15．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
16．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
17．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
18．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
19．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
20．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
21．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
22．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
23．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
24．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
25．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
26．比较线段的长短
（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD．
（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．
（3）线段的和、差、倍、分及计算
做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．
如图，AC＝BC，C为AB中点，ACAB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DBCBAB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．
27．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
28．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
29．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
30．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
31．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
32．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
33．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
34．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
35．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
36．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
37．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
38．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
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