2024—2025学年上学期河南初中数学八年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期河南初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，6cm
C．4cm，6cm，8cm D．5cm，6cm，12cm
2．（3分）一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（　　）
A．6s B．5s C．4s D．3s
3．（3分）下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图所示图形中具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝30°，∠COD＝80°，则∠C＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．（3分）已知直角三角形一个内角46°，则另一个内角是（　　）
A．34° B．36° C．44° D．54°
7．（3分）如图，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，则∠P，∠B，∠D满足的关系式是（　　）
A．∠P＝∠B+∠D B．∠P＝∠D﹣∠B
C． D．
8．（3分）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A＝40°，则∠BOC＝（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
9．（3分）在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，若S△ABD＝S△ACD，则AD一定是（　　）
A．BC边上的高
B．∠BAC的平分线
C．BC边上的中线
D．BC边上的中线、高，也是∠BAC的平分线
10．（3分）凸八边形的所有内角中，锐角个数最多是（　　）个．
A．0 B．1 C．3 D．5
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰边长为　 　cm．
12．（3分）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝　 　．
13．（3分）如果一个三角形的三个外角度数的比为1：4：4，则此三角形最大内角的度数为 　 　．
14．（3分）如果一个正多边形的内角和是1080°，则它的中心角的度数为 　 　度．
15．（3分）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠NED＝　 　度．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）已知a，b，c分别为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程2a﹣1＝5的解，请先判断△ABC的形状，再说明理由．
17．（9分）已知：E是AB、CD外一点，∠D＝∠B+∠E，求证：AB∥CD．
18．（9分）如图，已知BD＝DC，EC＝3AE，△ABC的面积是120，求阴影部分面积．
19．（9分）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：
（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小；
（3）如图3，点P是线段AD上的动点（不与A，D重合），连接PF、PG，的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．
20．（9分）如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠ABC，∠DBC＝∠D，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上．
（1）求证：CD∥AB；
（2）若∠D＝42°，求∠ACE的度数．
21．（10分）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝　 　°；
（2）试探究∠DPC与∠A之间的数量关系并说明理由．
22．（10分）如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．
请问：（1）DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（2）若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换，所得命题正确吗？
23．（10分）平面上有A、B，C、D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°．
2024—2025学年上学期河南初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，6cm
C．4cm，6cm，8cm D．5cm，6cm，12cm
【考点】三角形三边关系．
【答案】C
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【解答】解：A、1+2＝3，不能构成三角形；
B、2+3＜6，不能构成三角形；
C、4+6＞8，能构成三角形；
D、5+6＜12，不能构成三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
2．（3分）一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（　　）
A．6s B．5s C．4s D．3s
【考点】三角形．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】首先设原来的边长分别为a，b，c，可知扩大后的边长是多少2a、2b、2c，接下来可得扩大后的边长为2a+2b+2c＝2（a+b+c），然后可知蚂蚁经过的路程扩大了两倍，据此即可解决问题．
【解答】解：设原来直角三角形的三条边分别为a、b、c，则扩大为原来的2倍后各边分别为2a、2b、2c，
∵2a+2b+2c＝2（a+b+c），蚂蚁沿原来的直角三角形边长爬行一周需2秒，
∴这只蚂蚁再沿边长爬行一周需2×2＝4s．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．
3．（3分）下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】B
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、图中，BE不是△ABC中AC边上的高，故本选项不符合题意；
B、图中，BE是△ABC中AC边上的高，本选项符合题意；
C、图中，BE不是△ABC中AC边上的高，故本选项不符合题意；
D、图中，BE不是△ABC中AC边上的高，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
4．（3分）如图所示图形中具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：∵三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，
∴图形中具有稳定性的是两个三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
5．（3分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝30°，∠COD＝80°，则∠C＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【专题】探究型．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质求出∠D的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠D＝∠A＝30°，
∵∠COD＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣80°＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
6．（3分）已知直角三角形一个内角46°，则另一个内角是（　　）
