2024—2025学年上学期河北初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期河北初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≠2 C．x＝2 D．x＜2
2．（4分）如图，△ABC≌△DEF，点C，D，B，F在同一条直线上，BC＝4，AC＝2，CF＝5，则BD的长为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．6
3．（4分）下列各命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．如果a2＝b2，那么a＝b
C．若ma2＞na2，则m＞n
D．相等的角是对顶角
4．（4分）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2022倍，则变化后分式的值（　　）
A．扩大为原来的值的2022倍
B．缩小为原来的值的
C．保持不变
D．比原来的值增多2022
5．（4分）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于（　　）
A．72° B．60° C．58° D．50°
6．（4分）对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（　　）
A．边长相等的图形 B．面积相等的图形
C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形
7．（4分）已知点P是直线l外一点，数学兴趣小组的同学用了4种不同的尺规作图方法想过点P作直线l的平行线，根据尺规作图痕迹，直线PQ不一定与直线l平行的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，AC，BD交于点E，AE＝CE，BE＝DE，则判定△ABE与△CDE全等的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
9．（4分）如图，已知AB＝AC，添加一个条件，不能使△ABF≌△ACE的是（　　）
A．AE＝AF B．∠B＝∠C C．∠AEC＝∠AFB D．CE＝BF
10．（4分）如图，射线OC为∠AOB的平分线，点M，N分别是边OA，OB上的两个定点，且OM＜ON，点P在OC上，满足PM＝PN的点P的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
11．（4分）如图，为测量池塘两端A、B的距离，小康在池塘外一块平地上选取了一点O，连接AO，BO，并分别延长AO，BO到点C，D，使得AO＝DO，BO＝CO，连接CD，测得CD的长为165米，则池塘两端A，B之间的距离为（　　）
A．160米 B．165米 C．170米 D．175米
12．（4分）如图，已知∠ABC＝∠BCD，补充一个条件，不能使得△ABC≌△DCB的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．AB＝DC D．∠ACB＝∠DBC
二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分）
13．（4分）如图，AB＝8，BC＝10，CD为射线，∠B＝∠C，点P从点B出发沿BC向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线CD运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，△ABP能与△CPQ全等，则x＝　 　．
14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝2，中线AD＝2，AC＝3，则AB长为 　 　．
15．（4分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动　 　秒时，△DEB与△BCA全等．
三．解答题（共2小题，满分40分，每小题20分）
16．（20分）如图，已知△ABC中，AC＝CB＝20cm，∠A＝∠B，AB＝16cm，点D为AC的中点．
（1）如果点P在线段AB以6cm/s的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段BC上由点B向C点运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△APD与△BQP是否全等？说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，△APD与△BQP全等？求出此时点Q的运动速度．
（2）若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，请直接写出：①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？
17．（20分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D．在射线CD上截取CE＝CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ABC≌△CFE；
（2）若AB＝9，EF＝4，求BF的长．
2024—2025学年上学期河北初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≠2 C．x＝2 D．x＜2
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式解答即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0，
∴x≠2．
故选：B．
【点评】本题了考查了分式有意义的条件，正确列出不等式是解题的关键．
2．（4分）如图，△ABC≌△DEF，点C，D，B，F在同一条直线上，BC＝4，AC＝2，CF＝5，则BD的长为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．6
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】利用全等三角形的对应边相等即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，BC＝4，AC＝2，CF＝5，
∴BC＝EF＝4，DF＝AC＝2，
∴BD＝CB+FD﹣CF＝4+2﹣5＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应边相等，难度不大．
3．（4分）下列各命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．如果a2＝b2，那么a＝b
C．若ma2＞na2，则m＞n
D．相等的角是对顶角
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；平行线的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】写出每个命题的逆命题，再判断真假即可．
【解答】解：两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，逆命题是真命题，故A不符合题意；
如果a2＝b2，那么a＝b的逆命题是如果a＝b，那么a2＝b2，逆命题是真命题，故B不符合题意；
若ma2＞na2，则m＞n的逆命题是若m＞n，则ma2＞na2，逆命题是假命题，故C符合题意；
相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，逆命题是真命题，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假．
4．（4分）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2022倍，则变化后分式的值（　　）
A．扩大为原来的值的2022倍
B．缩小为原来的值的
C．保持不变
D．比原来的值增多2022
【考点】分式的基本性质．