A．34° B．36° C．44° D．54°
【考点】直角三角形的性质．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】根据直角三角形两个内角和为90°，即可得另一个锐角度数．
【解答】解：由题意得，
在直角三角形中，两个内角和为90°，
∵一个内角46°，
∴另一个内角为：90°﹣46°＝44°．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，是基础题，掌握三角形内角和为180°．
7．（3分）如图，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，则∠P，∠B，∠D满足的关系式是（　　）
A．∠P＝∠B+∠D B．∠P＝∠D﹣∠B
C． D．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角的性质得到∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，两等式相减即可求解．
【解答】解：如图，
∵∠BAD和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠BEP＝∠1+∠B＝∠3+∠P，∠PFD＝∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质：三角形的外角等于不相邻两个内角的和．也考查了角平分线的定义，解题的关键是理解“8字形”中角的关系．
8．（3分）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A＝40°，则∠BOC＝（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【考点】角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
【解答】解：∵O到三角形三边距离相等，
∴O是内心，
即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，
∴∠CBO＝∠ABO∠ABC，∠BCO＝∠ACO∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．
9．（3分）在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，若S△ABD＝S△ACD，则AD一定是（　　）
A．BC边上的高
B．∠BAC的平分线
C．BC边上的中线
D．BC边上的中线、高，也是∠BAC的平分线
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由三角形的面积公式可得BD＝CD，即可求解．
【解答】解：∵S△ABD＝S△ACD，点D在BC边上，
∴BD＝CD，
∴AD一定是BC边上的中线，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的性质，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
10．（3分）凸八边形的所有内角中，锐角个数最多是（　　）个．
A．0 B．1 C．3 D．5
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据多边形的外角和等于360°和多边形的内角与相邻外角的关系得出答案即可．
【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，
∴多边形的外角是钝角的个数不能超过3个，
∵多边形的每个外角和相邻的内角的和等于180°，
∴多边形的所以内角中，锐角个数最多是3个，
即凸八边形的所有内角中，锐角个数最多是3个，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，注意：①多边形的内角与相邻的外角互补，②多边形的外角和等于360°．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰边长为　4或5　cm．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【解答】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝4（cm），能够组成三角形；
当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝3（cm），能够组成三角形．
故答案为：4或5．
【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质与三角形的三边关系，解题时要注意分类讨论思想的运用．
12．（3分）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝　43°　．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【专题】计算题；三角形；推理能力．
【答案】43°．
【分析】利用三角形的外角与内角间的关系先求出∠3，再利用平行线的性质再求出∠4，最后利用三角形的内角和定理求出∠2．
【解答】解：法一、由题意知：∠E＝∠F＝45°，AB∥CD．
∵∠1＝47°，
∴∠3＝∠1+∠E
＝47°+45°
＝92°．
∵AB∥CD，
∴∠4＝92°．
∴∠2＝180°﹣∠F﹣∠4
＝180°﹣45°﹣92°
＝43°．
故答案为：43°．
法二、延长ME交DC于点F．
由题意知：∠MEC＝90°，AB∥CD．
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EFC＝47°．
∵∠MEC＝∠EFC+∠ECF，
∴∠ECF＝90°﹣47°＝43°．
∴∠2＝∠ECF＝43°．
故答案为：43°．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握三角形的内角和定理和平行线的性质是解决本题的关键．
13．（3分）如果一个三角形的三个外角度数的比为1：4：4，则此三角形最大内角的度数为 　140°　．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】140°．
【分析】由三角形的三个外角之和为360°，从而可求得三角形的外角，即可判断．
【解答】解：∵三角形的三个外角度数的比为1：4：4，
∴最小的外角为：，
∴三角形的最大内角为：180°﹣40°＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角之和为360°．
14．（3分）如果一个正多边形的内角和是1080°，则它的中心角的度数为 　45　度．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】45．
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180°（n﹣2）＝1080°，即可求得n＝8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180°（n﹣2）＝1080°，
解得：n＝8，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2） 180°，外角和等于360°．
15．（3分）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠NED＝　24　度．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】24．
【分析】根据正五边形的性质求出∠EAB，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB108°，
∵∠EAB是△AEO的外角，
∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，
∴∠NED＝180°﹣∠AEO﹣∠AED
＝180°﹣48°﹣108°
＝24°．
故答案为：24．
【点评】本题考查了正多边形，掌握多边形内角和定理、正多边形的性质、三角形的外角性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）已知a，b，c分别为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程2a﹣1＝5的解，请先判断△ABC的形状，再说明理由．
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】△ABC是等腰三角形，理由见解答．
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而解方程得出a的值，进而判断出其形状．
【解答】解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0．
∴b＝2，c＝3，
又∵2a﹣1＝5，
∴a＝3．
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a，b，c的值是解题关键．
17．（9分）已知：E是AB、CD外一点，∠D＝∠B+∠E，求证：AB∥CD．
【考点】三角形的外角性质；平行线的判定．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】欲证AB∥CD，已知∠D＝∠B+∠E，且∠BFD＝∠B+∠E，即证∴∠D＝∠BFD，故可根据内错角相等，两直线平行求证．
【解答】证明：∵∠D＝∠B+∠E（已知），
∠BFD＝∠B+∠E（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠D＝∠BFD（等式的性质）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系及两直线平行判定定理，比较简单．
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行．
18．（9分）如图，已知BD＝DC，EC＝3AE，△ABC的面积是120，求阴影部分面积．
【考点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】54．
【分析】连接CF，根据题意将各个面积表达出来，利用面积求解．
【解答】解：连接CF，
∵BD＝DC，EC＝3AE．AEAC．
△ABC的面积是120．
∴S△ABES△ABC＝30S△ABDS△ABC＝60．
∴．
．
∴S△ABFS△ABC＝24．
S△BFD＝12036．
∴阴影部分的面积为：120﹣30﹣36＝54．
【点评】本题考查了三角形的面积，解题关键在于熟练掌握三角形面积公式和定义．
19．（9分）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：
（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小；
（3）如图3，点P是线段AD上的动点（不与A，D重合），连接PF、PG，的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；平行线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）α+β＝90°，理由详见解答过程．
（2）135°．
（3）不变，1．
【分析】（1）如图1，延长AM交EG于M．由题意知：DF∥EG，∠ACB＝90°，故∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．进而推断出∠β+∠α＝90°．
（2）如图2，延长AC交EG于N．由题意知：DF∥EN，∠ACB＝90°，得∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°，故∠1+∠CGN＝90°．因为∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，所以∠QFC，∠GQC＝90°．那么，∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB＝135°．
（3）由题意知：DF∥EG，得∠FOG＝∠EGO，故1．
【解答】解：（1）如图1，延长AM交EG于M．
∠β+∠α＝90°，理由如下：
由题意知：DF∥EG，∠ACB＝90°．
∴∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．
∵∠EGB和∠CGM是 对顶角，
∴∠β＝∠CGM．
∴∠β+∠α＝90°．
（2）如图2，延长AC交EG于N．
由题意知：DF∥EN，∠ACB＝90°．
∴∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°．
∴∠1+∠CGN＝90°．
∵QF平分∠DFC，
∴∠QFC．
同理可得：∠GQC＝90°．
∵四边形QFCG的内角和等于360°．
∴∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB＝360°﹣（90°）﹣（90°）﹣90°．
∴∠FQG＝135°．
（3）如图3，
由题意知：DF∥EG．
∴∠FOG＝∠EGO．
∴1．
∴的值不变．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质、对顶角的性质、角平分线的定义以及四边形内角和等于360°，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质、对顶角的性质、角平分线的定义以及四边形内角和等于360°是解题的关键．
20．（9分）如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠ABC，∠DBC＝∠D，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上．
（1）求证：CD∥AB；
（2）若∠D＝42°，求∠ACE的度数．
【考点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质．
【专题】计算题；证明题；线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析．
（2）∠ACE＝168°．
【分析】（1）由于BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC，由于∠DBC＝∠D，所以∠ABD＝∠D，从而可知CD∥AB．
（2）由于∠ABD＝∠D＝42°，BD平分∠ABC，所以∠ABC＝2∠ABD＝84°，所以∠A＝∠ABC＝84°，由CD∥AB可知：∠ACD＝∠A＝84°，∠DCE＝∠ABC＝84°，进而由两角之和可求得∠ACE的度数．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC．
∵∠DBC＝∠D，
∴∠ABD＝∠D．
∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行）．
（2）∵∠D＝42°，
∴∠ABD＝∠D＝42°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝84°．
∴∠A＝∠ABC＝84°．
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠A＝84°，∠ABC＝∠DEC＝84°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝84°+84°＝168°．
【点评】本题考查三角形的综合问题，解题关键是熟练运用三角形内角和定理以及平行线的判定定理、性质定理．
21．（10分）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝　60　°；
（2）试探究∠DPC与∠A之间的数量关系并说明理由．
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】（1）60；
（2）∠DPC＝90°∠A．
【分析】（1）在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠A的度数；
（2）根据角平分线的定义可得出∠1∠ABC，∠2∠ACB，在△BCP中，利用三角形内角和定理可得出∠BPC＝180°（∠ABC+∠ACB），结合∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，可得出∠BPC＝90°∠A，再将其代入∠DPC＝180°﹣∠BPC中即可得出∠DPC与∠A之间的数量关系．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°.