【专题】分式；运算能力．
【答案】C
【分析】由题意可知x，y的值同时扩大为原来的2022倍后分别为2022x，2022y，然后代入式子中进行计算即可．
【解答】解：由题意可得：
x，y的值同时扩大为原来的2022倍后分别为2022x，2022y，
∴，
∴将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2022倍，则变化后分式的值：保持不变，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5．（4分）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于（　　）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】D
【分析】根据图形得出DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，根据全等三角形的性质得出∠D＝∠A＝50°，即可得出选项．
【解答】解：
∵DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，
又∵△ABC和△DEF全等，
∴∠D＝∠A＝50°，
∴∠α＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
6．（4分）对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（　　）
A．边长相等的图形 B．面积相等的图形
C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形
【考点】全等图形．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A、边长相等的图形相似但不一定全等，故错误，不符合题意；
B、面积相等的图形不一定全等，故错误，不符合题意；
C、周长相等的图形不一定是全等图形，故错误，不符合题意；
D、能够完全重合的图形是全等图形，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了全等图形的定义，了解能够完全重合的图形是全等形是解答本题的关键，难度不大．
7．（4分）已知点P是直线l外一点，数学兴趣小组的同学用了4种不同的尺规作图方法想过点P作直线l的平行线，根据尺规作图痕迹，直线PQ不一定与直线l平行的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】利用平行四边形的判定与性质对A选项进行判断；根据同位角相等两直线平行对B选项进行判断；根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行对C选项进行判断，D选项的作图无法判断PQ平行直线l．
【解答】解：直线PQ不一定与直线l平行的是．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
8．（4分）如图，AC，BD交于点E，AE＝CE，BE＝DE，则判定△ABE与△CDE全等的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：在△ABE与△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
9．（4分）如图，已知AB＝AC，添加一个条件，不能使△ABF≌△ACE的是（　　）
A．AE＝AF B．∠B＝∠C C．∠AEC＝∠AFB D．CE＝BF
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】利用全等三角形的判定依次判断可求解．
【解答】解：A、若AE＝AF，且∠A＝∠A，AB＝AC，由“SAS”可证△ABF≌△ACE，故选项A不符合题意；
B、若∠B＝∠C，且∠A＝∠A，AB＝AC，由“ASA”可证△ABF≌△ACE，故选项B不符合题意；
C、若∠AEC＝∠AFB，且∠A＝∠A，AB＝AC，由“AAS”可证△ABF≌△ACE，故选项C不符合题意；
D、若CE＝BF，且∠A＝∠A，AB＝AC，无法证明△ABF≌△ACE，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
10．（4分）如图，射线OC为∠AOB的平分线，点M，N分别是边OA，OB上的两个定点，且OM＜ON，点P在OC上，满足PM＝PN的点P的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵射线OC为∠AOB的平分线，点M，N分别是边OA，OB上的两个定点，
∴连接MN，作MN的垂直平分线，交OC于点P，
∴PM＝PN，
∴满足PM＝PN的点P的个数有1个，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
11．（4分）如图，为测量池塘两端A、B的距离，小康在池塘外一块平地上选取了一点O，连接AO，BO，并分别延长AO，BO到点C，D，使得AO＝DO，BO＝CO，连接CD，测得CD的长为165米，则池塘两端A，B之间的距离为（　　）
A．160米 B．165米 C．170米 D．175米
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】B
【分析】利用“边角边”证明△ABO≌△DCO，可得结论．
【解答】解：在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴AB＝CD＝165（米）；
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解决问题的关键．
12．（4分）如图，已知∠ABC＝∠BCD，补充一个条件，不能使得△ABC≌△DCB的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．AB＝DC D．∠ACB＝∠DBC
【考点】全等三角形的判定．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠ABC＝∠BCD，BC＝CB，
∴当添加∠A＝∠D时，可根据“AAS”判断△ABC≌△DCB；
当添加AB＝DC时，可根据“SAS”判断△ABC≌△DCB；
当添加∠ACB＝∠DBC时，可根据“ASA”判断△ABC≌△DCB．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分）
13．（4分）如图，AB＝8，BC＝10，CD为射线，∠B＝∠C，点P从点B出发沿BC向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线CD运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，△ABP能与△CPQ全等，则x＝　1或　．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】1或．
【分析】设点P、Q的速度为t s，分两种情形构建方程即可解决问题．
【解答】解：设点P、Q的速度为t s，
分两种情形讨论：①当AB＝PC，BP＝CQ时，△ABP≌△PCQ，
即8＝10﹣t，
解得：t＝2，
∴2x＝2×1，
∴x＝1；
②当BP＝PC，AB＝CQ时，△ABP≌△QCP，
即t10＝5，
∴5x＝8，
x，
综上所述，x＝1或，
故答案为：1或．
【点评】本题考查全等三角形的判定、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝2，中线AD＝2，AC＝3，则AB长为 　5　．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】5．
【分析】证明△ADC是直角三角形，延长AD至E，使DE＝DA，连接BE，证明△ADC≌△EDB（SAS），可得AD＝DE＝2，AC＝BE＝3，∠BED＝∠CAD＝90°，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：在△ABC中，BC＝2，中线AD＝2，AC＝3，
∴CDBC，