故答案为：60．
（2）∠DPC＝90°∠A，理由如下：
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠1∠ABC，∠2∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°∠ABC∠ACB＝180°（∠ABC+∠ACB）．
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BPC＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，
∴∠DPC＝180°﹣∠BPC＝90°∠A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）牢记三角形内角和是180°；（2）根据角平分线的定义及三角形内角和定理，找出∠DPC与∠A之间的数量关系．
22．（10分）如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．
请问：（1）DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（2）若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换，所得命题正确吗？
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；平行线的性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）DE∥AB，DF∥AC得到平行四边形AFDE，因为∠EAD＝∠FAD和DE∥AB，推出∠EAD＝EDA，得出AE＝DE，即可得到答案；
（2）①如和AD是∠CAB的角平分线交换，正确，理由与（1）证明过程相似；②如和DE∥AB交换，根据平行线的性质得到∠FDA＝∠EAD，根据AD是∠CAB的角平分线，DO是∠EDF的角平分线，推出∠EAF＝∠EDF，由平行线的性质得到∴∠AEF＝∠DFE，根据三角形的内角和定理即可求出∠DEF＝∠AFE，根据平行线的判定即可推出答案；③如和AE∥DF交换，正确理由与②类似．
【解答】（1）DO是∠EDF的角平分线，
证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EAD＝EDA，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AFDE是菱形，
∴DO是∠EDF的角平分线．
（2）解：正确．
①如和AD是∠CAB的角平分线交换，正确，理由与（1）证明过程相似；
②如和DE∥AB交换，
理由是：∵DF∥AC，
∴∠FDA＝∠EAD，
∵AD是∠CAB的角平分线，DO是∠EDF的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，∠EDA＝∠FDA，
∴∠EAF＝∠EDF，
∵AE∥DF，
∴∠AEF＝∠DFE，
∵∠EDF+∠EFD+∠DEF＝180°，∠EAF+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠DEF＝∠AFE，
∴DE∥AB，正确．
③如和AE∥DF交换，正确理由与②类似．
答：若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换，所得命题正确．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，菱形的判定，平行线的性质和判定，三角形的角平分线等知识点，综合运用性质和判定进行证明是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
23．（10分）平面上有A、B，C、D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【专题】证明题；分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于45°，从假设出发推出矛盾：四边形内角和大于360°矛盾；三角形内角和大于180°．从而得以证明结论．
【解答】证明：假设A、B，C、D四点，任选三点构成的三角形的三个内角都大于45°，
当ABCD构成凸四边形时，可得各角和大于360°，与四边形内角和等于360°矛盾；
当ABCD构成凹四边形时，可得三角形内角和大于180°，与三角形内角和等于180°矛盾．
故在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°．
【点评】本题考查了反证法．
反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
3．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
4．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
5．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
6．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
7．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
8．三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性．
9．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
10．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
11．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
12．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
13．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
14．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
15．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
16．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
17．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
18．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
19．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
20．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
21．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．