∴22+32＝（）2，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC＝90°，
如图，延长AD至E，使DE＝DA，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AD＝DE＝2，AC＝BE＝3，∠BED＝∠CAD＝90°，
∴AE＝2AD＝4，
∴AB5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△ADC≌△EDB．
15．（4分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动　0，2，6，8　秒时，△DEB与△BCA全等．
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】动点型．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC＝BE，AC＝BE进行计算即可．
【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8﹣4＝4，
∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8+4＝12，
∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝8+8＝16，
点E的运动时间为16÷2＝8（秒），
故答案为：0，2，6，8．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三．解答题（共2小题，满分40分，每小题20分）
16．（20分）如图，已知△ABC中，AC＝CB＝20cm，∠A＝∠B，AB＝16cm，点D为AC的中点．
（1）如果点P在线段AB以6cm/s的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段BC上由点B向C点运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△APD与△BQP是否全等？说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，△APD与△BQP全等？求出此时点Q的运动速度．
（2）若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，请直接写出：①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】动点型；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）①全等，理由见解答；②，7.5；
（2）①秒；②Q点在AC边上．
【分析】（1）①先求得AP＝BQ＝6，PB＝AD＝10，然后根据等边对等角求得∠A＝∠B，最后根据SAS即可证明；
②因为VP≠VQ，所以AP≠BQ，又∠A＝∠B，要使△APD与△BQP全等，只能AP＝BP＝8，根据全等得出BQ＝AD＝10，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和BQ的长即可求得Q的运动速度；
（2）①因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AC+BC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得；
②
【解答】解：（1）①全等，
因为t＝1（秒），
所以AP＝BQ＝6（厘米），
∵AC＝20，D为AC中点，
∴AD＝10（厘米），
∵PB＝AB﹣AP＝16﹣6＝10（厘米），
∴PB＝AD，
∵CA＝BC，
∴∠A＝∠B，
在△APD与△BQP中，
，
∴△APD≌△BQP（SAS）；
②因为VP≠VQ，
所以AP≠BQ，
因为∠A＝∠B，
要使△APD与△BQP全等，只能AP＝BP＝8，
即△APD≌△BPQ，
故BQ＝AD＝10，
所以点P、Q的运动时间：t（秒），
此时（厘米/秒）；
（2）①因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AC+BC的路程，
设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得，
解得（秒），
此时P运动了（厘米），
又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2+48，
所以点P、Q在AC边上相遇，即经过了秒，点P与点Q第一次在AC边上相遇；
②设第一次相遇经过a秒之后，第2023次相遇，
6a+2022（20+20+16）a，
解得：a＝75488（s），
a+t＝75514（s），
SQ＝75514566360（cm），
10113……32，
20＜32＜40，
B→C→A，
∴Q点在AC边上．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
17．（20分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D．在射线CD上截取CE＝CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ABC≌△CFE；
（2）若AB＝9，EF＝4，求BF的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由同角的余角相等得到∠A＝∠ECF，根据“ASA”定理即可证得△ABC≌△CFE；
（2）根据全等三角形的性质即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵EF⊥CE，
∴∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ECF＝90°﹣∠ACE，
在△ABC和△CFE中，
，
∴△ABC≌△CFE（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△CFE，
∴CF＝AB＝9，CB＝EF＝4，
∴BF＝CF﹣CB＝5．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
考点卡片
1．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
2．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
3．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
4．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
5．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
6．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
7．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
8．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
9．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
10．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
11．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
12．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
13．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
14．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
15．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．